Краевые задачи гидростатической модели неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ

?Гб 0/1

: и >;г;:

На правах рукописи

БАйМУХАНОВ А. Т.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ГИДРОСТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕОДНОРОДНОЙ жидкости

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ, 1995 г;

Работа выполнена в Казахском государственном национальном техническом университета и институте нефти и газа при Атрауском региональном университете.

Научные руководители - д.ф.-м.н., профессор Сьшгулов Ш.,

к.ф.-м.н., профессор Хайрулин Е.У.

Официальные оппоненты - чюн корреспондент РАН д.ф.-м.н., профессор Монахов В.И., член-корреспондент 1Ш1 И{ , д.ф.-м.н., профессор Отелбаев и.о.

Ведущая организация - институт прикладной математики НАН РК.._

Защита состоится и Зс* г. ь «/3*«

чао. на заседании специализированного совета КЛ4/А.01.05 казахского государственного университета имени Аль-Фараба но адресу: Алматы, ул. Ыасанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университете: 480012, Алыаги, ул. Ыасанчи, 39/47.

Автореферат разослан " " 1995 г.

Учений секретарь специализированного совета, доцент (\ ■ ^Кадикеиоа li.ll.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Сегодня наблюдается значительный сдвиг исследовании слоеных проблем в области физики, механики, электрс зжк .и з лрут'гтс отраслях науки и ^ехнсгот. Релащую роль безуслов но играет широкое внедрение вычислительных алгоритмов в практике прикладных исследований. Наиболее ощутимые резу.гьтаты использования методов вычислительной математики оказываются по-видимому, в задачах механики сплошной среда, гидродинамики и газодинамики.

Многие задачи науки и техники (химическая технология* охрана окружавшей среды, размещение производи пленных мощностей, нефтегазовой дсОывзшей промшпленности и так далее) сводятся к решении уравнений Кавье-Стокса. В силу нелинейности и разнообразности краевых условий нахождение точного решения таких уравнений затруднительно, поэтому в настоящее время применение получили численные методы. °тсСн построить эффективные устойчивые алгоритмы, необходимо чтобы задача была математически корректна.

Данная диссертация посвящается исследовании корректности некоторых краевых задач (нелокальная задача) модели океана а гидростатические модели неоднородной жидкости.' Поэтому тема диссертации актуальна.

Задачи, связанные с изучением процессов, происходящих в атмосфере и океане являются одним из важнейших разделов геофизики. При исследовании эпос задач широко используется математические ыоде^, оь^ирущие на линейных н квазилинейных системах уравнений в частных производных (а основном в уравнениях типа

{

Нзвье-Стокса).

Особый интерес среди таких моделей представляю? гщ-рэдинаш-ческие модели, ошсывавщие атмосферные процессы. Отметим здесь основошлаг&гдие работы И.А.Кибеля и его учеников. Аналитические метода, дающие явные представления решения этих задач мало примешай, поэтому чаще всего используется приближенное решение, полученное различил® способами Г.И.Ыарчук, ВШ.Кочергиным, В.Е.Пене нко и Др. Это требует исследования корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, их аппроксимации корректными к как правило хорошо изученными задачами. Здесь ширско используется классическая теория дифференциальных- уравнений и ашарат функционального анализг.

Одной из первых работ, посвященных исследованию вопросов корректности математической модели метеорологии и океанологии была работа Г.В.Демидова, Г-К.Мзрчука. В дальнейшем эти направления развивались в работах Ю.Я.Белова, М.А.Бубнова, А.Е.Калпхова, З.Смагулоьа. Болае полная теория краевой задачи для атмосферы к океана создана В.И.Суханосошк. В ней доказана теорема существования е единственности для задачи Дирихле нелинейной модели атмосферы е океана. Интересные результаты получены в разрешимости трехмерной модели океана с усредненными данными задачи Кошк в работе В.А.Шелухкна.

