Корреляционные функции в интегрируемой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт Теоретической Физики им Л. Д. Ландау

На правах рукописи

Литвинов Алексей Викторович КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ В ИНТЕГРИРУЕМОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка — 2006

Работа выполнена в Институте теоретической физики им Л. Д. Ландау РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор

Белавин А. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

Фейгин Б. Л.

доктор физико-математических наук,

профессор

Ольшанецкий М. А.

Ведущая организация:

Физический институт им П. Н. Лебедева РАН

Защита состоится 29 декабря 2006 в_ч._мин. на заседании Диссертационного совета Д.002.207.01 при Институте теоретической физики им Л. Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская область, г. Черноголовка, Институт теоретической физики им Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ РАН.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты.

/3 " иъяЯ-

Автореферат разослан "/у " 2006.

Учёный секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук: А П. Г. Гриневич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Диссертация посвящена изучению двумерной интегрируемой теории поля. Рассмотрено несколько важных примеров, имеющих приложения в статистической физике и теории струн.

Во-первых, это возмущенные минимальные модели конформной теории поля, связанные со многими интересными двумерными статистическими системами. Благодаря интегрируемости, некоторые величины в этих моделях, такие как матрица рассеяния или форм-факторы локальных полей, могут быть вычислены точно. Однако, аналитические выражения для таких важных объектов в теории поля, как корреляционные функции локальных полей, до сих пор не найдены. В диссертации рассматривается этот вопрос для случая двухточечной корреляционной функции спиновых полей.

Во-вторых, это квантовая теория Лиувилля, появляющаяся как конформная аномалия при квантовании струны в размерности пространства-времени И < 26. Эта теория является конформно-инвариантной и потому интегрируемой. В последние годы в этой теории был достигнут замечательный прогресс. В частности, были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей, что, благодаря конформной инвариантности, позволяет в принципе вычислить любые многоточечные корреляционные функции, а также получить точные результаты в теории струн в некритической размерности.

В-третьих, это теория Тоды, которая является естественным обобщением теории Лиувилля. А именно эта теория имеет дополнительную симметрию, порожденную сохраняющимися токами спина 3,----Эти токи вместе с тензором энергии-импульса образуют замкнутую операторную алгебру, называемую IV—алгеброй. Теория Тоды не так хорошо исследована как теория Лиувилля и несомненно заслуживает более детального изучения. В частности представляет интерес обобщение результатов, полученных в теории Лиувилля на этот случай. Некоторые из имеющихся здесь проблем решены в диссертации.

Наконец, это минимальная гравитация — двумерная квантовая гравитация, индуцированная минимальной моделью конформной теории поля. Эта теория допускает два описания: теоретико-полевое и описание при помощи матричных моделей. В диссертации рассматривается первый подход.

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы является вычисление корреляционных функций в различных моделях двумерной интегрируемой теории поля.

В число основных задач входит развитие техники конформной теории возмущений для изучения возмущенных минимальных моделей, получение аналитической формулы для трехточечных корреляционных функций в теории Тоды и вычисление четырехточечных корреляционных функций в теории Лиувилля и минимальной гравитации.

Научная новизна. В диссертации впервые были получены следующие результаты:

1. Было проведено вычисление двухточечной корреляционной функции спиновых полей в минимальных моделях конформной теории поля Мр>рг возмущенных полем Ф13. На малых расстояниях использовался метод конформной теории возмущений, а на больших форм-факторное разложение. Показано, что комбинация обоих методов дает правильное поведение корреляционной функции на всех масштабах.

2. Были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей в теории Тоды в случае, когда вес одного из полей пропорционален первому фундаментальному весу соответствующей алгебры Ли. Ответ обобщает известный результат для трехточечной функции в теории Лиувилля.

3. Разработана техника вычисления корреляционных функций в теории Тоды в квазиклассическом пределе. Получены квазиклассические выражения для трехточечных корреляционных функций.

4. Явно вычислены четырехточечные корреляционные функции с одним вырожденным полем в теории Лиувилля. Ответ представляется

в виде кулоновского интеграла. Получена серия функциональных соотношений, которым удовлетворяют эти интегралы.

5. Найдены четырехточечные корреляционные функции в минимальной гравитации с одним вырожденным материальным полем.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для исследования других интегрируемых теорий поля. В частности, техника вычислений, развитая в первой главе может быть применена для изучения любой возмущенной конформной теории поля. Результаты второй главы могут оказаться полезными в математике и математической физике, а именно в теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, в моделях Годена и в теории квантовых цепочек. Квазиклассические вычисления, проделанные во второй главе, могут быть использованы для предсказания квантовых формул в теории То-ды. Результаты третьей главы могут быть использованы для вычисления многочастичных амплитуд Венециано в минимальной теории струн и ее суперсимметричных обобщениях. Тождества для кулоновских интегралов, полученные в третьей главе, могут быть использованы для вычисления различных корреляционных функций в конформной теории поля.

