Операторный метод исследования резонансных задач механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЕ! ГОСУМАРСТВЕНИЫ1ЧгУЛт№ГА!Т-ЕТ

На правах рукописи

ВАВИЛОВ Сергей Анатольевич

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОЛ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

01.02.01 ~ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

01.01.02 - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте точной механики и оптики,

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Г. А. Леонов , доктор физико-математических к_-ук, профессор B.C. Максимов доктор физико-математических наук, профессор Р.Ф. Кагаев

Ведущая организация — Научно-исследовательский институт

механики и прикладной математики РАН при Ростовском Государственном Университете, г. Ростов-на-Дону

Защита состоится ¿MJl/Zj 1993 г. в часов

на заседаний специализированного совета Д 063.57.34 по заците диссертаций , на . соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 198904, г. Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная плоцадь, 2, математико-механический факультет, аудиуоркя 3534.

С • диссертацией можно ознакомиться в Научней библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу ; 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская нао., 7/9.

Автореферат разослан " ¿f" ;993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

С.А. ЗЕГКДА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы.'в связи с резким усложнением конструкций различных технических систем . весьма

актуальной становится проблема обеспечения •• - их устойчивого функционирования. Последнее , означает, .' что малому •.изменение собственных параметров системы, а также малому внешнему воздействию, изменявшему условия, ее •функционирования, должны соответствовать и малые флуктуации ее выходных характеристик. Например, все современные транспортные, строительные, инженерные, объекты. ряд объектов космической техники военного . и Исследовательского назначения, приборы, оборудование и так далее, имеют в конструкциях большое число систем балочных элементов, Разнообразные внешние воздействия, на эти объекты (ветер, волнение, ударные Нагрузки, вибрационные воздействия) возбуждает колебания в системах балочных элементов, что в определённых условиях приводит к нарушению нормального функционирования объектов и вредному воздействию на обслуживающий персонал, а в критических ситуациях может привести к ' разрушению конструкции. Наиболее опасная ситуация возникает в случае резонанса, то есть при близости частот внешних воздействий к некоторым характерным ("собственным") частотам колебаний балочных конструкций, в результате чего даже небольшие по амплитуде внешне воздействия, могут привести, в конечном итоге, к катастрофическим последствиям, Аналогичная ситуация имеет место и в оболочечнкх конструкциях, когда критическая нагрузка, под которой' понимается наименьшая нагрузка При которой начальная форма равновесия перестает . быть устойчивой, может оказаться весьма чувствительной • к малым иеравноиернсстям нагружения и малым несовершенствам начальной формы оболочки. -

Проблема обеспечения устойчивого функционирования различных систем является весьма общей, поскольку к ней сводится большое число конкретных и практически важных 'задач естествознания и техники. Если основные, представления указанного научного направления первоначально схладквались под воздействием задач устойчивости упругих систем, то в настоящее время весьма актуальной становится проблема их распространения на системы, в

осноБе функционирования которых лежат волновые процессы, в том числе и на сложные оптико-акустические системы.

Объект исследования. Диссертационная работа посвящена разработке математических методов исследования указанных выше резонансных задач механики. Возникавшие здесь проблемы являются весьма сложными и, как следствие этого, для широкого класса, практически интересных случаев, известные классические методы не всегда дают ответы на поставленные вопросы. Так анализ уравнений разветвлен«" не всегда осуществим на основе техники диаграмм Ньютона, поскольку получающиеся в результате редукции исходной задачи уравнения разветвления далеко не всегда содержат малый параметр, а действующие возмущения являются аналитическими. -При этом возникает ряд существенных трудностей, связанных, в частности, с возможность!) применения классической теоремы о неявной функции и построением конкретных оценок для входных параметров исходной задачи, обеспечивающих ее разрешимость. Кроме того, чем конструктивно сложнее исходная техническая система, тем соответственно более ■сложными получаются указанные уравнения разветвления, что очень часто в конечном итоге делает эту задачу На основе метода диаграмм Ньютона практически неразрешимой, В этой связи было бы весьма желательным, в случае достаточно обцих предположений, получить строгие результаты относительно разрешимости уравнений разветвления, в терминах исходного операторного уравнения, порожденного рассматриваемой 'физической задачей,

Указанные операторные уравнения для широкого класса задач,

------встречающихся___8-~ приложениях,.... в.. ___.том. числе при исследовании

•возникновения поперечных колебаний балки, вызванных эффектом параметрического резонанса, и устойчивости тонких оболочек под действием неоднородных нагрузок, могут быть записаны следующим образом1 ■

£х » Х^х. (0,1)

£х * X Нх + Гх (0.2)

где х - оператор Фредгольыа с нетривиальным ядром, н

Нумерация формул, утверждений и обозначения автореферата и диссертации полностью совпадает.

произвольный линейный ограниченный оператор, f - . нелинейный оператор, по) = о, х с иг. Ставится задача о б условиях существования нетривиальных решений операторных уравнений (0.1),(0.2), при этом в линейном случае, соответствувцемууравнению' (о,1), ицутся решения, отвечающие значению спектрального параметра х * о. Особый интерес при это1.1 представляет, собой вопрос о качественно:.; и количественном характере распределения соответствующих значений спектрального параметра \ для уравнения вида (0.2). Как показано в главе i, пункте' 4.Э, диссертации, поставленные таким образом задачи к: о гут быть сведены к проблеме суцествования произвольных решений операторной системы следующего вида

и = r'nu.íi (03)

< D (u,í),V > = 0 , j = 1......

относительно неизвестных элементов u е ё, 5 е En ¡ sj1 е°-> е -линейный ограниченный оператор ; f : Ex¡Rn-> е° и : е*К"-> ej -нелинейные операторы ; ^ - функционалы, в обцем случае не обязательно линейные ¡ е, е" и éj - произвольные банаховы пространства. Проблема разрешимости системы уравнений разветвления (0.3), в том числе и содержащей малый параметр с,

u = f^'fíu.í) (0t4)

< D (u ,5 ) ,¥> > = 0 , j = 1 , . . . ,n

составляет один из основных объектов исследования диссертации. При этом частным случаем операторной системы (0.3) является хорошо известная система уравнении разветвления Ляпунова-Шмидта

u = ¡c;V(u + Ьл) (0.5)

i 3! 1

< F fu + £ 5 .1?. } , ц>. > = 0 , j = 1, . . . , n .

k i.i 1 J

Кроме того, при построении математических моделей конкретных физических явлений возникают краевые задачи как для линейных так и для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах вырожденные в том смысле, что их невозмуценная линейная часть соответствует необратимому оператору. Такие задачи называют резонансными краевыми задачами. Однсй из таких задач является, например, проблема суцествования периодических решений для конечных

и счетных -систем обыкновенных дифферевздальнкх уравнений содержащих малый параметр в правой части. Конкретнее модели физических явлений ; приводящие к резонансным краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных широко встречается & приложениях,, в том числе и при исследовании критических режимов функционирования Высоковольтных линий передач,1 При этом, в случае, когда ядро соответствующего линейного оператора является конечномерным„ указанная задача сводятся к проблеме разрешимости, операторной системы .вида (0.3), а в случае, когда ядро соответствующего линейного оператора является . счетнемерным, а действующие

. возмущения носят характер малых, подобные задачи обычно сводятся к рассмотрению специального класса операторных с'.ютем со счетным числом ликейньас равномерно ограниченных по . i функционалов ч> следудцего вида

u - cFlu,«) rüi£¡)

< »((u.ol,^ >»0,1» 1,2,,..

