Конструктивный анализ управляемых колебательных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

3 0 6 9

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛАПТИНСКИЙ Валерий Николаевич

КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕШХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения 01.01.II - системный анализ и автоматическое

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

управление)

Ленинград - 1990

Работа выполнена в Могидевском отделении ордена Трудового Красного Знамени Института физики Академии наук Белорусской ССР

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЗАВАЛЩИН Станислав Тимофеевич;

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич?

доктор физико-математических наук, профессор РЯБОВ Юрий Александрович.

Ведущая организация - Институт математики Академии наук Украинокай ССР.

^ Защита состоится ___Щ/г. в

<7___часов на заседании специализированного соведе Д 063.67.33

по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Ленинградском государственном университете по адресу: 199004, Ленинград, Васильевский остров, 10-я линия, дом.33.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.И.Горького Ленинградского университета (Ленинград, Университетская набережная, 7/9).

Автореферат разослан "

ученый секретарь усса-д^

специализированного совета Д 063.57,33 -ЕДгХаритадав

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТН

I |

ссаргаций Актуальность теш

Изучение многих задач современной механики, физики и техники связано с исследованием управляемых колебательных систем. За последние десятилетия особенно усилился интерес к всестороннему и глубокому изучению колебательных процессов, возникающих в системах электро- и радиотехники» робототехники, динамики космических полетов, приборостроения й других разделах современной науки и техники•

Теории колебаний посвящена обширная литература. Основное внимание уделяется периодическим и почти периодическим решениям обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих нелинейные колебания. Хорошо известно, что наиболее важными для практики являются гармонические колебания. Они ваяны прежде всего потому, что многие встречающиеся в природа и технике колебания с очень хорошим приближением описываются синусоидальным законом.

Несмотря На большое количество исследований, многие вопросы теории периодических решений систем дифференциальных уравнений в общей постановке еще не получили в современной математической науке законченной фермы. В должной мере не изучены вопросы получения коэффициентных условий существования и разработки удобных для практического применения алгоритмов построения периодических / решений, вопросы их устойчивости, стабилизируемости. Поэтому, в связи с задачами управления колебаниями в нелинейных системах, разработка новых эффективных аналитических методов конструктивного анализа периодических решений и их стабилизации является актуальной.

Цель и задачи работы

- разработать новые аналитические методы конструктивного анализа периодических решений систем нелинейных дифференциальных уравнений;

- на основе предложенных методов получить коэффициентные достаточные условия существования и разработать удобные для практического применения алгоритмы построения периодических решений различных классов систем дифференциальных уравнений;

3

- применить полученные результаты к исследованию некоторых задач математической теории управления.

Научная новизна

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующей:

- разработаны методы конструктивного анализа периодических решений различных классов неавтономных систем дифференциальных уравнений;

- на основе предложенных методов исследуется разрешимость периодических краевых задач, конструируются аналитические алгоритмы построения решений и их стабилизации.

Эти методы в целом опираются на следующие полученные автором результаты.

1. Подход к исследованию параметрических систем дифференциальных уравнений, основанный на переходе от задачи Коши с фиксированным . параметром к соответствующей задаче Коши для системы дифференциальных уравнений с варьируемым параметром и фиксированным временем.

2. Методика получения эквивалентных интегральных уравнений для краевых задач.

3. Подход к изучению структурных свойств периодических решений, основанный на предложенной проекционной интерпретации метода Фурье для периодической краевой задачи.

4. Способы расчета коэффициентов матрицы обратной связи прямого аналитического регулятора.

Теоретическая и практическая ценность

В теоретическом аспекте полученные в работе результаты существенно обобщают и обогащают соответствующие исследования в области математического анализа, а в ряде случаев они несопоставимы ввиду отсутствия аналогов. Разработанные методы-позволяют исследовать нелинейные колебания в сложных системах. Они применимы к функционально-дифференциальным уравнениям, к разностным уравнениям, к уравнениям в частных производных и могут быть перенесены на уравнения высших порядков. Эти методы могут быть использованы в тех областях науки и техники, которые связаны с изучением улрав-

