Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ФГБОУ ВО

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Федосеев Денис Александрович

Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11АВГ щ

005561411

Москва — 2015

005561411

Работа выполнена на кафедре Дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета ФГБОУ ВО Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Фоменко Анатолий Тимофеевич,

академик РАН,

профессор

Кудрявцева Елена Александровна,

кандидат физико-математических наук, доцент

Кушнер Алексей Гурьевич,

доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией №6 "Проблем качественного исследования нелинейных динамических систем" (ФГБУ Интситут проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН)

Москвин Андрей Юрьевич,

кандидат физико-математических наук,

начальник отдела аналитики (ЗАО "Группа компаний С7")

ФБГОУ ВПО Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита диссертации состоится 25 сентября 2015 г. в 1645 на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при ФГБОУ ВПО Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (Могква, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8й этаж), http://mech.math.msu.rU/~s:iark/index.cgi, http://istina.msu.ru/dissertations/9617725.

Автореферат разослан 25 августа 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 на базе

ФГБОУ ВО МГУ имени М.В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Алексея цр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению многообразий Бертрана — возникающих как конфигурационные многообразия обобщений задачи Бертрана для различных классов потенциалов, — некоторых их геометрических свойств, а также изучению бвфуркационых диаграмм, отображения момента и некоторых аспектов лиувиллева слоения, возникающих при рассмотрении соответствующих гамильтоновых систем.

Задача, сейчас носящая название "задача Бертрана", была впервые поставлена Ж. Бертраном в 1873 году1. Задача формулировалась следующим образом: найти закон силы притяжения, если она зависит только от расстояния и заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только начальная скорость точки меньше некоторого предела. Иначе можно сказать, что классическая задача Бертрана — это обратная задача динамики на плоскости (поиск закона сил по известным свойствам траекторий) в частном случае центральной потенциальной силы и замкнутости всех ограниченных траекторий. Следует отметить, что задача возникла из небесной механики, а потому ставилась для движения в трехмерном евклидовом пространстве, но в силу центральности искомой силы индуцируется на плоскость.

В той же работе (имеется также английский перевод2) Бертран дал решение поставленной задачи: он доказал, что существует только два потенциала с искомыми свойствами, причем это в точности ньютоновский (то есть гравитационный) и гуковский (то есть осцилляторный) потенциалы, которым соответствуют силы (записанные в естественных полярных координатах на плоскости) — ß и —kr, а уравнения движения точки имеют вид gjijг = — 5¡r либо ^¡f = —fcr, где г = r(t) £ R3 - радиус-вектор точки (планеты); г = |rj, G = const > 0, k = const > 0. Впрочем, как было недавно установлено, доказательство Бертрана требовало существенно более сильных условий на потенциал, нежели ''все ограниченные траектории замкнуты"; выяснилось, что задача была решена дая так называемых сильно замыкающих потенциалов, которые характеризуются требованием, чтобы каждая круговая орбита являлась сильно устойчивой. Однако, как показывает один из результатов настоящей работы, ответ, полученный Бертраном, верен и для задачи в изначальной постановке.

Динамика и геометрия движения на многообразиях вращения (инвариантых относительно действия окружности) в поле центрального потенциала многократно и плодотворно рассматривалась. Так, аналог ньютоновской силы как величины, обратной площади сферы радиуса г, для пространства Я3 предложил ещё Н.И. Лобачевский3 и Я. Больяи4. В 1860 г. П. Серре5 определил аналог гравитационного потенциала на сфере и решил задачу Кеплера на ней. В 1870 г. Ф. Шеринг написал аналитическое выражение для потенциала Ньютона на Я36. В 1873 г. Р. Липшиц7 рассмотрел движение тела в центральном поле

1Л. Bertrán, "Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe" C.R. Acad. Sei. Paris, 77 (1873), 849-853.

SF.C. Santos, V. Soares, A.C. Tort, "An English translation of Bertrand's theorem", arXiv:0704.2396vl (2007).

3iï. И. Лобачевский, "Новые начала геометрии с вовой теорией параллельных" Полное собрание сочинений. Сочинения по геометрии, T. II., М.-Л., ГИИ'ГЛ (1949).

4W. Bolyai, J. Bolyai, "Geometrische Untersuchungen", Teubner, Leipzig (1913).

5P. Serret, 'Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes a double courbure", Librave de Mallet-Bachelier, Paris (1860).

6F. Schering, "Die Schwerkraft im Gaussischen Räume", Nachr. der Königl. Gessellschaft der Wissenschaften, 15 (1870), pp. 311-321.

7R. Lipshitz, "Extension of the planet-problem to a space of n dimensions and constant integral curvature", Quart. J. Pure Appl. Math., 12 (1873), pp. 349-370.

на сфере S2 со стандартной метрикой, однако вместо потенциала — ^ он рассмотрел потенциал Он нашел общее решение этой задачи в эллиптических функциях. В 1885 г. В. Киллинг обобщил законы Кеплера на сферу S3, оснащенную стандартной метрикой8. Подобно Лобачевскому и Больяи, он рассматривал силу притяжения как величину, обратную площади двумерной сферы радиуса г в S3. В следующем году эти результаты были заново получены К. Нейманом9. В. Киллинг также доказал, что переменные в задаче Кеплера с двумя притягивающими центрами на сфере Sn со стандартной метрикой разделяются, что влечёт интегрируемость задачи. В 1902 г. Г. Либман10 перенёс эту результаты на Я3.

