Краевые задачи с особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

вогснегсиій оргглїд лйшід тг/цш-т.ядаа уіг.г

>лкг

Спої:,;: vr не?

!h руі'оппси

МОТІЕА !ЗЛАДі:'ЛАНІПЇ;’і

'LUC ЗЛЛ,АЧ!І с; (шшїшіся

i-ь OI.OI.Oi-] - ДіїЬК'рош'.кгш.-нкз уукч- кия

’і І’ торе :{' ÇÎ ,р а т чім нт. ;;o:v.'.r.>4iio

. г Ч /• П!-'ІТХ M'WK

Колонад - I'JÍÜ

Работа наполнена в Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола*

Научннії руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю. В.ПОКОРНЫЙ..

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

' проо;'эссор В ,П .МАКСИМОВ;

кандидат физико-математических наук, . дйцєнт В. Г. КУРБАТОВ.

■. Ведущая организация - ЛешшгродскиІІ государственный уни-

■ вереитет.

Залита состоится 18 октября 1990 года в 15 часов 20 минут на -заседании специализированного совета К 063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук б Воронежском ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу: 394063, г. Воронеж, Университетская пл, , I, БГУ, »»тематический,факультет.

0 диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Воронежского государстпенного университета.

1930 года

Ученый секретарь спецнгілизирог.пшого совета К 063.4В.09

4-

В.Г.З:‘Кгш

Автореферат разослан

Л8

- з -

ЩАЯ ХЛРЛТЯЧЕГПКЛ ГАБОНІ

А к т у а л ь; і о с т і > т е: ? і. Поучению колебаний разлпчнігс іюг.пли--ЧОІШВС систем, фіЗИЧОСКИХ И УИ’НПОСКІГС процесо.ов посвячено значительное г.олнчестло гагсіптіпсскік теорій, иеподьзу;од:і:'. различите методы кл.ясоичссчого и современного анализа. Особо0 іх-ото среди них залшпет теории ооботи-чппа колебали;!. Од та из ее разделов - осщтля'цюшт теория - изучает налігше у оЗикноветмс диТференниадыяк операторов и сиязшпио: с ними • граевих задач комплекта тпкпх спектральных своі'стл, как гіростата, вещественность, положительность собственных значенні!, ¡:сре;.:е;:;аемосгь нуле!' собстпеннкх’функций, Интерполаріошпо свойства систони собствешпк 'Іунгл’нП и т.п. Впорпне наличие таких сеоіїс'гп бігло установлено Штурмом дла задачи второго по-ргдка. .

Основой СОВрЄ!.!ЄПНО!І ОСЦІІЛЛГ'ЦИОННО:'5. теории явились работ;: Келлога, показавшего, что комплекс штурнопсліл спектральних сі.оі'ств краевой задачи второго пор-ідка по существу апллотея нілпіздлотлостья интегрального оператора с ядром /ФушщдсЛ Грина/, удовлотворятріч сне”И'\льн"м неравенствам /такие ,-уціа полуаллії ппослсдсткіп .'¡дер Коллого/. Поэтому для до-

казательства та:яіх свойств спектра у произвольной храоооЛ оп-дачп достаточно нроиорить, что её ■•'■ункцид І’ршіа существует, непреріївиа и явллстсл здром Коллога. Для краовоП задачи Штуг-і:а-Хіиуілуі;ія соответстиугцлП факт бнл установлен Келлогом, /гг. з\цпчн четвертого порядка - Ф.Р.Гантмлхором и М.Г.Креііном.

