Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений гиперболического типа с интегральными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Самарская государственная архитектурно-строительная академия

На правах рукописи

Юсупова Ольга Викторовна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор В. Ф. Волкодавов

Самара 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Оглавление...........................................2

Введение.............................................3

Глава 1. Задачи с условиями сопряжения для уравнения с двумя линиями вырождения....................................8

1.1. Задача У\..........................................8

1.1.1. Сведения о задаче Коши.............................8

1.1.2. Задача Ц................................. .......12

1.1.3. Единственность решения задачи У\...................14

1.1.4. Приведение решения задачи У\ к решению интегрального уравнения ............................................19

1.1.5. Исследование ядра интегрального уравнения............28

1.1.6. Исследование правой части интегрального,уравнения.....29

1.1.7. Выполнение условий теорем 1 ............32

1.1.8. Непрерывная зависимость решения задачи У\ от начальных условий............................................47

1.2. Задача Уг.........................................51

1.2.1. Постановка задачи................................. 51

1.2.2. Существование и единственность решения задачи .... . .51

1.3. Задача У3.........................................61

1.3.1. Постановка задачи.................................61

1.3.2. Существование и единственность решения задачи Уз......62

Глава 2. Задачи для уравнений, вырождающихся на границе области.................................... . . ......71

2.1. Задачи для уравнений с одной линией вырождения.........71

2.1.1. Предварительные утверждения......................71

2.1.2. Задача Аг ........................................72

2.1.3. Задача ........................................76

2.1.4. Задача Ад.......................................79

2.2. Задачи для уравнения с двумя линиями вырождения.......88

2.2.1. Нахождение общего решения........................ . 88

2.2.2. Задача ^.......................................89

2.2.3. Задача .......................................92

2.2.4. Задача 53.......................................96

Литература........................................... 99

ВВЕДЕНИЕ

Теория краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического типа занимает важное место в системе знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Ф.Трикоми [77]. В последствии для гиперболических уравнений, вырождающихся на границе области, были поставлены и исследованы различные краевые задачи [70, 71, 74, 47, 18, 35 и др.]. Этот класс уравнений имеет широкое применение в газовой и гидродинамике, теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике и многих других областях науки и техники.

Успехи современного естествознания потребовали дальнейшего развития теории дифференциальных уравнений в частных производных. В процессе изучения различных физических проблем постоянно возникают качественно новые задачи, на важность изучения которых указывает, например, А.А.Самарский [68]. Так, последние двадцать лет интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К нелокальным задачам можно отнести задачи типа Франкля [879]. Эти задачи для уравнений смешанного типа изучали Ф.И.Франкль, А.В.Бицадзе, Ю.В.Девингталь, А.П.Солдатов, К.Б.Сабитов [79, 7, 34, 73, 67]. Так, К.Б.Сабитовым [67] получено решение задачи Франкля для уравнения Чаплыгина, для которого в 1956 году и была поставлена задача Франкля, а также найдены собственные значения и соответствующие собственные функции спектральной задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

Исследованию еще одного класса нелокальных задач, а именно задач со смещением, посвящены работы В.И.Жегалова [37] и А.М.Наху-шева [55]. Задачи со смещением являются важным классом нелокальных задач и впоследствии исследовались для уравнений различных типов, что нашло отражение в многочисленных, работах [1, 2, 5, 13, 51, 66 и др.].

В работе А.В.Бицадзе и А.А.Самарского [9] впервые была рассмотрена нелокальная краевая задача, являющаяся обобщением задачи Дирихле, что обусловило появление работ, в которых исследовались нелокальные задачи, представляющие собой непосредственное обоб-

щение известных классических краевых задач [5, 6]. В частности, задача со смещением, о которой уже упомяналось выше, является существенным обобщением задачи Трикоми. В одной из последних своих работ А.М.Нахушев приводит определения локальной и нелокальной задач и классификацию известных на сегодняшний день нелокальных задач [56].

Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями. Возникновение интегральных условий объясняется тем, что на практике часто бывает возможным измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины. Так, A.A.Самарский [68] приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из задач, возникающей при изучении физики плазмы. Впоследствии Л.С.Пулькина [65] получила явный вид решения этой задачи.

Отметим, что в настоящее время известны примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений (задача влагопереноса, задачи математической биологии [56]).

За последние три года появились работы, посвященные исследованию краевых задач с локальными и интегральными условиями и для пространственных задач [20].

Задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа изучались В.Ф.Волкодавовым, З.А.Нахушевой, Л.С.Пульки-ной, Н.Д.Голубевой, Л.А.Игнаткиной [14-16, 57-58, 63-65, 23, 41] и др. Так, Л.С.Пулькиной [63] была рассмотрена задача, состоящая в нахождении решения уравнения Эйлера-Дарбу

J7 { \ — 0 а

-^а.а(^) =: tLxv ^х ^v == 0)

х-у X-у у удовлетворяющего интегральным условиям

J\(x,y)dy = <р(х),

' - ¡¡u{x,y)dx = ф(у)

и непрерывным условиям сопряжения на линии у = х как по функции, так и по нормальной производной. Н.Д.Голубева в своей кандидатской диссертации [23] для того же уравнения исследовала задачу с

весовыми интегральными условиями. Л.А.Игнаткина [40] обосновала существование и единственность решения серии краевых задач для уравнения,

Еал(и) = ¡(х,у), где <*>0,/?>0,а + /3<1,

в которых по крайней мере одно условие является интегральным.

Целью данной работы является постановка новых задач с интегральными условиями и доказательство теорем о существовании и единственности классического решения этих задач для уравнений гиперболического типа второго порядка с одной и двумя линиями вырождения, находящимися как внутри, так и на границе рассматри-ванмых областей.

Задачи, рассматриваемые в настоящей диссертации, составляют две категории. Одна из них рассмотрена в первой главе, являющейся основной, где дается доказательство существования и единственности решения краевых задач с интегральными условиями и с условиями сопряжения на нехарактеристической линии вырождения уравнения, находящейся внутри обрасти. Ко второй категории задач односятся задачи с интегральными условиями для уравнений, вырождающихся на границе области.

В тех случаях, когда уравнения вырождаются на границе области, решения поставленных задач получены в явном виде. Единственность этих решений следует из однозначного характера их построения.

Когда решение в явном виде получить не удается, единственность решения доказывается на основании принципа локального экстремума, доказанного в данной работе. При доказательстве существования решения исследуемые задачи сводились к интегральным уравнениям.

Итак, в первой главе данной диссертации для уравнения

(х2 - у2)иху — 2руих + 2рхиу = 0 (1)

на множестве = и где

0+ = {(я,2/)|0 <х<у<Н}, С = {(®,у)|0 < у < х < к}

рассмотрены краевые задачи, в которых по крайней мере одно из условий является интегральным.

Л.А.Игнаткина рассматривала уравнение с непрерывными параметрами на множестве 6?. В настоящей же работе уравнение (1) имеет

параметр р кусочно-постоянный по областям, а именно

| 9. в . 0<(1< 1/2, 0 < г < 1/2.

I Г, В Сг

В отличии от задач, изучавшихся Н.Д.Голубевой, задачи первой главы имеют только одно условие сопряжения. Кроме того иначе доказана единственность решений задач. Н.Д.Голубева при доказательстве единственности пользуется методом априорных оценок. В настоящей работе при доказательстве единственности используется принцип локального экстремума.

Итак, в первой главе доказаны принципы локального экстремума для уравнения (1) в областях и С?-, которые используются при доказательстве единственности решений всех поставленных в главе задач. Доказано существование решений этих задач.

В этой главе на примере одной из задач доказана непрерывная зависимость решения от граничных условий.

