Концентрация напряжений в однонаправленных композитах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

УДК 539.3

На правах рукописи

ШИШ л

Михайлов Александр Михайлович

Концентрация напряжений в однонаправленных композитах

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2004

Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор В.М.Корнев, доктор физико-математических наук профессор А.В.Березин, доктор физико-математических наук А.Г.Колпаков.

Ведущая организация:

Институт физики твердого тела РАН, (г.Черноголовка).

Защита диссертации состоится 5 апреля 2004 г в 15 час. на заседании диссертационного совета Д003.054.02 в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу:

630090, г.Новосибирск-90, проспект Лаврентьева,л ИГиЛ СО РАН

Факс:(3832)33-16-12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Автореферат разослан 4 марта 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета к.тл.

М.А.Леган

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Механика композитов получила в настоящее время большое развитие в связи со все более широким их применением в качестве конструкционных материалов. Любой композит представляет собой неоднородное тело, причем размеры, форма, взаимное расположение армирующих включений могут сильно колебаться в пределах одного образца, реологические свойства компонент обычно также весьма сложны. Рассмотрение их как однородных, вообще говоря анизотропных тел с некоторыми эффективными характеристиками, позволяет определять напряженно-деформированное состояние как результат усреднения по большому числу структурных элементов. Такой подход зачастую недостаточен. Существует, класс задач, для решения которых требуется судить о поведении материала на расстояниях, сравнимых с характерным размером структурной неоднородности. Например, в задачах, динамики теория эффективных модулей не описывает дисперсию упругих волн, их взаимодействие с границами раздела компонент. К такого же рода задачам относится, задача о разрушении. Даже при ее решении применительно к однородному телу приходится учитывать атомную структуру материала,.вследствие чего в классическую теорию разрушения Гриффитса входит константа материала (плотность поверхностной энергии), связанная с межатомным взаимодействием. Тем более необходимо явно учитывать структуру при изучении разрушения композита. Настоящая диссертация посвящена деформированию и разрушению однонаправленного композита, состоящего из относительно жестких параллельных волокон, пространство между которыми заполнено существенно более податливым связующим. Кроме современных конструкционных материалов можно привести в качестве примеров резинотросовую ленту транспортера, покрышку автомобильной шины или ледовый покров реки, армированный стальными канатами. Постановка и решение задач, позволяющих предсказывать разрушающие нагрузку и характер разрушения с учетом структуры и индивидуальных свойств компонентов представляются >. весьма -важными.

Целью работы является построение теории однонаправленного композитного материала и решение на ее основе ряда задач о разрушении такого материала при наличии дефектов структуры, приводящих к концентрации напряжений.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

1.Построена теория однонаправленного плоского упругого композита на основе точных динамических уравнений плоской теории упругости для тела, армированного периодической системой упругих стержней.

2.Получены точные решения задач об упругом состоянии композитной полосы с изолированными дефектами в виде разрывов волокон, равномерно растянутых на бесконечности. В частности, в явном элементарном виде получено фундаментальное решение о напряжениях вокруг одного разрыва в полосе, состоящей из конечного числа волокон.

3.Аналогичные задачи решены для случаев группировки разрывов в виде нескольких трещин нормального разрыва, лежащих на линии, перпендикуляр -ной волокнам. Выявлена связь между теорией трещин в сплошной среде и в дискретном композите. Макроскопические прочностные константы (критические коэффициенты концентрации напряжений) выражены через «микроскопические» свойства композита.

4.Изучено влияние расслоения композита на стабилизацию трещин.

5.Вычислены динамические концентрации напряжений как в однородном композите, так и вблизи дефектов на основе точного решения соответствующих динамических задач.

Достоверность научных результатов обеспечивается корректным использованием соотношений механики деформируемого твердого тела и математических методов.

Практическая ценность работы. Развитая теория позволяет строить все более детальные модели однонаправленного композита, учитывающие его реальную структуру с помощью формальной процедуры степенного разложения точного динамического упругого решения задачи о подкрепленной полосе. Полученные решения дают возможность оценить опасность того или иного вида нагружения и установить связь между макроскопическими и микроскопическими критериями разрушения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

VI Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Фрунзе, сентябрь 1975 г.;

II Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела», Днепропетровск, сентябрь 1981 г.;

VIII Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Новосибирск, апрель 1986 г.;

Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, октябрь 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены актуальность темы, цель работы, научная новизна и краткое изложение содержимого глав, а также публикации и апробация работы.

В первой главе выводятся уравнения движения однонаправленного композита, на основе которых в дальнейших главах анализируются конкретные задачи. Уравнения движения получаются сначала с помощью наглядных представлений. Затем показывается, что они являются предельным случаем динамических уравнений теории упругости, описывающих среду, армированную периодической системой параллельных стержней. Формально уравнения движения композита получаются как предел при стремлении к нулю безразмерного волнового числа дН (д - параметр преобразования Фурье по пространственной координате вдоль направления армирования, Н - ширина полосы связующего). Физически это соответствует таким решениям, которые слабо меняются вдоль направления армирования на длинах порядка периода армирования. Поэтому естественно назвать получающуюся теорию длинноволновым приближением. Оказывается, что соответствующие решения реализуются, если отношения скоростей распространения упругих волн в связующем к скоростям волн в армирующих волокнах достаточно малы по сравнению с единицей и мало отношение жесткостей связующего и арматуры (с учетом размеров и упругих модулей).

Композит рассматривается как плоская упругая среда (называемая связующим), армированная тонкими стержнями (волокнами). Армирующие волокна образуют периодическую однонаправленную решетку. Ниже используются обозначения:

х,у,(- координаты и время; ось у направлена вдоль направления армирующих волокон, ось х перпендикулярна им.

- компоненты смещения волокон вдоль осей Х,у.

- скорость продольной волны в тонкой пластинке. - модуль сдвига, коэффициент Пуассона и плотность связующего. - скорость продольной волны в волокне.

- модуль Юнга и плотность волокна.

Н, к - ширина связующего и волокна соответственно.

-ДГу,!^ - компоненты объемных сил, действующих на у -е волокно; являющиеся функциями от у,

- скачки нормальных и касательных напряжений при переходе через ^е волокно.

Считается, что поведение армирующих волокон достаточно хорошо описывается классическими уравнениями теории стержней (изгнбное уравнение Бернулли-Эйлера для распространения поперечных возмущений и волновое уравнение для продольных )

д4Uj 12 д2цу 12 А'у 12 г , с»4 + Л2с2 "й2 Е +ЕИ>[<ТХХЧ

Эу2 с2 3,2 Е еь1*уЬ

Связующее ведет себя как упругое тело, то есть подчиняется уравнениям, плоской теории упругости:

д2и | 1-у д2и [ 1+у д\ _ | д2и

Соотношения выражают

сцепление волокон и связующего ( Ху - координаты волокон).

Сложность уравнений заставляет искать разумные упрощения, которые не сводили бы композит к однородной среде и позволяли бы изучать напряженно-деформированное состояние каждого компонента. Задача упрощается с привлечением следующего обстоятельства; практически всегда имеющего ме-

Е,Р0

кх];>ку\

сто в композитных материалах: армирующие волокна являются гораздо более жесткими, чем связующее.

В предположении бесконечной жесткости волокон и отсутствия у них вращательной компоненты движения для каждой полосы связующего получается краевая задача с условиями, не зависящими от у. Таким же будет и дальнейшее движение. Поэтому вместо (1.2) после вычеркивания производных по у получаются соотношения

Соотношения (1.3) точно выполняются и тогда, когда жесткость волокон-произвольна, а внешняя нагрузка .Xj,Yj не зависит от у. Поэтому представляется правдоподобным, что если волокна являются достаточно жесткими по сравнению со связующим и внешние нагрузки не слишком быстро меняются по у (вдоль волокна), то соотношения (1.3) достаточно хорошо описывают поведение связующего.

Отсутствие производных по у в уравнениях (1.1.4) не означает независимости искомых функций от у. Эта зависимость проникает в решение через краевые условия в точках скрепления волокна и связующего. Важно только, чтобы изменение функций вдоль у было не слишком быстрым.

Существуют другие соображения механического характера, оправдывающие замену (1.2) на (1.3), связанные с рассмотрением баланса сил на гранях прямоугольного элемента, охватывающего как волокно, так и связующее. Вектор напряжения, действующий на сторонах элемента, определяется деформациями и упругими модулями компонент. Вследствие жесткого сцепления связующего и волокна все перемещения примерно одинаково изменяются по у как в волокне, так и в связующем. В уравнении движения элемента при производных по у этих смещений стоят упругие модули волокна или связующего. Первые во много раз меньше вторых.. Полное усилие на горизонтальных площадках получается сложением усилий в волокнах и усилий в связующем, так как волокна и связующее «включены параллельно». Если размер связующего Н не слишком велик по сравнению с размером волокна к, то можно пренеб-

д2и_ 1 д2и

д2у=1 д2у дх2 с\ б/2 '

(1.3)

дх2 с\ '

-квадрат скорости сдвиговой волны в связующем).

