Космологические и сферически - симметричные точные решения в многомерных моделях гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Селиванов Алексей Борисович

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИ - СИММЕТРИЧНЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1б0£г 1

Москва, 2005

Работа выполнена в Учебно-научном институте гравитации и космологии Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Мельников В.Н.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук Иващук В.Д.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимиров Ю.С. кандидат физико-математических наук, доцент Гаврилов В.Р.

Ведущая организация:

Московский инженерно-физический институт

Защита состоится "_" _ 2005 г. в _час.

на заседании диссертационного Совета К 308.001.01 Всеросийского научно-исследовательского института метрологической службы, 119361, г. Москва, ул. Озерная, д. 46, ауд. _____

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Всеросийского научно-исследовательского института метрологической службы.

Автореферат разослан _" __ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

12Ш5

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Поиск единого описания всех взаимодействий, включая гравитацию, является одним из приоритетов современной теоретической физики. В последние полстолетия был достигнут значительный прогресс в объединении электромагнитного и слабого взаимодействий, выглядят оптимистично достижения в теориях великого объединения, суперсимметричных, струнных и суперструнных теориях. В настоящее время развиваются теории с з>бранами - М- и F- теории. Хотя в настоящее время не построено никакой более или менее реалистичной теории объединения, представляется желательным изучение общих свойств этих теорий и их применений к решению основных проблем современной гравитации.

Наличия дополнительных измерений пространства-времени и различных физических полей - скалярных, векторных, тензорных, помимо метрического поля - требует большинство современных теорий объединения. При этом либо дополнительные измерения предполагаются компактными с радиусом компактификации порядка планковской длины или характерного масштаба электрослабых взаимодействий, что обеспечивает эффективную четырехмерность пространства-времени на классических расстояниях, - либо выбирается модель "мира на бране", в которой "наш мир" погружен в объемлющее пространство и являет собой четырехмерную поверхность. К таким концепциям ведут в основном трудности, присущие общей теории относительности (неперенормируемость её квантового варианта в пертурбативном подходе, проблема энергии гравитационного поля). Реализованы эти концепции в виде целого ряда альтернативных общей теории относительности теорий гравитации — многомерных, скалярно-тензорных, биметрических и т. д. Возникает необходимость получения точных решений в дгтугШ1!Угит"тт'ту теориях а

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

также сравнения свойств точных решений различных теорий и их наблюдательных предсказаний, включая прямые наблюдательные следствия "многомерия".

Поскольку на сегодня нет приемлемой модели объединения, представляется целесообразным рассматривать простые, но в тоже время достаточно общие с точки зрения числа дополнительных измерений модели, основанные на многомерных уравнениях Гильберта-Эйнштейна в вакууме или с источниками различной природы, такими как космологическая постоянная, "идеальная" и вязкая жидкости, скалярные и электромагнитные поля, поля антисимметричных форм, ассоциированные с р-бранами.

Можно выделить следующие основные направления такого рода исследований:

1. Поиск точных решений уравнений гравитационного поля с материальными источниками в различных теориях гравитации. Они необходимы из-за существенной нелинейности общей теории относительности и её многомерных обобщений, что может таить в себе скрытые опасности для метода возмущений и численных методов в теории.

2. Исследование свойств точных решений, изучение их асимптотического поведения и классификация.

3. Изучение квантовых свойств гравитационного поля, в т.ч. на примере "космологических" метрик.

Традиционным инструментом в подходе квантовой геометродинами-ки является обобщенное уравнение Уилера-Девитта в пространстве (I? — 1)— геометрий (в Б—мерной модели).

4. Анализ свойств квантовых полей, взаимодействующих с гравитацией.

Первые три направления представлены в данной диссертационной работе; основной упор делается на сферически-симметричные решения и решения космологического типа.

Цели работы

1. Поиск новых точных решений в теории гравитации в пространствах различной размерности с источниками в виде физических полей (скалярных, полей форм) и многокомпонентной "анизотропной" жидкости, исследование метрических характеристик решений;

2. Поиск решений в квантово-космологических моделях;

3. Поиск возможных наблюдательных проявлений дополнительных измерений и низкоэнергетического приближения теорий объединения взаимодействий.

Научная новизна.

В работах, лежащих в основе диссертации

1. Впервые получены решения в моделях со скалярными полями и потенциалом в виде суммы экспонент от скалярных полей с векторными константами связи, отвечающие экспоненциальному и степенному расширению фактор - пространств, в контексте современной модели ускоренно расширяющейся Вселенной.

2. Обнаружена связь режимов расширения с рангом системы векторов дилатонных констант связи и обнаружен эффект изотропизации.

3. Получены космологические решения в моделях с полями форм, отвечающие экспоненциальному и степенному расширению внутренних пространств.

4. Получены новые сферически-симметричные решения с горизонтом в модели с многокомпонентной анизотропной жидкостью, в том числе имитирующие пересекающиеся М-браны.

5. Впервые получены решения уравнения Уилера-Девитта, соответствующие пункту 1.

Научная и практическая ценность.

Полученные точные решения и примененные методы решения могут быть в дальнейшем использованы для построения и изучения новых многомерных моделей с различными симметриями. Многие результаты получены для моделей достаточно общего вида с произвольными размерностями, сигнатурами фактор-многообразий, в широком классе полей и других материальных источников.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на семинарах ВНИИМС; на Третьей международной школе-семинаре "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (1 - 10 сентября 2003 г., Ульяновск), на Школе по современной математической физике (11 июля - 22 июля 2003 г., Дубна), на XIV Международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга 2002" (22 июня - 5 июля 2002 г., Казань).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения. приложений и списка цитируемой литературы, включающего 116 наименований. Объем диссертации составляет 92 страницы текста, набранного в издательской системе ЬаТеХ.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 - Введение - содержит мотивацию исследований, изложенных в диссертации, литературный обзор, описание структуры диссертационной работы и часто встречающиеся обозначения.

