Краевые задачи с бесконечным индексом для эллиптических систем уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ .*.

ГЛАВА I. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

§ I. Предварительные сведения из теории функций.

§ 2. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 3. Постановка задачи. Классы Ш , $

§ 4. Двойственность классов Ш , % .Решение однородной задачи.

§ 5. Решение неоднородной задачи. Устойчивость.

ГЛАВА 2. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ ПОРЯДКА ft< /

§ 6. Постановка задачи.

§ 7. Класс N (

§ 8. Решение однородной задачи.

§ 9. Решение краевых задач.

ГЛАВА 3. КЛАССЫ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО

СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА.

§ 10. Постановка задачи. Класс Ар

§ II. Класс Н{а,р)

§ 12. Решение однородной задачи.

§ 13. Решение краевых задач.

ГЛАВА 4. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СТЕПЕННЫМ ЗАВИХРЕНИЕМ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ.

§ 14. Постановка задачи.

§ 15. Дополнительные свойства канонического решения.

§ 16. Общее решение задачи,.III

§ 17. Коядро оператора А

§ 18; Постановка краевых задач. Устойчивость.

ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ QU) € Ш

§ 19. Постановка задачи. Случай "нулевого индекса".

§ 20. Случай "бесконечного индекса".

Краевым задачам сопряжения для решений эллиптических систем уравнений первого порядка (в частности, для аналитических функций) посвящено большое количество работ, обзор которых содержится в монографиях I - . Основное направление теории связано с изучением задач с конечным индексом, имеющим большое практическое значение. Для задач сопряжения аналитических функций один из общих результатов соответствующей теории можно, не вдаваясь в подробности определения контура L и граничных данных, сформулировать следующим образом: для корректной постановки краевой задачи сопряжения fit) = + UL (0.D необходимо задать конечное число дополнительных условий вида

9 5 %пь) =■ 0, ' (0.2) где либо Z ) есть функционал от решения ($2 0) , либо (0,2) представляет собой необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (0.1) ( <£< 0 ), при этом решение задачи (0.1, 0.2) выражается формулой [I - 2]

0.3) гги }£{t)(t-z) и где Х(Я) - некое специальное (каноническое) решение однородной [д = 0) задачи (0.1) с нулями (х^0) или полюсами (se<0J в точках Z ; в случае $<q Ят) = У(%т) (если кратность полюса Zm функции Х(£) больше единицы, то в 0 входят и производные от V[z) в точке Zfn соответствующего порядка; возможно

Zm- оо ). при этом X равно индексу Кош функции

G(i) (frit) Ф 0) ; так при L - гладком, ос>0 a? =lnd£(i) = у-г \dtnG-it) = АщШI (0.4) lib T £ *tt L ' b а в других случаях (например, когда - разрывна) индекс а? можно определить с помощью различных модификаций формулы (0.4) (см. [1-2, 4-5]).

На этой основе при as выписывается общее решение задачи (0.1)

8Е+/| =<£(*>+2 (0-5) т m-i где Фо (я) - вида (0.3); (г), -система линейно независимых решений однородной задачи, „ к=-т

Ф (Z = < кК hi кт 1

С^/Я; а при а?<<? можно дать корректную постановку задачи (0.1) с помощью введения в правую часть (0.1) линейной комбинации системы функций с коэффициентами, подлежащими определению: г+/1

Ф{{) (о.б) we = C [I - 6].

Аналогичные результаты имеют место и для задач сопряжения решений эллиптических систем уравнений, где также условия (0.2) определяются индексом Коши функции Q(i) (см. ЦЗ, 43).

