Конвективная устойчивость и дрейф капель в безграничных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

од

7 •') Ъ^В

С ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕРМСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Братухин Юрий Клавдиевич

КОНВЕКТИВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ДРЕЙФ КАПЕЛЬ В БЕЗГРАНИЧНЫХ СРЕДАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико - лателалшяеских наук

Пермь - 1995

Работа выполнена на кафедре общей физики Пермского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор В.В.Пухначев (Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск)

доктор физико - математических наук, профессор В.И.Полежаев (Институт проблем механики РАН, Москва)

доктор физико - математических наук, профессор Е.Л.Тарунин (Пермский государственный университет)

Ведущая организация - Институт механики сплошных сред УрО РАН (г.Пермь)

Защита состоится " /3 " 1996 г. в /& часов

на заседании совета по защите диссертаций Д-063.59.03 в Пермском государственном университете (г.Пермь, 614600, ул.Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь совета по защите диссертаций Д-063.59.03 кандидат физико - математически?, наук,

Г.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В работе рассмотрен широкий круг задач по гидромеханике процессов, в которых существенную роль играют поверхностные эффекты различной природы. Теоретические исследования то этой тематике, начатые более ста лет назад Гиббсом, в настоящее время ведутся в основном на геометрических моделях с нулевой кривизной границ (плоские слои) и для предельных случаев кинетики и динамики процессов. Между тем нужды производства (особенно космической технологии) и внутреннее развитие самой науки требуют решения более широкого спектра модельных задач, которые способствовали бы формированию интуиции при оценках влияния на системы многочисленных и разнородных физико-химических факторов в различных ситуациях. Это делает актуальной задачу разработки математической модели процессов, идущих по произвольной кинентике в открытых гетерогенных системах с жидкими включениями конечных размеров.

Цель работы - дать на физическом уровне строгости аналитическое описание типичных примеров; равновесия и конвективной устойчивости макрогетерогенных веществ при строгом учете поверхностных явлений и, в связи с этим, привести в единую систему положения гидродинамики межфазных поверхностей.-

Научная новизна работы состоит как в приложении известных теоретических моделей к конкретным физическим процессам, так и в развитии положений, не затронутых или недостаточно разработанных в трудах Гиббса и его последователей. В частности:

Сформулирована и аналитически точно решена задача о равновесии и устойчивости газовых пузырей в поле сосредоточенных зарядов (плоский случай).

В безындукционном приближении определены условия равновесия диэлектрических тел в неоднородном электростатическом поле.

Дано объяснение кажущегося противоречия полученных результатов с теоремой Ирншоу.

Сформулировано пригодное для эмпирических оценок понятие электростатичности полей.

Выведены граничные условия для напряженностей и потенциалов электромагнитных полей применительно к слабопроводящим средам и разобраны случаи, при которых справедливы традиционные уравнения.

В рамках изученной модели предложен метод левитации тел в электростатическом поле без использования следящих радиоэлектронных систем.

Исследована устойчивость диффузионного массопереноса поверхностно-активных веществ (ПАВ) из капли во внешнюю безграничную жидкость с учетом адсорбции Гиббса и поверхностных коэффициентов вязкости и диффузии. ■ Рассмотрен случай "броуновских" капель.

Проанализированы причины обнаруженного отклонения от закона Стернлинга - Скривена.

Сформулированы граничные условия на поверхности раздела фаз для общего случая смешанной (диффузионной и адсорбционной) кинетики массопереноса ПАВ через границу раздела двух несмешивавдихся жидкостей и проклассифицированы случаи, когда оказываются справедливыми обычные соотношения.

Дано объяснение влияния на устойчивость массопереноса ПАВ из капли во внешнюю среду поверхностных коэффициентов вязкости (сдвиговой и дилатационной).

Решена модельная задача о монотонной и колебательной неустойчивости _массопереноса ПАВ через поверхность раздела жидкостей, идущего по смешанной (диффузионной и адсорбционной) кинетике,^ когда ни одна из составляющих процесса не может, считаться лимитирующей. Проанализированы предельные случаи, для которых оказываются справедливыми стандартные уравнения.

Проведено исследование условий, при которых возможно равновесие жидкости, заполняющей шаровой слой, при подогреве снизу. Найдено критическое число Рэлея, соответствующее кризису диффузионной теплопередачи. Результаты решения используются для оценки интенсивности внутрипоровой конвекции в пористой среде.

Изучено влияние тепловых деформаций неоднородно нагретой матрицы на конвективную устойчивость жидкости в шаровых полостях.

Сформулирована и решена для различных частных случаев задача о равновесии тяжелой капли, удерживаемой силами поверхностного натяжения на поверхности менее плотной жидкости.

На основе проведенного анализа "треугольника Неймана" выделен коридор возможных значений поверхностных натяжений трех соприкасающихся взаимно насыщенных жидкостей, при который возможно их равновесное состояние в виде плавающих капель одной

жидкости на границе раздела двух других.

Найдены предельные массы тяжелых капель, удерживаемых на поверхности менее плотной жидкости силами поверхностного натяжения (плоская' и трехмерная задачи). Предложен способ определения межжидкостного поверхностного натяжения, основанный на измерении предельных масс капель.

Получены формулы для определения толщины и диаметра больших капель, плавающих на поверхности более плотных жидкостей. Результаты могут быть использованы в межфазной тензиометрии.

В определенном интервале безразмерных параметров задачи обнаружены два различных равновесных состояния плавающей тяжелой капли: с выпуклой и вогнутой поверхностями "зеркальца".

Сформулирована и решена задача по определению скоростей и температур в жидкости, заполняющей слабо деформированную шаровую полость при подогреве снизу. Определена интенсивность паразитного конвективного движения, вызванного несферичностью полости, как функция числа Рэлея.

Для сферической полости найдена зависимость числа "Нуссельта без единицы" от числа Рэлея, которая свидетельствует о мягком режиме развития конвективной неустойчивости.

Рассмотрено влияние свободной тепловой конвекции на дрейф жидких включений в растворимом неоднородно нагретом твердом теле (дрейф Лемлейна). Показано, что конвективная поправка к скорости дрейфа ортогональна градиенту температуры в массиве и пропорциональна числу Грасгофа.