Во второй главе показано, что задачи с интегральными условиями для вырождающихся уравнений гиперболического типа могут быть поставлены и решены в областях, где рассматриваемые уравнения вырождаются на части границы/Таким образом, в постановках таких задач отсутствуют условия сопряжения. Для уравнения

а . ,

Щ-,у Н--;—Щ — 0, 12)

у — х

где — | < а < которое изучал В.Ф.Волкодавов [12], сформулированы новые краевых задачи с локальными и интегральными условиями в области Сг+. Решения всех поставленных задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений. В этой же главе в области

Р = {(х,у)\-у<х<у, 0 <у<Ь}, к> О

рассматривается уравнение

2т>11 , ч

и*у ~ 2 2й* = 0, 0 < р < 1. (3)

х у

Это уравнение вырождается на двух нехарактеристических линиях, являющихся границей области Р. Для уравнения (3) в области Р

сформулированы новые краевые задачи. Такие задачи, а именно задачи без условий сопряжения для уравнения, вырождающегося на двух линиях области, рассматриваются впервые. Решения всех задач получены в явном виде. Доказана единственность этих решений.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Уточнение класса начальных данных в задаче Коши для уравнения (1).

2. Доказательство принципа локального экстремума для уравнения (!)•

3. Доказательство существования и единственности решений краевых задач для уравнения (1) на множестве <3.

4. Постановка новых краевых задач с интегральными условиями для уравнения (2) в области и для уравнения (3) в области Р. Доказательство существования и единственности решений этих задач. Построение решений в явном виде.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21, 81 - 85]. Работы [21], [85] выполнены в соавторстве с научным руководителем В.Ф.Волкодавовым, которому принадлежат постановки задач.

Результаты диссертации докладывались на семинарах 1997-1999г.г.:

- в Самарской государственной архитектурно-строительной академии (Самара, 1997г., научные руководители профессор В.Ф.Волкодавов, профессор Н.Я.Николаев),

- в Стерлитамакском государственном педагогическом институте (Стерлитамак, 1998г., научный руководитель профессор К.Б.Сабитов),

- в Самарском государственном педагогическом университете (Самара, 1998г., научный руководитель профессор В.Ф.Волкодавов),

- в Казанском государственном университете (Казань, 1998г., научный руководитель профессор В.И.Жегалов),

- в Самарском государственном университете (Самара, 1999г., научный руководитель профессор О.П.Филатов),

а также

- на ежегодной научно-технической конференции сотрудников СамГАСА по итогам НИР за 1997г.(Самара, 1998г.),

и> и 4 __и Г"

- на международной научной конференции, посвященной юбилею академика-Ильина В.А., "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998г.).

ГЛАВА I

ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ

1.1. ЗАДАЧА VI

1.1.1. Сведения о задаче Коши

Здесь и ниже мы будем рассматривать уравнение

(х2 - у2)иху - 2руих + 2рхиу = 0, (1.1)

0 < р < 1/2 на множестве <3 = и где

= {(а?,у)|0 <х<у<11>, = {(®,у)|0 < у < х < К}. Задача Коши для уравнения (1.1) в области с данными

«(®»У) |у=х+о= т+{х), х в [0,Н\, (1.2)

(их - иу)(у - х)2р \у=х+о= ^(я), X € (0, К) (1.3)

рассмотрена А.М.Гордеевым в работе [31]. Решение имеет вид

и+(х,у) = 71 (у2 - X2)1'2' Гт+ту2 ~ - х'ГЧЬ-

* X

гу 'х

где

-72 Г М№)2р(у2 - t2)~p(t2 - x2)-4t, (1.4)

Jx

2р2Г(2р) Г(1 - 2р)

71 Г2(1 + р)' 72 2Г2(1 - р)' Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если т+(х) £ С[0, h] П С^О, h), v+{x) G Cl(0,h) и существует

¡\+(t)(h2 - t2)~4tf

то функция, определяемая формулой (1.4), является решением задачи Коши с данными (1.2), (1.3) для уравнения (1.1) в области Это решение единственно и непрерывно в замкнутой области

Доказательство. Обозначим

12{х,У) = с гу и+т2пУ2 - -

где С — 22р72- Докажем, что если функция р+{х) £ С1 (0, к), то функция 1ч(х,у) является решением уравнения (1.1) в области (7.