Задачами с бесконечным индексом называют задачи, в которых в (0.4) формально а? = оо . Систематическое изучение подобных задач для аналитических функций начинается с основополагающих работ Н.В.Говорова [7 - 123 . Неоднородную задачу (0.1) Н.В.Говоров рассматривал на луче Z=[/,oo) , когда G(-6)=-exp{{<f(t) i^} , р>о , iffabC^iL) , oc>j>/(f+<f) и ср(+оо)=Х£0 . Фактически было доказано, что если решение однородной задачи X {%) удовлетворяет условиям:

I Х~ ( <Af ; ±Ш(*иМь±%>0, то при ^-(оо) —Q с помощью формулы (0.3) можно найти ограниченное решение (0.1), при этом в случае Х<0 получим условия разрешимости (0.2), где zm- полюса Х(£> . Таким образом при исследовании неоднородной задачи (0.1) основной вопрос состоял в построении решения однородной задачи Х(я), удовлетворяющего (0.7), для чего строилась специальным образом последовательность его нулей (%>0) или полюсов [%< О) • При этом X(Z) имело вид:

Х(г) = [F(z)\ ессрг(Z), ±%>0) (о.8) d n±t

Г(%) --V ——--dt,

0.9) р ^ у - целое; a F{%) - некая целая функция с асимптотикой при "такой же", как асимптотика ехр ( + F(Z)} (± Я/> О) , так, чтобы X (z) ввда (0.8) удовлетворяла (0.7) £8-9, 12] . Отметим, что фактически аналогичная ситуация имеет место и в случае конечного индекса, при этом асимптотика QXp\ \ Г(Ю| ( ±&>-0 , у — О ) "такая же", как j многочленов F(z) , deyF = |se| [i - 5].

Путем исследования произведений вида (0.8) изучались Н.В.Говоровым и различные классы решений однородной задачи (0.1) [7, 10 - II] .

Подобный же подход - построение решения неоднородной задачи (0.1) с помощью Х(#) с условиями (0.7) и исследование однородной задачи с помощью представления (0.8,0.9) -характерен и для последующих работ по задачам с бесконечным индексом для аналитических функций Ql3 - 29] , некоторые из которых фактически посвящены только исследованию асимптотики интегралов вида (0.9) для различных классов G-(t) рЗ - 14, 17 - 18] . Так в работах П.Г.Юрова изучалась задача (0.1) с логарифмически растущей функцией &Ф [16 - 18] ; в работах М.Э.Толочко, И.Е.Сандригайло, А.Г.Алехно рассматривались задачи (0.1) на вещественной прямой Z=foovoo) с функцией (x{i) в общем такой же, как у Н.В.Говорова на луче [Уч 00) [JE9 - 22] .

Ряд работ, развивающих те же идеи, посвящен случаю так называемого многостороннего завихрения, когда в данной точке встречаются несколько кривых с бесконечным разрывом CUtgff(i) С24] ; задачам с конечным или счетным множеством разрывов Crii) [23 , 28 - 29] ; задачам в исключительном случае, когда £п I G-U) | также имеет степенной рост [26 - 27] и т.д. Следует также отметить ряд работ В.Б.Дыби-на с соавторами (30 - 32] , где предложены корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2) или (0.6) в пространствах Харди Ф±{%)еНр{Е±), Е± - {% | ±3т% >о] [33] (—ос 9 ос ) ) для функций G-d) вида

При этом выписан соответствующий базис

Фт

Я) в (0.5) 6>0 ) или д,тс6) В (0.6) ( <5<0 ), m = и указаны пространства коэффициентов в (0.5,0.6)& lp [34] . Исследование в [30 - 32] основывается на теоремах об интерполяции в пространствах целых функций экспоненциального типа, полученных в работе Б.ЯЛевина [35] .