относительно неизвестных u е £t, а е е„ где f i е *е-» е и d( : Е,» Е-* • е2 - ограниченные операторы ; Et , Eg - банаховы

пространства с нормами • || . |[ , || • НЕ соответственно , с -

1 2

счетноуерное банахово пространство с оазисом fa(í,.i •

d',0,0,...}, е « (0,1.0,...),... И нормой || a |f « аир |а |,

1

а - \ «.в . Наряду с операторными системами (о.з),(о,4), проблема 1-1 1

разрешимости операторной системы (0.6) также является одним из основных объектов исследования диссертации. Здесь необходимо отметить, что сама по себе проблема разрешимости различных систем

_________. уравнений,-.-содержащих счетное число неизвестных, давно . привлекает

внимание исследователей, , поскольку к указанным задачам . сводится широкий клаоо математических кодэлей, списывающих реальные процессы в физике, технике, биологии; вкологин и учитывающих счетное число

'van Horssan •. W.ï, An Asymptotic Theory for a Class ot

Initial-Boundary Value Problems tor fcfe-afcly Nonîinear Wave Equation» with an Applifcation ts> a Model of the Galloping Oscillations of Overhead Transmission Lines. // SÏAM J.Api1.Math, 48, 1988, pp. 1227-1243,

воздействующих факторов., Кроме того, редукция ряда задач математической физики в конечном итоге приводит к расомбтрениа счетных систем алгебраических уравнений. Одним из актуальных здесь является также вопрос о. разрешимости задачи Ком для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на заданном промежутке 'для независимого аргумента поскольку к указанной проблеме сводится болкгое количество задач нелинейной механики. Хорога известны, например, кетоды исследования широкого класса нерезонансных краевых задач математической физики путем их сведения к соответствувдим счетным . системам алгебраических., дифференциальных, уравнений я интегральных уравнения Фредгольма второго рода.. Б этом смысле изучение разрешимости резонансных краевых задач математической физики на основе операторной системы (о.б) является логическим продолжением указанных вше исследований. При этом особенно важную роль для приложений играет возможность не только предсказывать существование точных решений систем со счетным числом неизвестных, но и указывать алгоритмы, обеспечивание построение приближенный решений, аппроксимирующих точное в определенной метрике со сколь угодной большой степенью точности. Ранее подобные вопросы подробно рассматривались., например, применительно к задаче лсши для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, на этом пути имеется ряд существенных затруднений. Так., при построении решений ■ счетных систем нелинейных алгебраических уравнений> вознпкавдих, например, как показано во второй главе диссертации, при исследовании разрешимости операторных систем вида (о.6), может быть использозая, при выполнении определенных условий, итерационный процесс Кыотсна, обобщенный Л.В.Канторовичем на случа1": произвольных банаховых пространств. Однако, вследствие счетномерности исходной система уравнений, практическая его реализация не представляется возможной. Именно поэтому принципиальным становится ответ на вопрос о возможности построения существующего точного решения, с лэбой наперед заданной точностью, на основе редукции исходной задачи к некоторой, надлежащим образом подобранной "укороченной" системе, позволяющей строить аппроксимирующую. последовательность исходя уже из рассмотрения конечномерных систем нелинейных алгебраических уравнений. По' этой причине проблема ''укорочения" и, в частности, задача об "укороченит'" счетной системы нелинейных алгебраических

уравнений, -также находятся в центре внимания диссертационной работы. Б этой части результаты диссертационной работы, с одной стороны, позволяют получать новые признаки разрешимости соответствующих задач, содержания счетное число неизвестных, дают конструктивные алгоритмы построения приближенных решении, а с другой стороны позволяет отвечать на вопрос о суцественнссти влияния тех или иных из счетного числа воздействующих факторов, на поведение рассматриваемой системы в целом.

Наконец, к операторных системам вида ю.з) сводится и ряд других актуальных задач механики, в том числе и основная задача внешней баллистики, которая также является объекте:.'. исследования диссертационной работы.

Цель работы, Основная задача диссертации - заключается в том,

чтобы на базе современных математических методов создать достаточно обцнй и, в тоже время, эффективный и гибкий аппарат решения различного рода резонансных задач, продемонстрировав его применение на ряде трудных и, как следствие, мало изученных проблем механики, представляющих значительный интерес для приложений. К указанным проС емам следует отнести •. строгий математический анализ возникновения резонансных колебаний в системах, описываемых уравнениями телеграфного типа, а также в балках, расположенных на упругом основании; зыяснение условий возбуждения поперечных колебаний балки, вследствие эффекта параметрического резонанса, при заданном законе продольных смешений ее концов, количественный и качес 'венный анализ характера распределения соответствующего данной задаче спектрального параметра; установление критерия потери устойчивости' тонкой цилиндрической оболочки с учетом неоднородного

______характера -нагружения - ее - торцов — на основе строгих - математических - -

методов. Решения поставленных задач, данные в диссертации на основе разработанного математического аппарата, являются новыми к полезными не только с точки зрения строгости обоснования, но и с точки зрения приложений, поскольку даът возможность вычислять амплитуды резонансных колесаний и формулировать критерии потери устойчивости на основе сценок соответствукцих. областей для сходных параметров каждой конкретней задачи .

При ртои автор не ставил перед собой задачи подробно рассмотреть б диссертации максимально возможнее число как потенциальных

приложений, так и ухе исследованных указанными метода«« прикладных задач1, поскольку в своей методологической основе решения многих 'из них аналогичны рассмотренным в диссертационной работе. Например, решение задачи о влиянии несовершенств оболочки на величину критической нагрузки, в ее реализации, с математической течки зрения представленной ^ в диссертации, будет идентичным "решение рассмотренной в шестой главе, на основе общего топологического метода, задачи об , устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном нагружении их торцов. Вместе с тем следует отметить, что рассмотрение ряда конкретных задач, как например связанной с исследованием резонансных и околорезонансных колебаний в уравнении Рэлея1, требует преодоления подчас весьма серьезных 'технических трудностей и привлечения дополнительного аппарата современного анализа, в том числе теории полугрупп.

