Краевые задачи для функционально-дифференциальныхуравнений в исследовании вариационных задач дляквадратичных функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Груздев Алексей Анатольевич

Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений в исследовании вариационных задач для квадратичных функционалов

01.01.02. — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 1997

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Математического анализа Пермского государственного университета Гусаренко С.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Исламов Г.Г., кандидат физико-математических наук, доцент Кокурин М.Ю.

Ведущая организация—Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург).

Защита диссертации состоится ¿3 апреля 1997г. на заседании диссертационного совета К 063.66.09 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект 29А, ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан

марта 1997 г.

Учёный секретарь диссертационного совета: кандидат физико-математических наук, доцент

/В.А. Соколов/

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена вариационным задачам для квадратичных функционалов вида

/(*) = • (т'х)(0- {Т0х)а^, (1)

в банаховых пространствах О (функций х.*[0; —> Я1), изоморфных

декартову произведению Ь2 х Я". Здесь Т1,Т': 2) —> Ь2,(1 = 1,т);

Т0:0 Ь] -линейные ограниченные операторы. Таким образом, функционал (1) может содержать, кроме самой функции X и её производных, интегральные операторы, операторы с распределённым отклонением аргумента (интегральные операторы Сгилтьеса).

Математические модели для современных физических и технических задач зачастую требуют учитывать предысторию исследуемого процесса. Это стало одной из причин, по которой функционалы (1) вызывают интерес математиков уже несколько десятилетий. Одной из первых работ в этом направлении является, по-видимому, работа Л.Э. Эльсгольца. Исследованием некоторых случаев функционала (1) занимались также: М.Е. Драхлин, Г.А.Каменский и А.Л.Скубачевский, С.Г. Корытов, М.А. Макагонова, Н.Б. Плещинский и другие.

Функционал (1) - более общий и сложный объект, чем классический квадратичный функционал, поэтому уместно отметить высказывание Д. Гильберта о том, что каждому "регулярному" функционалу должно соответствовать своё пространство, в котором этот функционал достигает минимума.

Изучением вариационных задач в специальных пространствах занимались, в частности, М.М. Шахин, М.А. Макагонова. В их работах функционалы минимизируются на множестве кусочно абсолютно непрерывных функций. С.Ф. Морозов рассматривал функционалы определённые на множестве функций, графики которых могут иметь

вертикальные участки. Несмотря на множество работ, посвященных экстремальным задачам для функционалов вида (1), эффективная методика их решения в достаточно общем случае до сих пор отсутствовала.

Сочетание методов функционального анализа с результатами современной теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения, разработанной Пермским семинаром под руководством профессора Н.В. Азбелева при Пермском государственном техническом университете, позволили рассмотреть с единой точки зрения обширный класс экстремальных задач для функционалов (1) и вывести общий критерий минимума для них. Отметим здесь работу С.А. Гусаренко, а также работу Е.И. Бравого, в которой обобщаются классические результаты Л.Д. Кудрявцева о "сингулярном" функционале, определённом на множестве функций, допускающих разрыв производной на концах отрезка.

Цели работы: Вывод критерия существования минимума функционала (1) в пространстве изоморфном Х2 хЛ".

Получение эффективных признаков существования и единственности решения для ряда конкретных вариационных задач на основе полученного критерия.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений®. Изо-морфность О = 1*2 х Я" позволяет, с помошью некоторого шедстав-ления элементов пространства Д редуцировать исходную вариационную задачу для функционала (1) к задаче безусловной минимизации

• Азбепев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1991. -280 с.

квадратичного функционала в гильбертовом пространстве Н — L2 или Н = L2 х ВУ:

co{S)=1-(Ut,Z)H-{f,S)H+Y min (*) Здесь (у)я - скалярное произведение, U: Н —> Н - самосопряжённый

ограниченный оператор, f еН, у sКритерий существования решения задачи (*) известен и может быть сформулирован следующим образом:

Элемент еЯ является решением задачи (*) тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1/ оператор U неотрицательно определён, то есть (i/df, >0

при всех ^бЯ;

2/ £0 является решением уравнения Щ — f. На основе этого утверждения выводится критерий существования решения вариационной задачи для функционала (1), заключающийся в том, что элемент Х0 е D доставляет минимум функционалу (1) тогда и только тогда, когда Х0 есть решение некоторой краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения и спектр оператора U не содержит отрицательных чисел.