Апробация работы По результатам диссертации были представлены доклады на следующих конференциях: IPM String School and Workshop, April 10—19, 2006, Tehran, IRAN; Arithmetic and Geometry Around Quantization, 5—15 June 2006, Istanbul, Turkey, 2006; Strongly Correlated Phenomena in Quantum Field Theory, Nanophysics and Hydrodynamics, 12— 15 December 2005, ICTP Trieste, Italy; Первая и вторая летняя научная школа Фонда «Династия», пос. Московский, Московской области.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах института теоретической физики им Л. Д. Ландау, в Независимом московском университете и на семинаре в Физизичеком институте им П. Н. Лебедева РАН.

Публикации Основные результаты диссертации изложены в 4 опубликованных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Полный объем составляет 110 страниц. Список литературы содержит 70 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность, научная и практическая ценность работы, сформулированы цели исследований и основные положения, выносимые на защиту диссертации. Во введении также дана краткая информация о структуре и содержании диссертации.

В главе 1 рассматриваются минимальные модели конформной теории поля Мр,р> возмущенные примарным полем Фхз (температурное возмущение). Такие модели являются уже не являются конформными (в теории имеется массовых параметр), но остаются интегрируемыми, т. е. обладают бесконечным множеством интегралов движения. Благодаря этому, эти теории обладают рядом замечательных свойств. В частности, рассеяние в них является факторизованным. Это означает, что многочастичные Б-матричные элементы имеют специальную структуру: они факторизуются на произведение двухчастичных ¿"-матричных элементов. Двухчастичная матрица рассеяния может быть вычислена точно. Более того, интегрируемость позволяет вычислить точно форм-факторы локальных полей, т.е. матричные элементы между вакуумом и п-частичным асимптотическим состоянием. Одной из самых важных задач здесь, которая пока не решена, является вычисление корреляционных функций локальных полей. Мы проводим вычисление двухточечной корреляционной функции спиновых полей (а(х)а(О)). Вычисление делается двумя способами

• Методами конформной теории возмущений, которая дает разложение на малых расстояниях. В первом порядке теории возмущений корреляционная функция (<т(#)сг(0)) вычислена аналитически в терминах Г функции.

• Поведение корреляционной функции на больших расстояниях изучается* при помощи формфакторного разложения. Здесь разложение*

идет по числу частиц.

Комбинация обоих методов описывает поведение корреляционных функций на всех масштабах, что подтверждается численным расчётом.

В главе 2 рассматривается двумерная квантовая теория Тоды, связанная с алгеброй в1(п). Эта теория описывается лагранжианом

где (р — скалярное поле (р = (<£>1 • • • <Аг-1), Ь — безразмерная константа связи, ц — параметр, называемый космологической постоянной и вектора вк — простые корни алгебры в1(п). Эта теория является конформно-инвариантной с центральным зарядом с = п — 1 + 12ф2, где ф = (Ь+ Ь~1)р и р—вектор Вейля. Более того, алгебра симметрий этой теории включает также множество локальных токов \Vkiz) со спинами равными 3,4,..., п. Эти токи вместе с тензором энергии-импульса образуют ассоциативную операторную алгебру, которая совпадает с \Уп алгеброй, являющейся обобщением алгебры Вирасоро на случай высших спинов. Благодаря этому обстоятельству, корреляционные функции в этой модели удовлетворяют большому числу соотношений, называемыми конформными тождествами Уорда. Эти соотношения позволяют вычислить некоторые корреляционные функции точно.

Одной из наиболее важных задач в теории Тоды и в конформной теории поля вообще является вычисление трехточечных корреляционных функций примарных полей

В случае алгебры sl(2) это вычисление было проведено в работах Дорна и Отто (Н. Dorn and Н. J. Otto, Phys. Lett. В 291 (1992) 39, Nucí. Phys. В 429 (1994) 375) и независимо в работе Замолодчикова и Замолодчикова (А. В. Zamolodchikov and А. В. Zamolodchikov, Nucí. Phys. В 477 (1996) 577). Благодаря этому вычислению, а также конформной инвариантности, открывается принципиальная возможность вычислить любые многоточечные корреляционные функции в этой теории точно.

