Конструктивные методы анализа систем со счетным числом распределенных параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи МЕНЕНДЕС РОДРИГЕС ТОМАС ДАНИЭЛЬ

УДК 519.6+517.9

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

Специальности 01.01.07 — Вычислительная математика

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1992

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического университета имени А. И. Герцена

Научные .руководители:

— доктор физико-математических наук профессор

МАТВЕЕВ Н. М.,

— кандидат физико-математических наук доцент

ВАВИЛОВ С. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук профессор

КУШ КОВ и. и.

— доктор технических наук профессор МЕНЬШИКОВ Г. Г.

Ведущая организация —, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится «2-Ь » ф < 1992 г. в часов,

на заседании специализированного совета К 063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знэмени государственном университете по адресу: г. Санкт-Петербург, В. О., 10-я линия, 33

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Автореферат разослан « 1

1992 года

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

. В. Ф. ГОРЬКОВОЙ

Зак. 2126 Подп. к печати 17.01.92 Печ. л. I Уч.-изд. л. 0,75 Тир. 100 Ротапринт Бесплатно

Тип. ВИККИ им. А. Ф. Можайского

г —

»Wc'.'-t&iii Я.. i .. . ; i ^ I

•Xi^i-fl I 0НЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что широкий класс математических целей, описывающих реальные процессы в физике, технике, биологии, ологии может быть представлен в виде тех или иных систем уравне-8, содержащих счетное число неизвестных.

Так, редукция ряда задач математической физики в конечном ито-приводит к рассмотрению счетных систем нелинейных алгебраических авнений.

Методы исследования широкого класса нерезонансных краевых за -ч математической физики путем их сведения к соответствующим счет-мерным системам обыкновенных дифференциальных уравнений подробно осматривались в ряде статей и монографий Аргемова H.A., Еоголвбо-Н.Н., Вайнберга М.М., Гребеникова Е.А., Рябова Ю.А., Крылова Н. , Митропольского Ю.А., Самойленко A.M., Соколова Г.Т. и др.. Од-м из актуальных здесь является вопрос о разрешимости задачи Коши я счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на за -нном промежутке для независимого аргумента. Отметим, что теоремы кальной разрешимости задачи Коши в бесконечномерных банаховых остранствах были получены в работах Красносельского ¡A.A., Крейна Г., Кибенко A.B., Мамедова Я.Д., Каменского A.C., Ахмерова P.P., довского Б.И. и др.,

Кроме того, при построении математических моделей конкретных зических явлений возникают краевые задачи для нелинейных диффе-нциальных уравнений в банаховых пространствах, вырожденные в том нсле, что их линейная часть является необратимым оператором. Та-е задачи называют резонансными краевыми задачами. Одной из таких дач является проблема существования периодических решений для етных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих лый параметр в правой'части. Конкретные модели физических явле -й приводящие к резонансным краевым задачам для дифференциальных авнений в частных производных рассмотрены в работах W-X Mors sen и этом, в случае, когда ядро соответствующего линейного операто-является счетномзрным, а нелинейные составляющие носят характер лых возмущений, подобные задачи обычно сводятся к рассмотрению ециального класса операторных систем со счетным числом равномер-ограниченных функционалов.

Особенно важную роль для приложений играет возможность не то-ко предсказывать существование точных решений представленных есь систем со счетным числом неизвестных, но и указывать алгори-

тмн, обеспечивающие построение приближенных решений, аппроксиш ющих точное в определенной метрике оо сколь угодно большой стел точности. Однако, на этом пути возникает ряд существенных затру ний. Так, при построении решения счетной системы нелинейных алг

ических уравнений может оыть использован, при выполнении одреде ных условий, итерационный процесс Ньютона, обобщенный Л.В. Кант вичем на случай произвольных банаховых пространств. Однако, вел твие счетномерности исходной системы уравнений, практическая ег реализация не представляется возможной. Именно поэтов ванным я ется ответ на вопрос о построении указанного точного решения, с бой наперед заданной точностью, исходя из редукции исходной сис к некоторой, надлежащим образом подобранной "укороченной систел позволяющей строить аппроксимирующую последовательность исходя из рассмотрения конечномерных систем нелинейных алгебраических внений. Отметим, что данное замечание в тавной степени относитс к другим, указанным выше задачам. В свою очередь вопросы связш с разрешимостью и алгоритмами построения решений конечномерных тем нелинейных алгебраических уравнений подробно рассмотрены, I пример, ОртегоЙ Две. и Рейнболдтом В.

