Краевые задачи для некоторых уравнений в двух и трехмерных Евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

черновицкий ордена трудового красного знамени

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Ю. ФЕДЬКОВИЧА

На правах рукописи

ЗАХАРОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ В ДВУХ И ТРЕХМЕРНЫХ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черновцы — 1993

:-i'JC;U ТГ^ДиігД'О КРЛСІІОіо :;л/”гам ГОС^ЛУ'ОТВйш;;

:"г ----h d5 -.тдыхипл

01,01

Bn. р^тпгон

:?^лЛ-'0;: ip гі:;о';':тп

к'іїї злдлч для птпош шіневіЯ ?> дву” п їїтзегшп кпкщрдо

пгсстр/даїіілх ,

,02 - л;:ІД'"Р'’ГП’;П"МГ]о .трззногая

Лп^ог-: .

,'Т'-Ц‘К! "fi yi?lV:2 тропот

\.т> ?гі 'Г.*: w:.y-: r.:c~

■’.•",'чогіС' - І.ГГЗ

Работа ви полнена на кафедро математического анализа Оашфокого государственного педагогичеокого института.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

црофеооор В,'І1,іЗолкодаїюи

Официальные ошюнонти: доктор физико-математических наук,

профессор И.А.Шрчонко

кандидат фнзикочшттшчиоких наук, доцонт И.Д.Пукальокиіі

Ведущая организация; Казанский гооударотьошшН унипороитет

Задіта состоится "<£6 " СРа '*'* І^ОІіг. ь__ чао.

на заседании специализироиашшго совета К OCU.IG.Ob но ыриоузде-шш ученой степени кандидата физико-математических наук с Чериошіцком і’ооуняиероитоте >ш, Ю.Фодькоъича ( г.Чярноьци,

ул. Коцюбинского, Й), . ■

С .диссертацией можно ознакомятся и библиотека Чіфімицкиго гооунпверситета им. К’.іидькоиичп ( ул, Л.Украинки, -О,

Лпторефюрат разослан " ^^ 11 __

УчеїшГ. секретарь

спеипапизиронашшго

сої-,ота, к, и., іі'ї

А. А А:

оп!цл :ш\штстш работы

А1Т1П^1'!!Р5"л“^,13!ГЬ Тзорая крпоянк задач для уравнений смзтанного тяпа ппплохой одшл пз апг.тнх вагаппс раздолоэ тео~ ргг:г дпр^аронпичллпнх урпппзааЯ а чяотннх пропзюлйга:. Это- объ-ясгшотоя оя многочполоиш.а щшлозэпплл з газоаой дтга?пп:о, теория оболочек, г.этгяптпой пигродтткпко, а такка другпх об-

ЛПОТЯХ наутш И ТОХНШГП.

ОсИОПП отой тоорпя зилог.оин п хорошо пзпоотшгх работах

О.Трпкоки, С.Голлорстодта, ?.И.Фрапкля, К.И.Бабонко п друтлх ЗГГ5ННХ СНГ ’1 зпрубппнчх У'ГЛИГХ. ’

Отогнув библпогра^хп ко-?;о найтя а книгах Л.В.Бицадзо,

А.М.!Ьхуяопп, М.М.Смпрпога а других.' ,

П помодчоо праня нолучзи ряд ниторэенлх.результатов в тоорпя краттх задач дчя урпвиэппЯ тротього йорядка в трох-мор.чом пг»ш!дором проотранотзо. Отмэтлм работы В.Ф.Воякода-голп, ПЛ.:,эгалопа, Л.М.В.7.оря. Оакотям» что п трэх?*эрпом прострпнотга аок’ло.-;оп болоо шрокпй опокгр гоаэгих задач.

