Корректная постановка краевой задачи Римана с коэффициентом, имеющим разрывы почти-периодического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ И БАЗИСЫ

I.I. Пространство 3.jf(R;p)

1.2. Пространство

2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА

2.I. Случай вещественной оси

2.2„ Задача Римана:на гладком замкнутом контуре в пространстве

2.3. Корректная постановка задачи на окружности

2.4„ Случай произвольного замкнутого контура

3. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ.

3.1» Решение двумерных элементарных задач.

3.2., Корректная постановка одной двумерной задачи.

Пусть Г - замкнутый простой гладкий ориентированный контур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на два открытых множества f> и Fr , для кадцого из которых Г является границей. Через Fp обозначим множество, которое находится слева от контура Г . В дальнейшем ради простоты будем предполагать, что точка z = 0 £ Рр и Z = оо е р|; f

На контуре Г рассматривается краевая задача Римана a(h) ГЩ = f(t), ^Г /1/ где a(l) , l(i) - заданные на Г функции, и граничные значения на Г слева и соответственно справа искомой функции *P(z) , голоморфной на плоскости, разрезанной вдоль кривой Г . Идея конструктивного решения задачи /I/, в ограничительных предположениях относительно функции Q(-t) и -f (t), с помощью интеграла типа Коши была высказана Т.Карлемалом [бб] ещё в 1922 году, а полное решение задачи в пространстве Нуц(г) гельдеровских функций было дано Ф.Д.Гаховым [б] в 1937 году в предположении, что Ct(-t) €• M^(r) > a(t)+0. i^T . После этого были проведены её многочисленные исследования с целью ослабления требований, предъявляемых к коэффициентам задачи /I/. Обзор этих работ содержится в монографиях [б], [38] , [б2], [l4], [19] , [34], [зб] .

Основной результат при решении задачи /I/ состоит в том, что при [ Cirj Q-(-t)] г>0 задача разрешима при любой правой части, а её решение зависит от £ произвольных комплексных постоянных; при 96<0 задача всегда имеет единственное решение в случае её разрешимости, а условиями разрешимости являются \х\ условий ортогональности правой части некоторым элементам сопряженного пространства.

Зависимость числа решений от приращения аргумента функции a(t) отчетливо подтвердилась в работах Н.В.Говорова [7] , [в]; [9] , его учеников [з] , [48] , [49] и последователей [бО] , [5l] , [45] , [i] , появившихся в печати, начиная с 1964 года, в которых была рассмотрена краевая задача Римана на луче или прямой с бесконечным индексом. В этой задаче приращение Qrcjatt) при 0(5ходе контура Г равно too . Она была исследована при различном асимптотическом поведении функции argа(Ь). При этом основное свойство задачи Д/ состоит в том, что в случае "плюс-бесконечного" индекса однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоднородная разрешима при любой правой части. В случае же "минус-бесконечного" индекса однородная задача имеет единственное решение, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного числа условий ортогональности правой части. Фактически при этом изучалась задача Римана с коэффициентом , имеющим на бесконечности специальный разрыв второго рода, и её решение разыскивалось в классе ограниченных функций.

В 1968 году И.Ц.Гохбергом и И.А.Фельдманом [ll] был рассмотрен интегрально-разностный оператор Винера-Хопфа.Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в теории интегральных уравнений типа свертки появились вопросы, связанные с бесконечным индексом /см. также[бб]/. Оказалось, что указанный оператор Винера-Хопфа является односторонне обратимым в Lp(qoo) , но его ядро или коядро зависят, вообще говоря, от подпространства Lp[o,6] . Это явление связано с тем, что символ оператора имеет в бесконечно удаленной точке разрыв второго рода вида exp(tfa)/6>R /, который этими авторами был назван почти-периодическим. Вслед за этим И.Ц.Гохбергом и А.А.Семенцулом [12], [47] был: рассмотрен в пространстве Lp((~,k) сингулярный интегральный оператор с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов, построена для него теория односторонней обратимости. Эти результаты были дополнены в работах В.Б.Дыбина и С.М.Грудского [25], [1б], [1б] описанием ядра и образа указанного оператора и конструкциями обратных операторов. В этих работах, а также в диссертации С.М.Грудского [17] были установлены новые связи теории сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом с крутом идей М.М.Джрбашяна-Б.Я.Левина, относящихся к проблемам комплексной интерполяции и базисов в различных классах аналитических функций в пространствах Ц^, Lp , Ер . В частности, оказалось, что описание ядер и коядер сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, имеющими разрывы почти-периодического типа, может быть дано в терминах специального клао-са 3-р((<!,р) целых функций экспоненциального типа , принадлежащих на вещественной оси пространству Это пространство связано с известными классами Бернштейна В^ и Винера-Пэли W2 и систематически изучалось во многих работах / см., например,

Зб], [20] , [22] , [2l] , [43] /.

Ф.Д.Берковичем и Е.М.Конышковой [з] была рассмотрена краевая задача Римана с коэффициентом вида expfitfx) в классе ограниченных функций. В том же пространстве на замкнутом контуре С.М.Грудским [l8] б ни исследован общий случай задачи /I/ с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов. Отметим также работы [58], [44], в которых построена Ф~ теория сингулярных интегральных операторов а [р(Г, к.) с так называемыми полу-почти-периодическими разрывами у их коэффициентов. Мы не останавливаемся здесь на целом классе исследований задачи /I/, имеющей бесконечное число решений или условий разрешимости из-за особенностей контура Г / бесконечное число компонент, спиралеобразные точки и т.д. /. Наконец заметил, что проблема бесконечности решений и условий разрешимости особенно часто возникает в многомерных ситуациях. Одним из первых на это обратил внимание В.А.Какичев [зо], [ас], [32].

Принимая во внимание приложения и традиции теории дифференциальных уравнений, отметим, что для задачи /I/ в описанной выше ситуации является актуальным вопрос о её корректной постановке. Под корректной постановкой краевой задачи обычно понимается такая её постановка, когда задача безусловно и однозначно разрешима, а её решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных. На этот вопрос обратил внимание ещё Ф.Д.Гахов/[б], с.138-139 /. Устойчивость по отношению к изменению коэффициентов краевого условия непосредственно вытекает из того, что: I/ решение задачи даётся в явном виде через интеграл типа Коши, 2/ интеграл типа Коши есть оператор ограниченный и, следовательно, при малых изменениях плотности / в классе / получает малые приращения. Таким образом, в неисключительных случаях краевая задача Римана устойчива." / Здесь подразумевается случай краевой задачи с конечным индексом /. В зависимости от величины индекса может нарушаться либо однозначность, либо разрешимость задачи. В случае £>0 решение содержит произвольные постоянные, поэтому для достижения однозначности на решение накладываются дополнительные условия, а именно требуется, чтобы решение неоднородной задачи Римана /I/ удовлетворяло Ж условиям, при которых оно и его производные в произвольно выбранных точках принимают наперед заданные значения. ПриЖ<0, чтобы получить корректную задачу, т.е.безуоловно разрешимую, "возможно два пути: I/ ввести в свободный член краевого условия некоторые произвольные элементы, 2/ расширить класс решений, считая допустимыми в некоторых точках полярные особенности" / [б], с.139 /. Более сложный вопрос об устойчивости задачи /I/ по отношению к возмущению контура исследовал Л.АЛи-кин [58.1,

Особое значение вопрос корректной постановки имеет для задач с бесконечным индексом. Одновременно ясно, что он не может разрешаться так просто, как в случае конечного индекса, поскольку он связан с общими проблемами теории единственности аналитических функций и проблемами распределения их значений.