На примере решения модельной задачи показано, что скорость нагретых стенок полости при лемлейновском дрейфе незначительно превышает скорость дрейфа и это превышение также пропорционально числу Грасгофа.

Определены границы монотонной и колебательной неустойчивости жидкости, заполняющей шаровую полость, в растворимом массиве при подогреве снизу.

Детально исследован термокапиллярный дрейф капли и пузыря в неоднородно нагретой безграничной жидкости. Определены поля скоростей и температур в жидкостях, скорость дрейфа и форма включений. Сделаны оценки чисел Марангони, при которых в системе появляется вихрь и определены его границы.

Обнаружено, что решение задачи о термокапиллярном дрейфе

каши, представленное разложением в степенные ряда по малому числу Марангони, равномерно сходится всюду вплоть до кубического члена из-за отсутствия стокслета в нулевом порядке.

Сформулирована и решена задача о дрейфе капель в стратифицированной по концентрации ПАВ эмульсии с учетом адсорбции ГиООса и поверхностных кинетических коэффициентов. Определены поля скоростей и концентраций в жидкостях, скорость дрейфа и форма капель. Полученные результаты предлагается использовать для оценок времени разделения эмульсий на составляющие ее жидкости, а саму стратификацию создавать искуственно с целью управления соответствующим технологическим процессом.

Изучено движение пузыря в горизонтальной неоднородно нагретой ячейке Хеле-шоу для трех отношений горизонтального диаметра пузыря D к толщине слоя жидкости h: D/h = 1; D/h » 1 ;D/h « 1.

В качестве демонстрации универсальности разработанной методики расчета процессов в открытых гетерогенных системах с включениями конечных размеров в работе проанализирован гомогенный фазовый переход в твердом теле с изменением симметрии решетки. Определено смещение кривой фазового равновесия. В рамках теории зародышей Гиббса показано, что такие осложняющие фазовый переход факторы как анизотропия и изменение формы зародышей не могут стать причиной образования области метастабильности вблизи кривой фазового равновесия.

Достоверность результатов обеспечивается:

Количественным совпадением полученных в работе зависимостей с экспериментальными результатами как специально поставленных опытов, так и с данными других авторов.

Применением нескольких методик расчетов.

Использованием различных геометрических и физических моделей исследуемых процессов и состояний.

Сравнением с известными теориями.

Научная и практическая значимость. Разобранные в рамках предложенного обобщения граничных условий на поверхности раздела фаз многочисленные и разнообразные по физическому содержанию задачи интересны- как в плане поиска новых примеров ветвления равновесных состояний или конвективной неустойчивости, так и в чисто практическом применении результатов в межфазной

тензиометрии, наземной и космической технологии. В частности, разработанная методика и частные результаты лежат в основе проекта электростатического подвеса, на который получено авторское свидетельство, они используются в научно-исследовательской работе в Пермском государственном университете, Институте механики сплошных сред УрО РАН, в Пермском педагогическом университете, в Ивановском государственном университете, в Мадридском политехническом университете, а также в учебном процессе в Пермском государственном университете.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах И - 36] и были представлены на 5 Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1984), на 3 Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Черноголовка, 1984), на 5 Всесоюзной конференции по магнитной гидродинамике (Плес, 1988), на Международном симпозиуме по гидромеханике и тепломассообмену в условиях невесомости (Пермь-Москва, 1991), на 18 Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Хайфа, 1992), на 9 Международной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости (Москва, 1993), на 1 и 2 Международных симпозиумах "Advances 1л structured and heterogeneous contlnua" (Москва, 1993, 1995), на Мевдународном совещании по негравитационным механизмам конвекции и тепдо-массопереноса (Москва, 1994), на Международной зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995), на 9 Европейском симпозиуме "Gravity-dependent phenomena In physical sciences" (Берлин, 1995), на Пермском гидродинамическом семинаре под руководством Г.З.Геряуни.

Личный вклад автора. Работы [7, 10 - 12 , 26 , 27 , 29 , 30] выполнены автором лично. В совместных работах автору принадлекат: теоретическая часть Н4, 15, 23, 25, 33, 35], теория дрейфа пузыря в ячейке Хеле-Шоу [17, 20 - 22], участие в постановке задач, в вычислениях и в интерпретации результатов [1 - б, 8, 9, 13, 16, 18, 19, 24, 28]. Работы [31, 32, 34, 36] выполнены под руководством автора совместно с С.О.Макаровым.

Структура работы я объем. Диссертация состоит из семи глав, перечня основных выводов, приложения и списка литературы. В первой, вводной главе, дается общая характеристика

рассматриваемых проблем, обзор литературы и конспективное изложение содержания работы. Каждая из остальных шести глав предваряется кратким вступлением, в котором приводится принятая система обозначений и традиционные модели и формулы, используемые в этой главе. Главы и приложение разбиты на несколько параграфов, содержащих результаты иссседований автора. Работа содержит 36 рисунков, 206 ссылок на литературные источники. Общий объем диссертации 352 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава ("Введение") содержит общую характеристику рассматриваемых проблем (п. 1.1), обзор литературы (п. 1.2) и краткое содержание диссертации (п.1.3).

Вторая глава ("Равновесие и устойчивость поляризованных капель") посвящена изучению возможности левитации капель или пузырей (в общем случае - любых диэлектрических тел), а также проводников с током в проводящих средах в электростатическом поле. Задача представляет интерес как в плане разработок подвеса без применения следящих радиоэлектронных систем, так и в теоретическом плане в связи с существованием различных трактовок теоремы Ирншоу.

В п.2.1 показано, что переменное, с частотой и электрическое поле при выполнении неравенства

с2 » оЛ2[(4тсо)2 + (£Ш)2],/2

(с - скорость света, а - диэлектрическая постоянная, о -проводимость, 1 - характерный линейный размер экспериментальной установки) может считаться электростатическим, а его потенциал Ф - гармонической функцией.