Трудно пэрэопэют:» рол~> (Гу-теаглл гр'л ропоняи крае-,

31сс задач. Иятораошш прэдстапляэтсш пъхогг~зта йункплй Рш.та-::п, а тпк.?.з г^зтодез гг. поотроеппл ~яи для урпгг^лпП второго шрязкп» тэи л гш ур.:*ш;-?:п;! трахасго,'порядка •’ грожорпом пр;; талого?; проптаг^с"::!*-

йопроспи реяагал кропил озглч для урапионпЗ скопанного тппа, мотод-л поотрооияя 'Т^пкипп Р:к.:апа п рояешп краэввх задач для уравнений Ш порядка а трэхмврпом нрострапотвэ л пос-ппцоип наото;г, -я р^бои,

* * Рот»,

I. !!^ОЛОЛО»Т1:ПО ПОГфОСО!» сугцоствованял и одппстпошюстп

одного cCoti icisxin Тп:а.о:, тКц.кзл;;,

2» R.u-jr.i.o г-оуч ,гл.. оллохч* w.:'uu..,

UiK yr:ai:ii;:u/:U u огрзь'чийашх u iWorpa:;.i4o:a!!i.c оск^отях тпс.с--мор::ого сьхяадсого прлсrrauoт..a.

3. Докааатольоги) д;ое1’1ггочкою i.p;?«a::!-:;'. ьоспрашшл ^/наций Ршана 1; огс лрпшасшш.

flot'orn иоо»,ч»=ор-7>пт. Ochod::uu po^y^/wmi даосортауиошшп pudcTU подучецц i'Si ooixota:uiH ьлгшаичьоких ыотода^ р-.-с-зны rxt-~ форошшшшшх и ыгеогралыпе уравнений и тагси) ашк.раги сно-цзалыш* «1ушодИ;, Ира доиззаголхеяви с^стиогаи.:;: $чц.«ш использо'^лпсь глзтод р;2.>;яш, ссорил иитогр^ымг;^. у\>т:иыы?. йрздгол£,.\ц »торохч> родя, ицтегралт.ла:; ypabuemili Дс!ел,: с ййо-кошшиу 1зар;ашм продоле;.!, £&ш«игвеш:скш, pesioima сирдчи Трц-ко.м:з душ ^рииионлл Кароля дохаишшохеи о пог-ощьэ принципа локального onoi’psijyia,

Нятчка» поеирнп. Вяодоио иопятка осЗой;;ошшх рскшшИ класса ^фс" для урашоная Кароля, аналогичной понята класса R., , вводоиному И.Л.Каролей. Доказана едхшетьошшеть решишш иида-чи Т*''J дня уравнения Кароля. Для отюго урашшяня третьего порядка рошони задача Гурса, Коша-Гурса и ,Ц|рбу и ограниченных ы иеограничениих областях, трохшрнаго оиклндоиого пространства методами Рииаиа а Р.-А, функции, Р.-Д. задач Jiiipdy и Koum-iypoa построены автором. Доказан доотаточниИ признак построения Функции'Римаиа дал одного класса ди р^ироицнальши урашошШ тротього порядка и дши ого при.мшшиня.

]'к-Ч’0)ч:|'НО(.’ТЬ получениях ptnyii/iuTuu оДиошяпшыасЬ обо*:-ношшиом и строгий доказательством w-:m ут1:ор..-доиаЛ, i !op>.ry'i.i-рошшннх и диссертации.

П^.'>:їт;!члоі!п:{ >» r/:9n.?TirT-’Kfonjymrjgqi7>, Получошип n ;;."ссз04-.;г.':п ропулг.-.чг? лпллпгся non: ?"'t n r.v.vra тзоротпчооіг.іі гапік^Л- Сі:>: і/лгуг б •'?.*> :!ополг'.‘олппі} ;гдя ялзьисГлсй СчТ'*сп гл:;п itpc^-r~ ілт? дгч „-рпішліілЛ т<т:-огз п тротьс-го

цп:-;:чщ П ,:нух~ Л .Г : <;‘ КІиГГ VіГГЛ/Ьїї.X V.VOTip іГ.Г;і::пх, СГІОТ-

І. сд!'K:Tj:"'!uocr'j г-сгушш обобдо'?:!;! ;г>;тчп Тр:~;э-

г.*і ,:.;л іг:'"• : і .Лгол:ь ”. ііоіу; і п о і >■ ’ії'гз п с. •

' ; эп;;;г! ІЧ'тгл, JlopSy Лгл-Гуроп с;.!"пго ург.л-!гп;::пт ■’•рзтмі'о и оі пішпотпгпх a noovr-snnvorsip:: ou-

