Континуальные и структурно-феноменологические модели в механике сред с микроструктурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛИСИНА Светлана Александровна

КОНТИНУАЛЬНЫЕ И СТРУКТУРНО-ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ СРЕД С МИКРОСТРУКТУРОЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2009

003468024

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и в Нижегородском филиале Института машиноведения им. А.А.Благонравова Российской Академии Наук

Научные доктор физико-математических наук,_

руководители: профессор Уткин Геннадий Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Потапов Александр Иванович

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: Игумнов Леонид Александрович

кандидат физико-математических наук, Радостин Андрей Николаевич

Ведущая Институт проблем машиноведения РАН

организация:

Защита состоится " 3 " июня 2009 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, ГСП-1000, пр. Гагарина 23, корп.6

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ННГУ

Автореферат разослан "_"_2009 г.

Ученый секретарь Jj, П

диссертационного • W^W Л.А. Игумнов

совета, д.ф.-м.н. {]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Анализ и синтез материалов с заданными физико-механическими свойствами относится к разряду «вечно» актуальных проблем механики материалов и материаловедения. Интерес к этим задачам особенно возрос в последние два десятилетия, с появлением нанотехнологий, когда возникли возможности управления структурой материала на уровне молекулярных кластеров, отдельных молекул и даже атомов. Как известно, решение задач анализа и синтеза материалов невозможно без детального изучения зависимости физико-механических свойств материала от его микроструктуры. Внедрение новых материалов в медицину, биологию и в микроэлектронику требует знания зависимости физических и механических свойств материала от параметров его локальной структуры. С другой стороны, при моделировании наносистем и наноустройств (нанотрубок, нанопружин, кантилеверов, наногиро-скопов и т.п.) часто применяются модели размерно-ограниченных тел -стержней, пластин и оболочек. Здесь одна из основных проблем состоит в нахождении правильных значений эффективных модулей упругости материала и их зависимости от микроструктуры. Для решения задач анализа и синтеза материалов с заданными свойствами необходима развитая иерархия математических моделей. Все это делает актуальным разработку методов построения и исследования математических моделей сред с микроструктурой.

Структура среды и, в частности, размер зерна - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющих на их прочностные и вязкоупругие характеристики. Обозначился существенный разрыв между технологиями получения новых материалов и возможностями теоретического прогнозирования их физико-механических свойств. Особенно это касается влияния локальной структуры среды на её макросвойства. Поскольку классическая теория континуума не учитывает микроструктуру материала, она мало пригодна для подобных целей. Классическая модель сплошной среды на микромасштабах наталкивается на неопределенности при вычислениях кинетического момента и энергии среды, связанные с существованием внутренних движений. Для устранения этих неопределенностей необходимо уточнить понятие о структурных уровнях среды и их математических моделях.

Под микроструктурой среды в широком смысле слова понимается наличие у неё нескольких масштабов (структурных уровней), их самосогласованное взаимодействие и наличие возможности передачи энер-

гии с одного уровня на другой. Реальные значения «микромасштабов» среды при этом могут лежать как в области микрон, так и нанометров или ангстрем. С точки зрения методологии исследования важны не столько их абсолютные значения, сколько малость одних масштабов по отношению к другим. Другое дело, что при изучении реальных физических систем эффекты «микроструктуры» начинают ярко проявляться, в области нанометров и ниже. Наномасштабы - это верхняя граница, где классические представления начинают вступать в противоречие с истинной природой физических свойств вещества (материала), и где в ряде случаев необходимо учитывать их квантовомеханическую природу. Заметим, однако, что в физике нередко встречаются ситуации, когда для моделирования процессов на атомных и даже ядерных масштабах пользуются классическими представлениями или аналогиями. В настоящее время достаточно четко сформировались три различных подхода к построению математических моделей сред, отражающих внутреннее взаимодействие элементов структуры:

- континуальный подход базируется на обобщении континуальной модели среды за счет расширения понятия представительного объема среды и учета внутренних степеней свободы - микроповоротов и аффинных деформаций мезообьема - (континуум Коссера, микроморф-ная среда Эрингена-Миндлина). В развитии этого подхода значительный вклад внесли работы Е. и Ф. Коссера, К. Трусдела Р., Тупина, Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского, Р.Миндлина, К. Эрингена, Л.И.Седова, В.А.Пальмова, В.Новацкого, А.И. Потапова, А.Н.Булыгина и др.

К его достоинствам относятся: универсальность построения как линейных, так и нелинейных моделей сред. А его недостатки заключаются в большом числе материальных констант, требующих экспериментального определения и связь которых с внутренней структурой материала не всегда ясна.

- структурно-феноменологический (модельный) подход связан с теорией кристаллической решетки и физикой твердого тела. Здесь следует отметить работы И.Кунина, Е.Кренера, А.Аскара, Ж.Пуже и Ж.Можена, Л.И.Маневича, Э.Л.Аэро и А.Н.Булыгина, А.И.Потапова и И.С.Павлова, А.А.Васильева и А.Е.Мирошниченко.

К его достоинствам относятся: прозрачность связи структуры с макропараметрами среды и возможность целенаправленного проектирования сред с заданными свойствами. К недостаткам можно отнести отсутствие универсальности построения моделей, особенно с учетом нелинейности и нелокальности связей.

- статистический подход основан на пространственном усреднении свойств микронеоднородных сред и переходе от уравнений движе-

ния микроэлементов к рассмотрению уравнений макродвижений, отражающих взаимодействие элементов микроструктуры. Сюда заметный вклад внесли работы В. А. Ломакина, А.А.Ильюшина, В.В.Новожилова, Т.Д.Шермергора, В.Н.Николаевского и др.).

Этот подход в диссертации не рассматривается.

Цели работы.

• Анализ основных постулатов механики сплошной среды и проведение классификации различных моделей континуума. Построение конкретных континуальных моделей сред, учитывающих внутренние степени свободы.

• Разработка структурно-феноменологических моделей микрокристаллических сред. Выявление и исследование взаимосвязей между внутренней структурой и физико-механическими свойствами материала.

Научная новизна результатов работы.

Дано расширенное определение представительного объема среды как системы взаимодействующих материальных точек. Построена его кинематика и даны определения внутренних степеней свободы. Выделены четыре типа представительных объемов среды с независимой кинематикой.

Дана последовательная классификация обобщенных континуальных теорий. Показано, что в рамках расширенной аксиоматики существуют восемь типов континуумов, в которые укладываются все известные модели сплошных сред. Указано на существование двух типов континуумов, которые еще не разработаны.

С помощью вариационных принципов механики выведены уравнения нелинейной динамики сред с микроструктурой, учитывающие связи между трансляционными, ротационными и осцилляторными степенями свободы частиц. Выявлено, что наличие внутренних связей вносит в уравнения движения особенности, не описываемые классической теорией упругости.

Построена структурно-феноменологическая модель квазиодномерного кристалла и установлена взаимосвязь между параметрами микроструктуры и упругими постоянными материала. Эта связь дает возможность, с одной стороны, вычислить параметры микроструктуры по известным константам упругости среды, а с другой - предсказать характер изменения упругих коэффициентов при изменении её структуры.

Практическая значимость работы.

Разработанные методы исследования влияния внутренней структуры материалов на упругие постоянные могут быть использованы для

прогнозирования свойств новых перспективных материалов. Найденные в работе механические и акустические параметры, несущие информацию о свойствах и структуре среды, создают теоретическую основу для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов со сложной внутренней структурой.

Тема диссертации связана с исследованиями, проводимыми в Нижегородском филиале Института машиноведения РАН и на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева. Данные исследования были поддержаны грантами Международного научного фонда (project R9B000) и INTAS (project 96-2370). Президентской программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (грант № НШ-1638.2003.8). Грантами РФФИ (№ 95-02-05360, № 00-02-16582, № 0101-00386, № 04-02-17156, № 07-02-00172). Именной стипендией МФО (Соросовские аспиранты) и индивидуальными фантами РФФИ для молодых аспирантов и ученых (MAC) 01-02-06239, 02-02-06404 и 0301-06223.

Методы исследований и достоверность полученных результатов.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректным использованием математического аппарата механики сплошных сред, а также методов математической физики и теории волн.

Положения, выносимые на защиту

1. Классификация континуальных моделей сред с микроструктурой на основе анализа кинематики представительного объема как малого деформируемого тела и характера силовых взаимодействий.

2. Разработка теоретических основ метода структурно-феноменологического моделирования сред со сложной внутренней структурой.

3. Разработка дискретной модели и континуальных аналогов одномерной динамической модели периодической среды, в узлах которой расположены частицы конечных размеров, обладающие трансляционными и ротационными степенями свободы.

Личный вклад автора. В совместных работах автор проводил теоретические расчеты по выводу континуальных и структурных моделей сред сложной структуры, осуществлял численную обработку полученных результатов и участвовал в обсуждении физического содержания полученных результатов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях: 3-я, 4-я и 5-я европейские

конференции по механике твердого тела: EUROMECH Solid Mechanics Conference (Стокгольм, Швеция, 1997 г. Метц, Франция 2000г., Салоники, Греция 2003г.). IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Н.Новгород, 2006г). X международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». (Ростов-на-Дону, 2006 г.). Сессии Российского акустического общества (Москва 1998 г., Н.Новгород, 2002 г., 2007 г.). 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics (Moscow, 2002 г.). Международные летние школы-конференции "Advanced problems in mechanics" (С-Петербург, Репино, 2003, 2008). X международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006). Первая Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» (Москва, 2008 г.). VIII Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем», (Н.Новгород, 2008г.). В полном объеме материалы диссертации докладывались на расширенном семинаре лаборатории исследования нано-материалов Нф ИМА1П РАН, на расширенном семинаре кафедры прикладной математики НГТУ, на семинаре Института проблем машиноведения РАН, на семинаре Института механики ННГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 работ. Основные результаты представлены в 8 статьях, четыре из которых опубликованы в журналах из списка ВАК и одна в реферируемом международном журнале.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа содержит 116 страниц текста, 22 рисунка и 4 таблицы. Список литературы включает 198 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор работ по данной теме, формулируется цель исследований.

Первая глава посвящена в основном обзору многомасштабных моделей в микромеханике. Здесь приводится анализ основных постулатов механики сплошной среды и классификация различных моделей континуума.

В разделе 1.1 обсуждаются математические модели различных масштабных уровней и дается расширение понятия модели среды. В классической механике сплошных сред в качестве представительного объема обычно рассматривается материальная точка, имеющая только одну физическую характеристику - массу. Показывается, что класси-

ческая модель сплошной среды на микромасштабах наталкивается на неопределенности при вычислениях кинетического момента и энергии среды, связанные с существованием внутренних движений. Для устранения указанных неопределенностей уточняется понятие о структурных уровнях среды и их математических моделях.

В разделе 1.2 приводится краткий обзор обобщенных моделей сред сложной структуры: теория направляющих, модель Миндлина, модель Тупина, мультиполярные модели. В разделе 1.3 обсуждаются основные постулаты механики сплошной среды. В разделе 1.4 дается определение представительного объема как минимального объема среды, содержащего достаточно большое количество взаимодействующих «микрочастиц» (атомов, молекул, нанокластеров), так, чтобы можно было ввести статистически устойчивые физические характеристики материала, такие как плотность, температура и т.п. Геометрические размеры представительного объема должны быть малы по сравнению с областью заметного изменения макроскопических параметров среды. Показывается, что в рамках классической механики можно выделить четыре различных типа представительного объема:

• Материальная точка,

• «Дышащая» материальная точка,

• Абсолютно твердое тело,

• Малое деформируемое тело, испытывающее аффинные деформации

Не углубляясь в детали физической природы взаимодействия между структурными элементами, можно выделить центральные и нецентральные (моментные) взаимодействия, которые, в свою очередь, подразделяются на локальные и нелокальные. В разделе 1.5 на основе типов представительного объема и характера межчастичного взаимодействия проводится классификация континуальных моделей сплошной среды (см. таблицу). Отмечается, что из шестнадцати возможных комбинаций физически могут быть реализованы лишь восемь моделей континуума, в которые укладываются все известные в настоящее время модели механики сплошной среды. Из них два класса моделей, отмеченные знаком (*), остаются еще не разработанными. В предложенной аксиоматизации не выделяются в отдельные классы известные модели многофазных сред (смесей), так как они строятся на основе аксиом, входящих в перечисленные выше классы. Их выделение возможно лишь за счет увеличения числа определяющих признаков.