Методы исследования ■ Для исследования резонансных задач

механик», допусканцих их сведение к проблеме разрешимости операторных систем вида (0.3),(0.4),(о.6), в диссертации разработаны и используются два метода : метод сравнения и топологический метод, позволяющие развить единый, обций математический подход к анализу широкого класса разнообразных физических ситуаций. В этом смысле метод сравнения и топологический метод, представленные в первых четырех главах диссертации, делают их основой всего дальнейшего изложения, включая и приложения к конкретным задачам механики. Метод сравнения позволяет судить о разрешимости уравнения т(у) = о, где оператор т действует из банахова пространства е в банахово пространство е2, исходя из разрешимости "близксго':' операторного уравнения т(у) = о, т : е -»е , на основе сценок нормы разности указанных операторов ||т - Т||Е и их производных

Фреше || т - т || в некотором шаре с центром соответствующем решению вспомогательного уравнения. При этом, в случае1. когда пространства е] и е2 являются конечномерными, исходная задача в конечной

*Vavilov S.A., Blom C.J. Resonance and Near-Resonance for a Nonlinear Wave Equation. // Report 92-92 of the 'Faculty of Technical Mathematics and Informatics. Delft University of Technology. The Netherlands, 1992. 32 p.

итоге, сводится к проблеме разрешимости некоторой задачи К.ои:и для конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на заданном промежутке для независимого аргумента, что позволяет применять для решения поставленной! задачи, например, классическую теорему Пеано. Идея , такого подхода основана на методе продолжения по параметру и восходит еце к Х.Адамару, Для реализации метода сравнения в случае бесконечномерных пространств к и е., используется ньютоновский итерационный процесс, обобщенный Л.В.Канторовичем на случай произвольных банаховых пространств. Применение метода сравнения позволяет строить решения исходного уравнения на основе итерационной схемы, что делает его весьма удобным в плане численной реализации. ТсГх-логпческпГ! метод базируется на теории индекса векторного 'Поля, введенного в рассмотрение для случая произвольных, вполне непрерывных векторных полей Ж.Лере и ¡0. Яаудером, и получившей глубокое развитие в фундаментальных работах • М.А.Красносельского и Я.Мавена, Индекс векторного поля является важной топологической характеристикой, 'Поскольку позволяет. судить о разрешимости соответствующего нел! ;ейного операторного уравнений, а его вычисление базируется на теории гомотопип, Применимость топологического метода, связанная с проверкой выполнения условий некоторых теорем существования, одновременно является и обоснованием для построения решений исходного операторного уравнения на основе галеркпнских аппроксимаций, что дает возможность также говорить об указанном подкг.е как о конструктивном. •

Кг базе метода сравнения п топологического метода, в диссертации

проведен подробный______анализ, посвяценный_____выяснения условий

разрешимости операторных систем Еида (0.3),(0.-1),(0.6) и разработаны алгоритмы, : обеспечивающие построение приближенных решений. Строгие математические методы исследования операторных систем вида ;й.л),(0,4),(0.б) Представлены соответственно е главах 4,1,2, Математический аппарат, изложенный в первых четырех главах диссертации, .сопровождается определенным количеством примеров, нссяцих как иллюстративный характер и демснстрирусцпх проверку тех или ннкх условий абстрактных теорем, так и представляющих значительный интерес для различных разделов механики и реализующих обцки математический подход при решении конкретных задач. К таким

содержательным примерам в 'первую очередь следует отнести исследование разрешимости и 'обоснование редукции счетных систем нелинейных алгебраических уравнений к соответствующим конечномерным системам; выяснение условий разрешимости периодической краевой задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, и обоснование процедуры "укорочения" при ее решении; получение эффективных признаков нелокальней разрешимости задачи . Коки для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не содержащих малый параметр, и обоснование алгоритма "укорочения" при отыскании приближенного решения; построение решений краевых задач как для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами так и для нелинейных уравнений в .условиях резонанса и так называемом трудном случае кратных корней; анализ разрешимости некоторых задач теории управления, допускающих редукцию к операторным системам вида (О.З), Особую роль в этом плаке играют пятая и шестая главы диссертации, целиком посвященные математическому моделировании резонансных явлении в актуальных проблемах волновой динамики 'и теории упругости, а так же седьмая и восьмая, в которых на базе разработанных математических методов исследуются соответственно резонансные колебательные процессы в системах с конечным числом степеней свободы И основная задача внешней баллистики.

Научая новизна. Ка защиту выносятся следующие положения,

определяющие научную новизну результатов диссертационной работы :

- разработаны и обоснованы топологический метод и метод сравнения для исследования разрешимости операторных систем вида (о,:!),(0.4),(0,5),(0.8).

на основе разработанных методов . сформулированы условия разрешимости операторных систем вида (0.3),(0,4),(0,5),(0.6) и обоснованы алгоритмы построения их решений.

- в связи с исследованием разрешимости операторных систем вида (0.6) сформулирована и доказана теорема об "укорочении" для счетных систем нелинейных алгебраических уравнений!

- на основе общей теории • разрешимости операторных систем вида (0,6) сформулирована- и доказана теорема о разрешимости резонансной периодической задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнении, содержащих малый параметр, а на базе тесремы об "укорочении" для счетных систем нелинейных алгебраических уравнений, сформулированы условия, обеспечивающие возможность построения ее приближенных р.~ениЯ,

- на основе ооцей теории разрешимости операторных систем вида (0.6) исследована разрешимость и построены приближенные решения резонансной периодической задачи для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, содержащих малый параметр.

- на основе метода сравнения, в условиях повышенной гладкости правей части счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнении, сформулирована теорема об • "укорочении" для

зответствуюцей задачи . Коши, дополкя''цая известные классические результаты.

- на основе теории меры некомпактнооти и уплотняющих операторов получен*: достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Коши для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в.- условиях непрерывной, но не дифференцируемой правой части ; аналог классической тесремы Пеано ),

- на основе общей теорий разрешимости операторных систем вида (0.3) сформулированы условия существования нетривиальных решений операторных уравнений вида (0.1), (0.2), а также исследована структура распределения соответствующих значений спектрального параметра,

- сформулированы достаточные условия при выполнении которых определенные значения спектрального параметра х , обеспечивающие нетривиальную разрешимость соответствующего (0.2) линеаризованного операторного уравнения, исходя из

топологической теоремы 4.1.1, одновременно являются точками бифуркации исходной нелинейной задачи,

сформулированы условия разрешимости резонансной периодической задачи для квазилинейного телеграфного уравнения, выяснены условия, при которых порядки действующих малых внесннх возмуцений И амплитуды колебаний системы совпадают.