Псслодуюцео развитие осциллнционноЯ теории /работы II.Д. Кіла;атп, С.Карлина, А.Л.Левина и Г.Д.Степанова, Ю.П.Покорного ,ЛС.Г>аркопского и П.И.Рдопича, Л.Л.Тсптіпіа.В.Я.Дерра и др./

vnO'B поправлений расширения класса задач, функции Грина которое лпячатся ядрами Келлога или осцилл-'нщошшми ядрами /класс »Wp,. близких по свойствам к ядрам Келлога, введении!'! Ф.Р.Гая* тхерои и М. Г.КреЙног.:/. Отметим, что изучавшиеся задачи били рс гулярниш!, а ИХ фуНКЦИЯ Грииа - непреривпой. /исключением являйте я ли!"ь »окоторче результаты 10.В.Покорного, посвященные с.г.у-»по задпям Валле ГГусеона со слабыми особенностями/. Случал; задач с силы тмя особенностями в осцилл.ишошшй теории практл-«ооки по рассматривался: здесь известия лиш> одна работа В.И. ¡■'дсвича, о споктро задачи на оси для д!г(<:срондиалыгаго оператора с постэ.-шинни коо Хидиенгаш. Тем сашм из рассмотрения ОГДПЫЯООТСЬ И С К Л :0'-1 С? ¡! III ■!! !Я ДХКО ПрОСТОШШе механические и физические системы, ИМОПДИе силыше вырождения /иапр., неоднородные струна и стержень с исчсзагацей в концах упругостью/ или разркпч /иапр., пара стершей, соединенных пружиной/.

Причиной такого "пробела" являются трудности, возникакцие При изучении сиигуллрних задач: такие задачи возможно старить .только в пространствах типа с некомпактным Я.

что вшугхдает проверять в таких пространствах непрерывность и компактность обращающего задачу оператора; с другой стороны, lia такие операторы непосредственно не распространяется доказательство теореш Келлога ни в его классическом варианте, ни в последующих моли^’икацшк /Гантмахер-Крейн, Левин-Степанов/.

Эти трудности резко усиливаются, если особенности и разрыву расположены сиу три интервала, т.к. соответствующая функция Гри на'монет окапаться заведомо разрывной.

Преодоление указанных трудностей требует создания новых аналогов тссреи-j Келлога-Крейпа, пригодных для анализа сингулярных краевых задач /в том числе с внутренними особенностями/ Этим вопросам и иосвяцена диссертационная работа. ■

Цель работы.' Развитие петодов исследования спектральных '.иолстп ди'Тії'вршіїуіапьинх и интегральных операторов и их при-гненпе к задачам с енлмгпа особенностям!. '

Методика псследопанна. Нршздиют^п методы качественно!'! гоорни краевнх задач, теории положительных операторов п нрсст-эанстве с конусом, різ личико погоды теории меры и теории і’ ¿тік— ний ве:'‘-стаєнного переменного. .

Научная ногаїзна. Все результати диссертации яічтглсл новими. Наиболее гагар іш на них лвлг.ютел: • •

- аналоги теорем Віча, {¡¡ура, Кєллога-Кррйна іуі'г.осг-.нх і інтегральних опоратороп; 1 '

- необходимые И достаточные условия келлоговоскі Д.’Д! обдчх • интегральных: операторов;

- Э'агоктивнь'в критерии еоответст11;/'г і”;і зіп.чорогулярностп д.-*':;

нєошізннх краєві к задач. ' '

Теоретическая п прчктнчеегт значимость. Работа нос.чг теоретический характер. Ее результати ч різрпботапнпє и неї; не-то.гуз могут быть использошін п спе’Стр'ільі!о!і к качасївешюЛ теории краевых задач, в теории пнтегральїпіх оператором, в тест'!.:; пологлтсльшк оператероп, в нзліпшГшсм анализе задач с- о«г/„\ ц-

НООТ.-іМИ. '

Діло б аци,; раб от м. Свночіне результаті! диссертации докла-д>залпсь на ¿Гргльскоі'і регионально:'! кеїґоренелп но теории н пои лоясниям шушшяоиалыю-дн {’¡•сроц’ніалііпг: у рпг и■?ні:л /Чсллб'гнок, ГХ7/, на ХШ и XI,У иголах но теории оиєрітороп в <.уи:ауклпл:.-¡г.г< пространотнах /іСуЛо'.'ГСГ:», 1X8; Новгород, 1еЗ'.У, на Лор о;! г: схо:'1 зашей дато.чптичзскоЛ пколе /"Зороі:а~, ГГ-іі:-., Г:?'.?0/, на 1,'>й длаїародноіі коп,еренч’Ш по интьгрпльпчн уртнеші.чіі и обратным задачам /Варна, IX?/, па сеглипро по нзчеет -Ошюі'і теории кра-

ср,тд: задач про'!’. Ю.В.Покорного /1957-1990/.