Научная новизна. Предложен новый метод исследования вариационных задач для квадратичных функционалов вида (1). С помощью методов функционального анализа и результатов современной теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения», рассмотрен с единой точки зрения обширный класс экстремальных задач для функционалов (1) и выведен общий критерий минимума для них. На основе этого критерия получены эффективные признаки существования и единственности решения для некоторых вариационных задач.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут применяться при исследовании вариационных задач для различных квадратичных функционалов и при исследовании линейных краевых задач для некоторых функционально-дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (1992-1995), на международной научной конференции: "Дифференциальные и интегральные уравнения. Мат. физика и специальные функции" (Самара, 1992), на Ижевском городском семинаре профессора Е.Л.Тонкова (1994), на семинаре академика РАН С.М. Никольского в Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова (1994).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 3 работы. Список работ приводится в конце автореферата. Результаты диссертационной работы, приведённые в совместных публикациях [1, 3], получены автором самостоятельно.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 13 параграфов. Работа занимает 78 страниц. Список литературы состоит из 34 наименований.

Содержание работы

Во введении даны общая характеристика темы диссертации и КрахлСс йЗЛОлСсНИс рсЗуЛЬТаТОВ ДИССёрТсЩИИ. В ТСКСТС ДИСССрТаЦКИ БСС функции для удобства изложения определены на отрезке [0; А].

В п. 1.1 диссертации рассматривается вопрос об изоморфности данного функционального пространства 2) декартову произведению Ь2 у. К", т. е. вопрос о структуре линейного обратимого оператора /:Ь2 хЛ" О. Оператору /соответствует такая пара линейных

операторов {Л, Y}, (А.: L2 D, Y:R" —> D), что отображение J определяется равенством

х = J{z,ß) = Az+Yß, где Z £1-2>Р 6 R" • Конечномерному оператору Y будем ставить в

..соответствиетакой векпф (У/,-- >Уп)< (У, е D), что ß — Yi,ytßi■

В п.1.2 сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи для функционала (1):

задача с линейными ограничениями 1(х) -> min,

bc = а eRk, х еD = L2 * R"} (1.2.1)

где /."/)—» линейный ограниченный вектор-функционал (равенство к — п не предполагается); задача без ограничений

1(х) -> min,

х eD = L2 х R". (1.2.2)

Задачи (1.2.1), (1.2.2) классифицируются в зависимости от соотношения между числом ограничений-А: и размерностью - П в L2 х R"■ Задачу (1.2.1) при /1>& , и задачу (1.2.2) будем называть недоопределён-ной. Задачу (1.2.1) будем называть регулярной при П— к и переопределённой при П<к .

Преимущество рассматриваемой постановки экстремальных задач состоит в широких возможностях выбора пространства D и в том, что функционал (1) является более общим, чем те, которые охватывает классическое вариационное исчисление.

Сформулирована и доказана теорема о тождестве понятий локального и глобального минимумов для задач (1.2.1) и (1.2.2). Из этой

теоремы следует, что любой минимум является глобальным и не зависит от нормы, определённой на рассматриваемом пространстве D.

Пункты 1.3,1.5 посвящены изложению необходимых сведениий из теории линейных операторов и теории квадратичного функционала в абстрактном гильбертовом пространстве.

В п. 1.4 приводится понятие линейного оператора внутренней суперпозиции Sh: D —» определяемого равенством"

' ' } II , при h(t) t\0;b].

где h: [О," 6] -» R1 - измеримая функция.

Каждому такому оператору ставится в соответствие функция двух переменных Xh'\P> Щ х —> -й' :

U, при 0 < s <h(t) < b, Xh^,S'=[0, при h(t) g[0;¿] или 0 < h(t) < s < b,

которая используется в дальнейшем.

