Краевые задачи для дифференциальных уравнений и систем с частными производнычи, не разрешенных относительно старшей производной по времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ЛЫ31ВСЫШЙ ДЕРЖАВШИ УН1ВЕРСИТЕТ 1М.1В.ФРАНКА

На правах рукописи

КОМАРНЩЬКА ЛЕСЯ 1ВАН1ВНА

КРАЙОВ1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ ДИФЕРЕНЦШЬНИХ Р1ВНЯНБ ТА СИСТЕМ 13 ЧАСТЙНШМИ ПОХ1Д1ШМИ, НЕ РОЗВ'ЯЗЛНИХ вщюсно СТАИЮГ ПОХ1ДНОГ ЗА ЧАСОМ

01.01.02. - дифервнц1.альн1 р!внянш АВТОРЕФЕРАТ

дисертацИ на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-матемзтичкюс наук

ЛЬВ1В - 1995

Дисертац1я в рукошсом.

Робота виконана на кафедр1 диференц1альних р1шянь Льв1вського державного ун1верситету 1м. 1в. Франка та в 1нститут1 прикладних. проблем механ1ки i математики 1м. Я.С.П1дстригача HAH УкраХни.

Науковий кер1выик - доктор фХзико-математичних наук,

професор Пташник Б.Й. 0ф1д1йн1 опоненти: доктор ф1зико-математичних наук, професор Горбачук М.Л. (1нститут математики HAII УкраТни, м.Ки1в),

доктор ф1зико-математичша. наук, професор Хоыа Г.П.

(Терноп1льськкй державний педагог1ч-ний 1нститут).

Пров1даа орган1зац1я - Нац1ональниЯ техн1чний ун1верситет Украйш (Ки1всъкий пол1техн1чниЯ 1нститут).

Захкст в!дОудеться .1995 р. о год. на

зас1данн1 спеи1ал1з^1.:;яо! вчено! Ради Д 04.04.01 при Льв1Еському державному ун1верситет! 1м.1в.Франка за адр<?сою: 290001, м.Льв1в, вул. УнХЕерситетська. 1. 3 дасертац1ею южна ознайомитися ь нэуксЕ1й GlcüiloTeul Льв'.вського деркун1верентету (м.Льв1ь, Бул. Драгоманова, 5).

Автореферат роз!слано ?•¡-ч-г.'-Л с->хре?ар ,

rnfuis.-.lscb^Kjt Ради ^ОЬ^^у Микиткк fí.S.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теш. При розв*язуванн1 ряду задач г1дродинам1ки виникають л1н1йн! дифэренц1альн1 р1еняння 1з час-тинними пох1дними, нз розв'язан1 в1даосно старшо! пох1дно1 за часом:

П-1

Е ,х), (1)

и* О

дэ оператор 10(х;Ох) - ел1птичний. Ц1 р1вняння не задовольняють умови Кош1-Новалевсько1. НекласичШсть р!внянь (1) проявляемся в тому, що нав1ть найпрост!ш1 крайов1 задач1 для них не завжди в розв'язШ. У випадку п=1 так1 р!вняння були отриман! яри. вивченн! деяких тип1в хвиль в тонких шарах р1дини на поверхн! кул1, що обертаеться. При п=2 частотами випадками р!вняння (1) е р1Еняння С.Л.Соболвва, яке описув мал1 коливання 1деально1 р1дини в посудин1, що обергаеться, аналог р!вняння С.Л.Соболева для коливань в'язко! р1дини, р1вняння дин2м1ки стратиф1кованих р1дин тощо.

Основи творИ р1внянь, не розв'яззшгх в1дносно старшо! пох!дно1, були закладен1 в роботах С.Л.Соболева, де вивчалися задача Кош1, а такон м1шан! задач1 для р!вняння

д\(о1 +1)1 +Г?Х )ишго1 и=/(Ч,:г;.

1 хг з * з

Ц1 досл!дження ' були продовкен1 в працях Р.А.Александрякь, Р.Т.Денчева, ГЛ.Зеленяка, С.А.Гальперна, В.Н.МасленннкоЕоГ, А.Г.Костюченкз 1 ГЛ.Еск1на, В.П.Маслова, А.Л.Павлова, п1зн1Ш9 -СЛ.Яновз, А.А.Ляшенка, С.Д.ТроЩько! та 1н. Задачу Коз! та м1шан1 задач! для р1внянь (1) при п=1 розглядали Р.Вовзлтер, Т.Т1нг, М.А.Абдрахманов, 1.К.Курмушев, АЛ.Коханов, для р!вкя:-:ь динам 1ки стратнф1ковзних р!дин - , С.А.Габон,

Ю.Д.Плетнер, Я.С.Якубов, П.А.Ирутицький, Х.Б.Аллахвврд1ев. Досить повне досл1дасення мИданих задач для даференЩальних р1внянь 1 систем вигляду (1) дов1льного порядку проведено в роботах С.В.Успенського, Г.В.Демаденка, В.Г,Перепеж1на, 1.1.Матвеево1, А.Ш.Кахрамзнова. Крайов! задач! для дифэренц1ально-опбраторшх р1внянь, не розв'язаних. в1дносно старшо! цог1дно1, вивчаяися в црацях ЫЛ.Вишика, М.Л.'ГорОачука та 1.В.Федаха, В.К.Романха.