. Публикации. Основные результата диссертации опубликованы 1 в 3 работах. Одна из лих написана п соавторстве с научным руководителям, которому принадлежит постановка задачи и некоторые идеи доказательств. ’ ■ ' 1 '

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 144 страницах и состоит из введения и четырех глав, разбитых: на 13 параграфов. Библиографический список содержит 41 ' наименование.

' ■ со;;5г:^Б13 габотн • ■ ■ '

, Изучает^ обт-окт и основные результаты. В диссертации нзу-. чается два. тина,краеонх задач: сингулярная и нусочно-регуляр-

■ нал задачи. Под сингулярной спектральной задачей понимается . задача • . ■

{ Ь-х- -

1 % Е, . ^

где■ 1* • регулярный на оси /в более общем случае - на

интервале / днф- -

ферэнциальшгй оператор .

С/***.> С V* + ^сА'* •х-1'1'’+ ... -V-

с непрерывными на , коэффициентами ^ .I1- ^ ,

а 1 Е - Некоторое пространство, согласованное с !- с точки зрения разрешимости соответствуяцев краевой задачи

1

£ I 6 Є ■ (2>

х є Е . . (з)

: о точки зрения знякорегуллрностн отой задачи. 'ГорМалыю про-:трялотво Є правых частей, обозначаемое через

іпредел.іетсл положительной на оси функцией .it ізк;п-

гаэт все непрерывнее на оси функции 'У- , для какдог-

із котормх при некотором конечном у > •

■ \х(Л^\ & V • U0 (Л>.

іорпа в Г W естественная: . . ‘ .

. , ,

°

?то поосгоанстпо определяет пространство С^“ ре-

ft

шени!'! дифференциального уравнении с * Є . в

качестве Є берется подпространство коразмерности IV = сЦугі ^.ih. /, , определяемое систело::

1*Л" непрерчвюпс в сД,сш • У’уНКЦіїОНПЛОП. Тем

самт”.? задача (2)-(3) определяется как

И)

tiX«0 ' і.»,...,Л, м

а спектральная задача (ТЛ - как

/!0х=Л<Ь'эс. ос б Сл, С.Ю

. « . (6) ■V-тс •“ 0 ^ V ^ ., И.,

Задача (5) -С5) называется знокорегуллрной, если для любого , удовлстг-оргоц^го (5) , справедливо но--

равенство £> С /,•*.■> г Задача (4)-(ЕЗ) называется приведенной, если знЬг является решением задачи (4)-^э)

с 1*Л ^ «й» <Л> .

Функционал &(•">£ набивается локалн-

псшашічі.і на отрезке 5 Г, если -(Лх}=0

для лмбоЛ ос. е .С/ (. А, л) , равной тождественно нулю

, • » «I

в некоторой окрестности Ст, - С. } Ч &■) этого отрез-

ка, Систему 45) функционалов назовем нелокалиэуемой, если не существует отличного от С-“'’, °°3 /в более общем случае-от ^ / отрезка С 'С'4. а 4^1 такого, что все

локализованы на С ^ ^т.1 .

Т с о р.е м а 4.1. Пусть задача (4)-(5) является знакоре-гуЛ.ірноіі и приведенноЛ. Если система функционалов (5) является нелонализуеиой, то спектр задачи (б) с непрерывной положительной на оси і'ункциеії су , состоит

из послодоБатолыюсти простих вещественных собственных значении ^ ЛД 0 ( О 4 ' А а. \ £... ; собственнее

функции образуют ряд ¡Даркоза, имеющий

биортогональпутз пару - ряд Маркова из (Т.уігш.ноналов

«В^ЛУГ,- „

Р . (,«Л в ^ ~ <_

. — о»

Аналогично определяется кусочпо-регулпрная спектральная задача

( її -Х. ■=■ Хсусс.