Таким образом, в теории краевых задач с бесконечным индексом фактически в стороне оставался вшрос о корректности задачи (0.1, 0.2) (исключая работы [30 - 32], где исследована задача только в пространствах Харди и для достаточно узкого класса функций Gib) ) и совсем не исследовался важный вопрос о классах корректности, т.е. о классах последовательностей [%т} таких, что задача (0.1, 0.2) корректна. Подобное исследование во всяком случае необходимо, если попытаться рассмотреть задачу сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений вида

Так, в работах В.Н.Монахова и С.Н.Антонцева (см. в [4] ) разрешимость подобных задач при ind (х<оо исследована на основе корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций в плоскости некоторого гомеоморфизма. Для применения подобных методов в задачах с бесконечным индексом необходима как корректность задачи (0.1, 0.2), так и достаточная широта класса корректности (по крайней мере, инвариантность его при некоторых гомеоморфизмах комплексной плоскости), так что построением примера функции X (Z) с условиями (0.7) здесь уже обойтись невозможно.

Далее, интерес представляет вопрос о границах применимости метода решения задач с бесконечным индексом, предложенного Н.В.Говоровым и основанного на построении Х(&) с условиями (0.7). Фактически это означает общее описание класса функций G-(t) , представимнх в виде отношения анаi яитических функций X (Z) с условиями типа (0.7) на L . Кроме того, необходимо в этом общем случае классифицировать функции (r(i) по классам корректности (грубо говоря, выделить классы функций одного индекса) и предложить' Термины, в которых можно было бы характеризовать корректные постановки задачи (0.1) вида (0.2).

Заметим, что задачи сопряжения с бесконечным индексом для решений эллиптических систем уравнений более общих, чем система Коши - Еимана, ранее не рассматривались.

Целью настоящей работы является построение классов корректности задачи (0.1, 0.2) для аналитических функций и применение полученных результатов в исследовании разрешимости задачи сопряжения (0.1) для решений квазилинейных эллиптических систем уравнений (0.10). Рассмотрен "модельный" случай задачи с бесконечным индексом на контуре (-00 оо) , когда, вообще говоря, о/щ 0 (i) при оо , но G-d) € С* » >0 . При этом в работе получены следующие основные результаты:

1. В задачах сопряжения аналитических функций описан общий класс Ш функций Gr(t) , для которых применим метод Н.В.Говорова и соответствующий класс ТС последовательностей Z = [Zm ] в (0.2), в классах Щ, , ti введены термины, характеризующие корректность задачи (0.1, 0.2).

2. Рассмотрены некоторые подклассы Д 0 класса JtL , J заданные непосредственно в терминах асимптотики &(t) , i —^суо и более широкие, чем классы функций со степенным ростом G(i) , рассматривавшиеся ранее [8,9,12,19-22]. Для них указаны подклассы классов корректности, также заданные непосредственно в терминах последовательностей [zm} (точнее, в терминах считающих функций последовательностей) и на основе инвариантности этих подклассов при некоторых гомеоморфизмах плоскости исследована разрешимость задачи (0.1) для квазилинейных эллиптических систем (0.10).

3. Для тех же подклассов Ар рассмотрена задача (0.1), коцца Ф~ (z)eHp (.£") . ,Lp{L) . Описано общее решение однородной задачи как линейное пространство, т.е. установлена формула общего решения (0.1) вида (0.5), где соответствующим образом задано бесконечномерное пространство коэффициентов а = {атJ . Приведены корректные постановки задачи (0.1) вида (0.6). При этом получены теоремы об интерполяции в неких пространствах целых функций, которые можно рассматривать как обобщение результатов [35] на случай произвольного порядка р>0 (в [35] />=/- функции экспоненциального типа),

4. Исследована задача (0,1) при некоторых &U) € 771 + + в пространствах Харди V7"^) £ НП(Е ) , т.е. описано общее г решение однородной задачи как линейное пространство или соответственно указана система функций ^(Й в (0.6), двойственная к ядру сопряженного уравнения (см. [i - б] ). При этом показано, что для рассматриваемых функций G-(t) задача (0.1) не является нормально разрешимой, т.е. множество функций 6 Lp{L) ♦ для которых существует решение (0.1) ) не замкнуто в Lp{L) и, следовательно, оператор, решающий задачу (0.1) или (0.6) не будет непрерывным [i, б] . Отметим, что при этом |£( <£) I = т.е. потеря нормальной разрешимости происходит не за счет обращения в нуль функции Gli) , как обычно [j, б] , а за счет завихрения QJUj,G-(i) . Подобная ситуация автору ранее в литературе не встречалась.

