Контактные задачи плоской теории упругости с кусочно-гладкой границей раздела сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

_ вд

1 1 и " На правах рукописи

- 5 ИЮН 1995

ЕМЕЛЬЯНОВ АЛЕКСАНДР ПАВЛОВИЧ

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДМА СРЕД

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена

Научный руководитель— доктор физико-математических

наук, профессор Н.Ф.Морозов Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор С.А.Назаров, кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Проскура Ведущая организация - Санкт-Петербургский электротехнический университет Защита состоится " июкЗ 1995г. в часов

на заседании диссертационного совета К 063.57.49 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Ст.Пвтергоф, Библиотечная пл.,2, математико-мехаиический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт- Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб.,7/9.

Автореферат разослан

МОЛ, 1995г.

Учёный секретарь диссертационного совета К 063.57.49 кандидат физ.-мат. наук, доцент

Шепелявый А.Й.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и методн исследования. Плоские задачи теории упругости для кусочно-однородных тел с гладкой границей раздела сред рассматривались методом граничных интегральных уравнений в классических работах С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелшявили, Д.И.Шермана. Этот важный метод часто оказывается наиболее эффективным при исследовании и численном решении краевых задач, что обусловило его интенсивное развитие в работах по теории -упругости В.Л.Вендланда, Т.Круза, В.Д.Купрадзе, Н.Ф.Морозова, В.З.Партона, М.В.Паукшто, П.И.Перлина и других авторов.

Для математической теории упругости и её приложений в механике композитных материалов имеет существенное значение исследование напряжённо- деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек границы раздела сред.

Асимптотические методы, развитые в 60-80 годах'В.А.Кондратьевым, В.Г.Мазьёй, Б.А.Пламеневским, С.А.Назаровым, позволили изучить особенности напряжений в угловых точках для различных контактных задач (работы К.СЛобаняна, С .С. Заргаряна и др). Также*асимптотическими методами С.А.Назаров и А.Б.Мовчан доказали ограниченность напряжений в точке заострения степенного характера. Общий случай точки заострения остаётся не вполне изученным.

Работа выполнена методом граничных интегральных уравнений. Используются методы теории функций комплексной переменной. В первой главе для вывода интегральных уравнений применяется метод конформных отображений. Во второй главе используются методы теории локальных приближений, разработанные Ю.А.Брудным, П.М.Тамразовым, йМ.Дынькиным, Н.А.Широковым и др.

Цель работы - вывести интегральные уравнения для задачи кручения армированного цилиндра и плоской контактной задачи теории упругости с кусочно-гладкой границей раздела сред, исследовать их в различных функциональных пространствах и получить условия ограниченности напряжений в окрестности точки заострения.

Научная новизна заключается в новом подходе к построению граничных интегральных уравнений для задачи кручения армированного цилиндра, основанном на конформных отображениях, получении новых интегральных уравнений на линии раздела сред, допускающих решение методом последовательных приближений, получении новых достаточных условий ограниченности напряжений в точке заострения.

.• Все результаты, сформулированные в виде предложений и теорем, являются новыми.

Практическая ценность. Материалы диссертационной работы могут быть использованы для решения контактных задач теории упругости, в механике .композитов, а также при разработке специальных курсов и тем дипломных работ.

Апробация работы. Основные результаты.диссертации докладывались на'Всесоюзных конференциях в Риге (ноябрь 1986г.), в Пущино (ишь 1987г.),,в Одессе (сентябрь 1987г?), на Международном симпозиуме в Тбилиси (сентябрь 1991г.), на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского университета, на Герценовских чтениях в Педагогическом университете имени А.И.Герцена.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи научных работах.

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

- 5 -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Постановка задачи кручения цилиндра, армированного стержнем с поперечным сечением С,- , обобщает подход Сен-Венана для гладкой границы Г раздела сред на случай кусочно-гладкой границы односвязной области С^ , Диаметр предполагается, много меньшим расстояния от Г до внешней границы цилиндра, так что можно считать поперечным сечением последнего всю плоскость С с включением С^. Такая модель упрощает применение метода граничных интегральных уравнений к изучению напряжений вблизи Г •

Требуется найти непрерывную в 01 , имеющую конечный предел в бесконечности, гармоническую в областях функцию кручения = ^ > частные производные которой непрерывны вплоть до Г изнутри и снаружи, за возможным исключением множества узлов М , и удовлетворяет на Г4 (А условию

Здесь

ас;

обозначает замыкание области Ц- , И. - внешняя

для 0- нормаль к Г , - граничные значения нормаль-

ной. I п±

ной производной вдоль областей Ц- ,ул ^ - модули сдвига соответствующих упругих сред.