б

Таблица 1 Классификация обобщенных континуальных моделей

Тип взаимодействия Структура представительного объема

Материальная точка «Дышащая» материальная точка Твердое тело Малое деформируемое тело

Центральное Локальное Классическая теория упругости Теория среды с «внутренними» осцилляторами (пористые среды) Не существует Не существует

Нелокальное Нелокальная теория упругости. Градиентные модели. Нелокальная теория среды с «внутренними» осцилляторами (*) Не существует Не существует

Моментное Локальное Не существует Не существует Теория континуума Коссера Микроморфный континуум Миндлина -Эрингена

Нелокальное Не существует Не существует Нелокальная теория континуума Коссера Нелокальная теория микро-морфного континуума (*)

Во второй главе рассматриваются вопросы построения кинематики и мер деформации сред сложной структуры, выводятся уравнения движения микрополярных континуумов. В механике сплошных сред известна теорема Коши-Гельмгольца о том, что общее перемещение деформируемого тела в достаточно малой окрестности каждой его точки можно выразить через смещение и поворот тела как твердого целого и через удлинение в трех взаимно перпендикулярных направлениях (рис.1). Из этой теоремы следует, что в общем случае кинематика представительного объема может быть описана 12 переменными - тремя компонентами вектора смещений, тремя углами поворота и шестью компонентами тензора аффинной деформации.

В разделе 2.1 вводятся наборы кинематических переменных, позволяющих описать как макро-, так и микродвижения в среде. Движение заполняющих мезообъем материальных точек рассматривается как сложное движение относительно неподвижной и подвижной систем координат.

X, х,

X,

Рис. 1.

Кинематические переменные представительного объема

Показывается, что в лагранжевых переменных поле смещений может быть записано в виде:

+ +'е*. Ф* .0+Ф/ 1'

Здесь и((Хп,() - компоненты вектора макросмещения, а

слагаемые в квадратных скобках описывают движения микрочастиц ПО относительно его центра масс (микросмещения). Микросмещения описываются тензором второго ранга, который разлагается на три составляющих: шаровую, девиаторную и антисимметричную. Шаровая составляющая описывает радиальные движения частиц, этот тип микродвижений отвечает за изменение микроплотности при неизменной макроплотности среды и описывается одной кинематической переменной т}(Хп,()- Антисимметричная часть

описывает малые повороты ПО как твердого тела и определяется тремя углами микровращений ф1(Хг1,1)- Эта составляющая соответствует

кинематике континуума Коссера. Девиатор тензора микросмещений ф.к°(Хп,/) описывает искажения формы ПО без изменения его объема

и содержит пять независимых переменных у/.{Хп,{)- В общем случае

микроморфный континуум имеет 12 степеней свободы. В зависимости от того, какие из типов внутреннего движения являются преобладающими, можно строить различные варианты континуальных моделей. По известному полю смещений находятся поле скоростей и поле ускорений.

В разделе 2.2 вводятся тензоры макро- и микродеформации обобщенных континуумов

& = д\

*«Р 2

Чар = "Да+е^ фг+*1ур Фуииа, &

Груа =еРуос Фу,сс+е1)0 и1,рФу,а

Первый тензор в (2) - тензор макродеформации. Он описывает деформации среды, вызванные перемещением центров масс ПО и совпадает с тензором Грина в классической теории упругости. Второй и третий тензоры - тензор относительной дисторсии и градиент микродисторсии - являются новыми мерами деформации и в классической теории упругости отсутствуют. Подставляя в эти формулы конкретные выражения для смещений (1), получим меры деформации для определенных типов континуумов.

Уравнения динамики микрополярной среды выводятся из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского (разделы 2.3-2.4):

¡¡¡¿{йУи^ф^лУчУф^шУу,^ л = о

- у0

Здесь Ь - объемная плотность функции Лагранжа, равная разности между плотностью кинетической и внутренней энергии среды, она имеет следующую структуру:

^ (3)

Первые четыре слагаемых в (3) описывают кинетическую энергию среды, связанную с макро- и микродвижениями в ПО. Здесь р и рг -

макро- и микроплотности, J¡j - тензор инерции ПО, - тензор микроинерции - коэффициенты пропорциональности между кинетической энергией и произведением скоростей микросдвигов. Внутренняя энергия является скалярной функцией мер макро- и микродеформаций. Бе конкретный вид зависит от геометрической структуры среды (изотропная или анизотропная среда) и типа силовых взаимодействий между микрочастицами.

Вариационный вывод уравнений движения континуума с микроструктурой (континуума Миндлина - Эрингена) позволяет выделить разделяются на четыре группы уравнений, каждая из которых описывает определенный тип движений:

- три уравнения макросмещений

д( Эии дУи;

- три уравнения микровращений

Э д£ | у Ы дь=0 Э* Э фц Э V*, дф1

- одно уравнение динамики микропор

Э дЬ _ Э1 Э1 „

-----= 0

Э/ Эт^ ЭУ?, Эт7,.

- пять уравнений динамики микродисторсии

д Ы „ Э£ Э£ А

--+ V---= 0

Э/ Э у/1( ЭУ^, э^,

Выбирая тот или иной тип кинематики среды (из перечисленных в п. 2.1) и задавая соответствующий ей вид внутренней энергии, можно строить различные модели обобщенных континуумов.

В случае континуума Коссера при коллинеарном распространении плоских волн вдоль оси х система уравнений движения имеет вид:

Р"2,п ~(м + Кхх + 2аФъ,х =

риъп-Он-а)и2уХХ -2аф1уХ = (4)

ЗДГ

3<к,п "(г+^Кхх -2аи1х =ЫфЪ

Здесь - продольное, «2 и - поперечные смещения частиц

среды, Ф\>Ф2>Ф} - проекции вектора поворота частиц на оси координат, 3 - момент инерции частицы относительно оси, проходящей через

ее центр тяжести. Входящие в уравнения материальные константы должны находиться их экспериментальных данных по распространению волн.

Рассмотренный в этой главе метод построения континуальных моделей имеет свои достоинства и недостатки. К достоинствам относятся: универсальность построения моделей сред с помощью вариационных принципов механики или интегральных законов сохранения; универсальность учета взаимодействия между упругими деформациями и другими физико-механическими полями (термо-вязко-упругие среды, электро-магнито-упругие среды и т.п.); универсальность построения как линейных, так и слабонелинейных моделей сред. К недостаткам следует отнести: большое число феноменологических констант, требующих экспериментального определения и сложность нахождения их связи с внутренней структурой материала; физическую неопределенность мер деформации, описываемых тензорами третьего и более высоких рангов; сложность нахождения полной системы независимых инвариантов тензоров третьего и более высоких рангов. Часть из этих недостатков можно избежать, если рассмотреть структурно-феноменологическое моделирование сред со сложной внутренней структурой, которому посвящена третья глава диссертации.

В третьей главе прослеживается история развития идей структурного развития материалов, обсуждаются основные принципы структурного моделирования и подробно исследуется модель квазиодномерного кристалла. Структурно-феноменологическое моделирование предполагает выделение в массиве материала некоторого минимального объема - структурной ячейки, - отображающей основные черты макроскопического поведения материала. Ячейка рассматривается как конструкция, функционирование которой обеспечивается ее внутренним устройством и условиями сопряжения с окружением. Силовое взаимодействие между элементами описывается с помощью модельных потенциалов, применяемых в физике твердого тела (раздел 3.1). Сформулированы основные принципы структурного моделирования:

• Минимальность обобщений. Минимальность обобщений, приводящих к новым качественным следствиям. Количество входящих в модель новых параметров должно быть по возможности небольшим.

• Вариативность модели. Возможность достаточно широкого варьирования линейных и нелинейных параметров модели за счет выбора кинематики и силовой схемы взаимодействия структурных элементов.

• Идентификация и верификация модели. Проверка адекватности построенной модели реальным системам и определение связей ме-

жду параметрами модели и физическими постоянными материала (плотность, пористость, модули макро- и микроупругости и т.п.).

• Принцип соответствия. В предельных случаях новая модель, как правило, должна переходить в известные теории деформируемого твердого тела.

Отличием структурного моделирования от стандартной теории кристаллических решеток является то, что в узлах кристаллической решетки располагаются не точечные материальные частицы, а тела малых, но конечных размеров, имеющие внутренние степени свободы. В качестве тел могут выступать домены, зерна (гранулы), фуллерены, нанотрубки или молекулярные кластеры. Структурное моделирование учитывает параметры, характеризующие период решетки, размеры частиц и их форму, и поэтому является наиболее подходящим методом для изучения влияния размерных эффектов на свойства материала. К достоинствам структурного моделирования относятся прозрачность связи структуры с макропараметрами среды, возможность "целенаправленного проектирования сред с заданными свойствами, а к недостаткам - отсутствие универсальности процесса моделирования и сложность учета нелинейных и нелокальных эффектов взаимодействия.

В разделе 3.2 рассматривается механическая модель квазиодномерного кристалла - цепочка из прямоугольных гранул с размерами 2/х26, (а >26). Расстояние между центрами масс частиц в исходном состоянии равно а. Каждая частица имеет три степени свободы: смещение центра масс частицы по осям хну (трансляционные степени свободы ип,м?п) и поворота относительно центра масс (ротационная степень свободы (рп) (рис. 2). При

структурном моделировании вместо полевого описания взаимодействия частиц вводят эквивалентную силовую схему в виде системы стержней или пружин, осуществляющих передачу сил и моментов между элементами структуры. В диссертации для моделирования используется пружинная модель. Частицы для удобства заменяются вписанными многоугольниками, форма которых повторяет форму ячейки. Пружины, моделирующие передачу силовых взаимодействий между частицами, считаются закрепленными в вершинах многоугольников и имеют различные коэффициенты упругости. Удлинения пружин определяются относительными изменениями расстояний между соответствующими точками тел-частиц.

п-2 п-1 п п+1 п+2

а

Рис. 2. Зернистая (гранулированная) среда: кинематическая схема и схема силового взаимодействия частиц

Выражение для потенциальной энергии, приходящейся на одну ячейку с точностью до кубических слагаемых, имеет вид:

«-1

'кМ + кМп + К, 12А(Р2П + ^ф2п + к2 АппФп^ +

+ Л, А и\ + /г2Лм„Д^2 + НгАипАм>пФп + И4А^2пФп. где ип,\\?п - трансляционные степени свободы, (рп - ротационная степень свободы,

Аип = ("«+1 - ип )1а ~ = (%+1 ~пп)1а~е« 1, Фп — {(рп+\ + (рп )/2 • Здесь первые два слагаемых описывают энергию при продольных и сдвиговых деформациях, третье и четвертое -энергию, связанную с нецентральными (моментными) взаимодействиями частиц, а пятое - энергию связи между поперечной и ротационной степенями свободы частиц. Остальные слагаемые с коэффициентами кп (л = 1 4) описывают энергию нелинейных взаимодействий.

Коэффициенты К]23 и ¡гп выражаются через параметры микромодели и константы упругостей пружин. Кинетическая энергия, приходящаяся на одну ячейку, равна:

_ т [.2 . 2^ -2

Здесь т - масса гранулы, У = /и(/2 +Ь2)/3 = тй1 ¡Ъ - ее момент

инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Точка сверху обозначает производную по времени. По известным выражениям для кинетической и внутренней энергии с помощью уравнений Ла-гранжа второго рода найдены дифференциально-разностные уравнения движения системы, которые удобны для численного моделирования отклика системы на внешние динамические воздействия в широком диапазоне частот и длин волн. В разделе 3.3 исследованы дисперсионные свойства такой периодической структуры в первой зоне Бриллю-эна.

