Краевые задачи для дифференциальных уравнений с двумя линиями сингулярности коэффициентов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННА ПБДАГОГИ'ШОШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ¿АГАПОВ ЗШЕР ЗУШОЗИЧ

УДл 517.946

КРЛЕЛУЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДШЕРЕНЦШЬНИХ УРАВНЕНИИ С ДУШ ЛИНИЙМИ СИНГУДНРНОСТИ КОЭШШЕНШ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Самара - 1995

Работа выполнена на каредрах математического анализа Самарского государственного педагогического университета и Отерлитакикского государственного педагогического института

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Волкодавов

0а.;ц.1альние оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Жег ало в Б. И. кандидат физико-математических наук, доцент Чиханов Х.А.

Ведущая организация: Башкирский государственный университ«

Защита диссертации состоится " 22 " Д.Я_1995 г.

в ^ час, на заседании специализированного сонета К 113.17, по присуждения учёной степени кандидата физико-математических наук в Самарском государственном педагогическом университете по адресу: Ъ'ООЮ, г. Самара, ул. Антонова-Овсеенко, ¿6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета

Автореферат разослан " \^ " слл^^Я_ 1995 г.

Учёный секретарь специализированного ^^ ¿.А.носо! совета, к. -р.-м. н., доцент /¿У^—

ОБЩ АН ШШТЗРИСТМД РАБОТи

Актуальность темы. Теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений занимает ва-кное место в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Повышенный интерес к развитию теории такого рода задач объясняется как большой теоретической значимостью получении х результатов, таи и их многочисленными приложениями в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в теории электронного рассеяния и в других областях физики и техники.

История изучения дифференциальных уравнений рассматриваемого вида после основополагающих работ £.Трикоми и С.Геллерстедта изложена в известных монографиях А.Б.Бицадзе и М.М.Смирнова.

3 последние годы как в нашей стране, так и за рубежом ведётся интенсивная разработка теории краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, которые, по сути дела, представляют собой особый класс вырождающихся уравнений.

В частности, внимание многих исследователей привлекают уравнения с дву о се симметричным оператором. Модельным уравнением указанного вида является дзуосесимметричное уравнение Гельмголь-

ца эллиптического типа

Р Я г

■*■ и-ад + — их + 1Ц - }\ и, =0 ¡-I)

и гиперболического типа

- +-|их + -а4 и -О. (¿)

Уравнения (I) и (2) встречаются при решении некоторых задач механики сплошных сред, теории пластичности, гидродинамики. Следует отметить, что уравнение (2) в частном случае р=7\=о, q^fo сводится к уравнению Эйлера-Пуассона-ДарЗу, сыгравшему значительную роль в теории уравнений в частных производных.

Таким образом, постановка и решение новых краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами, в том числе и для уравнений (I) и (2), вызывает как теоретический, так и практический интерес.

Настоящая диссертация посвящена изучению краевых задач для следующих уравнений

L(ll)= Uxot U^ - —-llj.-'-y-'U^^O, (L)

где о <• p < , о < с) <

Чг.

Цель работы. Настоящая работа исследует вопросы существования и единственности решений новых по постановке краевых задач для уравнений

(L) . (L0 . (LO

как в ограниченных, так и

в неограниченных областях.

Методы исследования. Единственность решений рассматриваемых в работе задач, кроме тех случаев, когда она непосредственно следует из самого способа построения решения, доказывается на ochobs принципов экстремума для гиперболических и эллиптичес- .

ких уравнений. При доказательстве существования решений этих задач применяется метод Рлмана, метод общих решений, метод интегральных уравнений: Фредгольма и Зольтерра II рода, Вольтерра I рода с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. Существенным образом используется аппарат специальных функций.

Научная новизна работы состоит в том, что для уравнений (Ь) » (11) » (Ьг) обоснованы существование и единственность решений краевых задач как в ограниченных, так и в неограниченных областях с известными и вновь введёнными нами условиями сопряжения.

Теоретическая ценность настоящей работы заключается в том, что изложенные в ней результаты и методы могут б!ль использованы для дальнейшего развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами и при решении прикладных задач, приводящих к рассматриваемым уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на областном семинаре по дифференциальным уравнениям при Самарском государственном педагогическом университете под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора В.$.3олкодавова ( г.Самара, 1990,1994 г.), на научном семинаре по дифференциальным уравнениям смешанного типа при Стерлитамакском государственном педагогическом институте под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора К.Б.Сабитова (г. Стерлитамак, 1993-1994 г.г.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Я.Т.Султанаева ( г. Уфа, 1995 г.), на семинаре ка}ед-

ры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора ¿.И.Жегалова ( г. Казань, 1995 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы, в которых отражено её основное содержание.