В интеграле у) проинтегрируем по частям, полагая и = (¿), а в качестве функции V = х, у) возьмем функцию

У = 1 [\з2у-Цу2 - з2)~р(82 - х2)~Чз2. 2 •'х

В этом интеграле выполним замену в2 = £2 — (¿2 — ж2)^. Получим

У = - ¿2)~р(*2 - ж2)1-рх

X /о1'1 - I1 - (Х + ¡Й'Г* =

Заметим, что

6,6'; с;яг,у) = £ М^я^а + п, с + п; у).

п=0

К гипергеометрической функции применим формулу Больца по второму параметру. Получим

00

^(а, 6,6'; с; яг, у) = (1 - у)"6' £ - а, Ь'; с + п;

п=0 (с)пп\ у-У

Последнюю формулу применим к функции стоящей в выражении для V. Получим

V - 1 и2)р-1(у2 ~ Т2)-рк2 - х2)г~р V (^(¿-р)» (~ х2\ х

У~2(1-Р){П {У Х) Х} ¿о (2-р)яп! 1 )

г2-х2

х**( 1 - р,р; 2 - р + п; у—

Интегрирование по частям дает

Нх,у) = С1/+(у)У(у,х,1/) - С

откуда

2/) = Си+(у)ух(у, х,у) - С [у х, у)<И,

» X

гу

к и (яг, 2/) = Сь>+(у)Уу(у> х,у) - С / *"+(*)*»(*>

V Я/

Применяя последовательно формулы "сокращенного дифференцирования" [3]

^ (я^а, Ь; с;рг)) = (с - 1 6; с - 1;р*),

где р не зависит от г;

— 6; с\рг)) = ага~1Р(а + 1,6; сциг), аг

где р не зависит от г;

~ (^(г - 6; с; г)) = (с - 1)гс-2(1 - г)ь~сР{а - 1,6; с - 1; г)

вычисляем 12х(х^у))Ьу(х,у), а затем

1рукх{х,у) ~ 2рх12у(х,у) _

у2 _ х2

= —4Срк(1 - 2р)и+(у)ху^(у2 ~ х2)~2р- р, -р; -2р;

^ 2/

1 — р

где к = В(1— р, 1 — р). При получении последней формулы под знаком интеграла применялась рекуррентная формула Гаусса

Ь\ с; г) 4- + 1, &+; с + 1; г) = 6 + 1; с; г).

Далее вычисляем

ЬхУ(х,у) = Си'+{у)Ух{у,х,у) + - Ср'+(у)Ух(у,х}у)-

-С [\'+{г)Уху^х,у)(И =

«/ X

гу

= Си+(у)УХу(у,х,у) - С и+^)УХу(г,х,у)(И =

* X

= 4СрЛ(1 - 2р)и+(у)хуЪ(у2 - х2Г2р-1п\ ~Р, -р; -2р;

2 уг

~~-рху(у2 - X2)-"-1 /; т^ГЧ* - х2)-рх

X Е ШЦ^ (" (1 - Р + п)^(-р, р +1; 1"р + п; п=0 (2-р)„п! \ р ) у2 —

Таким образом, функция /2(2? у) является решением уравнения (1.1).

Аналогично доказывается, что если функция г (ж) Е С1 (О, Л), то функция

V) = 71 (у2 - X2)1-2" (Яг+ту2 - - хТЧь

V X

является решением уравнения (1.1) в области С?.

Нетрудно видеть, что при замене у на ж, а х - на у область преобразуется в область 6?", а уравнение (1.1) остается прежним. Но тогда можно выписать решение задачи Коши для уравнения (1.1) в области с данными

и(х,у) \у=х-о=т-(х), хе [0, /г], (1.5)

(их - иу)(х - у)2р \у=х-а- у-(х), х в (0, /г). (1.6)

А именно

м-(®,у) = 71 (%2 - У2)1~2р¡Хут-Шх2 - ¿ТЧ*2 - У2)Р~1М+

+72 Г- - у2)-т. (1.7)

■¡у

В области Сг~ сраведлива аналогичная теорема:

Теорема 2. Если r_(х) (Е С[0, h] П С^О,/г), G С^О,/*) и

существует

jjV(t) (Л»

то функция, определяемая формулой (1.7), является решением задачи Коши с данными (1.5), (1.6) уравнения (1.1) в области G~ . Это решение единственно и непрерывно в замкнутой области G~.