В 1940-х годах этот вопрос рассматривался в рамках теории относительности, а именно решалась квантово-механическая одночастичная спектральная задача для ньютоновского потенциала на сфере S3 Э. Шрёдингером и Стивенсоном, на Я3 Инфельдом и Шильдом. В 1980-х годах центральные потенциалы в рамках теории относительности на S3, Я3, 5" исследовались Ю.А. Курочкиным, B.C. Отчиком, A.A. Богушем, Г. Лимоном. В 1994 году В.В. Козлов переоткрыл законы Кеплера для пространств постоянной секционной кривизны. В этом же году он вместе с Ю.Н. Фёдоровым установил интегрируемость i классического движения одной частицы по сфере Sn в поле, создаваемом гуковскими потенциалами, расположенными в 2(n + 1) точках пересечения сферы с координатными осями.

Что касается обратной задачи динамики, то в силу естественности поставленной Бертраном задачи, за его работой последовали её различные обобщения. В перзую очередь были рассмотрены обобщения в смысле изучения других конфигурационных многообразий задачи — замена плоскости на другие многообразия вращения. Упомянутым выше Г. Либманом задача Бертрана была решена в 1903 году на полусферах и плоскостях Лобачевского11, причем ответ оказался прежним: искомыми потенциалами оказались гравитационный и осцилляторный. М. Икеда и Н. Катяма в 1982 году изучили многомерный аналог этого вопроса, решив задачу Бертрана на S" и Н", получив аналогичный результат, причем случай многомерной сферы был рассмотрен ранее (5П — П. Хиггсом12 в 1979 году, а частный случай S3 — Я.Е. Славяновским в 1980). Перечисленные результаты многократно переоткрывались. Так, к примеру, в 1992 году результат Либмана дчя задачи на полусфере был заново получен В.В. Козловым и А.О. Хариным (опубликовав, например, в13).

Первый результат, связанный не с изучением потенциалов на данной поверхности, но с поиском пар "многообразие - центральный потенциал с заданными свойствам i замыкания траекторий", принадлежит Дарбу (1877)14. Анализ его работы (необходимый, поскольку, как и в случае с первоначальной работой Бертрана, в действительности доказанное не вполне совпадает с формулировкой теоремы) показывает, что из его (промежуточных) вычислений следует классификация бертрановых пар, в которых конфигурационным мно-

8W. Killing, "Die Mechanik in den nicht-Euclidishen Raumformer", J. Reine Angew. Math., Bd. 98 (1885), pp. 1-48.

9C. Neumann, "Ausdehnung der Kepler'schen Gesetze auf der Fall, dass die Bewegung auf einer Kugelfläche stattfindet", Gesaellschaft der Wissenschaften, Math. Phys. Klasse 38 (1886), pp. 1-2.

10H. Liebmann, "Die Kegelschnitte und die Planetenbewegung im nichteuklidischen Rauir.", Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys. Klasse, Bd. 54 (1002), pp. 39Î -123.

11H. Liebmann, "Über die Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie", Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys. Klasse, Bd. 55 (1903), pp. 146-153.

12P. W. Higgs, "Dynamical symmetries in a spherical geometry, Г', J. Phys. A. Math. Gen.. 12 (1979), pp. 309-323.

I3B.В. Козлов, А.О. Харин, "Задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны". Классическая динамика в неевклидовых пространствах, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований (2004), стр. 159-166.

14G. Darboux, "Etude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution", Bulletin de la S. M. F., 5 (1877), pp. 100-113.

гообразием является риманово многообразие вращения (не обязательно вложенной в Я3) без экваторов, а центральный потенциал — сильно замыкающий. В качестве (ошибочного) окончательного результата Дарбу сформулировал (ошибочную) классификацию поверхностей вращения (реализуемых вложение в R3) без экваторов, допускающих такие потенциалы, однако она оказалась неполной, так как содержала лишь многообразия вращения с fi = 1; и потому в его (ошибочную) классификацию не попали поверхности постоянной отрицательной кривизны. Следующим продвижением в этой области стала работа В. Перлика15, который в 1992 году получил классификацию пар Бертрана для многообразий без экваторов и слабо замыкающих центральных потенциалов. По сравнению с Дарбу, Перлик отказался от условия вложенности в R3 и заменил условие сильной устойчивости всех круговых орбит на их орбитальную устойчивость. Наконец, в 2008 году М. Санто-прете16 доказал, что на аналитических многообразиях вращения с постоянной гауссовой кривизной без экваторов, вложенных в R3, существует в точности два сильно замыкающих потенциалов — гравитационный и осцилляторный, а на всех прочих поверхностях вращения без экваторов существует не более одного сильно замыкающего центрального потенциала и указал вид этого потенциала (осцилляторный). Он также нашел необходимое условие (в действительности являющееся и достаточным) на метрику существования такого потенциала и сформулировал его в виде биквадратного уравнения на так называемую постоянную Бертрана.

В диссертации рассмотрено более широкое обобщение задачи Бертрана. А именно, варьируется не только конфигурационное многообразие задачи, как было у Дарбу и Перлика, но и рассматриваются различные наборы требований на потенциал (т.е. вводится несколько классов замыкающих потенциалов) : изучена задача Бертрана не только для сильно замыкающих (как у Дарбу), слабо замыкающих (Перлик) и замыкающих (оригинальная формулировка Бертрана), но и для локально, полулокально, вполне и устойчиво замыкающих потенциалов, которые ранее не рассматривались. На рис. 1 наглядно показано, как связаны между собой эти классы потенциалов, причем диаграмма точна в том смысле, что все изображенные на диаграмме "области" непусты кроме, быть может, обла^ сти "1 \ 3". Как видно, класс локально замыкающих потенциалов является самым общим из рассматриваемых — все прочие потенциалы также являются локально замыкающими. Самыми узкими классами являются сильно замыкающий (для которого результаты были получены Бертраном и Дарбу) и вполне замыкающий. Отметим, что диаграмма включений классов потенциалов на рис. 1 не является тривиальным следствием определений этих классов. Из определения классов нетрудно следует лишь "грубая" диаграмма (диаграмма нестрогих включений классов). Включение "3 С 1", скорее всего, является строгим, но для решения этого вопроса не достаточно результатов настоящей работы.