Предложение I. Решение ^ поставленной задачи, частные производные которого квадратично суммируемы в окрестности Г , единственно с точностью до произвольного постоянного слагаемого ^не влияющего на напряжённо-деформированное состояние].

Аналитическая в £ ^ Г функция Р с однозначна и

непрерывна вплоть до Г4(Л изнутри * снаружи. В работе изучаются условия единственности и существования достаточно гладкой вдоль Г функции Р (граничные значения Р ^ должны быть, по крайней мере, непрерывны). Поэтому вводится следующее

Определение. Комплексной функцией кручения называется кусочно-аналитическая функция Р , стремящаяся к нулю в бесконечности и удовлетворяющая на линии Г условиям сопряжения: •

где ^ - заданная липшицева функция, отличная от ненулевой постоянной. В задаче кручения ^ (0= ПН^.

В конце §1 доказано, что при ^=0 в классе ограниченных функций существует только нулевая функция кручения.

В §2 задача (Ц.Э), (13.3) переводится на окружность. Пусть оЦ - конформное отображение внешности единичного круга на область С- .о^00)*00, и - конформное отображение С^на . единичный круг D = [ | "Н | < \ -] , Тогда можно заменить Р на новую искомую кусочно-аналитическую функцию

которая должна удовлетворять задаче со сдвигом Л = ^ ° ^ на единичной окружности Т 5 { | ^ | ~ 1 ] :

М** 1 = (нал)

Такая функция И ограничена на плоскости.

Далее задача (З-М); (^Лобозначаемая^) , рассматривается в классе функций с гёльдеровыми граничными значениями вещественной части

Следствием предложения I в этих терминах является

Предложение 2. Не более чем одна функция 1Л с'ЯД!"^^//-^ (Ч может быть решением задачи (эк) .

Основным результатом §2 является сведение задачи (Ж-) к сингулярному интегральному уравнению на единичной окружности:

М Ш^к»^-Л Н(.г).

* V * V 1 Т

г,в .^„е^Н МвтяЬ^Н

При его выводе предполагается, что каждая закрытая дуга на Г", не содержащая узлов, ляпуновская, и что При более сильных ограничениях на контур Г уравнение (3.4,V) становится квазифредгольмовым в пространстве Гёльдера..

Предложение 3. Если0<1<,)$1 и (ТГ), то индекс

сингулярного оператора, представленного левой частью уравнения (2А1/), относительно пространства 00 равен нулю.

Доказано также, что однородное уравнение (&ММ) имеет только нулевое решение в любом классе Гёльдера. Отсюда вытекает

Теорема I. При условиях предложения 3 уравнение (ЯЛ.4/) и задача однозначно разрешимы в (Т).

Следствие 2. Если 0<£.<^ $ 1 ? Л'^Ир^ «^бЫр^ (Т), то граничное значение функции кручения в координатах, связанных с конформным отображением , удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 0 - Ь.

В §3 рассмотрены примеры кусочно-гладких линий Г",- демонстрирующие на основании теоремы I увеличение показателя гёль-деровостя функция 1^.1/1 при уменьшении угла между соседними гладкими дугами, составляющими Г, до нулевого.

В §4 выводится граничное интегральное уравнение для комплексной функции кручения на линии раздела сред :

где Ь = = ^ (К|)(г),

Оно однозначно разрешимо при условии

в таком банаховом пространстве функций на Г , где оператор £> ограничен и содержится функция ^ ; через X обозначен спектральный радиус этого оператора. Решение представляется в виде ряда последовательных приближений

гм=£А-(В%)(±) (Ш)

Теорема 2. Пусть 0< ? % - спектральный радиус оператора в пространстве . При условии (4,1.?)граничное

значение Р комплексной функции кручения удовлетворяет на Г условию Гёльдера о показателем ^ и разлагается в равномерно сходящийся относительно ряд

Если о!-, - конформное отражение

на ^г , б - обратное отображение разлагается в равномерно

сходящийся ряд Фурье оТ^ТГ, то нулевое

_ ■ Аео

приближение Р равно 4 (V) = X. 1ст, Л ^ $ 19 С4)] .где

вычет функции ^('Х- в бесконечности. Например, для гипотрохоидального сечения армирующего стержня,т.е. когда Г - образ единичной окружности при отображении ^(^г+т гГ11 (п = 1Д,.,^0$юК~)?нулевое приближение. Р (ч®^"^«) равно

Аналогично представляется следующий член ряда (НА*)

и приводятся расчётные формулы для приближённого решения задачи кручения в координатах, вводимых отображением ^ .