Пусть С - линейный ограниченный непрерывно обратимый справа оператор в банаховом пространстве X и dim. kerC=ocf система элементов Ц} ^ является базисом в КегС . Тогда существует единственный элемент подпространства КегС , на котором система функционалов tyJ^i* являющаяся биортогональной к {ej^ , принимает заданные значения. Таким образом, добавляя к уравнению задачу о моментах <х^>-Хк , K^Z , мы добиваемся единственности его решения. Если при этом X = (з^с-? лежит в некотором банаховом пространстве Xi и - 11 ty" + » то1да получаем непрерывную зависимость решения от исходных данных JpX, освХ^.

Если С - линейный ограниченный непрерывно обратимый слева оператор в банаховом пространстве X , тогда пространство X можно представить в виде ХОглС+МГ . Следовательно, для любого (j^X существует единственный элемент уf kerCА такой, что уравнение Cx=l|+lJy однозначно разрешимо в X , а его решение удовлетворяет оценке 11x11 £ СII

Вышеизложенное является основной идеей дальнейших построений, а из предыдущего видно, что задача корректной постановки связана с описанием ядра и коядра оператора, построением базисов в них и биортогональных систем и изучением коэффициентов разложения по этим базисам. Другой подход постановки корректной задачи Ри-мана с бесконечным индексом предложен В.Н.Монаховым и Е.В.Семен-ко [37] , [46] . Эти авторы исходят из описанного вше классического подхода и предлагают единственное решение задачи Римана выделять требованием его обращения в нуль в бесконечном множестве точек комплексной плоскости, не лежащих на контуре. В диссертации Е.В.Семенко осуществлена корректная постановка задачи Римана для полуплоскости с единственным разрывом у её коэффициента на 00 при достаточно общих условиях на тип бесконечного индекса. В данной работе мы рассматриваем частный вид бесконечного индекса почти-периодического типа, но решаем более общие задачи: конечное число разрывов, случаи компактного и некомпактного контуров, построение биортогональных базисов в ядре и коядре операторов, различные варианты корректной постановки задачи, обобщение на двумерный случай.

Остановимся подробнее на основных моментах нашего исследования. Через Р* обозначим проекторы следующего вида P± = ^(I±S), где S - сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на вещественной оси. Пусть ac^R, >,J>k€R KGVT • j>(x)= Itt+ir п loc-XKr . В пространстве 1-р(Й,р) рассмотрим следующую задачу

А 4>)(х) = (Р+А(х) + а(х)(Р>)(а) = {(х). /2/

В простейшем случае при а(х) = гхр(£6х)/ 6>о / получаем, КегА - ехр(Сбх)) P"(lf(ft,pY).

В связи с высказанными выше соображениями возникает вопрос об описании базиса в 3-p(R,p) . Эта проблема разрешается с помощью следующей теоремы, различные варианты и обобщения которой изучались многими авторами [59] , [33] , [54] , [Зб] , [21] , [22] , [43] . Через ^ обозначим пространство двусторонних последовательностей абсолютно суммируемых в степени р с весом Ь , где

Теорема I. При о sirifrfe+tfl] у И)"С„ R и*t сг сходится на R в норме LplR,p) , представляет собой функцию класса 3-p(R,p) и даёт изоморфное отображение пространства (р,$ на

Простым следствием теоремы I является построение биортого-нального базиса в следующего вида г<±(г]- 4-expltiSx)

В задаче /2/ коэффициент Q(oc) имеет разрыв на оо . Перенесение разрыва в конечную точку R получается с помощью действия на оператор А изометрических операторов вида

Mix)- скз) (ь'т-^^^-т), т

C = l3C+il pll|xm-ock| Г осуществляющих изоморфизм "банаховых пространств и L^ h\P й, V- 0, at*. , V5; где

Kim

П. р0=р-2-р -Zj)K . Так как операторы Ь" коммутируют с оператором 5 , то оператор А =Е> АЬ также имеет вид /2/ с коэффициентом А \ t6*

ClIx^x), у которого в точке Хт разрыв вида ехр^г^ , Заметим, что этот приём с использованием всей группы дробно-линейных преобразований позволяет изучить операторы, подобные оператору А на произвольных окружностях шеи прямых комплексной плоскости. Вместе с тем мы получаем возможность рассмотрения оператора А с конечным числом почти-периодических разрывов у функции а(х) , которую мы реализуем'при рассмотрении задачи Римана в пространстве LpCf^k) , где Г - гладкий замкнутый простой контур. В этом случае вопрос об описании подпространств КегА и со Jeer А связан с более общими, чем новыми пространствами Mf-to.t^.-.t^ аналитических во всей плоскости функций, имеющих конечное число существенно особых точек to,^,--."^ °о специальной асимптотикой поведения в их окрестности [15] , [1б]. Приведём здесь результат, доказанный в [l5] , [1б] для простейшего оператора.

Через Lp(^jL)обозначим пространство измеримых на Г функций, сум> г» мируемых в степени р , 1<р^оо, с весом L(-t)= Д^^П > "U6',

Пусть PrT = -|-(IiSr) , где Sr - сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на

Теорема 2. Пусть 6ГМ- аргумент направляющего вектора внешней нормали к кривой Г в точке t , argQe =9r(l0) .

Для того, чтобы отличная от тождественного нуля функция f(t) принадлежала Ker(Prf +ехр -^-Р"), необходимо и достаточно, чтобы т) = (i - mi где (Г, ^ аналитически продолжима во всю комплексную

- II плоскость i? , за исключением *=-t0 , являющейся для неё существенно особой точкой и исчезает на . В окрестности точки z=-t0 функция f(z) допускает следующие оценки

IttOl*const Г р ; r= Iz-U, larj(z-fc.)-9r(01*f; < const r p exp( -^r-cos[arg-U-10)-9r(-to4)],

При этом предполагается, что точка является узлом веса LGfe) с показателем Jb0 , .

