Краевые задачи для одного класса систем гиперболических и смешанных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ он 2 2 МАИ 1995

Академия наук Республики Узбекистан Институт математики имени В. И. Романовского

На правах рукописи

ОВЕЗОВА Марал Мухаммедовна

Краевые задачи для одного класса систем гиперболических и смешанных уравнений

01. 01. 02.—дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент 1995

Робота выполнена в Турвшеискои институте iiaiujiiHoru хозяйства шадер Ашгабат

Официальные сппонмты: член корр. РАН,

доктор фтико-магечатичллих наук, профессор AIL Кснювалоь; чиеи-корр. I1A11 Республики Кизилстаи, доктор физико-математических ньуь, . профессор Т.Ш.Кальмеиов; доктор физико-математических наук,

С.Абдииача^н.

Ведущая <;р) ¡ишзгши»: М<;.:«.овским ¡исударсшендый университет, факультет Вычислительной математики и кибернетики

пни специализированно!« совета Д 016.17.21 в Институте млгеы.п и кjj им. В.Й.Роцаноьского Академии науь: Республики Узбекистан но адресу: 700143, Тайшет, 143, ул. Ф.Ходж&еьгъ, 29.

С диссертацией можно ознакоинться и библиотеке Института математики ии. U.И.Романовского All Рсспублили Узбекистан.

Автореферат разослан 1995"г<ща.

Ученый секретарь /""

специализированного совета, О^л'п

доктор физ.-м&т. наук [,{,{ Ш.А.ХиШИыаа

Защита состоится

л

Актуальности, темы. Актуальность проблемы уравнений сметливою типа, а также их систем, связана, с исследованиями в трансзвуковой газовой динамике, в мдпмгпм идрапинамичоглрх течениях с Нерсуцдам чере:» скорость звука и скорость Лльфема, тсчени»ми жклког.тц » открытом русле, с проблемами теория бесконечно малых изгмОаний поверхностей, ». также безмомеитиой теорией оболочек с кривизной переменного знака.

Начало теории смешанных уравнений было положено п фундаментальной работе Ф. 'Грикоми "О линеПнмх уравнениях п частных производных смешанного типа". Дальнейшее развитие эта ттри! полупила бла»одаря исследованиям С.Гсллсргледтч, М. А. Ларрентьева, А, В. Бинадэс, Ф. Н. Франкля, И. И. Бегу*. й последние годи теори* уравнения эплинтико-пяраЯоло-гипербол!<*.гескс>по тяпа прпгюлжает вызывать интерес п смэи с проблемами ттрнч сопел Лаваля, теории плазмы я другими воПРОСАМИ механики.

Среди ря/ют, пося»шейных краевым задачам для уравнений и систем уравнений гиперболического й смешанного типов следует особо отмчтить работы Л .И.Бииадзе, в которих изучен цель: Л ряд важных чрлевых задач в дгумерпои и пространственном случ«х, которое ст«чулирегали мсслелованяв в этом направлении И ири-влекли к этой тематике многочисленных математиков. Значительный вклад в т«1|)лк) урпмгспиП гкрс^лтччсского »г см'-шалиего тянов внесли йсоиаювапи» К. Фрнлрихса, М. Иротгср», С. Мора-вен, Н. Лиха, Я. Фпллипсл, Г. Д. Квракятраклкееа, К. Й. Ба-

беи ко, М. С. Салахи гдшюва, Ю. М. Есрезалско;«, 'Г. Д. Джу-роеиа, О. А. Ладыженской, Л. М. Нахушева, М. М. Сиирнова, Н. II. Вцлг-ова, ¡0. И. Моисеева, Т. Ш. Кальмснояа, Л. II. Солдатова, Ж. М. Рассм&са. и других.

Задача Дарбу являете* сушой иг оснбышх локальных краевых задач д.ча уравнений гиперболического типа второго порядка на плоскости. О последние годи иачолось интенсивное изучение локальных краевых аадач дш гиперболических уравнений ь областях с »¿характеристической границей. В згой связи следует отметить результаты работ А.М.Нахушева, С.С.Харнбегашвили, М.О.Садыбекова, Л.С.Бердишева.

А.О.Вннздзс обратил внимание исследователей да важность изучения систем уравнений гиперболическою и смешанного типов. Также было обращено внимание на необходимость доказательства теоремы единственности гладкого решения задачи 'Гришин как для одного уравнения, так и систеи уравнений смешанного типа с младшими членами без условий геоыетрическо1Х) характера на границу эллиптической ча^ти области и длину линии перехода в связи с возникшими в приложениях проблемам». Среда работ, по-емщелких краевым задачам для сис1«ы уравнений смешанных) типь, следует выделить работы В. П. Дкдепсо, М. М. Мередрва, В. И. Жегапова, С. М. Пономарева, К. 1>. Сабитова.