Переход от дискретной модели к континуальной производится в п. 3.4 путем экстраполяции функций, заданных в дискретных точках, непрерывными полями смещений и микроповоротов. В зависимости от количества удерживаемых слагаемых можно рассматривать различные приближения дискретной модели зернистой среды и строить иерархию квазиконтинуальных моделей. Система нелинейных дифференциальных уравнений первого приближения имеет вид:

"« - &ХХ = ¿и^ + аг™\ +

Щ ~ с г™хх ~ Р1(Рх = [а2их^х - (аъих - а4и>х )<р\ (5) <Рп -съ9хх + а>1<Р+Шг?"х=(<ХзА2

Здесь С} 2 з - скорости распространения продольных, поперечных

и ротационных (спиновых) волн, щ = ^К21^аргг = с2/2г - критическая частота спиновой волны, (3 - параметр линейной связи поперечной и спиновой волн, СХ{ - коэффициенты нелинейного взаимодействия волн.

В отличие от континуальной модели (4), в уравнениях (5) значения скоростей упругих волн являются функциями параметров микроструктуры материала.

с\ ~с10.

к2

с2 = 2 гй)0 =

о/(1-?)

С2о/

Здесь с10 = д/к0/ра и с20 = л[к^/~ра - соответственно скорости

продольной и поперечной волн в среде при отсутствии моментных взаимодействий между частицами, р — {[ — ц)р\ - эффективная погонная плотность среды р , определяемая как масса вещества, приходящаяся на единицу длины цепочки, р^ = /и/26 - погонная плотность гранул, ^ = (1-2Ь/а) - коэффициент, играющий роль параметра пористости среды.

Рис. За. Зависимость скорости продольных волн от параметра пористости среды и формы частиц

Рис.Зб. То же самое для скорости ротационной волны

Графический анализ зависимости скоростей акустических волн С|

и от параметров микроструктуры приведен на рисунках 3. Выбор значений коэффициентов к] и был сделан произвольно для качественного исследования свойств модели. Из рис. За видно, что с увеличением параметра формы /наблюдается «скачкообразное» уменьшение

скорости продольной волны (и соответственно модулей упругости), что соответствует структурной перестройке в материале. У скорости ротационной волны (рис. 36) при малых значениях пористости #<0,15 появляются локальный максимум и локальный минимум, когда форма частиц близка к круглой.

В гранулированной среде наряду с известными константами появляются дополнительные коэффициенты нелинейности, отсутствующие в классической теории упругих сред.

Два из них - аз 4 для модели, состоящей из материальных точек, равны нулю, так как они пропорциональны размерам частиц и константам к{ 2, отвечающим за моментные взаимодействия. Найдены выражения констант Ламе через скорости акустических волн. Существование связи между параметрами «микромодели» и макропараметрами среды позволяет ставить и решать задачу о синтезе материала с заданными механическими свойствами. Для этого необходимо по заданным макромодулям материала определить параметры его микроструктуры.

В 3.4.2 обсуждаются дисперсионные свойства нормальных волн в микрополярной среде. Исследуемая динамическая система обладает тремя нормальными волнами (модами), каждой из которых отвечает своя дисперсионная ветвь на плоскости параметров {а,к).

[ю2 -с2к2)\а2 -с2к2){а2 -с2к2 -щ2)-/32к2\=Ъ (6)

Поведение дисперсионных ветвей показано на рисунке 4.

Из рисунка видно, что продольная мода (кривая Ь) не обладает дисперсией. В отличие от неё ротационная (кривая К) и поперечная (кривая 7) волны обладают дисперсией. Дисперсионная кривая ротационной моды при к = 0 выходит из точки (Щ, которая является критическим значением частоты и при частотах ниже её ротационная волна не распространяется.

11 10

со

5 а

4

г

■г о 2 к/к.

ТА «у

" Ч !

• / ¿Уу"

/ / У

НспцпЬлшс <001> и/Чолра&№яиКаз>

1 1 г 1 1 1 1 ТА и ! 1 N № .....1 ; 1 : !

(а)

О,! 0,6 О,* 0,1 О О,г 0,4 0,6 Волно1ой ¡ектор. А"1

(б)

Рис. 4. Дисперсионные кривые континуальной модели (а) - теоретический расчет, (б) - экспериментальные данные для фононов в ферромагнетике /*еР2

В разделе 3.5 приводятся сведения об экспериментальных исследованиях волн в упругих средах с внутренними степенями свободы, подтверждающие теоретические выводы диссертации. На рис. 46 показаны экспериментально измеренные дисперсионные кривые для фононов в ферромагнетике РеР2, В таблице 2 приведены теоретически рассчитанные значения критических частот для синтетического опала с диаметром частиц 400 нм, и экспериментальные данные для молекулярных кристаллов (производных дииодобензола), определенных методом комбинационного рассеяния света на вращательных колебаниях молекул.

Таблица 2. Оценки критических частот

Синтетический опал (теория) Нафталин Пара- дииодобензол Метадиио-добензол Ортодиио-добензол

Критическая частота с"1 1,4-1010 60-Ю10 81-Ю10 72-1010 75-1010

Если частоты акустических волн меньше критической частоты £Уд,

то спиновая волна не является распространяющейся и микроповороты частиц определяются полем смещений среды (раздел 3.6). Методом последовательных приближений из третьего уравнения системы (4)

найдена приближенная связь между полем микроповоротов ф и полем смещений М> \

^'-Г'-^Тх^'4^ <7)

Подставляя эту связь в первые два уравнения (3), приходим к уравнениям низкочастотного длинноволнового приближения:

В отличие от уравнений нелинейной теории упругости, в данном случае в уравнении для поперечной волны появляются четвертые производные, отвечающие за возникновение дисперсии и слагаемое с квадратичной нелинейностью. Она связана с блочной структурой среды и возникает из-за нарушения симметрии моментного взаимодействия частиц-зерен при поперечных смещениях и поворотах. Она пропадает, когда ширина частицы стремится к нулю и восстанавливается симметрия моментных взаимодействий. Существование квадратичной нелинейности позволяет дать теоретическое обоснование генерации второй сдвиговой гармоники в реальных кристаллах, запрещенной в рамках классической теории упругости.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Показано, что на микромасштабах классическая модель сплошной среды наталкивается на неопределенности при вычислениях кинетического момента и энергии среды, связанные с существованием внутренних движений. Уточнено определение представительного объема среды и показано, что в рамках классической физики можно выделить четыре типа представительных объемов с различной кинематикой.

2. Установлено, что из возможных комбинаций типов представительного объема и силового взаимодействия может быть реализовано восемь физически содержательных моделей континуума, в которые укладываются все известные в настоящее время модели механики сплошных сред.

3. Развиты теоретические основы метода структурно-феноменологического моделирования сред со сложной внутренней

структурой. Его отличием от теории кристаллических решеток является то, что в её узлах располагаются не точечные материальные частицы, а тела конечных размеров, имеющие внутренние степени свободы. Структурное моделирование явным образом учитывает размеры микрочастиц, их форму и является наиболее подходящим методом для изучения влияния размерных эффектов на макросвойства материала.

4. Построена одномерная динамическая модель периодической среды, в узлах которой расположены частицы конечных размеров, обладающие трансляционными и ротационными степенями свободы. Показано, что в континуальном пределе структура уравнений движения инвариантна относительно формы и размеров частиц, а параметры микроструктуры влияют на модули макроупругости среды.

5. Показано, что в низкочастотном приближении в уравнении для поперечной волны микрокристаллической среды появляется слагаемое с квадратичной нелинейностью, отсутствующее в классической теории упругости. Квадратичная нелинейность связана с блочной структурой среды и возникает из-за нарушения симметрии моментного взаимодействия частиц при поперечных смещениях и поворотах. Квадратичная нелинейность пропадает, когда размеры частицы стремятся к нулю и восстанавливается симметрия взаимодействий. Существование квадратичной нелинейности позволяет дать теоретическое обоснование возбуждению второй сдвиговой гармоники в реальных кристаллах, запрещенной в рамках классической теории упругости.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Potapov A.I., Pavlov I.S., Lisina S.A. Acoustic identification of nanocrystal-line media // Journal of Sound and Vibration 2009 V.322. PP. 564-580.

2. Лисина C.A., Потапов А.И. Обобщенные модели сплошной среды в на-номеханике //Доклады АН, 2008. Т.420. №.3. С. 328-330.

3. Лисина С.А., Потапов А.И., Нестеренко С.Ф. Нелинейная гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная модель // Акустический журнал. 2001. Т47. №5. С. 666-674.

4. Лисина С.А., Потапов АИ. Уравнения нелинейной динамики микрополярной среды. Вариационный подход // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. Ростов-на-Дону, 2003. С. 249-255.

5. Павлов И.С., Лисина С.А. Одномерные модели нелинейной динамики микрополярных и гранулированных сред II Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Спецвыпуск "Математическое моделирование". Ростов-на-Дону, 2001, с. 132-134.

6. Лисина С.А. Уравнения динамики нелинейной ориентированной среды. //Сб. тр. «Физические технологии в машиноведении», изд-во НГГУ, Н.Новгород, 1998, с.9-14.

7. Лисина С.А. Одномерная модель гранулированной среды. // Сб. трудов «Физические технологии в машиноведении». Н.Новгород. Изд-во «Интел-сервис». 2000. Вып. 2. С. 21-28.

8. Pavlov I.S., Lisina S.A, Potapov A.I. Nonlinear Acoustic Waves in Micropolar and Granular Media // Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21s* Century. Edited by O.V. Rudenko and 0. A. Sapozhnikov, Moscow, 2002, V. 2, pp. 665-668.

9. Лисина (Потапова) C.A., Уткин Г.А., Уравнения движения и законы сохранения для микрополярного континуума // 11-я Зимняя Школа по механике сплошных сред (Тез. докл.), Пермь, 1997, с.235

10. Lisina (Potapova) S.A, Utkin G.A, The variational principle for micropolar continuum, //3rd EUROMECH Solid Mechanics Conf., Stockholm, Sweden, 1997, p.84.

11. Lisina (Potapova) S.A., Utkin G.A., Governing equations and balance laws for micropolar continuum. //EUROMECH Colloquium 378 "Nonlocal Aspects in Solid Mechanics, Mulhouse, France, 1998, P.47.

12. Potapov A.I., Lisina S.A. and Nesterenko V.F. Mathematical modelling of nonlinear waves in granular media. 4th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Metz, France, 2000. Book of abstracts II. Ed. By M. Potier-Ferry and L.S. Toth, p. 722.

13. Pavlov I.S., Potapov A.I., Lisina S.A. The mathematical model for 2D Granular Media // Abstracts of the XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" АРМ 2003, St. Petersburg (Repino), Russia, 2003, pp. 78-79.

14. Potapov A.I., Lisina S.A. Variation descriptions of nanostructured materials // Abstracts of the XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" АРМ 2003, St. Petersburg (Repino), Russia, 2003, pp. 80-81.

15. Lisina S.A., Potapov A.I. Nonlinear mathematical models for microstruc-tured media // Abstracts of the 5th Euromech Solid Mechanics Conference ESMC-5 (Aristotle University of Thessaloniki, Greece, 2003), p. 108-109.

16. Потапов А. И., Лисина С. А. Обоснование моделей сплошной среды //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 2006. с. 222-226.

17. Лисина С.А. Влияние микроповоротов частиц на свойства нелинейных волн деформации //IX Всероссийский съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. Т. 1. Н.Новгород. Изд-во Нижегород. ун-та. 2006. с. 87.