Все исследованные в диссертации классы последовательностей инвариантны при симметричном отражении относительно вещественной оси, что позволяет без всяких затруднений исследовать с той же степенно полноты, что и задачу (0.1), задачу Гильберта где G (t) £ 271 , путем сведения ее обычным образом к задаче Римана (0.1) (см. [i - 2] ).

Остановимся на содержании диссертации подробнее. В главе I рассмотрены общие классы 771 , 71 . При этом существенно использованы некоторые сведения из теории целых функций, а также теории асимптотического поведения функций, аналитических в полуплоскости. Для удобства чтения диссертации, эти сведения приведены в § I. В § 2 доказан ряд вспомогательных утверждений. В § 3 введен класс Щ ^ функций Q- {{) таких, что v± + причем Л [Z) - аналитичны и ограничены в t и

IfolX^fllUtf, 4 (о.н)

Условия (O.II), очевидно, являются более слабым аналогом условий (0.7). Определены классы M = m+U т и класс последовательностей £ -{Zfn} • Основную роль играет § 4, в котором для получено представление

G ({) = &0 (t) exp \±rZ(^ , & ^ т* , (0.12) где r>t7,±v V п v о ^

Ш) = S.fo. -2 L т е/+ J-b/Zm. т в/- i-t/Zn 9 a (r0(t) £ Хо - классу функций "нулевого индекса", т.е. таких, для которых задача (0.1) безусловно и однозначно разрешима [i] .

На основе (0.12) произведено разбиение Щ на классы функций, грубо говоря, одного индекса и соответствующее разбиение 71 на классы корректности Н (/■) , в этих классах введено понятие сходимости: к &0 , ZK^Z0. (0.13)

В § 5 доказана корректность задачи (0.1, 0.2) при

С Ш и

Ф± (z) £ , Ё ~= Е *U Л ; в частности устойчивость в классе Гельдера С'6 по giijzC^ib), Q eft , Z е А/ (р) . Таким образом, вопрос о корректности задачи (0.1, 0.2) в классах Гельдера сводится к проверке условий (0.12, 0.13).

В главе 2 рассмотрены функции /г U) со степенным завихрением: порядка р < / , уже рассматривавшиеся ранее в [9, 19 -21]. Для них в § 7 в терминах считающих функций ( [ЗбЦ , стр. 119) введены классы А^ (Я) последовательностей, расположенных в углах | алу ZI £ , ft > О ( QJtfy Z б f ). Изучены свойства класса /У, (%) , в частности доказана его инвариантность ос при некоторых гомеоморфизмах плоскости. В § 8 доказано соотношение (0.12) для Z е/^(X), откуда следует корректность соответствующей задачи (0.1, 0.2). На этой основе в § 9 методами [4] исследована разрешимость задачи (0.1, 0.2) для уравнений (0.10) с финитными коэффициентами:

0 при \z\>XJ=/,Z.

Глава 3 посвящена изучению классов функций степенного завихрения произвольного порядка, при этом определенный в § 10 класс J[ функций степенного завихрения шире рассматривавшихся ранее [8, 9, 12, 19 - 22] . Б § II в терминах считающих функций специального вида введены классы /V (Q,f) последовательностей Z таких, что о<р0 $ \cw$zm)\\zrrl\'P *pf<oo9 I/tiI— оо, показана их инвариантность при некоторых гомеоморфизмах плоскости. В § 12 доказано соотношение (0.12) для & ^--hp и (аур) ,на основе чего в § 13 исследована разрешимость задач (0.1, 0.2) и (0.10, 0.1, 0.2). При этом, естественно, для тех Gtf)S.Ap , которые были рассмотрены в [8, 9, 12, 19 - 22] , классы /У (&ур) включают в себя последовательности, использовавшиеся в £8, 9, 12, 19 - 22] для построения решения неоднородной задачи. В главе 4 рассмотрена задача (0.1), когда yd)bLp{L) , Ф (z)e//p (£*) , p>^ . в § 15 доказаны некоторые дополнительные свойства функции X {%) , когда (a}f>) , на основе чего в § 16 описано общее решение задачи (0.1) вида (0.5), а в § 17 -система функций CLmU) в (0.6). Эти результаты сведены в у/71