Йсслидавани* 1ю краевым задачам для уравнений смешанною типа в обдаст« с отходам от характеристики берут свое начало с работ А.И.Бмцадзе и К.И-Ё&беико. Ими исследовала обобщенная

задача Трикоии (задача M) д.и уравнений Лаврснтьева-Бицадзе и Геллерстедта прч некоторых ограничениях геометрическою характера па границу области. Позже в p;iCorax B.il.Dpamiia, Ц.Л.Копрк/скина, А.П.Соллатова эти ограничения были существенно ослаблены, и п ледаапих работах A.TI.Солдатом» эти условии были вообше сняты.

Следует заметить, что поп рос о сушгствоваини регулгрпого решения задач р Тркхоми и те ЫхУитший iv\% общего урчг.ншпи Лаврснтьена-Бкцадзе также ритуален. До сих пор разрешимость задачи Трнкоян доказывалась сведенном задачи к редкий» эквк-валснт чоЧ системы интегральных уравнений, на применение этою метода для уравнении Лаврентьева-ТЗицадэе с младшими члена»«! затрудисго в связи с громоздкиня математическими вычислениям п. Таким образом, следует наЯти метод доказательства корректности задачи Трикоми для обок го уравнения Лаврентьева-Бииадзе.

Цель ряГюты. 1. Изучение задач Дарбу для системы гиперболических уравнений на шюскости, доказательство одно злачной разрешимости этлх задач методом Римана. Доказательство единственности решен и« задачи Дарбу в области с нехарактеристической границей.

2. Доказательство однозначной разрешимости задачи Три ком* для системы уравнений Лаирентьева-Бицадзе с младшими членами без ограничений геометрического характера на границу эллиптической части области.

3. Доказательство теорем единственности решении обобщенных задач 'Грикомм, в том числе и задачи М, для системы смешанных уравнений.

Общая методика исслцдоианна. Используются tac известные методы: метод априорных оценок, метод "abc", методы функционально!« анализа и интегральных ур^А.ка^й, так и новые методы. Предложен метод построении матрицы Рймаиа-Àдамара задачи Дарбу и истод доказательства существования решение задачи Трикоми.

Hay'iwaa нооиэнн. Основные результаты диссертации «вдаются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их.

1. Доказана теорема единственности решения задачи Дарбу для системы гиперболических уравнений в облаегд с нехара&герксти-ческой границей при условии ограниченности ьа:>ффициектов и их некоторых г,рои зодчих.

2. Предложен метод построения матриц Риыана-Адамара задач Дарбу.

3. Доказана теорема еяипстьешюсти гладкого решения задачи Трикоми для общей системы уравнений Лаврснтьева-Бидадзг при соответствующих условиях да коэффициенты и без ограничений на эллиптическую часть границы области к длину Лидии перехода.

4. Доказана теорема единственности гладкого решения задачи Трккоыи без условий на коэффициенты системы, кроме их ограниченности. При атом возникает условие достаточно большой отрицательной определенности коэффициента при искомой функции. В

$

утверждении теоремы также нет ограничений па границу эллиптической части области и длину линии перехода.

5. Получена обобщенна» разрешимость задачи Три коми в рассматриваемом функциональном пространстве.

6. Исследованы различные обобщения задачи Трикоми для системы уравнений эллиптико-гиперболического типа с вырождением на линии перехода. При условии на порядок вырожден*« уравнений системы и без условий геометрического характера на эллиптическую часть границы области доказана единственность решения задачи М..Получена теорема единственности решения задачи Ы и без условия на порядок вырождения, но при ограничении на эллиптическую часть границы.

7. Изучены задача Франк л»-Геллерстедта и задача Трикоми с обобгцеиютмн условиями склеивания для системы смешанны* уравнений я доказаны соответствующие 'георемы единственности.

8. Предложен метод доказательства теоремы существования решения задачи Триком* для системы уравнения элляятнко-гилерболического типа. С помощью потенциала разрешимость задачи Трикоми для общей системы свезена к разрешимости одной гранично* задача ддя уравнения Лапласа..

Теоретическая к практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют теоретически! интерес. Они мо. гут быть применены при яссяескяялшя иовыхкорректтшх крае-V *ых задач для уравнен*! % систем уравнен*! сметанного тдага, а : также при изучен«* математически вопросов в ряде пряжладкых

проблей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах академика РАН В.А.Ильина, член-корреспондента РАН А.Б.Бицадзе, академиков АН РУз. М.С.Салахитдинова и Т.ДЛхурасва, члеи-корреснондента АНТ О.Г.Худай-Бередава, академика Петровской АН В.Н.Братова, профессора Б.И.Моисеева, на Всесоюзных и Международных конференциях в Новосибирске (1989, 1992 гг.), Самаре (1992 г.), Алма-Ате (1989,1991 п\),Ташкенте(1Шт.),Ашгабате (1990,1993 Гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата, а также в б тезисах докладов на научных конференциях. Полный ошеек работ приведен о диссертации. Из совместных работ изложены результаты, принадлежащие автору.