Объём и структура работы.Диссертация изложена на 99 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав к библиографии, содержащей 46 наименований.

КРАТКОЕ СОаЕРШЛЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы исследований, приводится обзор результатов, связанных с рассматриваемыми в диссертации вопросами, излагается краткое содержание работы.

В первой главе диссертации исследуются задачи Л1,йа,Е для уравнений (и) И м .

В § 1.1 для уравнения (1.^ на множестве (т = & -V и 6- .где

£+= [и/О 1 о< £<-г \ ,

изложено доказательство существования и единственности решения следующей задачи Д^ .

Задача . На множестве и найти классическое решение Щ&.Т,") £ С1(б'+ и (т-^ уравнения (11") , удовлетворя-

ющее краевым условиям:

ии.о)= гу-СЕ') , + ; иСод^^Мч), О^<■»■««,

и условир сопрякения

Ы кп <><*<♦« (3)

где Ч1-^ > "Ф+С"^- заданные функции к У>+ 10) (©У

- 5 - •

Доказательства теоремы cjщэст¿зо^зания решения задачи Д t на основе речений в областях G+ и (Í- вспомогательных задач Гурса соотЕетстгенно с краевым условиями

ШО.^^+КУ Cira 04E,< + oa;

UU,o)= о * e < ; ^ E4"?U

и условия сопряжения (3) сведено к системе дьух интегральных уравнений относительно функции Xi ("0 = ^-t- (t) Ю и

Эта система разреаеиа непосредственно. Решение задачи At найдено в я^ном виде через лнтеграли, содержащие спецфункцни под знаками сул-i. Единственность рзаеная задач« A¿ следует из самого процесса его построения.

Б § 1.2 для уравнения на кномеотлв Я) в <DtU5)4 , где

рассмотрена задача Ai в следующей постановке.

Задача Ai . На множестве 2]) найти решение U£C (£))П С1 (S+Víí^yравнения (La) , удовлетворяющее краевым условиям:

но, х е [o;V2*l; х е Со,-Vzl,

и условию сопряжения

<> а

гдз a^-w^s-í.aÉb^oteV заданная функция и 1}0(оЬо •

- б -

Урагкекке (Ьг") в характер«отеческих координатах Н-х+у, т^-ги-^ имеет иид

ь I а-"г £+7 1 I ь^^г ] ^

Для уравнения (5) в области Н1 - образе облает;: 301 ке-тодок Ркканв. реиеиа задача Гурса с краевыж услоькяю.:

[он! ; и = ££ [o-.il, *у(сЛ=о.

На осноье этого реиения вьод;.тся класс о$оби.Зннюс раденлй и)о((01Л) уравнения

3 области " образе области Я}* уравнения (5) по-

лучено реиенпе задача ^ои,: с крьевр« уолоьияки:

иг, ££'to-.il;

С^-^'^Сиь-иО^ ^(О. fctlo-.lt.

Основываясь на это реаение, вводится класс обобщенных репз-о Я ('Эг") уравнения (Х^ , в котором от функции ^(б.") требуется следу идее представление

о

где

Т(£) € С юле П Lco-.ii.

лепользуя решения вспомогательных задач Гурса и Копи, решение зада*-?« Д4 сьодлтея к <%зозн8«но>1 резргиикостк инты ральных ураъненлГ; Зольтерра II рода относительно функций Т(&) иТ'(0-На краевую функцию ^(Е.^ пр- эток какладыьакгся требования:

Единствен и ость решения задач;: Д. следует кз самого спосо-

ба его построения.

5 1.3 лосвящьн доказательотву существования и единственности реоения задачи для уравнения •

Задача Да • На множества О нахти решение И €С(5")П С2®^©^ уравнения ((-.¡О , удовлетворяющее краевым условиям:

=0. хб [^гИ!; и1х = у = 0б€[о;1/а1;

а условию сопряжения (4), где ~ заданная функция.

доказательство существования решения задачи Дг опирается на решения задачи Гурса с краевыми условиями:

и(о,чЛ = <3 Ы. ^Со-.Л; гЦЪД^о, EGCo-.il, ^СО=о;

и задачи Кош и с краевыми условиями (6).

Единственность реиения задачи Д2 доказывается на основе принципа локального экстремума.

