Операторно представление кулоновских функций Грина и его применения к расчетам характеристики атомных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

па правах рукописи

2 5 ИЮЛ

ЛЕ АНЬ 'ГХЫ

УДК 530.12:145

ОПЕРАТОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КУЛОНОВСКИХ ФУНКЦИЙ ГРИНА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ' ХАРАКТЕРИСТИК АТОМНЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - теоретическая фиоика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание учепной степени кандидата фтэико-математических наук

Минск 1991

Работа выполнена па кафедре теоретической физики фиоичесхс факультета Белорусского государственного университета.

Научный руководитель : доктор фиаико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор фтэико-математичсскнх наук

па оаседапии специалиоировапного Совета К 056.03.00 по присужден»

ученной степени кандидата наук в Белгосуниверситете

(2*20080, г. Минск, проспект Скорины, 4, главный корпус, ауд..'206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского гс сударственпого университета.

Автореферат разослан "_"_ 1994 г.

Ученый секретарь специалиоировапного Совета

профессор Комаров Л.И.

Завтрак С.Т. (НИИ ЯН)

кандидат фиоико-математических наук

Трофименко Е.Е (БПА)

Ведущая организация : Институт фиоики АН РБ

капдидат фио.-мат. наук

Иваншн А. В.

ЛttsitA. В яютхапк*: ДЕЛ jjsc8t:uvíK5 rparpt:~:í бак yícrttcnTr а г.хсг-??«кгстазьавег есеикмззяав: ssucre-•артапыу conos. Мйогстрлдигле коим бызп вайцгезп&г ira ракпг»2ыг •ciaacasax к тлхяе в лстрсфпк'гххих всеаедзяакгвЕС. Coscas н-даспо .i'Tf.'pTc к Í:ггехтросwmm ¿«гогоааразупсс копаа рамо рсорас в сггзя с ооиажЕясгьк» ссяг^га ^.еттютаяк» naaepa при еысокпх урояпжк осоуля-ггсг. Осоёеяяосгь.р> шюгстарзлвих коеоз лаагктм их еутпе-тв<™зпз р-лггкзлсгсма харчкт-íp. Ест€с??лпко, рсоко supoc

pacraiMt ролятшкгстехк?: атомоз. Однс'ч sr» част;.' jw.it«nseií!.ix кстото» зал рдани такта оэдгм «глазел него;; сут^ rn: Fc-kks. Сушествевгшм ,:.■> tro ласт гон фуиздис Гркна лещ-

гсй р'ячо.'кность p?iy-.^а-;аз a озм.кпутом аЕплктнчесшу

ir^e г;лп палач» * су.чнуроваяито хорошо сходяшегхся р:17,0а.

гумгл. с игпсльооплнисм «суетггор.ских фуякгг-гя Грппа. в Еоордгпгатнам всегда поашгкает 0л.-!=>;гюе юличестго вычислений плте-iri.ios а г cfwrjítwibffb'x функций. Это обстоятельство сплыга умень-%от тиаггость к у пршкктам. С другой стороны, в последнее с!ля KrsTvííCííFiHo раггг.ипается подход с псоо.тьаоваяиен свгон задачи ■íCTí. p'i-xMrrpncí •/:¡>.'.i'!"C!.o!/. осцилляторе с оа^ачей oú атоие rg-poin. ?J¡í что ora сиг-jb дает возможность получпть. опе-

;•;*:• кугивокскоч функции Грин* и том слиым ? г ;>.!<j):!i¡, '»ол-чс-п. Hfr.sv.encrou алгебраических методов, cíirnif ''чГ!!'! г«рс:зс7"><¡:;,-,(JTC- гьч 1 v.i.¡b;>Kr.l.'¡- ",H.~hV."'V.:'0>; v.cuwor^ni!!":' ¡■■г.... <п>:* !»;".;»-.::> ишгу ¡мола к нооелягивяс:c«;;¡:.< апм-гм';