4

ляемых нелинейных колебаний. Полученные результаты применены к решению задачи стабилизации периодических систем управления. Приведенные примеры показывают, что эти результаты приводят к существенно новой информации о периодических решениях дифференциальных уравнений.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах: по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственной университете; Ленинградском городском семинара по теории нелинейных колебаний; Ленинградском городском семинаре по теории дифференциальных уравнений; по теоретической кибернетике в Ленинградском государственном университете; по теории стабилизации в Ленинградском государственном университете; по теории дифференциальных и интегральных уравнений в Киевском государственном университете; по теории нелинейных колебаний и математической физике й Институте математики АН УССР; по теорий дифференциальных уравнений - Республиканский проблемный семинар й Белорусской государственном университете; по функциональному анализу в Белорусском государственном университете; tío теории Дифференциальных И интегральных уравнений в Институте математики АН БССР; по Численный методам математической физики в Институте математики АН БССР} fio качественной теории оптимального управления в Институте математики АН БССР.

Материалы диссертации представлялись и обсуждались на IX, X, XI Международных конференциях fía нелинейным колебаниям (Киев, 1981; Варна, 1984; Будапешт, 1987); Международной конференции "Математические методы в исследовании операций" (София, 1987); Ш конференции по дифференциальный уравнениям и применениям (Руссе, Болгария, 1985У; У1 Чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и и* Применениям (Брно, 1985); Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1976); Ш, 1У, У Республиканских конференциях математиков Белоруссии (Минск, 1971, 1975; Гродно, Í979).

Некоторые результаты из первой главы применены в теории линейной связности и континуальной кинематике. Эти исследования рроводились автором и А.К.Лапковским. Результаты опубликованы в

5

17 работах и вошли в монографию А.К.Лалковского ""Релятивистская кинематика, неэвклидовы пространства и экспоненциальные отображения". - Минск: Наука и техника, 1985.- 264 с. Часть результатов докладывалась на семинарах, академика АН СССР А.В.Погорелова и академика АН БССР Ф.И.Федорова.

Публикации

Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 18 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работц

Диссертация изложена на 340 страницах машинописного текста, состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 157 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе "Вариация параметра в дифференциальных уравнениях" излагается подход к исследовании систем дифференциальных уравнений, основанный на варьировании параметра. В его основе лежат приемы, широко используемые в теории возмущений, в методе обратной задачи рассеяния, при разработке численных методов и т.д. Сущность подхода заключается в переходе от векторного дифференциального уравнения

= хОь.аИХр, (I)

где и,х,\) £ (Я X (к" Х/Д , к соответствующему дифференциальному уравнению

Здесь функция является решением уравнения

хИл^ъ •

&

Вектор-функция О^ЗТ А) определяется как решение задачи

Коши

1-Г'

где эск , - компоненты векторов соответственно X , •

Путем исследования уравнения (2) удается получить новую информацию о решениях уравнения (I).

Трудностью в применении отого подхода является невозмояность аналитического представления функции в простом виде.

В § 1.1 основное внимание сосредоточено на изучении уравнения (I) с аналитической по X правой частью. В этом случае на основании метода малого параметра найдено представление функции в виде ^

а.«.*.», 13>

позволяющее получить новые структурные свойства решений уравнения (I). С помощью разработанной модификации метода мажорант изучен вопрос сходимости ряда (3); соответствующие оценки доведены до коэффициентного уровня.

В последующих параграфах исследованы линейные системы. Использование метода вариации параметра позволяет учесть некоторые алгебраические и функциональные свойства матриц коэффициентов.

В § 1.2 указанный подход развит применительно к линейным системам вида

= (4)

В этом случае система (2) имеет вид

где матрица Р определяется из ураэнения

Ж (КРЬАР-РА),

п

в виде

Здесь

Р =Г РМ.

к=о *

Основной прием, используемый в §§ 1.2-1,5, заключается в сведении задачи

$ = Шо,*) = Е; (5)

к эквивалентной задаче где £ - единичная матрица,

Ж ^ -1

К*о

При этом в §§ 1.3-1.5 применяется полученная обобщенная формула Кэмпбелла-Хаусдорфа-Бейкера (см. лемму 1.3.1), которая формально является аналогом равенства

А+в А В

е -ее

для некоммутирующих матриц Д и В .