Объект исследования. Изучаются перечисленные выше задачи включающие в себя проблему разрешимости счетных систем нелине& алгебраических уравнений, резонансных краевых задач татематичес физики, проблему разрешимости задачи Гоши для счетных систем ос вовенных дифференциальных уравнений, а также конструктивные мео да построения соответствующих решений.

Цель работы.

- Разработка и обоснование редукции счетных систем'нелинейных гебраических уравнений к соответствующим конечномерным система!

- Получение эффективных признаков разрешимости специального ю са операторных систем, содержащих счетное число равномерно огрг ченных функционалов и обоснование итерационного метода построе* их решения.

- Применение полученных абстрактных результатов к конкретным I ктически важным резонансным краевым задачам математической физ!

- Получение эффективных признаков нелокальной разрешимости зад Коши для счетных 'систем обыкновенных дифференциальных уравненш и построение алгоритма нахождения соответствующих приближенных шений.

Общие методы исследования. Используют технику теорем сравне-теорию уплотняющих операторов. Кроме того, широко использу-зя и другие общеизвестные методы функционального анализа. В час-эсти, использованы результаты теории линейных операторов и опе-горных уравнений в банаховых пространствах, методы нелинейного якционального анализа, теория резонансных краевых задач для обы-овенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие положения,опре-лявдие научную новизну результатов диссертационной работы: Сформулирована теорема об "укорочении" для счетных систем нели-йных алгебраических уравнений;

Получены достаточные условия разрешимости операторной системы ециального типа, содержащей счетное число функционалов и указана ерационная процедура построения ее точного решения. На основе по-ченных результатов исследована разрешимость и построены прибли -иные решения резонансной периодической задачи для дифференциаль-х уравнений в частных производных гиперболического типа, содержа-х малый параметр;

Получены достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Ко. для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в ус-виях непрерывной, но недифференцируемой.правой части (аналог тео-ш Пеано ) ;

В условиях повышенной гладкости правой части счетных систем обыденных дифференциальных уравнений сформулирована теорема об "уко-чении" для соответствующей задачи Коши, дополняющая известные ре-льтаты Персидского К.П. и ЗКаутыкова O.A.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. >лученные результаты позволяют развить новые конструктивные методы гализа систем со счетным числом распределенных параметров. К ука-шным системам относятся:

Системы, описываемые счетным числом нелинейных алгебраических завнений.

I. Системы, описываемые счетным числом обыкновенных дифференциаль-IX уравнений и уравнениями в частных производных.

Предложен новый метод исследования резонансных краевых задач гтем их редукции к специальному классу операторных систем, содер-

Вавилов O.k. -ДАЛ СССР, 1390, Т.312, И, с.787 - 7S0 ; - ДАН ЗСР, 1991, Т.316, Ж, с. 22 - 26.

жащих счетное число функционалов, который, являясь достаточно ос одновременно позволяет исследовать разрешимость и находить дриб. женное решение широкого класса практически интересных задач тео] дифференциальных уравнений и математической физики.

Практическая ценность. Системы со счетным- числом распредел! параметров возникают в теории нелинейных колебаний, в теории уп] ния, в теории электрических цепей, в проблемах экологии и в дру] областях естествознания, связанных с построением математических делей, учитывающих счетное число воздействующих факторов.

Разработанное методы, с одной стороны позволяют получать н< признаки разрешимости соответствующих задач, дают конструктивны* горитмы построения приближенных решений, а с другой стороны поз: ют отвечать на вопрос о существенности влияния тех или иных фаж* на поведение системы'в делом.