Структура работы. Диссертация состоит из введение, в кото-рои дается краткое содержание работы, и четырех глав, разбитых . на 16 параграфов. Нумерация формул (утверждений) не является сквозной, то есть в каждой главе свои нумерация параграфов, формуя, теорем, утверждений и т.н.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

В первой главе, состоящей из четырех Параграфов, рассматриваются краевые задачи .доя одной сис темы гиперболических уравнений „ '; . • ; • --' ' ■ "*'

Си - иг1,Нгаи,.+ + си ^ /, ..... "(1)

где o(r,y) = il°vlir ~ заданная квадратная, симметрическая матрица, Цх,у) = = ~ заданные ква-

дратные матрицы, /(r,|f>= (/i,/i,...,/m) —заданный, «(г,у) = (ui, Uj,..., um) - искомый вектор-фуякани.

Область G, в которой изучается система (1), ограничена сверху отрезком (0, /) (/ = conet > 0) оси Ох, а снизу — характеристикой Г: у = г - / и криво* L : у = -7(1) с кривизной, удовлетворяющей условно Гельдера. Кроме этого, кривая т(ж) удовлетворяет условиям:

7(*)>0, 0<-У(г)<1.

Задача Дарбу. ПаЛтп решеппе системы (1), удовлетворяющее условии

U|£ = 0V (2)

ti(*,0) = ф), 0<«</, г(0)=0,

яля ■

u,t=0' (3)

Unj И,(*, у) ==!/(*), 0 <•*<!,.

где г(х) Ki/(z) — заданные достаточно гладкие тп-мсрные вектор-фувкдяк.

Обозначим через Uj (/ = 1,2) множество векторов-функций «(*, tf) из класса

W » С((7) Л п WftC?) п ^'(¿КУ),

для которых Си е Lj(G) к соблюдены краевые условвя (2) шли (3) соответственно, ÖG — грмпща облает* G.

Определение 1.1. i'esyxipHUM ргшениг* задачи Дарбу будем нашьать лкЛ*' решение u(r, у) £ Uj (j я 1,2) системы (1). Основным результатом данного параграфа являете* Теорема 1.1. Исаи матрицы а(г,у) € С(С?), Ь(х,у) £ 6X3), с(х,у) 6 С(й), fis,у) 6 L3((7)(r(i)C- С-[О, i] П Г.'г(0,]) Г) W3l(l),i), 6 С''(0,/)П ¿-¡(0,1), тогда супрегнугт постоянная А > 0 к илидсгсл та кос число a < 0, что будет кисть иссто неравенство ■i

-/ехр{(а - ЗА)*}^Ли1(М)и,(г,0)а1 + з

+ jехр{(«- < aiast jexp{(«-2X)t}pdidy,

a a

ГДВ

'm ni th

»1 = £»<?., «JxUj = XX«v i»! ¡-1 1=1

И » no.iy'ieiniûi о неравенства, oiu/iyt-r едийстеииость peiyjûp-uoio решения аадачи Дарбу (1), (2) или (1), (3).

Если обозначить через H (О) тцюс.транство, полученное замыканием множества U, (j = 1,2) по норме пространства W-j (t7), то ввод« следующее

Определена« 1.2. Решение Цх,у) е ïi{g) системы (1) назовем сильным решением задачи Дарбу, если

IIй* - "Ьдс) —> О

для любых u, G Uj, можно утверждать, что из оценки теоремы 1.1 также следует ед»цсгвсншм:ть сильное pcuuauu u(z, у) € Я(С5) задачи Дарбу, а также его устойчивость в том смысле, что при

г(г) н 0 или Иж) s 0 лл» любых м б Я (С?) я произвольного s > 0 из ||/i - /,||„ < еследует неравенств»

И«/. - "/.Ни* < г-cbnst. -

Во втором параграфе изложены некоторые вспомогательные результаты, касанщяеся гладкости компонент'матркш Рямава задачи Кстп ляг сястеми гхцерболячсских уравнений.

Справедлив

Tropeva 2.1. Ееж ттрппи a(r,f/), b(t,y) G <\î,v) S С" ((7), томатряоз Рлмаля у;во.1'е)«якт ло кажясь му яр г у йен ту п'еприршпые тагтяыб пре'тзгтпые да n-го поряди а включительно.

В третьем и четмртси параграфах этсЗ главы ешгеемвыоте! интегральные прсдстмленпярсвгсияЛ задач Дарбу через матрицу Рямапа-Адамара Я((,г;;(о)'?э), которая совпадает с матрвдей Ряиала R(^,m(o,4o) в области 7 > 6> (£ ~ * + V, 7 = * -В соответствия с гоставлегошмя задапмга ДарСу длд жандоЗ яз матржц при ч < (о полупены системы птпгтряль-

лых я янтегро-джфферепйяальяш урзменяЁ, нз которых матрицы Римала-Адямара определяете« едшктввяныи образом.