- в рамках нелинейной модели исследованы резонансные периодические колебания балки на упругом основании под действием малой распределенной внешней нагрузки, сформулироганЬ: условия возникновения свободных колебаний, получены полезные для инженерных приложений оценки на максимально возможную амплитуду колебаний и величину максимальных нормальных напряжений в балке.

исследованы условия возникновения поперечных периодических колебаний балки в рамках как линейной, тя" и нелинейной модели, под действием периодических продольных смещений ее концов; на основе общей теории нетривиальной разрешимости операторных уравнений вида (и.2) предложены новые методы исследования возбуждения поперечных колебаний балки на основе эффекта параметрического резонанса,

- на основе общей теории нетривиальной разрешимости операторных уравнений вида (0.2) получена сценка на величину постоянной составляющей критической нагрузки при наперед заданной неоднородной компоненте нагружения шарнирно опертой тонкой цилиндрической оболочки.

на основе топологического летела сформулированы условия разрешимости резонансной периодической задачи для квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, накладывающие существенно менее жесткие ограничения по сравнений с классическими результатами, базирующимися на Теореме о неявной функции.

- на основе метода сравнения получены условия разрешимости

резонансйой периодической задачи для квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в так называемом трудном случав кратных корней у порождающего уравнения.

- сформулированы теоремы о разрешимости периодической задачи для квазилинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в резонансной ситуации, при наличии различи»* условий гладкости, накладываемых на правуо часть возмущенно!", системы, и без апрнорк 'и оценки относительно неизвестного возмущенного периода; рассмотрены две принципиально различные ситуации, когда производная от действующего возмущения удовлетворяет соответственно условиям Липшица и Ге.. »,;>>ра, разработаны алгоритмы построения искомого решения в обоих -случаях.

- на основе общей теории разрешимости операторных систем вида (0,3) получены достаточные .условия разрешимости основной задачи внешней баллистики и предложены различные итерационные схемы построения искомы'', решении.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты позволяет развить новые конструктивные методы анализа широкого класса актуальных задач механики.

Практичеекая зкачимость работы определяется широким кругом возможных приложении, полученных в ней результатов, при решении вопроса об обеспечении устойчивого функционирования различных -техничеаких-систем---------------------------------------------------------

д ирсу для я - раотятт, ос'новные результаты диссертации докладывались и обсуждались :

- на !) см всесЪизном семинаре по линейным ускорителям заряженных частиц, г. Харьков, 1985 г., Г

- на всесоюзной научно - технической ксн? зрении и "Актуальные проблемы моделирования и управления системами с распределенными параметрами", г. Одесса, 19а7 г.

- на 10,11,12 международных конференциях по нелинейным колебаниям.

- на э ем международном коллоквиуме по качественной теории дифференциальных уравнений, г. Сегед, Венгрия, 1988 г.

на всесоюзной конференции по качественной теории

дифференциальных уравнений, г, Рига, 1989 г,

- на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и их приложениям в Болгарин и Чехословакии, 1989 г,

- на 1 ой европейской международной конференции по нелинейным колебаниям, г. Гамбург,', гээз г.

- на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям, Г. Firenze, ИтаЛИЯ, 1993 Г.

- на республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Э.И. Грудо, г. Минск, iэвэ г,

- на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений механике - математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. B.V. Миллиснцикова, 1990 г.

на семинарах академика 'O.A. Мигропольского В институте математики Украинской Академии Наук, г. Киев.

на семинарах проф. К,В. Азбелева ' по функционально дифференциальным уравнениям, г. Пермь.

на семинаре кафедры теоретической кибернетики Санкт - Петербургского Университета по руководством проф. В.А. Якубовича, 1992 г.

на семинарах кафедры теоретической и прикладной ¿еханшга Санкт - Петербургского Университета под руководством проф. П.Е, Товстика.

на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством проф. К. Мавена в католическом университете г. Ьот-епе-Хе-Хеиуе, Бельгия, 19В2 г.

- на семинаре кафедры теории упругости Санкт - Пь?ербургского Университета под руководством проф, К.Ф. Морозова, 1993 г.

- на семинарах группы прикладного анализа факультета технической математики и информатики университета г. Делфта, Нидерланды.

- на семинаре академика- ИЛ1, Боровича в научно -- исследовательском институте механики и прикладной математики при РГУ, г. Ростов-на-Дс-ну, 1993 г.

- на ряде региональных и республиканских конференций, в других организациях и вузах,

Пу^чикг.ции. Содержание диссертации опубликовано в 3 1 работах, при ьтом список основных публикации автора по теме диссертации Приведен в конце автореферата 11 - 18].

Структура п объем работы, Диссертация состоит из введения,

восьми глав и списка литературы, включающего 177 наименований, Общий объем работы составляет 252 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТА1ШОНКОП РАБОТУ________________

Во введении обоснован«-. актуальность выбранного направления исследования , дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация, результатов диссертации .

В главе 1 вводится в рассмотрение метод сравнения как для случая конечномерных, так и для случая бесконечномерны/: банаховых пространств и суть которого определяется соответственно теоремами 1,1.2,1 ,1.? , 1 .2.1 . Б пункте 1.3, исходя из метода сравнения дано исследование разрешимости счетных систем ьс.шкейкых алгебраических

уравнений, возникающих, как показано во второй главе, при исследовании операторных систем вида (0,8), и сформулирован принцип "укорочения" в виде теорем« 1,3,2, то есть разработан и обоснован, при выполнении определенных условий, метод построения решений исходной системы путем ее редукции к бесконечной последовательности соответствующих конечномерных систем нелинейных алгебраических уравнений. Во второй главе теорема 1,3.2 используется для выяснения условии, при которых возможно построение решения периодической резонансной задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, ( исходя из принципа "укорочения". Основными результатами первой главы являются, полученные на основе метода сравнения теоремы 1,4.1 и 1.5,1, в которых приведены условия разрешимости операторных систем вида (0.4) и разработаны итерационные cow построения искомых решении соответственно для случаев простых и кратных корней у некоторого порождавшего уравнения.

Теоремп 1,4.1. Пусть выполняю тся следующие условия :

1. Ограниченный оператор f является дифференцируемым по Фреше по переменней ч л по переменной

2. Функцюналы V линейные и ограниченнее,

.ч. Операторы d (и ,€) дифференцйруеик по Фрем по переменной ч и по переменной г.

