Краевые задачи для уравнений математической биологии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи К. ГЕРМАЗОВ Арслан Ахматотп

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИОЛОГИИ

(11.0 13 —ь математическая фпошса

Автореферат дяссерт^ дай на соискапне ученой степени каидид :а фиаико-математических паук

Киев • 1995

Диссертация. есть рукопись

Работа итоллена в Научно - исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Миннауки России (г.Нальчик)

Н а у чний руководитель;

- диктор физшчо - математических наук, академик АМАН НАХУШЕБ А,М.

Офиц и « л ь н ыв оппоненты;

доктор физшсо - математичеоких наук, профессор

шшюслш А.А.

- кандидат физлко - математических наук, доцент КГ У ГОРДЯНСКИК Л.Д.

С-/дата состоит».»_________1995 гощ. -_ lac, на

Э'седвкии специаливировашо.го сонета D 01.66.02 при V/ статуте математики HAH Украины по адресу,' 252601, 'Мюгз 4, ГСП, ул. Терещанковекая, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института .

3 е д у ч в я организация« Институт кковрнетша'. HAH Украины

Автореферат разослан"

Ученый секретарь специализированного coseïа

ЛУЧЧА А.Ю.

1. Общая характеристика работы.

Работа посвящена исследованию некоторых математически! моянлзй с возрастной структурой, которые описнваит динамику обратимь-к и необратимых биологических процессов.

2. Актуалыость темы.

Проблема данамаки возрастной структур« популяции запишет центральное место в экологических исследованиях. Это связано с тем.тг: на протянет® жизненных циклов изменяете,V не только численность популяции, но и в первую очередь возрастная структура. Информация о ; возрастной структуре необходима также для рациональной эксп.луатйшч| как естественных так и искусственных популяций. В связи с этик, возникает необходимость исследования имеюцгпся и построения • ношх математических моделей данамики возрастной структуры популяции.

3. Цель работы.

Исследование известных и построение новых математических моделей динамики возрастной структуры популяции. Изуче ние вопросов существования и.единственности решений соответствующих краевых задач, а танке анализ стационарных состояний »юдолей. Исследование■разноо-тных схем решения популяциошшх задач.

4. Метод исследования.

Основные утверждения диссертационной работы доказываются методами нелинейного функционального анализа, линейных и келинзйннх интегральных уравнений, априорных оценок.

5. Научная новизна.

В работе содержатся следующие основные новые результаты:

1) исследованы стационарные состояния и доказаны теоремы• существования и единственности решений краевых задач для одного класса моделей динамики необратимых биологических процессов;

2) доказана теорема существования й единственности стационарных решений популяционной модели с пространственной диффузией;'

3) получены условия сходимости и устойчивости разностных схем решения популяционных задач.

в. Практическая и теоретическая ценность.

Полученные в работе результаты являются определенным вкладом в

разработку теории краевых задач для уравнений математической биология. Результату работы могут быть использованы при решении задач управления Отологическими системами, а такке при численной реализации популяционншс задач на ЭВМ.

7. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсувдались неоднократно на научно - исследовательском семинаре НИИ ПМА ( НЩ ГШМ) по современному анализу и информатике (руководитель - за-слуканний деятель науки КБР и республики-Адыгея, доктор физкко математических наук, академик АМАН A.M. Нахушев), на заселениях объединенного Научно- исследовательского семинара математического факультете,-НИИ ГШ КВГУ соншстно с Институтом математики АН Украины (руководитель - академик В.А. Митропольский), в работе школы-семшшра по современным проблемам анализа и математическому моделированию (руководитель - A.M. Нахушв).

8. Публикации.

-По теме диссертации опубликовано шесть работ, б которых отражено ее основное содержание. В работе ¡21 алгоритм идентификации моделей роста разработан Казиевым В.Ы. , алгоритм расчета влажности почвы разработан Кайгермазоьым А .к. В ра<Зоте [61 анализ стационарных состояний проведен Кайгермазовым A.A., а теоремы существования и единственности решений краевых задач доказаны совместно.

9. Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из ВЕ&дения, двух глав и приложении. Первая глава содержит четыре параграфа, а вторая пять. Вся работа изложена на сто шести страницах машинописного текста, а список использованной литературы включает- сорок семь наименований.

Со держание дис сертации.

■ Во введении дается краткий обзор работ по теме диссертации, обосновывается актуальность темы, кратко изложено ее содержание и сформулирована основные, результаты, представленные к защите.