п-1

(0.1)

= е<а

(0.2)

В §1 это показано, что вычисление трехточечной корреляционной функции, проделанное для алгебры вГ(2), обобщается на случай алгебры 5[(п), если параметр а одного из полей принимает специальные значения. Например если

а3 = (0.3)

здесь а>п_1 — фундаментальный вес алгебры з[(п). В этом случае ответ для трехточечной корреляционной функции

{Уа1{ги гх)Уа2{г2, г2¿з)) =

С{а\,а2, топ-\)

|гп 12(д1+д2-дз) |г13 |2(д!+дз-д2) | ^ |2(д2+д3-д о '

где Ак — конформная размерность поля Уак, может быть записан в терминах функции Т(х), введенной Барнсом, как

(2 О-Ъчр)

С(а ьаа>ж^_1) = [тг^(Ь2)Ь2-2ь2\ х

ть))П-1 т(ж) ^ _ аь е))Т((д _ а2> е))

х-7---ч-, (0.4)

П + (ах - Я, Ы) + («2 - <Э, Ш

у 4 7

где введено обозначение 7(2) = Г(ж)/Г(1 — х). Произведение в числителе идет по положительным корням алгебры з[(п), а в знаменателе по весам представления и\.

В §2 предложен другой способ вывода формулы (0.4). Он основан на использовании свойств вырожденных полей \¥п алгебры. Именно, показано, что четырехточечная корреляционная функция

(У-Ьиц (х,х)\/а1 (0)К*2 (1) Укшп-х (оо) )

удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка п с тремя регулярными особыми точками 0, 1 и оо по каждой из переменных х и х. Это уравнение совпадает с обобщенным гипергеометрическим уравнением. Функция, являющаяся одновременным решением обоих уравнений, обязана быть однозначной на плоскости с тремя отмеченными точками. Можно показать, что это требование эквивалентно выполнению функциональных

соотношений для функции C(ai, Решение этих функциональ-

ных соотношений совпадает с (0.4).

В §3 исследуется квазиклассический предел теории (0.1) при Ь —► 0. В этом пределе интересно рассмотреть случаи тяжелых а^ ~ 1/6 и легких ctk ~ Ь полей. В первом случае асимптотика трехточечных корреляционных функций дается классическим действием, вычисленным на решении классических уравнений Тоды с тремя особыми точками. Во втором — интегралом по пространству модулей регулярного классического решения этих уравнений. В обоих случаях проделаны соответствующие вычисления и результат сравнен с асимптотикой квантового выражения.

В §4 изучается еще один квазиклассический предел трехточечной корреляционной функции, известный в литературе как minisuperspace limit. В этом пределе динамика описывается нулевыми модами поля ip. При этом оператор Vq+xp соответствует волновой функции

Квазиклассический предел трехточечной функции С{а 1,а2>о;з) имеет смысл, если в пределе Ь —* 0 взять ак = + гЬрк для к = 1,2 и аз = гбд. В этом случае он дается интегралом

Интеграл (0.6) может быть вычислен точно в случае когда q = во;п-1 и ответ совпадает с пределом С(С2 + гЬрх, <5 + ЬЪрг, гбй^-х).

В главе 3 изучаются корреляционные функции в теории Лиувилля (з[(2) теории Тоды) и минимальной гравитации.

В §1 показано, что четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным полем в теории Лиувилля

C(Q + ibpu Q + ibp2, ibq) —* J da^^g^6^ . (0.6)

(^(x,x)Kei(0)Kaa(l)yQ3(oo)>

может быть вычислена явно. Хорошо известно, что такая корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка т +1 по переменным х и х. Однозначное решение этих уравнений может быть записано в виде 2т-кратного кулоновского интеграла. Используя свойства этой четырехточечной функции, получены новые тождества которым удовлетворяют кулоновские интегралы.

§2 посвящен изучению минимальной гравитации. Вычисляется четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным материальным полем.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и выводы.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

ГА. A. Belavin, V. A. Belavin, А. V. Litvinov, Y. P. Pugai and А. В. Zamolodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models M2)2n+1, Nucl. Phys. В 676 (2004) 587.

2 A. A. Belavin, A. V. Litvinov, On correlation functions in perturbed minimal models, Quarks-2004 Proceedings.

3 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, On differential equation on four-point correlation function in the Conformal Toda Field Theory, Письма в ЖЭТФ 81 (2005) 728.

4 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, Coulomb integrals in Liouville theory and Liouville gravity, Письма в ЖЭТФ 84 (2006) 625.

Введение.

1 Возмущенные минимальные модели

2 Квантовая теория Тоды

§ 1 Теория Тоды

§ 2 Дифференциальное уравнение.

§ 3 Квазиклассический предел

§ 4 Minisuperspace предел.

3 Корреляционные функции в теории Лиувилля и квантовой гравитации

§ 1 Корреляционные функции в теории Лиувилля.