3 точки зору загально1 теорИ крайоЕИХ задач для дафбренц1альншс р1внянь 1з частинними пох1дними, а такох кошфвгнюс потреб практики представляв 1нтерес вивчення задач з нелокальними, а таког локальнвш двоточновими та багатоточковими умовами за виШою t для р1внянь (1). В останн! роки так1 задач1 для г1пербол1чних 1 парабол1чншс р1внянь розглядалися в роботах Б.Й.Пташшжа, В.Ы.Пол1щук, В.СЛльк1ва, Б.О.Салиги, В.В.Ф1голя, ПЛ.Штабалша, 1.0.Бобика, Н.М.Задорожно!. 1х розв'язнЮть у б1льшост! випадк1в шв'язаяа з проблемою малих знаменник1в, для аяал1зу оц!яох знизу яких Суш використан1 результата 1 метода мзтрично1 теорИ чисел, розроблен! В.Г.Сприндаукок та його учнями, а такоа метричн! теореми, отриман! в працях В.1.Бернака та Б.й.Пташвика.

Дана дасертаЩя' присвячена вивченшо крайових задач з нелокальними двоточковими, а також локальниш двоточковими та багатоточковими умовами за зм1нвою г для даференЩальних р1Енянь 1 систем дов1льного порядку, не розв'язаних в1даосно старшо! "гтохЛдноХ за часом. Значна увага првд1ля5ться метричному анал1зу оценок знизу мала знзменник1в, як1 виникаоть при побудов1 розЕ'язх!в розглядуваннх задач. Результата дасертацП орган1чно ¿опоеныгсъ теор!ю крайових задач 1з Еказаними умовами,

розроблеяу в роботах название, ввдэ автор1в для г1лербол1чних та П8рабол1чних р1внянь.

Мета робота. Знаходаення умов коректност1 крайових задач з нелокальними, двоточковими та багатоточковими умовами за зм1нною { для диференц1алышх р1ввянь та систем 1з частанними пох1днкмк, не розв'язаних в!дносно старшо! пох1дао! за часом. Конструктивна побудова розв'язк1в розглядуваяих задач. Доведения теорем матричного характеру про оц!нки знизу малих знамэнник1в, з яких вишщвав виконання достатн1х умов 1снування розв'язк1в задач для майке вс1х (в1даосно м!ри Лебега) каефЩ1ент1в р1внянь, коеф1ц1ент1в граничите умов та параметра областей.

Методика досл1дяепня. В робот! використовуються метода теорИ звичайних дифвренц1альних р1внянь та р1внянь 1з частинними пох1дними, фушаЦонального анал1зу, теорИ ряд1в Фур'в, л1нШк>1 алгебра та метричноГ теорИ чисел.

Наукова новизна. Вивчен1 шгання 1снування, единост! та неперервноГ, залежност1 в1д правих частин р1внянь 1 гракичнкх умов розв'язк1в задач з нелокальними двоточковими, а такозг локальними двоточковими та багатоточковими словами за часовою зм1нною та пввними умовами за просторов®® координатами (пер1одичност1, типу умов Д1р1хле) для даференц!алъних р1Енянь 1 систем дов!льного порядку з! стзлими та зм1нними за х коеф!ц1ентами, яэ розв'язаних в1дносно старшо! пса!д:;з:. Розв*язн1сть цих задач е нест1йкою вЩносно параметра задач! 1 пов'язана з проблемою малих знаменник1в. Доведен1 нов! мзтрлча! теореми про оц1лки знизу малих.. знаменник1в, як! в б1львост! випадкЗв мають складну нел1н1йну структуру. Побудован1 яви! формули розв'язк1в розглядуваних задач у ейгляд1 рял!в зэ системам ортогональнкх функц!й.

- б -

Bel отриман! результат в новими.

Теоретична 1 практична ц1нн!сть. Результата робота вносить вклад у загальну теор!ю дш1вренц1альюа р1внянь 1з частинними пох1дшми. Вони можуть знайти застосування при вивченн1 коякратних задач практики, а також служать джерелом ноеих задач метрично! теорИ д!офантових наближень.