Как известно, одним из следствий гармоничности потенциала является утверждение, что устойчивое равновесие вносимого в электростатическое поле заряда невозможно. Экспериментальная проверка этой теоремы, которую часто называют теоремой Ирншоу, осложнена тем, что заряда наносят на диэлектрические те^а, которые и помещают в поле. Экспериментаторы, таким образом, имеют дело не со свободными зарядами, а с заряженной гетерогенной

системой. Для неоднородных же веществ потенциал и в отсутствии зарядов не является гармонической функцией:

(Ну I) = <Цу еЕ = - еДср - Я7£ уф = О

и потому вопрос об устойчивости заряженных или незаряженных тел в электростатическом поле остается открытым.

Кроме того, в этом параграфе сделаны оценки частоты колебаний самого включения, при котором уравнения электростатики еще могут быть использованы, и показано, что высокочастотные колебания тел, погруженных в вязкую жидкость, в теории можно не учитывать. Все эти оценки и выведенные граничные условия для напряженностей и потенциалов медленно меняющихся шлей на поверхности раздела диэлектрических слабо проводящих сред используются при сопоставлении построенной теории эффекта левитации тел в электростатическом поле с результатами специально поставленных опытов.

В п.2.2 аналитически точно решена задача о равновесии и устойчивости погруженного в диэлектрическую жидкость газового пузыря в электростатическом поле ' четырех симметрично расположенных по углам квадрата зарядов (плоский случай). Найдено распределение потенциала в обеих средах и изменение потенциальной энергии системы при виртуальном смещении включения в произвольном направлении. Показано, что равновесие устойчиво, если диэлектрическая постоянная жидкости больше, чем у включения, а его диаметр не меньше, чем 0,94 Ъ (I -расстояние между зарядами). Вычислена также глубина потенциальной ямы (запас устойчивости).

В п.2.3 исследована устойчивость диэлектрических шаров вблизи круглого отверстия в одной из пластин плоского конденсатора, заполненного непроводящей жидкостью. Задача решена методом сращиваеглых асимптотических разложений в безындукционном приближении. Вычислены силы, действующие на шар при его виртуальном смещении в произвольном направлении. Приведена формула для потенциальной энергии смещенного шара в поле электрических и.гравпгационныж сил в виде ряда по степеням малого отклонения от положения равновесия. Это выражение, записанное в приближении Ландау-Гинзбурга, используется для оценки запаса устойчивости. Анализ полученной зависимости потенциальной энергии шара от его смещения из положения равновесия, проведенный методом

ренормализационной группы и, качественно, методом размерности, позволил сделать' подтвержденные в эксперименте выводы о независимости критической напряженности поля Es, при которой пузырь уже не удерживается в положении равновесия, от радиуса пузыря и линейной зависимости Е^ от радиуса отверстия. Необходимым условием устойчивости равновесия, как и в задаче п.2.2, является положительность разности диэлектрических постоянных жидкости и пузыря. Выводы теории справедливы для любого агрегатного состояния включения.

В третьей главе ("Неустойчивость массопереноса поверхностно-активных веществ из капель во внешнюю среду") на примерах решения конкретных задач обсуждаются предложенные граничные условия на поверхности раздела фаз гетерогенной системы, ' в которой происходит процесс массопереноса ПАВ для случаев, когда ни диффузионная, ни адсорбционная его стадии не могут считаться лимитирующими. Рассмотрены случаи, когда оказываются справедливыми обычные уравнения.

В п.3.1 решена модельная задача о массопереносе ПАВ через плоскую границу раздела двух несмепшвающихся жидкостей в предположении, что характерные диффузионные времена рассасывания неоднородностей концентрации и адсорбционно-десорбционные времена та и тд выравнивания поверхностной и объемной концентрации сравнимы друг с другом. В работе считается, что отношение диффузионного потока ПАВ D dc/dz\z_Q к адсорбционно-десорбционному (ßc - аГ) пропорционально отношению соответствующих характерных времен. Т.е. уравнение

CDdc/dz\z_Qi/(ßc - аГ) = = К

(здесь а и ß коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно) на поверхности раздела фаз можно рассматривать как граничное условие III рода, связывающее объемную и поверхностную концентрации. Постоянная К может меняться от а> при диффузионной кинетике (т » аа) до нуля при адсорбционной << ta). В общем случае К может быть различным в соприкасающихся фазах. Для случая смешанной кинетики в уравнение поверхностной диффузии к обычным конвективным и диффузионным членам необходимо добавить сушу адсорбционно-десорбционных потоков к границе раздела из обеих фай

+ $2сг ~ И слагаемое, определяемое изменением

определителя поверхностной метрики. В уравнениях баланса напряжений на границе раздела должны учитываться вязкие (дотационные и сдвиговые) поверхностные силы, определяемые тензором вязких поверхностных напряжений т\д(дУ1/дхк +

+ дик/дх1 - + т)ааи{/3х{ (т]3, т)а- сдвиговый и

дилатационный коэффициенты поверхностной вязкости соответственно). С учетом всех этих факторов получена формула, определяющая критическое значение заданного на бесконечности градиента концентрации ПАВ, при котором диффузионный массоперенос становится неустойчивым. Результаты для предельных случаев сравниваются с известными теориями.

В п.3.2 и п.3.3 в той же физической постановке, но только для диффузионной кинетики процесса получено решение задачи о конвективной неустойчивости массопереноса ПАВ из деформируемой в ходе процесса капли во внешнюю безграничную жидкость для случаев, когда центр масс капли остается неподвижным (п.3.2) и для "скачущих", подобно броуновским частицам, капель (п.3.3). И в том и в другом случае получены формулы для скоростей, концентраций, критических мощностей источника ПАВ Иш и других характеристик нейтральных возмущений в обеих фазах системы. Из-за громоздкости полученных выражений приведем здесь лишь формулу для Мш, при которой массоперенос ПАВ из капли становится неустойчивым по отношению к возмущениям,приводящим к "скачкам" капельки, -

М^^да/дГ) С2 + В2/Ш1 + 26^/00, Н2 + Зт^/т], + 2т]а/аг]д}

48тс!^т}, 85/а - 2 - ТВ/02

(1)

(а - радиус капли, - так называемая "глубина Гиббса", связывающая адсорбцию Гиббса Г и концентрацию ПАВ с; у поверхности раздела со стороны первой фазы: с;= б ;Г; к -коэффициент распределения, определяющий величину скачка концентраций при переходе через границу: ст = кс2, производная да/дГ характеризует зависимость коэффициента поверхностного натяжения а от адсорбции Гиббса). В формуле (1) отсутствует слагаемое, содержащее сдвиговую вязкость т)3, так как в рассматриваемом стоксовом приближении форма капли остается