Рассмотрены приложения полученных результатов к изучению ю следованных ранее практических важных проблем из теории нелиней: алгебраических уравнений, теории краевых задач для счетных сист! обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математичес: физики. Кроме того, полученные результаты относительно задачи К для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений позв^ ют эффективно проверять возможность ее укорочения для конкретны; практически интересных классов систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладив; и обсуждались на. семинаре академика Ю.А. Штропольского в мате; ческом институте "АН' УССР , 'Киев, 1991 , на Пермскою семинар функционально-дифференциальным уравнениям (руковод. проф. Н.В. . белев), 1991 , на Герценовских чтениях в Российском государствен педагогическом университете им. А.И. Герцена, 1991 , на третье веро - Кавказской Региональной конференции "Функционально-диффе; циальные уравнения и их приложения" Махачкала, 1391 , на семи кафедры информационных систем Санкт-Петербургского государствен университета (руковод. проф. Н.Е. Кирик), 1391 , на семинаре ка математического анализа педагогического института иы. X. Марине, р. Куба, 1991 .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ботах I - 4 .

Стотктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, глав, заключения и списка литературы. Она содержит 67 страниц м

писного текста, включая библиографический список из 40 работ оте-¡ственных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТА1Ш

Во введении обоснована актуальность выбранного направления ис-¡дования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и придана аннотация результатов диссертации.

В .первой глава рассмотрена задача о разрешимости операторного >авнения

Т(у) = О (I)

: Е.,—-»Ег . Е., , Ег - банаховы пространства с нормами п • it 4 , • iij. соответственно. Доказана теорема сравнения позволяющая су-[ть о разрешимости уравнения (I) по разрешимости некоторого вспо-згательного уравнения т" (у) = ' 0 .

Как частный, рассматривается случай, когда Е., = Ez = Е - счет-)мерное банахово пространство с базисом {£¿17 » е<-} ^(OjijOi-..} , ... и нормой II у ИЕ = s«p I у г I . Тогда уравнение [) представляет собой счетную систему нелинейных алгебраических равнений. В диссертации доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть уравнение Т(у) = 0 имеет решение у* и, зоме того, существует число я>о такое, что для всех у : v-y*ile -i R- выполняются следующие условия:

1. Т'Су) » Т'(у) непрерывны, причем Г'(у") - непрерывно обрата и имеет место оценка III С т'с^оЗ"1 UlsS'jC^* 0} • Здесь (у) . Т'(у) представляют собой счегномерные матрицы Якоби с эле-знтами ti^iy)- ^сч)»^^соответственно. Норма счетномер-зй матрицы Якоби hcy) с элементами ^¿.cv) определяется формулой И(чИ\\= suf , и как нетрудно заметить, она согласована указанной выше нормой вектора из Е.

2. IIT<V) - ^tcv) Не i >

3. HIt'(V)-T4V)III < ys 3

4. О < i III тЧу) HI * Va. ,

5. « =/3 OV^/) * < 4

6. Для каждого I = I, 2, ... и для любых x , у из указанного ара имеет место оценка

1!^ (у>-|%сх>1 < i^ll у~х Ме , >

Нумерация формул в автореферате отличается от нумерации в диссер-авди.

где постоянные it\ образуют сходящийся ряд -^¡^Ч > причем suf ¿Ll hi i < . При 'этом

I 'л оо к

Тогда в шаре Ну- y*i!E i v сисгет Т(у)= 0 имеет по краз мере одно решение $ .

Таким образом показано, что решение счетных систем нелиней алгебраических уравнений, при выполнении определенных условий, j но построить исходя из итерационной процедуры Ньютона. Однако вследствие счетномерности исходной системы, практическая его ре; зация не представляется возможной. Именно поэтому важным являет« ответ на вопрос о построении указанного решения, с любой напере, • заданной точностью, исходя из редукции исходной системы к некот' надлежащим образом подобранной "укороченной системе". Основной ; зультат первой.главы состоит в следующем утверждении.

Теорема 1.3. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2, при ряда «о ю ^

ZJf^M и

и< * Vе < *

сходятся равномерно по 1=1, 2, ... , и для всех у из шара

|| у - у* II е s v . Кроме того, существует натуральное число Ы< такое, что для любого , любого L(L>r\l") и любых х . У

шара И У - у* II £ * б. справедливы соотношения: А) К (Y<,7a»-->- Tl СуГ> yt г fn+ч *'' 1 4 5

гда fec^^ = 0

Б) Для любого фиксированного N (. N > ^ сГ)

где ^> fJ и Sl^ij £ —=> О при ы —со .