Апробац1я робота. Результата робота долов1дались на:

- Льв1вському мЮькому сем1нар1 з . дифвренц1альшк. р1вняяь (1992 р., 1994 р.);

- Всеукра!нсьх1й науков1й конференцП "Нов1 п1дходи до розв'я-зання ДЕференц1альних р!вкянь" (Дрогобич, 1994 р.);

- М1жнарода1й математичн1й конференцП, присвячен1й пам'ят1 Ганса Гана (Черн1вц1, 1994 р.);

- сем1нар1 молодих вчених 1нституту прикладных проблем механиси 1 математики 1м. Я.С.П1дстрягача HAH УкраЬш, присвяченого пам*ят1 академ1ка Я.С.Шдстригача (Льв1в, 1994 р.);

- грет1й та четверИй Шжнародних наукових конференц!ях 1м. академика U.Кравчука (Rhïb, 1994 р., 1995 р.).

Пу6л1кад11. OchobhI -результата дисертацИ

опубл1кован1 в роботах 11-11).

Структура та обсяг робота. ДисертаЩя складаеться з1 вступу, 8 параграф1в, об'еднаних у 3 розд1ли, та списку л1тератури, що вклотае . 93 найменування. Загальний обсяг робота 140 CToplHoK.

КОРОТКИЙ 3MICT РОБОТИ

У вступ! зроблено короткий огляд л1тератури по тем1

дигертацИ, кжладеко осковн! результата робота, наведено

допеыНа! в1домост1 теоретихо-числоюго характеру, а такок

наступн1 позначення га функц1окальн1 простора, що вихористовуються в робот1:

гр{г^,тр) - множина тсчок кр з ц!ли«и (ц!шм нев1д'емними, ц1лши додатними) координатами; {у«У: Р(у)) - п1даножина

елемвнт1в У, що волод!ють властив!стю Р(у)1 х=(х,.....£р->«жр;

ь=иг,,...,кр)<вгр; а=(э,.....вр)*з$;

(й,г)=гг,х,+...+у:р; 1/2;

..+зр; {/-р-виШрний тор, яки?. отримуеться шляхом ототожнення протилекних граней куба ССтг$2х, г=Т7р>;

Пр»{:гй*р: осг^ти, г=Г7р>; г/>=Ш,Г]хОр; <гр=[0,Г]хПр; Н^сР)

г1льбертовий прост1р 2чс-шр1одачких за

комшюкснозначних функц1й v{x)= с vlexp{i(k,x)) з нормою

1*120

д^г. - банаховий прост1р функц!й иЦ,х) таких, що для

коккого функцИ йЛ£1л£1) г=ОТгг, надекать простору

дt

(Яао.И.Н,,«?))

Я<,(ПР) 1 нэперервн1 за г в норм1 ^(О^ЦиСГ.тД

И Ш I % 4

= ъ шах I 2-Ц 1 ; в1доовШ1 простори вектор-Функи1й ]*о о^г в дГ «Н (ОР)

позначено через Н^) 1 С*(10,Г],С(Ч'Г'(Ь), 1Ы0,ПхС, С - компакт в кр,- банаховий прост1р фунвдШ и(г,х) з нормою

¡иСГ.гЛ , . * £ шаг *С(ч'р)(В) «о«

д " .и(*'х)а дг °дх,1-.-дх„р

У периоду розд1л1 дксертацИ розглядаються крайов1 задач! з н'-.покзльними умовзю: за зм1ннов Г, як1 узагзлънкють умсви л-1р1сдтост1, для диференчХальних р1внянь з1 сталями та змшнима за х коефЩ1ентами, не розв'язаних зШосно старао?

\лкг+врг+а\2К(ь+р)~г~л, схо<1, к>о, виконувться для вс1х (кр1м ск1нченного числа) вектор1в (к,р)ешг.

Теорема 1.5. Для майе всП (в1дносно м1ри Лебега в кз т-1Уг) в«яор1в 8= де

8}, о'((Ъггь1 ^ > (ъгъ1 К2. 1ъ)а\-ъ\а} ;, нер1вност1 (V) виконувться при 73>4п-1 для вс1х (кр1ы ск1нченного числа) вектор1в (к,р)<&г.

В п.1.2 розглядаеться збурена задача (2>-(4). В припущенн1, що незбурена задача однозначно розв'язна, задача (2)-(4) вводиться до екв1валентного Ю 1нтегро-дифервнц1ального р1вняння. За доподагою принцип1в Шаудера 1 Качч1ополл1-Банаха для досить малга |а| доводиться 1снування та 1снування единого розв'язку задач1 (2)-(4) при виконанн! певних умов на функц11 1 Р(Г,{,т],2; (теореми 1.7 та 1.6 в!дпов1дно).

В $2 розглядаеться задача

V с (9)

I» охл^/ич^о ^ Ы

в о<5ласт1 0Р, де с ь3—Ж—!—у- - ел1птичниЯ

оператор, цеСЧШ). Вигляд област1 1?

