Кратные абсолютно представляющие системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

НАЛБАНДШ ШКЯ СЕРГЕЕВЕ» КРАТНЫЕ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТШШЕЩ СШШ 01.01.01 - натенатйческна аиаяаз

Автореферат диссертации на сояскаяне ученой степени кандидата ^знпочгатеыатическах наук

Ростов-ка-Дону - 1995

Работа Ешолнена в Ростовском ордена Трудового Красного знамени государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук»

доцент А8АНИН А. В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор КОНДАКОВ В.Л. кандидат физкка-натематическк:; наук« доцент МИХАЙЛОВ А. Б.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет.

Защита состоится 3 О^ыЯ-ЗрЯ, 1933 г. в /£ часов на заседании диссертационного совета К 063.52.13 по присуждения ученой степени кандидата, физико-математических наук в Ростовском государственном университете да адресу: 344104. г, Ростоа-на-Д>ну, ул.Зорге, 5, РГУ, механюсо-матенатичесхий фа-» культет. ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ па адресу: г.Ростов-на-Дэну, ул. Пушкинская. 148.

Автореферат разослан , Я1^5 г.

Учвш^з секретарь диссертационного согата К 063.52.13. доцент

В.&Кряхвин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теки. Вопрос о возможности представления функция, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, рядами экспонент ипи обобщенных экспонент интересовал многих мз-

У^чаивл с .¿«шт«»^ ^чшмгли шш«^

результаты в этом направлении. В дальнейшем значительный вклад в развитие данного раздела комплексного анализа внесли работы В.П. Громова, Ю.Ф. Коробейника, Ю.Й.Мельника, В.В.Напалкова. В,Н.Фролова. А.П.Хромова и др.

Одним из наиболее плодотворных методов, применяемых при проведении исследования по указанной тематике, оказался подход, опирающийся на соединяющую элемента теории функций и функционального анализа теорию абсолютно представляющих систем, разработка которой была начата в середине 70-х годов Ю.Ф. Коробейником и про полнена, главным образом, им и его учениками. При этом, согласно данному Ю. Ф. Коробейником определению, последовательности.

ХНх. ) ю элементов произвольного локально выпуклого пространства * к»1

П называется абсолхтно пребсгоскияшдеп. систольтй в Н, если любой

аз

элемент х из И можно представить в виде суммы ряда х- £ е.. т., аб-

к -1 ь К

солвггно сходящегося по топологии И. При исследовании таких систем существенную роль ■ играет изучение абсолвяно сходяяиея иотрипи (пыхи; разложений нуля по систпело X (то есть представлений ¿гида 0= £ ®Л. где хотя бы один из коэффициентов с,, отличен от .нуля,

к - х К К к

а ряд абсолютно сходится но топологии Н) И установление взаимосвязи меаду двумя утверждениями:

I А) "X - абсолютно представляющая система в /Г; (Б) "В И имеется абсолютно сходящееся нетривиальное разлом-

ние нуля по системе X".

Подавляющая часть известных работ была посвявдна просты« системам вида {е*" ^ или {/(^ (где /(г) - делая функция с определенными свойствами, а °° ^ некоторая последовательность комплексных чисел), рассматриваемым в пространствах анали-

>

тическкх функций. В последнее время определенный интерес возник к абсолютно представляющим системам, составленным из собственным элементов некоторого линейного непрерывно действующего в произвольном пространстве Фреве « оператора У (отметим здесь работы С.Н.Мелихова. О. Ф. Коробейника, В.П.Громова, А.В.Абакина). Естественным развитием этого направления является изучение кратных систем из собственных и присоединенных элементов В, опирагшееся на метод, предложенный для простых систем Ю. Ф. Коробейником и модифицированный А.В.Абаниным. Следует отметить, «то с других позиций кратные системы подобного вида рассматривались в конкретных пространствах А.П.Хромовым и Ю.Н.Фроловым.