В Главе 2 изучается £)-мерная модель со скалярными полями и суммой потенциалов вида Л3е2Л"><р<*1 экспоненциально зависящих от скалярных полей ¡ра, в контексте современной модели ускоренно расширяющейся Вселенной. Векторные константы связи А8, коэффициенты А3 и размерности внутренних пространств - свободные параметры модели.

Получены классические решения, исследовано их поведение в следующем порядке.

1. Выбрана блок-диагональная космологическая метрика на многообразии, допускающем разбиение на прямое произведение риччи-плоских эволюционирующих подпространств. Наложенные на параметры модели условия (предположения об ортогональности и невырожденности некоторых векторов в пространстве мишеней) сводят уравнения движения к Тода-подобным цепочкам, соответствующим прямой сумме алгебр А\.

2. Выделены простейшие решения, отвечающие экспоненциальному и степенному расширению внутренних пространств. В работе доказано, что степенная зависимость масштабных факторов может иметь место только в том случае, когда векторные константы связи Х8 линейно независимы; экспоненциальная зависимость масштабных факторов возможна только в том случае, когда набор векторов А4 линейно зависим. Получено ограничение на векторные константы связи, которое дает решение с ускорением.

3. Изучена изотропизация асимптотического поведения класса общих решений, аттрактором которого служит выделенное выше решение. Каждая асимптотика со степенным, либо экспоненциальным поведением отвечает определенному подмножеству экспоненциальных членов в потенциале, при этом остальные члены не вносят вклада в асимптотическое поведение.

4. В квантовом случае решено уравнение Уилера-Девитта. получены квантовые аналоги соответствующих классических решений1. Выделено "основное состояние". Решения определены как произведения функций Бесселя, зависящих от (что существенно!) произведения V ■ Л3е2А,в^° -объёма рассматриваемого пространства на каждый из потенциалов (с некоторым коэффициентом). Аргументы функций Бесселя могут быть достаточно малы (то есть относиться к "квантовому домену") даже в том случае, когда масштабный фактор моделируемой "вселенной" имеет классические порядки в планковской шкале.

В Главе 3 изучается сигмагмодельное представление со связями, описывающее гравитирующую систему композитных р-бран в многомерной модели гравитации. Действие модели содержит антисимметричные формы и скалярные поля, связанные дилатонной связью. Оно возникает в низкоэнергетическом пределе теории суперструн и М—теории.

В случае, когда ранги всех форм равны размерности В многообразия, на котором определены (что для статических решений соответствует "доменным стенкам": р-браны имеют размерность граничной поверхности Г> — 1), потенциальный член в действии р-бранной модели сводится к набору экспоненциальных потенциалов скалярных полей. И, таким образом, задачу предыдущей главы можно рассматривать как частный случай данной модели.

1. Аналогично второй главе выбранное многообразие имеет структуру прямого произведения риччи-плоских пространств с зависящими от параметра ("времени") масштабными факторами, выбрана блок-диагональная метрика. Выписаны уравнения движения, отвечающие р-

'В интерпретации Хартля-Хокинга это есть "волновая функция Вселенной".

бранному действию. Каждая антисимметричная форма представлена в виде суперпозиции р-бран (в рамках композитного р-бранного анзаца).

2. Условия ортогональности и невырожденности некоторых векторов в пространстве мишеней приводят к вполне интегрируемой системе.

3. Выделены классы космологических решений со степенной и экспоненциальной зависимостями масштабных факторов от времени.

В Главе 4 рассматриваются сферически-симметричные модели с "анизотропной жидкостью". Данный объект представляет интерес в контексте моделей с антисимметричными формами и скалярными полями, в качестве визуализации их поведения.

В моделях космологического типа с антисимметричными формами без скалярных полей каждая р-брана эквивалентна анизотропной жидкости с уравнениями состояния: р, — означающими, что подпространство М„ соответственно, входит или не входит в "мировой объем" р-браны (здесь, р{ - эффективное давление в М{, р - эффективная плотность).

1. В отличие от двух предыдущих глав одно из внутренних пространств имеет постоянную кривизну:

М = Е, х (М0 = х (Мг — К) х ... х М„,

радиальная сферические время

переменная переменные

2. В главе моделируются пересекающиеся р-браны с горизонтом в общем случае и конфигурации с пересечением М2ПМ5— бран, а также двух М2—, либо двух М5—бран в О = 11 супергравитации.

3. Найдены гравитационная масса, постньютоновские параметры и температура Хокинга для черной дыры в случае наличия дополнительных измерений.

4. Зафиксирован следующий факт: в случае однокомпонентной жидкости вй = 4 метрика модели сводится к решению Райснера-Нордстрема линейной заменой координат.

В Заключении формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

В Приложениях приведены некоторые вспомогательные формулы, используемые в диссертации (компоненты тензоров Риччи, Римана, явный вид дифференциальных уравнений, отвечающих системам типа цепочек Тоды); выведены решения, соответствующие степенному и экспоненциальному расширению внутренних пространств, доказаны теорема и леммы, используемые для анализа поведения космологической модели; приведено лагранжево представление модели с идеальной жидкостью, решены соответствующие уравнения Эйлера - Лагранжа.