нахладае умовя 2чс-пер1одичност1 за змИшими х,.....хр на

СуккцП и(г,т), /а,х). Розв'ягок задач1 (8), (Э) пукаеться у вигляд! ряду

Е ехр[1(П.х))'. ПО)

Грипугкй-гтъея, со для ьс1х д-кор^н! р1ЕН.алшя 1Р.)<>, як! -огиъче-Ш через л_,!г.,'=Т7п, попарно р!зн! 1 не до-

р!внюють нули. Кехай 4fkJ=detB £ Apir(lkj) ^.гз .

' p.QVii-r

У припущенн!, Bio виконупться умови единост1 та 1снування функцП

Uq(t) (заувахення 2.1), справедлив! наступн1 твердхення.

Теорема 2.1. Для единост1 розв'язку задач1 (8), (9) в

простор! <f(W,Tl ,Hsl(tf)) необх!дао 1 досить, щоб виконувались

умови

AODiiO, кегр\С(0)}, (11)

Нi exp(Xj(k)T)tO, J=77п, &<йЛ( (0)>. (12)

У зауваженн! 2.2 умови (12) сформульован! .в терм1яах чисел Г, 1п|ц|, arg ц, а}(к), Ъ}(Ь), /=77я.

Теореиа 2.2. Нехай 1снушь додатн! стал! М( i 7,«¿я, 1=173, T3Ki, 1Д0 для EClX (KplM скаченного числа) ВЭКТ0р!В &е2Р 1 ДОВ1ЛЬНОГО g, 0<6<1, виконуються HeplBHOCTi

--t/4

exp(XTwrj|^,|S| , t=77ü, (13)

n

П

-7г-е/4

^/^-^(¿Л^г!*! , а=17п, (и)

. (15)

Яюяо /а,х)*С(1о,У1,Ну(сР)), <£^2пи7,»27г+73+), то 1снув розв'язок задач! (8), (9), язшй налегать простору Сп(ЧО,71,ЯдГсЛ),) 1 неперервно залэжить В1Д функцИ

Доведено, що для вс1х (кр!м ск1нченного числа) вектор1в Ы1? нер!вкост! (13) виконуються при 7,>р+21 для майже вс1х (в1дносно м1ри Лебега в к2*8) вектор1в (1п|ц|,Г,£) або майже вс!х Еектор!в (ф/и.Г/тс.з), де ф=аге ц, в - вектор, компонентами якого е коефШенти \з\$21, р!вняння (8), 6 -число цих коеф1-ц!ент!в (теорема 2.3), нер!вн!сть (15) - при для майже вс1х (в1дносно м!ри Лебега в к8) Еектор1в а 1 для вс!х вектор1в 0

Ж 9

(або для майже вс!х р 1 для вс!х а), де вэхтори !

складен! 1з коеф!ц1ент1в пол1ном1в йе А(Ь) 1 1т А(к) в1дпов1дно

(теорема 2.4), а нер1вност1 (14) - при ^р(п-1)/2 для майна

вс1х (в1даосно м!ри Лебега в кр) вектор1в ь=(п.,...,пг>), г I* ' ■

Г^к^' " 'и> ,г1*0' * * • •0,) г=77р, 1 дов1льних ф1ксованих коеф1-ц!ент1в р1вняння (8), як1 не входять в Н (теорема 2.5).

В $3 розглядавться р1вняння.з1 зм1нниш за х коеф1ц1ента\ш.

Пункт 3.1 присвячешй досл1даенню в прямокутнику 01=[О,Г]^[О,и;]

задач!.. „ „., 1 р

йГ^тДЛиз й^ 11щ. 2 Е ~ « ъ'и^мг.х), (16)

дt р»о я«о ^-аг

П-1 I

0*0 8«0

I 1=о аг15 |1=?]

£ -Ц Щ. 1=0, г=Т^, (17)

1)111 =0, £=071^, (18)

дэ с^о, цеслш), тег, ^[рог;

1°,гши, Ъ^шЬ^Ъ^и), функцП р(х)>0, д(х)Ю - достатньо гладк.1 на Ю,*]. Розв'язок задач1 (16)-(18) шукаеться у вигляд! ряду и(г,х)*'¡:u)t(t)xk(x),

А» ]

де Xj.fr) - нормован1 власн! функцИ задач! Х(0)=Х(%)-0,

цо в1дпов1дають власши значениям Хй.

Ерипускаеться, що для вс1х власних чисел \А корен1 ^Т7п, р1вняння И(уЛл)=0 мають кратн1сть, р1ьну одинщЦ, 1 нэ

дор1внгють нули. Нехай с лГд Ьх1Г*т"й •

а*° р»0*'Л-!