речь разностью усилий на горизонтальных площадках связующего на верхней и нижней границе выделенного прямоугольника по сравнению с аналогичной разностью для волокон.

Формально это выражается в том, что величины /лд/ду в связующем считаются пренебрежимымо малыми на площадках, перпендикулярных волокнам то есть считаются целиком сосредоточенными в волокнах (нормальное усилие и перерезывающая сила).

При рассмотрении сил на вертикальных границах выделенного элемента следует учитывать, что жесткое волокно и мягкое связующее «включены последовательно». Поэтому деформации сдвига и растяжения на вертикальных площадках не стеснены волокнами, так что напряжения могут быть достаточно большими несмотря на малость модуля сдвига . Следовательно, слагаемые уравнений движения, содержащие только производные по X, должны быть оставлены в (1.2). Усилия на вертикальных площадках осуществляют взаимодействие между волокнами; пренебрежение этими усилиями, призодит к набору изолированных волокон, а не к композиту, работающему как единое целое.

Окончательно, процесс редукции (1.1), (1.2) к (1.3) описывается следую-

равны нулю на горизонтальных

щим образом. Из допущения, что <Т. площадках связующего, получаются укороченные уравнения движения

Отбрасывание в законе Гука членов, содержащих приводит к упро

щенной форме уравнений состояния:

=

_2ц ди

ду дх'

(1.4)

а подстановка их в укороченные уравнения движения приводит к (1.3). Отбрасывание касательных напряжений на горизонтальных площадках и сохранение их в виде (1.4) на вертикальных площадках приводит к нарушению парности касательных напряжений в связующем. Таким образом, в связующем нарушается закон сохранения момента количества движения, из которого вытекает

парность касательных напряжений. Однако этот закон выполняется для элемента композита, содержащего вместе и волокна и связующее, так как касательные усилия на горизонтальных площадках , уравновешивающие момент от напряжений на вертикальных площадках, перенесены на волокна и включены в перерезывающую силу.

Следовательно, связующее, описываемое уравнениями (1.3) с механической точки зрения уже не является сплошной двумерной упругой средой, а может рассматриваться как набор бесконечно тонких полосок, передающих сдвиговые и продольные волны в направлении оси х. Полоски не взаимодействуют друг с другом непосредственно, а только через волокна, к которым они прикреплены.

Окончательно, уравнения движения композита приобрели вид

(1.5)

Достоинством упрощенной задачи (1.5) является расщепление системы уравнений на две независимые подсистемы, содержащие порознь вертикальные и - горизонтальные смещения и соответствующие внешние нагрузки. Предлагаемый подход правильно выражает идею целесообразной работы армированного материала - высокопрочные волокна воспринимают основную часть усилий, а связующее выравнивает распределений этих нагрузок между волокнами.

Поскольку в основе упрощений лежало допущение о медленном изменении всех величин в направлении армирования, уравнения (1.5) целесообразно применять в тех случаях, когда ширина связующего Н достаточно мала по сравнению с характерным масштабом изменения решения вдоль волокон. При этом не предполагается, что решение медленно меняется при переходе от волокна к волокну, так как в постановке (1.5) сохранена дискретная структура композита. В тех случаях, когда решение плавно изменяется при переходе от волокна к волокну, допустимо рассматривать композит как однородную

сплошную среду с осредненными свойствами. Таким образом, предлагаемая теория занимает промежуточное положение между теорией упругости армированной среды и теорией упругости однородной анизотропной среды, полученной «размазыванием структуры».

В заключение главы методом интегральных преобразований Фурье - Лапласа решена динамическая задача о бесконечной полосе связуюшего с заданными смещениями на сторонах. Получены скачки напряжений, [о'хх^р'^у]^

при переходе из одной полосы в другую через армирующий стержень, входящие в уравнения движения стержней. Если эти скачки разложить в ряды по степеням , то отрезки рядов будут соответствовать приближенным теориям армированной однонаправленной среды. В настоящей диссертации используется нулевое приближение (предел при

Вторая глава содержит обзор литературы, посвященной использованию структурных представлений при изучении проблемы разрушения однонаправленного композита. По видимому основополагающими работами в этой области следует считать работы Дж.М.Хеджпета и П.Ван-Дайка шестидесятых годов прошлого века. При решении задачи о прочности композита с трещиной Дж.М Хеджпет использовал второе уравнение (1.1) и второе уравнение (1.4) в статической задаче. Дж.М Хеджпет называет эти уравнения моделью Аутво-тера, но видимо последний использовал их только для облегчения вычисления эффективных упругих модулей композитов.

Подвергнув эти уравнения дискретному преобразованию Фурье по номеру волокна он нашел упругое поле вокруг разрыва волокна в бесконечном образце и использовал это поле как фундаментальное решение для получения системы уравнений, определяющей раскрытие трещины нормального разрыва. Это решение.- частный случай приводимого ниже решения для полосы из ограниченного числа волокон (см. дальше, гл.З, п.4). Дж.М Хеджпет нашел концентрацию напряжений в первом целом волокне порванных волокон, когда п = 0,1,3. По этим трем значениям он правильно угадал концентрацию в общем случае:

Г(2л+3) (2.1)

Ул+1 2 Г(2и+5/2)

(в обозначениях настоящей работы.; сам Хеджепет представил эту формулу в виде отношения произведений натуральных чисел). Ему же принадлежит решение задачи о мгновенном разрыве волокна с учетом динамики. Это значит,

что во втором уравнении (1.1) удерживался инерционный член. Связующее при этом считалось безынерционным. Эти результаты были повторены в совместной статье с П.Ван-Дайком. Этими же авторами позднее было исследовано поведение трещины расслоения и выявлено ее стабилизирующее влияние на трещину разрыва.

Известны эксперименты (например Дж.С.Уиттер, Дж.К.Пек), посвященные проверке результатов Хеджпета и Ван-Дайка.. Изучались дакроновые волокна, погруженные в полиуретановую матрицу. При неплохом общем соответствии экспериментально найденная концентрация для больших длин трещин оказалась несколько ниже, чем предсказывала теория. Это расхождение объясняется влиянием конечности испытываемых образцов.

Упругое поле вокруг разрывов волокон в образце конечной и бесконечной длины изучалось также Фихтером.

Попытка связать случаи разрушения дискретной и непрерывной среды предпринята в обзоре К.Цвебена в 1971 году, однако эта связь осталась по существу нераскрытой. В частности, бесконечное напряжение в конце трещины в сплошной среде и конечное напряжение (2.1) рассматриваются там как неразрешимый парадокс. В работе автора настоящей диссертации (1. в списке в конце настоящего автореферата) это противоречие устранено (см. главу 4). Глубокое исследование этой проблемы содержится в большом цикле работ Л.И.Слепяна, результаты которых подытожены в монографии "Models and. phenomena in fracture mechanics" (Springer, 2002)

Третья глава посвящена решению статических задач о концентрации напряжений, вызванной разрывами волокон. Получены решения для некоторых регулярных расположений разрывов, в частности при наличии периодической одномерной или двумерной сетки дефектов в бесконечном композите. Если, проанализировать взаимодействие этой сетки со случайным дефектом, появляющимся где-то в пределах элементарной ячейки, то можно не только найти прочность композита, но и вычислить плотность распределения композитных образцов по прочностям (гистограмму).

В дальнейшем используются безразмерные переменные у V/ - иН

— = —— (отношение жесткости на сдвиг к жесткости на рас-

тяжение). Во всех конкретных задачах рассматривается лишь.нагружение в направлении армирования В используемой постановке это

приводит к нулевым смещениям перпендикулярно волокнам, вследствие чего остаются лишь уравнения:

^+1)-е и (Я+М)-е уравнения соответствуют крайним свободным волокнам.

Удалось получить общее решение этой системы, соответствующее однородному растяжению на бесконечности, зависящее от А/ произвольных постоянных

н>

а после предельного перехода М -> оо прийти к решению для полубесконечной системы с нумерацией волокон от Л +1 до + со

X . -

¡с(х) зш *(/-*- /^)ехрГ - грп соз £) О

• где - произвольная функция. В случае неограниченного вправо и влево композита

где - произвольная функция, С - произвольная постоянная. Если по-

следнее решение получать предельным переходом из решения для полосы со свободными краями, то окажется, что С = -1/2.

Конкретизация краевых условий приводит к смешанной краевой задаче о дефектах в композите на линии т} = 0:

м»у(о) = 0, у пробегает номера неразорванных волокон, —-— = 0, г пробегает номера разорванных ]

г/77

:волокон.

Эту задачу удалось свести к системе линейных уравнений, на разорванных волокнах

<7

=

2 рЕ '

где

м *=1

2М

Ч 2 м! .