В главе второй сформулированы и доказаны две основные теоремы диссертационной работы о необходимых и достаточных условиях минимума в задачах (1.2.1) и (1.2.2).

При этом, в п.2.1 для случая, когда к > п (регулярная и переопределённая задачи), задача (1.2.1), на основе изоморфности D = Ь2 х Rn, редуцирована к задаче безусловной минимизации квадратичного функционала в пространстве Ij:

6>{z)= 1-(Uz,z)~{f,z) + Y —> min,

2 zeL2

где (у) - скалярное произведение в Редукция осуществляется с помощью подстановки

к ¡=1

где Г-линейный ограниченный оператор, отображающий пространство Ь2 на ядро вектор-функционала /, (оператор Г строится

в явном виде); И*,- е 2) - компоненты вектора IV = (н»,,...

биортогонального вектор-функционалу /. В результате имеем:

/(*) = /гг + I «,-*'/] - *(*) - 1- [иг, г) - </, г) + г.

Ч /=/ / -г

где и,у определяются равенствами:

и = ¿г, ¿ = £(е;7" +е"гЛ,

<?, б' =7"Г, <7 = ^;

/ = - + + р, ? = (ГвГ)*е,

в - функция тождественно равная единице; т

У

/=/

Теорема 2.1.1. Элемент Х0 е. И является решением регулярной (переопределённой) задачи (1.2.1) тогда и только тогда, когда 1/ спектр оператора £/ не содержит отрицательных чисел; 2/ дг0 - является решением краевой задачи

\1л = <р, [¿с = а.

В п.2.2 задача (1.2.1), когда к < П, и задача (1.2.2) редуцированы к задаче безусловной минимизации квадратичного функционала в

пространстве х

а){г,Р) —> тт, (2.2.1)

где V = П— к для (1.2.1) и V = П для (1.2.2). Редукция осуществляется следующим образом.

"Для задачи (1.2.1), не ограничивая общности, можем считать, что .произвольно взятый X е I) удовлетворяет ограничениям 1х — а тогда и только тогда,-когда '

•* = + Е «Л+.,-•*'

, . ¡=1 /=/ .

при некотором (г,...,/?„_*)) £ ¿2 х к■ Введём обозначения:

1=1 1

Для задачи (1.2.2) будем полагать У = У, Р = р, уа = 0. Подстановка 1(х) = l(лz •+ Ур + Уа ^ редуцирует недоопределённые задачи (1,2.1) и (1.2.2) к задаче (2.2.1), где

со{г, (Щ, 1) + -2 (Рр, г) + -2 р(Р'г) + 1- Щ - (/, -

-Т]р + у;

1 = Г

(?г ='Т',А, 0' - Т'А., (1 = 1/т); \ Р: -> Ь2~ линейный оператор, Р = + 0"Т^У;

А - симметричная матрица.размерности V х V с компонентами:

ЛJi = t{¡TsУJ,ГУ?| + {TsУ¡,TsУJ)\,

и

/ - ' +й"Т)уа +ср, 9= (Г0Л)*е;

4/-= -1({Т^,Гуа) + {Т^.Т'У;)) + (Г0у,,е);

У = £{Г<Уа>Руа)-(Т0уа,е).

- (.=1 •

Компоненты векторов / =([,,... е ; и а ' = (а„.'..,а,),

(а; еЛ?') определим равенствами:

сс]^{ТоУ],е). \ . . • ' " . \

Через Л + обозначим псевдообратную матрицу к матрице /4.

Теорема 2.2.1. Элемент Х0 е. О является решением недоопределённой задачи тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: •

1/, Множество значений оператора Р' содержится во множестве

значений оператора А, спектры операторов. А и II — РА*Р' не содержат отрицательных чисел; '

2/. х0 - является решением краевой задачи '

1л= <р, Ьс = а, ' ' \)х = а.