Цель работы. В диссертации для системы, составленной из собственных и присоединенных элементов некоторого линейного непрерывного оператора решается следующие задачи: исследование взаино-связи между наличием абсолютно сходящихся нетривиальных разложения нуля по рассматриваемым системам и существованием кероморфных в с функций с определенными свойствами; выяснение условий, . при которых оказываются равносильнши утверждения . типа (А) и (Б); описадае абсолютно сходящихся нетривиальна разложений нуля в терминах свойств целых функций; установлений условий, необходимых и достаточных для того, чтобы составленная из.собствент« и присоединенных элементов оператора я система, была абсолютно пред-

ставллотея в И; описание свойств целой функции. нули которой (с учеток их кратностея) могут образовывать совокупность "шказатр-лей" такой системы. Осуществляется тахяе лрияодание ¡м;?уч"и;-:ьл результатов к конкретный ситуациям,

Методика исследований. Систематически "тгсд*.

результаты тссрГи, ¡«^чгквишго ( е частности,

теяргл: ьелых функций, теории вычетов), функционального анализа, общие результаты об абсолютно представляй®« системах в локально выпуклых пространствах.

Научная новизна и практическая значимость. Все получении? в работе результаты является новыми, носят теоретический характер могут найти применение в дальнейшем развитии тг-ос;,:;; аСсо;:^ 7» представляющих систем, а также при чтении сшштрсов сту/гиг : математических отделений ушшорситетов. Их ' сщчсйид',-.:1гос\ч- ног • твервдается совладением в частном случае (,п;гг: из .:»:5ст$х»"

кых элементов) с утверждениями, доказанными пшч» 'лук у.?.?, н^.- яг. тиказш.

Дпройацил работы. Основные результаты диссеотя»«» :гг...

но докладывались на яауш«ж семинаре каЬмг-:< мл- «}..•. . и г .-¿¡и-лиза Ростовского госуииверситста (руководитель- профессор Ю. Ф. Ко-роОеиник), а также на 7-й Саратовской зимней школе но теории функций и приближений (январь-февраль 1994 г. >. ^ Вороккжской шкале-симпозиуме "Соврошиа*; нею;«; теории «ункии* и смеыш проблемы математики и механики" 4 «шарь Ю1;;3 г.) конференции аспирантов Ростовского гесушжреюета (1334 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты совместных с А. В. Абанйным статей Ш-13) принадлежат авто рак в равной степени.

б

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав и списка литературы из 61 наименования. Объем диссертации - 123 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается обзор истории данного направления и приводятся наиболее важные результаты.

Первая глава посвящена разработке общего подхода к изучению абсолютно представляющих систем, составленных из собственных и присоединенных элементов некоторого линейного непрерывного оператора и с непустым спектрон S, действукщего в полурефлексившм пространстве Фреше к, топология в котором задается с помощью набора корм <!• Un>ntTj• Именно, пусть А»*^) "^cS, при к-юа,

V\ ПРИ Ш; p=ipt) w cN; W Р*"*\ где

" 1 к k-1 I Jk-и о

e(Ak,o)- собственные, а efAj^o.tel - присоединенные (¿-го порядка) элементы оператора и, соответствующие собственному числу

Согласно общему определению, система Л,Р) называется абсо-

Miiino предага&ляххрй в Н, если любой злеиент х из Я кожно пред-« V1

ставить е виде х ^ £ 1 <\. где ряд сходится абсо-

k-i г.о х

<* Рк-1

лот но по топологии Н, то есть Г I ¿1 -ЦеС VneW.

k «1 /»О '

Дапие. будем, говорить, что в Н имеется абоолато сходагиреся не-щ^илкш.ное fxi3Jioxe}&ie нуля по системе Х(А,Р), если справедливо

предетагдение 0 - I I V в котором хотя бы один из

k»t 1*0 к

хозйкдлг.что» f^ j отличен от нуля, а ряд сходится абсолютно по

ТСПуЛСГКК И,

В $ i. 1 определяется общие требования к пространству й, one-

ратору M и системе S(A,P), яри которых будут провалиться дадь.чуя-

шие исследования. В частности, предполагается, что рост ¡<к ¡'.с;:чи

нен скорости стремления к бесконечности х,., а оялы пила р. -1

«о Ч: «>

I Î ¿у МК.я и £ mr |c/v /[oC^.OJ

kml <"»0 K,t К l.l Q£i<n К-4

Ж.