Мы даем новое описание ядра оператора Дг , порожденного левой частью уравнения /I/ в случае, когда a(t) = i* ft ехр(С qfrfj ,

L^r, fad . 3E - целое число. Если аа)=П rf] и числа arwmln) таковы, что CLft) £ L^(f), имеем кегО, /4/ где Am= рг+ + cu(t) Рг~ • Далее, предложение / [1б] , с.38 / об устойчивости ядра оператора Ащ относительно любых гладких возмущений контура Г вне окрестности точки t^ , позволяет свести вопрос об отыскании кегА^ к случаю окружности. Наконец, эти рассуждения вместе с теоремой I позволяют построить базис в пространстве Рг(кегАг\ который в случае окружности является биор-тогональным. Мы детально останавливаемся на исследовании задачи для произвольной окружности по следующим причинам: I/ этот случай даёт вспомогательную модель для изучения случая замкнутого контура, 2/ случай окружности, как, впрочем, и случай прямой, позволяет строить простые базисы в ядре и коядре оператора, которые являются изометрическим преобразованием классического ортогонального тригонометрического базиса, 3/ и, наконец, случай окружности / как: и прямой / очень важен ввиду известных связей между краевой задачей Римана и уравнениями типа свёртки.

Переход с окружности на замкнутый гладкий контур Г связан с биортогонаяьными системами, метод построения которых указан в работе М.М.Джрбашяна [20] . Но биортогональные системы в данном случае сложны и мы даём некоторый набросок построения корректной задачи в данном направлении.

Техника тензорных произведений [бб] , а тазсже свойства целых функций экспоненциального типа ^ ■■■/») » принадлежащих Lp(Rh), [40],позволяет переносить описанные выше результаты на многомерный случай. Мы ограничились для демонстрации этих возможностей изучение двумерной задачи следующего вида

D^p-cp + + /5/

По аналогии с двумерной задачей стад 4 tS!1 <гад -1 г e<p+U) ♦ * г i? <*>--№.=и t-a^x

- целые числа, изучавшейся В.А.Какичевым [зо] , [31] , [32], оператор D всегда имеет замкнутый образ. Однако в зависимости от соотношений между числами 6L / с <н7б / могут возникнуть следующие ситуации: операторТ> может быть обратимым, односторонне обратимым, или иметь замкнутый образ, но при этом ядро и коядро его бесконечномерны. Подпространства KerD иСОкегФ могут быть разной массивности, т.е. зависеть от произвольной функции класса шш aj?»Lp. шш дажеЙрЫрЫЦ®

В связи с большим количеством различных ситуаций мы рассмотрели только типичные случаи задачи /5/, а корректная постановка осуществлена лишь для уравнения

I - Р") Ч> + а"(=с) ал*) ес<Гя Р""Ч> = |, /6/ на котором существо дела проявляется в достаточно общей ситуации.

Работа состоит из введения, трёх глав и приложения. В I.I описано пространство 2Lp(R;p), приведено доказательство теоремы I, которое опирается на схему доказательства Б.ЯДевина [Зб], и получено нами независимо от работы [2l] . В 1.2 определены пространства 3Lp(Rz), 3Lp1® Lp , Lp®3.p2 и найдены базисы в них. Глава 2 посвящена корректным постановкам одномерной задачи Ри-мана. В 2.1 описано общее решение задачи /2/ для полуплоскости, при этом бесконечномерное ядро оператора разложено по базису,* что позволяет, в частности, выделить единственное решение. Здесь также осуществлена корректная постановка смешанной задачи. В 2.2 рассматривается задача Римана с коэффициентом, имеющим конечное число разрывов почти-периодического типа на гладком контуре Г » получены формулы типа /4/, описывающие ядро оператора, в котором строится базис. В 2.3 осуществлена корректная постановка задачи Римана на произвольной окружности , а также рассмотрен парный оператор. В 2.4 даётся корректная постановка задачи Римана на произвольном гладком контуре Г в случае, когда все точки разрыва коэффициента задачи лежат на окружности, целиком расположенной в или Fr . В 3.1 рассмотрены четыре типичных случая задачи /5/. Описаны ядро, образ оператора и вид обратного оператора / там, где он существует /. В 3.2 осуществлена корректная постановка задачи для уравнения /6/ при всевозможных значениях С 61. v 2

В приложении рассмотрено уравнение TQX=| в пространстве ^ , где Та - те плице в а матрица функции L2(ro) , имеющей почтипериодический разрыв на единичной окружности. Для такого уравнения поставлена корректная задача.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [2з] , [24] и в работах [2б] , [27] , [28~] , [29 ] , выполненных автором совместно с научным руководителем. Результаты совместных работ принадлежат их авторам в равной мере. По материалам диссертации были сделаны доклады на Ш конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям / г.Черноголовка, Ногинский научный центр АН СССР, март 1981 г. /, на семинаре по интегральным уравнениям в институте экономики Ш УССР / рук. проф. Литвинчук Г.С. /, на семинаре по теории псевдодифференциальных операторов Ростовского государственного университета / рук. проф. Симоненко И.Б. /, на научной конференции Новочеркасского политехнического института / апрель 1984 г. /.

Ниже символами 4 и>> обозначается начало и конец доказательства.

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ И БАЗИСЫ.

I.I. Пространство Через Lp(R,p^ , тсф! / здесь п) будем обор> р> pjx) - IЗС41Г п0 /1.1.1/ значать банахово пространство измеримых функций, суммируемых на вещественной оси R в степени р с весом п к=о где -uj^p-i, -i<> + j|oAc <р-< .

Через обозначим подпространттво р± ( LP(R, РnS). г' т

Пусть Г0 - единичная окружность ИМ , tfc~tmL(iK-L)/(xK4t)]. Оператор Ьт , определенный равенством гкг/' /1.1.2/ осуществляет изоморфизм пространства L^^p^ на пространство ЩГоД) / [и] , с.35 /. Изометрия этих двух пространств имеет место, если А»-р-Ч ^ с„=£ р П1и-Ур

К = о и, И

J>=p-2 - IjbK * Обратный к оператору Ь^ имеет вид t-frr). Д.1.3/

Таккак S=£SrA , то L*CR,pJ = eC(L*(ro,[^.

Пусть р(х>р0(х). Линеал всех целых функций экспоненциального типа 4 б' /0 <б'<с>о д принадлежащих будем обозначать

- 16 -» а ^м = ^р ^

Основным результатом данного параграфа является доказательство теоремы X, Презде, чем приступить к нему, приведём ряд вспомогательных результатов и определений. В пространстве рассмотрим оператор Р+ + expiree) Р~ Д.1.4/ для которого справедлива следующая теорема.

Теорема I.I. Пусть (Е±Ч)(х) = exp(+ix<f)^(:c) . Если б>0 , то оператор А^ обратим справа в Lp(^p) , Ker (i - Е-<НЗ.р*^ = =(E-l) (с!рГр) .Если б<0 , то Atfi0 обратите слева, 1т\о= ( f tLpC^p)!

E'^j^x) е- Lp'(R,p)} • Обратный с соответствующей стороны оператор имеет вид А$0 = А-<$;0 •

В случае р^Н теорема I.I получена в [25] . Изложенная там схема доказательства верна и в случае пространства Lp(R,p). Кроме того, утверждения теоремы 1,1 могут быть доказаны с помощью теоремы 2, так как оператор А^ подобен оператору Аг = Р + + ч>[« Ш Рг; • А<0= в;\в.'.