Теорема 3.1. Для едшюст1' розв'язку задач1 (16)-(18) в

простор! С(п'г1)(0?) необх!да~ 1 доситъ, щоО виконувэлись уиоЕи «

.'»г

Теореиа 3.2. -Пехай Еиконуються умовл. (19) 1 нехай 1снують

стал1 St>Q, 7{e£N, i=»T73, так1, Щ0 ДЛЯ BClZ (кр!м СК1НЧВННОГО числа) значень Л.А 1 дов1льного s, 0<е<1, виконуються нер1вяосг1

-т/2-t/a

, (20) -Тр/г-е/е

11-р. exji(vy(\li)T)\^k'r , 7=ТТп, (21)

п

Р-Тз/г-е/8

. а=ТТп. (22)

Якщо рГгМ?гч>~'[0,я;3, s функц!я

f(trx)eC(0'^,'(Q1 ) задовольняе умови

ь\Л «ь|/| =0.

де 72f273+2rîZ+2, то 1снув розв'язок задач!

(16)-(18), який налехить простору G<n,zl)(Q1) i неперервно залегать в!д f(t,x).

Доведен1 теоретико-числов! теорел® 3.3-3.5 про виконання оц1нок (20)-(22), з яких вишмвае розв'язн1'сть.задач1 (1б)-(18) для майке Eclx (в1дносно м!ри Лебега) вектор!в, компоненги яких е функцДяш коеф1ц!ент1в а^, /р3 та параметра ц, Т.

в п.3.2 результата попервднього пункту первносяться на випадок багатьох просторових зм1нних. В област1 ZMO.ÏMxff, G -компакт в з досить гладкою границею 0G, розглядаеться задача

(16), (17), де оператор I, зам1нено на ел1лтичний оператор Ьз р

[ki/^gfy] +Ъ(х) • s граничними умовами

Lui =0, t=U7T-7. . \QG

При досл!дженн1 питания Юнування розв'язку розглядувано! задач1 з'явились нов1 аспекта, пов'язан! з оц!нками власних функц!й задач! Д1р1хле для оператора L в област1 С та 1х похШих, як1 залежать в!д розм1рносг! С, щр вимвгало п!двшдення гладкое?!

коеф1ц1ент1в та право! частини р1вняння за змИшими хп.. .,хр 1 вшинуло на порядок вггроксимацП нулем малих знаменник!в, як! ф1гурухль у формул! для розв'язку задач1 (дав. теорему 3.6).

Другой розд1л присвячений вивченяю питань класично! коректност!'крагошх задач з локальними двоточкоеими умовами за зм1нною X 1 пер1одичними умовами за просторовими зм1нними х,,...,хр для■ дафервнц!альних р!внянь 1 систем з! сталями коеф1ц1ентами, не розв'язаних в1даосно сгаршо! пох!дно1 за часом.

В $4 розглядаеться задача типу задач! Д1р!хле в облает!

дгги

Я*

вхг ••■дХр

= =0, г=07тРТ, (24)

1=о эг' \ит

_з

де оператор -ьЦщ)2 ' I —-3- - елЮТичний,

Зх/.-.дх/

Вигляд облает! накладае укови 2я-пер1одичност1 за на функци иЦ,х), /И,х). Припускаеться, то для вс1х йе2р ШЮФО, а кратн!сть корен1в ¿\Xjtk), р!вняння

и(иг,гА;=0 (25)

не залехить в1д к 1 дор!внюе в1дпов!дно п,, щ+...*тя=п.

В п.4Л анал1зувться випадок простих корен!в р!вняння (25), тосто коли о=п, .М7п. Доведено, що виконання умов

етр(-у.}(к)Т)~ет$(!1х1(к)Т)?0, >77". (26)

необидно 1 досить для единост1 розв'язку задач1 (23),(24) в простор! Сгп(10,Т],Ег(С?')), г<=£ (теорема 4.1). При виконанн! умоз (26), як! еформульовано в терм!аах чисел Г, Не и/й), 1а (ззувахекня 4.1). справедлива наступив тьердхонкя.

Теорема 4.2. Нехай Юнують стэл1 У<>0 ! т^', 1=173, тьк1,

що для вс1х (кр1м ск1нченного числа) вектор!в &ггр 1 дсв1льного

£, 0<£<1 , виконуються Нвр1ВНОСТ! п

п

г, -V«/«

[^(к^к)^^ . ./=77п, (£7)

, /=Т,п, (28)

Якцо /а,х)еС([0,Т'),1!у({Р)), ф=п-27,+7г*73+1, то *снув розв'ягок задач! (23), (24), якяй належить простору С^СЮ.Т) ,НГС</); 1 иеперерЕНО залеетть в1д

При доведенн! теореми 4.2 Еикористовуться так1 твердаеняя, Естановлен! в робот!.