В главе третьей рассматриваются вариационные задачи, для которых, на основе теорем Гл.2, получены эффективные признаки существования и единственности минимума. Некоторые из этих задач

являются обобщениями задач, рассматривавшихся в современной литературе на основе классических методов вариационного исчисления. В п. 3.1 рассматриваются квадратичные функционалы вида

1(х) =1Л(х2 (I) + дО)х(О)хО) + ах2(0) +

* о

ь т ь ь

+х( 01 ; (к + 21Н; (1,5)х($ ) С/, Б)Х(З) (к -

О ¡=10 о

)х( /; - 2/их(0 )) Ш, (З.и)

в пространстве И7/ = Ь2 х Я1 абсолютно непрерывных функций X с квадратично суммируемой производной. Здесь Ц, а, /л е /?';

интегральные операторы Л*, //,, Л^: Ь2 -> Ь2 (с соответствующими ядрами) вполне непрерывны. Представление (3.1.1) имеют различные квадратичные функционалы в пространстве Ж/, которые содержат операторы с сосредоточенным и распределенным отклонением аргумента, а также интегральные операторы. С помощью интегрального оператора с ядром

т "

+ 11 (г,Г) + /Г,(г, *)ЛГ,(г, фг

1 = 10

функционал (3.1.1) записывается в виде

/Гх; = + я(Ох(0)х(О + ах2(0)

Л о V

а:Д/, - 2ф)х(1) - 2/их(0)\Ж (3.1.2)

о '

В п. 3.2 для функционала (3.1.2) исследуется регулярная задача с одним ограничением

I(x) -» min, Ix = а.

Так как всякий линейный ограниченный функционал l:W2 —> R1

ь

имеет представление lx = J y/(s)x(s)ds + т]х(0). где у/ & Ь2,

о

rj е R1 , то рассмотрены три возможных случая:

1) Lx = х(0)\

ь ь

2)lx^\yf(s)x(s)ds + x(0)> \w2(t)dt фО-,

о о

ь ь

3) /х = J y/(s)x(s)ds, J у/2 (t)dt = /.

о 0

Для каждого из трёх случаев методом редукции построены: оператор U = I — Kj (/=1,2,3), где К ¡: L2 —> L2 - самосопряжённый компактный оператор, и краевая задача

0-2.I,)

Lx = а.

Теорема 3.2.1 Если норма оператора Kj меньше единицы, то регулярная вариационная задача для функционала (3.1.2) с ограничением i) имеет единственное решение Хд, являющееся решением краевой задачи (3.2.1¡) (г-1, 2, 3).

В качестве примера рассмотрена задача

?(х) = -J(x:( t)-p(t)x{g(t))x{h(t))-2¥(t)x(t)]dt +

2 и

+ ^x2(b) -> min, (3.2.2)

x(s) = e(s), если ie[ö;Aj; x(0)-x(b) = a;x eWj,

обобщающая задачу, рассмотренную V. Zeidan и P. Zezzab. Здесь, .

неотрицательная функция р: [0; 6] -» Л 1 суммируема;

функции £,Л."[0;А] —> R1 измеримы по Лебегу;

д: R1 —> R1 - непрерывная и ограниченная функция; у/ е L2.

Отметим, что V. Zeidan и P. Zezza рассматривали h(t) = g(t)=t , р(0*1. ,

На основе метода редукции (п. 2,1) получено достаточное условие существования и единственности решения задачи (3.2.2) в виде неравенств: '

- Ь<1, }p(s){4-^^^'ly^x^ds <2.

Кроме того, доказаны приведённые ниже теоремы. Пусть

+ ; ^))(Sgxp)y.

Теорема 3.2.3. Пусть b < 1. Справедливы утверждения: 1/ Задача (3.2.2) имеет единственное решение тогда и юлько тогда.

когда существует неотрицательная функция V е Wj, удовлетворяющая условиям: , - •

• , у(0) - v( b) > О, (Lv)(t) > О,

b Zeidan V., Zczza P. Coupled points in the calculus of variations and application:» to periodic problems// Trans. Am. math. soc. V 315, №1, September 1989, -P. 323-335.

причём {Ьу)(X) > 0 на множестве положительной меры.