. i io «сть они одновременно абсолютно

сходятся по топологии Я). Считаем также. что выполнены условия:

1) при любом Хе€ решения уравнения в а образует одномерное пространство» натянутое на элемент е(А,0);

2) обобщенное преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между сияьнш сопряженным к S и простралсг«-.и

Е = |/еКС): 3 nefi j/1 : =supf j/( X) j |je( x,0) iL11<4. I n xeC1- n J

наделенный естественной индуктивной топологией;

3) справедлива оценка

VneCi вяей ЗЛ >0: sup geCX+ju,0)g„ s AJoi A,0,>j; .. VXcr

В § 1,1 обсуадается целесообразность этих щ-едл^-юпил.

Основны* результатом § 1.2 является теовемя 1. г. «. ,}v...

КУЛИрОПКИ которой необходимо ЗВ8СТИ ВСТОМОГатсЛЪШД; с

Именно, последовательность положительных действительных чисел-

оМ«,.) т назовем ассоцшлровсотой с системtû ï(a,P) в й. если к*1

■. VneW ЭжеМ 3u>û: ||е'.\.0;|1п 5 ¡¡еС >.,..0) при всех кеи.

Пусть Жйл,Р)) - класс всех последовательностей, йесоцииро-

ваннж с SCA»î'). Псст<—¿ли в соответствие каадой,« из ¿Щл,Р)> 00

множество U'- и ик, где (Л.:={Х; |X-Xj.|sak> и обозначим через к »1

совокупность тех последовательностей из jîqsca,Pî>, для которых шшия линейная плотность множества иа меньаг 1/2.

Т Е О Р Е У А 1.2.1. Пусть ¿х^,<:ъ(Л,Р))*0. Эквивалентны

уяй ерхйвния:

(I) в Н существует абсолхтю сходящееся нетривиальное раз-

р. -1 со 'к

лохоние нули вида 0 = Г Г Ь,

к-1 ¿«о К,< К

Пи существует леролорфш функция Сь(\), илеюиря 6 точках Ак из Л гишэса кратности не выяе рк и удоблетворясиря условия*: ■ (а)главная часть лоранобсного разложения в акрестосш

^ превсшвит в виде

,-М

Рк~1

(д)рпЭ V £ сходится абсолютно по топологии Н,

(в)при всех ХеС\Л справедливо представление

рдд б кояорол абсолютно сходится по топологии Н; СШ) сущеаядует леролорфная функция X), описанная в (11), для которой блесто (6) выполняется оценив

(6' ) при люОих а из л^асл.р.» и пизИ

|СК(Х)| » О^ЧХ.О)«;1]. V хес\1/в.

Важную роль в теории абсолютно лредставлящих систем играет установленная В. Ф. Коробейником связь между свойством системы быть абеолшю представляющей и разрешимостью интерполяционной задачи сщцяалиного вида (для кратных систем это основной метод исследо-ш.ц.ш, В § 1.3 конкретизируется соответствующее утверждение Г. Ф.Коросенюиш и осуществляется построение в КС) решения инте-гесушей нас задачи, зависящего от коэффициентов абсолютно схода-

щегося нетривиального разложения пули по системе й(л,Ю (корда последнее существует). Эти результаты является подготовите;;ы№и для § 1.4, где рассматривается вопрос о соотнесши утверждений (А) и (Б) для ?(Л,I'). В частности, стандартна« .че голами лока.ч« вается справедливость импликации (А)->(Б). а также формулируйся

УСЛ01»Ы, »■>>« *"ТплУ" иииаи..«

Получешшо утверждения относятся к произвольным системам вида £(Л,Р), однако использовать их в конкретных пространствах затруднительно. Поэтому § 1.5, имеющий вспомогательное значение, содержит в себе дополнительнее ограничения на системы, при которых эти условия можно привести в более доступной форме.

Назовем систему Ч Л, Р) лшашиыюй Оли //, если наметен голая функция Я А), имеющая в точках \ нули кратности рк (у ' могут быть и другие нули произвольной кратности) и уяовг.епч>рн<«ля оценке- Упе!М ЗтеМ: |/.( X) иф* Х,0) К* «К Х.Ш !!"'], УХ«\ Со,:-'

купность всех таких функций обозначим через кд

Далее, рассмотрим банаховы пространства

КМС): 5мр[А) 1 • йеСX,О)? !Их.О!< ■-•>].