Лена 4.1. 1снуять константи Со>0 1 К-К(С0)>0 тзк1, ¡цо для вс1х Й<=2Р, щи, \Ъ(1к)\>0а\Ь\г1.

Лема 4.2. Для корен!в . ,.,±\хп(к) характеристичного

р1вняння (25) справедлив! оц1ики

./=17п.

де константа С>0 не залегмть в1д к.

Доведвн1 метрячн1 теореми .про виконання оц1нок (27)-(29), з яких випливае класична коректн1сть задач1 (23), (24) для майне вс'1х вектор!в, снладених з параметра задач!. А сяме, показан^, ао для вс1х (кр1м ск!нченного числа) вектор1в й«2р нер1вност1 (27) виконуються при 7,^р(п-1)/г для майже вс1х (в'дносно м!ри

г-}

Лебега в ер) вектор1в П=(П,,. hr'^>'0^^гl•0^ •'•

гх> .

*ь' ......21,0,...,о^ г=Т7р, 1 дов1льного ф1ксованого

вектора у, складеного з коеф1ц!ент!в р!вняння (23), як1 не

еходять в П (теорема 4.3). Кр1м того, доведено, що для вс!х

(кр!м ск1нченного числа) вектор!в йе2Р нер1ЕКост1 (28)

Еиконуэтъся для майке вс1х (в!дносно м1ри Лебега в к") вектор1в а 1 дяя вс1х вектор!в р (або для майже вс1х р 1 для вс!х а), а норшюст! (29) - для майже вс!х (вЩносно м!ри Лебега в к*") вектор1в (а,к/Т) 1 для вс!х вектор 1в р (або для майже вс1х (Р.чс/Г) 1 для вс1х а) при у(2р+21, 1=2,3 (теореми 4.4, 4.5), де

4 & 3

аеж 1 - вектори, складен! в1дпов1дно !з коеф1ц!ент1в а0, =2г, г=ДГТ, 1 \з\=2г-1, г=77Т, р1вняння (23). В п.4.2 розглядаеться випадок кратних ц-корен1в р1еняння (25), який пов'язёний з новими труднощами при конструктивн1й побудов1 розв'язку задач1 (23), (24). Якщо виконан1 умови единост1 розв'язку (теорема 4.6), -як! аналопчн! умовам (26), то справедливо наступив твердаення.

Теорема 4.7. Н&хай !снують так1 додатн! константи та 3;, /=773, що для ес1х (кр1м ск1нченного числа) ьектор!в вкконрлъся нер1вност1

1 кехай г«2,

« г

р*1

шах (Пу(па1+ве/2+а3)-т9(а1+аг/2)), 7= шах Спипз,ш^(аг-з,)).

Тод! 1снуе розв'язок задач1 (23), (24), який належить простору С^Ч[О,Т1,епР;; ! неперврвно залегать в!д

В §5 результата §4 пвреносяться на задачу з умовами вигляду (24) для сис зми р!внянь

1 ^ 1

де 11=001(41,.....--

матричний ел!птичкий оператор, В3 '3 - п-лщ-;/.атрии;! з! д1йсними елементами а^'Д, 77я, е1дпое!дно. Резулътгли, отриман1 при вивченн1 ггатань 1снувзння та едяност! рсзв'язку розглядувано! задач1 в простор! </п( (0,Т1 .Н^ГеРл, д^, формулюються, в основному, аналогично до результат!в досл1доння задач! (23), (24) (теореми 5.1, 5.2). Доведено метричн! теорема 5.3-5.5 про оц1нки знизу малое знаменник!в (частика з яких май досить складау структуру), як! винакли при побудов! розв'язку задач!. 3 цих теорем випливае корйктна розв'язн!сть задач1 (30), (24) для майже вс!х вектор1в, компонента яках е функциями коеф!ц!ент!в ь'(Л, ! %/Т.

Природяим узагзльненшм задач1 (23), (24) е крайова задача з р!зною х!льк1стю умов на к1нцях в1др!зка яка

розглядаеться в §5:

К

х д.т. • • -дТ- 1

дх, • • •дх„

' Р

и«-*™

дг~ ги

др^

(>ТТтг. г=1 ,п-гл;

(32)

де Ь - той же оператор, цо 1 в р1внянн1 (23).

Розв'язок задзч1 (31), (32) шукаеться у витляд1 ряду (10). Пршускаеться, що для вс1х йегр корен1 Х^Ск), 7=ТТп, р!вняння ЯГ>1,1й;=0 е простили. Для едккост1 розв'язку задзч1 (31), (32) в простор! Сп(10,Т],Н„(СР)), $«2, кеобх!дно 1 досить, -доб

виконуввлись умови Mk)tQ, (теорема 6.1), де

Arfc;=det|d,(7£7„, äj^^di), ^^''(ЮехрО^СЮТ), /=Т7Ш, r=i,n-m, 7=ТТл.