В шгвой глав.» исследуются популяцйошше модели, описывающие динамику необратимых биологических процессов с возрастной структурой. Пыоранннй нами класс моделей характеризуется, в основном,

явным заданием коэффициента, рождаемости, жоторнй ищется среда прсь-. изводствоянш: функций Коббэ-Дугльса. Мн задаем «ту Функцию в виде

f т. - т 4 0Í , х - т ,И . г V - ч

е(т>-[ - [г---------------

I V s J .1 * ~ V ' i V s J

ГД9 T<TQ<X- известные числа. : §1. Отпакие моделей.

Прпводя?ся оснозныо oirpeцеления и понятая.1 Осуществляется классификация попудяциошшх мадйлей динамики возрастной структуры. Приводятся осшнане законы сохранения.

§2. Диадою а возрастной структуры популяции, развиьаюдайся свободно. ! ' .'. ,--.'.,'

• Пусть Q "■i(x,t)to<-rx%, o<t<T }. ;

Задача 1. Найти регулярное в облаете Л решение, уравнения

V ut- -eWi^, (П

удезлдтворяадее условиям -

u(t,0)=(p(x), (2)

■с

u(D,t) =Jc(X)u(t,t)dt, (3)

ï

где и^^сопзЪо» а(т), (pit) - неотрицательные фушелт.

Под регулярным решением понимается классическое решение из класса 0(П)ПС'(п).

Задача 2. Нейга регулярное в области О решение уравнений '

1Ц.+ ut « -a(T)u(t,t), <А)

'■удовлетворяющее условиям (2),(3).-Теорема 1. Пусть

1) а(т), íp(t).€ C'fO,î],

I

2) ф(0) = \Jc(\t4-T)4)(>i.t»î)dT,

¡л: К--(1-г)/1.

Тогда задачи 1,2 ишют единственное решение. Лемна 1. Пусть а(т:)1-; 010,11 и параметры г, т0, с<, р систекы удовлетворяют условию

А ф 1,

ГЦ"

А- - '((((Т-1)/ () ]л [ ()/ (х-т;0)!е, В(р,'1) - Сета-функция Эйлера. Тогда эаяэтэ Ггмэот едонственное стационарное состояние. ЛеммаПусть сцт)«- 0[о,Л. Тогда;

1! если ;М , тс задача 2 имеет континууь'различяых стационарных

2) &оЛи IV"!, то задача г имеет только нулевое стационарное рв*

й'жз,

Ч г т

3даоь й-|о!с)егр|-|а(вК1в -потенциал популяции и(т,1).

■П. 'Лгнашкэ возрастной структуры лимитированной популяции. ,

!••': СМ:>!рИК П О^.'МОТИ О Э8.Ц8ЧУ

и^ Н- и4 » -!гЦ*,1;и), (5)

и(г,о) - фН), (2)

и(од) = (0) .

гп ЧШ - известные неотрицательные функции, ькдги)- нели-тпййыЛ оператор от двух ввщественни* гирамэнтис «сл и пэремешого и

из В9л'>ст.вэнного пространства С(П); значения сшератора И такжз ле-

■ Пусть выполнены условия

.1) нс.; ю,11, ФШес юли

г) Ф(о)=Ф(О>. .

: I оператор непрерывен по а,* в П при каждом фгедафо-

. т:.'ш; у и удовлетворяет условию Липшица о константой

!n( (1+45 )/2) k< ————— , , Г

то есть

IhÍT.t.-u,) - h(i(t;u2)l < k^-UgJ, (?)

при тех же значениях даременныкt Тогда, задача (б),(2),(6) имеет 'единственное в С(Я) решение.

Пусть h(t,t;u)=(a(T)+d(TIt>u)u. Тогда ураизэяи? (5) пришв? вид

... Uj + ut-« (-a(t)-b(x,t)u)u. ¡ (8\

Теорема 3. Лусть выполнены условия

1) a(t), <()i.t)€ 0'to',1], b(.tjt)í О'(П),

2) bt-t.tjx, при (х, t)ííl,

■1

3) <р(0) - b(T)(p(-tM'E,

4) ХС0()>0< ité/T,

где

<sn* max |с(Ал+т;)|. ч,- imo.vc+'OI , Г а

-|а( я )ds

ы(о,г)'= ехр

ó

Тогда, задйЧа (8),(2),<3) имеет единственное, неотрицательное решение.

Леша 3 Цуогь выполнены условия

1) а(т)<= Cfo.I], b(t,t)e С(П),Ь(х,пх> при (t.tk П . Тогда, при Н>1 задача (8),(?,),(3) шкет едгавтвчиное стчшю-ЙЭрНОв СОСТОЯНИЙ.