И ! <_-;'(.> <ir.íjí.;¡i-':»r.'' ил р^ДЯТИИИСГСг.ЯК <" :!г"!г

Недавно в работах Комарова и Ферапчуха (Phys. Lett. А, 1!)82, 88, р.212; J. Phys. Л, 1984, 17, р.3111) был предложен операторный метод приближенного решения уравнения Шредннгера. Согласно результатам, полученным в отих и в последующих работах, нулевое приближение операторного метода дает достаточпо простой и универсальный алгоритм получения такой аппроксимации точного решения уравнения Шредингера, которая окаоывается равномерно пригодной в широком диапаоопе иоменепия параметров Гамильтониана. Другое достоинство операторного метода связано с возможностью регулярного вычисления поправок к нулевому приближению. Как показывают результаты многих работ, операторный метод оказался очень аффективным для решения самых раонообраопых оадач. Однако, вопрос о применимости операторного метода для решения нелинейных уравнений, столь часто встречающихся в атомпой физике, пока остается открытым. В отой <ашгои .детальное исследование возможности применения операторного ■метода для решепия нелинейных уравнений является весьма актуальной задачей, поскольку при этом расширяется область применения о-гого эффективного метода.

Целью настоящей работы являются:

- исследование возможности применения операторного представле-пия нерелятивистской кулоновской функции Грипа для атомных систем;

- разработка удобного представления релятивистской кулоновской функции Грина и его использование для вычисления некоторых характеристик мпогозарядных ионов;

- исследование возможности применения операторного метода для -круга оадач, где возникает необходимость решать нелинейные иптегро —дифференциальные уравнения типа Хартри - Фока;

Мауннаялодшона работы состоит в том, что в ней найдено удоб-

нос представление релятивистской хулоновской фупхции Грина, с помощью которого впервые получена точная аналитическая формула для релятивистской динамической поляризуемости атома с одним электроном. Найдено также удобное представление многочастичной хулоновской функции Грина. ГГокаоана эффективность операторного метода в решении нелинейных уравнений типа Хартри-Фока, в частности получена энергия осноппого состояния полярона в режиме сильной свяои с рекордной точностью.

На оащпту выносятся следующие реоультаты:

- И л примере вычисления волновой функции и энергии основного состояния атома гелия продемонстрирована эффективность предложенного операторного представления многочастичпой кулоновской функции Гарина;

- На основе установленного операторного представления релятивистской кулоповской функции Грина вычислены статическая и динамическая поляризуемости водородоподобных многооарядных ионов. Причем, последняя в частных пределах совпадает с известными реоульта-тами;

- Покапана эффективность применения операторного метода для решения н< линейного уравнения Шредингера. В частности, получены формулы для нескольких первых уровней энергии полярона в режиме сильной сикои с самой высокой точностью.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации реоультаты могут быть испольпованы в лаоерпой технике, астрофиоике, описании воаимодействия получения с вехцестьом.

Апробация работы. Основные реоультаты, положенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международной конференции "Квантовые системы: Новые тенденции и методы" (Минск, 1994), се-

мипарах кафедры теоретической фиоики Вслгосуниверснтета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы п 6 работах.

Объем и структура работы. Диссертация состоит но введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 105 наименований. Объем диссертации 100 страниц машинописного текста, включая 3 рисунка к одцу таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосиовапа актуальность и сформулирована цель исследования, перечислены основные положения, выносимые на «защиту. Здесь же кратко положено содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена изложепию метода операторного представления нерелятивистской кулонопской функции Грина. Первый параграф отой главы посит вводный характер и онакомит с установленной Комаровым и Романовой (Весщ АН БССР, 1982, N'2, с.08) связью оадачи об атоме водорода с оадачей о гармоническом осцилляторе в двумерном комплексном пространстве. Как будет покачано в дпеертации, именно ота форма свяои наиболее удобна для применения как аналитических методов с испольоовапием кулонопской функции Грина, так и операторного метода.

Во втором параграфе установлена связь между кулоновской функцией Грина К(г, г'; Е) и функцией Грина дли изотропного гармйнического осциллятора и(г,г',ф— ф'\ У,) в следующей форме:

К{ г,г';Я) =1-{02*<1ф'(/(г1г',ф-ф'-У,) (1)

Здесь же показано, что установленная связь, во-первых, пшжолиет про-

стым способом построит], координатное представление кулоповской функции ГрИНа, И, ВО-ВТОрЫХ, ДаС')' BOOMO/iUIOCTb получить сс операторное представление, что существенно расширяет область применения алгебраических методой.