Плоская контактная задача теории упругости о нахождении двух кусочно-аналитических функций ^ и ^ с линией скачков Р , стремящихся к нулю на бесконечности и удовлетворяющих на Г условиям сопряжения _

также сводится методом Д.И.Шермана к уравнению (4.1. с

^ ^ ^, вообще говоря, следует пони-

мать в смысле главного значения. Далее указаны условия, обеспечивающие их абсолютную сходимость при любой ¿-°°(Г). Именно, если гладкая дуга, на которой лежат £ , задаётся в местной системе координат с началом в^ и осью ОХ , направленной по касательной к Г в точке ^ имеется в виду односто-

ронняя касательная), уравнением "Цас^хзс-кхо^х) ; ос

(ОС/

- соответствующая окрестность нуля), то при условиях

{ 1^ЦХ<+00 (Ц.^

I эс I

-ю -

ядра операторовТ^ и Т^ абсолютно интегрируемы на Г" (в узловой точке £ эти условия должны выполняться для каждой из двух сходящихся в ней гладких дуг). В дальнейшем эти условия предполагаются выполненными всюду на Г . Тогда интегралы (Т^ и(Г^)(з) можно понимать как некасательные пределы извне Г и

(т,|)(,ы(5|)(5)+г(д?)(;)> (ш)

в тех точках £ П-^где существуют правые части равенств.

Обобщённая Койфманом, Макинтошем и Мейером теорема Кальде-рона "о непрерывности I? в

, 1< р О позволяет теперь считать операторы Т^ и Т^ такими же.

Теорема 3. Пусть 1< р <.+ <*>; Т-спектральный радиус оператора В в /ДП ; При условии уравнение (*/. однозначно разрешимо в

С точки зрения механики разрушения интерес представляет поведение напряжений вблизи узлов линии Г . Напряжения, возникающие при кручении, определяются производной комплексной функции кручения Р" : _, ,

где X. - постоянная, характеризующая степень закручивания. В плоеной контактной задаче теории упругости напряжения также выражаются через производную решения уравнения

Здесь

В точках гладкости Г напряжения ограничены, в угловых точках*- нет. А.Б.Мовчан в С.А.Назаров доказали ограниченность

напряжений для плоской контактной задачи теории упругости в точке заострения, в окрестности которой линия раздела сред задаётся симметричными уравнениями вида

^ = ±ха>(х), о:е[0,1], (5.1.1)

где О)(ос)= Сх^ - положительные постоянные).

Таким образом, неисследованным остаётся случай точки заострения с , стремящейся к нулю медленнее, чем любая степенная функция.

Результаты первой главы опубликованы в [1,1,3,7].

Во второй главе рассматривается контур Г гладкости С всюду, кроме единственной точки возврата, в окрестности которой он задан уравнениями (5.1.1) , где непрерывная функция СО неотрицательна, не убывает и 10(О)=О . При основном условии (Ш) строится такое банахово пространство X гладких вдоль Г" функций, что оно инвариантно относительно операторов Уг £; ;Т^ и для любой аналитической в или 0- функции Р с граничными значениями из X её производная непрерывна вплоть до Г* .

В §5 (в работе принята сквозная нумерация параграфов) собраны предварительные сведения и технические ограничения на Г" . Именно, в дополнение к основному условию , бО предпола-

гается удовлетворяющей следующим ограничениям: и1

\ьо"(ас)\^еьй(х)сс"г, Осх^, (Ш)

сас< , 0< 0С5; ^,

' 0 ^ , 0<(Г<-1 (¿глч)

^ " " Г '

, не возрастает на (о,^] , (5"Д 5")

Эти ограничения несущественны для изучаемого 6 работе случая, когда основное условие выполняется"с минйм&льным' запасШЧ

- 12 -

В §6 вводится пространство X.

Определение. Непрерывная наГ функция | принадлежит X .если для любой дуги найдётся такой , что

(иА)

Здесь обозначает диаметр дуги I , .

С нормой 1^1 = Ьг| С КУ»а_х|Рр| множество X становится банаховым пространством;

X ¿Цг).

Показатель в(М-^) можно заменить любым числом Доказано, что при выполняется неравенство

£ С |{| для всех дуг I с Г. Следствие 6. Класс X - алгебра функций. Теорема 4. Если -£<2 X , то производная | (г) вдоль Г существует и непрерывна в каждой точке Е ^ Г.