. к (. п. я- л о

бш- у-г— эт- у-г+ —

, 2Л/1/ 2) 2М\;' 2)

+.

1

БШ-

2А/ V 2 у г;, В частности, для полуограниченной области (_/ = /? +1.....+со)

= __ 1 _1___

+ [2] + 2г-4Я- 3\2] + 2г - 4Л -1)^ а для неограниченной в обе стороны ( -оо < у < +оо ) 2 1

Ниже приводятся частные случаи, распределения разрывов, для которых получены элементарные решения либо благодаря малому числу разрывов, ли-

бо благодаря симметрии при бесконечном числе разрывов. Через Qj =<т(о)/о'(оо) обозначается коэффициент концентрации напряжений.

1 .Пусть то есть порвано левое крайнее волокно. Тогда

Напряжение в первом целом волокне 02 = ^--- (5^/2) . Касательное напряжение в связующем между разорванным волокном и первым целым равня-гг(0)_ ц я зш(3<?/2)

ется

о- Н ÄßE S cos(<5/2) cos S '

2. В случае полуограниченной области (А/ —> оо, то есть 5 -> 0 )

3. Пусть имеется нечетное число волокон М= Ш+1, N - натуральное,

порвано центральное волокно. Тогда

Л)8ьха{2]-

4. В случае неограниченной пластины

5. Пусть на оси абсцисс разрывы расположены периодически в волокнах с номерами г = тМ, М >2, - оо <т< +со. Тогда

О =1+ 8 = —

у бш <5(27-1)зт г(2у+1)' 2М '

6. Пусть имеется два разрыва в точках j = 0, r¡ = 0 и j = m,r¡ = L. Тогда QM=<Tj(ri)/<r(«>hl+ + с J(ex

р(- sin í)cos 2js + exp(- 2/?|Z, - ^ sin í)cos 2(m - j)js)sin s ds

где с = - 1/

/ж/2

j(l + exp(- 2pL sin s)cos 2ws)sin s ds.

Наиболее опасное расположение дефектов (/п = 2,1=0) приводит к концентрации сГ|/<т = 12/7 между разорванными волокнами. Это приводит к понижению прочности композита до 0.383 от прочности волокна. Наибольшее напряжение с внешней стороны от дефектной пары волокон равно сг_1 /<т = <т3/ег = 68/49 = 1.387

7. Пусть разрывы расположены периодически вдоль волокна j = 0 с периодом Ь. Тогда

1С

[cosacos—cothl yStcos— d% J 2 \ 2)

Jcos ^ coth^yffi eos £jdz

8. Имеется бесконечная прямоугольная сетка разрывов. Номера волокон, на которых расположены разрывы, пусть будут тМ, М натуральное > 2,

— оо < т < оо. Вертикальные координаты разрывов (одни и те же на всех волокнах) пусть будут И,Ь> 0, - оо < I < -и». Тогда

- ^1)71 £ <-^ - ¿ехрГ- 2Д|/7 - сов*

О т=-оо /=—оо ^

м

где с0 =

— ^Г* эт—сощ /3!£, эт — | [ 1 - - <?л// I

м г л/Д 2

В частности, максимальная концентрация напряжений в точке У = 1, Т] = 0, соседней с разрывом, оказывается равной

М

М

2Я772 . Я7Я СОв-БШ-

М М

сощ ВЬъха— I\l-~Su/ I V 2 М/гт)

т=1

вш—сот Дзт — М \ М

9. Пусть к прямоугольной сетке разрывов случайным образом добавляется еще один разрыв. В результате прочность всего бесконечного образца изменится (причем не исключено и увеличение прочности, как показывают частные случаи 6,7,8.). Заставляя разрыв пробегать с малым шагом всю элементарную ячейку и рассчитывая его взаимодействие со всеми исходными разрывами, можно подсчитать, сколько раз встречается то или иное значение прочности, то есть построить распределение образцов по прочности. В действительности учитывалось лишь взаимодействие с четырьмя ближайшими разрывами.

На горизонтальной оси отложено отношение напряжения, Од, при котором произошло разрушение, к прочности волокна, а по оси ординат - доля случаев, когда обнаружилась соответствующая прочность. При этом р - пе-

риод сетки разрывов по горизонтали, а

ь

по вертикали.

Результаты при нескольких параметрах сетки приведены на рис.1.

Четвертая глава посвяшена решению статических задач о трещинах в композитах.

Группировка разрывов вдоль линии, перпендикулярной направлению армирования, может привести к возникновению макроскопической трещины В этой главе излагается полное решение задачи о трещинах нормального разрыва в неограниченном композите, лежащих на оси абсцисс (перпендикулярно волокнам). Получено точное решение в аналитическом виде задачи об одной трещине, причем раскрытие трещины и напряжения на линии трещин выражены в элементарном виде, который включает лишь четыре основных действия арифметики в количестве порядка числа порванных волокон, образующих трещину. Вне линии трещин решение выражается в виде однократных интегралов от элементарных функций. Задача о нескольких трещинах на оси абсцисс сведена к системе линейных уравнений, содержащей столько неизвестных, сколько имеется трещин. При этом трещины не предполагаются одинаковыми и полное число разорванных волокон не имеет значения. С позиции применяемого метода решения самый неблагоприятный вариант представляется в виде набора изолированных разрывов на горизонтальной оси.

Трещину, длина которой намного больше периода армирования А + # , допустимо рассматривать с двух точек зрения. С одной стороны, это трещина в сплошной среде, и тогда теория упругих трещин в сплошной среде приводит к бесконечным напряжениям в кончике трещины. Предельное значение нагрузки, которую способно выдержать тело, определяется тем, насколько быстро обращается в бесконечность нормальное или касательное напряжение вблизи кончика трещины (нормируется так называемый коэффициент интенсивности напряжений).

С другой стороны, при детальном рассмотрении структуры композита приходим к другому заключению. Разрушение композита сводится к тому, что рвется волокно, предел прочности которого О» превышен, или срезается связующее при превышении предела прочности 7"» на сдвиг. При таком подходе для определения предельной нагрузки приходится нормировать напряжение в первом от конца трещины структурном элементе.

Ясно, что ситуация, когда ответ на вопрос о возможности наступления определенного события ставится в зависимость от точки зрения (дискретная среда или континуум) физически неприемлема.. Ниже это кажущееся противоречие устранено и два указанных подхода согласованы.

Пусть в неограниченной плоскости разрывы волокон расположены в точках = = образуя трещину нормального разрыва длины п[}г + Н\, где, как и раньше, к - ширина волокна, Н.- ширина связующего Поверхность трещины пусть свободна от напряжений, то есть , а

на бесконечности имеем однородное растяжение волокон, то есть <Гу(<ю) = <Т00. В соответствии со смыслом используемой модели нагружены

только волокна, так что среднее напряжение на бесконечности равно , причем множитель при как обычно является коэффициентом армирования. Это дискретный аналог задачи Гриффитса о трещине в равномерно растянутой плоскости.

Для нахождения смещений и напряжений в такой задаче используем решение для одиночного разрыва г - го волокна в неограниченной пластине, при условии, что на разрыве приложено минус-единичное напряжение (глава 3), а на бесконечности напряжения в волокнах отсутствуют. В соответствии с этим решением в точке го волокна создается нормальное напряжение

-,-оо<у <00

4(у-г)2-1

Взяв линейную комбинацию решений такого вида с неизвестными весами Ъг,Г — и потребовав, чтобы на волокнах с номерами эта ли-

нейная комбинация равнялась - 1 , получим систему уравнений для определения Весой Ь.

Ьг

= -1,у = 1,...,я

(4.1)

Неизвестные этой системы лишь множителем отличаются от от смещений берега трещины = — Концентрация напряжений вне

трещины дается формулой

<7 До) »

Ьг

Если рассмотреть последнее выражение как функцию индекса у, то обнаруживается, что эта функция является отношением полиномов, причем корни знаменателя равны 1/2,...,и+1/2. Следовательно, полином в знаменателе имеет степень (л + 1). На бесконечности концентрация напряжений0тре-

мится к единице; поэтому старшие члены полиномов в числителе и знаменателе одинаковы. Часть корней числителя известна, так как Qj обращается в

нуль в точках 12 7 йп (свободная трещина). Поэтому можно с точностью до

множителя (/ - а) записать концентрацию напряжений в в виде

Неизвестная константа равна а = (п+\)/2 (из симметрии напряжений относительно центра трещины). Окончательно,

(4.2)

где Г-гамма-функции Эйлера. Это выражение сохраняет смысл и в точках разрыва волокон - оно, как и должно быть, равно 0, потому что Г -функция обращается в целых неположительных точках в бесконечность.