сферической и сдвиговых поверхностных напряжений не возникает -линии тока совпадают с меридиональной сеткой. Новым по отношению к теории Стернлинга - Скривена является следующий момент. Если а >> , так что первый член в знаменателе правой части формулы (1) пренебрежимо мал, то при положительной адсорбции (да/дГ < 0) массоперенос из капли {II > 0) оказывается при достаточно больших М неустойчивым для любых соотношений между коэфициентами диффузии 1>1/Вг в средах. Это связано с тем, что при дрейфе кашш она может попасть в области, насыщенные (или обедненные) ПАВ, так что подпитка возмущений происходит в основном за счет конвективных, а не диффузионных процессов.

Отметим, что в гетерогенной системе с искривленной границей появляется новый механизм, "гасящий" спонтанно ' возникающие возмущения. Он связан с адсорбционной подачей ПАВ к поверхности и представлен в формуле (1) членом 86 /а в знаменателе. Гиббсова глубина б; - это расстояние, на которое распространяется действие молекулярных адсорбционных сил, всасывающих молекулы ПАВ в поверхностную фазу. Поэтому при выполнении неравенства 5? »а (маленькие капли) этот механизм эффективно выравнивает концентрации и возникающие возмущения гасятся.

В четвертой главе ("Конвективная устойчивость и движение в полостях сложных, форм") обсуждаются задачи, в которых существенным фактором, влияющим на интенсивность конвективного движения жидкости, является форма границы полости.

В п.4.1 решена задача о конвективной устойчивости жидкости, заполняющей шаровой слой, выфрезерованный в твердой матрице, при подогреве системы снизу. Показано, что проблема устойчивости возникает только при одинаковых теплопроводностях жидкости и вутреннего шара; теплопроводность массива может быть любой. При решении используется найденное В.С.Сорокиным "квазиточное" выражение для скорости Щг) г « ¥1тС?1т - сферическая гармоника). Определено критическое число Рэлея, которое для случая тонких зазоров растет обратно пропорционально четвертой степени толщины слоя.

Результаты, полученные в этой задаче, используются в п.4.2 для обоснования предположения, что в пористой среде при слабом подогреве снизу, когда локальный градиент температуры ниже критического, в торах сложной формы должно существовать

конвективное движение, возникающее либо в каждой из пор, либо в нескольких сообщающихся порах. Это конвективное движение может привести к увеличению эффективной теплопроводности всей среды. При теоретическом анализе пористая среда была промоделирована совокупностью невзаимодействующих шаровых слоев, хаотически расположенных в безграничном твердом теле. Внутренний шар радиуса Я; может соответствовать в эксперименте как одной частице, так и нескольким вплотную расположенным частицам, образующим некоторое подобие шарового ядра, обтекаемого конвективным потоком. Зазор (Я2 - ) между внутренним шаром и внешней поверхностью шарового слоя (радиуса Я2) на теоретической модели соответствует в реальной пористой среде некоторому среднему расстоянию между частицами, которое можно принять равным примерно половине радиуса частицы. В теоретической модели отношение Я = Я;/Я2 является параметром задачи. При Я -» 0 (сферическая полость без внутреннего шара) модель может быть отождествлена в ^эксперименте с пористой средой, в которой конвективные явления происходят в изолированных друг от друга порах. При математическом анализе этого случая учитывается отклонение поверхности реальной поры от сферы. Конвективное движение в модели Я 1 ( малый зазор) соответствует в эксперименте межпоровому движению, в котором жидкость циркулирует вокруг ядра, состоящего из большого числа частиц.

В результате расчетов, в которых эффективная теплопроводность определялась по методу Эйнштейна, а значения Я - по принципу Малкуса, оказалось, что Я лежит в интервале 0,4 < Я < 0,7. Это означает, что конвективные потоки обтекают ядро, состоящее в среднем из четырех - шести компактно уложенных частиц, а линии тока замкнуты и располагаются вблизи соответствующих ядер в зазоре, размер которого не превышает радиуса одной частицы. Рассмотрена также конвекция в одной поре (Я = 0). Констатируется согласие теоретических выводов с результатами специально поставленного эксперимента.

Влияние тепловых деформаций матрицы на конвективные процессы в жидких включениях рассмотрено в п.,4.3. Эта проблема, первоначально возникшая в фотографии при прецизионных измерениях смещения кристалликов А£Вг в желатиновых эмульсиях и в экспериментах по определению воздействий на эллипсоидальные включения различных внешних сил, в работе представлена задачей о

деформации жидкого включения эллипсоидальной формы при неоднородном нагреве матрицы. Показано, что шаровое включение в матрице с заданным на бесконечности постоянным градиентом температуры А, не деформируясь в первом приближении, смещается вдоль А на малое расстояние б, изотерлы в нем не изгибаются, оставаясь горизонтальными в подогреваемой снизу матрице. Для эллипсоидального включения с малым эксцентриситетом е и осью симметрии вдоль А качественные результаты не меняются. В частности, градиент температуры в полости остается постоянным, лишь увеличиваясь (уменьшаясь) на 3,ее(1-эе)/(1+эе)г (ае - отношение теплопроводностей жидкости и массива) для' сплющенных (вытянутых) эллипсоидов. Эти выводы проведенного анализа позволили сформулировать и решить задачу об устойчивости двухкомпонентной жидкости, заполняющей сферическую полость в неоднородно нагретой матрице (подогрев снизу). Определены границы монотонной и колебательной неустойчивости на плоскости (И.,И ) - тепловое и

и С

концентрационное числа Рэлея. Результаты вполне аналогичны полученным ранее для плоского слоя Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицким.

Пятая глава ("Равновесие тяжелых капель, плавающих на поверхности менее плотной жидкости") посвящена теоретической разработке новых методов меифазной тензиометрии. Решенные задачи интересны также как примеры ветвления равновесных состояний.