15V. Perlick, "Bertrand spacetimes", Class. Quantum Grav., 9 (1992), pp. 1009-1021.

16M. Santoprete, "Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution", Journal of Math. Phys., 49:4 (2008), 042903.

2 — Шлуложаяыао ммыииу^ ютеяцкалы 3 - Замыкающие потенциалы 4 — Вполне замыкающие ютетралы 5-Устойчиво замыкающие потенциалы

1 - Локально замыкающие потенциалы

7 - Сильно замыкающие потенциалы

6 — Ряайнм^^чм^» ......"^"ТИ

Рис. 1: Диаграмма включений классов замыкающих потенциалов

Важно отметить, что в случае поиска многообразий, на которых существуют вполне и устойчиво замыкающие потенциалы, удалось отказаться от условия отсутствия экваторов, которое существенно использовалось в ранее доказанных теоремах в этей области. В обоих случаях — поиск пар "многообразие вращения без экваторов - замыкающий (сильно, слабо, локально или полулокально замыкающий) гладкий центральный потенциал" и "многообразие вращения - вполне/устойчиво замыкающий гладкий центральный потенциал" получена полная классификация как многообразий, так и потенциалов, которые вновь оказываются гравитационным и осцилляторным, причем на части многообразий оба они являются бертрановыми, а на прочих бертрановым является лишь осцилляторный потенциал.

Как было сказано выше, далеко не все многообразия Бертрана могут быть вложены в К3 с сохранением инвариантности относительно действия группы вращений. Однако ранее никто не задаемся вопросом, какие же из бертрановских многообразий (то е сть многообразий вращения, на которых существует бертрановский потенциал в одном из рассматриваемых смыслов) могут быть реализованы вИ3 - целиком (глобально) или в окрестности какой-то параллели (локально). В диссертации этот вопрос рассмотрен и до13зано, какие из многообразий Бертрана могут быть реализованы — как глобально, так и локально. В частности, этот результат наглядно демонстрирует, каких многообразий не хватало в классификации Дарбу в решении задачи Бертрана для сильно замыкающих потенциалов.

Движение в поле гладкого центрального потенциала по многообразию вращения является, очевидно, натуральной гамильтоновой системой, обладающей дополнительными интегралами. В силу этих соображений естественной задачей является изучение интегрируемости этих систем, а в случае положительного результата — построение инвариантов классификационной теории Фоменко-Цишанга. Рассмотрением интегрируемых "бертрановских динамических систем" — движения по многообразию Бертрана в поле замыкающего (в одном из смыслов) центрального потенциала — занимался, например, М. Сапто-прете. Исследование показывает, однако, что бертрановская система не всегда является интегрируемой, поскольку её гамильтоновы потоки не всегда полны. Тем не минее, понятия бифуркационной диаграммы, отображения момента и слоения Лиувилля все равно оказываются осмысленными. В диссертации построены бифуркационные диаграммы для всех бертрановских систем с конфигурационным многообразием без экваторов и исследованы свойства отображения момента и слоения Лиувилля, в частности, исследовал о количество

и компактность прообразов точек в каждой камере образа отображения момента. Оказывается, что такие системы предоставляют простой и естественный пример интегрируемых систем с некомпактными слоями слоения Лиувилля. Следует отметить, что в отличие от компактного случая, для которого существует исчерпывающая классификационная теория Фоменко-Цишанга (подробно изложенная, например, в17), перестройки некомпактных слоев на сегодняшний день остаются малоизученными. Перестройки, возникающие в случае многообразий Бертрана, поддаются описанию и классификации (что сделано в диссертации), а потому данные системы можно рассматривать как простой и наглядный пример, полезный при построении общей теории классификации систем с некомпактными слоями слоения Лиувилля.

Цель диссертации

Диссертационная работа преследует следующие цели:

1. Классификация многообразий Бертрана без экваторов для классов замыкающих, локально, полулокально, сильно и слабо замыкающих центральных потенциалов.

2. Классификация многообразий Бертрана без условия на наличие или отсутствие экваторов для классов вполне замыкающих и устойчиво замыкающих центральных потенциалов

3. Изучение задачи о глобальной и локальной реализуемости многообразий из пункта 1 в виде поверхностей вращения, вложенных в пространство И3 с сохранением инвариантности относительно действия окружности.

4. Построение и анализ бифуркационных диаграмм гамильтоновых систем движения в поле центрального осцилляторного или гравитационного потенциала по многообразиям из пункта 1.

Методы исследования

В диссертации используются методы дифференциальной геометрии, лагранжевой и га-мильтоновой механики, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и заключаются в следующем:

1. Решена задача классификации пар Бертрана для случая римановых двумерных многообразий вращения без экваторов (заметно отличающихся от псевдориманова случая) и классов замыкающих, локально замыкающих, полулокально замыкающих, сильно замыкающих и слабо замыкающих потенциалов. А именно, доказано, что на многообразиях вращения с метриками из трехпараметрического семейства где (с, <1) € Ж2, ц. 6

потенциалы пяти перечисленных классов совпадают, при этом на многообразиях с метриками построенными в настоящей работе, таких потенциалов в точности два, а на прочих многообразиях семейства (для ненулевого параметра й) потенциал единствен.