В частности, в § 1.2 показано, что для интегральной уатрицы , Ц(о,л) = Е , системы (5) имеет место оценка (см. теорему 1.2.1)

' * к=о

где

%> ^ Рп/г)Шгетр(2Ш1), т=о, 1,.^татМ1

В данном параграфе приведены интегро-функциональные тождества типа Самойяенко, полученные на основа метода вариации многих параметров.

В случае, когда ♦ в 5 1-3 для интегральной матри-

цы системы (4) получены представления в виде мультипли-

кативных интегралов

В § 1.3 более полно изучена система (5). Получены экспоненциальные представления типа Магнуса (решение строится в виде одной экспоненты), Грина-Фера (решение строится в виде бесконечного произведения экспонент) интегральной матрицы ¿^(^л) • Найдены случаи интегрируемости в конечном виде, аналогичные случаю И.А.Лаппо-Данилевского. Дано применение экспоненциальных представлений к интегрированию обобщенных кинематических уравнений Пуассона.

В § 1.4 на основе полученных представлений интегральной матрицы а,2) Даны эффективные достаточные условия однозначной разрешимости линейной многоточечной краевой задачи

= АШх + р, (6)

где Ос , ^ — п - мерные векторы, , М, - вещественные квад-

ратные матрицы порядка П • 1

В аналогичном плане рассматривается задача для системы (6) с функциональным условием со

Шадг^о,

о '

где Я^Ц) - вещественная П ХЛ - матрица, элементы которой суть функции ограниченной вариации, /казаны алгоритмы построения решений этих задач.

В § 1,5 приведены достаточные коэффициентные условия асимптотической устойчивости линейных периодических систем проиэволь-

9

ной (конечной) размерности (си. теоремы 1.6.1-1.5.3). Эти условия обобщают соответствующие результаты для линейных автономных систем, других аналогов нет. Например, в теореме 1.5.2 утверждается, что если при некотором целом т>,0 выполнены условия

то и) - периодическая система с1х/(}{- - (\ ({)Х асимптотически устойчива. Здесь

матрица Ц (Ь определяется как решение задачи »тг ' '

Отметим, что матрица коэффициентов линейной системы с варьируемым параметром имеет коммутаторную структуру, В основном этим определяется конструктивность разработанных алгоритмов построения фундаментальных матриц и их оценок, эффективность полученных достаточных условий асимптотической устойчивости линейных периодических систем.

Во второй главе "Алгоритмы построения периодических решений линейных систем, содержащих малый параметр" описывается построение СО - периодических решений систем линейных дифференциальных уравнений вида

+ (7)

с и) - периодическими коэффициентами в резонансном случае — сис-. тема

имеет , , линейно-независимых и) - периодических

решений.

В § 2.1 конструирование алгоритмов основано на учете анали-

Ю

тической структуры матрицы Грина однородной задачи, соответствующей (7), и использовании метода малого параметра: периодические решения строятся в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени Л ■ Эти решения удовлетворяют системе интегральных уравнений вида

где периодическое решение системы (8), матрицы >

\д/ записаны с помощью матрицы Д(^) и интегральной матрицы У^ системы (8),

Разработана методика конструирования аналитических вычислительных алгоритмов, удобных для практического применения. Оценки области сходимости полученных рядов выражены через коэффициенты системы (7).

В частности, в § 2.2 детально изучена задача о (л) - периодических решениях системы

| = (9)

Приведем один из алгоритмов, разработанных для системы (9). Если с!Н:В(ш) + о , Ш уЛ^ио^, то ц) - периодическое решение системы (9) существует, единственно и представимо рядом

оо

к=о

где [Ч - корень уравнения 1

^ ¡Техр[уТ(?-1)]с1г-1 -О

(с точностью до 0,001 имеем р = 3,416);

о О -у- '

. и> {

ШАШтШ^Ш*, к = 1,2.,...

Здесь и в дальнейшем приняты обозначения: 8(и))= ,

II о

тельно ■¿¿1% при

<к - МЯ?НШ11- Этот ряд сходится равномерно

/ У м ^

относи-

При этих значениях Л имеет место оценка

где С(л) - элективно определяемая положительная постоянная.

В этом параграфе рассмотрен случай, когда и

другие аналогичные ситуации (см. теорему 2.2.1).