Если разложить дробную часть Qj из (4.2) на сумму простейших дробей

вида Ск10-к-У2)(к целое) и сравнить с (4.1), то получится двухдиагональ-ная система для нахождения Ъг, иными словами раскрытий трещины. Таким образом, смещения берегов трещины выражаются в виде сумм известных слагаемых. Однако решение одной специальной системы позволило свести эти суммы к одночленам. Это система вида

и и V_Ьг

" аг-]+Ъаг-У+5+1 ~"а

где Ь<и,ВйЕ - целые числа, а числа аг=(Ь + % образуют арифметическую прогрессию с разностью й и свободным членом g. (4.1) получается из этой системы, если положить ¿ = = В = 0,£ = 1, £ = 1, {/ = и. Окончательно смещения берега трещины выглядят так:

_ Уу _ (тт г(и-у+3/2) г(/+1/2) } Н рЕ г(п-у+1) г(/)

Нормальное и касательное напряжения в местах наибольшей концентрации напряжений выражаются следующим образом:

4л г(и+2)

(4.3)

бо=бп+1=-

2 г(и+3/2)'

Ч

/ \ -1ясга

г(я+1/2)

2 РЕ г(и)

С помощью формул + —^ при

со можно>

убедиться, что напряжения неограниченно растут при п •

Л

• оо:

ж

причем, когда длина трещины /»(/»+#) (то есть совокупность разрывов волокон может трактоваться, как трещина в сплошной среде), этот рост про-

порционален квадратному корню из длины трещины. Условие прочности волокна приводит к соотношению (а» - прочность волокна)

л

<7*

(4.4)

¡4(й+#)

Непосредственное решение, задачи о трещине в сплошной среде, полученной «размазыванием структуры» приводит к распределению напряжений , на продолжении трещины

л/7

г(х>У)=<

'1

ЕШ

+ 0(1) при 5->0.

^(й+Я)2 2у1И

Критерий прочности для сплошной среды предполагает нормирование коэффициента при корневой особенности 1Д/7 в выражении для напряжения, то есть-

41

ЕИН

(4.5)

"Ы+Н? 2

где К* = 2л/я£Г -так называемый критический коэффициент интенсивности напряжений, а Г -эффективная поверхностная энергия материала;

Сравнение критериев прочности (4.4) для дискретного композита и (4.5) для континуума приводит к равенству

К*=ег*

2 ЕИН Дй+Я)'

(4.6)

которое устанавливает связь между прочностными характеристиками композита при континуальном и дискретном подходах и микроструктурными параметрами. Таким образом, при любом взгляде на композит - как на дискретную» среду или как на сплошную - вопрос о его прочности решается одинаково, если придерживаться равенства (4.6).

Аналогичное исследование касательных напряжений приводит к связи

г.л/А+Я

я-л/2

между критическим• коэффициентом касательных.напряжений5* и микроструктурными свойствами композита.

Замечание. В отличие от плоской теории упругости коэффициент интенсивности касательных напряжений для трещины нормального разрыва в

рассматриваемом случае (уравнение Лапласа) отличен от нуля и даже касательные напряжения на берегах трещины не равны нулю.

Ниже приводится перечень некоторых задач, решенных в главе 4.

1. После предельного перехода п —> ^.о^ -» 0,ажл[п = С = сот/ в формулах (4.2),(4.3) получается задача о равновесии свободной полубесконечной трещины на правой полуоси, причем напряжения и смещения равны соответственно

Н РЕ ту)' 2 Г(у + 1/2)

Полученное решение является однородным, оно определено с точностью до произвольной мультипликативной постоянной С. Ее значение определяется тем, какое напряжение задается в точке } = -1 после предельного перехода. Это решение асимптотически правильно описывает напряженное состояние в окрестности конца трещины, у которой симметрично нагружены берега, но значительная часть берегов вблизи конца трещины свободна от напряжения.

Вдали от начала трещины имеет место асимптотика

С С 1 ~

Континуальный аналог этого решения выглядит так

ег(х,0)=—т=, х < О 2-4-х

2. Пусть на оси абсцисс разорваны волокна у = а на бесконечно-

сти задано напряжение ат. Тогда

^ (0\<гтт(п-]+3/2) г(и+у+3/2) Л' рЕ Г(и-;+1) Г(л+У+1)

О г- /Г0'~и У2) ГО-и/1+1)

^ СТоо Г(/-«) Г(/+«+3/2)'

п -п Г(2я+3)

+1 ~ 2~ г(2и+5/2)

3. Пусть на оси абсцисс разорваны волокна ] = -п,...,п. Симметрично нагружено на разрыве напряжением Р только одно центральное волокно (с номером у = 0 ), а остальные свободны. Тогда

О = = 1 (Г(«+3/2)У г(/+п+1)г(/- и -1/2) ^ Р Д г(и + 1)^ 7Г(/+и+3/2)г(/-л)

_ 1 (г{п+3/2))2 Г(2п+2) п+ 4л \ Г(/1+1) ; (и+1)г(2«+5/2)

4. Пусть на оси абсцисс разорваны волокна у = -п,...,п. На поверхности трещины нагружено симметрично напряжением Р только волокно с номером у = п. В этом случае

= £>(о) =__1 г(2и+3/2) г(/+1+л) г(/ - и -1/2)

Р ~ 2 л/л- Г(2л+1) Г(/+1-я)г0+и+3/2)"

1

2 2от + 3/2' "2(2«+3/2)

5. Пусть разорваны волокна с номерами /+12|./|</+/и, то есть имеются

две одинаковые трещины на оси абсцисс, расположенные симметрично относительно начала. Нагрузка приложена на бесконечности. Тогда

«=/+1 / /+т / 1+т

а2 = ^(5+1/2)4

5=/ / 5=/

/+и , . / /+т

В пятой главе разбирается, что произойдет, если разрушится от нормального напряжения волокно или под действием касательного напряжения срез связующего приведет к возникновению трещины отслоения. Основной результат

данной главы — отслоение развивается устойчиво в некотором интервале роста внешней нагрузки.

При выполнении неравенства

где СТ» , Г* прочности волокна на разрыв и связующего на срез соответственно, произойдет разрыв волокон, ближайших к трещине. В этом случае с каждым порванным волокном будет увеличиваться концентрация нормально -го напряжения на оставшихся целых волокнах и разрушение станет катастрофическим. Если свойства композита и длина трещины связаны обратным неравенством, то наступит отслоение. Возникновение трещины сдвига длиной Т}* между п-мк {п +1)-м волокнами (и аналогично между (- п - 1)-м И -И -м волокнами) приведет к полному изменению краевой задачи и перераспределению напряжений.

Для исследования этой новой задачи выписаны общие решения для областей ниже линии раздела: О'йт}^!]*.. Этих областей три: две полубесконечных области правее и левее трещин расслоения и одна конечная между трещинами, При этом» учтено отсутствие касательных напряжений на трещинах сдвига. Решение в области 1)~2.Г]* выше линии раздела должно быть непрерывным продолжением решений из областей ниже линии раздела. Нормальные напряжения также должны быть непрерывны при переходе через линию Г} = Т}*. В такой общей формулировке задача слишком громоздка. Однако

удалось при малых заменить задачу сопряжения краевой задачей в области

.. * , сЫЯ

для ф у ] Ш] -7]*——— Для этого понадобилось прибли-

аг\

женно заменить ядра уравнений отрезками рядов Тейлора.

Эта краевая задача совпадает с той, которая решена в главе 4 для И^-^)

при нахождении упругого поля вокруг .трещины. Условие = 0,|_/| 2: Л + 1

теперь означает условие упругой заделки на продолжении трещины. Из результатов предыдущей главы функция: является известной на границе 7] = Г}*. Благодаря этому для касательных напряжений' гД^) получается еле-

т, рЕ Г(2я+1)т(2я+з)

дующая задача с краевым условием типа упругого основания. Найти решение уравнения

агх

¿п

стремящееся к нулю при г} —> +оо 1я удовлетворяющее на границе г] = 1]* условию упругой заделки

Эта задача решается методом дискретного преобразования Фурье. Наибольший интерес представляет получение касательных напряжений при Т] = 7]*. Оно выражается в явном интегральном виде

дискретное преобразование Фурье. Положив

] — П, а гл(/7*) = Г»„ получим уравнение, связывающее внешнюю нагрузку а и длину трещины отслоения Т]*. Для случая п = 0 (порвано одно волокно) результат приведен в виде графика на рис. 2. По вертикали отложена безразмерная длина трещины отслаивания , а по оси абсцисс - безразмерная нагрузка

. Если 0<5<4¡я, отслоение не наступает. По достижении критического значения $ = 4/яг начинается устойчивый рост трещины отслоения. Если при малых длинах заменить приближенно дробь отрезком геометрической

прогрессии

то получим 5 =--

71

32

и2

-1

, то есть большей нагрузке соответствует

большая длина трещины. Таким образом, трещина отслоения развивается устойчиво. Однако интервал устойчивого роста ограничен - при достижении

20

15

10

■ 2 Р /

/

8

1.25

1.30

1.35 Рис. 2.