17А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, "Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация", Ижевск, УдГУ (1999).

Более того, в первом случае потенциалами является обобщенный гравитационный и обобщенный осцилляторный, а во втором — только обобщенный осцилляторный. На иных многообразиях вращения без экваторов не существует потенциалов рассмотренных пяти классов.

2. Решена обобщенная задача Бертрана в случае вполне замыкающих и устойчиво замыкающих потенциалов на произвольных римановых двумерных многообразиях вращения (с экваторами или без них). Доказано, что в обоих случаях не возникает новых многообразий, помимо полученных в пункте 1. При этом "грушевидные" многообразия, которые при изучении задачи Бертрана на многообразиях без экваторов рассматриваюсь как пары многообразий, в данном случае целиком являются многообразиями Бертрана. Более точно, доказано, что все устойчиво бертрановы многообразия являются многообразиями без экваторов (и их семейство совпадает с семейством всех бертрановых многообразий без экваторов), а для вполне бертрановых пар приведено полное описание пар "метрика — центральный потенциал". Кроме того, доказано, что на цилиндрах не существует замыкающих потенциалов, причем в любом "поясе" между максимумом и минимумом любой замкнутой некруговой орбиты существуют как незамкнутые неособые ограниченные орбиты, так и бесконечное число замкнутых и попарно негомотопных орбит.

3. Исследованы геометрические свойства многообразий Бертрана, а именг:о, доказано, какие из многообразий с метриками ^ являются поверхностями вращенгя, т.е. могут быть вложены в К3 с сохранением инвариантности относительно действия группы вращений.

4. Для натуральных механических систем на многообразиях Бертрана (движение в поле осцилляторного бертрановского потенциала и движение в поле гравитационного бер-трановского потенциала) доказано, что они являются интегрируемыми гамкльтоновыми системами, доказана функциональная независимость интегралов, изучено отображение момента, в частности вычислены границы его образа, исследованы бифуркационные диаграммы и установлено количество и компактность слоев слоения Лиувилля в прообразе каждой точки образа отображения момента.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер.

Полученные результаты о метриках многообразий Бертрана дают наиболее полный на сегодняшний день ответ на обобщение классической геометрической и механической задачи о нахождении потенциалов, обеспечивающих замкнутость определенного множества траекторий движения точки. В частности, никаких результатов о существовании бертра-новских потенциалов на многообразиях вращения с экваторами ранее не существовало. Задачи такого рода возникают в современной космологии и теории относительности.

Полученные результаты о бифуркационных диграммах и образе отображения момента для натуральных гамильтоновых систем на многообразиях бертрана могут быть использованы при построение теории лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными слоями слоения Лиувилля.

Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на следующих всероссийских и международных научных конференциях:

XVIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 11-15 апреля 2011);

XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 8-13 апреля 2013);

XXI международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 7-11 апреля 2014);

международная конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. Крей-на - 2010" (Воронеж, 25-30 января 2010);

международная конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. Крей-на - 2012" (Воронеж, 25-30 января 2012);

международная конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. Крей-на - 2014" (Воронеж, 26-31 января 2014);

ежегодная научная конференция "Ломоносовские чтения" 2011 года (МГУ), посвященная 300-летию со дня рождения М.В.Ломоносова (Москва, 14-23 ноября 2011);

International Topological Conference "Alcxandroff Readings" Lomonosov Moscow State University (Moscow, May 21-25, 2012).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством акад. А.Т. Фоменко, проф. A.C. Мищенко, проф. A.B. Болсинова, проф. A.A. Ошемкова, доц. Е.А. Кудрявцевой, доц. И.М. Никонова, асс. А.Ю. Коняева, асс. A.M. Изосимова; 2010 - 2014 гг., неоднократно;

на семинаре "Узлы и теория представлений" под руководством проф. В.О. Мантуро-ва, доц. Д.П. Ильютко и доц. И.М. Никонова; 2011 - 2014 гг., пеоднократно;

на семинаре "Геометрия в целом" под руководством проф. И.Х. Сабитова; 2012 г. Публикации

Основные результаты диссертации представлены в 5 работах [1-5], 5 из которых из списка ВАК, список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 116 страницах и содержит 1 таблицу и 15 рисунков. Список литературы содержит 41 наименование.

Содержание работы

Во введении описывается структура диссертации и история рассматриваемых вопросов, обосновывается актуальность темы и научная новизна полученных результатов, описываются основные результаты диссертации. Кроме того, приводятся необходимые определения и классические результаты об обобщенной задаче Бертрана, используемые в диссертации.

В первой главе изучается обобщенная задача Бертрана на многообразии вращения без экваторов. А именно, в дополнение к возникающим в классических работах Бертрана, Дарбу и Перлика понятиям замыкающего, сильно замыкающего и слабо замыкающего центральных потенциалов вводятся понятия локально и полулокалько замыкающих потенциалов, а затем исчерпывающе решается задача классификации пар Бертрана для случая многообразий вращения без экваторов и этих пяти классов центральных потенциалов (тем самым решается пять различных обобщений задачи Бертрана). Доказано, что на многообразиях вращения с метриками из трехпараметрического семейства = ¿аЧс-^-2)1 + где (с' ^ € К2, /л 6 С2+ потенциалы пяти перечисленных

классов совпадают, при этом на многообразиях с метриками „ построенными в настоящей работе, таких потенциалов в точности два, а на прочих многообразиях семейства (для ненулевого параметра д) потенциал единствен. Более того, в первом случае потенциал лами является обобщенный гравитационный и обобщенный осцилляторный, а во втором — только обобщенный осцилляторный. На иных многообразиях вращения без экваторов не существует потенциалов рассмотренных пяти классов. Более точно, доказаны следующие теоремы.