В § 2.3 исследована аналитическая структура периодических решений системы

Эффективность полученных условий существования и единственности периодических решений, общность и простота вычислительных алгоритмов выгодно отличают разработанный метод от соответствующих методов Малкина, Шиманова.

В третьей главе "Итерационные методы построения периодических решений нелинейных систем" исследуются методы построения периодических решений нелинейных систем. В двазилинейном случае способ вывода алгоритмов основан на идеях А.Пуанкаре, В.И.Зубова, И,Г. Малкина, Ю.А.Рябова и согласуется с V - методом Азбелева регуляризации краевых задач. Для изучения нелинейных периодических систем развит метод сведения дифференциальных уравнений к интерро-функциональныы, предложенный А.Н.Самойлечко.

В § 3.1 разработана методика получения интегральных уравнений, эквивалентных СО - периодической краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений

дическая по * .Здесь (г = -|*?:г с ЦлЧК?^ КЯ.

Например, в случае, когда матрица

I дзс й1

является неособой, векторное интегральное уравнение имеет вид

о' оо -¿Г

Этот подход характерен тем, что не требует специальных процедур отыскания начальных значений искомых периодических решений, в то время как в близком ему численно-аналитическом методе Саыойленко эту задачу следует решать численным методом.

При помощи разработанной методики получены уравнения первого и второго приближений в методе усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. В линейном случае из этой методики следует отличный от метода Еругина алгоритм построения показательной матрицы. В отличие от указанных методов здесь строится преобразование новых пространственных переменных через старые. Получен приближенный (формальный) метод интегрирования систем дифференциальных уравнений, объединяющий в себе метод интегро-функциональных тождеств и метод преобразования.

В § 3.2 разработаны общие (прямые) итерационные алгоритмы построения периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. С помощью этих алгоритмов приближенные решения строятся в виде равномерно сходящихся последовательностей периодических вектор-функций. Получены коэффициентные оценки их скорости сходимости. Эти алгоритмы имеют вид

где ^ФС^Зг) - матрица Якоби для х) по отношению к ЯГ , Ф = УФ(т о)с1т » начальное приближение 9Со = С0П^'является решением векторного конечного уравнения

Со

$4(г,с)с|Г=0.

Несмотря на сложность алгоритмов перехода от ЭГ^ к Хк+1 , в некоторых случаях соответствующие вычисления можно провести. Например, это можно сделать для скалярного уравнения Риккати

. • ш ш

Получены локальные коэффициентные условия существования и единственности СО - периодического решения этого уравнения; для построенных приближенных решений приведены коэффициентные оценки погрешности.

В §§ 3.3, 3.4 приведены и исследованы прямые итерационные алгоритмы построения и) - периодических решений соответственно систем

= + ПО)

с Ы- периодическими по £ правыми частями.

Центральное внимание здесь уделяется разработке аналитических алгоритмов, вопросам сходимости и оценкам. Предлагаемые итерационные схемы сводят вычисление периодических решений к простым операциям, удобным для практического применения. Получены коэффициентные оценки скорости сходимости алгоритмов. Приведем один из алгоритмов, разработанных для системы (10).

Пусть матрица неособая и выполнены неравенства

где

Р = тах ¡АШгМг^, оШ) +1] ВГы) ¡Щ ,

£ - постоянная Липшица для вектор-функции , т) относительно От. Тогда в области {^Т ¡/хЦ^ р) и) - периоди-

ческое решение системы (10) существует и единственно; это решение является пределом равномерно сходящейся последовательности си -периодических функций, полученных согласно алгоритму

йшЛшгШ ю Г^Й)^ (ЩдШ-виуьх^ъ

-1 ^

где ссо=0 , --в(и>)У(г,о)4т .

Одним из классических методов построения периодических решений дифференциальных уравнений является метод Фурье. Трудностью в применении этого метода является вычисление коэффициентов соответствующего ряда.

Л.Чезари предложил искать периодическое решение ОС в виде

где Ц^ - сумма т первых членов ряда Фурье для Я" , -остаток. Он получил интегральные представления для , ,

определяемые из дифференциальных уравнений по соответствующим операторам проектирования ^ » I - • С помощью этих представлений задача нахождения периодических решений сведена к решению конечномерной системы алгебраических уравнений, которая, как правило, неизвестна точно. Метод Чезари не является конструктив- ным - пригоден для уравнений о гладкими правыми частями и реализуем, в основном, при больших (в этом случае метод Галэркина эффективнее).