18. Лисина С.А. О возникновении квадратичной нелинейности у сдвиговых волн в гранулированной среде //Тез. докл. Всероссийской н.-т. конф. "Фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы". Нижний Новгород, ЗАО "Интек-НН", 2006, с. 64.

19. Потапов А.И, Лисина С.А. О многомасштабных моделях сплошной среды в наномеханике И Первая Всероссийская конф. «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» Тез. докл. Москва, 2008, С 249-250.

Подписано в печать 17.04.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Заказ № 117. Тираж 100 экз.

Отпечатано в лаборатории множительной техники Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

Введение.

Глава 1 Многомасштабные модели в микромеханике

1.1 Математические модели различных масштабных уровней.

1.2 Краткий обзор обобщенных теорий сред сложной структуры.

1.2.1 Теория направляющих.

1.2.2 Теория Миндлина.

1.2.3 Теория Тупина.

1.2.4 Мультиполярные теории.

1.3 Основные постулаты механики сплошной среды.

Определение массовой плотности.

1.4 Представительный объем среды и его типы.

1.4.1 Определение представительного объема.

1.4.2 Кинематические и динамические характеристики ПО.

1.4.3 Типы представительных объемов.

1.5 Классификация континуальных моделей сплошной среды.

Глава 2 Обобщенные континуальные модели в механике сплошных сред

2.1 Кинематика сред с микроструктурой.

2.1.1 Микроморфный континуум Эрингена.

2.1.2 Специальные случаи кинематики сред с микроструктурой

2.1.3 Кинематическое описание среды при конечных поворотах

2.1.4 Поле скоростей и ускорений среды с микроструктурой

2.2 Меры микро- и макродеформации.

2.2.1 Тензоры деформации микроморфного континуума.

2.2.2 Тензоры деформации в континууме Коссера.

2.2.3 Инварианты тензоров деформаций.

2.3 Уравнения динамики обобщенных континуумов.

2.3.1 Уравнения динамики континуума Коссера.

2.3.2 Псевдоконтинуум Коссера.

2.3.3 Микроморфная среда со стесненным движением частиц и моментная теория упругости.

Глава 3 Структурно-феноменологические модели периодических сред

3.1 Принципы структурного моделирования.

3.2 Гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная структурная модель.

3.2.1 Кинематика и силовые взаимодействия в гранулированной среде.

3.2.2 Уравнение движения дискретной модели.

3.2.3 Дисперсионные свойства нормальных волн.

3.3 Моделыранулированной среды в континуальном приближении

3.3.1 Влияние микроструктуры на акустические характеристики среды.

3.3.2 Дисперсионные свойства нормальных волн.

3.3.3 Связь ротационных и поперечных движений в нормальных модах.

3.3.4 Теоретические оценки критических частот.

3.4 Приближение градиентной теории упругости.

3.5 Обзор экспериментальных исследований.

Наблюдающееся в последние годы интенсивное внедрение новых материалов в современное машино- и приборостроение вызвало быстрый рост интереса к изучению зависимости их физико-механических свойств от внутренней структуры. Как известно, синтез материалов с заданными физико-механическими свойствами относится к разряду «вечных» проблем механики материалов и материаловедения. Особенно актуальными эти задачи стали в последние два десятилетия, когда появились возможности управления струкгурой материала на уровне отдельных молекул и даже атомов [13, 36, 94].

В 1985 г. при попытках астрофизиков объяснить спектры межзвездной пыли были открыты фуллерены — новая форма существования углерода в природе наряду с известными алмазом и графитом. Оказалось, что атомы углерода могут образовать высокосимметричную молекулу Сб0. Такая молекула состоит из 60 атомов углерода, расположенных на сфере с диаметром приблизительно в один нанометр и напоминает футбольный мяч (рис.В.1а).

Первоначально С60 получали в небольших количествах, а в 1990 г. была открыта технология их крупномасштабного производства. Молекулы Сбо, в свою очередь, могут образовать кристалл фуллерит с гранецентрированной кубической решеткой и достаточно слабыми межмолекулярными связями [94, 138]. В этом кристалле имеются октаэдрические и тетраэдрические полости, в которых могут находиться посторонние атомы. Если октаэдрические полости заполнены ионами щелочных металлов, то при температурах ниже комнатной структура этих веа) б)

Рис. В.1. Примеры нанообъектов: фуллерен Сбо (а) и нанотрубка (б) ществ перестраивается и образуется новый полимерный материал. Если заполнить также и тетраэдрические полости, то образуется сверхпроводящий материал с критической температурой 20-40 К. Существуют фуллериты и с другими присадками, дающими материалу уникальные свойства. Например, Сб0-этилен имеет ферромагнитные свойства.

Из углерода можно получить молекулы с гигантским числом атомов. Такая молекула, например С~юооооо> может представлять собой однослойную трубку с диаметром около нанометра и длиной в несколько десятков микрон (рис.В.16). На поверхности трубки атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников. Концы трубки закрыты с помощью шести правильных пятиугольников. Правильные шестиугольники являются ячейкой в плоском графитовом листе, который можно свернуть в трубки различной хиральности. Правильные пятиугольники (семиугольники) являются локальными дефектами в графитовом листе, позволяющими получить его положительную (отрицательную) кривизну. Комбинации правильных пяти-, шести- и семиугольников позволяют получать разнообразные формы углеродных поверхностей. Геометрия этих наноконструк-ций определяет их уникальные физико-механические и химические свойства и, следовательно, возможность существования принципиально новых материалов.

Предсказание физико-химических свойств новых углеродных материалов осуществляется, как с помощью квантовых моделей, так и расчетов в рамках молекулярной динамики. Такой подход позволяет понять сущность физических закономерностей и объяснить происхождение ряда свойств, не имеющих обоснования в классической теории. Предполагается, что исследуемая система состоит из атомных ядер (ионов) и электронов. Эти частицы не рождаются и не исчезают в силу ограниченности их типичных энергий, и скорости их движения достаточно малы по сравнению со скоростью света. Поэтому моделирование атомно-молекулярных систем может проводиться в рамках шредингеровских моделей. Гамильтониан таких моделей содержит кинетическую энергию ядер, кинетическую энергию электронов, потенциальную энергию кулоновского взаимодействия между электронами, между ядрами и электронами и между всеми ядрами. При таком подходе, в случае его полной реализации, можно было бы определить причины существования многих свойств и явлений. Однако, содержательный анализ моделей для реальных систем, состоящих из большого числа частиц, представляет практически трудноразрешимую задачу даже с помощью современных вычислительных систем. Несмотря на несомненные успехи квантовой механики в объяснении ряда свойств микроскопических объектов, переход от микрофизики к описанию макроскопических объектов остается все еще недостаточно изученным. В частности, не ясны критерии, до каких пор можно пользоваться методами классической физики при изучении динамических процессов в наноструктурах.

Известно, что квантовая теория содержит в себе классическую механику в качестве предельного случая. Это составляет принцип соответствия в квантовой механике. А именно, если числовое значение динамической переменной, имеющей размерность действия £ (Дж-с), велико по сравнению с постоянной Планка й = 6,6 ■ 10-34 Дж-с., то систему с достаточной точностью можно описать законами классической физики. Проведем оценку такой величины на примере колебаний периодической структуры из фуллеренов. Наиболее распространенная молекула фуллерена С60 состоит из 20 гексагонов и 12 пентагонов. Ее поперечный размер составляет 0,714нм. При определенных условиях молекулы Сбо могут упорядочиваться и образовывать молекулярные кристаллы с гранецентрированной кубической решеткой, с параметром а = 1,41 нм. В такой динамической системе размерностью действия является произведение периода колебаний на энергию Б—ТЕ. Характерная частота колебаний такой структуры составляет Ю10 ч-1012 с"1, а энергия возбуждения имеет порядок 106эВ=1,6-10~п Дж, Величина действия равна Б = ТЕ = 2яЕ/¿и = 10-24 4-10-25 Дж-с и отношение 8/п > 108 -Ю10. Следовательно, колебания в решетке из фуллеренов можно описывать законами классической физики. Таким образом, механику сред с микроструктурой, включая и нанообъекты, можно строить в рамках законов классической физики.

Микромеханика твердого тела рассматривает макромехапические свойства материалов, в том числе и поликристаллических металлов, с микроскопических позиций. Поэтому она играет важную роль связующего звена между исследованиями на микро- и макроуровнях [130, 187]. Известно, что для создания (синтеза) новых материалов, недостаточно умения анализировать свойства микроструктуры материала. Необходимо определение связи требуемых макроскопических характеристик материала с микроскопическими характеристиками структуры, умение воспроизводить заданные макроскопические свойства. В настоящее время достаточно четко сформировались три различных подхода к построению математических моделей сред, отражающих внутреннее взаимодействие элементов структуры: континуальный подход базируется на обобщении континуальной модели среды за счет расширения понятия представительного объема среды, учета ротационных степеней свободы микрочастиц и аффинных деформаций мезообъема (континуум Коссера, микроморфная среда Эрингена-Миндлина). В развитии этого подхода решающий вклад внесли работы Е. и Ф. Коссера, К. Трусдела Р., Тупина, Э.Л. Аэро и Е.В. Кувшинского, Р.Миндлина. К. Эрингена, В.А.Пальмова, В.Новацкого, А.И. Потапова и др.

Основные трудности этого подхода заключаются в выявлении физического смысла моментных напряжений высших порядков и в отсутствии теории макроскопических экспериментов, на основании которых можно было бы найти связь материальных констант среды с параметрами ее микроструктуры: структурно-феноменологический (модельный) подход связан с теорией кристаллической решетки и физикой твердого тела. Здесь следует отметить работы И.Кунина, Е.Кренера, А.Аскара (Askar А.), Ж.Пуже и Ж.Можена (Pouget J. and Maugin G.), Л.И.Маневича, Э.Л.Аэро и А.Н.Булыгина, Х.Аскеса (H.Askes) и A.B.Метр икина, А.И.Потапова и И.С.Павлова, А.А.Васильева и А.Е.Мирошниченко статистический подход основан на пространственном усреднении свойств микронеоднородных сред и переходе от уравнений движения микроэлементов к рассмотрению уравнений макродвижений, отражающих взаимодействие элементов микроструктуры. Сюда заметный вклад внесли работы В.А.Ломакина, А.А.Илыошина, В.В.Новожилова, В.Н.Николаевского и др.).

В первой и второй главах диссертации развивается континуальный подход, базирующийся на понятиях полярности и нелокальности материала, имеющего микроструктуру. Полярность указывает на то, что, помимо деформации окрестности частицы структуры, допускается ее жесткое вращение, в общем случае не связанное с полем перемещений, а нелокальность указывает на зависимость физических свойств материала от влияния частиц окружения. Мысленное разбиение тела на части ограничено некоторым пределом, выражающимся в том, что на некотором уровне происходит качественное изменение физических свойств. Существуют материалы, у которых качественные изменения происходят постепенно, но у кристаллических твердых тел этот предел выражен достаточно четко. Получение представлений о пределах, проявляющихся при измельчении материалов с микроструктурой, представляет проблему поэтапного познания материи. По мере накопления знаний о микроструктуре, которая влияет на хмеханическое поведение материалов, происходит переход на новый уровень познаний - создается теория, позволяющая с новых позиций объяснить механическое поведение. Для укрепления фундаментальной базы теории соответствующего этапа должна быть установлена связь между характеристиками уровня микроструктуры и макроскопическими характеристиками. Поэтому большая роль отводится механике субмакроскопического уровня, устанавливающей переход от микро- к макро-, а также критерии макро-и микроскопических свойств. К структурно-чувствительным материалам (материалам с микроструктурой) в чистом виде неприменима методология континуума. Тем не менее, допустимо распространение методов механики сплошных сред, занимающейся изучением механического поведения материи на макроуровне, на микроуровень. Они оказываются весьма эффективными для объяснения поведения материалов. Область науки, в которой поведение материалов с микроструктурой изучается при использовании методов непрерывной аппроксимации, называют обобщенной механикой сплошной среды.