§ 1.4 для уравнения (5) на множестве Gl^: У , где

в? = {(ьдМ о< \, ={ о<-н <-г<-1} ,

доказывается теорема существования и единственности решения следующей задачи Е

Задача Е На множестве 6-1 найти рзшениз уравнения (5) Щё.,^ € С и (зч » удовлетворяющее краевым усло-

виям:

= г+00 , ££ Со; 11 ; гг(&,-х> г- (е\ е. £ [-1-, о"!;

и условиям сопряжения:

а/ ?im = а ■ tim гиил); С7)

£»o-o —г

r~ i-

: „с T+(fc), - заданные функции, a,o,Vconst, o< , a-fe £0

Рзззняз E получено в явно:-: годе ь специально:;

классе особцзннкх реиени/. уравнения (Lг.^ , который авод;:тся опираясь на оегенхя задач Коал для уравнения (5) в областях Gt я G-j- .

Крао^ые ;ункцли tV (О и (е.) при этом обладают следу юле;"; гладкостью: -&■»-(.£.)£ C4o;U , 'С- (н) 6 С* [-i-, ol.

Этот паратрар является вспомогательным для второй глаьы.

Вторая г лава, длсзертацяи посвядена доказательству существования и ед.1нз?2еяаостл рзизния задач/ типа Трахома ( задач л "Т* 1 для уравнения (\S) на мко-сествй ÍDoUD^ ^ > где Со -область, огрьнлченяая гладкой крлво/í Г , лезаазй в первой к:ордлнатной чзтгерти, с концами в точках А (4-;о) и В(о;0, отрезком ОА оса ОХ и отрезком ОЬ осп 0Y ; £0Í область, сг отрезком О А , отрезков ОС прямо;":

a + ^ =о . o¿oci|- i отрэзко!.; С А прямой i , i^océi ;

- область, огуанпчанная отрезкой ОС , отрезком 2)С прямой X-^-i , , отрезком 05) оси О Y

Задача Т * . Ка/'та функцию 12 со свойствами:

2/ такона, ч?о L(U")so в области Do ;

3/ tiCsc,^ - решение класса R+ e области Di ; гЦ»,^ - решение класса R- в оольсти ßä ;

V Hlcfc,^") удос<эт^орлзт крае tu:-: у ело г:;;-::.::

а/ U]r SttO;L"i, L •• л.:..:::. Г ,

S - длина дуги криво- Г , отсчитываемая от т. А ;

6/ =?('ä'). Tje3o-.iC;

в/ U(o,^ = , t-i;ol;

5/ "ЫЛ'Х,'^') удовлетворяет уалои.ш:; сопряжения (7), а такде следующем:

а/ U(oc,vr) = «£„ • с у-г+о

= <Lo-iim и* , <х 6. Со; ll:

i/Vo i*} = = £ (се>М+(бс>

= р(зе> -Xfe lojit;

где f (ър, t-(^) - заданкье ¿уккцп::, £ .

<2, А, oLo -Coasi , o-l-^O, o<|N<i.

Классы обо5i'iHHbix решении R *• >. U- уравнения (О вводятся, основываясь на решения задач Kos,: сооть?тстьекно в областях Оt и ©а

пункте 2.1 доказаны д^е леммы.

- 10 - -

длл уоаькзйия (I) доказывается следующая лекма.

1 зкма I. Пусть 7;в(а) достает наибольшего положительного ( кайнакьыбго о г р,. цат эль ног о ) значун ля на отрезке toj il ъ точке » 0<cco<í , пал этом 'C-C^so , «Jt0>0 , а + ?> >о ,

О Л < где , F(p,í;2-p;-í

^-IFpTFpYIFF) (г-р^к ni ' l>

Тогда \>+loc,Vo ( V+ ÍCC<,>0 )•

Для уравнения

2a 2P

X = xicca + U» - "Y UTJ + =0,

г до o< р,я <¿, C(ot,»j)«o . докьзьхлетсй справедливость следу raer о утверждения.

7ie;-::-;a 2. Пусть непрерывная в оодастя «Do Функция ПСос,^ удовлетворяет неравенству ¿C(lO>0 ¿ ÍC(г1^0 ) и пркнккает наибольшее положительное ( наикзньшэе отрицательное ) значение в точках (ж0;о) , 0<«o<l , (О; ^о") , о<^о<4 . Еолл значение $ункцкк на кривой Г хеньие ( Зольиз ), чем U(«o,o)

и 1Л.(о; уо} , то соответственно

<0 (>о),

= вт и*Ы,Ч>)<Ъ ( >0), 0 0

если у:сс1занкыз пределы существуют.

Опл^алсь Hu '/т^е'З'.дснил от;лк „^-v.'".