Е.Н.Розенвпссер предложил следующий способ: .интегральные представления для Цт , рассматриваются как .система интег-

ральных уравнений относительно этик величин. Однако и для этого способа требуется гладкость правых частей уравнений (при рассмот-

15

рении классической постановки задачи).

В четвертой главе "Фурье-аппроксимации периодических решений систем дифференциальных уравнений" предлагается другой подход к решению задачи о периодических решениях систем дифференциальных уравнений. Периодическое решение системы

$ = (И)

ищется в виде

¿Г-

пери-

'т КГ1 к *

одическая вектор-функция % Н) подчинена граничным условиям (условия ортогональности) т

1Т * ' . &

(13)

к = 1, 2,..., т.

Этот подход является модификацией проекционного метода (метод Ритца, Бубнова-Галеркина и др.) I использующей точное представление искомого решения. Задача о ХТ\ - периодических решениях системы (II) сведена с учетом представления (12) и граничных условий (13) к эквивалентным системам интегро-алгебраических уравнений типа Чезари •тносительно новых неизвестных величин С , Нт(1) Для получения этих систем развита соответствующая методика, разработанная в предыдущих главах.

Отметим, что задача (Н)-(13) эквивалентна задаче наилучшего приближения в среднем Х1\ - периодических решений тригонометрическими полиномами порядка щ .

Предложенный подход позволяет получить эффективные достаточные условия существования и алгоритмы построения решений, удобные для практического применения. В этом заключается одно из преимуществ данного подхода по сравнению с известными методами решения задачи. Другое преимущество заключается в том, что снимается требование гладкости правых частей уравнений.

16

В § 4.1 используется представление (12) при т = 0

я-а-%({■). (14)

Подробно рассмотрен линейный случай. Получены эффективные условия существования и единственности и) - периодического рене-ния системы вида (9) путем исследования векторного интегрального уравнения

ш

Ц ад = л + ¡¡ш,

где

■¿•Г ¡(«^-¿шмфи, г^,

о 4

ы,

и

С помощью метода, развитого в главе П, разработаны и исследованы алгоритмы построения решений, удобные для практического применения. Разработанный метод перенесен на дифференциальные уравнения с запаздыванием.

Представления периодических решений в виде (14) использовали Н.Н.Боголюбов (мл.), Н.П.Ерурин, В.И.Зубов и Г.Проди при разработке своих методов. К этой идее близка идея метода Красносельского.

В § 4.2 исследована линейная периодическая система на основе представления (12). В § 4.3 ото представление изучено применительно к нелинейной системе (II).

В § 4.3 более подробно исследована квазилинейная система

Получены эффективные условия существования и единственности периодического решения; выведены его априорные оценки. Эти условия позволяют полностью учитывать спектр матрицы (\ (см. теорему 4.3.1). Предложен проекционно- итеративный алгоритм построения решения, удобный для практического применения. Вычислительная схема алгоритма определяется методом итераций, примененным к полученной системе интегральных уравнений

тт Ш = 5 тт (вп^фг,

гдг

где

= г "А

Для иллюстрации разработанного метода в нелинейном случае рассмотрено скалярное уравнение Риккати

(15)

где р(Ш)=р(+) , р(+)фО .

Показано, что при достаточно малых СО уравнение (15) имеет два и) - периодических решения. Эти решения лежат в области значений

№\<г\1а ,

ы

где ; 0.>0 . "

В § 4.4 данный подход применен к конструктивному анализу - периодических решений нелинейной системы 16

Важным элементом в построениях предыдущих глав являются фак-. тически некоторые разделы анализа функций в некоммутативных банаховых алгебрах. Часто возникала необходимость использования формулы Тейлора и близких формул (Кэипбелла-Хаусдорфа-Бейкера и обобщения этой формулы).

В пятой главе "Операторные методы построения решений систем линейных дифференциальных уравнений" изложен подход к конструированию аналитических алгоритмов, основанный на функциональном (символическом) исчислении операторов в банаховых алгебрах.

Основная часть этой главы посвящена анализу формулы Тейлора для аналитических функций от некоммутирующих операторов.