Параметр в уравнении (1.1) будем считать кусочно-постоянным, а именно

р = {г в G- 5 0<(1<112' 0 < г < 1/2. (1.9)

Решения задач, исследуемых в настоящей главе, ищут в виде суммы двух функций: функции, которая обращается в ноль на линии у = х, и функции, нормальная производная которой равна нулю на этой линии. В качестве таких функций используются функции щ(х, у) - решение задач Коши для уравнения (1.1) в случае, когда ь>(х) = О, и U2{x,y) - решение задач Коши для уравнения (1.1) в случае, когда г(х) = 0.

В дальнейшем используются обозначения:

и+(х, у) — uf(x, у) + и£(х, у)- (1Д0)

решение задачи Коши в области G+,

и~(х,у) = щ(х,у) + щ(х,у)- (1-11)

решение задачи Коши в области G~.

1.1.2. Задача У\

Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

1) и{х,у) £ С(й) П С1^), иху £ С(<?);

2) и(х,у) является решением уравнения (1.1) при р, определяемом формулой (1.9), на множестве G]

3) и(х, у) удовлетворяет условиям

¡¡1щ(х,у)(х2-у^-У2г + щ(х,у)}(1у2 = ф), *€[0,Л], (1.12)

[h[ut(x,y)(y2 - -у2)-« + ui(x,y)]dy2 = ® € [0,h]

w £

(1.13)

4) u(x,y) удовлетворяет условию сопряжения

v-(x) = p(x)v+(x), при ®е(0,Л). (1.14)

Здесь (p(x),ip(x),/3(x) - заданные достаточно гладкие функции. Функции uf(x,y), и~(х,у), г — 1,2 определяются формулами (1.10) и (1-11) соответственно.

Лемма 1. Если и+(х,у),и~(х,у)-решения уравнения (1.1) соответственно в областях G+ ,G~} при этом и+(х,у) Е C(G+)y и~(х,у) Е C(G~), то без ограничения общности рассуждений можно считать, что

u+(0,0) = u+(h,h) = 0, it" (0,0) = u~(h,h) = 0.

Доказательство. Если это не так, то мы рассмотрим функции v+{x,y) = u+(a,y) - и+(0,0)(1 - F{xty)) - u+{h,h)F{x,y), v~(x, у) = и~(х, у) - гГ(0,0)(1 - F(x, у)) - u~(h, h)F(x, у),

где

Нетрудно видеть, что F(x,y) является решением уравнения (1.1) в областях G+ и G~. Но тогда v+(x,y) и v~(x,y)~также решения уравнения (1.1) в областях G+ и G~ соответственно и такие, что

v+(0,0) = v+(h, h) = 0, v~(0,0) = v~(h, h) = 0.

1.1.3. Единственность решения задачи V\

Функцию, являющуюся решением задачи Коши в области G+, подчиним условию (1.13). Придем к равенству

Ф(х) = ъ, /У - i)-q Г т(Щу2 - - *2г W-

J X J X

-72, fh Г M№t)2q(y2 - t2)-*(t2 - x2)~4tdy2. (1.15)

J X J X

Замечание. Из постановки задачи следует, что т+(х) = т-(х) = г (ж), чем мы и воспользовались при получении соотношения (1.15).

Функцию, являющуюся решением задачи Коши в области G~, подчиним условию (1.12). Придем к равенству

Ф) = иг f у'2т Ц r(t)t(x2 - t2r\t2 - y2y~4tdy4

+Ъг[ ¡У{t2-y2)-Tdtdy2. (1.16)

Замечание. 7,-r = 7i при p = г, 7^ = ц при р = q, г — 1,2.

В интегра