п..огод.-тск дзкизс.1 оаьот

теоренк едчнстзекв'оотй решения зада'!;: Т* , с-ч.'г-я ^CacVo.

Пункт 2.2 пссьяхзл доказательств теосзкк о.-^ссгзока::::« рс— лс н лл задач:; Т* . Tl/л этом прадпо^ас-тся, чго :-:р::х.ая Г "норка.ькзя" icches/.:Г= Ii,«-»о.^о}и ¡унлцлл £>(»") ..re ST степенное пръдста;лхн.:о: £(•«)=-о:* , <C-eo«.st.

Пи: доказательстве ьто- лсорл:-:;.; лспзльзу ■отек ре^енле р;.сс ренно:'. в с? 1.4 задачи Е л релелле задачи N ( /.(¡ЗелиЕ --.А. Задача F для одного ур&к|енкя смеллнного типа в н*хкр5кте.?;.с тлческол сjластл с дьукя линиями алрот.д-нля // Аналитические методы P5D84KK тл.Ь-орокцлалъньх ;резен::...- лЗклс.в: КГГК, 13Г.Г,. -С. 97-105. ) с краелшл: у ело в.; як;::

f = о. ^ е Зо; Li ; , $ £ [о; Li ;

У'^Ич 1o; it .

О

IIa основе рсаенкй этих вспомогательных задач пил дополнп-

тельник трзЗэкнлях: , t- (£)€ С С-toi -.ол.^и-

т *

тельство теорсмл су чествования решения зад_ч;; I ок^ллал ;.лл -ко сводится к лнтег ра.льному ур-гн^нин ?редгольки II реда со сла-j*,r. оссje:-nocTbю ь ядре <- непрерывной лрллсл Часть;: о:;:ос..лалььс ¿¿•нкцлз fo'i's"). Однозначная р..зрел.л..остъ глвм&аьгэ ..з

ы;пэ;:кеш.я тоорлгл сд;.кстшшсстл релкля задач;; Т* . Так..!' образе;-', доказано следу ¡сцее лъзд:.;.де;:ло.

Тес лека. Золи C4-i;<A , ,f (ij)so,

di>a , t£o>o, 5 + 6>o, о < 6 < /(JLi+- ¿-г),

то c^aejityev сдккстсегмэг реие»:«г зс-дачл T* .

Айгоэ лыр&кдет мо.-'.реннк:о э.кгодараооть л празньтелькоогь научному ,о;коЕ%«тглэ - прэ^еосоэд В.^.ЗОЛКОДЙjo^j.

Сон о uíj рвз.дьтитк длзззргацл;] олуз Ллко^ань; ^ pajoiax:

1. 3-гапоь 3.3. Задача Д^ для одного уравнен'.:« глпероолл-чоолсго типа ь неогсйИ-.чэн1!0.: oJ.¡-ct¡i // методе, рздкмя дл£.¿3рснц.сс.»ьjЗп..::. -.'.^ииь^ев: :ТУ, 15".

¿traaos J.3. Задаче Т:,.ko::i¡ д..я одного удимьнг.я зме-Г-и-кого т;:па о сиш'удьрьии Koa¡ ,¿¿.sht«ix4 пр.; не^зеово:: ¿сдосли

лз ojíuct.í ."/;пзрзэ.:..и;->ззгп // ^оа-згуз задали для yp¡i.-ti-iíi>;ú '■■■a';owar;¡4-jjr.o.; ¿23 -»j.-jb^ct, 1Э9С. -С. I0¿-ICC.

2. 'Jaranos J.3. ,c;..XЗЛ ¿..¿P'jOdH-

Ц-.аЛЬПЬХ ypaj;-.e.-¡<i-'. С rí3tlBO.!^!». ¿'Сл0.г»к:4л 00II уй.-.гHiiJi // CTSJXI»!-

Vitwa.v. г ос. пзд./¡rf-'i. -G-rst;j..Tu:..ciíi, 1*50. C. L.áj л;;эг 6 паз. ?иксп;,оь депонирована в J/ESIITZ ¿I.C8.9C. :',7¿7-2 50.

Зо^лодзъов á.5., 3-r¿noj- .3.3. Задача E дли одного уравпсн/.п г.:пэр0ох-ЛвО.:сго т::ла с д^умл ллнлями ^ро^дз;:../;// Bl.-рзлдаыиеся ураш&НлЯ у равнения змеианпог о чипа, "е -'.дунасод. науч. Ташкент. Тезлсь докладов. -Теакант: 5¿H, 1593. -С. 46

о

/

/

/■