Из теоремы I.I, в частности, следует в силу инъективности в пространстве ЦДр) операторов 1-Е'1 и E-I , что линеалы замкнуты в Lp(R,p) .

Определение. Классом /-Кр^оо / называется класс функций |(z) , голоморфных в полуплоскости Ц ЪО и удовлетворящих условию А

ШН4 = suj)( ji|(x4i^|pp(x4i^doc р сю

Через р+(*) обозначим такую ветвь многозначной функции р4(г)i. J>n J (z+iH ПС2-х,с) т . которая аналитична в верхней полуплоскости. Очевидно, что отображение F: Нр^-» Hp , действующее по пра

Ft!-) = р+(з) , есть изоморфизм. Из общего1 вида линейного ограниченного функционала в пространстве Hp вытекает следующее предложение: пространством, сопряженным к является пространство р^ . Это означает, что все линейные ограниченные функционалы из (Нр,+р)* имеют вид я

Пусть ^>0 .

Лемма I. Если с ? где tfObH^j,^ • то e.xp(c?6-)<f(z) е Н^ .

4 Покажем, что функция

1(2) - |Ь) принадлежит пространству Lp(R) . Заметим, что tyU) является целой функцией экспоненциального типа ^{f , так как по условию

4Ш Ipfj, .

Для достаточно больших сс имеет место неравенство л.

A h 2 h

I 1 lx-xK| > с Icc+il14-"'

Тогда

R -м -сю М

-м

2М max I V(х)|р + IXUM to х А

•М doc)^ + Ц(о)1 (j Пар")'У

-во

-d>o и м

-М

12. locu|p 1 C5

- oo M llfx)lp loc+L\P doc С

5 J

•M tfof ( 1 |(x)lp p(g')dq

L П 4 iW* П te-atJ

-oo 1 c,

1/2 ( M l|(a:)lp p(x)dx ^

L P oo llcx))Pp(x)dcc P И

-M

1 p

-60 с [\/2 i cx> X л M i. p Co

Ci +

Таким образом, SLp (R^) с Еу .На основании теоремы Винера

Пэли / [2] , с.179 / всякая функция jfe) , принадлежащая классу , допускает представление

9(2)^(0) + ^ Jei24(u)clu; 44 и) б L2[-<f;б]. б

Очевидно, что функция

Яб* cccci* щ Je ^(u-rtdu & LpfR4) .

Поскольку оба слагаемые в правой части последнего равенства аналитически продолжимы в верхнюю полуплоскость, то си(г) £ Покажем, что | ] U)l-fc)cbbU°° • Действительно,

Ж)сЫ = , г с* l(^-|(o)JL ехр(ад j(t)dt| * IJ е —i-at

-t

MzMdh с -fc

RM-m,M] ПгахИ'И! -+С, \ь\т r ы ct-u moxii'wi +сптил р / здесь ^ = ^ /. Тогда di li+U^pTc^ со

S[ ехр( i6x)<f fxj] = S [хсоСх)] + S[expU6x)]|(o) = fc i * + wpUCx) <f(o) = wft) oLfc + ос CJ(CC) + o)expU<>x) =4 I cJWcbfc + exp(i6x) <f(x).

Действуя ещё раз на последнее равенство оператором S , получаем, что S[eapU6b0f(a3] = ехр(сбх) f (х), т.е. ехр(с*г)?(*) е Hp*j> ► Лемма 2. Если if , то

P'J» ч i 1

Из леммы I следует, что ехр(Сбг)|(г) б Н^ . Воепользу емся следующим неравенством [57] но. ч J^l

ЪГ из которого вытекает утверадение леммы для (J>0 . Для lj<o неравенство выводится аналогично из свойств пространства Цр~ ► • Следствие. Пусть HtR . Бели ((г) т то j UMppix)dx ^ j | |(а>шУ|Рр(зс-и1нО dx . /i.i.b/

R R

4 Пусть IfrK Ipp • Тогда

H.) также является целой функцией экспоненциального типа ^(Г и, как следует из леммы 2, принадлежит пространству Lp(R, p(x+ilul)) . Рассмотрим функцию = = {(z+lR) р ^ (о:-* ily+Hl) • Из леммы 2 получим равенство R

Учитывая, что = Цх+in) р p(cc+lh) и полагая в левой части последнего равенства у=-Н. , получим неравенство /1.1.5/. ► Демма 3. Если , то для любого 2 = cc+i^ l|(z)l 4 А |2| eocpfclyl) + (0)| , где А - некоторая положительная постоянная. Так как [ - |(о)] /z £ E><r / см. лемму I /, то

I^UA exp OlLfl) / [2] , с. 184 /. Утверждение леммы следует из неравенств Ifc)!-^(о)| ^ | (2)-|(сй| ^ Alzleocpfctyl}. ►

Лемма 4. Пусть Ф(г)£Нр*р и W -последовательность точек, удовлетворящих условиям

1. О < t) ^ 1т \л с к ^оо ;

2. I An-AK1 > 2i) >0 ( ПФК) • Тоз^ца

4 Из определения класса Нр^ следует, что к

I \\ Ыъ)\*?{ъ)6б £ . ^mx4L^lpp(0CHy)dxcl^ кМцр . Д.1.6/

Так как функция ц>(г)р+(г>^(s) (i+ijf+t)"p П (ос+Су.является голоморфной в области у>0 , то функция 1^РСг)1 рр(г) есть субгармоническая в верхней полуплоскости и, значит, имеет место неравенство / см., например, [4] , с. 81 / г is-xj^i) из которого с учётом /1.1.6/, следует утверждение леммы. ► Леша 5. Пусть и - последовательность iv net точек, удовлетворяющих условиям

I. , 2. lAh-\KU2fl

Тогда при Ц > Ь,

IE UMPp(AK-bLK^CH)^U(x)|| ? . /1.1.7/

Ч Так как является субгармонической в полосе l3rn?Uk . то справедлива следующая цепочка неравенств

311)12 J J ||(Н# p(2+LM.) d*r k . 2k

1 j |fl(a+iij-tWlPp(i+i^+L(l-|-k))doccl^ ^

Zk || < 2k II |(0C-lk) p^(oc+L (tt-\$) II

Hf .--'Y Lp(R) г kcl\ Ux-Л) pWi tollPLp№) 42ксебкр( jRl|(x)|pp(oc)dxV сн II £ И Lpu,j>v

В последнем неравенстве использована лемма 2. ►

Следствие. Бели З-pfp и ^htl ~ нули Фун103^11 ф , , то где A-Jb + I^K. А

4Пусть HeR . Так как последовательностьpfA(£+Lk)/f|KI+'l) является сходящейся при 1к1-*©о , то для 1к1>М имеет место неравенство

С2(|К1+Л <С, ( П<|4^ . /1.1.8/

Последнее неравенство будет иметь место и для ||<UM , так как функция +4) является непрерывной на [-М,М]