§i. Сходимость разностшх схем для понуляциониой модели М<<к-Кендрика.

Введем в области О » t (т, t):o<t-ч, c-:t'т) сетку «.; '-v ■ ,

>.' X'

где

u :>■' (t.»îï! , Î=0,1,2, j К, t'Stet),

it ■ *

' h: « (t »nf, п=0,1,.. .К, VK=T>,

.

и аппроксимирует.'., з&яичу

("аччостной сх?тЗ

Ut 4. Ut =0.

H'T.O) = 'P('Ï), (9)

■ ' Г ■ ■■■■

У^с'У^ + (i-a)y^ « 0,

•/¡■■"Pi'i),' (=0,1.....M, ПО)

T(.cr.;ja. Пусть выполнены условия и m y 7? .

^ 1 ji- 21- + tsL ■ ■ > 2 I. t f ]

ïorlt/., охчма (10) устойчива ло шчальннм данным s внергчгичос-,-^ = и сходятся со скоростью 0{t4T ).

ГЛааа, Й посвяэдна математического анадиеу популяциоякой коде ли irpco храяственной диффузией.

)1. Постановка задачи. ■ Пусть U(t,t,x)- плотность численности популяции возра«т& т в «* и? «г ррв,тени" t в точке х; 0={ (T,t,x,s0<.'t<T,0<T<,î,0<x<'L> - огрлш-■^гачя область пространства Е3 точек х, ж.

Л области О рос;мэгривеется задача

'-Ч + Ut = Uxx + Í .X) * ; 0< )

U(T,0,X/ = <р(тд), (1?.)

X

u<o,t,x) = jc(r)u(x,t,x)di;, " (15)

о

u(T,t,0)=90(x,t), u(t,t,L) = <pj (t.t), (i'i'i

где í, ф, <p0, <p1, с - известные достаточно гладкие функции. 52. Стационарные состояния модели.

Стационарные состояния модели определятся из решения чада«;г 1Ч + ихх= ; Ос'

I

u(o,x) = Jc(t}u('i:,t,x)(:.T,

0 ,

и(Х,0)=ф0(Т), U(t,L) = ^(Т), '.(Г'")

Пусть П=((т,х):о<т<г, o<x<L}. Теорема 5. Пусть выполнены условия

1) <р0(Т), ф, <t), 5(t)€ClO,l], Г(Т,Х)СС<П),

2) max |с(Т)|=га<1/1, XílO.t]

l l

3) Ф0(о) =|с(т)ф0(1)а.т, ф,(1,) »JctTjp,<-!)«.

о о

Тогда задача (15)-(1Т) имеет единственное в С(П) решение,

§3. Априорные оценки в пространстве W^ .

В области П*<(1",х):0<т<1, 0<х<1> рассмотрим задачу

= un + ÍCr,x), ... . (18)

U(T,0) = U(t,1)=ó, (19)

1

U(0,X) * Jo(T)U(T,X)dT + Ц(Х), (20)

где Г(г,х), (i(x) - известные достаточно-гладкие функции. Если выполнено условие

тг < ига+1е1)1г,

г:о имеет место неравенство

IUI, < М«|Г|а +

где '

■.г

о

§4. Нелокальная по времени краевая задача для уравнения теплопроводности. ■'•:■ ,

Рассмотрим задачу

Oj - u^ «о, (21)

u(t,0) = U(i;,L)=0, (22)

l

ju(T,x)dT => E(x), (23)

b

где E(x) - известная достаточно Гладкая функция.

Лемма 4. пусть Е(х)еСг(о,1], Е" <о)=Е" (L)=o. Тогда : задача

(21)-(23) имеет единственное, непрерывное в П решение, которое Представимо в виде

u(T.t') = Т(т)Х(х). §5. Сходимость разностных схем для диффузионной гопуляциогоюй модели.

Введем в области П={ (т,х) :о-:%<1, o<x<ri) сетку ы ты ,

X h T'h

где '

w '(« tt^JT,', ,1.....?0),

w a {x ~lh, i-f,2,.».,N"1), h

и чгтрочгтаяруем задачу

о

U<T,0) = U(X.1 i ('¿i)

I

U(0,X) =jc('t>U(T,X)d4 |lU), о .

разностной схемой

У? = 0,5Л(у+у) + <р, .

'т

у(т,0) = у(х,1) = ), (!-:ь)

где

j'=I

= при j'»o;0J ; 1 [т'/2, при .....J0-1,

Для схемы (25) при достаточно налом I'справедлива оценка :

Ы)

|У(Г>|? < М J ^,ИФ1о + INI? ]..