Целью работа являются построение аналитического аппарата для изучения модель?" х задач е бывод оценок норм их реаеккй: ус-таноьг.гяие априорны.; оценок и разрешимость краевой (нелокальной 'задачи для уравнений линейной модели океана г обоскоьадае г>""

г

приближенного метода (метод фиктивных областей, е - аппроксимации модели). Разрешимость в I, - классах начально-краевой задачи диффузионной гилрсс -атической модели неоднородной жидкости а сальной: разрешимости краезой задачи стационарной диффузионной модели неоднородной яидкости.

Методика исследования. В работе применяется метод априорных сиенск, разрешимость краевой задачи установлена на принципе Еау-дера. Для исследования корректности начально-краевой задачи используется метод регуляризации и метод ГалЭркина- для построения приближенного рзшения. А тают используется метод компактности, разработанный в монографии ж.Лтс^г. В работе существенно использована теория функциональных пространстъ ССл'.^ва и техника получения опенок норм репешя в функционер ьных пространствах Соболева.

Научная ноеизяэ. В диссертации получены - следующие основные результаты: .

1. Получены оценки решения нелокальной краевой задачи для модельного уравнения океана, доказана теорема существования и единственности сильного решения. Математически обоснован метод фиктивных областей для этой задачи. Доказана теорема сходимости решения при а - 0. Получены оценки близости вспомогательной задачи к решению исходной задачи. Исследованы е - регуляризации (эллиптическая аппроксимация) модели скеанг. Оценена скорость сходимости решения.

2. Получена теорема разрешимости 'обобщенного решения нелокальной краевой задачи для стационарной модели океана. Далее изучены диф-

ференциальше свойства решения при определенных условиях, что обобщенное решение является сильным.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения гидростатической диффузионной модели неоднородной хадкостн.

4. Получена корректность стационарного уравнения диффузионной модели неоднородной жидкости.

Достоверность результатов. Вез результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм и следствий, математически строго доказаны.

Теоретическая и практическая достоверность. Работа носит теоретический характер. В не® даны ответы на фундаментальные вопросы установления точных априорных оценок и разрешимости системы интегро-дефференциальных уравнений составного типа. Исследованные в рсботе задачи имеют приложения в различных рсздедис гвдродинк-мики и геодинамики. Методы полученные априорными оценками могут примечаться для исследования численного решения модели океана. Например, метод е - регуляризации, метод фиктивных областей в настоящее время используется для расчета на ЭВМ.

■ " Апробация работы. Результаты работа докладывались на семинарах "Дифференциальные уравнения и функциональное пространство" под руководством член-корреспондента HAH PK д.ф.-м.н., профессора Умбетжанова Д.У., не общегородском семинаре "Уравнения математической физики" под руководством д.ф.-ы.н., профессора Темирбола-това С.Е., д.ф.-м.н., профессора Аддаиева С.А., на семинаре "Дифференциальные уравнения" под руководством член-корреспондента НШ FK д.ф.-к.н., профессора Касымова К.А., на семинаре "Краевые

задачи механики сплошной среди" под руководством член-корреспондента д.ф.-м.н., профессора Отелбаева М.О., академика ИА РК д.ф.-м.н., профэссора Смагулова Ш. и на республиканских конференциях.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1]-[7]. '

Структура диссертации. Диссертация объемом - 91 стр.машинописного текста состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Библиография содержит 56 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

В введении дан краткий обзор работ, относящийся к теме диссертации и приведены основные результаты диссертации. В первой главе подучены оценки нелокальной краевой задачи для модели океана.

Пусть имеется система уравнений с постоянными коэффициентами

дги ае

ц А и + (1„ — + « - - 1,и = ,

ох:

дх.