Основные результаты, полученные в диссертации

В диссертации в рамках многомерных моделей гравитации получен и исследован ряд космологических и сферически-симметричных решений, в том числе сферически-симметричные решения с анизотропной жидкостью, космологические решения с р-бранами. Основные полученные результаты могут быть представлены в следующем виде:

1. В модели со скалярными полями и потенциалом в виде суммы экспонент получено семейство многомерных космологических решений с риччи-плоскими внутренними пространствами;

1.1. выделены решения, отвечающие экспоненциальному и степенному расширению фактор-пространств;

1.2. получены ограничения на параметры модели, которые дают решения с ускорением;

1.3. обнаружена изотропизация асимптотического поведения некоторого класса общих решений;

1.4. в квантовом случае решено уравнение Уилера-Девитта и выделены решения, соответствующие основному состоянию.

2. В теории с несколькими скалярными полями и антисимметричными формами, ассоциированными с р—бранами, получен класс обобщенных 5-бранных многомерных космологических решений с риччи-плоскими внутренними пространствами;

2.1. выделен класс решений со степенным и экспоненциальным поведением масштабных факторов;

2.2. показано, что в частном случае ("доменных стенок") эта модель сводится к пункту 1.

3. В модели с многокомпонентной анизотропной жидкостью получен класс сферически-симметричных решений с горизонтом;

3.1. показано, что при определенных уравнениях состояния метрика решения может совпадать с метрикой пересекающихся "черных бран" в модели с антисимметричными формами без дилатонов;

3.2. на примерах М2— и М5— "черных бран" рассмотрено моделирование пересекающихся бран в = 11 супергравитации;

3.3. рассчитаны постньютоновы параметры, соответствующие 4-мерной части метрики и температура Хокинга;

3.4. получена метрика Райснера-Нордстрема из Э = 4 модели с од-нокомпонентной жидкостью.

Результаты диссертации опубликованы в работах

1. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. and Selivanov A.B., On composite S-brane solutions on product of Ricci-flat spaces // Gen. Rel. Grav. -2004. - 1593-1602. - 36.

2. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. and Selivanov A.B., Cosmological solutions in multidimensional model with multiple exponential potential // JHEP. - 2003. - 059. - 0309.

3. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. and Selivanov A.B., Simulation of intersecting black brane solutions by multicomponent anisotropic fluid // Gravitation & Cosmology. - 2003. - 50-54. - 9.

4. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. and Selivanov A.B., Multidimensional black hole solutions in models with an anisotropic fluid // Gravitation & Cosmology. - 2001. - 308-310. - 7.

5. Ivashchuk V.D., Melnikov V.N. and Selivanov A.B., Multidimensional black-brane-type solutions with multicomponent perfect fluid // Contributions to V international conference on gravitation and astrophysics of asian-pacific countries, Moscow. - 2001. - стр. 98.

6. Selivanov A.B., Cosmological type solutions in multidimensional model with multiple exponential potential // Abstracts of The third international school - seminar "Problems of theoretical and observational cosmology", Ulyanovsk. - 2003. - стр. 38.

7. Селиванов А.Б., Имитация пересекающихся "чернодырных" решений многокомпонентной анизотропной жидкостью // Тезисы докладов XIV Международной летней школы-семинара по теоретической и математической физике "Волга 2002", Казань. - 2002. -стр. 21.

V

>

■V

РЫБ Русский фонд

2006-4 25966

Подписано к печати 9.11.05 Заказ №1128. Тираж 100 экз. Бумага KYM ULTRA «СПЦ-ПРИНТ», ул. Вавилова, 27

1 Введение

1 Актуальность.

1.1 Зачем нужны точные решения?.

1.2 Дополнительные измерения.

2 Обозначения и единицы.

2 Скалярное поле.

1 Модель

2 Поиск общего решения.

2.1 Минисуперпространство.

2.2 Классические решения.

3 Исследование эволюции внутренних пространств.2Я

3.1 Степенные решения.

3.2 Решения с экспоненциальным расширением

3.3 Пример с одной экспонентой.

4 Изотропизация решений.

4.1 Общий случай.

4.2 Частный случай с поведением Казнеровского типа в нуле

5 Квантовые решения.

5.1 Общее решение.

5.2 Частный случай

6 Обсуждение.

3 Модель с антисимметричными формами.

1 Исходная модель.

1.1 Частные решения.

1.2 Ускорение внутренних пространств.

2 Обсуждение.

4 Модель с анизотропной жидкостью.

1 Решения с анизотропной жидкостью.

2 Моделирование пересекающихся бран с горизонтом

3 Физические параметры

3.1 Гравитационная масса и постньютоновы параметры

3.2 Температура Хокинга.

4 Однокомпонентная жидкость.

4.1 Решения Райснера-Нордстрема.

5 Обсуждение.

В 80-е годы на смену теорий супергравитации пришли суперструнные модели [13]. Во всех этих теориях 4-мерные гравитационные модели с дополнительными полями получались из многомерных моделей путем размерной редукции, основанной на представлении исходного многообразия в виде М = М4 х Mint, где М4 - 4-мерное многообразие и Mint ~ некоторое внутреннее многообразие (обычно компактное).

Компактность дополнительных измерений обеспечивает в рассматривавшихся до некоторого времени многомерных моделях (на полный перечень которых данный мини-обзор вряд ли претендует) эффективную четырехмерность пространства - времени на расстояниях, превышающих размер компактификации. Альтернативой такой концепции, стало представление "мира на бране". Этот подход предполагает локализацию вещества на трехмерном многообразии - "бране", вложенном в объемлющее многомерное пространство, за счет удерживающего потенциала. Основное достоинство этой модели состоит в возможности экспериментального обнаружения больших дополнительных измерений. Действительно, для непосредственного обнаружения измерений, компактифицированных на планковском масштабе, необходима энергия 1019 ГэВ [14], хотя рассматривался вариант поиска дополнительных измерений с радиусом компактификации порядка характерного масштаба элетрослабых взаимодействий (см. ссылки в обзоре [14]).