Схема (25) сходится со скорость» 0(havt'2).

В приложении 1 приведены результаты численных экспериментов.

В приложении 2 приведены тексты программ на алгоритмических языках ТОТБО-PASCAL,BASIC.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Кайгармазов A.A. Об одной нелинейной популнционной модели, заьи-' сящей от возраста.- Деп. ВИНИТИ, 1988,* 4445-Б88.

2. Кайгермазов А.А.,Казиев В.М. Расчет влвжности ' почвы о учетом динамики накапливаемой биомассы // Методы математи- ческого моделирования эксперимента в системах автоматизированного проектирования и планирования.-Нальчик, 1989.-С.110- 117.

3. Капгермазов A.A. Краевая задача для одной нелинейной гопуляцкон-кой модели // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.-Киев: Институт математики АН Украины,li-90.-C.57-

68.

4. Кайгермэзов A.A. Математический анализ одной нелинейной попудя-ционной модели // Нелинейные эзолюционные уравнения в прикладных задачах.- Киев: Институт математики АН Украины , 199t.-0.55-56.

5. Кайгермазов A.A. Математический анализ одной популяцконной модели /./ Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев: Институт математики АН Украины,1993.- С.60-61.

6. Кайгермазов'A.A.,Каэиев в.м. Математический анализ одного класса моделей динамики возрастной структуры популяций // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения, - Киев: Институт мзте .¡атики АН Украины, 1994.-С.86- 88.

Пользуясь случаем, выракаю глубокую благодарность моему научному руководители, доктору физико-математических наук, академику АМАН Адаму Маремовкчу Нахушеву за руководство данной работой. Бн-ракам искреннюю признательность профессору Шхаяукову Мухамеду Хаба-ловичу и доценту Керефову Анатолию Анатольевичу sa рад цепных советов и замечаний, высказанных по работе.

Кайгермазов A.A.'"Краевые задачи для уравнений математической биологии".

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 0t.0t.re - математическая физика, йн-т математики HAH Украины, Киев, 1994 г.

Проведено полное исследование стационарных состояний популяци-ошшх моделей динамики необратимых биологических процессов, доказаны теоремы существования и единственности решений . нелегальных по врекеяи краевых задач. Доказана теорема существования и единственности стационарных состояний популяционкой модели с пространственной диффузией. Получены условия сходимости и устойчивости разностных схем лл.ч свободно развивающейся тгопуляшюнчой модели и модели а пространственной диффузией, разрэЗотаян алгоритмы решения этих зап-vi на ПЗ'?М.

Kalgerassov A.A." Boundary problems J'n- ¿¡u:-ttjor;s'oi' ; i^iiieibf. t.ioal biology".

Dissertation prefer,tad obtaining l-.h-j rt«,?rea of Uiircidii ct eclencta In Phieles and МаШшЦев çn sid>>ct 01..01 ,œ-.natl£mai:l.;al раШсз, Institute, of MatfceiaHl'ja, Ukr&litlen Ш clonal ics.dem.'.' с Г So lances, Kl 57, 1994.

A full Investigation oi i|il atlonary states or fi¡pulattoii tr»>r.cla of dynamics of lrreversabls biological pjweaeea haii bun cari'Jeol out, the tteortvsa of existence sad the oitfy solution of ucn-iocal time boundary t;:obleraa tea b^e?:. proved.

Ihe theorwia.of ezlutenee end of only eolation of stationary states of poppjj it Ion modela with space diffusion hi. test: proved. The conditions; •>£ coincidence and stability of тоткг1еа1 scbiiass for unllnltfid. ¡-(.'puJatlori itoiielB and the sodala иЩ-. space diffusion have been aoïJfc'/ed the algoryituiis of th<; solution these jГ '"(; i.r И 8 on a campute? ïuiîa been developed.

Ндалевце слова:

стационаршл состояния, ггапуляционнзя ног,ель, sîikos роадлзмлли, динамика бозрасшой структуры, априорше оценки, раэ'юсгнна <даш, скорость сходдасети.

î.f : S:t. '"i Т.м, Щ" Ï2 ' 04. Формат' '¿/лдаТ57"ЦушГ8' типТТ^с Г печать yí.'i, 'Г.гч, л. 0,93- Уел. к?.- отт. С1,ЗУ - Уч. - над. л. 0,55-

Тяг». tííO »Ks. Зак. 1*

Огаечйтано в Институт« м;.т?м9тшгк НЛК Уеракки ?ь?601 Kit?» ГСП, уд. Твтшеа^вскчя , 3