V

всп.я>'

гаей, и построим индуктивный предел Е;-Ит тп с(п т) ( гт?1).

10Л0ЖИМ

: через Р обозначим замыкание Рп в &п.

Пару (и л.1>),Н) назовет аьоикцхпияХ, если для ш.,ого ¡н-ь но-«но найти из и. при котором выполнено условие: V юеИ 3 X -

ограниченное в Еп семейство функций такое, что ХсРп и К(Х)| £ йо(Х.0)йшГ(Х,0)В;1. V лес.

Наконец, будем говорить, что (UA.P),ti) - жесткая пара, если для любого neei найдется последовательность aerffSC Л.Р).) такая, что справедлива импликация: хеШ.С), X) ¡ =о[||е( X,0)í|n], Xe€\Ua хеЕ. Пару си Л.Р ),//.>. ахзст куа и ставдартнуд одновременно, назовем ира/Шьиай.

Заметим, то в работе сформулированы условия, при которых пара (U Л,Р),Н) обладает соответствующими свойствами (для боль-* шшства встречающихся в приложениях пространств и систем эти требования выполняются).

Напомним здесь же. что целая функция <р называется лулътигии-наяорол пространства Е, если оператор умножения Т • х-*Тзхрх

т г

действует из Е в £; делтелел пространства Е является отличный от тождественного нуля мультипликатор К, для которого справедлива стандартная теорема деления: если хеВ я х/уеЖС), то х/уе.Е. Через Ж Ю обозначим совокупность всех мультипликаторов, а через ах Ю - всох делителей пространства Б.

Основной результат § 1.6 составляет

ТЕОРЕМА 1.6.3. Пуаяъ Eh и (ZU.P).U) - хестная >¡upi. Л« кого <шоба систела U Л,Р) Оыла сбссштю предствмеоирй а //, »шойтЭшо, чяюОы в U илелось обсошию с,гоЗяы(«еся нетривиальнее ¡хтлохччио tiyMt tíида

О - Z Г " Ros [fA-Xj./nXViWjeCX^.O. ií»l «й Х-Х^

«Je Lt'X) - прсивйольшш функция из Е, р, a 2YA.Í- некоторой сяиич-¡мй калх)?яхваннога мцля хултшшшвщ> просярсисива Е. se уа^оил ц í)o»»*5it04>w, ec^u Т(\) я&шгкея <5©.авзедед Н, а пара

д.-

•ас шеовиьпеикй юшссов цультиляккаторов и делите-

JJ

лей, как-следует косвенно из теоремы 1.6.3 (а точнее, из ее доказательства). и является причиной, по йлорой да ряда пространств не удается добиться эквивалентности утверждений (А) и (Б) даже для минимальных систем.

В К 1 С IZuwaJ tKUiin^nttfl „innmui/nin™ ТССРС^

i.5.3 (для пространств с совпадащнмл классами делителей и отличных от тождественного нуля мультипликаторов; с учетом условий, обеслечивандих стандартность и жесткость пары (£(Л,1'),Ю).

Заключительный параграф главы, § 1.7, содержит результаты, наиболее удобныз для приложений. В частности, доказывается критерий наличия в и абсолютно сходядогося нетривиального рязлоу.ешу! нуля по минимальной системе £( А,Р) и формулируется необходима и достаточны? условия, при которых такая система является абсолюте представляющей в И.

ТЕОРЕМА 1.7,1. Пусть L(\)e.\ р, ЩА,Р),Н)~ хеапиаа пара и j? )Н(*. Аля кого чягобы б И шилось аОсолишо «ао-

/Хяцоеся нетривиальное разложение нуля по системе нсоохо-

дило, члобы нашлась Оунюцич ?(\}еЛСЕД(0) ттая, няо

(М) 3 ГПТ»: | тг X Vi- г х; J ^ 0 [ye i Л. О.) у -1J. JA|=rn I new);

~ Ъ'1 г г л

fA2) ряд I Z Res Г( Х-Х. ) Я X) Д( А) е( X,.. I) сходится аО-k»i О.о * j v

солхтно по топологии И.