и.**=о

Яв *■> ", *-

і! соответствующая ей краевая задача

\'

= І $ є (8)

о і= Ц ..., ^ (9)

*. *

ил носчгсзном шакестпе ^1. •= \7 4і5 /его паяю

ім

представлять и как интервал їС-"*,®") с "шбро-

пеніші.'л" точками оІ=а.0<с\л<... < о. к ~ ^ /. Ди'Мюрсн-циальнпд оператор Ь - определяется на С^. заданием на кг-доіі из компонент регулярного ди]фо-

рскг.иал.ьного вираження - _

САЛ . СП

і , і*» і Сії ■

с ¿.¿-хм Ал = Р в < ъ-> х + ...-* ^»л> с *

1 "X.

с нспрерчшшш внутри коо ¡фщиенташ. В точ-

ках Оц допусйаитсл' перемена пор.чдтга дифференциального гтр:с..ошіл, сингулярности и разрнвы коэффициентов. '

Для кусоч»іо-реіул'ірю:і задачи плодчтеа понлтігі зпа::орегу-л'рнссги, приведенности, а т аісчв локализации сунхщоигпоэ. С по-цл'чческим длл задач на шевпзиом множестве лпляетея пенчтио керзлоттюЛ задачи, означайте по существу взаимосвязь ішду компонентами шожестка О. . Это понятно пводчгся п ■} 4.”, где до'■азі.’паотсл, что длл неразложимости задачи п

С,^ СОЛ нооСіяоднію и достаточно, чтобы длл ка.т-доіі точки О.^ , <_ « решение задачи (Ь)-(Р> с £«Л' =

= б(а.^-'Ч.(А) и ресоїше задач» с ^<Аі* ©сч4-4>-'м.*^>

/001 - ■•їуш'.н.кл ХеяисаГ’да/ по обралось то-идестпенно V нуль ка ’.літорале С А, а ;Л или 1<Х.;. э ссотпсгстлешю.

ї е о р е м а *1.2. Пусть задача ^О-(З) явллетсн знакере-гулцраоП, приведенной и поразло:шмоі'.. Если система • ^'ушсугона- . лов І > нелогсаллзуо’п, то спектр'задачі! 17) с кспрерцзноіі по-

ла/итольиой иа . фикцией / <|,Сл^-0

0} .К / состоит из последовательности простых веще-сгеепньк собственных значений ^ АД о , О < Ав і t АЛ \ -с I а с.обстпэшп'е функции ^ ^ Vo S С-лл. СС^Л образуит

ряд Марпопа на ÇÎ. . , иметециИ биортогональную пару - ряд

Гпрчова из функционалов «л: stC^CQ.^*' ,

Ï ' \ хс"

•L

Й; CSO.

Теореш 4.1 и 4.2 являются основными результатами диссертации. Сни формулируются в последней, ІУ главе; их доказатель-

ству поев т:;ено изложение всех предыдущих глав.

^ главо I проводится сведение спектральних задач (С) и

V?) к задаче о спектре интегрального оператора

<.S<-oтс)1 k'i г ^ XCV> S'», ^

' ÇV

г»де функция <.%,*■) , рассматриваемая при каздом фиксиро-

ванном 1*0. КЛК ({'УНКЦИЯ jutcs> переменной S , имеет ограниченную ¡чариациа и непрерывна в точках S *

Здесь обсуадаптер свойства нвгтрернвности, полной непрерывности оператора U0) /нетриииальше в силу некоі.шактнос1-ти о. /, а также свойство ноповшенил числа перемен знака* Эта глава рачбига на три параграф . В первом изучается сингулярная гядаЧа дл і оператора . .

А

*<Л .