§ 2 Корреляционные функции в минимальной гравитации

Одной из важнейших проблем современной квантовой теории поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов. Единственными примерами, где эю возможно сделать, являются двумерная конформная теория поля и двумерная модель Изинга в нулевом магнитном иоле [1,2]. Оба этих примера обьеденяег то, что они являются двумерными интегрируемыми квантовыми теориями поля, т. е. теориями с бесконечным числом интегралов движения. В таких теориях оказывается возможным использовать методы, коюрые не применяются в «обычной» квантовой теории поля. Вообще интегрируемые теории поля делятся на два класса: конформные теории ноля и массивные интегрируемые теории ноля.

Первый класс или двумерная конформная теория поля, сформулированная в 1984 году Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым [lj, является замечательным примером интегрируемой теории, в которой все корреляционные функции могут быть вычислены точно. Это становится возможным благодаря конформной инвариантности и использованию гипотезы об операторной алгебре. Конформная инвариантность позволяет легко описать пространство полей в теории. Можно показать что любое иоле принадлежит семейству, порожденному некоторым специальным полем, которое называется примарным. Остальные поля теории называются полями потомками. Размерности '-этих полей образуют серии отличающиеся на целые числа. Их корреляционные функции могут быть найдены из корреляционных функций примарных нолей действием некоторых линейных дифференциальных операторов. Поэтому задача о вычислении всех корреляционных функций в теории сводится к задаче о вычислении корреляционных функций примарных полей. Такая простая структура операторной алгебры в теории является отличительной чертой конформной теории ноля.

Одними из самых простых конформных теорий поля являются минимальные модели. В этих моделях имеется конечное число примарных полей, причем каждое из этих нолей вырождено. Конформные размерности этих полей задаются при помощи формулы Каца. Любые многоточечные корреляционные функции в этих теориях задаююя при помощи двумерных кулоновеких интегралов. Просшйший нетривиальные пример минимальной модели это двумерная модель Изинга в критической точке. Остальные минимальные модели описывают более сложные типы критического поведения в двумерных системах.

Другим не менее важным примером конформной теории поля является теория Лиувилля. Эта теория появляется при квантовании теории струн в размерности пространства времени не равной 26. Спектр полей в этой теории, в отличие от минимальных моделей, является непрерывным. В последние годы в этой теории был достигнут замечательный прогресс. В частости, в работах [47-49] были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных нолей, что, благодаря конформной инвариантности и гшкмезе об операторной алгебре, позволяет в принципе вычислить любые многоточечные корреляционные функции.

Теория Лиувилля допускает естественное обобщение путем введения дополнительных симметрия, порожденных сохраняющимися токами спина 3, — Эти токи BMecie с тензором энергии-импульса образуют замкнутую операторную алгебру, называемую IV алгеброй. Такие теории называются теориями Тоды. Теория Тоды не так хорошо исследована как теория Лиувилля и несомненно заслуживает более детального изучения. В частности предетвляет интерес обобщение результатов, полученных в теории Лиувилля на этот случай. Некоюрые из имеющихся здесь проблем решены в диссертации.

В юрой класс теорий это массивные теории ноля. Эги модели хотя и не являются конформными, но имеют бесконечное число законов сохранения. Многие важные величины в этих моделях, такие как матрица рассеяния или формфакторы локальных полей, могут быть вычислены точно. При попытках обобщить алгебраический подход, применяемый при изучении конформных теорий ноля, на более широкий класс двумерных интегрируемых моделей одной из основных трудностей является отсутствие каких либо алгебр симметрий, которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. Эта проблема не решена до сих пор. Однако некоторые тесты, такие как подсчет состояний, вселяют определенный оптимизм.

В диссертации рассматривается несколько примеров интегрируемых теорий ноля. В каждой из этих теорий проводится вычисление различных корреляционных функций. Диссертационная работа имеет следующую структуру.

В первой главе рассматриваются минимальные модели конформной теории поля возмущенные нолем Ф13. Эги теории связанны со многими интересными двумерными сттистическими системами, такими как модель

Изинга, модель Потса, RSOS-модоли итд. К сожалению, аналитические выражения для таких важных объектов в теории поля, как корреляционные функции локальных нолей, до сих пор не найдены. В диссертации рассматривается этог вопрос для случая двухточечной корреляционной функции спиновых нолей. Вычисление проводится двумя способами. Методами конформной теории возмущений на малых расстояниях и используя форм-факторное разложение на больших расстояниях. Показано, что результаты коротко- и длинно- дистанционных разложений согласуются на средних масштабах.