Первая соответствует случаю Л = 0:

Теорема 1. Пусть дана гладкая двумерная поверхность 5, диффеоморфна.я (а,Ь) х 51, снабженная римановой метрикой

<18* = ¿г2 + /2(г)ф2

(т.е. абстрактная поверхность вращения). Пусть функция / удовлетворяет тождеству /"/ — (/')2 = —где £ > 0 рационально, т.е. / имеет один из следующих видов:

где с — половина скалярной кривизны Римана этой поверхности; в данном случае кривизна постоянна; 2тг£ — полный угол в конической точке поверхности (центре поля). Пусть, далее, функция f'(r) не имеет нулей на интервале (о, Ь). Тогда в классе центральных потенциалов на S существуют два и только два (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) полулокально замыкающих (соответственно локально замыкающих, замыкающих, сильно или слабо замыкающих) потенциала V\(г), Vi(г).

Случаю d ф 0 соответствует следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть дана гладкая двумерная поверхность S, диффеоморфнал (а, Ь) х S1, снабженная римановой метрикой

ds2 = dr2 + /2(г) V.

Пусть функция f не удовлетворяет тождеству /"/ — (/')2 = — £2 ни дгл какого рационального £ > 0, и пусть функция /(г) не имеет критических точек на (а,Ь). Тогда существует не более одного полулокально замыкающего (соответственно локально замыкающего, замыкающего, сильно или слабо замыкающего) центрального потенциала (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант). При этом потенциал ровно один (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) тогда и только

±i(r - го), с = 0, 4=sin(\/c(r-ro)), с> 0,

у/С

±-4= sh- г0)), с < 0,

V ' с

тогда, когда выполнено следующее условие: существует гладкая функция в = в(т) без нулей на (а,Ь), такая что в'(г) > 0 и риманова метрика в координатах (9,ip mod 2л-) имеет вид

2_ d92 dip2

~ (в2 + с - ¿в~2)2 + + с - dB-2)1 ^ '

где Iи — положительная рациональная константа, d — ненулевая константа, ас — произвольная вещественная константа.

При этом функция в(г) и тройка чисел {¡i,c,d) единственны (если существуют), и замыкающий потенциал будет являться обобщенным осцилляторным, т.е. иметь вид V2(r) = j^y + В, где Л,ВеК, А(в4(г) + d) > 0. Соответствующие неособые некруговые ограниченные орбиты задаются периодическими функциями г = г(ца) с минимальным положительным периодом Ф — 7г/х. На фазовой траектории, отвечающей круговой орбите {г} xS1 С (а,Ь) xS1, значение кинетического момента К равно К = ¿ц^т^д; граничная окружность {го} х S1, на которой достигается inf /(г) (т.е. supA|i(r)|j, является притягивающим центром поля с замыкающим потенциалом Vj (т.е. на ней достигается inf Vi{f)).

В качестве следствия непосредственно исследован частный случай задачи Бертрана на конусах. Показано, что конус является многообразием Бертрана (то есть на нем существует бертрановский потенциал одного из пяти рассмотренных классов) если и только если угол при вершине конуса соизмерим с 2т: (но не обязательно меньше 2тг; в последнем случае конус не может быть вложен в R3 сохранением инвариантности относительно действия группы вращений, но все равно является бертрановским многообразием).

Кроме того, подробно изучены геометрические свойства полученных многообразий и их бифуркации при изменении параметров (c,d). Показано, что все многообразия Бертрана (т.е. двумерные римановы многообразия вращения, на которых существуют "бертрановы" потенциалы) без экваторов образуют трехпараметрическое семейство ds^cd и могут быть описаны следующим образом (при = 1). На прямой {<i = 0} расположены многообразия постоянной кривизны: проколотые полусферы при с> 0, евклцдова плоскость при с = 0 и плоскости Лобачевского при с < 0. Полуплоскости {d > 0} отвечают "полубесконечные" многообразия вращения. Полуплоскость {d < 0} делится на две части левой ветвью параболы с2 + Ad = 0. В области справа от параболы находятся "грушевидные" многообразия с экватором, которые следует рассматривать как пары многообразий вращения без экваторов, каждое из которых является многообразием Бертрана и попарно эти многообразия являются аналитическим продолжением одно другого. Наконец, слева от параболы находится семейство пар полубесконечных многообразий, получаемых из грушевидных устремлением радиуса экватора к бесконечности и "разведением" половин.

Изменение параметра ц ведет к переходу от "базисного" многообразия к некоторому определенному и описанному в диссертации разветвленному накрытию над ним.