Тогда, для всех достаточно больших N "укороченное" уравне

( Т!-(У)= \тгСуГ>"->У:> W-'O * /

имеет решение Уы , такое, что Ну''- у Не—* о при где у - точное решение уравнения Т ( у ) = 0 .

Замечание. Отметим, что "укороченная" система Т(у) = О спадается на две несвязанных подсистемы: - о

; > n) , имеющая в соответствие с условиями теоремы решение >'йй>"' и конечномерную подсистему -TiC-it,~ О Приведены конкретные примеры использования теорем 1.2 и 1.3. Вторая глава посвящена исследованию разрешимости следующего асса операторных систем относительно неизвестных и с В л , ot с Е . U = £ F ( и, "О (Z")

<Di (а, «О, > = О 3)

£= - •

е F : Ej-x Е —»Ej и Dt : Ej * Е —* Е2 (1 = 1, 2, -

раниченные операторы; Е^ , Е2- банаховы пространства с нормами I ■ II £< , || • || £t соответственно, Е - счетномерное банахо-пространство с базисом {^¿ТГ > = (1, 0, 0, ...") , °г. - (О, i, 0, ...) , ... и нормой II* llE= l-^i t, =< = eL рез < •j обозначены значения равномерно ограниченных по I нкционалов е. , L = I, 2, ...

ПОЛОЖИМ 5 =СТ<1«1;Т](«Ч;..,) .

Доказано следующее утверждение являющееся основным результатом орой главы.

Теорема 2.1. Пусть операторы F , D; (l = I, 2, ...") непре-вно дифференцируемы по Фрезе по и по и в каждой точке (и,»О их области определения. Пусть уравнение Т(°о = О имеет реше-е <•<* ; при этом в некоторой окрестности точки <*:* : н^-сс'Не * R о) выполняются следующие условия:

1. Матрица Якоби Т '(<=0 непрерывно обратима и имеет место оценка

" III т'с**> Ц| i ^ > О

е III ft«) 111 = sup f_ \ 1

2. Для любых «с , i из указанного шара и всех и , у из не-торого шара конечного радиуса i : ll и 4|£< < ч. и для любого

= 1, 2, ... имеют место оценки:

III^U;")- РиОЛ1 ill 6 мг ( I'"'4' 11 + Н »< - П И Е ^ , III o'i cu,«)- о\ i мг( iiu -v n£< + u*-- ails') у

б/ III ^(u,*)-^, i)l|l 5 Я ( HU-v/HE, * !I«-1UE ,

-1)111 *

В/ ¡11 (UjO<) III «

III D'i^.cu,«.)!!! i _

причем *Г/ * * < « >

Здесь через ill • ill обозначены нормы соответствующих линейных one] торов.

Тогда задача (2) , (3") разрешима для всех достаточно малыэ и следующая последовательность систем уравнений относительно вез ра , к = I, 2, ...

< Dc(uK,«x*) , > О W* в О 1 uKt< = £ F С UKj к ) имеет на каждом к-ом шаге решение о< такое, что последователь! ти (ukjo<k) сходится по норме к точному решению системы (,2), ( Си , А) и имеют место оценки

|Ju«-ul l£<=0U*) * I! * \\е = ОСе*") Важность рассмотрения указанных операторных систем состоит том, что к ним можно привести ряд актуальных краевых задач для i тных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений частных производных. Так, в параграфе 2,2 рассмотрена следующая дача: .

XiCp) - XtCo^ - О ((,)

t , х = x(t) = (*<M» Хг(i)y-)t /¿:Lo,i>3xE—► l

- непрерывные по совокупности переменных t , х функции, таки что ¿со,*) = /¿<л>*) для всех хеЕ , где Е - счетно/,-ерно банахово пространство введенное в рассмотрение в первой главе, < малый параметр.