Из неравенств Д. 1.7/ и 1.1.8/ следует утверздение следствия.► Доказательство теоремы I. Рассмотрим отрезок ряда /3/ ф у И'ск SLfiUCz+tyfl

Так как функция Ф^Ф * 3-р^р) , то из /1.1.5/ при H>maoc(q-tf) имеем p(x+in)dx) ^

Л К

I "1 / \К ip \ А. i ^ exp(2ffm-6yn J I1 plxt£H))p. /I-I>9/ функция w к + * It 6Hp*i > где и поэтому

HIU = Slid ЦчЧаУИхМх! -нрш '= < R f m г "А* С I

11 h*-™-1-^* 1 • /1Л-10/ Функция +(х) есть предельное значение функции голоморфной в верхней полуплоскости. Применяя теорему о вычетах к последнему интегралу ж используя лемму 4, получим m к—, па

R Л IЫХч-(? U(Н^Й U

3 1 /i.i.ii/ Из неравенства /1.1.8/ при Ak=TIicff и(у+н) получим p^A^pf V^H.) 4 iki+h) • Учитывая последнее, а также неравенства /1Д.9/-Д .1.Ц/ имеем г т \

Так как ( произвольные, то последовательность является фундаментальной, и, следовательно, ряд /3/ сходится в Lp(ft,p). а его сумма | (ос) t LP(R,p) , причем II 4 Иц^р) 6 С II ^

Покажем, что ряд /3/ представляет собой функцию класса .

Подействовав на него операторами Р* , которые ограничены в Lp(R р) , и учитывая, что n+f $1а№±^\-±Г + 1J

Р ПГ^Г J-2L cc-f+itf ~ ^hbf^Mbx) exp[i64tuVto\l -2expfee) expUtfCx+tyfl exp[-i6"(x-<-ty)]\ получим

Рассмотрим в пространстве Lp(R,p) оператор , определенный равенством /1,1.4/. Поскольку функция

Чт> 6 ' Ck сс- f + tg") € 3-p.f то по теореме I.I А = (1 - expf-ixff)4) fe mfx) s кег . В силу замкнутости КегА функция

Ф(х)-£пг Фе(>) = 0-ехр(-1сс^(Р+|)(х^ с кегА^ . и, следовательно, (Р+{)(х) €■ Э.®4 . Аналогично показывается, что

Г'Р

- 25

Р"Г)(*>а£р - Так как {[х) =(P%x)f то Таким образом ряд /3/ каждой последовательности ста~ вит в соответствие функцию , принадлежащую g.cг , т. е. даёт линейное отображение всего в З.р,р . Покажем сюрьективность этого отображения. Пусть {(?) - произвольная функция из . По следствию из леммы 5 - ^l^fpj- Ряд

•rf б' принадлежит пространству JLp^ и поэтому для него справедлива оценка | Х\ъ\ exp [б\у\) + 1г(о)1 / А>0 / / см. лемму 3/. Рассмотрим целую функцию г (г)

Г (z) =

Так как всюду вне непересекающихся кружков К^ радиуса R с центрами в корнях функции Stnfez+L^] выполняется неравенство / см. [36] , лемму I /

I sin [fffe+iyfll > CRexp[<T|^+y|] f CR>0, тогда для любых Z=X + ty вне кружков Kj получим

I H'WUcntelexpt-fl'l^+yl] +с2|г(н)1 eap[-<rij+tfl] « a Izl + 6, где а Л - некоторые положительные постоянные. На окружности

Iz-S- + Ltfl=R также имеет место нерайенство Жг)| игах (0. 14 ё) - а 1^1 + Е .По принципу максимума аналитических ll-Jj+CsUR функций получим, что внутри кружков Kj имеет место оценка

MjrVCffUR

По обобщенному принципу Лиувилля получим, что ^(2) - Р,(г), где Р,(?0 - линейная функция. Тогда

Так как функции |(х) и Ф) принадлежат пространству , то последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда Р,(2-)=01» Таким образом,

Следствие I. Пространство замкнуто в метрике Lp(R^p) и представимо в виде прямой суммы своих подпространств = Р^(Х^) и = Р (<ЦрУ

Следствие 2. Система функций

SiriUCz + lfffl I ( R) образует базиа в пространстве .

Следующее предложение дает метод построения биортогональных базисов в подпространстве U^p .

Предложение I.I Пространство изометрично любому из гч <г± г г подпространств dp,p. Рассмотрим отображение (A+f)(x) = expfyj {(х) и покажем, что оно изометрично действует из в Ipfp . Для этого достаточно показать, что А+ осуществляет биекцию 1р*р на . В самом деле, если , то функция

Ш) - Jlo) С

II* (ь) см, лемму I / и, следовательно, имеет место представление Г 1

1Ы)= |(о) + гт + ^ I е'гЧ(и)сЦ +(a)« Lj-f.fl. 2

Тогда функция

А^Н-^Й-е^М+ге'т+лЙ J * V(u-f)<Aa о представляет собой целую функцию экспоненциального типа ^ & . Рассуадая аналогично доказательству леммы I, нетрудно показать, что . Аналогично показывается, что обратное отобра

4 /Г О б + жение (Аf)(x)~eocpf- )ilx) произвольную функцию из переводит в функцию пространства l£p .

5"

Вводя отображение А: —* , действующее по правилу

А{)(ас) --ехр(~~2Г )1(ос) , можно показать изометричность прост

Г 1 ' ранств и . ►

Следствие. Отображение (E{)fe) =ехр(С^|й /Е: / является изометричным.

4 Оператор Е можно представить в виде произведения изомет-ричных операторов Е. 3 А+Al

Предложение 1.2. Пусть б>0 , ^ R , K*Z .

Системы функций

С \ - €Хр[-1(Г(хну)]

Х- \ к

-i - expli^a-ny)]

Н^" х

1.1.12/ а О - q 6 + jr„„ * * Р'Р И Р'Р '

Биортогонаяьная к е^Сх) система функций имеет вид г, \ 1 пС(гЛ- 4 - ехр[-1бЧзс-СуД —j Первое утверждение следует из предложения 1.1,т.к. А

I Зт[|Ы^]\ ^ / stn[f (x+ty)] j, t^W^e АЛ x-sps-fty

Нетрудно видеть, что функции , eftc) принадлежат пространству L2UQ ., Пусть

Uw преобразование Фурье функции f(x) . Имеют место следущие равенства

-27)10. ч б" t'

- Г.С

V(PKe

Поэтому

K'^bJeJWgjWdx

-29[1Рс-од№е * J, Рс.одие J)=?Je

Следствие. Системы функций

KC.Z /1.1.14/

Р <г / у. Siriffx /1.1.15/

X-Tlk^) > образуют биортогональные базисы соответственно в ПОДПрОСТраНСТ-ряг Ч ( 3 Г r'j1 *

I.I. Пространство dLp(R2>).