Следствие 7. X С ¿лр^ (Г~)где Гверхняя и нижняя половины 17 Из аналога теоремы Уолпа-Сьюэлла о непрерывности вплоть до границы производной аналитической в односвявной жордановой области функции, гладкой я липшицевой вдоль границы, вытекает

Следствие 9. Если аналитическая в функция Р непрерывна в СЛСг"" и Р( р £ X , то Р' тоже непрерывна в

Гладкость функций X переменная: на дугах I , имеющих малый диаметр по сравнению с 1=1(1) , Ух, а

на остальных гладкость £ близка к С^,

При доказательстве непрерывности операторов £ и в X используется эквивалентное определение класса X : непрерывная на Г функция X тогда и только тогда, когда для любой дуги Xе Г существует бином Т* . , такой что

- 13 -

В теоремах 5 и 6 устанавливается ограниченность операторов Следствие 10. Функция ^оС^)-^!

входит в X .

Следствие II. .Ксли £ ^ X } то К | непрерывна в С£ Ср , В частности, доказана непрерывность в СС- производной комплексной функции кручения Р при условии и, значит,

ограниченность напряжений (^. 6. 1).

Возвращаясь к примеру кручения цилиндра с гипотрохоидальным сечением армирующего стержня, рассмотренному в §4, можно вычислить граничные значения напряжений. В точках Т* , . соответствующих точкам гладкости Г при отображении , на основании ((/,2.2) и (к.2.з) получается асимптотическое равенство

х; (О -1 у; (Г) = Iд* (Ат[а'пи (т))+

л - « г /

8>н2.

+(т1) ^^" +0(?) (».«.}

При гипотрохоида Г переходит в гипоциклоиду с И-И

НО

точкой возврата и особенности у напряжений исчезают. В работе приведены расчётные формулы для случая И -2-.

Непрерывность оператора Т^ ' X—* X вытекает из теорем 5,6 и формулы (^/Л.з)

Теорема 7. Оператор Т^ '• X—*Х непрерывен. Схема доказательства этой теоремы та же, что и при доказательстве непрерывности в X оператора $ , но теперь нужно использовать приближения полиномами первой степени от двух переменных с! -V с! ^ е^Т .

- 14 -

§10 содержит доказательство ограниченности напряжений в плоской контактной задаче теории упругости. Если »то при условии(М.7) соответствующее решение £

уравнения также входит в X, и согласно следствию II функ-

ция К{ непрерывна вплоть до Г . Таким образом, ограниченность напряжений^.3) вытекает из ограниченности функции Н , которая проверяется на основании формулы

где'ЦГ&Ъо С , - произвольный гладкий контур, ограничивающий область

Брегет*.

\ ц

Для оценки -2— используется доказательство теоремы 7.

Результаты второй главы отражены в совместных с В.М.Дыньки-ным публикациях [4,5,6^] . В [4*] высказана недоказанная пока-гипотеза о необходимости условия (^МЛ) для ограниченности напряжений в точке зострения.

Работы автора по теме диссертации.

1. Емельянов А.П., Н.Ф.Морозов, М.В.Паукшто. Исследование напряжённо-деформированного состояния в задаче об упругом пикообразном включении // Тезисы докладов шестой Всесоюзной конференции по механике полимерных и композитных материалов, Рига, 1386. С.55.

2. Емельянов А.П. Метод граничных интегральных уравнений в задаче сопряжения с пикообразным контуром // Вестник Л1У, Сер.1. 1987. Вып.2. С.126-128. :

3. Емельянов А.П., Паукшто М.В. Метод граничных интегральных уравнений в задаче об упругом пикообразном включении // Из-

вестйя АН СССР. Механика твёрдого тела. 1988. №5. С.89-93.

4. Дынькин Е.М., Емельянов А.П. Об.одном граничном интегральном уравнении теории упругости на контуре с точкой заострения // Вестник ЛГУ. Сер.1. 1988. Вып. 3. С.95-96.

5. Дынькин Е.М., Емельянов А.П. Ограниченность напряжений в плоских контактных задачах с заострением на контуре // Тезисы докладов на Международном симпозиуме по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа, Тбилиси, 1991. С.15.

6. Дынькин Е.М., Емельянов А.П. Ограниченность напряжений вблизи точки заострения в плоских контактных задачах // Известия вуаов. Математика. 1993, »2. С.21-32.

7. Емельянов А.П. Об одной задаче сопряжения на кусочно-гладком контуре // Качественная теория сложных систем. Межвузовский сборник научных трудов. Санкт-Петербург, изд-во "Образование", 1994. С.86-91.

ртп ргпу з.85 т.юо ie.oB.es.