Вторая глава посвящена задаче Бертрана на многообразиях вращения без наложения условия на наличие или отсутствие экваторов, ранее не рассматривавшейся. Решена обобщенная задача Бертрана в случае вполне замыкающих и устойчиво замыкающих потенциалов на произвольных многообразиях вращения (с экваторами или без них). Доказано, что в обоих случаях не возникает новых многообразий, помимо полученных в теоремах 1 и 2, а также многообразий Таннери (многообразий вращения, все геодезические на которых замкнуты). При этом "грушевидные" многообразия, которые при изучении задачи Бертрана на многообразиях без экваторов рассматривались как пары многообразий, в данном случае целиком являются многообразиями Бертрана. Более точно, доказано, что все устойчиво бертрановы многообразия являются многообразиями без экваторов (и их

семейство совпадает с семейством всех бертрановых многообразий без экваторов), а для вполне бертрановых пар справедлива следующая теорема:

Теорема 3. Вполне бертрановы многообразия вращения (S,ds2), где S = (а,1■) х S1, вместе с вполне замыкающими центральными потенциалами V на S, с точностью до сопряженности пар (ds2, V) образуют пять семейств:

(i) сферичные "сферообразные" (т.е. постоянной положительной кривизны) 2-мерные римановы многообразия вращения (образующие 2-параметрическое семейстео, содержащее 1-параметрическое семейство круглых сфер с выколотыми полюсами) с гравитационным потенциалом на них,

(И) "рациональные" конусы с плоской метрикой (образующие 1-параметоическое семейство, содержащее проколотую евклидову плоскость) с осцилляторным потенциалом на них,

(in) "северные полусферы" многообразий из n.(i) с осцилляторным потнциалом на них,

(iv) грушевидные 2-мерные римановы многообразия вращения из теорем н 2 (образующие 3-параметрическое семейство) с осцилляторным потенциалом на них, где знак потенциала таков, что "основной" полюс является притягивающим, а "дополнительный" — отталкивающим,

(v) все многообразия Таннери, классифицированные в18, включающие многообразия из nn.(i,iv) и образующие "функционально-двупараметрическое" семейство (параметры которого суть два вещественных числа и нечетная гладкая функция h : (—1,1) (—1,1) с точностью до замены h —> —h), являющиеся либо сферичными и сферообразнгши (h = Q), либо грушевидными (h ф 0), с постоянным потенциалом на них.

Любые две вполне бертрановы пары (ds2,V), принадлежащие либо разным семействам, либо одному семейству с разными наборами параметров, не сопряжены. Римановы многообразия семейств (г) и (iv) составляют часть римановых многообразий семейства (v). Любые два римановы многообразия, принадлежащие либо разным семействам (ii,Hi,v), либо одному семейству (i—v) с разными наборами параметров, не изометричны.

Кроме того, доказано, что на цилиндрах не существует замыкающих потенциалов, причем в любом "поясе" между максимумом и минимумом любой замкнутой некрзтовой орбиты существуют как незамкнутые неособые ограниченные орбиты, так и бесконечное число замкнутых и попарно негомотопных орбит.

В третьей главе исследованы геометрические свойства многообразий Зертрана, а именно, показано, какие из многообразий с метриками ds\ifi являются поверхностями вращения, т.е. могут быть вложены в R3 с сохранением инвариантности относительно действия группы вращений. Ранее (например, из результатов Перлика) было известно, что не все многообразия Бертрана могут быть реализованы поверхностями вращения. В частности, поэтому классификация Дарбу не включала в себя ряд многообразий, например, плоскость Лобачевского. Однако в классических работах вопрос о реализуемости не поднимался. В диссертации доказано, для каких троек параметров {р, с, d) соответствующее многообразие реализуется целиком (глобальная реализуемость), а для каких существуют параллели на многообразии, некоторая окрестность которых может быть реализуема (локальная реализуемость); в последнем случае получены значения граничных параллелей максимальных по включению реализуемых подмногообразий. Более точно, доказаны следующие теоремы:

Теорема 4 (Глобальная реализуемость). Верны следующие утверждения о реализуемости римановъа многообразий Бертрана {h,c,d х S1, ds2tCd) целиком:

18А. Besse, "Manifolds all of whose geodesies are closed", Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag (1978).

1) Дополнительное многообразие не реализуемо никогда;

2) Основное многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда соответствующая тройка параметров (ц, с, (Г) принадлежит следующим областям: {> > 2, с > —с1 < 0} и {1 < /1 < 2, с > ё. < 0}, где К £ Нотео+((0,+оо),:К) - сохраняющий ориентацию гомеоморфизм интервалов, определенный формулой := ^ "ЩУ'' ^ •

Теорема 5. Риманово многообразие Бертрана реализуемо целиком в виде

поверхности вращения в И3 тогда и только тогда, когда оно является основным (к = 1) и тройка параметров (р., с, ё) принадлежит области, указанной в предыдущей теореме. Для остальных значений к, (ц,с,<Г) £ Ж3,ц > 0, верны следующие утверждения о локальной реализуемости многообразий Бертрана:

0) Пусть й = с = 0,0 < р, < 1. Риманово многообразие нереализуемо даже локально (т.е. любоя окрестность любой параллели нереализуема).

1) Пусть й = 0, с > 0, р. < 1. Реализуема часть многообразия, примыкающая к экватору {0} х 51.

2) Пусть <1 = 0, с < 0. При р. < 1 многообразие нереализуемо даже локально. При (I > 1 реализуема часть многообразия, примыкающая к полюсу {+ос} х 51.

3) Пусть <1 > 0, с < 0. При р. > 1 реализуема часть многообразия, примыкающая к полюсу {+оо} х в1; при р < 1 поверхность нереализуема даже локально.