■ inx'nrovnro ігрос^рткот. ■

3. J.ocvnij;ur?i1 г.і>г:іг;г>:c псстг.ог'ГИ ЛугсичЛ ІЛглгд із тргс-'е.ггм .їркгг орпм ггггУі р і:!о?по -Т.7■Titrt"::; Лпгїгі "':п р-гп г^.'-элл-цчх Vi.'-:-" vs; о ”*:>,

if-

'■■■'}'< Л.Л”.Л' •’« ■> рггл.'-'Г.їїл сзд'ЛКЛйгэ рзбо-

■::і .■ -липи /Лет: •;

- ::п о; :оу;:о:і о:-; \ прл

(Л’.'Л. •• ■' >.’.0 .’:р '■, ?{.;?3-ІГі?3 ЛЛЛ

- с-:- ./’.'Л', j пі:-: \ хп ,7іЛ^Л?ггтіГ',"ЬГії:'.'>

oifr> t’.* ”':iv/,i;:ipcvr-::.- л-J , гЛЛ1.^;".. ISSI’r.

- ;П >• ■. КОГ. [■ Л--»:- ЛТ ..'.',”3 ГП;..ГГ! ТІ V' гя ’ЧТралЫ.т'Э

ЗОПрГТ:;! ,\’’П ДПГфртПЦТ^.'ГЫ:”.: урППКО»ШЙ“ , Г./ь*:П-ЛїП, ІВЗІг. ца т.".""іГ‘продгоП ::ст!>'р-з!{П'Г! ?,л"-И-?|:.;!одга.и:п’а п пигогрсьть-янз :.-дП;.-нпіг.<%'?. г-,е ттічссл; -.;і Л;::;:-: і л са^іп-ьглп'о іїугппг"", ,, r.te: ..-о, і?92і\

J - ля щ- rj.iw.iK'r.r Of. и>о ио -г.р гтиглэтпям пр'ї

Ч'!рі:о:';Щ"ог! rofi.p^p-.VROimor,: лп^-упл^гао, гЛ-1ор.,'«;!;и. 1332г.

Публикации. ГЬ материалам диссертации опубликованы б печатных работ.

Объем и структура диссертации. Работа изложена на 120 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и библиографического списка, содернащого 4У наименоцаний.

СОДІР^ЖГЗ PAIDj.H

езотоя крчткяй orfrop діі'мраїурц jto то?.:з ,ч:ю-саріЗК”', по:<:ззгиа пктуал.'нзсї;» тс:л*і ноояодозгшпіЗ, прігаодатся .чттлгоо содзр-'лшіз, сЬрг-^.цпразап:! оопсмго р-лпультаїн, ::ото~ рі-'З чір;оО)'іхся ;:а snstfiy,

гасст/лтосвоатоя сзгї’г.ч І’рпксга ут у~:.ір-

ИОііпл Кгполя

-Ц :iq , 3<uv,1 (I)

.1

R пзрпом нарзгре'і-з rmi*t глт'\ псо'гсллспл чпота Ллрбу и

тгсчграшгюшгоЯ облає??: уГ , огрзізчонпаіі m«*едй и-лв

' і

і -• ■? ) V. хг*гїГіГїгорг*с^?і.•• ;оЛ Г w.ani:oil услгпг.-

.Ч-Е-.ь ' '

А ::0 І Ч’\Ьг.^>.),

-і ч>;(?пло ') : t‘

ikiibri д^нкцлп si ст:оПо7т.т.. ~

I. “HlVf*

■?' h %«) ~ pcrisuits .

;Чл'ИГ%...^о (S)

n области Л ,

3. *UU»MV удовлетворяет праввгаг услопшп X\ {'д, о) fj I с !{<i ? 'x ,л [>• - -Л 3 kin £ *U( £-“*•$ л] 4)*to(ij)t

'• '* ’ ‘ ' *’ ’ Ї '< ’ <,{

В характеристических координатах уравнение переходит в уравнение Оіїлера-Цуассона-Дярбу

М +■ О . о<іас і

Ь-*Ч 5, V * 1

Область 3)** преобразуется в область

4> I *

Н а (.