В § 5.1 для таких функций получена формула (см.теорему 5.1.1)

, »6)

Р=1

где

А - т

Здесь£А=(2Л-/0~\р(1Х(У)=ХУ-УХ ¡А Л ,У -элементы некоммутативной банаховой алгебры, I - тождественный оператор; Р - контур, охватывающий спектры операторов Б и Б +// в ласти -52. С (Г .

В основе формулы (16) лежит операторное тождество

~ 2 к-и к

Найдена оценка остаточного члена; для круга ^¡¿^ эта оценка имеет вид

ир||< ¿яш» (мт\якК

где - верхняя грань на Г

19

Полученная формула Тейлора обобщает соответствующий результат Н.Данфорда и Д*.Шварца для коммутирующих операторов.

В § 5.1 показано, что эту формулу можно рассматривать, в частности, как аддитивный аналог формулы Кэмпбелла-Хаусдорфа-Бей-кера. К этому параграфу по своему содержанию примыкает § 5.4,в котором изучена структура и вид области сходимости матричного степенного ряда с матричными коэффициентами.

В § 5.2 операторный подход иллюстрируется на примере системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

В 5 5.3 приведена обобщенная классическая формула Тейлора. Эта формула принадлежит направлению обобщений формулы Тейлора, развитому в работах Е.Я.Ремеза, Х.Летерсона. Полученная формула иллюстрируется на примере построения эквивалентных интегральных уравнений для некоторых краевых задач.

В эту схему вписывается приведенный в § 5.5 алгоритм приближенного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений, основанный на треугольном расщеплении матрицы коэффициентов. Обоснование сходимости алгоритма связано с использованием полученного обобщения теоремы Лапласа для определителей.

Завершающая глава У1 "Стабилизация периодических систем управления" посвящена изучению такого важного вопроса математической теории управления, как проблема стабилизации. Результаты исследований, изложенные в предыдущих главах, применены к решению задачи стабилизации линейной и> - периодической системы управления

= (17)

где (■1:>х,и)б(Я ХЖ^ХШ*; А , б - класса С СО - периодические матрицы соответствующих размерностей. Используется также теория приводимых систем, развитая Н.П.Еругиным и некоторые идеи В.И.Зубова в теории управления.

В § 6.1 получены эффективно проверяемые достаточные условия стабилизируености путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования и дан конструктивный метод построения стабилизирующих управлений; при этом' коэффициенты усиления определяются в замкнутой форме через элементы матриц Д , б и приближенно вычисляются мультипликаторы замкнутой системы. Эти результаты получены на основе достаточных признаков устойчивости, при-

20

веденных в гл.1.

В §§ 6.2, 6.3 изложен способ расчета коэффициентов матрицы обратной связи прямого аналитического регулятора, которая позволяет выбирать мультипликаторы замкнутой системы любыми наперед •заданными. Получены эффективные достаточные условия стабилизиру-емости и разработаны конструктивные алгоритмы построения стабилизирующих управлений. Этот способ основан на задании в требуемом виде показательной матрицы замкнутой системы и сведении задачи стабилизации к периодической краевой задаче с функциональными параметрами. Здесь применяются методы построения периодических решений, разработанные в главах П, 1У.

Подходы, используемые в §§ 6.1-6.3 характерны тем, что множество матриц обратной связи зависит от двух матричных параметров, свобода выбора которых может быть использована при решении некоторых задач стабилизации колебаний.

В § 6.4 на основе результатов исследований, изложенных в главах Ш, 1У, получены эффективные достаточные условия существования и разработан конструктивный алгоритм построения оптимального стабилизирующего управления линейной СО - периодической системой (I?) по отношению к функционалу

о

где Р й - класса С и) - периодические матрицы соответственно размерностей ДХП , ^х? ; |?. Решение задачи о пострвении оптимального стабилизирующего управления сразу сводится к построению периодического стабилизирующего решения соответствующего матричного дифференциального уравнения Риккати. На основании разработанных в главах Ш, 1У методов построения периодических решений дифференциальных уравнений предложен конструктивный итерационный алгоритм построения стабилизирующего решения уравнения Риккати, заключающийся в построении равномерно сходящейся последовательности периодических матриц-функций, определяемых рекуррентными интегральными соотношениями, при этом в качестве начального приближения выбирается стабилизирующее решение алгебраического уравнения Риккати, получающегося из правой части дифференциального уравнения Риккати путем усреднения коэффициентов по времени.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертации разработаны методы конструктивного анализа периодических решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида. Методы опираются на следующие полученные автором результаты.