4. Система уравнений относительно вейтера

т*к) = < d.(0,f,),^ > = о , j » 1,2,...,п

имеет решение г" такое, что detlT*(i")] * 0 .

Тогда решение системы (0.4) существует tM всех достаточно малых t и следующая последовательность систем уравнений относительно вектора f,k, к = 1,2..,.

< D ( чк, С ), v > s о , j = 1, г.....п ,

1 1

11 = о ,

о-1 „, к г >• ,

u ~ С Z^ Fin ,5 ) '

имеет на каждом к - см шаге решение f* такое, что для последовательности ч.соответствующей ей последовательности >/,

имеют место сценки |||и"- uji| = О''1":. !1 ?- i II = СН^ь

где ( ч.г, ; точное реиение системы (0. и, 11| . 11|

соотретсткуе-'' норме в е, а ii.ii - нер'/е а

- Iii -

В с луч ае, когда в условиях теоремы i.4,i ciotfT*(5*)J - l> ' н рассмотрение вводится следующий итерационный процесс * Е z'Vui^S) ,5) ,

к * 1,2,3,,,,

Тогда имеет место Теорема t,5 .1. Пусть выполняются следующие условия ; 1. Ограниченный оператор f(u,i) и операторы d iu,i) (j i l, г Л... n) являются дифференцируемыми по Фреше по переменной и И по переменной 5, Кроме того

¡1 F^dv«) ' Kt'V^ ¡!л 4 ■ 111 U1 - "г '

II ^(u.i,) - F5iu,42) ¡I £ l2 I! 5, - f.z II ,

II V<lv4> - ил * ln '

II D'ptu.i, ) - D' (U.5,) II * С II С, - 5, II

j4 ** л "

для ii, i^, u„, с, 5 , с , но любого ограниченного шара

¡и ч Iii s г, || ? || i г, И.»д- норма соответствующего

линейного оператора.

2. Функционалы У i j « 1,2, ...,!>) линейные и ограниченные,

3. Существует натуральное число \ > i такое, что система уравнений относительно вектора ?

TNi(f.) = < D j < и м (j ,5) > « 0, j » 1,2,;...и

имеет решение ^ се) , ограниченное для все^ достаточно/малых ;___________

||i (с) || s а, где постоянная а не зависит от с , при атом норма соответствующей матрицы удовлетворяет оценке

11[тХ<Е)>Г\«0(-гт~)

с

и , кроме того , о < 2 о < n . ,

Тогда решение системы (0.4) существует для всех достаточно малых с il следующая последовательность систем уравнений относительно вектора к « 1,2,...

< DJ(uk(5fe),€1'), -<ty « о > J « t,i ...,n

имеет на каждом к-оч шаге, начиная с к а N , решение

= ) такое , что для последовательности и,

соответстнулией ей последовательности н , имеют йесто оценки

II! - Г, III = 0[ск-1'"),11 - е II . 0(С*"Ч,

где (||,СЛ - точное решение системы (0,4> .

В нервен главе приведены также примеры, иллюстрирующие эффективно.;гь указанных в теоремах 1.-1,1, 1,5.1 итерационных схем при построении решении ряда трудных задач теории нелинейных колебании.

Во второй главе, в теореме 2.1.1, основываясь на методе сравнения, получен, в веоьма общих предположениях, признак разрешимости операторных систем вида (0.0), содержащих счетное число равномерно ограниченных функционалов и дано обоснование итерационного метода построения их решений на основе рассмотрения некоторой бесконечной последовательности счетных систем . нелинейных алгебраических уравнений. В пункте 2.2, основываясь на теореме 2.1.1, сформулирована и доказана теорема 2.2,1, относительно разрешимости резонансной периодической задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, а условия теоремы 2.2,2 гарантируют применимость "е'^да "укорочения" при построении искомого решения.

В третьей главе, посвященной исследований разрешимости задачи "р.оши для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, исходя из понятия мэры некомпактности и теории уплотняющих операторов, сформулирована " доказана нелокальная теорема существования .4.1.1, представляющая собой аналог классической теоремы ГТеаио для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, В этой же главе, основываясь на методе сравнения, получена теорема 3.2,1 об ■ "укорочении" задачи Ксши для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не содержащих малый параметр, и тем самым существенно деп^няещь'я известные результаты об "укорочении" рассматриваемой задачи широко представленные в литературе по асимптотическим методам нелинейной механики.

Четвертая главз.посвящена разработке топологического метода для исследования разрешимости операторных систем вида (о.з), Одним из основных результатов здесь является теорема существования 4.1,1 одновременно гарантирующая и построение приближенного решения походя из'- схемы Галеркина.Для ее формулировки введем в рассмотрение конечномерное векторное поле ••

Ф*и) * < о <о,£) ,ч> > , » 1.2,.......

а также шары т с е : ц|и||| £ р1 п т2с к" : ||е|| £ р2 и соответствующие -им сферы 'э с е : |||и||| = р1 и к" : . ||?|| г Р2 , где ИМИ соответствует норме в к , а ||.|| -норме в к".

Теорема 4,1.1. Пусть выполняется следующие условия :

1. Операторы р,о ^ (^ = 1,2,, ., ,п)■ а также- функционалы

Vи = 1,2,, .. |п) непрерывны, при этом отображение К(иД-5) непрерывно по ъ е [0,1] равномерно для всех и с т ,5 е т2.

2. Оператор '¿"^ 'вполне непрерывный.

3. По крайней мере одна .компонента конечномерного векторного поля

< Си,?)> и = 1,2,.,. ,п) принц«. „ет ненулевое значение на множестве значений «ет,, ¡»«ст,, 3 к е и, ;

1 « -к « п : '< пк(и,£) ^ > # о ,

4. Для любых ъ е [0,1], с е т оператор г*гкси,) отображает

1

шар т, в себя : г, с т, .

5. Вращение указанного выше конечномерного, вактооного поля 7(Ф*(5),82) » И * 0 .

Тогда система '(0,3) имеет по крайней мере одно решение иАс т ,

та. .____;________________________________________

Замечание 1, Отметим, чФо вместо условия 4' теоремы 4.ы мсжма.-потребовать выполнения менее жесткого ограничения, а именно : вращение вполне непрерывного векторного поля ч>1и) * и - 1 р(и, о > на сфере должно быть отлично от нуля (Х^ио.Б,) * о), при этом

для VI е [о,1), »и е в1Г »{ с т справедливо соотношение « - ¡^(иД-О * о.