с’достаточно гладкими причем все от-

делсны от нуля и не все имеют одинаковый знак. Во втором параграф изучается общая сингулярная задача (4)-(ГЛ, а в третьей - задача (6) -í’j), которая б;-тла названа кусочно-регулярной.

О главе П приводится аналог теорекн Келлога-Крейна для интегрального оператора (10), опирающийся на попятно морч Ксл-лога /обобщение понятия ядра Коллога/.

Определение 2.I.L Меру на открнгем

множестве W ? - назовем положительной, если длч

любого измеримого по Лебегу множества $ sW

^ ¿$Л « (VI líb ^ 0. •

й

Определение 2.1. Р.. • Поло.иггельнуп меру назовем строго полотлтельной на измеримой по Лебегу под'яюясстгю W' £ W , если для jî'oo'oi’o измеримого J\ & \л/* ; ПО-ЛОмГГеЛЬНОЙ лебеговой порч справедливо ул <. Jb > О .

Определение 2.1.3. Полог.ительную меру назовем вполне положительной на откртгоп гаохгостве W* — W. , если для любого открытого

JsW его мора ( Jb> О .

Определение Положительную lîepy— rym--';'i.o

idg, ju) <. 'V1 на W /пин :са-ц;о>1 ui!Kcnj!0:;.'iJiH0M

T.fcV/ ci 1ределлэ\ую некоторую ï,-.еру jW) lrVo'> na W /

назовем вполне полот.игелыюй /сильно положительном/, если существует открнтое шотсетно ЯЕ) ^ йС" * , содержа-

щее диагональ /'Te S / и тачое, что при каждом г-иксироь-чп?’!

’То 6 V/ мера < Тв> толпе положительна

го положптельш/ на сечении *5)^ - ^ ЯeW : СХ, ¿П е .

Полагая W = Cet , (o(,ç у*.) ( Тэ ■» cíjjvAi^jS) или V- Аь= = •• .

іЛ;гг1''4 a^AV::V:) ^

гм полупім понятие полной /сильной/ положительности для .

tLs <^Л(А, s') п а с с о ци и р а э ащ і; ;:с мер (.II) , порождаюирге

ассоциированные операторы

Ок.. £

-■ ' Определение 2.1.5. Меру-функцию SO

назовем слабой /сильной/ мерой Коллога, если она вполне поло-йитольна /сильно положительна/ вместе со всеми ассоциированными мэрами (II). ' . ■ . '

Одр од е л е н и є 2.1.6. Спектр оператора (10) назовем ОСЦИЛЛЯЦИ0НІІШ, если ОН СОСТОИТ ИЗ бесконечной ПОСЛЭДОЕа-ТеЛЬНОСГИ простих ■вещественных ПОЛОЗЯ’ТСЛЬНЫХ собственных значений Х*"» Хг>... —** О , причем собственные функции

^С*<Л)Ьо оператора " \<^ ' и собственные (¿ункционалн

сопряженного оператора образуют биортогональнпй

ряд Наркоза, т.е.: ,

. , а/ собственные функции образуют рлд Маркова на ,

т.е. определители "

4^:^)

пплаг.итилны на ;

б/ СОбСТПеННіІЙ ОУНКЦИОНЕШ] ,

•Р;С?0=» S ‘^CSldL^ÍS’J

тиг/.-з соряпупт р.ід Mapicora \ члЛ^і<4 ~ ото m ^УДем

ПОПІГГМТЬ із той СІ*ІСЛЄ9 ЧТО ttepEJ

Г Ase... Ае,\

“\ S. . .. 5„ J

вполне положительны на ¡ 1 .

е/ ПР!1 \ ' *

Теорема 2,1.' Интегральны:'} оператор (Ш имеет осцлл-л::і:,ноішш спектр, еслдії ■ _

а/ "нснагру^оншгіі" оператор

lV.TfX.4^ ■“ ^ ХС5) ds

я. „

ограничен в пространстве непрэрывшос ограничен-

ii!.íx па йункций с нормой \\ xV\ - V>1 ;

о'/ оператор 110) вполне непрерывен в' J •

в/ мсра-тун1гция <AsJAt4jS) является слабой мерой

Келлога;

г/ i е 2. C£V» , су С 4} > О на С<* ,

c^CQ.^iO') = О / ¿=0,...)К. /.