1.40

1.45

1.50

нагрузки Я = Я"/2 трещина уходит на бесконечность. Поскольку в основе исследования лежит допущение о малости длины трещины отслоения, то последнее заключение нуждается в дополнительном уточнении. Если при аппроксимации ядер удерживать большее число членов ряда Тейлора, то получим краевую задачу для с усложненными краевыми условиями и с уточненным интервалом устойчивости трещины отслоения. Например, если вместо условий упругой заделки выполняются условия

то интервал устойчивости оказывается равным . 1.273^5^1.394 Численное решение точных уравнений сопряжения "для почти бесконечного" образца из 81 волокна приводит к интервалу 1.273 ^5^1.405 (отличие менее 1%).

Аналогичное исследование было проведено и в случае двух порванных волокон и результаты оказались качественно теми же самыми. Численное решение точных уравнений сопряжения при 3,5,7 порванных волокнах подтвердило предыдущее заключение.

В шестой главе ПРИВОДЯТСЯ результаты теоретических исследований влияния динамики на концентрацию напряжений в композите. Его поведение описывается уравнениями

причем горизонтальные смещения стержней и связующего, описывающие изгибные волны в волокнах и продольные волны в связующем, не учитываются, ибо нагрузки, рассматриваемые в работе, (усилия вдоль волокон), не порождают таких волн. Здесь с -скорость продольной волны в волокне, С2 -скорость волны сдвига в свзующем, - безразмерное время (в долях времени пробега волны сдвига между соседними волокнами). Метод решения основан на применении преобразовании Лапласа по времени. Решение волнового уравнения для связующего выражается через смещения соседних волокон. Это позволяет выразить скачок касательного напряжения при переходе через волокно с помощью смещений самого волокна и двух соседних. Таким образом удается избавиться от смещения связующего в уравнении движения

волокон. В результате для изображений Лапласа получилась бесконеч-

ная система такой же структуры, как и в статике.

В диссертации решены несколько конкретных задач.

На границе полупространства ко всем волокнам внезапно приложено

Рис.3

одинаковое постоянное во времени напряжение. Учитывая симметрию (все волокна движутся одинаково, так же, как 0-е), легко выписать решение в изображениях

Если обозначить через ;'« = ехр(—5) экспоненты, входящие в состав гипер-5 1 -т

болического тангенса ^пЪ-

и разложить изображения Лапласа в сте-

2 1+т

пенной ряд по т, то его все более далекие члены будут соответствовать запаздывающим волнам, приходящим после отражения от все более далеких волокон, а коэффициент ряда, зависящий от з, описывает форму соответствующей запаздывающей волны. Параметр £ введен в решение для того, чтобы можно было пользоваться техникой дифференцирования по параметру (в конечных формулах следует положить е= 1). Результаты для небольших времен представлены на рис. 3. Основной качественный эффект, выявляемый такой постановкой, заключается в том, что инерция связующего вызывает увеличение касательных напряжений в связующем на границе разделов компонентов. Безынерционное связующее мгновенно повторяло бы движение волокон и касательных напряжений не возникало бы.

Таким же методом исследована аналогичная задача, когда нагружается лишь каждое шестое волокно. Эту задачу можно истолковать как задачу о динамическом неосесимметричном нагружении цилиндрической оболочки с ребрами жесткости, одно из которых подвергается ударной нагрузке. В первые моменты (пока сдвиговые волны не дошли до соседних волокон) имеет место излучение волн стержнем, заделанным в упругую среду и нормальное напряжение на фронте продольной волны в стержне затухает. Приход отраженных волн приводит к превышению нормальных напряжений над исходными значениями.

Аналогичная задача решена для случая внезапно разорвавшегося волокна) в предварительно растянутом композите. На рис.4 приведены графики

изменения во времени нормального напряжения , причем к зна-

чениям этого отношения прибавлена единица, соответствующая однородному растяжению на бесконечности. Эти функции зависят от параметра

В = 202с2/С1.

Как видно из графиков, учет инерции приводит к увеличению концентрации напряжений с 4/3 до «1.55. Инерционные свойства компонентов влияют в основном на время приближения к статическому состоянию, но почти не влияют на величину концентрации напряжений. Если пренебречь инерцией волокон, то получится ступенчатая кривая, представление о которой дает график, соответствующий В =10. Такие же графики приведены на рис.5 для (Р)/®оо в случае внезапного разрыва 2л +1 волокон ( п = 0,1,2,3,4 ).

Наконец, последняя задача, исследованная в диссертации, обобщает задачу о равновесии свободной полубесконечной трещины (см.главу 4, п.1) на случай стационарного движения. Такое движение возможно в ограниченном интервале скоростей, причем предельная скорость (аналог скорости волн Рэлея в плоской теории упругости) равна скорости волн сдвига в непрерывной среде, которая получается предельным переходом при измельчении структуры композита.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Анализ проведенных в настоящей работе исследований позволяет сформулировать следующие основные результаты.

1.Разработана теория однонаправленного композита, занимающая промежуточное положение между точной теорией упругости составного материала и однородной анизотропной моделью с некоторыми эффективными модулями.

Построена формальная процедура, регулирующая это промежуточное положение между крайними случаями. Сформулирован достаточно простой вариант теории, учитывающий реальную структуру композита, и позволяющий решать достаточно содержательные сложные задачи. При этом напряженно-деформированное состояние определяется порознь для каждого компонента с учетом их динамического взаимодействия.

2.На основе принятых уравнений решены задачи о концентрации напряжений, порождаемой наличием дефектов в структуре композита. В частности, рассмотрены изолированные дефекты и собрания дефектов, образующие тре-

щины. Найдены напряжения в волокнах и в связующем, позволяющие судить о типе разрушения (разрыв волокон или расслоение связующего).

3.Параллельное рассмотрение композита как сплошной среды и как дискретной позволило устранить кажущееся противоречие при формулировке критериев разрушения. Установлена связь между прочностными интегральными характеристиками композита как сплошного тела и характеристиками его «микроструктуры».

4. Исследована устойчивость некоторых конфигураций дефектов и нагрузок, причем оказалось, что некоторые дефекты упрочняют композит, а появление расслоений стабилизирует трещину нормального разрыва.

5.Изучен вклад сил инерции в концентрацию напряжений при внезапном разрыве одного и нескольких волокон. Но даже при отсутствии дефектов и одинаковом нагружении всех волокон за счет отставания связующего от волокон в нем появляются касательные микронапряжения. Если бы связующее было безынерционным, касательные напряжения равнялись бы нулю. То же самое происходит в плоской волне в однонаправленном композите, который аппроксимируется сплошной средой. Здесь проявляется важность учета микроструктуры. Решена задача о стационарном движении свободной полубесконечной трещины в дискретной среде. Найдена предельная скорость движения трещины. Соотношение между свойствами микроструктуры и эффективной поверхностной энергией сплошного тела в зависимости от скорости.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В

РАБОТАХ

1. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973. №5. С. 131-139.

2. Михайлов А.М. Динамика однонаправленного стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1974. №4. С.139-145.

3. Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений около дефекта в стеклопластике // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1974. Вып. 19-20. С.66-73.

4. Михайлов A.M. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1975. №1. С.101-110.

5. Михайлов. A.M. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела.. 1979. №1. С. 163170.

6. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике // Журн. .прикл. мех. и техн. физики. 1978. №6. С. 121-129.

7. Ермак А.А., Михайлов A.M. Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1980. №6. С. 104-110.

8. Михайлов A.M., Слепян Л.И. Стационарное движение полубесконечной трещины в композите // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1986. №2. С.180-187.

9. Михайлов A.M. // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИГД СОАН СССР. 1987.С.41-45.

10. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Вычисление разброса прочности в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1991. вып. 103. С.83-87.

11. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1992. №3. С.120-127.

12. Михайлов A.M. Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1993. №6. С. 116-125.

13. Михайлов A.M. Концентрация напряжений в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.

Заказ № 106. Тираж ЮОэкз.

Отпечатано в типографии Издательства СО РАН

630090, Новосибирск, Морской пр-т, 2

р-498 1

«

Введение.

Глава 1. Уравнения движения однонаправленного композита.

1.1 Вывод уравнений движения с помощью правдоподобных допущений.

1.2 Фомальный вывод уравнений исходя из точных уравнений теории упругости.

Глава 2. Обзор литературы.

Глава 3. Статические напряжения в случае изолированных дефектов.

3.1 Общее решение.

3.2 Граничная задача.

3.3 Частные случаи.

3.4 Более общая задача.

3.5 Дальнейшие примеры.

3.6 Разброс прочности композита.

Глава 4. Статические задачи о трещинах нормального разрыва.

4.Г Трещина нормального разрыва в однородном поле.

4.2 Системы трещин.