Во второй гладе рассматриваете* система ураяяеяж! сметая-пого тяпа

Cù s SfB|ft»é. + tt„ +av, ■+ ta, + «1 =■ /, (4)

;гле a(i,y), t(x,f) — заданные квадратто«, гйшеттяяесюю м»; трипад m-го готр«ота, c(t, g) — задаянu Ехаяратш матржта m-

n

рядка in.

Система (4) изучаете» в области d, ограниченной сверху кривой Ляпунова а, окаачнь&ищсАся ь точках .4(0,0), В(1,0) (i — Must > 0), а снизу --характеристикам* системы

у--*, Г3: у ~ г — J.

Обшиачин ч£рез

dx^d n{ii>0}, dx=d(\{ ц<0}, 1_(0,{), U - с (В) (ЛСЧЩЛ, 8}) n c\(h U Pi) n Wj{D) n ^(tiOU 1).

Задача 'Гриши. Требует сл н&Атн всхюр u(x,v) 6 V, мнлл-•лмимМся решением системы (4) Си — J в о&шетн Di U Dj н удо-влстаорлжздий хрлевый усдаяшш

ii|,=v>W, ...

(5)

>|г, = *(*), 0<«<5»

jvjb л длила дуги кривой, иссчитыьлемы от точхй £¡(1,0), ^о(л), V>(*) — заданные гладкие m-uefiHue аектор-фушиия.

Определение 1.1. Решение и(х,у) £ i/ системы (4), удовлетворяющее у сливши (6), назовем регулярны*.

Дм изложения результатов этой главы необходимо внести следующие JlpOCrpiHCTWi.

Обозначим через H(D) пространство, палучеяиое аамикавиеи множества беигороа-фуяихиА u(x,y) £ U, удовлетворяющих краевым уславидм (S), по норма

Над Н^до + Hijw,).

И^Ии'Дв,) — норма в пространстве С.Л .Соболева, а

1М&КЛ) -/[К - «»)' + «51 <1Ыу.

Покатало, что введенная таким образом норма удовлетворяет всем условия« нормы. Если положить, что ^(е) ~ 0, ^'(я) = 0, то спра-тедлтгоэ.

Теореиа 1.1. Пусть ид.трвпы а € С{и ТУ,), 5 б С](~П), с е С{ 77; и 77,) я яеигер Т 6 и СЬ) удовлетворит слеяу-гнцйм ус7')вчз[м: л обяяслп

1 к

2«Х + 25»~С> 0

л СТягстк /7г;

я 4-&<0, а-6<0, (а4 5)~'с>0,

(о + ь)-л{я -ъ-с)-ь [(а + г.)-1), + к« + г.)-'}, > О

+ ~Ьх-с-[я + Ь)-1с> О,

тоглг* длг пюбою всктър* и 6 #(Р) лмрет могго сдеяуюиш опея-яя

11»Ия(0) 11/11? (в)

с полигкягельяоЛ гопствятой, яе за»*сшг£ от и € 3(0).

Нерздепстаом М > О {М < 0) обозяатлля полсшятольиуп (отри дательную) определсяжосл. »адмгкЛ матрнтсы.

Яз огкпхк (б) тяжке следует «дюрствеотость регулярного ряш-яи* злдапц Трикдач я его уекЛтпюст».

Л

Следует заиетмтг», что в доказанной теореме единственности пет условий на длину линии (0, i) и условий геометрического характера lia кривую а, кроме обычных требований гладкости.

Если рассмотреть отряженную к (4) систему уравнений £'v = д, то аналогичная оценка справедлива и для сопряженной задачи Т* в соответствующем пространстве li'(D). Пространство II'(D) получено замыканием множества гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям сопряженной задачи, по норме

D,

+ J(vf + vrfdzdy + j v'dxdy.

Di D

В §3 доказана теорема единственности регулярного решения задачи Трикоми, причем сняты как и ранее условия на длину липки (О, I), на кривую сг, & также в гиперболической части нет требований на коэффициенты системы, кроме ограниченности самих коэффициентов и их первых производных.

Оснс^ьЬя результатом данного параграфа является Теорема 5.1. Дустьматрнцы u(i,y), ах, at, c(z,y) ограничены в ойалстм 7Ji U ТУ), Ь{х, у) 6 C(D), b,, Ъ, ограпччены в области 15, / € ti(Dj U D3), кроме того, матрица с(Е1у) такая, что в области ¿>i справедливо неравенство

' f (Je. + «Л« - XlE)i > совв»|{|3, ;

const > JQ, - • "" (^(íi.ficv — любой вещественны! вектор, Е-— едяаячиал

14 .. Г' "•■". '

uaipjiHa, Л„ — некоторая кчшг ганта, определяемая компонентами матрнн а, Ь. с, ах, bi ь гиперболической части области, тогда ре-гуллрпое решение чадачи Трмком» удовлетворлег неравенству

¡h

< const j exp(-2Ai) J1dxdy, 4,->th

с const > 0, не за£Яслщ(£ or лектора u € U.