Краевые уоловия приникают вид:

иДВ>,Ь)з |аС^ , В, * Со-,**-) (4)

*** *? & ’ I ^

Ч С**-^ Ь,ьф*•*)(ь>

Ц -о «■ *»

Кцинотвеннооть ц существование решения отой задачи обосновывается по следующоіі охоме. Используя известное рошенно задачи Коши находим решение задачи Коиш-Гурса в ограниченной области Н€а \ ІІ »Ч.”> *• для уравнения (У) с дан-

ными

1«І Со»«1

*9 *2^

г(ик^) Ц.|\ ІЯІ.-ЛІЛа^Сі). І^ІОіО и;)

Затем путем продельного порехода определяется решение задачи

I л **•

Коши-Гуроа в неограниченно!) области Н с дшшіи.ш (н; при £ « (о>+ **•) и “9

равномерно при ^4(0^*(,/;

£-»♦ •»

Используя полученное решение находим рошыпш иостми и чию :і задачи 4) . Итогом первого парторг» і« иири-ь. .• ший нніЛиісл

следующая теорема:

если а Ло,* --о,

^^ !<> (.V.> ". иі (;д) ^а,

П -о ♦ <«> ^ ^

Ири достаточно больших й

?,*(*)» 0(***), ‘-М*Ь0(х",‘"'), 5,>'.5.1Ч»?,

то *{уикция о

к ^ ? ■£" 5

14 иД\в-К-И

. -И . ,

+ {<11^-1} ?{<+т/п>г*гт»т:11^''

“"4 ^ИчгГ.И^К1

где в 4_________________ к _ 1________

является рошошши уравнения ('Л), удовлетворяющим условия.*.! (4) и (5).

Ьо втором параграф шрвоП главу дано определение о боб-

R4» С*&

, доказан принцип локального экотре-

- 4

иуии и следую :ю Я .(ормулиромго:

•+

Ноли и1ЬЛ' - о(1об юшюо решение класса И таково, чго принимает наибольшее положитель-

ное (иииыеныаоо отрипатольноо) значение на отрезке (0; I) в ;очки £0 , при атом и &.УА С '4(1,1) =0,

то м 1.1*0 ('*_<5.,л>о>; ******

I) этом же параграф дается постановка задачи ~ГЛ'“Ч . Уравныны (!) рассмотрим на множество 2)ЛЪ и 1> ,

ГД‘> 3) - обпит, ограниченная кривоИ Г*" , ли;хащеИ в

игмужонал-ги уз» О с концами в точках Л(<-,0\ и В.(о,о) ,

«і

н отрезком Ц”0 ( 'U'. Со,;'!').

Найти функция У(".5^\ , удовлетворяйся yo'wvufa:

1. -и(к ,ч)сС(Ъ\,

b ■ ,л

2. г> U, if) С fO?), ТС ы*0 со ОЛПСЛ'Й J)\

% іч ^ *5 и

3. - обоб:\ои;юо ропошю класса к і! оіілаС'п..

4. ^’,1ч, ч) уцомлоет.'Оряэт условиям U) а (5) пря

‘Uj,., ”'?('$ > $ ~ ■ГУга1}0“1 rnpaimp, оточи пииогий ov

точки f\ „ ЇОііЛ • Ь - дійна npr.f-oii і

5. '{ЦК,и) удоіздстворяяї условия сонр^:.ааия

нНг I’j.iVlV- (0)

- * и-..- ГІ й “

і;-;--;. О

О

Ії-і соиошнзи «руациш мошчїлюі'о окстромука доміі.'іаг! гэоре;.::» оя-лііогі'оі'носіп рэщекдя ото її «адпчи.

jJ vpoi'bGM iiuparpajio инчполоїш ітпгдать питогрзлои елпдт цих еіздоп

f і, „ц . <п

\ X и~і\ ■? тгг . • * - 14 в

а „..

t #,,*>-<, oau<i6i і,

v * *

а

гдэ - фуикщи: лі;;іо х*ипвргооко?рілоскоіо типа од-

но іі шщ двух перомсишк, либо алгоос:ш';ао:. либо і:х ироизсодаїша. '