Третий параграф иосвищен построению операторного представления моогочастичной кулопоиской функции Грина:

К(гь г2, • • •, r,v; г';, r'2,..., г'N; Е) -I rfrti / da?... J dctN6{<xí + a'¡ + ...-raN)

/ —ГО —CX¿ — ,->0

ПА'(гьг'-£):-щ). (2)

к

В последнее время большой интерес ¡¡„)зывают исследования свойств известных фпоичеехпх систем в многомерных пространствах. Такие исследовании ведутся как во многих вариаптах теории поля, так и в квантовой механике. В спяои с от им возникает естественный вопрос: существует ли свааь между атомом водорода и гармопичеекпм осциллятором в пространствах других раомерпостей? Частичный ответ на этот вопрос дан п четвертом параграфе, где устаповлепа евлоь между кулоновег.ои функцией Грина нятимерного атома водорода и функцией Грина восьмпмерпого гармонического осциллятора.

Во второй главе, в параграфах 1 и 2 продемонстрирована эффективность операторного представления кулоповской функции Грина на примере нахождения волновой функции и оперши основного состояпия атома гелия.

В третьем параграфе операторный метод испольоован для построения решений так':>: нелинейных уравнений, лоторые воо пикают в оадаче о поллроне в режиме сильной сплои и оадаче о хартри-фоховском атоме

гелия. Здесь же показано, что операторный метод приводит к опаче-нию энергии основного состояния поляропа с рекордной точностью

Еа = —0.1085128052а2, = -0.108513а2,

где а - константа свяои, - точное решение, полученное Мия-

ке (J. Phye. Soc. Jap., 1975, 38, р.181; J. Phys. Soc. Jap., 1976, 41, p.747). Следует отметить, что операторный метод пооволяет с доста-

для вообужденных состояний, которые обычно выоывают оатруднение в других методах.

Третья глава диссертации посвящена нахождению удобных в приложениях алгебраических представлений функции Грина для дираковской частицы, движущейся в кулоновском ноле и некоторым их применениям. В первом параграфе описано уравнение в двумерном комплексном пространстве для дираковской частицы в кулоновском ноле.

Во втором параграфе на основе уравнения, описанного в нервом параграфе этой главы, установлено операторное представление релятивистских кулоновских функций Грина:

точно высокой точностью найти также энергии и волновые функции

Вы = Е d,(N/2)M\ (3)

00

где

+ з + 1)!

r(f+*-7+Ê-q±) r(f+ 7 + 1-«.) r(f-7 + f-«±) r(f + 3 + 7 + 1 -a±)

s

M' ,

a± = Zêtlw ± 1/2; 7 = - 1 + v/к3 - ZV; и ^у/Г^ё5,

а 1: орбитальное квантовое число, к: собственное оначение оператора к = 1 -!- (тд/х, е: онергия. Операторы обраоуют алгебру группы 50(2,1).

В третьем параграфе проиллюстрирована эффективность предложенного метода па примере вычисления поляризуемости водородопо-добных атомов с большим оарядом ядра. Полученный реоультат

о = с0 + 6, (5)

где

(с + 1)(2е + 1)(4е3 + 13е + 12) (е - 2)3Г(е + 7 + 4) Г(3 + е - 7)

а0 =- - — - — —

6=-

Зби;4 216(7 ~ £ + 3) Г(2е) еы<

(е — 2)2Г(е + 7 + 4) Г(3 + е — 7)

36еа/«Г(2е) Г(-е - 7) Г(-е + 7+1)

Га Щ--£-7)Г(&-£ + 7 + 1)_ 1£Г| к\(к + г)\(к + 1-е + 3)

х V« Г(д - е + 7 + 1) Г(д - е - 7 + 2) »-1 Г(з - £ - 7) Г(д - е + 7 + 3) (я + 3)! Г(д — е + 7 + 4) ¿Ь 5!Г(з-£-7 + 3) Г

7 = -2 + \/4 - гге4

полиостью совпадает с иовестпыми результатами (см. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л. ЯФ, 1976, Т.23, с.917: Лабоовсхий Л.Н. Вестник ЛГУ, 1973, Т.10, N2, с.19) кроме того, естественным обраоом выделяет простую аналитическую чгйлъ (о0), которая с высокой точностью (погрешность меньше 1%) аппроксимирует поляриоуемость релятивистского водородоподобпого атома с любым оначением оаряда ядра 2 < 137.