Можно получить такое jkc утверждение для регулярного решения сопряженной задачи Т* без условий знакоопределенности коэффициентов системы в гиперболической части области.

Из доказанных оценок следует единственность регулярных решений задачи Трикоми и сопряженной задачи Т*, а также устойчивость решений в том смысле, что малым изменениям правой частя в норме пространства Lj(Oi U /)2) соответствуют малые изменения решений в нормах пространств tt(D) и H'(D).

§4 посвящен изучения частных случаев системы, длякоторых не выполняются условия теоремы 1.1, и полученные результаты дополняют §2.

В §5 рассмотрен вопрос об обобщенной разрешимости задачи Трикоми. .

Определение 5.3. Любой вектор ш(г, у) £ H(D') назовем обобщенным решением задачи Трикоми, если для произвольного р 6 V имеет место равенство - •

j ехр(-2Ля)[ ul + ui + "а3 ¿rtiy-f

где Vf - В\ U D\ — обрn области /7 = Di Ü Dt г плоскости ({,>;). C(w, v) = ~ f (w(t>( f wnv,)d{dx) -f 2 I li-vv^rfr/-

- / U^E + fliv,)« 4 p((4,)t + - CiWdtdr,-

- /{4>v{w + «(Mj)i --■ 14

ilortpoc об обобщенной разрешимости задачи Трикоми сводится к решению операторного уравнении . .

tu f Л «и = Ф

Я //(хктр&ястэе с комгтажгчьш оператором Л. Если коэффициенты системы удовлетворят условиям

-Cj+jMOe + jtf?,),^ при rj>f,

-с, f i М,){ > а при п<(,

тогдз однородное уравнение w +■ Аю » 0 имс«т тривиальное решение, откуда по теореме Фредгольма следует однозначная разре-HiBMfx-.T». ««однородного операторного уравнена» в пространстве

В глмю А тучаотсл различные обобтени» зодачл Трипгомв, дл! которых тцадивтютсж мютвегствутнгоге творены единственности,

Н §! р*ссм*три«»етсл система урмвеяиА

£« зб *{>)*„ + «„+ ем, + -Н ей « /, (7)

И

где к(у)у > 0 при у / 0, ¿(0) - 0, Ь(у) > 0, а(х, у),1{х, у), 4с>») -заданные достаточно гладкие матрицы, причем а;, » а,„ Ь^ — Ь^ ат всех »,} — I^т.

Область О ограничена сверху гладкой кривой Лдпуноьа а с концами в точна* «4(0,0) и 0(1,0), а при у < 0 ограничена кривыми

выходящими соответственно из течек А я В% 'причем Г яалиется

Задача Т. Т[>е6уетсх определять асхтор и(х, у), о&талаюши* следующий» свойствами

и 6 С(Ц) П С1(:П\{Л,В)) П С'(Я, и Я,) п а ¡КЦдО и I); Си = / Для л сеж (в, у) е Х>1 и Ог,

«и» о, ы|» = 0.

Имеет место

Теореиа 1.4. Веля <ч, а;., с,;, сцг — ограямчеялые функция а облает* 2У1 и кроме того

£: « = у(у),

характеристикой системы (7), а Ь — кривая, кривизна которой удовлетворяет условию Гельдера и

1{У) > 0. У(У) < -/^к).

Нт <0,

и

в в обласгя Di

-с - - ЛоО + > coupt > О,

гло А?) —некоторая копсталта, anpamntenа» лпчффг-:ипгяглмп системы (7) в облагтм Dj, тогда, сг.чня кллг.са гляпкях фуякпиЛ cr.vi рехиекяеобобарпвой задачи Трнимв ля* скстенш (7), тс оно однн-ствепяо.

Например, т«з|*ма cnpaisnoniwa для системы

При лшгадатсльствс теоремы 1.4 дл* простоты било положено ~ 0, а матрица я(г,|?) — дн&гояальная. Теорема остается спраадиадой к дл* симиетркчесадя матриц

Таким сбр«ом, прч довольно жестккя усломмх на функции k(v) удмте» смять ограничен«! на кривую <7. В §2 ослаблены огра-ивчеяяя па функцию к (у), ио при этой возникают дополнительные условие iii юэффвпяенты системы, к крива» о удовлетворяет условно

xdy — pdx > 0.

Докямнпм в $2 теорема единственности справедлива к дл» си стемы (4).

В §3 »тов главы изучаете* задача, поставленная Ф.Й.Фрапклеи дм урмяея»! Чаллыгвна

k{t)*n + *n- g(*,v) «спорую «г валывают звдачеЯ Геялерстедта > в дальнейшем эта ямм* Ъм есслад**жа С. Моравиа.