Во второй главе рассматривается двумерная квантовая теория Тоды, связанная с алгеброй sl(rc). Эта теория описывается лагранжианом где — скалярное поле ф = . .<^n-i)> & — безразмерная константа связи, ц — параметр, называемый космологической постоянной и вектора е/. — простые корни алгебры si(n). 3ia теория является конформно-инвариантной с центральным зарядом с = п— 1 + 12Q2, где Q = (b + b~l)p и р—вектор Вейля. Более того, алгебра симмегрий этой теории включает также множество локальных токов Wk(z) со спинами равными 3,4,., п. Эти токи вместе с тензором энергии-импульса образуют ассоциативную операторную алгебру, которая совпадает с Wn алгеброй. Благодаря этому обстоя Iельству, корреляционные функции удовлетворяют большому числу соотношений, называемыми конформными тождествами Уорда. Эти соотношения позволяют вычислить некоторые корреляционные функции точно.

Одной из наиболее важных задач в теории Тоды и в конформной теории

71-1 ноля вообще является вычисление трехточечных корреляционных функций примарных полей Vn = В случае алгебры sl(2) это вычисление было проведено в работах Дорна и Отто [47,48] и независимо в работе Замо-лодчикова и Замолодчикова [49]. Благодаря эюму вычислению, а также конформной инвариантности, открывается принципиальная возможность вычислить любые многоточечные корреляционные функции в этой теории точно.

В §1 это показано, что вычисление трехточечной корреляционной функции, проделанное для алгебры s((2), обобщается на случай алгебры sl(n), если параметр а одного из полей принимает специальные значения. Например если здесь — фундаментальный вес алгебры sl(n). В этом случае ответ для трехточечной корреляционной функции

Vai(z 1, zi)VQ2(Z2, z2)V^n,{zt, г3)> =

C{aha2,xuJn-{) г12|2(Д1+Д2-Дз)|г13|2(Д,+Дз-Да)|223|2(Д2гДз-А1)' где Д^ — конформная размерность поля Vak, может быть записан в терминах функции Т(ж), введенной Барнсом, как

2Q-Ea, (,)

С(оц, Q2, = 7Г[1-/(Ь2)Ь2~2Ь2 " X

T(6))n1 Г (я) П Т ((Q - сч\, е)) т ((Q - а2> е)) ПТ U + ^-QJiJ + iai-QJij))

13 4 ' где введено обозначение *)(х) = Г(ж)/Г(1 — х). Произведение в числителе идет по положительным корням алгебры sl(n), а в знаменателе но весам представления и\.

В §2 предложен другой способ вывода трехточечной функции. Он основан на использовании свойств вырожденных нолей Wn алгебры. Именно, показано, что чегырехточечная корреляционная функция

V^&X^maMV^n-Aoo)) удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка п с тремя регулярными особыми точками 0, 1 и оо по каждой из переменных х и х. Это уравнение совпадает с обобщенным гипергеометрическим уравнением. Функция, являющаяся одновременным решением обоих уравнений, обязана быть однозначной на плоскости с тремя отмеченными точками. Можно показать, что это требование эквивалентно выполнению функциональных соотношений для функции C(c*i,a2, хи)п-{). Решение этих функциональных соотношений совпадает с ответом полученным в §1.

В §3 исследуекя квазиклассический предел теории при Ь —> 0. В этом пределе интересно рассмотреть случаи тяжелых о^ ~ 1/6 и легких а^ ~ Ь нолей. В первом случае асимптотика трехточечных корреляционных функций даехся классическим действием, вычисленным на решении классических уравнений Тоды с тремя особыми точками. Во втором — интегралом по пространству модулей регулярного классического решения этих уравнений. В обоих случаях проделаны соответствующие вычисления и результат сравнен с асимптотикой квантового выражения.

В §4 изучается еще один квазиклассический предел трехточечной корреляционной функции, известный в литературе как minisuperspace limit. В этом пределе динамика описывается нулевыми модами поля (р. При этом оператор Vqt1p coot вето гвует волновой функции

КдмР-Ф^М, где х — нулевая мода поля ip. Функция Фудовлетворяет уравнению Шредингера

71-1

-V2X + 2тг/; Y, zh[tiX)

V i=i

Квазиклассический предел трехточечной функции С(а\,а2, ск.{) имеет смысл, если в пределе 6 —> 0 взять a;v = Q + ibpk для к = 1,2 и а,\ = ibq. В этом случае он даегся интегралом

C(Q + ibph Q + ibP2, ibq) —> J.

Интеграл (2.3) может быть вычислен точно в случае когда q = sujn-1 и ответ совпадает с пределом C(Q + ibp\, Q + ibp2, ibsjjn-\).

В третьей главе изучаются корреляционные функции в теории Лиувил-ля (sl(2) теории Тоды) и минимальной гравитации.

В §1 показано, что четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным полем в теории Лиувилля

V г^ (х, х) Vai (0) Vft2 (1) Va3 (оо)) можег быть вычислена явно. Хорошо известно, что такая корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка тп+1 по переменным х и х. Однозначное решение этих уравнений может быть записано в виде 2т-кратного кулоновского интеграла. Используя свойства этой четырехточечной функции, получены новые тождества которым удовлетворяют кулоновские интегралы.