Пусть R - вещественная плоскость. Алгебраическое тензорное произведение Lf(e)®Lf(R) вложено в Lp(RiV) . 0тождествим1р(Ю®1-р^ с его образом при этом вложении. Тогда пополнение L^lR)® Lf(R), которое обозначим , по норме пространства Lp(£z) даст всё

Lptp) Таким образом, существует изоморфизм пространств Lp(ft)®Lp(W и ЦЙ1) такой, что {©(^(x.^foO и

ОООо . ^

Пусть А , Ь - линейные ограниченные операторы в Lp(R) . На тензорном произведении Lp(R)® оператор А® Б определяется следующим образом: для элементов вида полагают (А® В)(f ® А{ <8 frf .На элементах вида доопределяют оператор А®6 так, чтобы он был линеен. Оператор А®В , заданный на алгебраическом тензорном произведении, является ограниченным, линейным, однозначно определенным отображением. Он продолжается до линейного ограниченного оператора в Lpf Rx):

В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

- 30

Предложение 1.3. Пусть А - линейные ограниченные ^операторы, действующие в банаховых пространствах! , Ч и А®В*. . Тогда = 3mA$3ra6.

Так как на алгебраическом тензорном произведении 3m(A® ЗтА®Зт.Ь, то ЗтА®ЗтЬ . Тогда замыкание по норде дает следующее соотношение Зт(А&Ь) =>ЗпгА С другой стороны, так как Зт(А®Ь)0(®Ч , то Dm (А® Й с 3m А ® Зтв>

Замечание. Если операторы А , Е> имеют ограниченные обратные, то 3m(A ® = ЗтА ® Зтв.

В дальнейшем пополненное тензорное произведение будем обозначать®.

В пространстве Lplft1), рИ , рассмотрим операторы сингулярного интегрирования ро -оо и проекторы Р11 = (I ± S,) (I i $2у

Пусть Г++, Г4", Г~+ , Г"~ - трубчатые области (Эпгг,>0, 3mZz>o}, {Зт^Зтг/о}, 13"И<<0,1т?2>0}, bmVO, Jm?2<o}. Через Цг($= обозначим пространство функций аналитических в трубчатой области I "" и суммируемых в степени р на остове Umi^O, 3т?2=0. Пусть 6^/Д , б->0 . Через обозначим кяасс целых функций экспоненциального типа ^(Г , которые, как функции от действительного х^зсДпринадлежат Lf(Ra) . Известно [40] , что 9Lp(R*) есть подпространство пространства Lp(ft2). Следуицее предложение даёт интегральное представление функций класса Xp(R2). Предложение 1.4. Пусть

A^ilocjUfiT- ,

Если , то l2U чадe—du^u,, /х.2,1/

-б",-б^

ГЛ И где UZ^U^ + Uj^j.

Покажем, что функция f ? ^ = ^(O^aV ? 4- l(O.O) € /^б" ^

Так как функции {(о.г^ , являются целыми экспоненциального типа ^б". по соответствующей переменной [4] , [40] , то Yfe^ также есть целая экспоненциального типа ^бЧб^О -Используя неравенство Бернштейна / [40] , с. 115 / и ограниченность функции f (х) на R2 , имеем о со h fi ^ т 'Я "г£

- оо -со

-оо - оо

-е, £г 00 и f f + -во -оо-е2 -оо е2 % ь» С)Ч I2 * ii6ft2 sup | ^se; ok-R* \ 00 * 00 ^ i I N^M* (111 а

•оо -£, i-,2. + f ^iss^bMd^4. (j pbSbMj^y, гьг 1 1 ert, ' г oo oo

4C,| j SmmWm- * ^А^&.ГЧ^Й аЧ г I 1

С!зс2 V loc2+il

Oo - оэ oo

XtR2 dxi Vz 1 c5 Suf j ад \ J Ia2+L]2 oo

-oo

ЭС& к

0^X^ N 2 oo 4 sop i ax. Ф o

-oo с sugj * taOl ^

Таким образом, t![((?) . По теореме Винера-Лэли / [40] , с. 109 / имеем

KL/r v ill tU.^ + UlA.

J oMu,

-6-1Л отсюда следует представление /1.2.1/. ►

Теорема 1.3. Если , то , Sj , S.U принадлежат классу ^.plR2).

Одномерный аналог теоремы 1.3 доказан в [25] . Сформулируем его.

Теорема 1.4. Пусть , 4<f><oo .Тогда fWdi

Доказательство теоремы 1.3. Подействуем оператором Si на

-О0 i ( jWo^XH

-ь u, f oc<doc., [ f

-OO

4(ос,, ^ -1(0, Ц2)~ I f (0,0) d + oO

J i

-OO o3 £

Нг JJfeg". jJ/M " A - * (o,j/,)- |(4o). I (hoh j «йц,^^ е.муШХ du+k oo

-OO

Из теоремы 1.4 следует, что 1р1(Й) . Покажем ограниченность последнего интеграла

СО

4-I!

-©О t] +] | 4 t -I

-г doc, + сЛ | J

-оо сJ| «щЦ dx, ЛI +1| iib^LJl^j i3f 1 -t -е

OO atsapj^ R

-oo со °° . р dxt \ Р ,г - х

5 - со -оо

Sap

I Xt ft i

В последнем неравенстве использована оценка нормы целой функции экспоненциального типа < (Г , исчисленной для подпространства R с f через норму её, исчисленную для всего пространства / [40] , с.131 /. Таким обр азом,

6< (>г

Следовательно, (S^) (г) есть целая функция экспоненциального типа , С другой стороны, • Аналогично доказывается, что (S2i)(x)с и поэтому

Следствие. Проекторы Р" определяют в подпространства

Теорема 1.5. ^(ft^ = гр е j , f{>0 .

4Покажем, что * . Пусть Ip'e ^ .рассмотрим последовательность конечных сумм

L-'t где lj[4R) , IK^G^fr) .Так как и iiii^^iim it/te * то в силу замкнутости в класса

Докажем обратное вложение . Пусть

При фиксированном функция |(г,г2) является целой функцией экспоненциального типа по переменной z2 / [4] , [40] / и так как / [40] , с.157 /

- 35 то функцию можно разложить в ряд / см. теорему I / fa) = Z w ,

1.2.3/ где система функции ICr^j имеет вид /1.1.15/ и образует биорто-гонаяьный базис в пространстве а е>о

U^Ufe.oO (fSxt)dx2 . заметим, что Так как при интегрировании на [-М,М] по переменной хг целой функции по двум переменным получается целая функция по переменной г / см.

L6]c.I?/, то м является целой функцией и для кавдого к £ Z || ^^(зеОИц,^ оо м

Х1г*г) Gr/foC^ Ахг\ dx1

-во -М о м м х р \ 1

4J1i^lVrdxj^iiGSi \\м

-во-м -м k Lp(R

Функция ^„tei) имеет тип . Действительно, так как для любых г,

ЛМ

И С: =

1? Ъ'{(о.ъ)гб,, \ , I. I J 4oc2)dx2l «

-м

М LP И

-м - м м м А,

4>км(г,) 4 А I "ЛГ = Aexpf^lz,!4).