4.3; Трещина, симметрично нагруженная на берегах.

Глава 5. Взаимодействие трещин нормального разрыва и сдвига.

5.1 Формулировка краевой задачи.

5.2 Упрощение задачи в случае малой длины трещины отслоения.

5.3 Решение упрощенной краевой задач.

5.4 Анализ случая п = 0.

Глава 6. Динамические задачи.

6.1 Плоская волна в полупространстве.

6.2 Нагружение цилиндрической оболочки с ребрами жесткости.

6.3 Внезапное образование трещины.

Г 6.4 Стационарное движение полубесконечной трещины.

Основные результаты исследований.

Механика композитов получила в настоящее время большое развитие в связи со все более широким их применением в качестве конструкционных материалов. Любой композит представляет собой неоднородное тело, причем размеры, форма, взаимное расположение армирующих включений могут сильно? колебаться в пределах одного образца, реологические свойства компонент обычно также весьма сложны. Поэтому исторически первым и весьма? распространенным; до настоящего; времени подходом; к построению механических моделей4 композитов явилось, сведение их к однородному,, вообще говоря анизотропному телу с некоторыми эффективными характеристиками, например упругими, модулями. Вычислению последних: посвящена обширная литература (см.,напимер,монографии[11,18,23*65] и обзорные статьи [3,63]). Такой подход дает возможность достаточно точно описывать "макромеханику" композитов, то есть находить поля напряжений и деформаций, усредненных по достаточно большому числу структурных элементов. Этой информации, однако, часто оказывается недостаточно; Например, в задачах динамики теория эффективных модулей не описывае дисперсию упругих волн, их взаимодействие с границами раздела компонент. В s связи с этим были разработаны различные усовершенствованные модели в той или иной мере учитывающие структуру композитов, например модель Болотина (сформулирована' в [4-7], обзор; работ см. также в [8]), теория: эффективных жесткостей (см; [2,37]) и другие. Разработаны континуальные модели, позволяющие по напряженоому состоянию t композита восстановить напряжения* в. каждой из компонент (например, модель Болотина после "размазывания», модель Немировского [38,39]).

Существует, однако, класс задач, для«решения которых необходимо как можно точнее знать о поведении материала в областях, сравнимых с характерным размером структурной неоднородности. К таким задачам? относится, в частности, задача: о разрушении. . Даже при ее решении применительно к однородному телу приходится учитывать атомную структуру последнего, вследствие чего в классическую теорию разрушения г Гриффиттса входит константа материала (плотность поверхностной энергии), связанная с межатомным? взаимодействием* [56]. Тем? более необходимо явно учитывать, структуру при? изучении разрушения; композита. Поскольку, однако, точно учесть; ее по-видимому невозможно, приходится* пользоваться некоторыми! упрощенными моделями кусочно-однородного тела.

Настоящая диссертацияi посвящена: деформированию- и разрушению однонаправленного композита, состоящего из относительно жестких параллельных волокон; пространство? между которыми заполнено? существенно более податливым связующим. При работе такого материала волокна^ располагаются? вдоль линии действия; внешних растягивающих нагрузок, а связующее способствует более равномерному распределению напряжений-: между волокнами. Кроме современных конструкционных материалов можно привести в качестве примеров; резинотросовую ленту транспортера (см.,например,[82,83]), покрышку автомобильной шины; или ледовый; покров реки, армированный стальными канатами. Выбор математической» модели композита, используемой в данной работе, определялся тем, чтобы она была: достаточно простой для исследования; и в то же время давала возможность выявить в чистом виде основные качественные особенности изучаемых явлений: Поэтому в ■ дальнейшем^ предполагается; что армирующие волокна работают лишь на растяжение — сжатие как одномерные стержни, а связующее - только г на сдвиг на площадках, параллельных волокнам. Этот весьма распростаненный подход был впервые по-видимому предложен Аутвотером [76] для упрощения; вычисления статических эффективных модулей) и впоследствии обобщался рядом авторов (обзор литературы содержится в: главе 2). В действительности, конечно, напряженное состояние композита является более сложным. В частности, волокна могут не только растягиваться, но и изгибаться, а связующее несет часть, нормальной нагрузки. Тем не менее, указанная идеализация оправдана, так как модули Юнга волокон и связующего отличаются на один -два порядка, а продольные деформации примерно одинаковы. Главное же, принятая гипотеза упрощает математическое исследование и дает, как показано ниже, возможность решать достаточно сложные задачи как в статике, так и в динамике.

Мало этого, исследование, проведенное в [48] (см. п. 1.2 настоящей диссертации) показывает, что такой подход есть не что иное, как длинноволновое приближение для точного двумерного динамического решения- теории упругости' для • слоистого тела (подобно; балочному приближению для=полосы со свободными поверхностями). В этом приближении исчезает взаимодействие между горизонтальными и вертикальными смещениями, и связанная? система? теории упругости распадается на две независимые. Одна из этих систем как раз и соответствует описаннаму выше подходу. Система, соответсвующая; движению поперек направления; армирования; описывает изгиб волокон, для которых связующее является упругим основанием и сжатие связующего в направлении, перпендикулярном волокну. Таким образом, неучет изгиба волокон связан просто с тем,. что в задачах, рассмотренных далее, внешние нагрузки в направлении, перпендикулярном волокнам, отсутствуют. В; следущем приближении (в смысле, описанном в 1.2) такой учет становится необходимым.

В; настоящей диссертации исследование проведено в рамках упругого поведения материала. Ясно, что вне сферы нашего внимания остались важные классы < задач, но, к сожалению, достичь существенных успехов на пути их аналитического' решения пока не удалось. Полученные результаты, могут играть роль первого приближения в этом; направлении и служить верхними оценками концентраций напряжений вблизи дефектов.

Диссертация; состоит из шести глав. Первая глава описывает математи-f ческую модель, принятую для описания распределения напряжений в составном упругом.теле с внутренними дефектами типа разрывов волокон и трещин сдвига, развивающихся по связующему между волокнами. Полное исследование такой задачи в строгой постановке теории упругости слишком сложно как с точки зрения получения решения, так и с точки зрения последующего анализа этого "исчерпывающего" решения; Поэтому проводится упрощение точных упругих уравнений, позволяющее получить ряд аналитических решений, качественно верно передающих эффекты концентрации напряжений;

Во второй главе содержится обзор работ, в которых используется примерно такой же подход к изучению прочности: композитных материалов — использование представлений о композите как о среде; имеющей структуру с явным заданием прочности каждого компонента. При этом оказывается * как правило невозможно использовать классическую теорию разрушения Гриффитса-* Ирвина-Орована. Если при достаточно мелкой структуре рассматривать композитный материал либо как дискретный, либо как сплошной, то ответы на вопрос, разрушится он • или нет, оказываются не только различными (что естественно), но даже не сравнимыми. Это отмечено в обзоре [ 107], как неразрешимое противоречие. В четвертой ишестой главе диссертации это противоречие будет снято и два подхода к разрушению будут примирены.

В третьей главе приводятся решения задач о напряжениях вокруг одного разрыва волокна в композитном образце из конечного числа волокон, в полубесконечном и бесконечномкомпозитах, а также вокруг систем разрывов, образующих периодические структуры. Это периодические ряды разрывов? в направлениях перпендикулярном волокнам и вдоль одного волокна, а также двумерные сетки дефектов. Анализ всевозможных конфигураций дефектов позволил теоретически рассчитать разброс прочности композита и построить соот-ветсвующие гистограммы.

Четвертая глава посвящена противоположному случаю - дефекты сгруппированы плотно, так, что образуют трещины нормального разрыва. Приведены в явном аналитическом виде решения об одной трещине в однородном растягивающем поле, о трещине с. симметричными нагрузками на. ее берегах, о свободной полубесконечной? трещине, о нескольких трещинах; лежащих на прямой, перпендикулярном направлению * армирования. В' последнем случае: удалось свести задачу к системе стольких линейных уравнений; сколько имеется трещин. После этого предыдущие случаи (одиночные трещины) представляются тривиальными, а случай распадения трещины на отдельные изолированные разрывы — наиболее трудным. Проведен: предельный, переход к сплошной ? среде с трещиной и путем сравнения •• формул для?критериев разрушения; при; дискретном5 и континуальном подходе удалось* выразить, прочностные свойства композита как сплошной среды (поверхностная энергия; критический коэффициент интенсивности напряжений) через микроструктурные свойства компонентов (прочность компонентов, размеры структурных компонентов).

В пятой главе разбирается < взаимодействие трещины нормального разрыва с трещиной расслоения, возникающей в кончике. Оказывается, что трещина расслоения с ростом внешней нагрузки устойчиво растет в некотором диапазоне роста нагрузки, а напряжение в первом целом волокне падает. Поскольку исследование проводилось методом малого параметра (его роль играет длина > трещины расслоения), строго утверждать, что либо о дальнейшем поведении < трещины невозможно. Численные эксперименты показывают, что при: достижении некоторой нагрузки трещина расслоения уходит на бесконечность.