§ 18 в виде теорем о корректности задач (0.1, 0.2) или (0.6).

Глава 5 посвящена рассмотрению некоторых функций G- (zf) € да , для которых задача (0.1) не является нормально разрешимой (но I & (t) I = / ). В § 19 рассмотрен случай "нулевого индекса", т.е. когда однородная задача имеет только тривиальное решение, а множество blp{L\-&sm. которых существует решение (0.1) е е Hp (Е~) всюду плотно в hp {Ь) . В § 20 рассмотрен случай "бесконечного индекса", т.е. когда либо размерность пространства решений однородной задачи, либо размерность прямого дополнения к замыканию пространства d) = Ф~Ф, е Нр (ЕЬ] бесконечна, при этом соответствующие пространства так же, как в главе 4, описаны в терминах базиса и бесконечномерного пространства коэффициентов.

Основные результаты диссертации опубликованы в [43 -47] и докладывались на семинаре в Институте гидродинамики СО Ш СССР (руководитель - профессор Монахов Б.Н.), на семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета им.Ленинского комсомола (руководитель -профессор Терсенов С.А.) и на конференциях: по некорректным задачам математической физики, г, Новосибирск, 1982; по краевым задачам, г. Краснодар, 1982; по уравнениям математической физики, г .Душанбе , 1983; по геометрической теории функций, г. Майкоп, 1984.

В заключение хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Монахову Валентину Николаевичу за постановку задачи и постоянное внимательное руководство.

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: "Наука", 1977. - 638 с.

2. Мусхешившш Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: "Наука", 1969. 511 с.

3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физмат-гиз, 1959. 628 с.

4. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: "Наука", 1977. 420 с.

5. Данилгак И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: "Наука", 1975. 292 с.

6. Дресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: "Мир", 1979. 493 с.

7. Говоров Н.В. 0 щ>аевой задаче Римана с бесконечным индексом. ДАН СССР, т. 154, № 6, 1964, с. 1247-1249.

8. Говоров Н.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом. ДАН СССР, т. 159, № 5, 1964, с. 961964.

9. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом степенного порядка меньше 1/2. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. 6, Харьков,1968, с. I5I-I76.1

10. Говоров Н.В. Об ограниченных решениях однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. II, Харьков, 1970, с. 3-34.

11. Говоров Н.В. О решениях в классе функций вполне регулярного роста однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения", вып. 15, Харьков, 1972,с.213-243.

12. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. Докторская диссертация, Харьков, 1967, 202 стр.

13. Говоров Н.В., Сандригайло И.Е., Рогозин С.В. Об асимптотических свойствах особого интеграла типа Коши с контуром на положительном луче. "Вестник Белорусского ун-та", сер. I, Ш 3, 1982, с. 46-50.

14. Алекна П.Ю., Говоров Н.В. Асимптотика интеграла типа Коши с монотонной плотностью нулевого уточненного порядка. "Литовский матем.сб.", т. 23, В I, 1983, с. 3-6.

15. Говоров Н.В., Беркович Ф.Д. 0 краевой задаче Карлемана с бесконечным индексом. "Сибирский матем.журнал", т. 12, № 5, 1971, с. I00I-I0I4.

16. Юров П.Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа. "Известия вузов. Математика" , № 2, 1966, с. 158-163.