Встановлено . 1скуБання розв'язку u(t,xhCn(iO,Tl,Hq(Cf}j розглядуваноХ задач!, який неперервно залекить в1д функц1й %!х), а=1~7п, якщо для вс1х (кр1м ск1нчзнного числа) вектор!в Ыгр Еиконуеться нвр1вн1сть

-V-C

ШЮ\}Ыот , V6N, 0<60<1, (33)

1 qa(x)eHq.v.,(Op), о=Т7п (теорема 6-2).

Зб1кн1сть ряду, що зоОракае розв'язок задач1, пов'язана з ouihkob знизу модуля визначника • д(к), якиЯ, на в1дм!ну в1д розглянутшс ранипе задач, не факторизуеться, 1 його треба оцЮТвати у ц!лому. Доведано, що для вей (кр1м ск1нченного числа) вектор!в teezp оц1нка (33) виконуетъея при v=pfC®-i лш+i J+ *pin-1)/2, C®=nl/fnt(n-m)l), для майке вс1х (в!даосно м1ри Лебега в к"**') вектор 1в ig,,... ,gp,f),

¡(ü —0"» ei О О) —!Г> 21 О 0) _»

gp r=Op ".....u ß=0,n-1,

r=T7p, i дов!льних ф1ксованих коеф1ц!внт1в р!вняння (31), як1 не

входять в gp, г=77р (теорема 6.3).

у третьоиу розд1я! досл1дауються задач! з багаготочковет умовами для днференц1альшх р!внянь з! сталими та зм1нними за х коеф1д1ентаги, не розв'язаних в!дносно старшой noxlzmoi. ДовоДяться нов1 твердаення теоретико-числового характеру, що стосуоться оШнок знизу ыалих знаменник1в, як! мають тут складну пелШ1йву структуру.

В £7 розглядаються р1вняння з1 стачай коеф1ц1ентамк. В п.7.1 для р!енянея (31) в облает! iP вивчаеться задача з умовами U(tj,X)=Vj(X), J=T7n, (Kt,<t^< — <tncr. (34)

Припусхэеться, що для вс1х ке2р корен! kj(k), J=T7H, р!вняння N(\,ik)=О е просп. Встановлен1 необх1дн! та достатн1 умови еданост1 розв'язку задан (31). (34) в простор1 Cn(W,?),Hqlt?)), qez (теорема 7.1), як1 мають вигляд

1 при виконанн! яких справедливе таке твердхення.

Теорема 7.2. Пехай 1снують констаати 0 1 г'се-i так!, со

для. вс1х (кр1м ск1нченного числа) вектор1в ft«zp ыжснуегия

нер1вн1сть „,

[Ь(Ь)\Яй\Ь\ \ 0<е<1. (35)

Якао <p7(.r.)«tf4.VMmph j-TTn, то 1снуе розв'язок задач1 (31),

(34) в простор! c/tf[0,T),iiq{if)J, який неперервно зэлежить в1д

функц1й (fiylx), i*T7n.

Доведена метрична теорема 7.3 про виконання оц1нки (35), з

яко! випливае коректна розв'язн1сть розглядувэно* задач1 для

мэйже вс1х (в1дносно м1ри Лебега в кр,п) вектор1в (h,i) 1 для

дов1лъного ф1ксованого вектора у, де t=(tt,...,tn), а вектори h

та у визначен! в 54.

У вкладку виконання сп!вв!дношень

tj*(J-Ut0, У=Т7гг, tQ>0,

отриман1 б1льш еф9ктивн1 умови 1снування та единост! розв'язку

задач! (31), (34) (теореми 7.4-7.6).

Дал1 в п.7.1 для неоднор1дного р!вняння

розглядаеться задача з б1льш загальними умовами t-i dru(t j.x)

Ed. -^-=0, J=77n, (Kt.<ti<...<tlXT, <1yto,

r.o dt

во вносить багато нових аспект1в в II досл1дження (теореми 7.7-7.9).

В п.7.2 на приклад! задач! з умовами (34) для р!вняння

о£лпол1графвидаву, 1990. - С. 86-95.

2. Комарницька Л.1. Нелокальна крайова задача для р1вняння з1 зм!нними коеф1ц1ентами, не розв'язаного в!дносно старго! пох1дно1 // В1сн. Льв!в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1994. -Вил. 40. -С. 17-23.

3. Комарницька. Леся. Задача типу звдач1 Д1р!хле для диференщального р1вняння, не розв'язаного в1дносно старсо! пох!дно! за часом // Нов! п1дходи до розв'язання диферещЦальннх р1внянь (Дрогобкч, 25-27 с!чня 1994 р.): Тези доп. - К.: 1н~т математики АН УкраШ, 1994. - С. 70.