Замечание 2. Утверждение теоремы 4,ы остается в силе и в том случае, если в качестве шара тг пять лпбой другой того же радиуса

Рг с центром "в произвольной точив V пространства к". При решении конкретных прикладных задач в качестве элемента 5* удобно выбирать един из корней уравнения * о , тогда проверка условий

топологической теоремы сводится по существу к выяснения- условий разрешимости некоторой системы нелинейных алгебраических неравенств относительно положительных величин р и р„ . При этом из существования нескольких непересекающихся шаров т, вытекает и существование соответствующего числа решений исходной задачи,

В разделе 4.3 четвертой главк сформулированы достаточные условия разрешимости одной из классических задач теории управления в терминах топологического подхода, приведен пример, илл'-острирувщий его эффективность. Различные варианты теорем , гарантирующие разрешимость операторных систем вида (0.3; и ¡0.4), в том число и на основе комбинации топологического подхода и метода мажорантных уравнений Ляпунова, приведены в разделах 4.4 и 1.5,.а в разделе 4.6 на основа теорем 1.6.1,4.6.2,4.6,3 иссдедсг.ан вопрос об условиях существования нетривиальных решений операторной', системы вида (0.4). Ка основе разработанных методов, в разделе- 4:.-8 выяснены условия существования периодических режимов функцашгрования у одного класса теплоизолированных систем,' С-ссбее* значение для всего дальнейшего изложения представляет ссбсз? последний: раздел четвертой главы, в котором исследуется проблема существования нетривиал,ч:-;х решений у операторных уравнений вида (;о.1) и (0.2). Здесь первоначально осуществляется редукция 'иеявяной задачи- .к проблеме существования произвольных решений у некстерого класса операторных систем вида (О.з), не содержащих, как показано в диссертации, решений, соответствующих тривиальному решении исходных операторных уравнений. Затем на базе топологического метода- в- теоремах 4.9.1, 4.9.2 выясняются условия нетривиальной , разрешимости исходных операторных уравнений вида (0,1), (0.2), при этом теорема 4.9,2 гарантирует, в определенной ситуации, всюду плотный характер, распределения соответствующих значений спектрального параметра х в некоторой окретностй нуля. Далее, в теорема 4. э. з, . сформулирована достаточные условия ри выполнении которых определенные значения спектрального параметра X . , обеспечиЕаьцие нетривиальную разрешимость соответствующего (0.2) линеаризованного операторного уравнения исходя из- топологической теоремы 4,1.1 , одновременно :

являются точками бифуркации .исходной нелинейной задачи , чтс существенно дополняет известные результаты М.А. Красносельского I1 И.II. Воровича. Полученный здесь результат в полной мере используется затем в нес той главе диссертации. В этом же раздел* эффективность указанных выше абстрактных теорем проиллюстрирован* на ряде содержательных примеров из теории обыкновенно дифференциальных уравнений,

В главе пять на основе теорем 1.4.1, 2.1.1, гарантирующих, при выполнении определенных условий, разрешимость ссоткетственнс операторных систем вида (0,3) I! (0.61, рассмотрен ряд резонансные задач ' теории распространения волн. Среди рассмотренных задач очевидно важную роль для приложений играет проблема существования периодических решений у квазилинейного телеграфного уравнения в условиях резонанса, Теоремы 5,2,1 и 5,2.2, в которых рассмотрены Соответственно резонансная и околорезонансная ситуации, по своей сути является не только теоремами существования, но и позволяют количественно оценивать максимальные амплитуды колебаний в "наихудшей" возможной ситуации, В разделе 5.2, связанном с исследованием телеграфного уравнения, и-- основе топологического метода доказано, что В случае "чистого" резонанса и при отсутствии резонансных гармоник в действующих на рассматриваемую систему малых внешних возмущений с амплитудами порядка 0<>:Ь существуют периодические режимы, при этом амплитуда колебашп, составляет величину также порядка 0!*-'). а форма колебаний может быть найдена в результате применения метода Галеркина к выписанной для данной задачи системы уравнений Ляпунова-Шмидта. Одновременно показано, что в ситуации близкой к резонансной, даже при отсутствии резонансных гармоник в действующих на систему малых внешних -возмущениях, —возможно -увеличение —амплитуд" колебаний; "независящее от масштаба величины внешних воздействий, Резонансная периодическая задача для линейного гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, рассмотренная в разделе 5.3, характерна тем, что в ней, в отличие от резонансной ситуации для телеграфного уравнения, основные колебания системы сосредоточен^ с точность» до с не на конечном числе определенным . образом выделенных гармоник, а распределены, 6 соответствие с некоторым законом, по всем возможным собственным частотам исходной системы.

Шестая глава посвящена исследованию резонаноных краевых задач теории упругости. Первоначально рассматривается задача об условиях возникновения поперечных резонансных колебаний балки соответстнущих введенной в рассмотрение нелинейной модели и вызванных действием внешней распределенной нагрузки. Полученные здесь результаты, на качественном уровне идентичны результатам раздела 5,2 главы б, посвященном исследования существования резонансных режимов для телеграфного уравнения, Кроме того, показано, что в околорезонансной ситуации возможно возникновение свободных периодических колебаний балки, определена их амплитуда и ¿орма. Здесь же, в разделе а.1.2, сделан ряд полезных расчетов для инженерных приложений, в том числе, в условиях резонанса.получены эценкн для максимальных нормальных напряжений балки и вер/ней границы амплитуды колебаний, явным образом зависящие от величины аинамическсй нагрузки и от свойств неперерывного упругого основания. Раздел 6.1,3 посещен выяснении условий при которых возможно возникновение поперечных периодических колебаний балки, индуцированное продольными периодическими колебаниями ее концов, первоначально поставленная задача рассматривается в линейном приближении и вопрос об условиях возникновения периодических юперечных колебаний, вследствие эффекта параметрического резонанса, сводится к проблеме существования собственных чисел / некоторого несимметрического оператора, Показано, на основе результатов раздела 4,3 главы 4, что при определенных законах 1рсдольных вибраций можно гарантировать существование непустого декретного спектра. Далее задача рассматривается в исходной «линейной постановке, при этом в возникающий здесь обобщенной задаче на собственные числа, спектральный параметр х , как и в шнейнои постановке, имеет простой физический смысл амплитуды тродсльных колебаний балки. Оказывается, как показано в разделе 5.1.3, что при выборе определенных законов Индуцирования продольных_ солебаний и в нелинейной постановке ' соответствующая обобщенная ¡адача на собственные значения .будет разрешима, при этом ■•каган алгоритм для определения соответствующих значений :пектрального параметра х]( которые могут образовывать, в общем :лучае, и не обязательно связное множество. Здесь весьма ¡ущественным, по сравнении с известными классическими результатами,