1в

11> с1 ь к-нерь ограничена гладкой кривой Жордана <т с концами в »ечках Л(11,0), 8(х3,0), г1 < 0 < И снизу — отрезком Г = («ь^г) о^и а область Оз ограничена сверху отрезком I, снизу - - дугами кривых Г, («' = 173).Кривые Га и Г» являются характеристиками системы (7), вы ходящий и из начала координат, а Г) и I', имеют непрерывно изменяющиеся касательные и Выхолят соответственно из точек Д(хьО), В(хг,й), причем вдоль 1\ и Г» должны быть выполнены условия:

0<л/-к(у)<^~ на 1\\ оу

О </Л(й < ~ на Г«.

Задача Франклн-Геллерстедта. Ннйта вектор и(х> у), хяля-ющмйсм решением системы (7) в области и 1)3, непрерывный в 15, имеющий непрерывные производные иГ) и, всюду а ТУ, кроме, быть может, точек Л, О, В, где они могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы и удовлетворяющий граничным условиям:

и|„ =¥>(')> 0 < л < 5, «к = М*), *1<»<Ть

яричем = <р(5), ф(я2) = <р(0).

В этом параграфе доказана теорема единственности регулярного решения задачи Фраикля при некоторых условиях иа коэффициенты системы и кривую от, а именно, иа кривой <т должно

выполняться услпиие

edf) -. aydt > 0, 0 < а < I.

Также предполагаем, что Í>¡(t) — - ее 0.

Вдинствепнос.ть регулярного решен и» поставленной задачи следует из априорной оценки

/ í 4 ti^ -Ь m'J tíxrfy < const j Pdxdy, const > 0.

DiUDj JOjUDJ

Доказанная в 53 теорема остается справедливой и для систем + »»у + о«* + Ьи„ + cu~f,

Sgnj» ¡yjmu„ -f Hyp -f aux + bv^ + cu~ f.

Здесь следуй заметить, что теорему единственности решения задачи Франкля для системы (7) можно доказать и без ограничения на кривую <г, но тогда появляются дополнительные требования на коэффициенты систему и функцию Цу),

§4 нос в ян Р-Н изучению задач иТрикоми с обобщенными условя-ями склсимни* на линии перехода для системы

Cu = Sgnyut* + и„ - сн - /, (8)

где - 1МГ — заданная матрица. .

Систем» (Я) рассмотрена а смешанной области I), ограниченной крям?# а и характеристиками система. Кслш «wcth обозначения

' Um *(*,*) » r<r), lira ti(x,y) = т+{х)\

P—-Q |г-» 4(1

lim u^r.y) = К«)» •"«»»(«.») = "+(*)>

у—« — Ü J|—."yll

то вместо обычной пкнрсрииной склейки решениа системы и его нормальной проильсщиой па Линия перехода (Ö, i) можно потребовать обобщенное склеивание типа

г+(ас) =о(г)г(*Н 7(«), i'^x) = /НФ(*) + Ч*),

где с«(г), ¡¡(г)\ 7(г), ¿(л) диагональные матрицы.

Получено следующие у 1вирждение: при cootbötc »у км них условиях на коэффициенты системы, кривую о и матрицы ß, 7, S регулярHtx? решение задачи Трмкоми с обобщенными условиями склеивания для системы (8) единственно. Исследован вопрос о разрешимости задачи Трккоик в случая, когда в области D\ мат рица с — посгоннна*.

В четвертой главе исыку^ется разрешимость задачи 'Грико-ми методом потенциала. Li нервом параграфе доказана

Лемма 1.1. Если a(r,y), h(zsy) € C3(Dj). с(«,») б C'fl5«)." S(t,y) G С'(7?2), Ф(х) 6 С2(Г|), тогда пек-юр ч(х,у) на линии (О, I) удоклство/>яет соотношению:. *

иД'о.О) - «»(«„.О) +• 7\tt,(»0l0) + TittjOu,0) + d(»o)u(0,D) « V'i(*ü>.

где 71, 7j, d(h) — некоторые .интегральные операторы, i>i(x) — твест1Ш функций.

Задача Трикоми сведена к решению следу юн вй граничной задачи. Задача. Найти нектар-функцию

ф; V) 6 С'(Т?|)П C\T)i\{A,B})П C{D,),;. ¿1

явлмюищйсл в области П\ решением <жг*кЫ (4) "ри У > 0 « утвлнтяорякнций условиям

<4= И*), о < * < &

(и, - «„)(<„,0) + |T,ur + 7'2 «„](<„, 0) f rffinb(n,0) -

«tfiif»). '« С (ОЛ). (9)

На втором параграфе, bbcw.hu некоторые нространелва //ДО|,рд) функций и(х,у), которые П„ — непрерывны вне любой окрестности точек г = О, г =s 1 (г — х + iy), а вблизи указанных точек ведут сейя как весовые функции с весом

Л « И - *|А', -1 < Ai,Aj < 0.