4. Комарницька Л.1. Задача типу Д1р1хле для диференц1алыш р!внянь 1 систем з частиннкми пох1дними. не розв'язаних в1дносно старшо! похЗдао! за часом // 3ö. наук. доп. учасник1в сем1нару, присвяченого пам'ят! академ1ка Я.С.П!дстригача. - Льв1в: 1ПГШЫ HAH Укра!ни, препр. * 6-94, 1994. - С. 46-50.

5. Комарницька Леся. Крайов! задач! для диференц1зльного р1вняння, не розв'язаного в1дносно старшог пох1дко! за часом // Третя МШгародна наукова конференЩя 1м. академ1ка М.Кравчука '(Ки1в, 25-27 травня 1994 р.): Тези доп. - К.: 1н-т математики АН УкраГни. 1994. - С. 62.

6. комарницька Леся. Багатоточкова задача для диференщального р!вняная,. не розв'язаного в!даосно старао! пох1дно! за часом- // Шкнародна математична конферетЦя, присвячена пам'ят1 Ганса Гане {Черя!вц1, 10-15 аювтня 1994 р.): Тези доп. - Черн1вц1: Рута, 1994. - С. 72.

7. Комарницька Л.1. Багатоточкова задача для диференщального р1еняння, не розв'язаного в1дносно старао! пох1дно1 за часом // Матер!али х .знэродноТ математично! конференцП, присвячено! пам'ят! Гансе Гана. - Черн1вц1: Рута, 1995. - С. 177-185.

8. Комарницька Леся. Багатоточковз задача для днфоренц1зльного р1вняння 1з зм1кшмг коефШентами, не розв'язаного з1днос:ю старшо! пох1дно! за часом // Четвэрта М1хяародна наукоза кокфе-ренц1я 1м. академ1ка И.Кравчука (KjiIb, 11-13 травня 1995 р.): Тези доп. - К.: 1н-т математики HAH УкраХня, 1995. - С. 131. Э. Комарницька Л.1., Птаашик Б.Й. КраАов1 зздач1 для дкфчрекц!-ального р1вняння, нэ розв'язаного в!дносно старио! пох1дно! за часом // Укр. мат. хурн. - 1-995. - 47, Й 9. - С. 1197-1С08.

10. Пташник Б.St., Комаршшькв Л.1. Багатоточкова задача для дафервнц1алышх р1внянь, не розв'язашгх в1дносно старою! пох1д-но1 за часом // Допов1д1 HAH Укрзйш. - 1995.- JS 10. - С. 20-23.

11, Комарницька Леся, Пташник Богдан. Некласичн1 задач1 для р1ьнянь, не розв'язаних в!дносно старшо! пох!дно1 за часовою координатою // ВсеукраХнська науковз конференЩя, присвячена 70-р1ччю в!д дня народкення професора П.С.Каз1м1рського (Льв1в, 5-7 ховтня 1995 р.): Тези доп., ч.2. - Льв1в, 1995. - С. 34.

Комарницкая Л.и. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и систем с частными производными, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, Львовский государственный университет им. Ив.Франко, Львов, 1995.

В диссертации рассмотрены краевые задачи с нелокальными, двухточечными и многоточечными условиями по временной шремекной и некоторый! условиями по пространственным координатам для

дифференциальных уравнений и систем произвольного порядка с постоянными и переменными коэффициентами, не разрешенных относительно старвей производной по времени. Установлены условия существования и единственности решений, которые формулируются в терминах двофантовых свойств чисел. Доказаны теоремы метрического характера об оценках снизу малых знаменателей, возкикащих при построении решений задач. :

Koœarnytska I.I. Boundary-value problems for partial differential equations and. systems which are not solved relative to the highest time derivative. Manuscript. Thesis for a degree of candidate of Science (Ph. D) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.Сб. - Differential equations. L'vlv Ivan Franko state university, l'vlv; 1995. • -

Boundary-value problems with nonlocal, two-point and multi-point time conditions and some conditions In space ■•■:orUrates for differential equations and systems of arbitrary order with constant and variable coefficients, which are not-а-:г.чч1 relative to the highest time derivative, are considered In the dissertation. The conditions of existence and uniqueness of solutions formulated in terms of Dlophant properties of numbers ar« investigated. The theorems of metric nature on lower estiastea ror small denominators that appear in solutions of the prohibas are"proved.

Юшчсв1 слова: нелокальн1, двоточков1, багатоточков1 умови; р1вняння, не чрозв*язане в1дносно старао! пох1дно£; ел1птичний оператор;чфункц1я Гр1на; мал1 знаменники; м1ра Лебега.

jXûctuj^