В' шестой главе решаются динамические задачи. Учет инерции связующего сразу обнаруживает качественное отличие среды со структурой от однородной среды. Плоская!волна, распространяющаяся! вдоль направления армирования в однородной среде (или в дискретной среде с безынерционным< связующим) не приводит к появлению касательных напряжений на «главных площадках, параллельных волокнам. Однако в композите с инерционным связующим такие напряжения появляются и могут объяснить склонность композитов к расслоению при ударных нагрузках: В качестве примеров рассмотрены задачи о внезапном нагружении; волокон на границе полуплоскости из композита нагрузкой типа Хевисайдовской по времени. Приведены решения для случаев, когда нагружается каждое волокно (аналог плоской волны) и каждое шестое волокно (аналог цилиндрической оболочки с ребрами жесткости): Решение получено ; в виде последовательности * рекуррентно вычисляемых излученных и отраженных волн. Другой тип задач - смешанные задачи о внезапном разрыве нескольких волокон в равномерно растянутой плоскости, -позволяет вычислять динамическую перегрузку в целых волокнах, соседних с трещиной.

Последняя шестая; глава посвящена стационарному движению полубесконечной свободной трещины нормального разрыва. Получена зависимость эффективной поверхностной энергии от скорости движения. При малых скоростях эта величина убывает, а затем растет. В частности, при некоторойI скорости, играющей для композита роль релеевской, эффективная поверхностная; энергия обращается в бесконечность. Этим определяется максимально возможная скорость стационарного движения трещины в композите.

Изложенные в диссертации исследования выполнялись на протяжении; 1973-2003 годов и опубликованы в следующих работах:

1. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973; №5; С.131-139.

2. Михайлов* A.M. Динамика однонаправленного стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1974. №4. С.139-145.

3; Михайлов A.M. Динамическая v концентрация г напряжений г около ? дефекта в стеклопластике // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1974: Вып. 19-20. С.66-73.

4. Михайлов A.M. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР; Механика тверд, тела. 1975. №1. С. 101-110.

5. Михайлов. А.М. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1979. №1. С.163-170.

6. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике //Журн. .прикл. мех. и техн. физики. 1978. №6. С. 121-129.

7. Ермак:А.А., Михайлов А.М- Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1980. №6. С.104-110.

8. Михайлов A.M., Слепян Л.И. Стационарное движение полубесконечной трещины в композите // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1986. №2. С.180-187.

9. Михайлов* A.Ml // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИРД СОАН СССР. 1987.С.41-45.

10. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Вычисление разброса прочности в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1991. вып. 103. С.83-87.

11. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1992. №3. С.120-127. ,

12. Михайлов А.М; Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн.физики. 1993. №6. С.116-125.

13; Михайлов г A.M. Концентрация, напряжений» в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара, по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Фрунзе, сентябрь 1975 г.;

II Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела», Днепропетровск, сентябрь 1981 г:

VII I Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Новосибирск, апрель 1986 г;

Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, октябрь 2003 г.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Анализ проведенных в настоящей работе исследований позволяет сформулировать следующие основные результаты.

1. В диссертации. разработана теория однонаправленного композита, занимающая; промежуточное положение между точной теорией упругости составного материала и однородной анизотропной моделью с некоторыми * эффективными модулями.

Построена формальная процедура, регулирующая это промежуточное положение между крайними случаями. Сформулирован достаточно простой вариант теории, учитывающий реальную структуру композита, и позволяющий решать достаточно содержательные сложные задачи. При этом напряженно' деформированное состояние определяется порознь для каждого компонента с учетом их динамического взаимодействия;

2. На основе принятых уравнений решены задачи о концентрации напряжений, порождаемой наличиемдефектов в; структуре композита. В частности, рассмотрены изолированные дефекты и собрания дефектов, образующие трещины. Найдены напряжения в волокнах и в связующем, позволяющие судить о типе разрушения (разрыв волокон или расслоение связующего).

3. Параллельное рассмотрение композита как сплошной среды и* как дискретной позволило устранить кажущееся противоречие при г формулировке критериев разрушения. Установлена связь между прочностными интегральными характеристиками композита как сплошного тела и характеристиками его «микроструктуры».

4. Исследована устойчивость некоторых конфигураций; дефектов и нагрузок, причем оказалось, что некоторые дефекты упрочняют композит, а появление расслоений стабилизирует трещину нормального разрыва.

5. Изучен вклад сил. инерции; в концентрацию напряжений при внезапном разрыве одного и нескольких волокон. Но даже при s отсутствии дефектов и одинаковом * нагружении; всех волокон в связующем появляется: концентрация касательных напряжений за счет отставания связующего от волокон. Бели бы связующее было безынерционным, касательные напряжения равнялись бы нулю. То же самое происходит в плоской волне в однонаправленном композите, который аппроксимируется сплошной средой. Здесь проявляется важность учета микроструктуры. Решена задача о стационарном движении свободной полубесконечной трещины в дискретной среде. Найдена предельная скорость движения трещины. Соотношение между свойствами микроструктуры и эффективной поверхностной энергией сплошного тела в зависимости от скорости.

212

1. 1.Абдукадыров С.А., Степаненко М.В.Об особенностях распространения гармонических волн в плоском слое, контактирующему упругой средой // Физ.-тех. пробл. разработки полезных ископаемых. 1979; №5. С. 52-62.

2. Ахенбах Дж.Д. Колебаниями волны в направленно армированных композитах // Композиционные материалы; М.: Мир. 1978. Т.2. С.354-400.

3. Баренблатт F. И., Салганик Р. Л. О расклинивании хрупких тел. Автоколебания при расклинивании.-— ПММ, 1963, т. 27, Вып. 3, С. 436-449

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. -632 С.

5. Беран М.Дж. Применение статистических теорий для определения тепловых, электрических и магнитных свойств неоднородных материалов // Композиционные материалы. М.: Мир. 1978. Т.2. С.242-286.

6. Болотин В .В. К теории слоистых плит // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963; №3 С.65-72.

7. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. №1. С.61-66.8; Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. №2. С.27-37.

8. Болотин В.В: Прочность, устойчивость и колебания многослойных, пластин // Расчеты на прочность. М. 1965. Вып.Ш С.31-63;

9. Ю.Болотин В.В. Некоторые вопросы механики композитных материалов // Механика полимеров. 1975. №1. С. 126-1331

10. Болотин В.В., ПАРЦЕВСЮШ В.В. Напряжения в слоистой среде при действии сосредоточенной силы // Изв. АН СССР. Механика тверд., тела. 1968. №2. С.52-57.

11. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1977. 288 С.

12. З.Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями.Киев: Наукова думка, 1971. -230 С., ил.

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. -639 С.

14. Гельфанд И. М:, Шилов F. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматгиз, 1958:

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов: и произведений. М.: Физматгиз, 1963. -1100 С., ил.

16. Диткин В.А., Прудников, А.П. Справочник по. операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965; 466 с.

17. Ермак А.А. Распределение напряжений в глубине однонаправленного стеклопластика приего разрушении // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР: 1980. Вып. 48. С. 48-53:

18. Ермак А.А. Влияние инерции связующего на поведение однонаправленного композита; Новосибирск, 1980: — 33 С. — Рукопись представлена Институтом горного дела СО АН СССР. Деп; в ВИНИТИ 19 ноября 1980 г. №. 4914-80 ДЕП.

19. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике. // Журн .прикл.мех. и техн. физики; 1978. №6. С.121-129.:

20. Г.Ермак А.А., Михайлов A.M. Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн.,физики. 1980. №6; С. 104110.

21. Жуков В .А. Влияние параметров, тросовой ленты на: распределение напряжений в стыковом соединении//ФТПРПИ. 1986.№3;С.94-99.

22. Иванова B.C., Копьев И.М:, Ботвина • JI.P., Шермергор Т.Д. Упрочнение металлов волокнами. М;: Наука, 1973; — 207 С.

23. Колпаков А.Г. Концентрация напряжений в армированном брусе // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики: СО АН СССР. 1977. Вып. 28. С.163-168.

24. Колпаков А.Г. Напряжения в волокнистом композите, имеющем дефекты армирования < // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1978. Вып; 34. С.63-73.

25. Колпаков А.Г., Влияние неоднородностей на напряженно-деформированное состояние и прочность однонаправленного композита. // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР: 1978. Вып. 37. С. 78-89.

26. Колпаков А.Г. Эффективные характеристики конструкции из однонаправленного композита // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1980. Вып. 45: С.98-114.

27. Композиционные материалы волокнистого строения/ Г.А.Ван Фо Фы, Д.М.Карпинос, Л.И.Тучинский и др. Киев: Наукова думка, 1970. — 403 е., ил.