Зт усиоОшг и дошяючны, ьюли L не швея Оруеих нулей,

■сраж

ьлодствпо. Пусть выполнены условия яворелы 1.7.1. Если 6(Л,") -абсолхгтю предапавлшфя систет б Я, то найдется Зушадо ЯЛ)е-йГЕД{0>, удо&л^тборяюаоя (М) и ГА2).

"i' 3 О Р S U А 1.7.2. Пусть (Л.Р) - совокупность всох нулей

некоторой фунющи L(\) цз Ед р, (г(л,Р),й) - правильная пара, Если суь-ро'спфуст делитель пространства Е ТСК) викой, 'ото виполненн условия (М), (А2), по %(/\,?) является абсо-лхтю представляющей систолой в Н.

Поскольку функция К Л)si является делителем Е, из теоремы 1.7.2 получаем

Следствие. Пуалъ выполнены условия теорем 1.7.2. Если L(\) удовлетворяет условиям

(ai) з rn7w 11/Ш)Ьо[це(Х,0)Ц-1), |*|=rn (neW);

- Pk_1 г г •> ■. (п2) рыв вида Е 1 Res [fX-XjjyLfXJJeC A^f) сходится

абсолютна по топологии Н, то U Л, I') - абсолютно предствмшцпя система в Н.

Завершая обзор первой главы, заметим, что основные ее результаты в случае, когда рк=1 при любом кем, совпадают с соответствующими утверждениями, доказанными рьнее в работах Ю.Ф. Коробейника и А.В.Лбашша.

В главах 2 и 3 результаты, полученные в §§ 1.2-1.7, применяются к различным конкретным пространствам и кратным системам.

Пусть р> О, О - ограниченная р-выпдоая область в С с я~опор-ной функцией *( -О). И совпадает с ЙЗ) - пространством функций, аналитически в 0, роль и играет оператор обобщенного дифференци-

рошишя, порожденный функцией йиттаг-Леффлера Е( z) = £

* р к.о Г( 1 + к/р)

а Ч л. Р) приобретает вид $п(Л,Р):={—--z'e^íXz)) " Pfc~\

Среди работ, посвященных простым и кратным системам Миттаг-ЛоЗфлера. кешо выделить исследования А.Ф.Леонтьева. D.И.Мельника,

Чал За Лика, В.Х.Мусояна. Ю.Ф. Коробейника. А. В. Абаннна. При этом либо изучались нростыз системы, либо речь шла о разложения функций в ряды с коэффициентами, вычисляемыми по определенным фор>гу-лам. однако рассматривались не все функции, аналитические б в. а лишь те, которыз локально аналитишш на <5, Результату, получению для систем /е** } <>мн* гпро.^сппа

С . А. 24 оз р -1

И.С.йра?4йлен на случая 2е V (р=1); использованный

им технический аппарат дал возможность успешно преодолеть специфику краткого.случая, но существенно опирался на свойства экспонент. В главе 2 аналогичная задача решается дня систем 8рСЛ.Р) и

<5*( А. г)) Рк па основе результатов главы 1. На

р I р к -¡к»!, г=о

этом пути пришлось преодолеть значительны? трудности технического плана. не возникавшие ни для -кратных экспонент, т для простых систем Миттаг-Леффлера.

Б § 2.1 осуществляется проверка обших предположений 5 1,1 и доказывается критерия абсолютной сходимости в 1К 0) ряда, составленного по системе Л, Р).

Предложение 2.1.1. Пусть выполнена условии 1£п|АкГ',р1:1пГрк+1;= 0, (1)

Аня чого тоОы в Н(6) сходился абсолютна ряд

Г Г \

р к

кзобходхио, а если 11 п\\\'р1г!к-=0, то и дскжгяочно, <аюОы к-ко

Пя||АкГ'Чп( ^^шаг + ггат^^ * 0. (2)

Параграфы 2,2 и 2.3 представляют собой конкретизации основных утверждений главы 1 для Л.Р). Заметим, что роль Е играет