Краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики для областей с разрезами, выходящими на границу области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

я». /> '1 •

а я м

ОДЕССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ т.И.И.МЕЧНИКОВА

На правах рукописи

АРАБИ АраОи Джамаль

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ даГС'ЕРЕНЦИАЛБНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С РАЗРЕЗА!';-', выходами НА ГРАНИЦУ СЕПАСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса - 1991

Работа выполнена на кафедре методов иэтематической Физики

Одесского государственного университета.

Научные пукоЕодатали: доктор физико-математических .наук,

профессор Г.Я.Попов, доктор физико-математических наук, профессор О.В. "шцук.

Официальные огшоненты: доктор физико-математических паук, профессор Черский Ю.И. кандидат физико-математических паук, . доцент ГриСняк С.Т1 Ведущая организация: Математический институт им.А.Раомадсо • Ш Республики Грузия

Заццта диссертации состоится " 2 О " 1991 г.

• в 15 часов на заседании специализированного совета, шифр К 068.24.10, по физико-математическим наука* .'/математика/, с Одесском государственном университете /27005*7;. г. Одесса, ул.Петра Великого 2, ауд. № 94/. "•■ 1

С диссертацией можно ознакомиться з' наукой библиотеке университета.

Автореферат разослан "____ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

Е.Г.йготоЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ , Актуальность темы Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных возникают при математическом ' моделировании многих физических процессов: теплопередачи, диффузии, деформирования упругих тел и других. Поэтому актуальной является разработка эффективных приближенных методов ранения таких задач, характеризующихся'быстрой сходимостью приближенного решения к точному.

Дополнительные трудности при построении таких методов возникают в случае, когда внутри двумерной области, для которой решается задача, имеются разрезы (линии, на которых терпят скачок искомая функция либо ее производные, причем величина скачка заранее неизвестна). Это связано с тем, что концы линий являются особыми точками репения, в которых производные искомой функции могут обращатся в бесконечность и учет этого факта является необходимым условием быстрой сходи- • мости приближенного решения к точному. Наиболее широко при решении таких задач используется подход, основанный на сведении задачи к сингулярному интегральному урашанию, поскольку наличие особенности в большинстве случаев может быть учтено введением весовой функции в решение интегрального уравнения. Исследованию получаемых интегральных уравнений и построению их точных и приближенных решений посвящено значительное число работ. Наиболее весомый вклад в этой области принадле-аит В.Н.Александрову, Г.П.Артюхину, Р.Д.Банцури, В.А.Бабеш-ко, Т.В.Бурчуладзе, Н.П.Взкуа, И.И.Воровичу, Ф.Д.Гахову, Т.Г.Гогелиа, Д.В.Грилицкому, Р.В.Дудучаве, 1*.С.Киту, М.Г.Крейну, В.Д.Купрадзе, Г.Ф.Мандаавидзе, Н.И.Мусхелишвили, В.В.Панасюку, В.З.Партону, П.И.Перлину, Г.Я.Попову,

М.П.Савруку, В.М.Толкачеву, Ю.И.Черскому и др.

Специфические сложности при решении задач для областей с • разрезами возникают в случаях, когда один из концов разреза находится на границе области (решение имеет сложную асимптотику, которую лишь в исключительных случаях можно учесть введением весовой функции) Для преодоления указанных сложностей мокет бить использован метод базисных правых частой (предложенная О.В.Онищуком модификация метода ортогональных многочленов, разработанного Г.Я Поповым). Реализация на ЭВМ показала высокую эффективность этого метода, еднако теоретических оценок, увязывающих скорость сходимости метода с геометрическими параметрами задачи, до настоящего времени ■ получено не было. Этим определяется актуальность теш диссертации, посвященной получению указанных оценок.

Тема диссертации является составной частью научной тематики "Краевые задачи математической физики с усложненными граничными условиями и дефектами"типа разрезов и тонких включений", которой кафедра методов математической физики Одесского госункверситета занимается.в соответствии.с планом фундаментальных исследований в области естественных и общественных наук АН УССР, )Ь госрегистрации 01860083955.

Целью предлагаемой диссертационной работы является исследование скорости сходимости метода базисных правых-частей для некоторых краевых задач для дифференциальных- . уравнений в частных производных при наличии указанных специфических сложностей.

Методика исследования,- Обобщенным методом интегральных преобразований задачи сводятся к интегральному уравнению:. Методом факторизации строится точное решение соответствующего

характеристического уравнения. Методом базисных правых частей полное уравнение сводится к Се¿конечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода. ' .

Научная .новизна и основные результаты, выносимые на защиту.

I. Теоремы о скорости сходимости метода редукции при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений ' второго рода с коэффициентами и правыми частями, убывающими со скоростью геометрической прогрессии.

, 2. Постановка гармонической задачи для полосы с разрезом, ортогонально выходящим на одну из сторон полосы. Построение приближенного решения задачи и оценка скорости сходимости приближенного решения к точному.

3. Постановка бигармонической задачи для прямоугольника с разрезом, ортогонально выходящим на одну из сторон. Построение приближенного решения задачи и оценка скорости сходимости приближенного решения к точному.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическя ценность полученных в диссертации результатов состоит в доказательстве сходимости метода редукщш со скоростью геометрической прогрессии и увязке знаменателя прогрессии с геометрическими параметрам! задачи. Эти результаты имеют также прикладное значение, так как могут быть использованы для расчета напряжений в упругих телах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференции профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета , на V "Всесоюзном симпозиуме по методу дискретных особенностей в" математической физике (1991г.), на заседании кафедры методов математической

физики ОГУ

Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы.