2,Т,(")/

§2 посвящен изучению минимальной гравитации. Вычисляется четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным материальным полем.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации.

Заключение

В заключении еще раз перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Было проведено вычисление двухточечной корреляционной функции спиновых полей в минимальных моделях конформной теории ноля Л/ру возмущенных нолем Ф13. На малых расстояниях использовался метод конформной теории возмущений, а на больших форм-факторное разложение. Показано, что комбинация обоих меюдов дает правильное поведение корреляционной функции на всех масштабах.

2. Были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей в теории Тоды в случае, когда вес одного из полей пропорционален первому фундаментальному весу соответствующей алгебры Ли. Ответ обобщает известный результат для трехточечной функции в теории Лиувилля.

3. Разработана техника вычисления корреляционных функций в теории Тоды в квазиклассическом пределе. Получены квазиклассические выражения для трехточечных корреляционных функций.

4. Явно вычислены четырехточечные корреляционные функции с одним вырожденным полем в теории Лиувилля. Огвег представляется в виде кулоновского интеграла. Получена серия функциональных соотношений, которым удовлетворяют эти интегралы.

5. Найдены четырехточечные корреляционные функции в минимальной гравитации с одним вырожденным материальным полем.

Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих работах:

1 A. A. Belavin, V. A. Belavin, А. V. Litvinov, Y. P. Pugai and А. В. Zamo-lodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models M2,2rc+b Nucl. Phys. В 676 (2004) 587.

2 A. A. Belavin, A. V. Litvinov, On correlation functions in perturbed minimal models, Quarks-2004 Proceedings.

3 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, On differential equation on four-point correlation function in the Conformal Toda Field Theory, Письма в ЖЭТФ 81 (2005) 728.

4 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, Coulomb integrals in Liouville theory and Liouville gravity, Письма в ЖЭТФ 84 (2006) 625.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах института теоретической физики им Л. Д. Ландау, в Независимом московском университею и на семинаре в Физизичеком институте им П. Н. Лебедева РАН, а также на конференциях:

1. IPM String School and Workshop, April 10-19, 2006, Tehran, IRAN;

2. Arithmetic and Geometry Around Quantization, 5—15 June 2006, Istanbul, Turkey, 2006;

3. Strongly Correlated Phenomena in Quantum Field Theory, Nanophysics and Hydrodynamics, 12-15 December 2005, ICTP Trieste, Italy;

4. Первая и вторая легияя научная школа Фонда «Династия», пос. Московский, Московской области.

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам сектора квантовой теории поля института теоретической физики им JI. Д. Ландау за полезные обсуждения.

Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя А. А. Бе-лавина за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, а также В. А. Фатеева в соавторстве с которым получен ряд результатов диссертации.

1. Bolavin A. A., Polyakov А. М. and Zamolodchikov А. В.: 1.finite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory. Nucl. Phys. B241, 333-380 (1984)

2. Wu Т. Т., McCoy, В. M. Tracy, C. A. and Barouch E.: Spin-spin correlation functions for the two-dimensional Ising model: exact theory in the scaling region Phys. Rev. B13, 316-374 (1976)

3. Sato M., Jimbo M. and Miwa Т.: Publ. Res. Inst. Intern. Math. Sci. 14, 223 (1978); 15, 201, 557, 871 (1979); 16, 531 (1980)

4. Zamolodchikov AI. В.: Two-point correlation function in scaling Lee-Yang model. Nucl. Phys. B348, 619-641 (1991)

5. Zamolodchikov A. B. Integrable field theory from conformal field theory. Adv. Stud, in Pure Math. 19, 641-674 (1989)

6. Andrews G., Baxter R. and Forrester J.: Eight-vertex SOS model and generalized Rogers-Rarnanujan identities. Л. Statist. Phys. 35, 193-266 (1984)

7. Karowski M. and Weisz P.: Exact form factors in (1 + l)-dimensional field theoretic models with soliton behavior. Nucl. Phys. B139, 455-476 (1978)

8. Smirnov F. A.: Form-factors in completely integrable models of quantum field theory. Singapore: World Scientific (1992)

9. Zarnolodchikov Al. В.: Mass Scale In The Sine-Gordon Model And Its Reductions. Int.J.Mod.Phys., A10, 1125 (1995)

10. Dotsenko VI. S. and Fateev V. A.: Conforrnal algebra and multi-point correlation functions in 2d statistical models. Nucl. Phys. B240 FS12], 312-348 (1984)