4) Пусть <1 > 0, с > 0. При ц > 1 реализуема часть многообразия, примыкающая к полюсу {+оо} х 51; целиком риманово многообразие никогда не реализуемо. При 0 < р, < 1,—^ < к(р) реализуем "поясок" в окрестности параллели {—->/хо} х 51, отвечающей локальному минимуму хо > О функции г(х), края которого никогда не достигают граничных параллелей (т.е. полюса и абсолюта) многообразия Бертрана. Наконец, при О < р < I, > Н(р) многообразие Бертрана нереализуемо даже локально.

5) Пусть <1 < 0, с < —2\/—2. При 0 < р < 1 ни основное, ни дополнительное многообразие нереализуемо даже локально. При 1 < р., — ^ > Л(/х) реа-чизуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к полюсу {+оо} х 51. При р > 1, —^ < Ь(р) У основного многообразия реализуема часть, прилегающая к полюсу {-Нос} х 51, а у дополнительного реализуем "пояс" вокруг параллели {—у^о} х отвечающей локальному минимуму Хо > 0 функции г(х).

6) Пусть д, < 0, с = — 2\[—И. При р < 1 ни основное, ни дополнительное многообразия нереализуемы даже локально. При р £ (1,2) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к абсолюту {+оо} х Й1. При р = 2 реализуемо все основное многообразие. При р > 2 реализуемо все основное многообразие и окрестность абсолюта {■"У—д.} х й1 дополнительного.

1) Пусть д. < 0, с > При 0 < р. < 1 и у основного, и у дополнительно мно-

гообразия реализуемы части, прилегающая к экватору {^У—с!} х 51. При с > 0, р > 1 основное многообразие Бертрана реализуемо целико,ч, а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к экватору х 51. При с<0, р. = 1 и у основнго, и у до-

полнительного многообразия реализуема часть, прилегающая к экватору {^—3} х Б1; при р. > 1, —^ > Н(р) реализуемы часть основного многообразия, прилегающая к полюсу

{+оо} x S1, часть дополнительного многообразия, прилегающая к экватору {\f—dj х S1, и часть основного многообразия, прилегающая к экватору {•ty—d} х S1; при fi > I — |j < h(ß) основное многообразие реализуемо целиком, а у дополнительного — часть, прилегающая к экватору {v^d} х S1.

В каждом из случаев указанная реализуемая часть многообразия Вертарана максимальна в следующем смысле: любая окрестность любой параллели, не содержащейся в указанной части, не реализуема в виде поверхности вращения в R3.

Более того, в каждом из случаев границей реализуемой части многообразия Бертрана, прилегающей к полюсу либо абсолюту, является параллель, отвечающая ближайшему к полюсу (абсолюту) корню по в уравнения (04 + d)2 — /л204(04 + с02 — d) — 0; границами реализуемого "пояса" вокруг определенной параллели {£>0} х S1 являются параллели, отвечающие корням этого уравнения, ближайшим к во ■

В четвертой главе рассматриваются натуральные динамические системы на бертра-новских многообразиях без экваторов, полученных в предыдущих главах. Рассматривается два типа систем: движение в поле осцилляторного и движение в поле гравитационного потенциала (гравитационный потенциал изучается только для многообразий, для которых он является бертрановским). Для этих систем показано, что они являются гамильтоновы-ми системами с набором дополнительных интегралов (хотя и не всегда интегрируемыми по Лиувиллю), показана функциональная независимость интегралов, изучено оюборажение момента, в частности вычислены границы его образа, исследованы бифуркационные диаграммы и установлено количество и компактность слоев слоения Лиувилля в прообразе каждой точки образа отображения момента. Более точно, доказаны следующие теоремы:

Теорема 6 (Движение в поле осцилляторного потенциала). Для натуральных механических систем, описывающих движения в поле осцилляторного потенциала V(r) = ^ по многообразиям Бертрана Sk,c,d — h,c,d х S1 с метрикой ds^cd справедливы следующие утверждения об отображении момента, пополненной бифуркационной диаг^чхмме и слоях слоения Лиувилля:

(i) в случае сфер и конусов ({d = 0, с > 0}J пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой {К = 0} дуг бифуркационной диаграммы, каждая из которых запараметризована параметром в € (—оо,0), примыкающих к точке (0,0) на п.юскости (К.Е); прообраз любой точки кomopvx является окружностью, образованной критическими точками ранга 1; и луча {К — О, Е > 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу объединением дуг бифуркационной диаграммы и {(0,0)}, прообразом каждой ее внутренней точки является один компактный слой слоения Лиувилля;

(п) в случае полубесконечных поверхностей и плоскости Лобачевского ({d > 0}U{d = О, с < 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из пары симметричных относительно прямой {К = 0} "сплошных" дуг, каждая из которых запараметризована

параметром в е (—оо, —у ^ и), прообраз любой точки которых является окружностью, образованной критическими точками ранга 1, пары горизонтальных "пунктирных" лучей (включающих концы), прообраз которых пуст, горизонтального 'пунктирного" интервала, соединяющего верхние концы сплошных кривых, в прообразе каждой точки которого лежит один некомпактный слой слоения Лиувилля, а также луча {К = 0,Е > 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу объединением {(0,0)}, сплошных дуг и пунктирных лучей;

прообразом каждой его внутренней тонки, лежащей выше прямой, содержащей пунктирные лучи, или на пунктирном интервале, является один некомпактный слой слоения Лиувилля, а прообразом любой точки ниже этой прямой — один компактный слой;