Пологая х^Ш- и вводя в рассмотрение счетноме

вектор о< = хсо) , т. е. х-^о") , задачу (5) , (б) можно реписать в виде операторной системы (2) , (з) относительно неиз тной вектор-функции 2We С(со,рз, е ) с нормой II z ||Се = глл.х I z^tt) | и счетномерного вектора £>< :

2Н> - £ /.( 2(514 Х> ¿5 (?)

ь- О с

( / (Я, 2 < 51 + «О Л 5 = 0 Св) о '

ПОЛОЖИМ > ^ I оО = СV Т, < «О > • • О .

Из теоремы 2.1 вытекает следующее утвервдение.

Георема 2.2. Пусть уравнение Т(°о= 0 имеет решение «г* , пра том в некоторой окрестности точки : II <*-«<* IIЕ £ Р. ?

х-<** IIе - | «ч;. - а* \ , выполняются следующие условия: I. Функции /¿(^х) (1= I, 2, ...) и Есе их производные до вто-ого порядка включительно непрерывны по и Со,яЗ и е< из указаг-ного шара. „

в2.^Для любого ¿ = 1, 2, ... ряда I эх^С* , | ,

^ I (<,«••) сходятся равномерно по << из указанного

ара "и по te.Co.pj . Кроме того, существуют хотя бы два натураль-ых числа I , \ , такие, что

л ф о

3. Счетномерная матрица Якоби т'(°0 непрерывно обратима в указа-нсм'шаре.

Тогда задача (7) , (8") , и соответственно (5) , (¿1 , имеет ри всех достаточно малых £ , по крайней мере одно решение для «< з указанного шара, которое может быть построено при помощи следую-зй итерационной процедуры:

Ср £ (5, г"< »,о + «х'1 > = О \ '

1 , г, •• • , ... ^^

аЧ«/« = (0,0,-'О , о<-,= е<*' ,

2*и*.е) = £ 5*/. (¿,2*45,0+«О ¿5

о

Предположим, что функция правой части системы (7) может быть редставлена в виде ( б , н <з> + <*> = <п (5, 2(55 + «") > не а1 (1 = 1, 2, ..О - постоянные такие, что 0.;.= О

^ £ оо

ри этом /ЧЪ»*) удовлетворяет тем же условиям, что и предположениях теоргмы 2.2. В указанных предположениях имеет мес-з следующее утверждение:

Теорема 2.3. Если существует натуральное число Н0 такое, го для каждого натурального М ( ы >,, ьО . всех о< из шара к. и любого $ ^еЕо^]") выполняется соотношение

г«, * Хы

причем I«-ч» о при ы —оо , то вместо итерационной процедур (ч) теоремы 2.2 для построения приближенного решения задачи

г^-п = £ <и /¡.ч^гсзя-оО^з Йо)

р

+ ¿з =0 ОО

можно воспользоваться ее "укороченным вариантом", а именно: следз ющая последовательность систем уравнений относительно вектора «г'

| (5, гя'м(5, о + *л'м ) Л 5 = о

о *

¡•-<,1,-^ í 2"'^= О, О,--.) >

£,'*,<s.í>aCoJo,..0 » »«W-) » Л**

= sai Je £cs,

IS

¿= ы

разрешима на каждом л-ом шаге (n = I, 2, .для всех досг'а точно больших м , причем имеют место оценки

ft —»со и —» Оо

где г , ¿с - точное решение система (-fo) , {11) .

Приведены конкретные примеры использования теорем 2.2 и 2.3 В параграфе 2.3 рассмотрено приложение теоремы 2.1 к резона] ной периодической задаче для для дифференциальных уравнений в ча< ных производных гиперболического типа. Здесь рассматривается дифс ренциальное уравнение в частных производных

и соответствующая ему краевая задача UttjO) = Uíi, тт) = о U (гтг, х} - U (0,х> ■= О u'tU-tr,x) - U^Co,х) =■ О

Из результатов параграфа 2.3, в частности, вытекает, ч если / (-(, х } = £ (tfcosx + Ou + С kti,X.) J

Oft

где' x)= ¿L*»*'*5 sinKx , причем имеет место равномерная п

t е Го, гтт) оценка í¿(f)UjL <,v>b) , то задача й z),

леет класическое"решение. Приведена итерационная процедура постро-шя указанного решения.