Следовательно, для кавдого фиксированного „к" последовательность vf>KM(?1) £ 3Lp (R) и так как она равномерно ограничена в метрике Lf(R), то функция также принадлежит

3Lp(R)/ см* теорему о компактности [40] /. Из представления /1.2.3/ следует, что 6 в ^, у Следствие. = 3.J14 в ijK

Определение.Будем говорить, что последовательность функций iom^W. ести {ll(4W{p

Если f-txbcr2^Lp(R2) , то из теоремы Фубини следует, что f/x^o^Lpte) по одной переменной для почти всех значений другой переменной. Если, кроме того, f(осч>осг^3m Р^" / f(x1txz)£ JmP" /, то в силу равенств $«Р**=Р*± , S/-* {(ад^М / fe^c- L'CR) / по X, почти для всех Х2. Аналогично, используя свойство S,S2eSeS4, нетрудно показать, что S2 Р+*, S2P*~=-P+Z и, следовательно, если fea^&lj^RV Lp-fRV, то почти для всех ос, по х2 4(x<taa)e L: (Я) /.

1 ^

Рассмотрим тензорное произведение пространств 3^'eLp. Оно состоит из функций, принадлежащих Lp(Rl), которые почти для всех значений второй переменной являются целыми функциями экспоненциального типа по X,. Действительно, пусть } Lp , тогда

7- I/ при фиксированных а, представляет собой целую с=ч ' 1 ■ функцию экспоненциального типа^б^ , принадлежащую по х, Lp(R) .

Пусть ^(Vi^lp^Lp, тогда

Ц 4(х,,хг) - i It (х.и'Сх^^^г^О,

- 37 и, следовательно, по почти для всех ос, [39]

Ц(х4,ОС2) - I fr(z^taJ^^O, /V--.

В силу замкнутости пространства 1^ в метрике LpG0 получим, что почти для всех ос2 является целой функцией типа ^ . В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

Предложение 1.5. Если функция tf(3c)e lp<4® Lp » т0 она пРеД" ставима в виде ряда f (хьос2) ^ I e^faocf (ос2) , /1.2.4/ обракоторый по сходится в метрике L(R) . Функции зуют биортогональный базис в пространстве lp'4 и имеют вид /1.1.14/

1ск*(зО} LP), Сад (с; ад) аналитически продолжимы в верхнюю / низшюю / полуплоскость и определяются следующим образом оо

С± ta>V3r? (ffiY ,ас2)= j %с.А) ef /1.2.5/

- оо

4 Доказательство проведём для случая Up • Представле-/ I г ние /1.2.4/ почти для всех х^ имеет место в силу теоремы I. Из этой же теоремы • с ДРУГОЙ стороны, умножая ряд /1.2.4/ на е^-^) и интегрируя его, получим, что

С~(х2) определяется равенством /1.2.5/. Аналогично тому, как это сделано в теореме 1.5, можно показать, что

Проверим, что Т .,\»м . откуда будет следовать, что с;(хг) - Действительно,

Jxz+i)n

1.2.6/

СО |Г г / .\п~4

-СО

Т , Т {Хг+i)"'' J e>o -oo ^

Здесь на предпоследнем шаге применена теорема Фубини, так как со е><* llel-te^ldx, j dx2 < IM CRt)lle^xi llg^r'

-OO -oo \J V

Равенство нулю последнего интеграла в /1.2.6/ следует из того, что функция ^(зс«рС*\ почти для всех х, по принадлежит Lp(R") . Из леммы 5 следует, что почти для всех х2 выполняется неравенство л/ 00

I lc;W|p й A j Wx^x./doc,,

А к=м постоянная, не зависящая от х2 . Тогда к/ 00 ^ ы z j icjrfdx, = S lj^fdxz * А и 11^

Скг)

Устремляя: , а/^оо , получим [сдх^^ * ?p(Z,Lp)>

Теорема 1.6. Пусть функции e^-fx.) определяются равенством

1.1.14/. Система функций является биортогональным

6++ базисом в lp'(Ra) .

4 Система функций биортогональна. Действительно,

ОО со ~С<> оо оо.

О,

- 39

Пусть S - замкнутое пространство, натянутое на семейство Элементами его являются ряды j^^fy^* A

Оценим

II ^Т СоЛ Г1 ? ^ ■

Рассмотрим при фиксированном эс, следующий интеграл оо мг ru \ с in -sri*1 J IP

11(1 Cj (хг) 1 dx2 * с, I 11.

-oo 0 ° """

Последнее неравенство следует из базисности 1е^ЧсО^ в пространстве <1рг~ и изоморфности последнего пространству . Проинтегрируем это неравенство по ХА , получим

11 Vmw 4 № УЧ e^l'dv

-©о иг к с, I 1

Г j=-m IC=-n 0 ^

Рассмотрим конечную сумму Т. ® (х) , где . Покаt=*< d Г жем, что любой элемент этой суммы содержится в «5 . Отсюда будет следовать, что пополнение алгебраического тензорного произведения, т.е. любая функция , также принадлежит s , что означает, что |(г) предетавима^ввде ряда ZoL^i?®^14), сходящегося по норме причём сХк rl ffe. '^±)(x)clx.

Для функций d-p " имеют место разложения f Ч , f fo- I С еНх2), к*I мг где Д Z Iс* Спмр *00 • Следовательно, в 5 существует ряд

Z Z^c'te^-M llAf=

К** и-.м |irL м LpCR v м „ М

II fix,) Гад - ft* jl С* e„4ta) + ? '(*,) I Сп & (хЛ

-Z X »r(xJlL Ц%сА<zl&xjfc n=-M <=-L / Lp и=-м Lp

1|£с„ге^М1 ft fto-IcieM,>

1. АЛЕШ) А.Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова.- Изв. АН БССР, 1980, № 1. 51-58.

2. АХИЕЗЕР Н.И. Лекции по теории аппроксимации.- М. Наука, 1965.- 408 с.

3. ШРКОВИЧ Ф.Д., КОНЫШКОВА Е.М. Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Сообщение Ростовского мат. общ., Ростов-на-Дону, 1968, 158-164.

4. ШАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.- М., Наука, 1964.- 412 с.

5. Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана.- Мат. сборник, 1937, 2/44/, Л> 4, 673-683.

6. ГАХОВ Ф.Д. Краевые задачи.- М.,Наука, 1977.- 638 с.

7. ГОВОРОВ Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1964, 154, Ш 6, 1247-1249.

8. ГОВОРОВ Н.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1965, 159, № 5, 961-964.

9. ГОВОРОВ Н.В. Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка.- ДАН СССР, 1968, 182, & 4, 750-753.

10. ГОРДАДЗЕ Э.Г. О сингулярных интегралах на негладких линиях.- Тр. симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, Мецниереба, 1974, 2, 74-85.

11. ГОХБЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И.А. Об интегрально-разностных уравнениях Винера-Хопфа.- ДАН СССР, 1968, 183, № I, 25-28.- 109

12. ГОХЕЕРГ И.Ц., СЕМЕНЦУЛ А.А. Теплицевы матрицы, составленные из коэффициентов Фурье функций с разрывами почти-периодического типа.- Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1970, 5, вып.4, 63-83.

13. ГОХЕЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И.А. Уравнения в свертках и проек-ционнве методы их решения.- М., Наука, 1971. 352 с.

14. ГОХБЕРГ И.Ц., КРУПНИК Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений.- Кишинев, Штиинца, 1973.- "427 с.

15. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В.Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у её коэффициента.- ДАН СССР, 1977, 237, № I, 21-24.

16. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В.Б. Краевая задача Римана в пространстве Lp(r,р^) с почти-периодическими разрывами у её коэффициента.-Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1980, вып. 54, 36-40.

17. ГРУДСКИЙ С.М. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в классах суммируемых функций. Кандидатская диссертация, РГУ, 1981.- 118 с. •

18. ГРУДСКИЙ С.М. Краевая задача Римана с разрывами почти- периодического типа в классе Loo (Г) В сб: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Элиста, 1982, 30-41.

19. ДАНИЛ ЮК И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., Наука, 1975,- 295 с.

20. ДЖРБАШЯН М.М. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши. Изв. АН Арм. ССР, 1973, 8, }£ 5, 384-409.

21. ДЖРБАШЯН М.М., РАФАШ1ЯН С.Г. О целых функциях экспоненци- но ального типа из весовых классов Lp . ДАН Арм. ССР, 1981, 73, В I, 29-36•

22. ДЖРБАШЯН М.М. Интерполяционные и спектральные разложения, ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка.- Изв. АН Арм.ССР, 1984, 19, № 2, 81-181.4

23. Д0Д0Х0ВА Г. В. Об одном двумерном аналоге краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Ростов н/Д.- 23 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 26.08.83, В 4679-83 Деп.

24. Д0Д0Х0ВА Г.В. О теплицевых матрицах, составленных из коэффициентов Фурье функций, имеющих разрывы почти-периодического типа.- Ростов н/Д, 1983.- 10 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 3.10.83,5141-83 Деп.

25. ДЫБИН В.Б. О сингулярном интегральном операторе на вещественной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: Теория функций, дифференциальные уравнения и их приложения.Элиста, 1976, 98-108.

26. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом коэффициента.- Ростов н/Д, 1981, 44 с. Рукопись представлена Ростовским университетом. Деп. в ШНИТИ 3«04;.81, В 1497-81 Деп.

27. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом- Ill коэффициента.- В сб.: Мат. анализ и его приложения. Ростов н/Д, РГУ, 1983, 12-22.

28. ДЫЕИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г.В. Корректная постановка краевой задачи Римана на замкнутом контуре в случае почти-периодических разрывов у её коэффициента.- Изв. АН Арм.ССР, 1983, 18, № 5, 380-393.

29. КАКИЧЕВ В. А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- В.сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1967, вып. 5, 37-58.

30. КАКИЧЕВ В.А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- ДАН СССР, сер. физ.-мат., 1968, 178, № 5, 1003-1006.

31. КАКИЧЕВ В. А. Вырожденные двумерные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши для бицилиндрических областей.В сб.: Теория функций, функциональный анализ и его приложения, Харьков, 1969, вып. 8, 25-28.

32. КОТЕЛЬНИКОВ В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи.- Мат. к 1-ому Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933.

33. ЛИТБИНЧУК Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.- М., Наука, 1977.- 448 с.

34. ЛИТВИНЧУК Г.С., СПИТКОВСКИЙ И.М. Факторизация матрицнйунк-ций.~ Одесса, 1984,- 460 с. Рукопись представлена ин-том экономики АН УССР, Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2410-84 Деп.

35. ЛЕН® Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа.- В сб.: Математическая физика и функциональный анализ. ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1969, 136-146.- 112

36. МОНАХОВ В.Н., СЕМЕНКО Е.В. О корректных постановках 1фаевых задач сопряжения с бесконечным индексом для квазианалитических функций.- В сб.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск, Наука, 1984, 91-101.

37. МУСХЕЛИШВИЯИ Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М., Наука, 1968.- 511 с.

38. НАТАНСОН И.П. Теория функций вещественной переменной.-М., Наука, 1974.- 480 с.

39. НИКОЛЬСКИЙ С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М., Наука, 1977.- 456 с.

40. НИКОЛЬСКИЙ Н.К., ПАВИОВ Б.С., ХРУЩЕВ С.В. Безусловные базисы экспонент и воспроизводящих ядер.- Ленинград.ЛОЖ. Препринт Р-8-80, Р-9-80, Р-Ю-80, P-II-80, 1980.-174 с.

41. ПРИВАЛОВ И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.,Наука, 1977.- 444с.

42. РАФАсйЯН С.Г. О базисности некоторых систем целых функций.-ДАН Арм. ССР, 1980, 7, № 4, 198-204.

43. САГИНАШШ1И А.И. Сингулярные интегральные операторы с полу-почти-периодическими разрывами у коэффициентов.- Сообщ.АН Груз. ССР, 1979, 95,№ 3, 541-543.

44. САДРЫГАЙ10 И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- ДАН БССР, 1975, 19, В 10, 872-875.

45. СКОМАХА Л.Н. Об одном сингулярном интегральном уравнении с бесконечным индексом для случая аналитического ядра.-Литовский мат. сборник. Вильнюс, 1976, 161-177.

46. СКОМАХА Л.Н. Сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом для случая,'.■когда ядро есть целая функция. Новочеркасск, 1981. Рукопись представлена Новочеркасским политехническим институтом, Деп. в ВИНИТИ 18.05.81, 21 с. В 2307-81 Деп.

47. TQI04K0 М.Э. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, серия физ.-мат., 1969, № 4, 52-59.

48. ТОЛ ОЧКО М.Э. О разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, 1971,3, 31-38.

49. ХВЕЩЕЛЙДЗЕ Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр. Тбилисского мат.ин-та АН Груз. ССР, 1956, 23, 3-158.

50. ЧИКИН Л.А. Об устойчивости краевой задачи Римана.- ДАН СССР, 1956, III, В I, 44-46.

51. SarasonD. Toepfctг operculars wi^L Se.rn.i- cdtnosb- 114 periodic symbols.- Duke Matk.

52. RocMery R. JotplcЫ operators о^ ujecqlttd Hp spaces -Indiana Unitf. Z\, л/2, ZQ4-29S.

53. Wkittacker £.T. On iU functions ьЛихк are nprtzvdedU expansions of ik interpolation ШогиProc. Rou обе. £скпёи,грк, 4945,35- Шр. 1

54. Sckattm R. a theory, of cross-spaces.-PrCnstborv lirLiversib^ Press, ^9b~0. -f45p.