В § 4 первой глави, иополізуя ужо павоотпоа резонна аа-дачп i'J г; зллііп'і;п9Сі:оі! об .•iSCTw П pG.-ібІіЛО ^ОДґдЧ;.’ JJ іголучошюо ь портом параграфи настояфьі работа, о уіугом угз-

ЛОВВЯ СОпрЯХОНШі (8), ЯрПХЭДТЛ К ПОЛНОМУ СШІГуАЧрНГКу yjCVty

ніііО 2-гс'і«їі-о рода о іо'рок Колій. Гегулярпзнруя ого, ьояз'їііол урзвкзппе іродгомь:.’ :. Однозначность p:.;tpo ;-yo.:::: 'уіьго ураг-

нония олодуот из единственности решения задачи Т + . Отку-

да следуот существование решения этой задачи. Запись этого решения ввиду его громоздкости (1СС слагаемих) автором но випи-сивается.

Во второ!! главе ргусмотрено уравнение

*1 -ЛЮЫ^Си^л-О О)

гдо (функции ДМ , ССв! могут иметь особенности

различных порядков на плоскостях координат. Для этого уравнения методом Римаиа наИдино рошоние задачи Гурса в области "Уоя ^ 0'Х^й1°лу<6,о< а < с 1 с данннш

'Ц(а,у,0 3 г«Со;,=1, (10)

х«Со;а1,а«Со-,с1, (П)

г» и,^,сЬ х «[>;<£,'] с С<>^1 (Г2)

Но втором параграфе ото:! глава путом предельного перохо-да построоно решоние задачи Гурса для уравнения (9) при А(*ь X (*м) в ноограничоиноН области ’■ о<**■*• ** , «<^<,4, о<а<с ]

о данными (II), (Г!) ирн X <» Цо4* «О и

равномерно при <'С°;'31

Я ■*» и "

И атом жи параграф рассмотрен!! още шесть задач с аналогичными краевыми условиями. Результаты обоснования единственности и существования этих задач сформулированы в виде теорем.

и третьем и четвергом иарагрофах этой глав» методом Ригла-нн-Адамара оЛоснованн единственность и существование рошишш задач КишМурсн и Дчрбу для уравнения ('.)) в обчисти

‘5уш:пии P!n«THa-/.;-fi?'anr. rm:x ппкач поотрооич аі'торзм.

J* .ТРйлІі^і УЛйРЙ, і'ЛКПЗгїН ДОСТПТО’ШЧЯ ІфИЙІПК ПООТрОСіІІІІ (Т'Уігкшїіі Ргс^иа дія одного к vima ди№ярошшп"ьшп урпгн.'чш чр0; ;.-/-Г0 ІК»ГГГ;,;;Л И О-'ІОЛУГ.ГІ'Ь’ {op. Г.’ПіфОіНСО:

і’с-.ч:: :.1 ‘ :‘,ч.■ї7і:кці:г, Рп*.пію дія мкігнькип

’ * s v С. ЧІ J, U /■ ї ■ сі / ■ і,

' : : "Лі. ї.t « <;:і < r -t »••>• •її'-.* •'•••- '*

л'ліг.х:on іТуїпяічо!» Рп’^ип Л"П >*рпрт»ш.я І',,::-.4- l'V'\V'; .4' •'••

Л 1 *' '■ І !' *7 V,Jt-4 І * 5 ’■ ' V5"’ >-'х' ■’ * •'

' J f. *' Ч'

npj гаїкіллоаПі; ус-іо?;;!!

Чу.'"5; і й-:.у :' Ч . '• '-М',

1‘ Ч “ЧЧ' -'jf ГЧЧ;- bt,

4,;-'4;‘'a4’':-4s '

ЧЛЧ’[^ ^'Ч^

Дс-С. і ....