В п.5.1 и п.5.2 вариационным методом получена интегро-дифференциальная система четырех уравнений, описывающая равновесные конфигурации аксиально-симметричной тяжелой капли плотности р, свободно плавающей на поверхности другой жидкости, плотность р0 которой, принятая за единицу, меньше плотности капли: р > 1, в то время как поверхностные натяжения жидкостей на границе с воздухом (третья фаза гетерогенной системы) удовлетворяют обратному неравенству: о < 1 (поверхностное натяжение внешней жидкости а0 принято за единицу). Независимыми параметрами задачи являются также межжидкостное поверхностное натяжение о и масса капли И. К системе уравнений присоединены краевые условия на оси симметрии и на бесконечности, являющиеся следствием геометрической необходимости. Углы, которые образуют касательные к меридианам на поверхности раздела фаз с горизонтальной плоскостью, удовлетворяют условиям Юнга, следукшця из "треугольника Неймана". Анализ последних условий позволил

выделить коридор возможных значений о и о на плоскости (а,а), ограниченный прямыми

о = о-1;о = о + 1;о = 1 - о.

В полуполосе, границы которой заданы этими тремя уравнениями, плаващая капля для фиксированного а > 1 при увеличении о последовательно принимают форму "мячика", "тонкой линзы" и "айсберга". Жидкости, поверхностные натяжения а и о которых не попадают внутрь этого коридора, не могут образовывать плавающих капель.

Сформулированная задача решена методом разложения в ряды по степеням расстояний от оси симметрии и обычным методом Рунге-Кутта. Результаты представлены рисунками, изображающими форму капель, и графиком зависимости и {а) для избранных значений других параметров задачи. Показано, что в определенном интервале значений а существуют два решения с выпуклой и вогнутой поверхностями "зеркальца" капли. Предельные массы плавающих тяжелых капель вычислены в п.5.3 (плоская задача). Показано, что максимальные значения масс капель Н^ соответствуют кризису равновесной конфигурации системы, при которой нависающая карнизом над каплей жидкость "схлапывается" и вся капля тонет, подобно смазанной жиром иголке. Другой возможный вариант погружения капли с образованием "шейки" не обнаружен.

Для предельно малого о и для жидкостей, поверхностное натяжение которых подчиняется "правилу Антонова" о = о - 1, получена зависимость р), имеющая две асимтотики. Асимптотика иш = О обусловлена тем, что малые капли сколь угодно большой плотности должны удерживаться на плаву силами поверхностного натяжения, пропорциональными линейным размерам капли, в то время как сила тяжести пропорциональна кубу этих размеров. Наличие другой асимптотики р = 1 связано с тем, что при одинаковых плотностях с внешней жидкостью капля будет оставаться на плаву, как бы велика она ни была.

В п.5.4 решены две задачи для предельно малых и предельно больших значений масс капель, безразмерная плотность которых меньше единицы р < 1.

В случае малых капель, когда их характерные размеры а = = (Ы/2%р0)1/3 много меньше капиллярной длины I = (а0/рс^)1/г,

решение представлено первым членом разложения в степенной ряд по малому параметру (а/1)2. В этом приближении капля представляет собой двояковыпуклую линзу, ограниченную сферическими поверхностями. Поверхность внешней жидкости остается горизонтальной. Из этого точного решения следует, в частности, что жидкость с поверхностным натяжением а, удовлетворяющим правилу Антонова а = 1 - о, должна растекаться по поверхности другой жидкости, с которой у ней межфазное натяжение о.

В случае "больших" капель (а/1 » 1) задача сформулирована как двумерная со всеми граничными условиями в центре капли, на бесконечности и на линии контакта трех фаз. Однако интегральное условие постоянства массы капли из анализа исключено, поскольку бесконечно большая величина не может служить параметром задачи. Бесконечно большим считается и радиус капли. Такая геометрическая модель "нефтяного пятна на воде" позволила определить^предельную толщину капли вблизи ее центральной части Я = [2(о + а - 1)/(р -- рг)]1/2. Эту формулу, а также результаты задач п.5.3 и п.5.4 предлагается использовать для определения межжидкостного натяжения о.

В шестой главе ("Конвективная устойчивость и дрейф жидких включений в растворимых твердых телах") проанализировано влияние свободной тепловой конвекции на дрейф Лемлейна.

В п.6.1 разработана методика расчета конвективных течений в почти шаровой полости, выфрезерованной в подогреваемом снизу безграничном твердом теле. Анализ проведен для полости, форма которой задается уравнением г = Я(1 + з У21), з « 1, Д - средний радиус полости. Выбор такой специфической формы полости связан с тем, что У2; - одна из самых крупномасштабных сферических гармоник, наличие которой в спектре функции, задающей форму реальной полости, приводит к искривлению изотерм в жидкости и, следовательно, к появлению конвективного движения при сколь угодно слабых подогревах снизу.

Решение уравнений стационарной конвекции представлено в форме рядов по степеням малого параметра е, который определялся из уравнения 3 = 3.^ + з2&2+ з3е3, где амплитуды з^ поэтапно вычислялись методом последовательных приближений, а з задано условием задачи. Поля скоростей и температур определялись методом Бубнова-Галеркина. Констатируется согласие результатов с

экспериментами А.П.Овчинникова и Г.Ф.Шайдурова ("Конвективная устойчивость однородной жидкости в шаровой полости"// Гидродинамика, вш.1/ Перм. ун-т. Пермь, 1968) (при з = 0), о зависимость интенсивности конвективного течения от числа Рэлея для избранных значений "эксцентриситета" з вполне аналогична полученным В.И.Чернатынским и М.И.Шлиомисом в статье "Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры" (Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, N 1).

Решение этой задачи используется в п.6.2 для определения скорости дрейфа Лемлейна в подогреваемом сбоку твердом теле. Из полученных результатов следует, что при исчезающе малых числах Грасгофа дрейф жидких включений в растворимых твердых телах определяется диффузией, а скорость дрейфа не зависит от размеров полости и направлена вдоль градиента температуры А. Конвективная поправка к скорости дрейфа направлена поперек А, против ускорения силы тяжести и пропорциональна числу Грасгофа Сг. В этом же параграфе на примере модельной задачи показано, что нагретая стенка полости движется с большей скоростью, чем холодная, и эта разница в скоростях также конвективной природа и пропорциональна Сг.