(Ш) в случае пар полубесконечных поверхностей ({с1 < 0, с < пополнен-

ная бифуркационная диаграмма, образ отображения момента и слои слоения Лиувилля для основного многообразия устроены так же, как и в случае полубесконечных поверхностей, а для дополнительного многообразия пополненная бифуркационная диаграмма состоит из трех пар симметричных дуг: пары "сплошных" и двух пар "пунктирных" (включающих концы) и прямой {К — 0}, прообраз точек которой пуст; "сплошные" дуги

запараметризованы параметром в € (— у прообраз любой их точки явля-

ется окружностью, образованной критическими точками ранга 1; образ отображения момента — область, ограниченная снизу сплошными дугами и пунктирными лучами, с вершинами в концах сплошных дуг; прообразом каждой точки, внутри криволинейных треугольников, образованных сплошными и пунктирными дугами, является один компактный слой слоения Лиувилля, прообразом прочих внутренних точек образа является один некомпактный слой, а прообраз граничных точек, находящихся на пунктирных дугах, пуст;

(ю) в случае грушевидных поверхностей ({с1 < О, с > —2\/—3}) пополненная бифуркационная диаграмма, образ отображения момента и слои слоения Лиувилля устроены аналогично предыдущему случаю, однако сплошные дуги пополненной бифуркационной диаграммы параметризованы параметром в е (—оо,— У—3) для основной поверхности и в 5 (-\f-cl, 0) для дополнительной поверхности и устроены следующим образом: их верхние концы, соответствующие значению параметра в —► устремляются к

бесконечности по обеим координатам, и горизонтальные пунктирные дуги отсутствуют.

Теорема 7 (Движение в поле гравитационного потенциала). Для натуральных динамических систем движения в поле гравитационного потенциала У(г) = —Л|б(г)| по многообразиям Бертрана Б^о — //с,с,о х 51 с метрикой до справедливы следующие утверждения об отображении момента и пополненной бифуркационной диаграмме:

(г) в случае конусов ({с = 0}^ пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух сшшетричных относительно прямой {К - 0} дуг, каждая из которых запара-метризована параметром г £ (0,+оо), причел1 каждая из них имеет в качестве асимптот прямые {К — 0} и {Е = 0} на плоскости (К,Е), прообраз любой ее точки является окружностью, состоящей из критических точек ранга 1, "пунктирной прямой" {Е = 0} и прямой {К — 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу дугами бифуркационной диаграммы, прообраз любой внутренней точки, лежащей ниже прямой [Е = 0}, является компактный слой слоения Лиувилля, а прообраз точек выше и на этой прямой — некомпактным слоем;

(И) в случае проколотых полусфер и их "рациональных накрытий" ({с > 0},) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой {К — 0} дуг, каждая из которых запараметризована параметром г £ (0,тг/2), причем прямая {К = 0} является их асимптотой, прообраз любой их точки является окружностью, состоящей из критических точкек ранга 1, и прямой {К = 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу дугами бифуркационной диаграммы, прообразом любой внутренней точки является компактным

слоем слоения Лиувилля;

(iii) в случае проколотых плоскостей Лобачевского и их "рациональных накрытий" ({с < 0}) пополненная бифрукационная диаграмма, образ отображения момента и слои слоения Лиувилля устроены аналогично случаю конусов.

В частности, обнаружено, что бертрановские системы предоставляют простой и наглядный пример гамильтоновых систем с некомпактными слоями слоения Лиувилля. Это обстоятельство особенно интересно в свете того, что общая теория классификации таких систем пока не существует, а потому бертрановские системы могут послужить хорошим модельным примером при её построении.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постановку задачи и неоценимую помощь на всех этапах написания работы. Автор благодарен своему научному руководителю доценту Е.А. Кудрявцевой за обсуждения работы и ценные замечания. Автор благодарен профессору A.B. Бол-синову, профессору A.A. Ошемкову, профессору A.C. Мищенко, профессору К.Х. Сабитову, профессору В.О. Мантурову и O.A. Загрядскому за полезные обсуждения. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ за поддержку и царящую на кафедре творческую атмосферу.

Основные публикации автора по теме диссертации

Из официального Перечня ВАК:

1. О. А. Загрядский, Е. А. Кудрявцева, Д. А. Федосеев, "Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения", Матем. сб., 203:8 (2012), 39-78. (Федосееву Д.А. принадлежат формулировки и доказательства теорем 5, 6, формулировка следствия 2 (пункты А, В))

2. О. А. Загрядский, Д. А. Федосеев, "О глобальной и локальной реализуемости римано-вых многообразий Бертрана в виде поверхностей вращения", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 3 (2015). (Федосееву Д.А. принадлежит введение, случай 2 леммы 1)

3. О. А. Загрядский, Д. А. Федосеев, "О явном виде метрик Бертрана", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 5 (2013), 46-50. (Федосееву Д.А. принадлежит теорема 1, случаи 1-4, 6-7 теоремы 2)

4. Е. А. Кудрявцева, Д. А. Федосеев, "Механические системы с замкнутыми траекториями на многообразиях вращения", Матем. сб., 206:5 (2015), 107-126.

5. Д.А. Федосеев, "Бифуркационные диаграммы натуральных гамильтоновых систем на многообразиях Бертрана", Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 1 (2015), 62-65. (Федосееву Д.А. принадлежат пример 1, формулировки и доказательства предложения 1, лемм 1 (а, с) и 2 (а, d), леммы 4 (В) в части незамкнутых орбит, теоремы 1 в части общего хода доказательства, случая семейств (ii, iii) и классификаций бертрановых многообразий и пар с точностью до изометрии и сопряженности, теоремы 2 в части случая осцилляторного потенциала)

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ЮО экз. Заказ №.27