Доказательство этой теорем-j опирается на два принципиальна зх результата. В перлом из них доказывается существование к cao :ства ведущего собственного значения интегрального оператора

(.Ж.^тс *V^ ^ а<.5> ^лОГ)

v • •

с рполпо тіолсгі:ї:т?лміО'Л мерой 1 ^) і *Т>. Этот результат яв-

ляется аналогом известной теоремы Енча. Отметим, что ни класси-' ческиіі -вариант этой теоремы, пи последующие его модификации пет применит! дл-1 операторов, действующих ч пространствах непрері-ш-ных на некомпактном мю^ествс функции.’ По той че причине другое' доказательство получил ецё один классический результат -теорема Кура о сгж»и спектров ¡¡сходного оператора (10) и ассоциированного оператора и2).

, Б главе щ устанавливается, что мера являет-

ся моро;) Келлога тогда и только тогда, когда она шолне положительна п оператор ЦО) не повьдает число перемен знака. При 'отои предполагаете!! выполненным свойство, получившее название •локальной ' С -неепроедепностн мерн: из (Кх-П^нО на некотором **-0 следует 'ХіЬгО на этом интер-

вале' /ото, очевидно, имеет место; если оператор ІІ0) обращает краевую задачу/. . . •

' В заключительной. ІУ главе приводится критерии полно!! по-ЛОМИТеЛЬЧОСТИ меры сЛ5£Л<Л,5} , сформулированные в терминах локализации ^ункг.иокалов и неразложимости задачи. Тем сашм ' эашкается цепочка теорем, позволяющая сг ор.чулпровать оконча-

■телпшй результат - приводившиеся вниіе теоремы 4.1 и 4.2.

• Автор глубоко признателен профессору Ю. В.Покорному, потратившему немало сил п времени на воспитание автора как математика, еа руководство работой, за его постоянное внимание и заботу. 1 . ' . • р

. Автор тоже вмра-ілет благодарность К.П.Лазареву, 0.1.1.Поп-’ к:шу и другим членам семинара про}. Ю.В.Покорного по качественной теория краепих задач-, которые неоднократно' принимали учас-

тло о обсуждении получениях результатов л проявляли постоянный интерес к работе автора.

Основное результата диссертации опубликованы в следуя .7:к ' работах:

1. Боровских: A.B. О спектре сингулярних ц:іФїореицналшігх опе-

раторов / Воронел. ун-т. Еоронея, J9G3. 20.с. Деп. в ВШПТІІ 4.07.88, Р Б379-В10. • ' •

2. Боровских Л.В. О спекчро.сингулярного дифференциального оператора // Теп. докл. Ш Всесоюзной школи по теории операторов в функциональных прострщістоах. Куіібшеп, I9S8. С. ГЗ.

3. Покориш D.B., Боровских Л.В. Ой осцилляционности спектра

задач на некошактнон интервале // Проблемі современной теории периодических дв;;;тениИ : )/р*оуз.сб.паучн.+р. / Ü’.EI. П-епск, 1988. і:0 9. С. ЯЇ-30. ' - '

4. Боровских A.B. О спектре интегральннх операторов с разрив-ними оецплллциошшми ядрами / Воронеж, ун-т. Вороном, Г.ТУ, 26 с. Деп. в ВИНИТИ I5.03.C9, !,! I6S4-Bo9.

Г). Боровских A.B. Об осци.шщшмт свойствах спектра ткото-рмх разрывных краевых задач // Тез. докл. 7 ТУ школы но теории операторов в ¿■ушециональних пространствах. Новгород,

ID39. Ч. I. С. 32. .

коз 543 от 7.09,90 г., тираж 100 экз. Формат 60x90 I/I6, oöv-ем I п,л. Офсетная лаборатория ЕІУ.