В п.6.3 решена задача о конвективной устойчивости (монотонной и колебательной) растворяющей массив жидкости, заполняющей шаровую полость в неоднородно нагретом твердом теле (подогрев снизу). При решении учитывается выделение тепла при растворении и линейная зависимость растворимости от темературы, характеризуемая безразмерным коэффициентом пропорциональности К. Показано, что в данной задаче критическое число Рэлея для монотонной неустойчивости в (1 - К/Ъе) (Ье - число Льюиса) раз меньше полученного в п.4.3 для однокомпонентной жидкости. Этот результат объясняется с помощью модельного ряссуждения.

В седьмой главе ("Дрейф капель и пузырей в неоднородно нагретых и стратифицированных по концентрации ПАВ средах") обсуадаются проблемы конвективного тепломассопереноса в безграничных жидкостях с газообразными и жидкие включениями в условиях пониженной гравитации. П. 7.1 посвящен исследованию дрейфа капли (среда 2) в неоднородно нагретой безграничной жидкости (среда 1). Приняты следующие предположения: все параметры жидкостей (плотности р{, кинематические и

динамические т]£ коэффициенты вязкости, коэффициенты тепло- и температуропроводности ае{ и для обеих жидкостей, I = 1,2) постоянны, кроме коэффициента поверхностного натяжения о, линейно убывающего с температурой: о(Т) = о0- о1 Г; задача аксиально симметрична, движение ползущее, установившееся; дрейфовая скорость капли и постоянна; форма капли слабо отклоняется от сферической; на бесконечности задан . постоянный градиент температуры А; сила тяжести отсутствует; жидкости нерастворимы одна в другой. Решение уравнений конвекции представлены в виде степенных рядов по числу Марангони М = а1Ар1аг/т)^ (а - радиус навозмущенной капли).' Найдены точные выражения для полей скоростей и температур в первых двух порядках. В частности безразмерные скорость дрейфа и форма капли таковы:

Здесь Р2 - стандартизированный полином Лежандра второй степени; а = а0а/т^; р = р2/р1; 17 = т^/ т^; ж = эе2/эе1; % = Р =

= v1/%1. Капля движется в сторону нагретых слоев жидкости. Приводятся физические рассуждения, поясняющие найденные зависимости и и з2 от параметров задачи. Из-за громоздкости формул следующее, третье приближение вычислено для случая термокапиллярного дрейфа газового пузыря в вязкой жидкости (эе = = т] = р = х = 0« п.7.2). В обоих параграфах сделана оценка критических чисел Марангони, при которых1 за дрейфующими включениями появляется кармановский вихрь, и рассчитаны границы вихревой зоны. Отмечается также, что выражение для скорости в первом порядке не содержит стокслета, из-за которого отсутствует второе приближение в задаче Стокса (парадокс Уайтхеда). Поэтому .в области, где отношение конвективных членов к вязким в уравнении Навье - Стокса порядка Мг » 1, скорость достигает своего значения в набегающем потоке, так что оказывается возможным удовлетворить условиям на бесконечности. Математически это проявляется в том, что первые три члена разложения, определяющие

скорость, содержат только целые степени Ii; слагаемых же, пропорциональных lgM, в разложении нет. (Ср. И.Праундмен, Дж.Пирсон "Разложения по .малым числам Рейнольдса в задачах обтекания сферы и круглого цилиндра". Механика, Период, сб. перев. иностр. статей, 1Э58, вып 2). Вывода теоретического анализа сравниваются с результатами специально поставленного опыта. Обращено внимание на принципиальный момент: капиллярные силы можно рассматривать как внешние по отношению к системе, аналогичные вязким поверхностным силам, вызывающим, например, течение Куэтта. В частности, внешние тела, поддерживающие постоянный градиент температуры на бесконечности, не расходуют энергии на механическое движение, которое происходит за счет уменьшения поверхностной энергии системы. Еде более поразительным выглядит этот факт в работе [3], где поверхность является постоянным, неиссякаемым источником механического движения.

В п.7.3 решена задача о дрейфе капли в стратифицированной по концентрации ПАВ дисперсионной среде. Обсуждаются эффекты, связанные со специфическими капиллярными свойствами дилатационной и сдвиговой поверхностными вязкостями, глубиной Гиббса и др. Результаты анализа предлагается использовать для оценок времени разделения эмульсий на составляющие их жидкости.

П.7.4 содержит теоретическое обоснование опытов по тершкапиллярному дрейфу в неоднородно нагретой ячейке Хеле-шоу. В соответствии с результатами эксперимента анализ проведен для трех различных отношений горизонтального диаметра пузыря D к толщине слоя жидкости в ячейке Я, которое считалось малым, большим п порядка единицы. В каждом случае в теоретическую модель задачи вводился подгоночный феноменологический параметр, позволяющий добиться количественного совпадения теории и эксперимента. Слзлческий смысл вводимых параметров разъясняется. Результаты расчетов представлены аналитически и в виде графика зависимости скорости .дрейфа пузыря от D/ff, на котором нанесены также экспериментальные точки из работы [29].

В Приложение ("К теории зародышей Гиббса") отнесены две задачи о гомогенных фазовых переходах в твердом теле. Определено смещение кривой фазового равновесия, вызванное изменением формы зародыша и его анизотропией. Подтвержден вывод Гиббса о том, что единственной причиной существования области метастабильности

вблизи кривой фазового равновесия является конкуренция между поверхностными и объемными силами. И в этом отношении данные задачи логически примыкают к разобранным в основной части диссертации.

ОСНОВНЫЕ.РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Доказана возможность левитации пузырей и капель (в общем случае - любых диэлектрических тел) в электростатическом поле без применения следящих радиоэлектронных систем. Определены необходимые и достаточные условия равновесия и запас устойчивости. Дано объяснение кажущегося противоречия результатов с теоремой Ирншоу.