0гч 01

к я

О г <5 с <9£

— и йг. + — V <±г = 0, — = 0. / £ Лг. <3х. = о

дх •» * Ох. •) * &г о * ж

(I)

где и. и - хоэЗФкциенты вязкости .положительные постоянные, 5

ускорение силы тяжести, 7 - параметр Кариолиса, ь:, ь - компоненты вектора скорости, Б - уровень поверхности океана. Систему уравнений (I) решим в цилиндрической области а = Ю,Б] « С, 5 - обозначим боковую границу области С, йй - граница области А. Модель (I) получена в предположении, что в уравнениях движения нелинейные члены малосущественны при усредненной картине движения. •

Поставим граничные условия .

ви ©У

— = ;— = О при т = Б, (2)

Ох. &г 8

= О

ж трение о дао принимается пропорционально средней скорости

dv,

^ Тг Ох.

*

Введем пространство

в -ÓV к

= й J u dx¿. — = R ¡ v (irs (3)

о С.Г o

в

r ¿U dV

G(Q) = {Б = tu,v) € C"<Q>, J [j^ ^J tíx, = 0.

o

6u 8V 6u к Ov я .

« = 0, = О при x, ~ В, — = fí / u dx, — = Я J » fc при c;r. <4 * вхя 'i * exs o

г, = o, S j, = o, e =: Г0.И * aa ).

Обозначь F0,Ft.Va - пополнение GÍC) б нормы b_(Q), ff(Q) ■

соответственно.

Теорема I, Пусть Ой с (f, lflum i С < а>. Тогда существует

" г

е причем единственное сильное решение задач (15,(2; к для решета имеет иесто оценке

EI..O < С |fium

■в

Система уравнения (I) не является системой классического типа (составного ттеа). Поэтому непосредственное применение для "■зеленного решения разработанного приближенного метода затруднительно. Поэтому численное решение уравнения (I) рассмотрим как эллиптическое урашение с малым параметром.

ц Д ие+-

^ Д. »"+■ и

а2-!® £

дх

3 1

дги3

-- -- 4. — +

дх^ Ят 2

Iе- *

1 - J-

(4)

— I а йг + — I у <±г = е (Д ?а - 5е). ;5) дх. 1 дх 1 3

Для иг, V3 оставим условия (I), (3), дополнительно пологим

I

(6)

Для задач (4),(5) можно применить известную теорию разностных схем для систем эллиптического типа, но при этом необходимо объяснить близость решения задач (4)-(6) и (1)-(3). На этот вопрос отвечает.следующая

Тзорема 2. Пусть да <= С*, ¡/¡^ 4 С < со. Тогда существует

единственное сильное решение задач и справедливы оценки

* + I* + З"8! « п !Л,.са

Vг^O 2 г

¡ив-и|, + - Ц^ «СС

* г

)лноа из важных проблем вычислительной математики является

проблема построения равномерной сетки для сложных областей. Т.е., построение- однородных разностных схем для областей с криволинейными границами. Это относится и к задачам (I) - (3). Для того чтобы ответить на этот, вопрос решим задачи (1)-(3) методом фиктивных областей. Обозначим

д = П и А0, Пн = [0,Я] * й, П П По = 0, 0ОЯ = [О,Я] » п0. 0И = а и по * со.я] В 1>н решаем систему дифференциальных уравнений в частных производных с малым параметром с разрывными коэффициентами

а*ие

Ми

Э2иг

Э г

<±т +

с5.

I"

(2т_ = О

в Па (7)

В О решаем уравнение с малым параметром

I*.,«

д'и1

ас'

н н

<Э г д г

32 ] + Эх2 ] = 0

а о

С условием согласования на Э£1 « [О,Я] = Я

I ие= о,

в й (8)

он 4 '

[иг]| — 0, [ив]|

О,

Зие . ц дие „

^ ая - в £* СОЯ п г,= ё 5й - 5 5е соэ я .