Во второй половине XIX века для описания деформации твердых тел использовалась, как правило, континуальная теория упругости. Исторически одной из первых континуальных моделей упругой среды, которая не может быть описана в рамках классической теории упругости, является среда Коссера, состоящая из твердых недеформируемых тел, обладающих тремя трансляционными и тремя ротационными степенями свободы. Теоретические основы такого континуума были развиты Е. и Ф.Коссера [139] в 1909 году. Традиционно предполагалось, что эта работа не имеет предшественников, но это не так [73]. Еще в 1839г. была опубликована работа Дж. Мак-Куллага [168], посвященная построению модели упругой среды, способной одновременно описывать наблюдаемые отражение и преломление. Энергия деформации в континууме Мак-Куллага зависит от вращательных компонентов деформации. В книгах Е.Моссотти (1851г.), А.Клебша (1862г.), Г.Кирхгофа (1874г.) и П.Дюгема (1891г.) также имеются отступления от канонов классического континуума. В 1862 году А.Клебш, ввел энергетически сопряженную пару для "вращательной энергии". О важности учета момеитных напряжений говорилось и в работе В.Фойхта (1887г.) [196]. Таким образом, Е. и Ф.Коссера обобщили и развили более ранние работы Г.Кирхгофа, А.Клебша, П.Дюгема и В.Фойхта [48, 61, 170, 171].

С начала 60-х годов стали усиленно развиваться обобщенные модели континуума Коссера: теория ориентированных сред, несимметричная, моментная, мультиполярная, микроморфная и т.п. теории упругости (часто их называют мо-ментными теориями). Так, Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшинский [9, 10 60] на основании допущения о вращательном взаимодействии частиц вытянутой формы в анизотропной упругой средс обобщили феноменологическую теорию упругости с целью объяснения некоторых аномалий динамического поведения пластиков, которым классическая теория упругости не давала удовлетворительной трактовки. В дальнейшем идея "ориентированного" континуума, в котором каждой точке приписывается еще и направление (поле директора), получила свое развитие в теории жидких кристаллов. Существенный вклад в развитие моментных теорий внесли также работы Г.Германна, В.Гюнтера, В.Койтера [53], В.А.Ломакина [48], Р.Миндлина [76], В.Новацкого [81], В.А.Пальмова [87, 89], Р.Ривлина, Г.Н.Савина [97, 98], К.Трусделла, Р.Тупина [189], А.Эрингена [141-144], И.А.Кунина [61, 161] и др. (см. таюке библиографию в [48, 137, 149]). К середине 60-х годов сформировалось новое направление, тесно связанное с теорией кристаллической решетки, -нелокальная теория упругости, содержащая обобщенные модели континуума Коссера в качестве длинноволнового приближения (Э. Кренер, Дж. Крумхансл, И.А. Кунин). В дальнейшем нелокальная теория упругости развивалась таюке в работах А.Е.Грина, Н. Лооса, Д. Эделена, А. Эриш епа и других авторов [33, 43, 61, 131, 144, 149, 157, 161, 190, 193].

С недостаточностью классической теории упругости столкнулись в физике твердого тела при изучении термодинамических свойств материалов. В 1952 году И.М.Лифшиц [71], рассматривая вопрос о тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах, обратил внимание на влияние поперечной жесткости отдельных атомных слоев или цепей на закон дисперсии акустических колебаний слоистого кристалла в длинноволновой части спектра, где она по законам теории упругости должна отсутствовать. В этой работе приведены законы дисперсии для продольных и поперечных (изгибных) волн. Впоследствии изгибные волны в кристаллической решетке были более детально изучены А.М.Косевичем [57, 58, 156]. Он отметил, что изгибные волны, в отличие от продольных волн, обусловленных центральными силами взаимодействия вызываются более слабыми силами нецентрального взаимодействия, возникающими при поперечных смещениях частиц. Он также показал, что для более точного описания нелинейной динамики кристаллической решетки в уравнениях колебаний необходимо учитывать и моментные напряжения, описываемые четвертыми пространственными производными от поперечных смещений частиц.

В последние два десятилетия все больше растет интерес к задачам построения нелинейных моделей сред сложной структуры [1, 7, 8, 15, 16, 19, 24, 27, 38, 39, 41, 54, 64, 69, 85, 129, 143, 153, 154, 176, 182-185]. Так, например, Ж.Пуже и Ж.Можен в работе [185] изучали нелинейную динамику ориентированных сред с помощью микроскопической теории, моделируя среду как систему материальных объектов с трансляционными и вращательными степенями свободы. Один из вариантов теории, описывающей момеитную динамику твердого деформируемого тела, был предложен А.Г. Угодчиковым в работах [107-109]. На основе физических и механических свойств геоматериалов со сложной структурой в работах В.Н.Николаевского [80, 175] построены математические модели деформирования и разрушения горных массивов и пластов при внешних воздействиях .

В третьей главе диссертации развиваются теоретические основы структурно-феноменологического моделирования сред сложной структуры. Структура срсды и, в частности, размер зерна - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющих на их прочностные и вязкоупругие характеристики. Большинство структурных теорий, применяемых в механике твердого тела, частицы, из которых состоит тело, представляют как простые центры сил, наделенные свойствами массы. Эти элехменты тела действуют друг на друга с помощью центральных сил. Предполагается, что силы, действующие между структурными элементами тела, быстро убывают с расстоянием и ими можно пренебречь, если расстояние между элементами превышает «радиус молекулярного действия». Метод центральных сил приводит к определенным соотношениям между упругими постоянными второго порядка, которые называются соотношениями Коши. В 1830 г. Коши, используя дискретную модель среды (эфира), сделал попытку объяснить дисперсию света в предположении, что свет представляет собой упругие волны с очень большой частотой. Он показал, что для длин волн, много больших расстояния между соседними частицами одномерной решетки, скорость распространения не зависит от длины волны. Для коротких же волн скорость распространения является функцией длины волны и может заметно изменяться. Идеи Коши, послужили отправной точкой для исследований Баден-Пауэлла, который, исходя из модели одномерной решетки, вывел формулу связи между скоростью распространения волны и ее длиной. Однако он не заметил одно из важнейших свойств периодических систем, а именно существование максимальной частоты, при которой волны еще могут распространяться в решетке. Это открытие сделал в 1881 г. Кельвин, обративший внимание на то, что частота является функцией волнового числа. С помощью модели цепочки из частиц двух сортов Кельвин смог объяснить явление дисперсии, избежав затруднений, имевших место в теории Коши.

В 1842 году С.Пуассон сделал предположение о том, что молекулы кристалла представляют собой не точки, а малые твердые тела, которые могут двигаться не только поступательно, но и вращаться [73]. Эта идея позже, в 1887 году, была детально разработана В. Фохтом [196]. В 1890 году В.Томсоп (лорд Кельвин) указал, что соотношения Коши могут быть устранены, если представить кристалл состоящим из двух проникающих друг в друга однородных точечных образований, т.е. двух подрешеток [73]. Более общие структурные схемы кристаллических материалов были предложены в 1915 году Максом Борном, в которых каждый структурный элемент кристалла — элементарная ячейка — состоит из собрания притягивающихся и отталкивающихся частиц [21]. Частицы внутри каждой ячейки одинаково расположены по отношению друг к другу.

В конце 1930-х годов Я.И.Френксль рассмотрел модель цепочки ориентированных диполей с закрепленными центрами тяжести и показал, что в ней могут распространяться "волны вращательных качаний" (т.е. ориентационные волны).

Первую же модель взаимодействия трансляционных и вращательных колебаний в молекулярной решетке предложили в 1949 году Л.И.Апсельм и Н.Н.Порфирьева [3]. В такой модели было учтено лишь линейное взаимодействие ориентационных волн с одним видом трансляционных колебаний - продольными волнами. Тем не менее удалось показать, что в кристаллических решетках молекулярных кристаллов распространяются в основном смешанные ориептациопно-трансляционные колебания, частоты которых зависят как от массы, так и от момента инерции молекул в решетке. Для одномерной модели молекулярной решетки с двумя молекулами в элементарной ячейке получаются четыре ветви вращательно-трансляционного спектра колебаний. Для длинных волн одна ветвь (акустическая) дает чисто трансляционные колебания, вторая ветвь - чисто вращательные колебания, зависящие только от момента инерции, и две другие - смешанные вра-щательно-трансляцнонные колебания, зависящие и от массы, и от момента инерции. Как показали дальнейшие исследования Н.Н.Порфирьевой, эти результаты, полученные для одномерной модели решетки, сохраняются в основном и для трехмерной молекулярной решетки кристалла.

До середины прошлого столетия большинство результатов механики деформируемого твердого тела были получены в рамках континуального подхода. Дискретные же модели использовались, как правило, в физике твердого тела и теории кристаллической решетки [21, 22, 56-58]. Интерес к дискретным моделям возобновился во второй половине XX века [46, 122-125, 128]. Здесь стоит указать работы Г. Зорского, Д.Рогули и Ч.Рымажа [43], М.Р.Короткиной [55, 56], Н.Ф. Морозова и М.И. Паукшто [78]. Такой интерес связан со следующими обстоятельствами:

Применение дискретных методов в силу дискретности процессов вычисления идеологически более оправдано.

Развитие ЭВМ позволяет в настоящее время решать "большие" системы уравнений, что отчасти снимает возражение о неадекватности реальных и расчетных ситуаций.

Дискретные методы позволили, например в задачах разрушения, обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными методами. И это не случайно, поскольку разрушение происходит на уровне структуры и описывается длинноволновой асимптотикой лишь приближенно. — Дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры вещества.

Как известно, структурные и кинетические характеристики материалов наиболее'ярко проявляются в их динамическом поведении, поэтому один из эффективных способов определения материальных констант твердых тел основан на измерениях скоростей и других характеристик упругих волн, распространяющихся по разным кристаллографическим направлениям. При исследовании твердых материалов упругие (акустические) волны имеют определенные преимущества перед электромагнитными и рентгеновскими волнами, так как могут распространяться в толще среды, куда последние не проникают. Высокая чувствительность акустических методов и сравнительно малые амплитуды деформации дают возможность исследовать механические характеристики твердых тел еще в упругой области деформации без разрушения материала [74, 82, 105, 111, 192]. Это делает актуальной разработку теории волновых процессов в средах сложной структуры и привлекает большое внимание, как теоретиков, так и экспериментаторов. В настоящее время представления о существовании в кристаллической решетке ротационных степеней свободы и различных типов взаимодействий широко используются при изучении динамических процессов в средах сложной структуры [3, 66, 75, 77, 132-136, 171, 172, 1811-183, 194, 195]. Теория ангармонических эффектов в решетке, состоящей из анизотропных частиц, представляется весьма важной для развития ультразвуковых методов исследования твердых тел [27, 38, 42, 74, 105, 111, 126, 127].

В середине 30-х - начале 40-х годов на важность учета микроструктуры среды, а именно, вращательных степеней свободы частиц обратили внимание физики-экспериментаторы. Так, весьма интересны опыта Е.Бауера и М.Мага, производивших сравнение спектров рассеяния для тяжелой и легкой воды. Из сравнения спектров этих двух веществ, молекулы которых имеют приближенно одну и ту же массу, но различные моменты инерции, Е.Бауер и М.Мага делают заключение о существовании наряду с трансляционными также и вращательные колебания молекул воды. Допуская существование таких же колебаний, Дж. Бернал и

Ж.Тамм считали возможным объяснить различия в некоторых физических свойствах легкой и тяжелой воды. В 1940 году Е.Гросс [34] наблюдал эффект изменения длины волны рассеянного света в жидкости, связанный с флуктуациями ориентации анизотропных молекул, и отметил, что при вращательных колебаниях оси молекул могут поворачиваться на значительную величину, если период колебаний много больше времени релаксации. В дальнейшем Е.Гросс и А.Коршунов экспериментально установили [35], что и у кристаллов некоторых органических веществ спектр рассеяния малых частот связан с вращательными колебаниями молекул. Наиболее интенсивен спектр рассеяния у веществ, молекулы которых обладают большой оптической анизотропией (сероуглерод, нафталин, бензол).