2. Предложены граничные условия .III рода на свободной поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей для случая смешанной (диффузионной и адсорбционной) кинетики массопереноса поверхностно-активных веществ из одной фазы в другую. На основе сформулированного общего подхода определены границы монотонной и колебательной неустойчивости диффузионного переноса ПАВ через плоскую и деформируемую сферическую границы раздела с учетом адсорбции Гиббса и поверхностных коэффициентов вязкости (дилатационного и сдвигового) и диффузии. Проанализирован случай "броуновских" капелек. В гетерогенных ситемах с искривленной свободной поверхностью раздела фаз обнаружено появление двух новых по отношению к отмеченным Стернлингом и Скривеном механизмов, "гасящих" возмущения.

3. Для изучения влияния формы полости на устойчивость и конвективное движение жидкости определены: пороговое значение градиента температуры при подогреве снизу шарового жидкого слоя; интенсивность внутрипоровой конвекции в неоднородно нагретой пористой среде и влияние тепловых деформаций матрицы на конвективные процессы в сферической и эллипсоидальной полостях. Результаты аналогичны полученным ранее Г.З.Гершуни и Е.М.Куховкцким с сотрудниками для плоских слоев.

4. В плане разработки новых методов ыекфазной тензиометрии решены несколько задач по определению равновесных форм капель, плавающих на поверхности безграничной жидкости. Для случая, когда плотность капли больше плотности внешней жидкости, а их

поверхностные натяжения на границе с воздухом удовлетворяют обратному неравенству, решены две задачи (плоская и трехмерная) о ветвлении равновесных состояний гетерогенной системы. Определена критическая масса капли, удерживаемой на плаву силами поверхностного натяжения. Обнаружено существование в определенном интервале значений параметров задачи двух равновесных форм капель - с выпуклым и вогнутым "зеркальцем". Определен коридор возможных значений поверхностных натяжений жидкостей, в котором они могут образовывать плавающие друг на друге капли. Исследован сценарий погружения капли, аналогичный процессу погружения смазанной жиром иголке в воду; равновесных состояний капли с "шейкой" не обнаружено. Решены также задачи о форме "легких" капель, плотность которых меньше плотности внешней жидкости. Показано, что жидкость, межфазное натяжение которой с другой жидкостью удовлетворяет "правилу Антонова", не может образовывать равновесных плавающих капель. Для больших масс легких жидкостей, разлитых по поверхности жидкости с меньшим поверхностным натяжением, вычислены форма меридионального сечения, толщина и горизонтальный диаметр капли.

5. На основе специально разработанной методики расчета конвективных течений в почти шаровой полости, проанализировало влияние гравитационной конвекции на дрейф Лемлейна. Показано, что при подогреве сбоку шаровой полости с растворяющей массив жидкостью конвективная добавка к скорости дрейфа направлена поперек градиента температуры вверх и пропорциональна числу Грасгофа. Также пропорциональна числу Грасгофа разница в скоростях нагретой и холодной стенки. В той же постановке, но при нагреве снизу, решена задача о конвективной устойчивости (монотонной и колебательной). Показано, что зависимость растворимости от температуры является дестабилизирующим фактором, уменьшающим критические числа Рэлея.

6. Разработан метод расчета формы шарового деформируемого включения в неоднородной жидкости без решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на римановых двумерных поверхностях, вложенных в трехмерное эвклидово пространство. На основе этого метода решены три задачи о дрейфе жидкого и газообразного включения в неоднородно нагретой и в стратифицированной по концентрации ПАВ жидкости. Методом

разложения в. степенные ряды по малому числу Марангони найдены поля скоростей, температур и концентраций, скорости дрейфа, формы включений в первых трех порядках, сделаны оценки критических чисел Марангони, при которых за дрейфующими включениями появляется вихрь, и определены границы вихревой зоны. Отмечен принципиально важный момент: внешние тела, поддерживающие градиенты температуры или концентрации ПАВ на бесконечности, не расходуют энергии на механическое движение, которое генерируется поверхностью. Показано, что в задачах о термокапиллярном или концентрационно-капиллярном дрейфе в области, где отношение конвективных членов к' вязким в уравнении Навье - Стокса много больше единицы, скорость достигает своего значения в набегающем потоке, так что оказывается возможным наложить граничные условия на бесконечности. Для объяснения результатов опытов по термокапиллярному дрейфу газового пузыря в горизонтальной ячейке Хеле-шоу проведен теоретический анализ задачи для трех отношений диаметра пузыря к толщине слоя кидкости.

7. Определено смещение кривой фазового равновесия, вызванное изменением формы зародыша и его анизотропией. Показано, что само по себе изменение структуры кристаллической решетки зародыша не может стать причиной образования области метастабильности вблизи кривой фазового равновесия.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И..06 одном точном решении уравнений нестационарной конвекции//Прикл. математика и механика. 1964. Т 27, Я.5. С. 959 - 952.

2. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. 0 возмущениях равновесия проводящий жидкости в шаровой полости в магнитном поле//Прикл. мат. и теор. физ. 1964, >54. С. 23 - 28.

3. Братухин Ю.К., Маурин Л.Н. Термокапиллярная конвекция в жидкости, заполняющей полупространство//Прикл. математика 'и механика. 1967. Т. 31, вып. 3. С. 577 - 580.

4. Братухин Ю.К., Маурин Л.Н. Равновесные фигуры вращающегося жидкого цилиндра//Прикл. математика и механика. 1968. Т. 32, вып. 4. С. 754 - 756.

5. Братухин.Ю.К., Шлиомис М.И. О спектре возмущений вращающейся жидкости//Гидродинамика Jfl. Пермь: Изд-во ПГУ, 1968. С. 99 -104.

6. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. О конвективной неустойчивости смеси в шаровой полости //Гидродинамика #1 . Пермь: Изд-во ПГУ, 1968. С. 75 - 82.

7. Братухин Ю.К. Об устойчивости неравномерно нагретой жидкости, заполняющей шаровой слой//Гидро динамика Jfö. Пермь:Изд-во ПГУ, 1970. С. 33 - 38.

8. Братухин Ю.К., Зимин В.Д. Неустойчивость диффузионного массопереноса через сферическую границу раздела двух жидкостей//Гидродинамика М. Пермь:Изд-во ПГУ, 1972. С. 43 -46.

9. Белоусова Н.К., Братухин Ю.К. О необратимых процессах в гетерогенных системах//Гидродинамика JK5. Пермь:Изд-во ПГУ, 1974. С. 249 - 263.