Зиа , ц <?ив „

Ц. сп - 3 «в ооз п хг1 = ж ш - в Iе ооа п .г I

= О,

дие

аое = Эх"

о

Зи®, « Зие. н "

^о гл * = л г и* ЗЙ и =н = Я Г Vе <2гз,

(10)

п - нормаль боковой границы 3, - боковая граница области 25. [иа}1 - означает разность функции и® для приближения к границе Э изнутри и извне. -

Для решения задачи (7)—(10) имеет место следующая

Теорема 3. Пусть за, ЗОо еС1, / € Ь2(0). Тогда решение

задачи (7)-(10) суиестзует, единственно и для решения имеют место оценки

, + !«е1 4 + Ю 2 + 1"е1 , +

в 1 V <П > > } гхо

2 он г он

+ I» <П , « С 1/1ь

2 О 2

1ие - и| , + ¡и8 - 0| + ¡5е - ^ с

"Л' Vя'

3 параграфе 2 исследуется нелинейная модель океана с нелокальными граничными условиями. Рассмотрим дифференциальные уразнения

я 35

х <11и и (2гэ = 0, — =0, Г 5 г?'

1г = О,

а

Здесь

(В V) в = А. Д 9 - а 8 -ь /,

Эи дv

агз = Э53= О ПРИ гз = Я,

Зи Я Зи К

Ц. - = Й X и Йг . Ц — = ЯХ " =

39

ж = о при [о,Я] » да, х3 = а, = я, й = (и,и) =' О при дО « [О,Я].

ди

СП)

(12)

3 = ~ / ^з]« а > О, в - уравнение для

температуры.

Теорема 4. Пусть / £ / £ Г£, р - С0Й = ¡V0' ТОГда существует по крайней мере- одно обобщенное решение задачи (II),(12) и для решения имеет место оценка

+ 1Е1ь<в «с |/| .

1 г V

1

Пространство V"1 - сопряженное пространство пространству 7 с носмой

!<р| = аир | «р,ф)|/ |ф|„

V ш

з

1С

Дифференциальные свойства обобщенного решения.

Теорема Е. Пусть <5Я € С, / € 12(<2), / € 1г(<2), цо> 0. Тогда существует хотя бы одно сильное решение к для решения имеет место сценкэ

1й1у + + |в| < с[!Ли+ 1/1 )

2 2 V <П> 2 2

Глава 2 посвящена исследованию разрешимости гидростатической модели океана неоднородной жидкости.

Пусть система нелинейных дифференциальных уравнений

Ш ди ггди ди л д*и Р .(ЭГ + и Яг. " ] ^ ах^ = ^ ШГ + ^о

О" и дх*

в1 г1 ер зра

ЭС я ди. — + Г — ¿г. =0, 01 о Вт 1

во ар г" 5р

1 «> 1 2

с начальными к граничными условиями

О < Р. * рс(1) < К < а ,

и =0, ^ « 0, хж « Н, 0, г, € (0,1).

ао

^ » О, и « О, I, » О, X, « 1, х, ( (О,Я) .

И

(13)

(14)

Имеет место следупцая

Леша I. Для решения задач (13),(14) справедлива оценка

Г KP 41'

dt ^ С < со

- ¿¡12(Я

О

где fr;2 (О) - сопряженное пространство пространству = W* Л И"* (П) С помощью метода регуляризации, метода компактности и.в силу лем-. ш I доказывается следующая

Теорема 6. Пусть выполняется следующее условие О < т < ро (х) $ < К < ю, uo(x) е X2(ß), £0 (х) е Ьг(П). Тогда существует хотя Он одно обобщенное решение задач (13),(14) и для решения имеют место оценки:

14. «..гц-о. + i |а|\ «<С<®.

юг о

т

0<В2<р<*<®, J lPt\ di € С <

о »2<П,

В параграфе 2 исследуется • теорема разресимости трехмерной гидростатической модели неоднородной хидкости.

Рассмотрим [О,Я] - De? систему дифференциальных уравнений

р (üt + (v v) u) = ц Л u - v £ + X (vp v) u + р

— + J dlt> u йг^ = О,.

et

dp Ш

+ (5 v) p « П p, 2 = (ti,v), v = (u,v,u), и «= - J diu u <±re

(IE.)