В конце 50-х годов стали проводиться опыты по наблюдению оптико-акустического эффекта в жидкостях и твердых телах. В частности, опыты по изучению спектральной зависимости оптико-акустического эффекта в сегнетоэлек-трических кристаллах (в частности, сегнетовой соли). Исследование спектральной зависимости такого эффекта в кристалле сегнетовой соли и сопоставление результатов со спектром инфракрасного поглощения представлялось интересным с точки зрения проблем, связанных с молекулярным механизмом пьезоэлектрического явления. Однако вопрос о степени эффективности тех или иных колебаний при возбуждении оптико-акустического эффекта до сих пор до конца не изучен.

В 1970 году были проведены первые эксперименты по акустике твердых тел с микроструктурой (Г.Н. Савин и др. [97, 98]). Авторы установили корреляцию между размером зерна в различных металлах и алюминиевых сплавах и дисперсионным параметром акустической волны. Дисперсию ультразвуковых волн наблюдали также в искусственном зернистом композите - ферритовая дробь в эпоксидной смоле.

Учет микроструктуры среды необходим и при исследовании нелинейных акустических волн в кристаллах, поскольку, как указывается в монографии В.Е.Лямова [74], наличие микровращений приводит к появлению пространственной дисперсии и новых акустических ветвей в спектре волн. Однако эти эффекггы в книге не рассматриваются.

В последнее десятилетие теоретическому и экспериментальному исследованию процессов распространения и взаимодействия акустических волн в средах сложной структуры посвящено большое количество работ [15, 16, 24, 93, 102-104, 176. 181-184].

Цели работы.

• Анализ основных постулатов механики сплошной среды и проведение классификации различных моделей континуума. Построение конкретных континуальных моделей сред, учитывающих внутренние степени свободы.

• Разработка структурно-феноменологических моделей микрокристаллических сред. Выявление и исследование взаимосвязей между внутренней структурой и физико-механическими свойствами материала.

Научная новизна результатов работы.

Дано расширенное определение представительного объема среды как системы взаимодействующих материальных точек. Построена его кинематика и даны определения внутренних степеней свободы. Выделены четыре типа представительных объемов среды с независимой кинематикой.

Дана последовательная классификация обобщенных континуальных теорий. Показано, что в рамках расширенной аксиоматики существуют восемь типов континуумов, в которые укладываются все известные модели сплошных сред. Указано на существование двух типов континуумов, которые еще не разработаны.

С помощью вариационных принципов механики выведены уравнения нелинейной динамики сред с микроструктурой, учитывающие связи между трансляционными, ротационными и осцилляторнымп степенями свободы частиц. Выявлено, что наличие внутренних связей вносит в уравнения движения особенности, не описываемые классической теорией упругости.

Построена структурно-феноменологическая модель квазиодномерного кристалла и установлена взаимосвязь между параметрами микроструктуры и упругими постоянными материала. Эта связь дает возможность, с одной стороны, вычислить параметры микроструктуры по известным константам упругости среды, а с другой - предсказать характер изменения упругих коэффициентов при изменении её структуры.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

1. Показано, что на наиомасштабах классическая модель сплошной среды наталкивается на неопределенности при вычислениях кинетического момента и энергии среды, связанные с существованием внутренних движений. Уточнено определение представительного объема среды и показано, что в рамках классической физики можно выделить четыре типа представительных объемов с различной кинематикой.

2. Установлено, что из возможных комбинаций типов представительного объема и силового взаимодействия может быть реализовано восемь физически содержательных моделей континуума, в которые укладываются все известные в настоящее время модели механики сплошных сред.

3. Развиты теоретические основы метода структурно-феноменологического моделирования сред со сложной внутренней структурой. Его отличием от теории кристаллических решеток является то, что в её узлах располагаются не точечные материальные частицы, а тела конечных размеров, имеющие внутренние степени свободы. Структурное моделирование явным образом учитывает размеры микрочастиц, их форму и является наиболее подходящим методом для изучения влияния размерных эффектов на макросвойства материала.

4. Построена динамическая модель одномерной нанокристаллнческой срсды, в узлах которой расположены частицы конечных размеров обладающие трансляционными и ротационными степенями свободы. Показано, что структура уравнений движения инвариантна относительно формы и размеров частиц, а параметры микроструктуры влияют на модули макроупругости среды.

5. Показано, что в гранулированной среде в низкочастотном приближении в уравнении для поперечной волны появляется слагаемое с квадратичной нелинейностью, отсутствующее в классической теории упругости. Квадратичная нелинейность связана с блочной структурой среды и возникает из-за нарушения симметрии моментного взаимодействия частиц-зерен при поперечных смещениях и поворотах. Она пропадает, когда ширина частицы стремится к нулю и восстанавливается симметрия моментных взаимодействий. Существование квадратичной нелинейности позволяет дать теоретическое обоснование генерации второй сдвиговой гармоники в реальных кристаллах, запрещенной в рамках классической теории упругости.

Полученные в диссертации результаты по изучению влияния внутренней структуры микро- и нанокристаллических материалов на их упругие постоянные могут быть использованы для создания научно обоснованных критериев прогнозирования свойств новых перспективных материалов. Найденные механические и акустические параметры, несущие информацию о свойствах и структуре среды, создают теоретическую основу для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов со сложной внутренней структурой.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям [А.Г.Уткину] п А.И.Потапову за постановки задач, руководство работой, обсуждения и советы. я также признательна своим коллегам и соавторам за плодотворное совместное сотрудничество.

Заключение

В диссертации проведен критический анализ основных постулатов механики сплошной среды, расширено понятие представительного объема и осуществлена классификации различных моделей континуума. Построены континуальные и структурные модели сред, учитывающие внутренние степени свободы частиц, а также нелинейность и нелокальность межчастичпых взаимодействий.

1. Абдуллаев Ф.Х., Хабибулаев П.К., Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах. //Ташкент, изд-во "ФАН", 1986.

2. Адамов A.A., ГолотинаЛ.А., Кожевникова Л.Л., Мошев В.В., Проблемы континуализации для зернистых композитов на основе анализа их мезоуровня// Физическая мезомеханика, 1999, Т.2, №3, с. 109-113.

3. Ансельм А.И., Порфирьева H.H. Ориентационно-трансляционные волны в молекулярных кристаллах. // ЖЭТФ. 1949. Т Л9. N 5. С.438-446.

4. Афанасьева Г.К. Упругие константы нафталина при низких температурах. // Кристаллография. 1968. Т. 13. N 6, С. 1024-1027.

5. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Иласов К.Б., Пелетминский C.B. Вращательная инвариантность, связанные магнитоупругие волны и магнитоакустический резонанс // УФН. 1984. Т. 143. Вып. 4. С. 673-674.

6. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые волны. М. Наука. 1967. 368с.

7. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Сильно нелинейная теория формирования наноструктуры вследствие упругих и неупругих деформаций кристаллических тел // МТТ. №5. 2007.

8. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой. // Успехи механики. 2002. Т.1. №3. С.130-176.

9. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения. // ФТТ. 1963. Т.5. N9 С.2591-2598.

10. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц. // Физика твердого тела. 1960. Т. 2. N7. С. 1399-1409.

11. Баскаков В.А., Бестужева Н.П., Кончакова H.A. Линейная динамическая теория термоупругих сред с микроструктурой. Воронеж. Изд-во ВГТУ, 2001 162 с.

12. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984, 352с.

13. Беленков Е.А., Ивановская В.В., Ивановский A.JI. Наноалмазы и родственные углеродные напоматериалы. Компьютерное материаловедение. Екатеринбург: УрО РАН, 2008, 169 с.

14. Беляев В.В. Вязкость нематических жидких кристаллов. М.: Физматлит, 2002, 224с.

15. Беляева И.Ю., Зайцев В.Ю. Упругие нелинейные свойства зернистых микронеоднородных сред с иерархической структурой. // Акуст. журн. 1997. Т.43. № 5. С.594-599.

16. Беляева И.Ю., Зайцев В.Ю., Островский JI.A. Нелинейные акустоупругие свойства зернистых сред. // Акуст. журн. 1993. Т.39. № 1. С.25-32.

17. Бердичевский B.J1. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 447 с.

18. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки / пер. с англ. М.: Мир 1986.

19. Богданов А.Н., Скворцов А.Т., Нелинейные сдвиговые волны в зернистой среде // Акуст. журн., 1992, Т.38, Вып. 3, С.408-412.

20. Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред //Механ. полимеров 1965. N2. С.27-37.

21. Борн М., Хуан К., Динамическая теория кристаллических решеток. М., ИЛ, 1958.

22. Бриллюэн JL, Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Перев. с француз, под ред. П.А. Рязина, М., ИЛ, 1959.

23. Бушманов Б.Н., Хромов Ю.А. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1971.-224с.

24. Быков В.Г., Уединенные сдвиговые волны в зернистой среде // Акуст. журн., 1999, Т.45, №2, С.169-172.

25. Валисв Р.З., Александров И.В. Нанострукгурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. М.: Изд-во Логос, 2000. 272 с.

26. Васидзу К., Вариационные методы в теории упругости и пластичности / пер. с англ. / под ред. Н.В. Баничука, М.: Мир, 1987, 542с.

27. Вахненко В.А., Диагностика свойств струкгурированной среды длинными нелинейными волнами // ПМТФ, 1996, Т.37, №5, С.35-42.

28. Введение в микромеханику / под ред. М. Онами / пер. с японского, М.: Металлургия, 1987, 280с.

29. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, 1979.

30. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Особенности применения методов механики сплошных сред для описания наноструктур. // Физическая мезомеханика. 2005. Т.8. - №5. - С.47-54

31. Гольденблат И.И., "Нелинейные проблемы теории упругости", М., Наука, 1969.

32. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,; сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1963.

33. Грин А.Е., Микроструктура материалов и мультиполярная механика сплошных сред // Сб. перев. «Механика», 1966, №5(99), с. 118-122

34. Гросс Е.Ф., Исследования по оптике и спектроскопии кристаллов жидкостей. Избранные труды. Изд. Наука, Ленинград, 1976, 448с.

35. Гросс Е., Коршунов А. Вращательные колебания молекул в кристаллической решетке органических веществ и спектры рассеяния. // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. N 1. С. 53-59. В книге 34., с.100-105

36. Гусев А.И., Ремпель A.A. Нанокристаллические материалы. М.: Физматлит, 2001.224с.

37. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X., Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., Мир, 1988. 694 с.

38. Драгунов Т.Н., Павлов И.С., Потапов А.И. Ангармонические взаимодействия упругих и ориентационных волн в одномерных кристаллах. // Физика твердого тела, 1997, Т. 39, № 1, С. 137-144.

39. Ерофеев В.И., Потапов А.И., Солдатов И.Н. Нелинейные волны в упругих телах с пространственной дисперсией. Монография. Горький. 1986. 224с. Рукопись представлена Горьковским университетом. Деп. в ВИНИТИ 25.07.86. №5440-В86.

40. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 1997.- 320 с.

41. Зайцев В.Ю. Численное моделирование упругих нелинейных свойств зернистых сред с неидеальной упаковкой. // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 3. С.439-445.

42. Зарембо Л.К., Красильников В.А., Сердобольская О.Ю. Нелинейная акустика кристаллов и некоторые ее приложения // Нелинейная акустика /Ред. В.А.Зверев, Л.А.Островский. Горький. ИПФ АН СССР. 1980. С.189-219.

43. Зорский В.Г., Рогуля Д., Рымаж Ч. Нелокальные континуальные модели дискретных систем. // Усп. мех. 1979. Т. 2. Вып. 1. С. 83-108.

44. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий //Механика твердого тела, 2003, № 4, с. 110-127.

45. Иванова Е.А., Кривцов A.M., Морозов Н.Ф., Фирсова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Докл. АН. -2003. Т.391, №6. - С.764-768

46. Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсова А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов //Механика твердого тела, 2005, № 4, с. 75-85.

47. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды, 3-е изд., М.: Изд-во МГУ, 1990, 310с.

48. Ильюшин A.A., Ломакин В.А., Моментныс теории в механике твердых деформируемых тел. // Сб. Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971, с.54-61.

49. Ильюшина Е.А. Одна из моделей сплошной среды с учетом микроструктуры. // ПММ, 1969, Т.ЗЗ, № 5, с. 917-923.

50. Ильюшина Е.А. Вариант моментной теории упругости для одномерной непрерывной среды с неоднородной периодической структурой. // ПММ, 1972. Т.36, с.1086-1093.

51. Индии H.H. Анизотропные сплошные среды, энергия в которых зависит от градиентов тензора деформаций и других тензорных величии. // ПММ. 1966. Т.ЗО. №3. с.531-541.

52. Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. М., Наука, 1971.

53. Койтер В.Т. Момептные напряжения в теории упругости // Механика: Сб. пер. 1965. №3. С.89-112.

54. Кондауров В.И. О нелинейных уравнениях динамики упругой микрополярной среды. // ПММ. 1984. Т.48. №3. С.404-413.

55. Короткина М.Р., Замечание о моментных напряжениях в дискретьных средах. //Вестник МГУ. Сер. Матем. Механ. 1969, № 5. С.103-109.

56. Короткина М.Р., Физика твердого тела. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1988. 118 с.

57. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М., Наука, 1972.

58. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки (физическая механика кристаллов). Харьков, Вища школа, 1988.

59. Кривцов A.M., Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой, М.: Физматлит, 2007, 304с.

60. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л., Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения. // ФТТ. 1963. Т. 5. № 9. С. 25912598.

61. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М., Наука, 1975. 416с.

62. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. 4-е изд. М., Наука, 1987. 246 с.

63. Лисина (Потапова) С.А., Уткин Г.А., Уравнения движения и законы сохранения для микрополярного континуума // 11-я Зимняя Школа по механике сплошных сред (Тез. докл.), Пермь, 1997, с.235

64. Лисина С.А. Уравнения динамики нелинейной ориентированной среды. //Сб. тр. «Физические технологии в машиноведении», изд-во НГТУ, Н.Новгород, 1998, с.9-14.

65. Лисина С.А. Одномерная модель гранулированной среды. // Сб. трудов «Физические технологии в машиноведении». Н.Новгород. Изд-во «Интелсервис». 2000. Вып. 2. С. 21-28.

66. Лисина С.А., Потапов А.И., Нестеренко С.Ф. Нелинейная гранулированная среда с вращением частиц. Одномерная модель // Акустический журнал. 2001. Т47. №5. С. 666-674.

67. Лисина С.А., Потапов А.И. Уравнения нелинейной динамики микрополярной среды. Вариационный подход // Известия вузов. Северо-Кавказский регион.

68. Естественные науки. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. Ростов-на-Дону, 2003. С. 249-255.

69. Лисина С.А. Влияние микроповоротов частиц на свойства нелинейных волн деформации //IX Всероссийский съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. Т.1. Н.Новгород. Изд-во Нижегород. ун-та. 2006. с. 87.

70. Лисина С.А. О возникновении квадратичной нелинейности у сдвиговых волн в гранулированной среде //Гез. докл. Всероссийской н.-т. конф. "Фундаментальные проблемы машиноведения: новые технологии и материалы". Нижний Новгород, ЗАО "Интек-НН", 2006, с. 64.

71. Лисина С.А., Потапов А.И. Обобщенные модели сплошной среды в наномеханике // Доклады АН, 2008. Т.420. №.3. С. 328-330.

72. Лифшиц И.М. О тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах. // ЖЭТФ. 1952. Т. 22. № 4. С. 475-486.

73. Лурье А.И., Нелинейная теория упругости, М.: Наука, Физматлит, 1980, 512с.

74. Ляв А.Е., Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935

75. Лямов В.Е., Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волн в кристаллах. М.: Изд-во МГУ, 1983, -224с.

76. Маневич Л.И., Ряпусов С.В. Нелинейная плоская динамика молекулы полиэтилена. // Физика твердого тела, 1992, Т. 34, № 5, С. 1554-1560.

77. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика: Сб. пер. 1964. №4 (86) С. 129-160.

78. Можен Ж., Механика электромагнитных сплошных сред. Пер. с англ. под ред. Дунаева И.М. и Патрона В.З., М.:Мпр, 1991, 560с.

79. Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. С.-Петербург, 1995.

80. Мошев В.В., Гаришин O.K., Структурная механика дисперсно-наполненных эластомерных композитов // Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2005, №2, с. 3-36.

81. Николаевский В.Н. Пространственное осреднение и теория турбулентности. // Механика. Новое в зарубежной науке, Т. 33, Вихри и волны. М., Мир, 1984, С. 266-335.

82. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 872с.

83. Ноздрев В.Ф., Федорищенко Н.В. Молекулярная акустика. М.: Изд-во Высшая школа 1974.- 288 с.

84. Нормальные (собственные) волны. // Физический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия. 1983.Т.З. С. 360.

85. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. -М.: Физматлит. 2003. 400 с.

86. Павлов И.С., Лисина С.А. Одномерные модели нелинейной динамики микрополярных и гранулированных сред // Известия вузов. СевероКавказский регион. Спецвыпуск "Математическое моделирование". Ростов-на-Дону, 2001, с. 132-134.

87. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского ун-та, 1993.

88. Пальмов В.А., Колебания упруго-пластических тел, М.: Наука, Физматлит, 1976, 328с.

89. Пальмов В.А., Об одной модели среды сложной структуры. // ПММ, Т.ЗЗ, № 4, с.768-773 (1969).

90. Пальмов В.А., Основные уравнения теории несимметричной упругости. // ПММ, Т.28, № 3, с.401-408 (1964).

91. Потапов А.И. Волны деформации в среде с внутренней структурой // Нелинейные волны' 2004" / Н.Новгород: ИПФ РАН, 2004, С. 125-140.

92. Потапов А. И., Лисина С. А. Обоснование моделей сплошной среды //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 2006. с. 222-226.

93. Потапов А.И, Лисина С.А. О мпогомасштабных моделях сплошной среды в наномеханике // Первая Всероссийская конф. «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» Тез. докл. Москва, 2008, С 249-250.

94. Потапов А.И., Родюшкин В.М. Экспериментальные исследования волн деформации в материалах с микроструктурой // Акуст. журн. 2001. Т.47. № 3. С. 407-412.

95. Пул Ч.-мл., Оуэне Ф., Нанотехнологии, М.: Техносфера, 2006, 336с.

96. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М., Наука, 1984.432 с.

97. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета / М. Рит. М.; Ижевск: RCD, 2005. - 159 с.

98. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой. // Прикл. механика. 1970. Т. 6. № 7. С. 4852.

99. Савин Г.Н., Лукашев A.A., Лыско Е.М., Веремеенко C.B., Агафьев Г.Г. Распространение упругих воли в континууме Коссера со стесненным вращением частиц. // Прикл.механ. 1970. Т.6. №6. С.37-41.

100. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // УМН, 1965, Т. 20, №5.

101. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы // ПММ, 1968, Т.32, №5, с.771-785

102. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука, 1973. 536 с.

103. Строшио М., Дутга М. Фононы в наноструктурах / Пер с англ. под ред. Г.Н. Жижина. М.: Физматлит.2006.-320с.

104. Сулейманов P.A., Сеидов М.Ю., Салаев Ф.М. Упругие свойства слоистых кристаллов. // Физика твердого тела. 1991. Т. 33. № 6. С.1797-1800.

105. Сыркин Е.С., Феодосьев С.Б., Шамфарова О.Я. Влияние изгибной жесткости слоев на динамические характеристики слоистых кристаллов со сложной решеткой. // Физика низких температур. 1991. Т. 17. № 6. С. 746-754.

106. Такер Дж., Рэмптон В., Гиперзвук в физике твердого тела. М., Мир, 1975.

107. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: Курс лекций. 4.1. Общая теория / Перм. гос. тех. ун-т.- Пермь, 2006. 173 с.

108. Угодчиков А.Г. Моментная динамика линейно-упругого тела. // ДАН. 1995, Т. 340, № 1.

109. Угодчиков А.Г. Об уравнениях моментной динамики твердого деформируемого тела. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. М., 1995, с.159-176.

110. Угодчиков А.Г. Уравнения динамики упругого тела с учетом "внутреннего вращения". Вариационный подход. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация конструкций, 1991, с.78-83.

111. Федоров В.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965. 388 с.

112. Физическая акустика (под ред. У. Мэзона). Том II. Часть А. Свойства газов жидкостей и растворов (перевод с англ. под ред. И.Г. Михайлова). М., Мир, 1968.- 488 с.

113. Физическая мезомеханика и компьютерное моделирование материалов. В 2-х т. /Под ред. В.Е. Панина.- Новосбирск. Наука. 1995.-297 с. и 320 с.

114. Физическая энциклопедия Т.1-5, М.: Большая Российская энциклопедия, 1988-1998.

115. Франк А.М., Яненко Н.Н. О свойствах усредненного движения упругой одномерной решетки. Новосибирск, 1960. № 14, 18 с.

116. Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов /Справочник под ред. Францевича И.Н. /Киев. Наукова думка, 1982. 286 с.

117. Хуснутдинова К.Р. Нелинейные волны в двухрядной системе частиц. // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1992. № 2. С. 71-76.

118. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. 1977. 399с.

119. Шкутин Л.И. Механика деформаций гибких тел, Новосибирск, Наука, 1988.

120. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. М.: Мир. 1975. Т.2. С.646-751.

121. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., Наука, 1977.

122. Яновский Ю.Г., Басистов Ю.А., Згаевский В.Э., Власов А.В., Карнет Ю.Н. Иерархические модели в механике гетерогенных сред. // Физическая мезомеханика. 1999, Т. 2, № 3, с.23-45.

123. Askar A., Lattice Dynamics Foundation of Continuum Theory. World-Scientifïc, Singapore (1985).

124. Askar A., Molecular crystals and the polar theories of continua: experimential values of material coefficients for KNO3. IntJ.Eng.Sc. 10, 293-300 (1972).

125. Askar A.A model for coupled rotation-displacement mode of certain molecular crystals. Illustration for KNO3. // J.Phys.Chem.Solids. 1973. V. 34. P. 1901 -1907.

126. Bardenhagen S. and Triantafyllidis N. Derivation of higher order gradient continuum theories in 2,3-D non-linear elasticity from periodic lattice models. J.Mech.Phys. Solids 42, N 1, pp.111-139 (1994).

127. Belyaeva IY; Ostrovsky LA; Zaitsev VY; Stefan V; Sutin AM. Comparison of linear and nonlinear elastic moduli for reservoir rock by use of a granular medium model. Journal of the Acoustical Society of America, 1996, 99 (n3): 1360-1365.

128. Belyaeva IY; Zaitsev VY; Ostrovskii LA.Nonlinear acoustoelastic properties of granular media. Acoustical physics,, 1993, 39 (nl),:l 1-14.

129. Berglund K., Structural Models of Micropolar Media. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore (1982), pp.35-86.

130. Berryman J.G. L. Thigpen, Nonlinear and semilinear dynamic poroelasticity with microstructure. J. Mech. Phys. Solids,1985, V.33, 97-116.

131. Blank X., Bris C.Le, Lions P.-L. From molecular models to continuum mechanics. Arch. Rational Mech. Anal. 2002, v.164. 341-381.