является то обстоятельство, что возбуждение поперечнь: периодических колебаний -может происходить, вообще говоря, н только при малых непрерывно распределенных амплитудах внешнег воздействия, В то же время, из топологического метода следуе механизм индуцирования продольных колебаний приводящий к появленп распределения спектрального параметра х , соответствующего, Частности, .хс-рощо извести-чу механизму возбуждения , поперечны периодических колебаний - при "критических частотах" продольны колебаний и . при достаточно малых амплитудах внешнег воздействия, в том числе и классическому эффекту "удвоения частоты известному еце из эксперимента Мельде, Далее . задача параметрическом ' возбуждении периодических поперечны

колебаний балки рассмотрена в случае, когда спектрально параметром Х1 . является величина отклонения собственно частоты колебаний соответствующего линейного осциллятора от е резонансного значения. Показано, что при выполнен«! некоторых - условий, определенные значения спектральног параметра х]( обеспечивающие нетривиальную разренимсст] соответствующей линейной периодичен й задачи, являйте; одновременно , и . точками бифуркации исходной нелинейно: проблемы. Полученные в этом разделе результаты говорят о том что применение топологического метода к данной нелинейной задач! приводит не только к известным механизмам возбуждение параметрического резонанса, но и указывает новые, связанные < возможным более, сложным характером распределения амплитуд внешни: воздействии, . а также с другим физическим емкело» спектрального параметра входящего в операторное уравнение вид;

~ (о; 2)--Кроме того;" топологический" метод позволяет оцени ва-п

сверху области допустимых значений входных параметров задачи при которых наступает параметрический резонанс. Существенны!, моментом Здесь является тот факт, что. по своей математическое природе топологический подход является более общим, по, .сравнению с классическим' и не использует в частности ' теорему о неявно! функции, на которой базируются упомянутые выше классически! исследования эффекта параметрического резонанса, Наконец топологический метод, применяемый в .разделе е.1.3, может ' был использован и для анализа эффекта параметрического резонанс.

■акже в случае, когда . роль спектрального параметра х. играет еличпна постоянного продольного смещения балки чо, В разделе 6.2 :естой главы топологи чес кий подход применен к исследованию роблемы устойчивости тонких оболочек на примере задачи о лиян!!» неоднородности нагружения цилиндрической оболочки на еличину постоянной составляющей критической нагрузки, оторая , в своп очередь , сводится к рассмотрению спрктлялькой адачи для дифференциального уравнения восьмого порядка

<П) 2 (6 ) ( 4 2 2 21 „(4) Г С 2 г 2 Z\ „(2!

f - 4л i +I6a-2(m+a)j-f - 14 a - 4 a (m + a ) J • f +

Г 4 ,2 2,4 „4,2 2, 21.

I я + Im + a ) - 2a (m + a ) J■f -

= (V ,.(>:))(m2+ aV(fm- 2aV21 + aV) , ополненного условием периодичности fix + 2JT) з f(x).

опологический метод, в частности, позволяем эффективно оценивать пжнее критическое значение постоянной составляющей продольной агр-узки \ в зависимости от заданной неоднородной составляющей родольной нагрузки <р(х), приложенной к торцам оболочки. Указанный одход может быть распространен и на те модели, в которых временные не разделяются, включая и самые разнообразные елцнвйнуе модели , в том числе и учитывающие влияние ачальных несовершенств в . конструкции оболочки . Это объясняется ем, что широкий класс известных моделей позволяет сформулирор -ть сходную механическую задачу в терминах проблемы существования етрнвиальных решений операторного уравнения вида (0.2), сследовэнного в четвертей главе диссертации. Наличие же еоОходимой при таком подходе фредгольмсвости оператора £ бъясняется тем, что из-за высокого порядка системы пфференциальных уравнений тонких оболочек, соответствующие иофантовл уравнения могут иметь лишь только конечное число ешеянй, что приводит к конечномерности ядра оператора 1 в равнении (о.2). .

Седьмая глава диссертации посвящена исследованию резонансных элебаний в системах с конечным числом, степеней свободы. .В разделе .1 'рассмотрена прсбпема существования периодических решений у эавтеномных квазилинейны* систем обыкновенных дифференциальных равнений в условиях резонанса. Большинство сфориудирсванньгх здесь верен, гарантирующих существование периодических решений,

представляют собой следствия из общей топологической теорема 4.1,1 главк 4 и .замечаний к ней. Полученные в этой части условия существования периодических решений , в том числе и касающиеся гладкости правой части, являются существенно менее ограничительными по сравнению с классическими, поскольку топологический метод в своей основе содержит более общие соображения, чем классическая теорема о неявной функции. Однако,. наибольший интерес в зтом разделе представляют- собой теорэмк 7,1,4 и 7.1.7, гарантирующие существование периодических решений рассматриваемой классической задачи в так называемом трудном и малоизученном случае кратных корней у Порождающего уравнения на основе теоремы 1.5,1 главы 1. В разделе 7.2 рассмотрена проблема разрешимости резонансной периодической задачи для квазилинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматриваемая задача является классической и имеет давнюю историю начиная с работ А. Пуанкаре . Существенное развитие теория данной задачи получила в' работах Маякина И,Г., Проскурякова А.П., Каменкова Г.В. и других авторов. Отличительной особенностью указанных работ является то обстоятельство, что все они исходят либо из аналитичности правой части соответствующего дифференциального уравнения, либо из справедливости некоторой априорной оценки, накладываемой на заранее неизвестный период возмущенной задачи, Однако, в теории колебаний различных инженерных конструкций, при изучении сложных физических явлений и во .многих других случаях, предположение об; аналитичности становится весьма

обременительным, В рамках теории малого параметра делаются попытки отказаться от этого условия, Вместо , разложения 8 ряды, с этой целью, предлагаются некоторые специальные способы использования метода последовательных приближении. В этом случае исходная задача сводится к исследованию некоторой операторной системы специального вида. Доказать жа разрешимость указанной системы и сходимость метода, последовательных приближений удается лишь в предположении о справедливости некоторой априорной оценки). накладываемой на период, возмущенной задачи. Однако, указанная априорная оценка во многих практически интересных задачах не выполняется к, в этом смысле, проблема отыскания критерия существования периодических решений и метода их построения без

привлечения указанных двух ограничение, является актуальней, В разделе 7.2 диссертационной работы, на базе теорем сравнения 1,1,2 и 1,1.з главы 1, получены эффективные признаки разрешимости периодической задачи для квазилинейных автономных систем-обыкновенных дифференциальных уравнений без предположения об аналитичности правой части и существования априорной оценки для периода возмущенной системы, а также обоснованы итерационные методы построения искомых речений, Указанные результаты сформулированы в виде теорем 7.2.1 и 7.г.2 соответствующих различным условиям гладкости, накладываемым на правую часть возмущенной системы. Здесь раа/стрень: дзе принципиально различные ситуации, когда производная от действующего возмущения удовлетворяет соответственно условиям Лшшща и Гельдера, предложены алгоритмы построения решения в обоих случаях. В разделе 7.3 доказано суцеопг.-.уше периодических и квазиперисдических решений у одного класса гамильтсновкх систем, представляющих определенный интерес для приложений. Наконец, в разделе 7.4 проведено исследование влияния-- случайных ошибок исходных данных на точность решения рассматриваемых в главе 7 краевых задач для квазилинейных обыкновений«: дифференциальных уравнений. Основной интерес в разделе т. 4 йр'вдегаялявт собой теоремы 7,4.1 и 7.4,2, позволяющие оценивать вйТ^яГАй-тв попадания траектории системы дифференциальных уравнений & заданную сблас-ть координатного пространства.