Работы последних лет.

Космологические и сферически-симметричные решения в гравитации тесно взаимосвязаны. Впервые многомерное обобщение решений такого типа было получено Д. Крамером [21] и затем переоткрыто А.И. Легким [22], Д. Гроссом и М. Перри [23] и другими.

В работе [24] решение Шварцшильда было обобщено на случай п внутренних риччи-плоских пространств. Было показано, что конфигурация типа черной дыры имеет место только в случае постоянных масштабных факторов внутренних пространств. В работе [25] было получено аналогичное обобщение решения Тангерлини. В [28, 27] рассматривались решения типа дилатонных черных дыр и обобщения на электровакуумный случай. В [28] была доказана теорема о неустойчивости нечернодырных решений (относительно монопольных возмущений). В работе [29], посвященной экстремальным заряженным ди-латонным черным дырам, были получены обобщенные решения типа Маджумдара-Папапетру с ненулевой космологической постоянной. В статье [30] были получены пионерские решения типа Маджумдара-Папапетру в размерности D — 4 с конформным скалярным и электромагнитным полями. сг-модели

Низкоэнергетический предел теорий суперструн и М-теории приводит к моделям с действием, включающим набор дилатонных скалярных полей и антисимметричных форм, связанных дилатонной связью при рассмотрении определенных классов чисто бозонных решений. При этом исходное многообразие разбивается на прямое произведение пространства-времени и скомпактифицированных подмногообразий, обычно ориентированных и связных. Простейшим случаем при рассмотрении данной модели является случай, когда масштабные факторы всех пространств зависят только от одной координаты. Решение в такой модели (обычно с плоскими внутренними пространствами) рассматривались многими авторами [51, 52, 53, 54, 55], однако при этом не использовалась какая-либо определенная общая схема для получения решений. Налагавшиеся на параметры модели (дилатонные константы связи, размерности р-бран и их пересечений, общую размерность исходного многообразия) соотношения - по сути, соотношения ортогональности [/—векторов, ассоциированных с р-бранами, см. приложение А.

В работе [43] была предложена общая схема получения решений в моделях с р-бранами, основанная на о—модельном подходе. В данное подходе уравнения движения для исходного лагранжиана сводятся к уравнениям для эффективной сигма-модели заданной на пространстве масштабных факторов и дилатонных скалярных полей, зависящих только от координат одного подпространства1.

В рамках данного подхода было найдено большое количество различных типов решений. В работах [42, 50] были получены решения типа Маджумдара-Папапетру (в некомпозитном случае см. [43, 44]). Эти решения, соответствуют риччи-плоским внутренним пространствам (Mi, дг), г = 1,., п. В работе [42] было показано, что в случае композитного электромагнитного р-бранного анзатца после размерной редукции исходная модель сводится к гравитирующей самодействующей сг-модели со связями (в электрическом случае см. также [43, 44]) и получено обобщение решений на случай дополнительных эйнштейновских внутренних пространств (ненулевой кривизны). В случае одномерных внутренних пространств сигма-модельное представление было распространено в работе Д.В. Гальцова и О.А. Рычкова [45] на не-блок-диагональный случай (для одной и двух р-бран). Статья [42] обобщает работы В.А. Березина и др. [46], М. Райнера и А.И. Жука [47].

В ортогональном случае (см. приложение А) широкий класс решений космологического типа (в т.ч. сферически-симметричных) был хПо всей видимости, [17,18] - первые работы, в которых была применена схема сведения урав;: нений Гильберта-Эйнштейна и некоторых конфигураций полевых уравнений к цепочкам Тоды (общая схема дана в прил. А, по цепочкам Тоды см., например, [6]). В указанных работах были найдены общие семейства решений, включающие в себя результаты, полученные Соркиным [19], Гроссом и Перри [23] для пяти- и шести-мерных многообразий. В работе [20] использована та же аналогия системы, включающей гравитацию и антисимметричные формы, с трехчастичной "молекулой Тоды", уже в более свободной постановке задачи на D—мерном многообразии. Дальнейшее развитие в этом направлении см. в [1].

Проведенная московской группой большая работа в направлении оптимизации этой схемы и соответствующей классификации решений в области многомерной гравитации отражена в ссылках данного параграфа. получен в [67] (см. также частные случаи в [56, 57, 58]). Решения с горизонтом (чернодырные и их мембранные обобщения) рассматривались также в работах [59, 60, 61, 62, 67, 63] и др. В [62, 64] был доказан ряд утверждений, относящихся к связи между температурой Хокинга и сингулярностью кривизны и к многовременным решениям. В работе К.А. Бронникова и В.Н. Мельникова [65] подробно исследовалась проблема стабильности сферически-симметричных решений с р-бранами (о проблеме устойчивости см. также [66]). В работах [27], были получены многовременные обобщения решений Шварцшильда и ^ Тангерлини, где также было найдено обобщение закона Ньютона на $ многовременной случай.

Наиболее широкий класс р-бранных решений с одной гармонической функцией и пересечениями общего вида был получен в [50], путем сведения задачи к лагранжевой системе тодовского типа с помощью, метода нулевых геодезических (см., например, [68]). Частные подклассы этих решений ("ортогональных" и "блок-ортогональных") были получены ранее в [67]. В работе [67] было также проинтегрировано конформно-ковариантное уравнение УДВ в случае "ортогонального" пересечения р-бран. (В некомпозитном случае см. также [57].) В менее общем случае несколько иной подход (с классическими полями форм) был предложен в работе американской группы [70]. В работах [71, 72] были получены точные решения в моделях с пересекающимися # р-бранами в случае статических внутренних пространств. Был рассмотрен способ генерации эффективной космологической постоянной с помощью р-бран.