Третья глава посвящена исследованию разрешимости задачи Коши ш счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В пара-)афе 3.1 исследуются условия нелокальной разрешимости задачи Коши тя счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в усло-1ях недифференцируемости ее правой части.

Рассматривается счетномерное банахово пространство Е с бази-т > е4 = С<,°/°> • • •") з ег-Со,4,о, • ,

нормой Н u И £ =■ ! I , где u е £ , и - ¿Lui & i

В указанном банаховом пространстве рассматривается дифференци-ibHoe уравнение

4* /С №

dt

ставится вопрос о существовании решения задачи Коши К С О) = х°

ш уравнения (•14) на заданном промежутке по * б Со,т] ,

Исходя из теории мер некомпактности для уплотняющих операторов жазан следующий аналог теоремы Пеано для счетных систем обыкнове-шх дифференциальных уравнений.

Теорема 3.1. Пусть выполняются следующие условия:

1. Оператор f-. Со,тз х.£ —» Е непрерывен и ограничен на глнонест-! £2= Ео,тл X Dr 1 Dr.= {x£E :(|х-х°|1б б р. ] , причем существу' постоянная V такая, что Лйя всех £2. имеет место денка II ^ttyX^lle £ V

2. Я:* | х? I = о

3. Для любого хе Dr существует равномерный по t е Со^тЛ

лт: л*«,*» . к

i—>а> I X ; I

¡е к - постоанная.

4. tf-T й (К. , Т- К < i

Тогда задача Коши Oil , (15) разрешима на заданном промежутке

о, тЗ .

В параграфе 3.2 сформулирован принцип "укорочения" задачи Ко: для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь дача (-14) ,(45) рассматривается в указанном Еыше банаховом прос-эанстве Е на заданном промежутке по t £ Со,гЗ . В рассмотрение

вводится множество D = { а, х) : о s t s т, ц * - ||Е $ r } , где Л - некоторое положительное число. Доказано следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пусть существует положительное число R. , таг что для всех Ct\, х) из множества О выполняются следующие услов!

1. Функции fi(t;X) и g^c-t,>0 (¡,>. = -t,z,...) непрерывны по сс купности переменных t , х из области D , причем для любых

Ct,x) е О имеют место оценки

| | й 0.1 J

и справедливы соотношения „о

J/nn а^. = о и IZI Ьа < к < .

i-»oo i i

2. Для любого se Со,тЗ и всех к , у из шара II* справедливо соотношение

I ( 5/Х') — 3/cCS,Y)l £ С с. и || >4 -V Не С I - ' ' " S '

причем ~ С °° ♦

3. т- а б R и т-к < Н , где а= 1 о-П .

Тогда задача (-Н) , (.-15) имеет ровно одно решение xtf) к заданном промежутке по t с Со,-О и следующая последовательное! "укороченных" задач СМ =1, 2,

, , - -О

ХгСо) = X?

г = • •• j ы >

имеет ровно одно решение t) , причем следующая последователь

НОСТЬ (х^Ш, • • • ; Ш> > J . . •)

сходится по норме в С(Со,тЗ;е) к указанному точному решению :

\\ - X \\с -О при

со

N

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вавилов С.А., Менендес Т.Д. Теорема об условиях нелокально! разрешимости задачи Г.оши для счетных систем обыкновенных диу ференциальных уравнениЛ // Функционально-дифференциальные уравнения : Межвуз. сб. иаучн. тр. / Перм. политех, ин-т.

- Пермь, 1991, с. 126 - 131.

2. Вавилов'; С.А., Менендес Т.Д. О разрешимости резонансной nej одической задачи для счетных систем обыкновенных диффвренциг

ных уравнений // III Оеверо-Кавк. регион, конф. : Тезисы докл. -Махачкала, 1991, с.37.

ponencio-s. -Holiumj СуЬл , Ыои. - -И«? 1 .

1. Менендес Т.Д. Конструктивные методы решения резонансной периодической задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. ./ Принята к депонированию в РЖ) РГПУ им. А.И. Герцена 15 ноября 1991г.