Изложены некоторые свойства этих пространств и определенные теоремы вложении но каждому нэ параметров и А. По индукции вводятся пространства п - кратно дифференцируемых функций, для которых также имеют место соответствующие теоремы вложения. Гранична* задача изложена в терминах введенных пространств.

Я третьем параграфе решается граничная задача следующим o6pav>M. Решение ищется в виде

»{г) = (Zofl){j) + «(*),

где

= ~ / log |г - ZolgMdzq, lr th

* ш t + »'jr. ifl = »0+ «w< I* - *о| /(*- Гв)т + (у-рь)', za) = — tog I* — Je| ~ фундаментальное решение уравнения Лапласа, а

а

1>(г) гармоническая функция. Первоначальная граничная задача перепишете.» в следукш«;м даде.

д + Тд-+ Nv = /,

Тд + 7\и, +■ + ^ - = ^а(1и), 6 (й, /),

где Т, Т, Ги, 2\, 7'г.....компактные операторы н етответст&уюгцнх

пространствах, N — ограниченный оператор. Дал«; приведена те. ирсма, из которой следует, что иетеройость палачи (10) сляпана с ■ нете(ювостьяз задачи

Задача (11) фрелгольиова, значит, фредгшамова и задача (10). Из теоремы единственности решения задачи Три ком и н силу тоо-ремц Фредгольма получасы разрешимость задачи (!0). Определяя единственным образом пари функций а значит, и и

Чу на линии (0, ¿), и далее решая с помощь<£> матрицы Рхмана задачу Коши в области О, находим решение и(г, у) в гиперболической части области 1).

Основные результаты диссертации опубликованы а работах:

1. Овезова М.М., Мередои М. Задача 'Гриклик для системы уравнений смешанного тина//Изаестия АН ТССР, сср.физ.-гехн.,хнм. и наук-1989.- N>5.-0.3-12.

2. Овезова М.М., Мередон М. Задача Триксия для системы

!£)!? +Ч = о < 3 <

(10)

Ди=0,

(И)

уравнений гч<ш1н»но;<1 лииа//К чи для нсклассиче-

смч: уркнменц" гнчткоч 1'м: 1",'ч.г.*^.'!ауч;т .тр.

Ноиосийирск. С.51)-53.

3. Овезоиа М.М. Об «дншначиой уа|рш>М1«>с1 и ладами Триюм» дл* системы уравнений смешанного тимч//Ил»естн» ЛИ ТООР, г"|).()|и.'1,-'1'1?х1|.,миг.,хим. и п^.'Л. наук. 1!)9'2. №3, С.¡МО,

4. ипохи»л. М.М. К' теории систем уравнений гиперболического типа// Дифференциальный и нн'Шр&лмН'К! уравнения. Ммематичс;-1'лм фи (нка и специальные функции: Тсч.дпкл .Международи.научи .-К<»1<||.~( 'лмара,1 !/М'<!. -С'. »»0.

b. Овлхта М.М. К теории нелокальнмех краевых :кишч для систем уравнений сксшатюк] типа//Ус:лош<о-коррек I ные задачи мн)смй1 нчгткой физики и дналипа: Тич.дакл.Псесшо'ЛГ.Конф.-Н»(к* и')И(1ск,1У32. С.207-20Я.

А. Овмойа М.М. Об единственности регулярного решения задачи 'Грмкоии для {.«с 1смы уравнений смешанного тина//Математи-ч«"Ский ННА.1И ) и ди^к.'ренниальнме уравнения: Межвуч.гб.научн-чр. Новосибирск. 1932,-С.80 Я1

7. Овсшна МЛ. О разрешимости задач Дарбу для одной гиперболической г.мсп'Мы//Лок;<адц ЛИ Госсии.- 1992.-t.325, М1--СЛЧ 27.

8. Оп^чч** М.М. Об единственности регулярного решения за-д»ч* Грикоми для системы уравнений смешанного зллинтико-гинерЛч'ШческоК) типа//Доклады АН России.-1Я9Л.-Т.Д2К, МЬ-

c.ит МЗ.

9. Oncuiui. M.M. Oft (шипмлчшм и'тСйцсншн! i>«)>je.iiiимопти ча-лачи Трнкчми для одной системы уравнений смешанного ти-па//Нырлж)1аю1Ц1((;<:я .уравнения a ypaiiuciiiM сиujuiiuoai fhfia.: Тез.докл.Мсждунарудн.научнлоиф.- Тыиммi,¡üO.'i. С. J 05. 1Û. Овелова M.M. О задаче. Триьоми с. оОибщниными услчиитч» склеивания для систем и уравнений смотанного типа//,/bt'¡4|icponu,-уравиения'.-19'ja. Т.29, Ж*.-С.МОЯ■ ИМ.