21 Задача (3.2.2) не имеет решения и функционал 1 не ограничен снизу тогда и только тогда, когда для какой-нибудь неотрицательной функции V е 1&2 выполняются неравенства:

У(0)-У(Ь)10, {Щ(0 < о,

причём {1л>)(< 0 на множестве положительной меры.

Теорема 3.2.4 Пусть Ъ < 1. Задача (3.2.3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полуоднородная краевая задача

(1х = 0,

\х(0)-х(Ь) = 1,

имеет положительное решение.

В п. 3.3 рассматривается вариационная задача для функционала (3.1.2) с двумя ограничениями на X е ¡¡X = а ¡,12Х = а 2, где ¡¡: №2 —> Л' линейные непрерывные функционалы. Любая пара таких

ограничений сводится к ограничениям одного из следующих видов:

ь

a) 1,х = х(0) = а,, 12х = \\}/2($)к($)й8 = а2\

о

ь ь

b) ¡¡х = | у,(з)х($)(15 + х(0) = а,, 12х = \\{/2(х)х(8)<к = а2\

о о

ь ь

c) {¡X = 1цг,(з)х(з)с1з = а,, 12х = |у/2(з)х(8)й5 = а2\

о о

ь ь

где, в каждом случае:| ц> 2(з)ц/ ¡(з)(1з = 0, | у] (я)(15 = I, а в случае о о

ъ

с) также $ 1/г](5)(&5 - 1. Для каждого из трёх случаев построен о

оператор И: Ь2 -» Ь2 ( и = I - К1 (¡-а, Ь,с), где К,: Ь2 -> Ь2 самосопряжённый компактный оператор) и краевая задача (2.1.3):

I <"*>

l]X = а¡, 12х - а2,

(i=a, Ь, с).

Теорема 3.3.1 Если X0 е Wj является решением краевой задачи (3.3.Ii) (i= a, b, с) и норма оператора Ki равна единице, то переопределённая вариационная задача для функционала (3.1.2) с ограничениями типа i) имеет решение х0.

В качестве примера рассматривается задача

/(х) = LljxUt)-p(t)(sgx)(t){shx)(t)]dt -> min, (зп)

х(0) = 0, х(Ь) = 0, xeW2', которая обобщает некоторый класс вариационных задач, изучавшихся Г.А. Каменским и A.J1. Скубачевскимс.

Здесь peLj и p(t) > 0 \ измеримые функции A,g:[0; ô] -> R1 удовлетворяют условию: для любого подмножества Q с [О; ¿>] меры

нуль выполняются равенства: mes Л-/(Q) = mes g_/(Q) = 0, где mes

означает меру Лебега. Обозначим

Доказана

Теорема 3.3.2. Пусть существует неотрицательная функция V е W].

для которой выполнены неравенства: def ь

y/(t) = v(t)~ f v(s)dsR(t,s) < 0 почти всюду, о

' Каменский Г.А., Скубачевский АЛ. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. -М.: МАИ, 1992. -192 с.

b

v(0) + v(b)-\it/(t)dt>0.

о

Тогда задача (3.3.2) имеет единственное (тривиальное) решение.

Полагая v(t) = t{b - ?), получаем такое следствие теоремы 3.3.2:

ь

если выполнено неравенство vrai sup I (2S - b)R(t,s)ds < 2, то задача

ге|о,й] о

(3.3.2) имеет единственное решение.

В п. 3.4 рассматривается недоопределённая задача для функционала (3.1.2) без ограничений. Для неё получен следующий критерий существования решения.

Теорема 3.4.1. Элемент х0 е IV ' является решением недоопреде-лённой задачи для функционала (3.1.2) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: ь

1/ а > 0, f \q(S)\ds = 0 если а = 0, спектр самосопряжённого

о

интегрального оператора с ядром X,(t,s) + — q(î)q(s)A+ не

4

с

содержит чисел больших единицы

А+ _ШаЬ) прияло; [О п ри а = 0.

II х0 - решение краевой задачи

(Lx)(t) = x(t) - j К¡{t, s)x(s)ds + L q(t)x(0) = g(t),

о ^

b

I q(s)x(s)ds + 2abx(0) = /jb.