Обзор по гравитирующим сигма-моделям см. в [49].

Уравнение Уиллера-ДеВитта.

По сути уравнение Уиллера-ДеВитта (далее - УДВ) [74] - операторное выражение классических соотношений на энергию, получающихся в результате варьирования действия по функции хода. Работа [75] дает интерпретацию собственной функции такого выражения: "волновав функция Вселенной".

Многомерное конформно-ковариантное обобщение УДВ в случае вакуумной космологической модели с п пространствами постоянной кривизны было впервые получено в работе [107] и проинтегрировано в частном случае двух фактор-пространств (одно из которых риччи-плоское). Конформно-ковариантное уравнение УДВ в общем контексте рассматривалось также в [101, 102] (см. также [76] и ссылки, данные в работе.)

Уравнение УДВ для случаев космологической постоянной и идеальной жидкости было исследовано в работах [100, 99] и [69], соответственно. Точные решения в случае 1-компонентной идеальной жидкости со скалярным полем детально изучались в [110]. В работе [103] были получены многомерные квантовые кротовые норы - решения с особым поведением волновой функции (см. [104]). Эти решения были обобщены на случай космологической постоянной и идеальной жидкости в работах [100, 99] и [69, 110], соответственно. В [77] было получено "квантовое бильярдное" решение уравнения УДВ (точнее, его аппроксимация вблизи сингулярности). В ряде работ также были рассмотрены "третично-квантованные" многомерные космологические модели, см. статью [110] и её библиографию.

Ускорение" Вселенной.

Недавнее открытие ускоренного расширения вселенной [78, 79] стимулировало выход множества статей по многомерной космологии с целью объяснить это явление, используя многомерные модели - в частности, суперструны или супергравитацию (см., например, работы [81]-[90]). Традиционно рассматриваются зависимые от времени масштабные факторы внутренних пространств, обходя "no-go"-теоремы для статических (и компактных) внутренних пространств [96]. Стоит отметить, что некоторая часть публикаций основана на старом "запасе" решений (иногда открытый вновь или написанный в различной параметризации) .

Простой пример вакуумного решения с ускорением рассматривался Таунсендом и Вольфартом в [81]. Это - (4 + п)-мерное решение вакуумных уравнений Эйнштейна с n-мерным внутренним пространством отрицательной кривизны плюс 4-мерный "наш мир", содержащее расширяющееся 3-мерное плоское подпространство. Более общие решения были найдены в 1995 г. (см [108]). Решение [108] было обобщено на скалярно-вакуумный случай в [109, 110, 111] и для конфигурации композитных р-бран в [67] (частный случай разобран в [57]; см., также, обзор [112]).

Лагранжиан

С = R[g] - KpgMNdMyadN^ - £ Л exp[2Aa((/?)](Fa)2, а Па' изучаемый в гл. 3 (см. Обозначения) в контексте космологии, возникает в низкоэнергетическом пределе теорий суперструн и М-теории [31, 32, 33] (а также F-теории [34]). При определенных составах полей с выделенными значениями общей размерности, рангов антисимметричных форм, констант дилатонных связей такие лагранжианы появляются в "усеченных" бозонных секторах (т.е. без слагаемых Чёрна-Саймонса) определенных теорий супергравитации [9, 10].

Для D = 11 супергравитации [9], которая рассматривается сейчас как низкоэнергетический предел гипотетической М-теории [31, 36, 32,

33, 35], бозонный сектор содержит метрику и 4-форму (скалярные поля отсутствуют). При D = 10 можно рассматривать в качестве примера супергравитацию типа I с метрикой, скалярным полем и 3-формой, супергравитацию типа IIА с бозонными полями супергравитации типа I, образующими NS — NS-сектор (NS - сокращение для "Neveu-Schwarz") и, кроме того, 2-формой и 4-формой в R — R-секторе (R - сокращение для "Ramond"), а также супергравитацию типа IIВ с бозонными полями супергравитации типа I (NS — NS сектор) и, кроме того, 1-формой, 3-формой и (самодуальной) 5-формой (R — R сектор). Как полагают сейчас, все пять суперструнных теорий (/, IIA, IIB и две гетеротических с калибровочными группами G = Е$ х Eg и Spin(32)/Z2) [13] вместе с 11-мерной супергравитацией [9] являются предельными случаями М-теории. Все эти теории связаны между собой преобразованиями дуальности [31, 35].

Список теорий супергравитации не ограничивается только размерностями D = 10,11 и сигнатурой (—,+,.,+). Можно изучать супергравитации в размерностях D < 11 (в т.ч. полученные размерной редукцией из 11-мерной супергравитации [37]) или 12-мерную супергравитацию с двумя временами [38], или евклидовы супергравитации [39]. Также было высказано предположение, что теория суперструны типа IIB может быть получена из 12-мерной теории, называемой F-теорией [40, 34]. В работе Н. Кхвиенгиа и др. [41] был получен (деформированный) низкоэнергетический эффективный (бозонный) лагранжиан для F-теории. Полевой состав этой 12-мерной полевой модели таков: метрика, одно скалярное поле (с отрицательным кинетическим членом), 4-форма и 5-форма.

Тема и структура диссертации. Основная цель диссертации состоит в изучении интегрируемости моделей и анализе полученных космологических и сферически-симметричных решений.