11. Dotsenko VI. S. and Fateev V. A.: Four-point correlation functions and the operator algebra in 2d conforrnal invariant theories with central charge с < 1. Nucl. Phys. B251 FS13. 691-734 (1985)

12. Smirnov F. A.: Reductions of quantum Sine-Gordon model as perturbations of minimal models of conforrnal field theory. Nucl. Phys. B337, 156-180 (1990)

13. LeClair A.: Restricted sine-Gordon theory and the minimal conforrnal series Phys. Lett. B230, 103-107 (1989)

14. Bazhanov V.V. and Reshetikhin N.Yu.: Scattering amplitudes in off-critical models and RSOS integrable models. Prog. Theor. Phys. Supplement. 102, 301-318 (1990)

15. Guida R., and Magnoli N.: All order IR finite expansion for short distance behavior of massless theories perturbed by a relevant operator. Nucl. Phys. B471, 361-388 (1996)

16. Cardy J. L.: Conforrnal invariance and the Lee-Yang edge singularity in two dimensions. Phys. Rev. Lett. 54, 1354-1356 (1985)15. von Gehlen G.: Non-hermitian triticality in Blume-Capel model with imaginary field. Int. J. Mod. Phys., B8, 3507, (1994)

17. Lukyanov S. and Zamolodchikov A.: Exact expectation values of local fields in quantum sine-Gordon model. Nucl. Phys. В 493, 571-587 (1997)

18. Fateev V., Lukyanov S. Zamolodchikov A. and Zamolodchikov AI.: Expectation values of local fields in Bullough-Dodd model and integrable perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B516, 652-674 (1998)

19. Fateev V., Fradkin D., Lukyanov S, Zamolodchikov A. and Zamolodchikov AI.: Expectation values of descendents fields in the sine-Gordon model. Nucl. Phys. B540 587-609 (1999) ArXiv:hep-th/9807236]

20. Baseilhac P., Fateev V. A.: Expectation values of local fields for a two-parameter family of integrable models and related perturbed conformal field theories. Nucl. Phys. B532, 567-587 (1998)

21. Fateev V. A.: Normalization factors in conformal field theory and their applications. Mod. Phys. Lett. A15 259-270 (2000)

22. Ahn C., Fateev V. A., Kim C., Rim C., Yang В.: Reflection Amplitudes of ADE Toda Theories and Thermodynamic Bethe Ansatz. Nucl. Phys. B565, 611-628 (2000)

23. Constantinescu F., and Flume R.: Perturbation Theory around two-dimensional critical systems through horornorphic decomposition. J.Phys. A23, 2971 (1990)

24. Koubek A.: Form-factor bootstrap and the operator content of perturbed minimal models. Nucl. Phys. B428, 655-680 (1994)

25. Koubek A. and Mussardo G.: On the operator content of the sine-Gordon model. Phys. Lett. B311, 193-201 (1993)

26. Lukyanov S.: Form-factors of exponential fields in the sine-Gordon model. Mod. Phys. Lett. A12, 2543-2550 (1997)

27. Pugai Y.: On vertex operators and the normalization of form-factors. In Statistical field theories, 57-66, eds. A. Cappelli, G. Mussardo, Kluwer Academic Press, 2002.

28. Jimbo M., Konno H., Odake S., Pugai Y. and Shiraishi J.: Free field construction for ABF models in the regime II. J. Stat. Phys. 102, 883-921 (2001) arXiv:math.qa/0001071].

29. Caselle M., Grinza P. and Magnoli N.: Short distance behaviour of correlators in the 2D Ising model in a magnetic field. arXivrhep-th/9909065]

30. Doyon В., Lukyanov S.: Fermion Schwinger's function for the SU(2) Thirring model. arXiv:hep-th/0203135]

31. Fioravanti D., Mussardo G., and Simon P.: Universal Amplitude Ratios of The Renormalization Group: Two-Dirriensional Tricritieal Ising Model, Phys. Rev. E 63, 016103 (2001) arXiv:cond-mat/0008216]

32. Lukyanov S., Pugai Y.: Multipoint Local Height Probabilities in the Integrable RSOS Model, Nucl. Phys. В 473, 631-658, (1996)

33. Zamolodchikov А. В., Zamolodchikov AI. В.: Conformal field theory and critical phenomena in two-dimensional systems. Physics reviews v. 10, 269433 (1989). (Ed.) I.M. Khalatnikov, London UK: Harwood 1989 (Soviet scientific reviews. Section A. 10.4)

34. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A. and Marichev О. I.: Integrals and Series,Vol.3, Gordon Breach Science Publishers, 1990

35. A. M. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys. Lett. В 103, 207 (1981).

36. A. B. Zamolodchikov, Infinite additional symmetries in two-dimensional conformal quantum field theory, Theor. Math. Phys. 65 (1985) 1205 Teor. Mat. Fiz. 65 (1985) 347].