Структура и обЪем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 122 наименования и занимает 107 страниц машинописного текста.

• СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении охарактеризована актуальность проблемы и дан краткий обзор работ, посвященных решению задач, близких тс рассмотренным в диссертации. Сделана краткая аннотация глав,-сформулированы основные научные положеня, которые выносятся на защиту.

В первой главе работы доказываются теоремы о скорости сходимости метода редукции при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода,

оо

и,= 1,2,— ). (I)

п *ХП П ГП 4 7

П = . 1

Предполагается, что существуют константы С >0, в>0, г 1 такие, что

. _ . г с( т <х п I /> \ „ ю

с и£ т 8 пг , \6 ивт£ •• <2>

т«1 ' т .

Теорема I. Погрешность метода редукции для системы (I) в пространстве Угт- имеет асимптотику:

лг Ж"

I I К

^Р ЯГ-Х ) ПщЖ>оа

Теорема 2. Погрешность метода.редукции для системы (I) в пространстве имеет асимптотику:

5/ о:

при

2:

I т т,м>\

Ш- 1

Теорема 3. Погрешность метода редукции для системы (I) в пространства £ ^ имеет асимптотику:

оо 2 00

\1 к-+Н'Лъ хшЛх*х*Л =

• =. ¿(•//гО при оо

Во* второЯ главе диссертации рассмотрена гармоническая задача для полосы с разрезом,, ортогонально выходящим на одну из сторон полосы. Задача формулируется следующим образом: найти функции

, удовлетворяющую дифференциальному уравнении '

2 2

кроме , • 0<^< С (С <&)

краевым условиям

а

— (4)

\

п условию на включении

п

{0<у<с)- (5)

Задача сведена к интегральному уравнению с подвижной и неподвижной особенностью в ядре.

*

|(л(1д) ^т>а,т)1 с/т л = щи («< ш)

. <б)

2р £ гк-1

где ,

•• Методом факторизации построено точное решение характеристического уравнения при правых частях специального вида: 1

Л

' 15+¿СО

I ( - Г ОТ

(8)

- -<лч>

(9)

У- ¿00

т С гг1Е-1 р. rr.2tn.-i ■ гт-1 А

= £ * + Р Г 1+£Т 1 ЬъТ

■ г£-1

— у и

¿=1 ¿т.

?(?)= Г

рип

1+

Г -1

2 2

, Я-2/7

т

■ 1+

2 2

Таким образом показано, что даже при бесконечнодафференци-руемых правых частям в асимптотике решения присутствуют логарифмические члены. На основании (9) построена следующая система функций' т.

-Д /

№'1 ГУ (п-!,,,.-;

удовлетворяющих условию биортогональности

I

[ л Ш /

) п т т тН.

■ О

Решение уравнения (6) разыскивается в виде

оо

!®= 11\а> : ц= i

Относительно получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений

оо

'т. с—1 )пл'Л 'м '

XI-1

■гао

а

(13)

0 0 Оо

\ : ¿Л г (2к-1)[

Теорема 4. При 1, 12£ I имеет место оценка

Ю Г. (сш-1/3(1-?))

Теорема Б. Погрешность по норме . -

Е л • дХ к °д

приближенного решения задачи (3) - (5), получаемая при применении к (12) метода редукции, имеет асимптотику

| \Ц.-0С\\= О(^) гдо 1=Е-<1 '

а

В третьей главе диссертации рассмотрена бигармошмеская ' задача для прямоугольника с разрезом, ортогонально выходящим па одну из сторон. Задача формулируется следующим образом: найти футсцию » удовлетворящую дифференциальному

уравнению _ ^

( 0<Х <& , < / ) кроме п граничным условиям

И-Ц - О ( у = , ¿><х<а ) ■' (15) П 1

а^и^О [х^О , (16) '

а тага:е условию на разреза

(¿■ги=0 (Ч=+0 , ¿>< хсс) .'.(18)

/

Задача сведена к интегральному уравнению с подвижной и неподвижной особенностью в ядре. '

¡Гф2ШЯ+ ШгЛ 1*<ш)аэ)

ШХ)=(¿-п* К\i-ri■

которое по использованному во второй главе алгоритму сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений:

¿>э ш (2; О) (к (?)

" (20)

f.

п , tin шп vnn nn fori п ■ иг

( m.= i, ;

Теорема 6. При L ,fl> L имеют место оценки

Ф a) w+w i/2 i/2 ■ "

Ш 0 . .

ф ф 2>nL + Z nif/iV . с

ir.il

с Г I Уг. 5/z/ С \

cC(i) I тп U * ^, ™

N Ct ■ ■ '

Теорема 7. Погрешность метода редукции для системы (20) имеет асимптотику:

Основные результаты диссертации опубликованы э следующих работах: •■

1. Лраби А.,0нгадук О.В. Исследование скорости сходимости метода редукции для бесконечных систем лпнэйных алгебраических уравнений специального вида/ Одес. ун-т. • - Одесса, 1991. - 10 с. - Доп. в УкрНИШТИ 20.05.91, . И 708 - Ук 91.

2. Лраби А., Моисеев Н.Г., Ошэдук О.В. Исследование гармонической задачи для полосы с включением, выходящим на границу / Оде'с. ун-т. - Одесса, 1991. - 25 с. у

деп. В УкрНШНГИ 20.05.91, Я 705 - Ук 91. ' . '

3. Лраби А., Онкцук О.В. Исследование гармонической задачи для полосы с включением, выходящим на границу // Метод дискретных особенностей з задачах математической физи-

% Ж

где

ки. Тезисы докл. Y Всес. сямпоз. - 0дссса:0ГУ,1991. С.44.