В данной диссертации рассматриваются простые, но в то же время достаточно общие с точки зрения числа дополнительных измерений модели, основанные на многомерных уравнениях Гильберта-Эйнштейна в вакууме или с источниками различной природы, такими как

- космологическая постоянная,

- "идеальная" и "анизотропная" жидкости,

- скалярные и электромагнитные поля,

- поля антисимметричных форм (ассоциированные с р-бранами), '

- их взаимодействия и т.д.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, включающего 116 наименований. Объем диссертации составляет 92 страницы текста, набранного в издательской системе LaTeX.

в диссертации в рамках многомерных моделей гравитации получен и. исследован ряд космологических и сферически-симметричных реше ний, в том числе сферически-симметричные решения с аршзотропной

жидкостью, космологические решения с ]7-бранами. Основные полу ченные результаты могут быть нредставлены в следуюш,ем виде:

1. В модели со скалярными полями и потенциалом в виде суммы

экспонент получено семейство многомерных космологических ре шений с риччи-плоскими внутренними пространствами;

1.1. выделены решения, отвечаюш,ие экспоненциальному и сте пенному расширершю фактор-пространств;

1.2. получены ограничения на параметры модели, которые дают

решения с ускорением;

1.3. обнаружена изотропизация асимптотического поведения неко торого класса обш,их решений;

1.4. в квантовом случае решено уравнение Уилера-Девитта и вы делены решения, соответствуюш;ие основному состоянию. 2. В теории с несколькими скалярными полями и антисимметрич ными формами, ассоциированР1ыми с р—бранами, получен класс ГЛАВА 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 68

обобш,енных б'-бранных многомерных космологических решений

^^ С риччи-нлоскими внутренними нространствами; ,

2.1. выделен класс решений со стеиенным и экспоненциальным

поведением масштабных факторов;

2.2. показано, что в частном случае ("доменных стенок") эта мо дель СВ0ДР1ТСЯ к пункту 1. 3. В модели с многокомпонентной анизотронной жидкостью получен

класс сферически-симметричных решений с горизонтом;

* 3.1. показано, что при определенных уравнениях состояния мет рика решения может совпадать с метрикой пересекаюш;ихся

"черпых бран" в модели с антисимметричными ф о р м а м и беэ

дилатонов;

3.2. на примерах М2— и М 5 — "черных бран" рассмотрено моде лирование нересекаюш,ихся бран в D = 11 супергравитации;

3.3. рассчитапы постньютоновы параметры, соответствующие

4-мерной части метрики и температура Хокинга;

3.4. получена метрика Райснера-Нордстрема из Z) = 4 модели с

44 однокомпонентной жидкостью. Полученные точные решения и примененные методы решения могут

# быть в дальнейшем иснользованы д л я ностроения и изучения новых

многомерных моделей с различными симметриями. Многие результа ты получены для моделей достаточно обш,его вида с произвольными

размерностями, сигнатурами фактор-многообразий, в широком классе

полей и других материальных источников. Основные результаты диссертации содержатся в работах [ И З , 114,

115, 116]. Результаты работы докладывались на семинарах В Н И И М С ; ГЛАВА 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 69

на Третьей международной школе-семинаре "Проблемы теоретиче ской и наблюдательной космологии" (1 - 10 сентября 2003 г., Улья новск), на Школе но современной математической физике (11 июля

- 22 июля 2003 г., Дубна), на XIV Международрюй летней школе семинаре но теоретической и математической физике "Волга 2002"

(22 июня - 5 июля 2002 г., Казань). В заключение автор считает своим долгом выразить благодарность

своему научному руководителю нрофессору Мельникову Виталию Ни колаевичу за поддержку и содействие в работе над диссертацией. Ав тор также выражает глубокую благодарность и признательность на учному консультанту, доктору физико-математических наук Иващук

Владимиру Дмитриевичу за номощь и тернение во время совместной

работы. А также Гринек Степану Владимировичу, Константинову Михаи лу Юрьевичу и Фильченкову Михаилу Леонидовичу за обсуждение и

полезные замечания.Глава 6

Прилож:ения

i^ § А Уравнения движ:ения

Действие, которым мы руководствуемся в третьей главе, в некоторой

степени является обобщением (2.1), ноэтому нереход к эффективному

действию в обоих случаях основан на одной схеме. Как уже указыва лось, уравнения Эйнштейна

'T^MN — -^QMNTI = TMN (^-1)

для метрики вида (2.6) в предположении эйнштейновости внутрен ,^ них пространств в космологическом и сферически-симметричном слу чаях сводятся к Тода-нодобной Лагранжевой системе. Тензор Риччи имеет, аналогично метрике, блок-диагональную струк ^ туру {IZmiTij = о V г 7^ j''); индексы M,N последовательно пробегают

О,ттт-о,...,гпп, где гпг — 1,... ,di, di - размерность Г-ГО подпростран ства. Обозначив кривизны внутренних пространств 7о'^\ выпип1ем

ненулевые (тождественно) компоненты тензора Риччи ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 71

и формулу для скалярной кривизны:

Очевидно, в рассмотренных в главах 2, 3 случаях Риччи-плоских

пространств (см. космологические решения) кривизна пространства

полностью определяется масштабными факторами внутренних нро странств. Далее, простая подстановка (А.4) в начальное действие приводит

к сг-модельному действию, вариация которого приводит к уравнени ям, аналогичным уравнениям Эйнштейна и полевым уравнениям (см. (2.3), (2.4)), отвечаюш;им нашей модели. На этом этане вполне есте ственны нереход к гармонической калибровке и унификация масштаб ных факторов и скалярных полей в пространство мишеней (см. §1.2.1). Выписав уравнения движения для лагранжиана (2.24) и сделав под становку Uj^x^ — q^, получим цепочку Тоды:

^ ^ . , , ^'' > .(А.5)