37. J. L. Gervais, Introduction to differential W geometry, arXiv:hep-th/9310116.

38. A. V. Razumov and M. V. Savelev, Differential geometry of Toda systems, Cornmun. Anal. Georn. 2 (1994) 461 arXiv:hep-th/9311167].

39. С. N. Pope, A Review of W strings, arXiv:hep-th/9204093.

40. P. C. West, A Review of W strings, arXiv:hep-th/9309095.

41. V. A. Fateev and A. B. Zamolodchikov, Parafermionic currents in the two-dimensional conforrnal quantum field theory and selfdual critical points in Z(N) invariant statistical systems, Sov. Phys. JETP 62, 215 (1985) Zh. Eksp. Teor. Fiz. 89, 380 (1985)].

42. A. Gerasimov, S. Kharchev, A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov and M. Olshanetsky, Liouville type models in group theory framework. I. Finite-dimensional Algebras, Int. J. Mod. Phys. A 12 (1997) 2523 arXiv:hep-th/9601161].

43. S. Kharchev and D. Lebedev, Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain, Lett. Math. Phys. 50, 53 (1999) arXiv:hep-th/9910265],

44. H. Dorn and H. J. Otto, On correlation functions for noncritical strings with с < 1 but d > 1, Phys. Lett. В 291 (1992) 39 arXiv:hep-th/9206053].

45. H. Dorn and H. ,1. Otto, Two and three point functions in Liouville theory, Nucl. Phys. В 429 (1994) 375 arXiv:hep-th/9403141].

46. A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, Structure constants and conforrnal bootstrap in Liouville field theory, Nucl. Phys. В 477 (1996) 577 arXiv:hep-th/9506136].

47. A. B. Zamolodchikov, On the three-point function in minimal Liouville gravity, arXiv:hep-th/0505063.

48. I. К. Rostov and V. В. Petkova, Bulk correlation functions in 2D quantum gravity, Theor. Math. Phys. 146 (2006) 108 Teor. Mat. Fiz. 146 (2006) 132] [arXiv:hep-th/0505078].

49. A. A. Belavin and A. B. Zamolodchikov in Polyakov's string: Twenty five years after, arXiv:hep-th/0510214.

50. V. A. Fateev and S. L. Lukyanov, The models of two-dimensional conformal quantum field theory with Z(N) symmetry, Int. J. Mod. Phys. A 3, 507 (1988).

51. V. A. Fateev, Integrable Deformations Of Affine Toda Theories And Duality, Nucl. Phys. В 479 (1996) 594.

52. V. A. Fateev, Normalization factors, reflection amplitudes and integrable systems, arXiv:hep-th/0103014.

53. V. A. Fateev and A. V. Litvinov, On differential equation on four-point correlation function in the conformal Toda field theory, JETP Lett. 81 (2005) 594 Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 81 (2005) 728] [arXiv:hep-th/0505120].

54. M. Goulian and M. Li, Correlation functions in Liouville theory, Phys. Rev. Lett. 66 (1991) 2051.

55. A. Selberg, Bemerkninger orn et multiplet integral, Norsk Mat. Tidsskr. 26 (1944) 71-78.

56. Л. Teschner, On the Liouville three point function, Phys. Lett. В 363 (1995) 65 arXiv:hep-th/9507109[.

57. GO. V. A. Fateev arid A. B. Zamolodchikov, Conformal quantum field theory models in two-dimensions having Z(3) symmetry, Nucl. Phys. В 280 (1987) G44.

58. V. Fateev, A. B. Zamolodchikov and A. B. Zamolodchikov, Boundary Liouville field theory. I: Boundary state and boundary two-point function, arXiv:hep-th/0001012.

59. N. Seiberg, Notes on quantum Liouville theory and quantum gravity, Prog. Theor. Phys. Suppl. 102 (1990) 319.

60. P. Zograf and L. Takhtajan, Action of the Liouville equation is a generating function for the accessory parameters and the potential of the Weil-Petersson metric on the Teichmiiller space, Funct. Anal. Appl. 19 (1986) 219,

61. M. A. Olshanetsky and A. M. Perelomov, Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Rept. 71, 313 (1981).

62. E. Stade, On explicit integral formulas for g((n) Whittaker functions, Duke. Math. J. 60, 313 (1990).

63. E. Stade, Hypergeornetric series and Euler factor at infinity for L-functions on gl(3) x gl(3), Am. ,1. Math 115, 371 (1993).

64. E. Stade, Archimedean L-factor on (n) x gl(rc) and generalized Barnes integrals, Isr. J. Math 127, 201 (2002).

65. A. B. Zamolodchikov and V. A. Fateev, Sov. Phys. JETP 62 (1985) 215.