Lo

В качестве примера рассмотрена задача 1{х)=1-](х2(О - р(t)x(t)x(0))dt min, 4

xeWj,

где р

b

Пусть /j(t) = \ р(S)ds. Имеют место следующие теоремы. t

Ь

Теорема 3.4.2. Если J P(t)dt > 0, то задача (3.3.1) решения не О

имеет.

Ь

Теорема 3.4.3. Если f р(t)dt — 0, то справедливы утверждения: о

1/ при р(t) = 0 множество решений задачи (3.3.1) составляют все функции вида х(t) == const.

2/ При p(t) * 0 тождественно задача (3.3.1) решения не имеет. Ъ

Теорема 3.4.4. Если j р(t)dt < 0, то справедливы утверждения: О

1/ Задача (3.3.1) имеет единственное (тривиальное) решение тогда и I b

только тогда, когда —Г и (т)йт + и(0) <0\

4 о

21 задача (3.4.2) имеет бесконечное множество решений тогда и 1 ь

только тогда, когда — j р2 ( x)dг + fj(0) = 0.

4 о

В п. 3.S рассмотрена "сингулярная" вариационная задача: 1{х) = ((t(b- t)my - p(t)(Sgx)(t){Shx)(t)}dt -> min, x(0) = a,, x(b) = a2, xeD. (3.5.1)

Здесь peLj; функции g>h:\0;¿] —> измеримы по Лебегу.

Пространство D = L2 x R2, порождено краевой задачей:

(3.5.2)

t(b-t)x(t) = z(t), •x(0) = ß„ x(b) = ß2.

Таким образом, каждый X e D, определяется тройкой (Z,ßj,ß2) с помощью равенства

x(t) = J Л(/, s)z(s)ds + ^p-ß, +{ß2,

о uO

где Л - функция Грина краевой задачи (3.5.2):

t-b

A{t,s) =

b(b - s) b

при 0 < s < t < b, при 0 <t = s < b,

— при 0 <.t < s < b. bs

Показано, что неравенство

]\p(s)\Xh{s,0)Xs(sfl)ds < b2

0

является достаточным условием для того, чтобы задача (3.5.1) имела единственное решение.

В п. 3.6 рассмотрена регулярная вариационная задача в пространстве кусочно абсолютно-непрерывных функций WS^c):

Ф) = ilfc'O) ~ p(t)x(t){Shx)(t) - 2q(t)x(t)\dt -> min,

Л о

х(0) = а,, x(b) = а:, хе WSl(c). (3.6.1)

Каждый X 6 WS2 (с} имеет представление

x(t) = j Z(s)ds + ß,+ x(t)ß2, гяехО) = \ £ ^

Введём обозначение K(t, s) = ^ {р(t)xh (t, .s) + p(s)%h (s, -

\

-p(t)x(h(t))-p(s)x(h(s))). ьь 2

Теорема 3.6.1 Если выполнено неравенство J" J K(t, 5) dtds < 1, TO

0 0

решение задачи (3.6.1) единственно и является решением краевой задачи \Lx)(t) = x(t) -

■ ~ ^{pd^S.xyt) + J p(s){x(h(s)) + Xh{S,t))x(s)ds) = q(t),

2 \ 0 '

x(0) = a,, x(b) - a2.

Список опубликованных работ

1. Азбелев H.B., Груздев A.A. Функционально-дифференциальное уравнение Эйлера// Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции": Тез. докл. - Самара, 1992. - С. 9-10.

2. Груздев A.A. О редукции экстремальных задач к линейным уравнениям в гильбертовом пространстве// Изв. Вузов. Математика. -1993.5.-С. 36-45.

3. Груздев A.A., Гусаренко С.А. О редукции вариационных задач к экстремальным задачам без ограничений // Изв. Вузов. Математика. -1994. -№6. -С. 39-49.

Подписано в печать 4.03.97 г. Формат 60x84/16. Объём 1,0 уч.-изд. л. Тираж 100. Заказ № IIII .

Редакционно-издательский отдел и ротапринт Пермского государственного технического университета