28. Копьев И.М., Овчинский А.С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М.: Наука, 1977. — 240 е., ил.

29. Котов М.А., Жуков. В.А. и др. Исследование концентрации напряжений при растяжении резинотросовой конвейерной ленты, имеющей повреждение// ФТПРПИ. 1984:№2.С.72-76.

30. Красносельский М.; А., Перов< А. И:, Поволоцкий А. И., Забрейко П: П. Векторные поля на плоскости. М;: Физматгиз, 1963. 245с.

31. Кулахметова Ш. А. Динамика трещины в анизотропной решетке. // Докл. АН СССР. 1985. Т. 281 № 2. С. 300-303.

32. Кулахметова III. А., Сарайкин В. А., Слепян. // Л. И. Плоская задача о трещине в решетке.- Изв. АН СССР. МТТ. 1984: № 3. С. 112-118;

33. Купер Г.А. Микромеханические аспекты разрушения. // Композиционные материалы. М.: Мир 1978. Т.5. С.440-475.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций i комплексного переменного. М.: Наука, 1987.-6876 е., ил.

35. Ланкина Е.А., Михайлов А.М. Вычисление разброса прочности: в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ GO АН СССР.1991. Вып. 103: С.83-87.

36. Ланкина Е.А., Михайлов А.М. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики., 1992. №3. С. 120-127.

37. Люстерник Л: А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.41 .Милейко G.T., Сорокин Н.М., Цирлин A.M. Прочность бора-люминия — композита с хрупким волокном. // Механика полимеров. 1973; №5. С.840-846.

38. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика 7/ Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973. №5. С.131-139.

39. Михайлов А.М. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1975. №1. С.101-110.

40. Михайлов A.M. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1979. №1. С. 163-170.

41. Михайлов A.M. // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИГД СОАН СССР. 1987.С.41-45.

42. Михайлов A.M. Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита// Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1993. №6. С. 116-125.

43. Михайлов A.M. Концентрация напряжений в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара по современным; проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.

44. Москвитин В1В., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений в разрушившемся волокне при упругом деформировании компонентов композиционного материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №1. С.120-124.

45. Мун Ф.В. Удар и распространение волн в композиционных материалах // Композиционные материалы. М.: Машиностроение, 1978. Т.7. ч.Г. С.354-400.

46. Овчинский А.С., Немцова С.А., Копьев И.М; Математическое моделирование процессов разрушения композитных материалов, армированных хрупкими волокнами // Механика полимеров, 1976. №.5, С.800-808.

47. Пагано Н.Дж. Роль эффективных модулей в исследовании упругих свойств слоистых композитов // Композиционные материалы. М.: Мир. 1978. Т.2. С. 13-37.

48. Пагано Н. Дж. Точные модули анизотропных слоистых композитов // Композиционные материалы. М.: Мир. С.38-60.

49. Парцевский В.В. Распределение напряжений в слоистых композитах // Механика полимеров. 1970. №.2. G.319-325.

50. Парцевский В.В: G растяжении слоистого пространствах вырезами, нормальными к слоям // Изв. АН СССР. Механика: тверд, тела. 1970. №.4 С.195-198.

51. Парцевский В.В: Распределение напряжений; в дискретной модели слоистой среды вблизи разреза // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1977. №.3 С.103-108.

52. Парцевский В.В. Плоская деформация слоистого композита с поперечной трещиной // Механика полимеров 1978: №.4. С.632-636.

53. Парцевский В.В. Об эффективной'длине армирующего элемента в слоистых композитах // Механика полимеров. 1978. №.5: G.918-920.

54. Парцевский В.В: Взаимодействие некоторых несовершенств > в слоистых композитах // Прикладная механика. 1980. T.XVI. №.3. С.65-69.

55. Парцевский // В:В: Об устойчивости расслоений в композитах // Механика композитных материалов. 1983; №5. С.794-798.

56. Работнов Ю.Н. Механика: деформируемого твердого: тела. М.: Наука, 1979>744с, ил.

57. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989. -224с. ил.

58. Розен Б.У., Дау Н.Ф: Механика разрушения: волокнистых композитов // Разрушение. М.: Мир, 1976 Т.7. С.300-366.

59. Сахарова Е.Н., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений в разрушившемся волокне композиционного материала // Механика композитных материалов. 1979. №.1. G.57-64.

60. Сахарова Е.Н., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений при: разрушении: волокон композитного материала // Механика композитных материалов. 1980. №.4. С.608-615.

61. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов // Композиционные материалы. М.: Мир, 1978. Т.2. С.61-101.74:Слепян Л.И. Нестационарные упругие волныЛ.: Судостроение, 1972. -376с., ил.

62. Слепян Л. И: Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. 296с.

63. Слепян Л.И. Антиплоская задача о трещине в решетке // // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1982: №. 5. С. 101-115.

64. Слепян Л.И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой. // Изв: АН СССР. Механика тверд, тела. 1984: №. 6. С. 121-130.

65. Слепян Л.И., Троянкина Л.В: Теория трещин. Л.: Судостроение, 1976. -44с, ил.

66. Степаненко М.В. Огдинамике разрушения однонаправленного композита стеклопластика//Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1979. №.4. С. 155-163;

67. Степаненко М.В. Численный эксперимент по динамике разрушения композитного материала // Механика композитных материалов. 1980: №.6.

68. Г.Тарнопольский Ю.М:, Кинцис Т.Я. О механизме передачи усилий при деформировании ориентированных стеклопластиков // Механика полимеров. 1965. №.1. С.100-110.

69. Тарнопольский Ю.М., Розе А.В., Поляков В.А. Приложение теории многослойных сред к изучению ориентированных стеклопластиков // Изв. АН СССР: Механика. 1965: №.2. С.131-134.

70. Фихтенголъц; Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 2. -800 е., ил.

71. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 3. -656 е., ил.

72. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. -432 с.

73. Хаит Е.Б. Динамика разрушения волокна в армированном материале // Докл. АН СССР. 1975. Т.222. №.3. С.572-574.

74. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М;: Наука, 1974. -640 с.

75. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.-399 е., ил.

76. Achenbach J.D., Herrmann G. Wave motion in solids with lamellar structuring // Dynamics of structured solids. New York, 1968 P. 23-46.

77. Fichter W.B. Stress concentration around5 broken filaments in a filament-stiffened sheet NASA Technical Note D-5433, Langley, 1969.

78. Fichter W.B. Stress concentration in a filament-stiffened sheet of finite length. NASA Technical Note D-5433; Langley, 1970;

79. Franklin H.G: Hole stress concentration in filamentary structures;// Fiber science and technology. 1970. V. 2. №. 3; P. 241-249.95 .Hedgepeth J.M. Stress concentration in filamentary structures NASA Technical i Note D-822, Langley, 1961.

80. Hedgepeth J.M., Van Dyke P. Local stress, concentrations in imperfect filamentary composite materials // J. Сотр. mat. 1967. V.l. P. 294-309.

81. Ko W.Z. Fracture behavior of a nonlinear woven fabric materials // J.Comp. Mat. 1975. V. 9. №. 4. P. 361-369:

82. Ko W.Z., Nagy A., Francis P.H.Zindholm U.S. Crack extension in filamentary materials // Eng. Fract. Mech. 1976. V. 8. №. 2. P. 411-424.

83. Kulkarni S.V., Rosen B.W., Zweben C. Load concentration factors for circular holes in composite laminates // J: Сотр. Mat. 1973. V. 7. №.3. P. 387-3931

84. Outwater J.O. Plastics reinforcement in tension // Mod. Plast. 1956. V. 33. №. 7. P: 156-248.

85. Peck J.C., Gurtman G.A. Dispersive pulse propagation parallel to the interfaces of a laminated composite. Tr. ASME, ser. E, Appl. Mech., 1969, V. 36. №. 3, p. 479-484.

86. Stepanenko M.V. Transient stress waves and fracture in fibrous materials. XXI Polish Solid Mechanical Conference. Abstracts. Warsaw, 1979, p. 148149.

87. Sun C.T., Achenbach J.D., Herrmann G. Time-harmonic waves in a stratified medium propagating in the direction of the layering // Tr. ASME. Ser. E. Appl. Mech. 1968. V. 35. №. 2. P. 408-411.

88. Van Dyke P., Hedgepeth J.M. Stress concentration from single filament failure in composite materials. // Textile Res. J. 1969. V. 39. №. 7. P. 618-626.

89. Whitter J.S., Peck J.C. Experiments on dispersive pulse propagation in laminated composites and comparison with theory // Tr. ASME. ser. E. Appl. Mech. 1969 V. 36. №. 3. P. 485-490.

90. Zender C., Deaton J.W. NASA Technical Note D-1609, Langley, 1963.

91. Zweben C. On the strength of notched composites // J. Mech. Phys. Sol. 1971. V. 19. №.3. P. 103-116.