решения которой давно известны и классифицированы [6]. Связь

множителя As' [U^^ U^') с матрицами Картана в явном виде выписана

в [1]. В представленной работе рассмотрена только простейшая кон фигурация Ai + ... + Ai, соответствуюш;ая тому случаю, когда пред ставляюш,ая цепочку Тоды система разбивается на набор уравнений

Лиувилля. В работе этот выбор называется условиями ортогонально сти и невырожденности U^- векторов: ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ

= о, S ^ s'-

ф 0. (А.6)

Несмотря на существенные ограничения на модель, на многие из

открытых на сегодня решений мы выходим иосле ряда её унрощений. § В Динамика внутренних пространств

Расширение по степенному закону

Здесь выводятся решения (2.43) - (2.46) из общих иосылок. Отталки ваемся от соотношения (2.26), которое может быть записано в нашем

случае следующим образом-'-;

где г/. > 0. Вводя 1-ювую переменную г > О по формуле

С > 0 , - (В.8/

перепишем (В.7) в следующей форме:

.t/^^lnr + x^ (В.9)

с константами

In [у/ЩЩс) . (B.IO)

•^Некоторое переобозначение индексов ка„ —> hs не должно вводить в заблуждение.ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 73

В силу ортогональности U^- векторов ограничение на константы ин--

тегрирования [Т^ с^ ^ = О нринимает вид:

--1п(л/|2Л,//г, |С). (В.11)

Приведем соотношение (В.9) для (х^) = (0^, (/?") покомпонентно:

Для 7о(0) = Y1 ^гф^ ^Ь1 получаем:

где 00 = E^i^o-

Из определения "синхронного времени"

мы получаем:

т.о., (В.11) запишется, как

Решение (2.43) - (2.46) следует из формул (В.12), (В.13), (В.15),

. (В.17) и Л = ехр(24)- ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 74

Экспоненциальное расширение

Решение (2.50) - (2.52) может быть получено по схеме, аналогичной

степенному. Единственное отличие здесь - соотношение

и = Сехр{Мг), С>0, (В.18)

в отличие от (В.8). Иснользуя ту же нроцедуру, что приведена выше,

находим метрические параметры и скалярные ноля:

cpl (В.20)

Гармонический масштабный фактор

Из (В. 15) получаем:

Вводя новый нараметр т = —M/{D — 1), приходим к уравнениям

(2.50)-(2.52). § С 6—подчиненный набор векторов

Соотношения данного приложения основаны на соотношениях (2.21) и

(2.22)), которые использованы в Определении &-нодчиненного множе ства (см. ниже). Условия для эксноненциального расширения следуют

из Теоремы. Лемма 2 иснользуется при анализе расширения внутрен них пространств по степенному закону.ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 75

В дальнейшем {Aj} будем обозначать набор векторов Ai,..., А^ G

И , ^ G IN. Векторное пространство IR снабжено скалярным произве дением (в работе оно соответствует положительно онределенной мат рице

Определение. Пусть, 6 > 0. Набор векторов {Аг} называется Ь нодчиненным, если

Ai • Xj = о, (С.23)

А? ^ 6 , (С.24)

Л е м м а 1. Пусть К — {Хг- Xj) - матрица, составленная из скалярных

произведений Ь— подчиненных векторов {А }^. Тогда

detK = {В + 1) Д ( А 2 - 6), (С.25)

J^^—^. (С.26)

Доказательство. Используя соотношения

представляем матрицу К как произведение матрицы К и диагональ ной матрицы D:

^ -, Dij ::^ SijiX^i - Ь) (С.28) ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 76

Произведение детерминантов detD и detJ^ есть детерминант нро изведения (С.25). Здесь мы иснользовали соотношение detJ^ = J5 + 1,

нроверяемое нрямой подстановкой. Теорема. Пусть, {Aj} - 6—подчиненный набор. (AJ ЛИРЮЙРЮ зави сим в том, и только в том случае, если

Б = Б(А1,...,А,,) = - 1 . (С.29)

Тогда

Е А А Ь = О (С.ЗО)

и любое подмножество m — 1 векторов из {А }^ линейно независимо. Доказательство. Линейная зависимость векторов {Aj} эквивалент на выражению detK = О, что равнозначно (в соответствии с Леммой

1) соотношению (С.29). Из уравнений

получаем: B{Xi,..., A^-i) 7^ —1, и, т.о., векторы Ai,..., A^-i линейно

зависимы. Очевидно, любые m — 1 А-векторов линейно независимы. Для доказательства (С.ЗО) рассмотрим вектор

Используя (С.27), получим:

Х'^ = В{В + 1)/Ь = 0 (С.ЗЗ)

и, соответственно, А = 0. Теорема доказана. Из теоремы, в частности, вытекает, что количество 6-подчиненных

векторов: тп < I + 1. (равенство т — I -\-1 имеет место, когда вектора

линейно зависимы.) ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ

Л е м м а 2. В &—подчиненном наборе

a. имеется не более одного вектора Aj, для которого вынолняется

А? < Ь;

b. В > —1 44> векторы Aj линейно независимы и все А? > 6. Доказательство. а. Предположим, есть два вектора А^ , А^ , такие, что А? < 6 и А| < 6. Тогда 6^ = (Aj • Aj)^ < А?А| < 6^ - мы пришли к противоречию. 5. Если В > —1, то по Теореме векторы линейно независимы и, т.о.,

матрица (А^ • Xj) = [Kij] положительно определена. Откуда следует

detX > 0. Из соотношений (С.25) и части а. Леммы получаем: А? > 6

для всех векторов. Теперь, пусть векторы {АГ} линейно независимы и все А? > Ъ. Тогда

deiK > О, и в соответствии с (С.25), 5 + 1 > 0. Лемма доказана. § D Лагранж:ево представление модели с идеаль ной ж:идкостью