10. Братухин Ю.К. Термокапиллярный дрейф капельки вязкой кидкости//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. № 5. С. 156 - 161. (Перевод: NASA, Tech. Trans., NASSAT, 17093. June 1976, N5, P.94 - 99.)

11. Братухин Ю.К. К вопросу о равновесии жидких тел в электростатическом поле//Гидродинамика. Вып. S: Учен. зап. Перм. ун-та. Пермь, 1975. С. 128 - 132.

12. Братухин Ю.К. Конвективные явления в кидких включениях, дрейфующих в неоднородно нагретых твердых телах//Журн. прикл. механики и техн. физики. 1978. Ä 2. С. 160 - 166.

13. Белоусова Н.К., Братухин Ю.К. Влияние адсорбции на дрейф капли в стратифицированной жидкости/Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск:УНЦ АН СССР, 1979. С. 75 - 82.

14. Братухин Ю.К., Евдокимова O.A., Пшеничников А.Ф. Движение газовых пузырей в неоднородно нагретой хидкости//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. J6 5. С. 55 - 57.

15. Братухин Ю.К., Семенов В.А. Об условиях устойчивого равновесия диэлектрических шаров в электростатическом поле//Журн. эксперим. и теор. физики. 1982. Т. 83, вып. 6. С. 2170 - 2175.

16. Братухин Ю.К., Маурин Л.Н. Устойчивость термокапиллярной

конвекции в жидкости, заполняющей полупространство //Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, *1. С. 162 - 165.

17. Братухин Ю.К., Брискман В.А., Зуев А.Л., Пшеничников А.Ф., Ривкинд В.Я. Экспериментальное исследование термокапшшярного дрейфа пузырей газа в жидкости /Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.:Наука, 1982. С. 98 - 109.

18. Братухин JD.K., Маурин Л.Н. О равновесных формах капли нефти на воде//Инж.-физ. журнал, 1982. 5 с. Деп. в ВИНИТИ. 29.11.82. JK5909.-

19. Братухин Ю.К., Маурин Л.Н. О конвективных движениях жидкости в почти шаровой полости при подогреве снизу//Журн. прикл. механики и техн. физики. 1983. * 3. С. 69 - 72.

20. Безденежных Н.А., Братухин Ю.К., Брискман В.А., Зуев А.Л., Пшеничников А.Ф. Некоторые . задачи гидродинамики невесомости//5 Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Алма-Ата, 1984. Тез. докл. Алма-Ата: Наука, 1984. С.52.

21. Братухин Ю.К., Зуев А.Л. Термокапиллярный дрейф пузырька воздуха в горизонтальной ячейке Хеле-Шоу//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1984. * 3. С. 62 - 67.

22. Братухин Ю.К., Зуев А.Л. Термокапиллярный дрейф пузырька воздуха//3 Всес. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости. Черноголовка, 1984. Тез. докл. Черноголовка: АН СССР, 1984. С. 51 - 52.

23. Братухин D.K., Путин Г.Ф. О внутрипоровой конвекции при вертикальной ориентации осредненного градиента тешературы//Изв. АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1984, J6 1. С. 93 - 98.

24. Братухин Ю.К., Козлова И.А., Маурин Л.Н., Одишария Г.Э. Капельная модель отекания жидкой пленки//Механика многофазных и многокомпонентных систем: Сб. науч. тр. JS 200. М.: МИНГ, 1986. С. 168 - 179.

25. Братухин Ю.К., Семенов В.А. Электростатический подвес/ Авторское свидетельство J61285863 СССР. МКИ С 01. С. 19/24, ДСП 22.09.86.

26. Братухин Ю.К. Равновесие и устойчивость гетерогенных систем. Пермь: Изд-во ПТУ, 1987. 88 с.

27. Братухин Ю.К. О гомогенных фазовых переходах в органических полупроводниках // Органические . полупровод- никовые

материалы, J610. Пермь:ПГУ, 1988. С. 112 - 130.

28. Братухин Ю.К., Митин А.Г., Ощепков А.Ю. Расчет параметров акустического преобразователя на основе мелкодисперсных ферромагнетиков//5 Всес. конф. по магнитной гидродинамике. Плес. Тез. докл., 1988. С. 22 - 23.

29. Братухин Ю.К. Концентрационно-капиллярный дрейф капли в стратифицированной по концентрации поверхностно-активного вещества жидкости// Инж.- физ. журнал. 1989. Т. 57, JS 6.

C.946 - 950.

30. Братухин Ю.К. Устойчивость массопереноса поверхностно-активных веществ из капли во внешнюю среду//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. й 4. С. 10 - 17.

31. Братухин Ю.К., Макаров С.О. О конвективной устойчивости жидкости в шаровой полости//Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1992. й 3. С. 24 - 28.

32. Братухин Ю.К., Макаров С.О. Межфазная конвекция. Пермь: Изд-во ПТУ, 1994. 326 с.

33. Bratukhin Yu., Kosvlntsev S., Makarov S., Messeguer J., Rivas

D. Equilibrium shapes of liquid bridge model In Plateau-technique condltions//Abs. of Int. workshop "Non-gravitational mechanisms of convection and heat-mass transfer". Zvenigorod, 1994. P. 13.

34. Братухин Ю.К., Макаров С.О. О дрейфе капли, покрытой пленкой нерастворимого ПАВ//Тез. докл. 10 национ. Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1995. С. 46.

35. Bratukhin Yu., Kosvlntsev S., Makarov S., Ifesseguer J., Rivas D. Self-oscillations in liquid bridge model under Plateau-technique conditions//Abs. of 9 European Symp. "Gravity-dependent phenomena in physical sciences. Berlin, 1995. P. 172.

36. Bratukhin Yu.K., Makarov S.O. Convectlve stability of suspenslons//Abs. of 2 Int. Symp. "Advances in structured and heterogeneous continua. Moscow, 1995. P. 73.

Подписано в печать \5ЛЪ.<Ь5Формат 60x84 1/1 е. Печать офсетная Усл. печ. л. Ч^Ъ Тираж 100 экз. Заказ ЪЮ.

614600, г.Пермь, ул. Букирева, 15. Типография ПГУ.