Восьмая глава посвящена исследованию б&ййШТ йадада внешней баллистики. Как показано в разделе ел, ой» б-йб-ДйТся к проблеме разрешимости конкретной операторной системы, яйяявщейа^ частный случаем общей операторной системы вида (0,3). итерационные- методы ее решения, излагаемое в главе 8, аналогичны по ойбвй сут» общему методу последовательных приближений, рассмотренному й- главе 1, однако, отсутствие малого параметра и наличие ййлшнейногб функционала .в указанной операторной системе делает доказательство. существования решения и сходимости «етода' последовательный приближений принципиально иным, Последнее обстоятельство Определяет основную цель восьмой главы, заключающуюся в построении конструктивных методов анализа краевой задачи, соответствующей основной задаче внешней баллистики. Отметим - так хе, Что рассматриваемая краевая задача имеет ва*кое прикладное значение

в оеязи с тем, что проблему ее разрешимости можн< интерпретировать как вопрос о достижимости частицами заданно! энергии, излучаемыми источником, расположенным в точке г = о некоторой фиксированной точки поля, задаваемой вектором гс Подобная задача широко встречается в общих вопросах динамик! заряженных частиц в электромагнитных полях и соответствую^!) задачах космической физики . Основными т.-ремами здесь, гарантирующими разрешимость поставленной краевой задачи, в то;, числе и для случая возвратных движений, являются теоремы 8.1.1 ¡' 8 , одновременно и определяющие итерационный процесс для построения искомых решений. В разделе 8.3 введена в рассмотрение специальная итерационная процедура построения решения основноГ задачи баллистики. Особенность данной итерационной процедур» состоит в том, что для ее реализации достаточно знать только вгличпны последовательных "промахов" на определенные моменты времени и линейную ("невозмущенную") часть, действующего на траекторию движения, поля. Существенным является и то

обстоятельство, что при каждом новом "испытании" абсолютная величина начальной скорости сохраняет заданную величину. Указанные особенности являются ::;..вципнальнь:ми для ряда важных приложений в вопросах внешней баллистики, когда при решении задачи наведения действующие стационарные возмущения, относящиеся к нелинейной части действующего внешнего поля, неизвестны в явном виде и, соответственно, приведенной в разделе 8.3 итерационной процедуре могут быть учтены только опосредованно, то есть через наблюдения отклонений траектории в реальном яоле на определенные моменты времени, то есть через величины соответствующих "промахов".

Основ"-е публикации -автора по теме диссертации

1, Вавилон O.A., Колесников Е.К. Приложение некоторых результатов KAM - теория к задаче о захваченных движениях в. ньютоневск поле под воздействием специального класса возмущений. // Вестн Леничгр. ун-та. т.4, n 19, 1979, с. 67-69.

2f. Вавилов СЛ., Овсянников Д.А. Статистический метод акали применекимости одночастичного приближения в динамике пучк заряженных частиц. // Вопросы атомной науки и техники. Серия Техника физического эксперимента, 1986, вып. 1 (27), с. 70-71.

3. Вавилов С.А. Влияние случайных ошибок исходных данных точность решения одного лласса краевых задач.

// Дифференциальные и интегральные уравнения. Изд-во Горьковсксго Гсс , Университета, 1989, с. 41-47.

Вавилов С.Д., Ульянова И,В, Алгоритм статистического

прогнозирования движения космического аппарата. // Вопросы радиоэлектроники, серия ОТ, вып. 6, 1988, с. 16-20. Вавилов С.А, 0 разрешимости одного класса краевых задач. // Доклады АН СССР. - !!?«<?.- т.зог>, у г. - с. 258-270. i. Вавилов С.А., Овсянников Д.А. О применимости одночастичного приблтения к задаче эволюции . пучка заряженных частиц в продельном магнитном поле. // Дифференциальные уравнения , 1989, Т.25, N 7, С. 1183-1187.

Вавилов С.А. Исследование разрешимости одного класса краевых задач со свободной границей. // Дифференциальные уравнения. 1989. - т.25, N' 12. - С. 2075-2081. I. Вавилов С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний. // ДАН СССР, 1990, т.3X2, N '4, О. 787-790.

I. Vavilov S.A. On the Solvability of One Class of Boundary Valuj Problems. // Differential and Integral Equations. - An International Journal for Theory and Applications. - S990. -v. 3, N 1. - pp. 175-179. l0. Вавилов С.А. Об одном классе краевых задач. // Дифференциальные

уравнения, 1990, т.26, м 6, с, Ю91, L1. Вавилов С.А., Менендес Т.Д. Теорема об условиях нелокальной разрешимости задачи Кошп для счетных с истем обыкновенных дифференциальных уравнений, // Функционально-дифференциальные уравнения. Изд-во Пермского политехнического института, 19 91,

С. 126-131.

L2. Вавилов С.А. О разрешимости одного класса операторных уравнений.

/J ЛАК СССР, 1991, Т. 316, N 1, С. 22-26. Lз. Вавилсв С.А. Геометрические методы исследования разрешимости одного класса операторных уравнений. // доклады Российской Академии Наук, 1932, т. 32з, N 2, с. 206-210.

14. Vavilov S.A., Yuchnevich S.V. On the Solvability of Some Classes of Boundary Value Problems. //' Nonlinear Vibration Problems. 25 Issue. Poland Academy of Science Edition. 1992,

15. Вавилов С.А., йхневич С.В. 0 периодических решениях автономных систем. // Известия вузов. Математика, n 9, 1992, с. 12-15.

16. Vavilov S.A.1 Stepanov E.O. An Operator Method to Study Some. Resonance Boundary Value Problems in Elasticity Theory.

// Report 92-84 of the Faculty of Technical Mathematics and Informa t.ics. Delft University of Technology. The Netherlands,

1992. 30 p.

17. Вавилов С.A. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений. // Доклады Российской Академии Каук,

1993, Т.331, N 1.