Занишем "законы сохранения" (4.7), с учетом соотношений (4.9) и

(4.6), в следуюндей форме:

Используя уравнения состояния (4.8), мы получаем:

где 7о(<?^ ) Y1 ^1ф\ я As - произвольные константы. Уравнения Эйнштейна (А.1), с учетом ограничений (4.8) и (D.35),

сводятся к Лагранжевой системе ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 78

где потенциал

получает дополнительный член, обусловленный кривизной внутрен него нространства, который мы можем унифицировать в рамках ми нисуперпространства (см. приложение А и главу 2). Vf^ф^ = -00 + ^0(0), uf) = -5^ + di, Ао = ^do{do - 1), (D.38)

i = О,... ,п. В гармонической калибровке 7 = 7о(0) приходим к лагранжиану:

L = -вг^ф'ф^ - У, (D.39)

с ограничением по энергии:

Е = -Сгуф'ф^ + У = 0. (D.40)

Из ограничения ^д = О следует, что

Действительно, контравариантные компоненты вектора

' имеют вид:

дальнейшем также воспользуемся формулой

i . ^ ([/(0)^^(0)) ^ 1 . _ 1 < О, (D.43)

До "о

при dQ> 1. Далее будем нумеровать набор, включающий векторы и^^") грече скими буквами а — О,..., ш и оставим индексы s — 1 , . . . , m.ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 79

§ Е Общие сферически-симметричные и космо логические реп1ения

С учетом соотношений ортогональности (D.41) и З'' (4.10) уравнения

Эйлера-Лагранл<а для (D.39) с потенциалом (D.37) имеют следующие

решения (см. соотношения в [106]):

]-n\f(v—ii М 4- r^v Л- г^ CF, 44')^

где По; (а = О,..., ш) - константы интегрирования; векторы с = (с*) и

форму:

= О, (Е.47)

• = 0. (Е.48)

Здесь

-RQ = у^2|Ло;//1а|, Va = —sign(^Q,//iQ,); параметры /ZQ, определены в

(4.17) и (D.43), а = О,...,т.ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 80

Ограничение но энергии, соответствующее (Е.44), имеет вид

ЬаСа + -Gi.-cV = 0. (Е.5О .^

Из (Е.44) мы нолучаем следующие соотношения для метрики (см. также (2.12), (D.42) и (D.43))

где fa = fa{u — Ua) (здесь МЫ учли, ЧТО diU^ + ^ и^ и (D.43)). Уравнения с горизонтом. Принимаем константы интегрирования

в форме:

с' = О, (Е.52)

/ ^ Г,2 /-Р С4\

L/Q; jJ> , yill.04:J

где Д > О, а = О,..., m. Также вводим новую радиальную неременную г = r('?/) но формуле

ехр(—2/i?i) = 1 т, /i = ///(i > О, d = dQ — 1, (Е.55) ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЯ 81

Теперь можем ввести параметр Ps {Ps > 0), руководствуясь соотно шениями

и, т.о.,

-As = -hsd^Ps{Ps + 2А^), ( Е . 5 8 )

см. (D.35). Мы пришли к формулам (4.12), (4.13) главы 4.

1. Иващук В.Д., Точные решения в многомерных моделях гравитации, Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. (ОИЯИ) Дубна, 2003

2. Калуца Т.К., К проблеме единства физики // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979, стр 529

3. Brans С., Dicke R.H., Mach's principle and a relativistic theory of gravitation, Phys. Rev. D 124, 3, 925-935 (1961).

4. Владимиров Ю.С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. М.: Изд-во МГУ, 1987.

5. Владимиров Ю.С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. М.: Наука, 1989.

6. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990.

7. Рубаков В.А., Классические калибровочные поля, М.: Эдиториал УРСС, 1999

8. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля М.: Наука, 1993

9. Cremmer Е., Julia В., Scherk J., Supergravity theory in eleven, dimensions, Phys. Lett. В 76, 409-412 (1978).

10. Salam A., Sezgin Е. (eds.), Supergravities in diverse dimensions, reprints in 2 vols., World Scientific, Singapore, 1989.

11. Бухбиндер И.JI., Кириллова Е.Н., Изв. Вузов. Физика, 6, 20 (1988).

12. Deser S., Zumino В., Phys. Lett., 62В, 335 (1976).

13. Green М.В., Schwarz J.H., E. Witten E. Superstring theory,vol.1,2, Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1987.

14. Рубаков В.А., Большие и бесконечные дополнительные измерения, УФЕ, 171, 913 (2001)

15. Под ред. С. Феррары, Дж. Тейлора, Введение в супергравитацию Перевод с англ. Д. В. Гальцова, А. А. Цейтлина; Под ред. Д. В. Гальцова, Р. Э. Каллош; Авт. предисл. Р. Э. Каллош] М.: Мир, 1985.

16. Биррелл Н., Девис П., Квантованные поля в искривленном пространстве-времени, М.: Мир, 1984.

17. S.C. Lee, Kaluza-Klein dyons and the Toda lattice, Phys. Lett., 149B, 98 (1984)

18. S.C. Lee, Phys. Lett, 149B, 100 (1984)

19. Sorkin R., Phys. Rev. Lett., 51, (1983), 87

20. Gibbons G.W., Maeda K., Black holes and membranes in higher-dimensional theories with dilaton fields, Nucl. Phys. В 298, 4, 741775 (1988).

21. Ivashch.uk V.D., Melnikov V.N., Intersecting p-brane solutions in multidimensional gravity and M-theory, Grav. Cosmol. 2, 4, 297305 (1996).44