•; і. t- bi S . і. \

- СЦ vr«r~ *-<4* * иі*ЛМ* &Ц, 44“: ь

v4'* '■•il-'» і. '■'f '-’{Л'Ль'-^ 1 ^ I” **i < f*4!i r'>А'і'іі, 1 is

’ -і, і • ;j Л, ■,-l; \ Л ,,, Гі.-.). і.....I. r > - Г- -Y™ ' ч

■> ^ -‘-гм-iL"j'" '

і t\ • г .

■i:%•■'• ' V') ;Vfr7^7 3|ї-; T-s 11 !F' '■

_Д ?.

{■X'.y>'w^ ‘"I ' {'('«У " Гз * Із-*}М'(!-гЛ :

~ c ,

^ s' ^4

* - \ММг.^ ~ °>

м;,,,, * к t-.> <5і! і з) и м ^ | (л $$ Нм ■* t, 5* | U <з k с« ь,^ ,+

■*»• !('А^Wv^lVl ij**,v |1 Сл:П;(.'і'ік(;i)[uj'Л(н!!'• ^*

» ^4-л ^'Vl Ul'i rjv lta*oКоїд'і і * ^

[ьЧ^с'Л^\ u - =o

В ЗЯКЛ'ЯОІШО пятор ВІ.'рЛКПСТ бЛПГОДПрІІООїІ» Профессору

В.Ф.Вп.теодагопу її доценту Н.ЯЛіііколпвпу па кпмоць п ноддпр7"

К.Ус ЛрОЯДЛОНШЛ} nj.r, ПЛШІОЛШП' ИППТОЯЩОІ! рЛбоТН.

Ооношшо результати дпооортпции опубликованы п олодущи::

работах:

1. Волкодппоп lU'i). і Захаров ПЛІ. OK одном ndodiv.vni/ ад-дачи їрпко.мн для уравнения Кароля // Трзші докладов ппучт.Н конференции. Алма-Ата» 2Г-25 мая 1991г. Алма-Ата. 19'Л. с.Я"..

2. Захароп ПЛІ» Внчиоланг.о некоторое опредолпнша nirrur-

ратап со опоциплышни функциями гиипргоомотричоского типа // Тонной докладов по,:;ду народної! конфорондйи. ДифТероицналь-ГІНС І! іштегральнио урапнпнип. ь'іТОМа'ППОСКПЯ ІІИЗІІКП Н ОПСЦ^аЛ).-iijjfi Функции. С'інпГ'Д, 24-31 ман Самара.1002. о,

3. Захаров П.ІІ, Задача Дпрбу я ля одного ypawifxiim третього порядка її трехмерное пространство с хпрякториптичеопіки шро*-.нєшшш ралллчішя лорядког,// Тсапсн докладов мшуіународной конференции. ДифГсрсццпашше я ічітсграшшо ураічіошш. Мат»-матізчсская фпакка п споцпашшо функции, Самара. 2*S~3I мая 1992г, Самаре, ІУ92. о. Ш2-ЮЗ.

4. Захаров В.Н., Волкодавов 1J.0., Ннколаол 11.Я. Нсгсоторно.

спецлалькиэ Фуглщпп и рошенйл дифі-оронцпальші;: уравнений // Тезиси докладов моглународной коифарошиш.Диф/аронцпалыпш я ннгсграчышо уравшнш, Матеыаяячвокая фчзпкп и слсцпплышв фуякцпн. Сймарг.7 24-31 мул 1092г. Самара. с. 50. ,

5. Захаров ВЛІ., Полкодаков Епчнояонлй «окоторнк сингулярных іштограіїоіі со'спещшдшка фушдаямя гдпоргоометрв-чесгого типа // Сб. паучшдх трудов / Дц>, аронцпплышп ) pawn-* пчл ■' ОрокпЗ под. Г.И-Ї. Орск. 1002. с. ІГ-^ІП.

G, Uujcupoe Ii.H., Цолкодиыш ІіЛ,, Николаев II.Я., Ііцсїроіза O.K. !yiuui,iui РіШиШІ ДЛЯ іШКОТОрЦХ ДШИореЦЦШЫЫШГ УрШ)НЄІШІІ і) rv-wej)~ !и;.у шжлидоьои нроигрпнотво if их применение / Самара. Сш. і'осуші-нвроіітиг. 1002, о. ВО,