17. Юров П.Г. Поведение интеграла типа Коши вблизи точек разрыва его плотности. "Математич. анализ и его приложения", Ростов, 1981, с. 155-162.

18. Юров П.Г. 0 представлении интегралов типа Коши. "Математические заметки", т. 6, № I, 1969, с. 55-63.

19. Толочко М.Э. 0 разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости. "Известия АН БССР", сер. физ.-мат.наук, & 3, 1971, с. 31-38.

20. Толочко М.Э. Об однородной задаче Ршана с бесконечным ивдексом для полуплоскости. "Известия АН БССР", сер. физ.-мат.наук, $ 5, 1972, с. 34-41.

21. Сандригайло И.Е. 0 краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости. "Известия АН БССР", сер. физ.-мат.наук, № 6, 1974, с. 16-23.

22. Алехно А.Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом произвольного степенного порядка для полуплоскости. "Известия АН БССР", сер. физ.-мат.наук, № 4, 1979, с. 36-44.

23. Алехно А.Г. 0 краевой задаче Римана с конечным числом точек завихрения. ДАН БССР, т. 23, № 12, 1979,с. 1069-1072.

24. Алехно А.Г. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в случае многостороннего завихрения. ДАН БССР,т. 25, В 8, 1981» с. 681-684.

25. Алехно А.Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова. "Известия АН БССР? сер. физ.-мат.наук, № I, 1980, с. 51-57.

26. Рогозин С.В., Толочко М.Э. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом для полуплоскости в исключительном случае. "Известия АН БССР", сер. физ.-мат. наук, В 3, 1978, с. 5-10.

27. Рогозин С.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом в исключительном случае для полуплоскости. "Вестник Белорусского ун-та", сер. I, № 2,1983, с. 60-62.

28. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов ее коэффициента. "Труды Тбилисского математич.ин-та АН Гр.ССР, т. 43, 1973, с. 53-71.

29. Журавлева М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством нулей и полюсов ее коэффициента. ДАН СССР, т. 214, Л 4, 1974,с. 755-758.

30. Дыбин В.Б. 0 сингулярном интегральном операторе на вещественной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: "Теория функций, дифференциальные уравнения и их приложения". Элиста, 1976, с. 98-108.

31. Грудский С.М., Дыбин В.Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у ее коэффициента. ДАН СССР, т. 237, В I, 1977, с. 21-24.

32. Дыбин В.Б., Додохова Г.В. Корректные постановки краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом ее коэффициента. "Математический анализ и его приложения", Ростов, 1983, с. 12-22.

33. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963. 311 с.

34. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: "Наука", 1972. 496 с.

35. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. В сб.: "Математическая физика и функциональный анализ". ФТИНТ АН УССР, вып. I, 1969, с. 136146.

36. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

37. Говоров Н.В. О функциях вполне регулярного роста в полуплоскости, Кандидатская диссертация .Ростов-на-Дону, 1966. 205 с.

38. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: "Наука", 1965. 520 с.

39. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: "Наука", 1970. 592 с.

40. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. I. М.: "Наука", 1967. 486 с.

41. Титчмарш Е. Теория функций. М.: "Наука", 1980. 461 с.

42. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.:"Наука", 1965, 407 с.

43. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Задачи сопряжения с бесконечным индексом. В сб.: "Проблемы гидродинамики больших скоростей и краевых задач". Тезисы докл. Региональная школа конф. молодых ученых. Краснодар, 1982,с.53-55.

44. Монахов В.Н., Семенко Е.В. 0 корректных постановках краевых задач Н.В.Говорова. В сб. : "Тезисы республиканской научной конференции по уравнениям математической физики". Душанбе, 1983. с. 87-88.

45. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи сопряжения с бесконечным ивдексом для квазилинейных эллиптических систем уравнений. В сб.:"Динамика сплошной среды", вып. 64, Новосибирск, 1984, с. 70-75.