с Езчап-но-креевшо! условиями

2 |l»o = Uc {X)• P I l.o = Po<X>« 0 < * < Po « * < <° • '

dp : (IS) 0. « - С 5j областей [0,£] « fi.

-Теша 2. Для решения задачи (15), (16) имеют место оценки X !Ptlo-t & < со,

О V

}(Р u) | — г < С < »

Э/7 2

Теорема 7. Пусть выполняется следующее условие 0 < я $ ро(-> ^ ï < m, uo(;r) ç 12. Тогда существует хотя бы -одно обобщеннее решение задачи (15),(16) и для решения имеет место оценка

т.

0<т£р^М<а, зир |u|* + f (И $ С < со,

I 2 О

Теорема доказывается примерно также кот в параграфе I методой Галеркина и методом компактности.

В параграфе 3 исследуется разрешимость стационарной гидростатической модели неоднородной гидкости с учетом диффузии в частице.

Пусть имеется система нелинейных интегро-дифференциалышх уравнений в частных производных.

р '((у у)и)=цДи-$£ + \ (vp, v) tl - g v р + f р,ч

(v v) р = Л Д р -а р I (17)

f dlv и. <±гз = О

о

с граничными условиями

ô2 до

щ = щ- = 0 при гэ = H, {xt,xz ) е Q, ôu ôp

ar = wr = 0 ni® = о. * п-

Эр

u = 5ñ = 0 на SQ > (0,5) при этом со ао >0,

/ е L ([0,ЯЗ « Q)

(18)

Введем вспомогательное пространство, которое понадобится в дальнейшем.

Пусть Cr(Q) = {и = (u,у) е =0 при хз - Q, хз = S,

н А

(х4,л:г) е Я, и = 0 на дй * (О,Я), f div 2 dr3 = 0}

О

Обозначим Vj, V^ - замыкание G*(£J) в норме LZ{Q), Я^(£5),

Теорема 8. Пусть / € С^Г1, / € ИГ1 (Q). Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (17),(18).

Решение задач (17),(18; обладает следующим дифференциальным свойством.

Теорема 9. Пусть / , / € Lz{Q), Q с Ё*. Тогда существует

сильное решение задач (17) и (18) и длп решения имежт место

i

оценки

|2| t + М.г ^ С < <в,

V <Q> V 1Q1

г г

JvÇI + |Ш| t < С < оо.

i. íq> w <а>

г г

Однако в этой теореме не утверждается единственность решения.

ík

В заключение хочу выразить благодарность научным руководителям Смагулову И. и Хайрулизу Е.Ы.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Баймуханов А.Т. Исследование нелокальной задача для модельного уравнения бароклинного океана. Известия АН РК, сер.4из.-мат., Алматы, деп.Л 6027 КА - 95, 1995.

2. Баймуханов А.Т. Исследование одной лелинейной модели океане с нелокальными граничными условиями. Известия АН РК, сер.физ.-мат., Алматы, дел. * 6023 КА - 2П, 1995.

N

3. Баймуханов А.Т. Корректность гидростатической диффузионной модели неоднородной жвдкости . Известия АН РК, ' сер.физ.-мзт.. Алматы, деп. * 6030 КА - 95, 1995.

4.-Баймуханов А.Т. Существование обобщенного решения гидростатической модели неоднородной жидкости в случае <3 с Е?. Известия АН РК, сер.физ.-мат., Алматы, деп. * 6029 КА - 95. 1995.

Б. Баймуханов А.Т. Корректность'стационарной модели с Е®. Известия АН РК, сер. физ.-мат., Алматы, деп..» 6031 КЛ - 95, 1995.

6. Баймуханов А.Т. Исследование одной нелинейной модели океана с нелокальными граничил® условиями. Препринт Й 13, ИА РК, 1995, Алматы, с.6

7. Баймуханов А.Т. Существование обобщенного решения гидростатической модели неоднородной жидкости в случае 0 с Е*.'Препринт А 12, ИА РК, 1995, Алматы, с.9

15