Четвертый параграф посвящен расчету динамической поляризуемости релятивистского водородоподоопшо атома. С использованием координатного представления кулоновской функции 1'рипа вычисление релятивистской динамической поляризуемости встречает определенные трудности, что и объясняет отсутствие в настоящее время ее точного выражения. Использование операторного представления релятивистской кулоновской функции Грина дает следущую формулу для динамической по.тяриоуемости (и - частота внешнего поля):

(6)

а^+у) -

4шцщк\ (А\

В \

-г сии)- I В

II

01

Ли2{ш - Л1 (и ~ ;<;„)" Л

Ни . СО

где

о;0 = 7, с', ш = \[\ — {ей - I')2,

л± = * .УГГ-н Ср)(1 - е„ -и)},

и —--;----I. — 1> - .

№ "г С^о Ш и!

Г(д + с0 - 7) Г(у + 3 -г ец - ■у) ? ,Ь - .'Л

Г(9 + ео-7-т)(Ч + 3)! Ы ' (/<-•<)' Ч 1 I

К)

, ч Г(/-А- 1 с0 + у)['(!4 -<- £п + У)

'1 > ~ 3)! '

Детальное исследование показывает, что полученная формула в нереля-тнвнстском пределе совпадает с результатами, полученными другими авторами, а в статическом пределе (с —>■ 0) совпадает с формулой (5).

В '.Заключении перечислены основные результаты и выводы работы, состоящие в следующем:

- установлена связь между функцией Грина для 4-мерного комплексного гармонического осциллятора и функцией Грина атома водорода в 5-мерном пространстве;

- продемонстрирована оффективпость установленного операторного представления многочастичной кулоновской функции Грина на примере вычисления волновой функции и пнергии основного состояния атома гелия;

- покапана эффективность операторного метода для решения нелинейного уравнения Шредингера па примерах задачи о поляропе в режиме сильной связи н задачи о хартри-фоковском атоме гелия. Получено зпачение онергии основного состояния полярона с рекордной точностью. Получены также уровни онергии нескольких первых возбужденных состояний;

- на основе установленного операторного представления релятивистской кулоновской функции Грина вычислена статическая поляризуемость водородоподобных мпогооарядньтх ионов. Показано, что полученный результат естественным обрмзом выделяет простую часть, которая с высокой точностью аппроксимирует поляризуемость релятивистского водородоподобного атома с любым значением заряда ядра 'А < 137;

- на основе использования операторного представления релятивистской кулоновской функции 1^)ина вычислена дипамнческая релятивпет-

екая поляризуемость водородоподобных атомов. Нокаоано, что полученная формула в церелятивистсхом и статическом пределах полиостью совпадает с иовестными реоультатами.

Основные реоультаты диссертации опубликованы в работах:

1. Jle Ань Тхы, Ле Ван Хоанг. О кулонов екай функции Грина в пгтимерном пространстве. // Весщ АН БССР, сер. фт-мат. навук, 1991, N6, с.44-49.

2. Le Van Hoang, Tony J. Viloria, Le Anh Tim. On the Hydrogenlike atom in five-dimensional space. //J.Phys.A: Math. Gen., 1991, V.24, p.3021-3030.

3. Le Anh Thu, Hoang Quoc Khanh, Komarov L.I. Operator method for solution of the nonlinear Schrodinger equation. //Workshop "Quantum systems: New trends and methods."(proceeding). Minsk 1994.

4. Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L.I., Romanova T.S. Operator representation of the Dirac Coulomb Green function and relativistic polari-zability of Hydrogen-like atoms. //J. Phys. B: At. Mol.Phys., 1994, V.27,

5. Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L.I., Rouianova T.S. Operator representation of the Dirac Coulomb Green function II: Dynamical relativistic polarizability of Hydrogen-like atoms. //J. Phys. B: At. Mol. Phys., 1994, V.27,

6. Ле Ань Тхы, Ле Ван Хоанг, Комаров Л.К., Романова 'Г.С. Операторное представление релятивистских кулоповских функций Грина и некоторые его применения. //ЖЭТФ (к публикации).