132. Capriz G., Continuum with Microstructure, Springer Tracts in Natural Philosophy, (ed. by C.Truesdell) 35, New-York, Springer, 1989.

133. Chang C.S., L. Ma, A micromechanical-based micro-polar theory for deformation of granular solids, Int. J. Solids Struct., 1994, 28, 67-87.

134. Chang C.S; Ma L. Elastic material constants for isotropic granular solids with particle rotation. International journal of solids and structures, 1992, №8: 10011018.

135. Chang CS; Gao J. Non-linear dispersion of plane wave in granular media. Int. J. Non-Linear Mech., 1995, №2:111-128.

136. Chang, CS; Gao, J. Wave propagation in granular rod using high-gradient theory. J. of Engn. Mech.-ASCE, 1997, №1:52-59.

137. Christoffersen J., Mehrabadi M.M., Nemat-Nasser S.A. A micromechanical description of granular material behavior// ASME, J. Appl. Mech. 1981, 48. P. 339-344.

138. Ciarletta, D. Lesan, Non-Classical Elastic Solids, Longman, Scientific and Technical, 1993

139. Cliland A.N. Foundations of nanomechanics: from solid-state theory to device applications. // Springer-Verlag. Berlin. 2003. 435 p.

140. Cosserat E. and F. Theorie des Corp Dcformablcs. Paris. Librairie Scientifique A.Hermann et Fils. 226p.

141. Edelen D.G.B., Green A.E., and Laws N. Nonlocal continuum mechanics. Arch.Rat.Mcch.Anal. 1971. V. 43. № 1, P. 36-44.

142. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. 1: Foundation and solids. Springer Verlag. New York Inc. 1999. 326 p.

143. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories.2: Micropolar fluids. Springer Verlag. New York Inc. 2000.

144. Eringen A.C. and Suhubi E.S., Nonlinear theory of simple micro-elastic solids. Int. J. Engng. Sei. 1964, V. 2, pp. 189-203, 389-404.

145. Eringen A.C., Balanse laws of micromorfhic mechanics, Int. J. Engn. Sei., 1970, 8, № 10, 819-828. (перев. в сб. "Механика", 1971, 4(128), 119-128.

146. Fisher-Hjalmars I., Micropolar Phenomena in Ordered Structures. In: Mechanics of Micropolar Media. Eds. O. Brulin and R.K.T. Hsieh. World Scientific, Singapore (1982), pp.1-33.

147. Gauthier R.D. Experimental investigations on micropolar media, // Mechanics of Micropolar Media. World Scientific, Singapore, 1982. P. 395-463.

148. Gauthier R.D., Jahsman W.E. A quest for micropolar elastic constants. Part 2// Arch. Mech. 1981. V.33. N5. P.717-737.

149. Gendelman O.V., Manevitch L.I. The description of polyethylene crystal as a continuum with internal degrees of freedom //Int. J. of Solids and Structures. 1996. V.33. № 12. P.1781-1798.

150. Giarletta G., Iezan D. Non-classical elastic solids. Longman Scientific and Technical, John Wiley and Sons. Inc. New-York. 1993. 345p.

151. Green A.E., Micro-materials and multipolar continuum mechanics.// Int.J.Engng. Sei. 1965. V.3, P.533-537 (перевю в сб. «Механика». 1966. Т.5. № 99. С.118-122

152. Green A.E., Rivlin R.S., Multipolar continuum mechanics, Arch. Rat. Mech. Anal., 1964, 17, 113-147.

153. Hertz K. Die Prinzipien der Mechanik. Leipzig. 1894.

154. Hjalmarr S. Non-linear micropolar theory// Mechanics of Micropolar Media (Eds. O.Brulin and R.K.T.Hsieh), Word Scientic 1982, pp.147-185

155. Johnson P., Rasolofosaon P.N. Manifestation of nonlinear elasticity in rosk: convincing evidence over large frequency and strain intervals from laboratory studies // Nonlinear Processes in Geophysics. 1996. V. 32. P. 77-88.

156. Kawai T. A new discrete model for analysis of solid mechanics problems. Seisan Kenkyi. MonJ Inst. Ind. Sci. Tokyo, 1977, V.29, №4, P.208-210.

157. Kosevich A.M. Crystal Lattice: Phonons, Solitons, Dislocations, Berlin, New York, Wiley-VCI-I, 1999.

158. Krumhansl J.A., Some considerations of the relation between solid state physics and generalized continuum mechanics, Eur. J. Mech. A/Solids 15, 1049-1075 (1996).

159. Kumar R., Coudhary S. Distirbance due mechanical sources in micropolar elastic medium with voids // J. Sound and Vibration. 2002, V. 256 (1). P. 1-15

160. Kumar R., Wave propagation in micropolar viscoelastic generalized thermoelastic solid. // Int. J. of Engeen. Science. 2000. V.38, P. 1377-1395

161. Kunin I.A.: Elastic Media with Microstructure . Parts I and II. Springer Series in Solid-State Sciences, vol. 26.and 43, Berlin: Springer-Verlag (1982-1983).

162. Lakes R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalised elastic continua. In: Continuum Models for Materials with Microstructure. Ed. H.-B. Muhlhaus. J.Wiley & Sons Ltd, 1995. P. 1-25.

163. Le-Roux. Etude geometrique de la torsion et de la flexion //Ann.LEcole Norm.Supp., Paris, 1911,28.

164. Lisina (Potapova) S.A., Utkin G.A., The variational principle for micropolar continuum, //3rd EUROMECH Solid Mechanics Conf., Stockholm, Sweden, 1997, p.84.

165. Lisina (Potapova) S.A., Utkin G.A., Governing equations and balance laws for micropolar continuum. //EUROMECH Colloquium 378 "Nonlocal Aspects in Solid Mechanics, Mulhouse, France, 1998, P.47.

166. Lisina S.A., Potapov A.I. Nonlinear mathematical models for microstructured media // Abstracts of the 5th Euromech Solid Mechanics Conference ESMC-5 (Aristotle University of Thessaloniki, Greece, 2003), p. 108-109.

167. Mac Cullagh J. An essay towards a dynamical theory of Crystalline Reflection and Refraction //Trans.Roy.Irish.Acad.Sci. 1839. v.21. p.17-50.

168. Mcintosh J.D., Lambert R.F. Nonlinear wave propagation through rigid porous materials. I: Nonlinear parametrization and numerical solutions //J. Acoust. Soc. Amer. 1990. V. 88. №4. P. 1939-1949.

169. Mechanics of Generalized Continua. Proc. IUTAM Symp. on the generalized Cosserat continuum and the continuum theory of dislocations with applications /ed. E.Kroner, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York, 1968.

170. Mechanics of Micropolar Media. Eds. O.Brulin and R.K.T. Ilsieh. World-Scientific, Singapore, 1982.

171. Metrikine A.V., Askes H. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure — Parti: Generic formulation // European Journal of Mechanics A/Solids, V. 21, 2002, pp. 555-572

172. Metrikine A.V. and Askes H. An isotropic dynamically consistent gradient elasticity model derived from a 2D lattice // Philosophical Magazine, V. 86, N 2122, 21 July-1 August 2006, pp. 3259-3286

173. Mindlin R.D., Microstructure in linear elasticity, Arch. Rat. Mech. Anal., 1964, V.16, N 7, pp.51-78.

174. Multiscale modelling of nanomechanics and micromechanics: an over-view / N.M. Ghoniem et al. // Phil. Magazine. 2003. - Vol. 83. - No. 31-34. - P. 34753528.

175. Nikolaevskii V.N. Continuum approach to the theory of waves in fragmentary media // Phys. Earth Planet. Inter. 1988. V. 50. №1. P. 32-38.

176. Pavlov I.S., Lisina S.A., Potapov A.I. Nonlinear Acoustic Waves in Micropolar and Granular Media // Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century. Edited by O.V. Rudenko and O.A. Sapozhnikov, Moscow, 2002, V. 2, pp. 665668.

177. Pavlov I.S., Potapov A.I., Lisina S.A. The mathematical model for 2D Granular Media // Abstracts of the XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" APM 2003, St. Petersburg (Repino), Russia, 2003, pp. 78-79.

178. Pavlov I.S., Potapov A.I., and Maugin G.A. A 2D Granular Medium With Rotating Particles // Int. J. of Solids and Structures, 2006 V.43, P.6194-6207.

179. Potapov A.I., Lisina S.A. Variation descriptions of nanostructured materials // Abstracts of the XXXI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" APM 2003, St. Petersburg (Repino), Russia, 2003, pp. 80-81.

180. Potapov A.I., Lisina S.A. and Nesterenko V.F. Mathematical modelling of nonlinear waves in granular media. 4th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Metz, France, 2000. Book of abstracts II. Ed. By M. Potier-Ferry and L.S. Toth, p. 722.

181. Potapov A.I., Pavlov I.S., Lisina S.A. Acoustic identification of nanocrystalline media // Journal of Sound and Vibration 2009 V.322. PP. 564-580.

182. Potapov A.I. and Pavlov I.S., Nonlinear waves in ID oriented media. Acoustics Letters 19, 110-115 (1996).

183. Potapov A.I., Pavlov I.S., and Maugin G.A. Nonlinear wave interactions in ID crystals with complex lattice. Wave Motion, 1999, V.29, pp.297-312.

184. Potapov A.I., Pavlov I.S., and Potapova S.A., Vibro-acoustic analysis of physical properties of nonlinear oriented media. In: New Advances in Modal Synthesis of Large Structures. Ed. L.Jezequel. Balkema, Rotterdam (the Netherlands), 399-410 (1997).

185. Pouget J. and Maugin G.A., Nonlinear dynamics of oriented elastic solids, Part 1,2, J. of Elasticity 22, 135-155, 157-183 (1989).

186. Pouget J., Askar A., Maugin G.A. Lattice model for elastic ferroelectric crystals: continuum approximation //Phys. Rev. B. 1986. V. 33. P. 6304-6325.

187. Shaofan Li, Gang Wang, Introduction in Micromechanics and nanomechanics, World Scientific Publ. Co, 2008, 504p.

188. Stojanovic R.: Mechanics of polar continua: theory and applications. C.I.S.M. Lecture Notes (Udine, Italy) (1969).

189. Toupin R.A., Theories of elasticity with couple-stresses, Arch. Rat. Mech. Anal. 1964. V.17, P.85-112 (перев. В сб. «Механика». 1965. Т.З № 91 С. 113-140)

190. Triantafiillidis N., Bardenhagen S., The influence of scale size on the stability of periodic solids and the rate of associated higher order gradient continuum models.// J.Mech. Phys. Solids. 1996,V.44, 41, P. 1891-1928

191. Trovalusci P., Masiani R., A multifield model for blocky materials based on multiscale description. // Int. J. of Solids and Structures. 2005. V. 42. P.5778-5794.

192. Truell R., Elbaum C., Chick В., Ultrasonic Methods in Solid State Physics. Academic Press, New-York (1969).

193. Vardoulakis I; Aifantis EC. "On the role of microstructure in the behavior of soils -effects of higher order gradients and internal inertia". Mechanics of Materials, 1994, 18 (n2):151-158.

194. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., and Miroshnichenko A.E. Multi-field continuum theory for medium with microscopic rotations //Int. J. of Solids and Structures. 2005. V. 42. P.6245-6260.

195. Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E. and Ruzzene M. Multifield model for Cosserat media. // Journal of mechanics and Structures, 2008, V.3, № 7, P.1365-1382

196. Voigt W. Theoretische Studien uber die Elastizitatsverhaltnisse der Krystalle. // Abn.Gcs.Wiss. Gottingen, 1887. v.34.

197. Winkler K.W. Contact stiffness in granular porous materials: comparison between theoiy and experiment// Geophys. Res. Lett. 1983. V. 10. № 11. P. 1073-1076.

198. Yang J.F.S., Lakes R.S. Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone bending. // J. Biomechanics. 1982. V.15. 2. P.91-94.