11. О вс юна М.М. Ü разрешимое; н ладач Ларбу дал oj.iidio у pun не-, ния гиперболическою типа//!! »в<т.тия АН Ч'урккнчт! ч ;т.ч.-19ЯЗ,-

Uounitury value. problems j'or oni c! of Syitems

of hyperbolic ami m'ucd cqil.'Uiun:'.

F'iiHl.'niinn'a! results of !ho wort. I. We liavr: iuvc.stifrtted the !.>ur!i»t».'>: proMc.m foi « hyperbolic equations' nystoin in h jiJhim- ilnniKJii with tin! «f(s/ilacrrrmnt from t!ir characteristic.* and ifu' Htiii|iu"ii(>frf liiiiiircm h*? been prnve-j, The co<ilh"icn!« of the «vstem as»«.! t!i«:ii suiti',: lU'rivatin.-s tunilwt.

We have set the- uu.Uioil of cuiisUMctiopfi JUcrnauii-Ariatii.-tMi mi,-if.lives f'ir ton DiirhouxV problem, Souk- clitfacU:»i^tic? of these matrixes have

'Y'lMhitCilCfi.

.'(. We Itiivt1 priivwl tii« uuujtipnoss i!i"<itfi:i of the Tricomi problem's solution fur the general .«y,stem of l.avreiitj«v-Bits»<lze e<(iin?.)ons. Tlw coc'iiciruts of the pystcm sal iffy sontp conditio»!-.

We hwvp eslablts'fieii U>c another jiuiqncmws theorem witli the only condition: flic torllich.'dls of the ¡¡yslein are limited. Those results have 1m: obuined without restrictions in geometry of the region and the length

f)f the I IOsSIH^ lUlC.

5. Wo have established the £cm!taltr,c<$ solvability of the Tricomi'« problem in cerrefponditus function spacc.

(5. niiicrent generalizations of the Tricon?!'* problem foi trio, eliiptic-P<irAholic.-!i>pf»rbotir..e<^tia.tion« sy?lem have b^ti studied. The boundary vnluc problem M ha* ii'TH investigated too.

7. We have studied ¡lie Krarictc-CjcllcritWt's problem and Tricomi's problem with grncializcd stick concliiious on tin» ciosimie line. Approptiale tiiiinifriff? tiiporettif have been proved.

S. We bavr ,ri the proof's metjiM.? «f the 'fticorai problem's solvability for the i(r.nw»l I,avrcntjcv-HiUA<Ue equation* oystern.

i'r.iii'.pfuMiiiK на apúJidiii remламалар снсюиаскниаг би i la еннфн учун чи араний масалалар.

ibKíüpiaiiHiiiiHiir acocufi латималарн. 1 X«i>jí. i>.|/iu:Гималаи чикишчш ицада ЛацПу масаласи ургшшлган, CK.:níMdi;«¿ir 1:0 фриниенглари' гы уларнннг.^оенларанипг чег&ларан-гышик m api il (in/mil игоналиъ тгорсмаси кгбо'пктгац.

2. 1 'iti(e[.(V>jihK ют .'.кшалар гипемаги учуп Дарбу иасаласшшш' Рнман-Ддамар м.чч ришц-ини цуриш угули чаисия эгилган на система ко^ффишнчиларнга Rui лик, халпа Риман-Адамар матрицасииииг хоосаларн ¡?рганидгаи.

3. У ¿«y кий Ланргнтьсп-1>и(Ш№ телгламалар сисгсмасн учун Трико-пи магнласн (.■чншшинг ¡тльчлик теоремлги система кочффицнентла-ри úavm ttiaji tu:-.¡huí Гмк&ргшиа, »»лит нк (ач,а чегарас.н а чйчкцшшг к-сшлрик харак герш д fit и лик, булмаган кплла. tufio глат ан.

\. Система шоффиннепгларкпиш1 на а чмэпх.ниаг êiutii, сох,ада чега-р&лангаилиги тнартяпрдан бшика хеч ^андзй ь,ушимча шаргларсиз Трикоми масаласи очи Mm/ma «шналнк тсореиасн жботланган. 5, Нюналик теоремаенца олипган нприор Па^штрдан «¡аралаётгаи функционал фал<ша Трнкпыи магдласинииг уыумлашган ечимга ara эьанлнги к^рсатшиаи.

Ö. Энлилтико-нараболо-гмнсрболик типдаш тенгламалар систенаси учун турли умумлчшган Трикоми масаласи таджик, этилгап ва М-м&саласи ечнмининг нгшалиги иеботлатан.

7. Фраикль-Геллерстсцт масаласи ва утиш 'un и шла умумлашган шартлар билан аралаш типдати теш ланалар системаси учун Трикоми масаласи Ургапилган хамда бу масаларта мое «гсшалик теоремалари шГмтланган.

S, Умумлашган Лаврентий; тншндче тенгламалар снсгсмасм учун Трикоми масаласи ечимишшг иаджуилик п*)ремаг.иии исботлаш уг.у-ли гавсиа л илган.