1. Подход к исследованию параметрических систем дифференциальных уравнений, основанный на переходе от задачи Коши с фиксированным параметром к соответствующей задаче Коши для системы дифференциальных уравнений с варьируемым параметром и фиксированным временем.

2. Методика получения эквивалентных интегральных уравнений для краевых задач.

3. Подход к изучению структурных свойств периодических решений! основанный на предложенной проекционной интерпретации метода бурье для периодической краевой задачи.

4. Способы расчета коэффициентов матрицы обратной связи прямого аналитического регулятора.

5. Эффективные достаточные условия существования и единственности, стабилизируемэсти периодических решений различных классов неавтономных систем дифференциальных уравнений.

6. Конструктивные алгоритмы Построения периодических решений и стабилизирующих управлений неавтономных систем дифференциальных уравнений, удобные для практического применения.

0сНО£НЫе_П£блИК8£ИИ ПО_ДИССв£Т£ЦИИ _

1. Лаптинский В.Н. О линейных дифференциальных системах. - Дифферент уравнения. 1972. Т.8, #2. С.249-253.

2. Лаптинский В.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами. - Украинский матем.журнал, 1975. Т.27, № 3. С.378-383.

3. Лаптинский В.Н. О линейных системах с? периодическими коэффициентами.- Диффзранц.уравнения. 1975. Т.II, № 10. G.I899-I90I.

4. Лаптинский В.Н. Исследование устойчивости линейных периодических дифференциальных систем методом вариации параметра. - Дифферент уравнения, 1976. Т.12, № 9. С.1715-1718.

5. Лаптинский В.Н. Разложение функций от некоммутирующих матриц.-Доклады АН БССР, 1977. T.2I, № 6. С.485-487.

6. Лаптинский В.Н. Метод вариации параметра и мультипликативный интеграл.-Украинский матем.журнал.1977.Т.29, М. С.534-537.

7.'Лаптинский В.Н. Об одном алгоритме построения периодических решений линейных систем второго порядка,- Известия АН БССР. Сер.физ.-мат.наук. 1978. № 3. C.II3-II6.

8. Лаптинский В.Н. Коэффициентные признаки устойчивости линейных периодических систем.-Доклады АН БССР.1978.Т.22,№ 9.С.773-775.

9. Лаптинский В.Н. Об одном методе регуляризации периодической краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. -Минск,1979.-16 с.(Препринт/Институт физики АН БССР: № 176).

10. Лаптинский В.Н. Об одном итерационном методе в теории нелинейных колебаний. Известия АН БССР. Сер.физ.-мат.наук. 1980, № 2. С.6-12.

11. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н, Об оценках периодических решений дифференциальных уравнений. - Доклады АН УССР. Сер.А.

1982. № Г. С.30-32.

12. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений

неавтономных дифференциальных уравнений.- Дифференц.уравнения.

1983. Т.19, № 8. C.I335-I343.

13. Самойленко А.М., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. О некоторых итерационных методах отыскания периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений.- Украинский матем. журнал. 1984. Т.36, № 3. С.346-352,

14. Лаптинский В.Н. Об одном алгоритме построения периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений. В mi,: IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев: Науко-ва думка. 1984. T.I. C.2I9-22I.

15. Лаптинский В.Н. О построении периодических решений, дифференциальных уравнений.- Дифференц.уравнения. 1984. 1U2Q. № 3. С.536-539.

16. Лаптинский В.Н. Фурье-аппроксимации периодических, решений нелинейных дифференциальных уравнений.- Дифференц.уравнения. 1985. Т.21, № II. С.1899-1904.

17. Лаптинский В.Н. Стабилизация управляемых нелинейных колебаний.- Доклады А» БССР. 1987. T.3I, № II. С.975-977.

18. Лаптинский В.Н. К теории стабилизации линейных периодических систем управления,- Дифференц.уравнения. 1987. Т.23, № 12. С.1263-1264.