Кратные решения нелинейных эллиптических уравнений и систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Учреждение Российской академии наук Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

На правах рукописи

Лубышев Владимир Фёдорович

Кратные решения нелинейных эллиптических уравнений и систем

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

3 О ИЮН 2011

Москва - 2011

4851351

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН С. И. Похожаев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Жарипов доктор физико-математических наук, доцент М. О. Корпусов

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Защита состоится «20» октября 2011 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, расположенном по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан « 4 5 » 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Ю. Н. Дрожжинов

бщая характеристика работы

Актуальность темы. Теория нелинейных дифференциальных урав-ений является в настоящее время одной из наиболее активно разрабатывае-ых областей теории дифференциальных уравнений в частных производных, елинейные дифференциальные уравнения возникают в многочисленных за-ачах современных естественных, общественных и инженерных наук. Важ-гость исследования таких уравнений особенно велика в настоящее время, огда имеется абсолютная необходимость в моделировании и изучении провесов, происходящих в неоднородных активных средах, в условиях большого щапазона изменения температур, больших нагрузок и больших деформаций.

Число ежегодно публикуемых работ по нелинейным уравнениям велико, ричем это как сугубо теоретические работы, так и работы, отдающие пред-очтение приложениям, разработке численных методов решения нелинейных равнений и задач оптимального управления.

Теория нелинейных дифференциальных уравнения выработала доволь-о сильное симбиотическое отношение со многими областями математики, изики и других наук. С одной стороны, нелинейные уравнения моделируют ножество явлений, изучаемых в естественных науках (электромагнетизм, Iелинейные уравнения Максвелла) или общественных науках (финансовые ынки, нелинейная модель Блэка-Шоулза), обогащая теорию нелинейных равнений новыми задачами, а с другой - служат важным источником их азвития. В частности, с появлением пионерской работы Гаусса и Римана о ногообразиях, нелинейные дифференциальные уравнения в частных произ-одных были в центре многих важных развитий в геометрии1.

Одной из основных и наиболее сложных проблем современной теории

1 Например, они использовались при доказательствах гипотезы Пуанкаре и гипотезы Калаби. Дру-ой пример - задача Ямабе в дифференциальной геометрии.

нелинейных уравнений и систем является проблема существования у них кратных решений. Причем эта проблема имеет как большое теоретическое, так и большое прикладное значения.

Например, априорная информация о числе решений исследуемой нелинейной задачи играет огромную роль в процессе разработки и применения численных методов ее решения, ибо во-первых заранее не известно к какому именно решению будет сходиться (сходящийся) итерационный процесс, а во-вторых не все решения рассматриваемой нелинейной задачи могут иметь физическую, экономическую или какую-либо другую «целевую» интерпретацию, что важно иметь в виду при разработке соответствующих алгоритмов. Число решений нелинейных задач, описывающих процессы управления является также одной из основных проблем, встречающихся при разработке и исследовании математических моделей оптимизации для систем, описываемых нелинейными уравнениями математической физики (см., например, книгу Ж.-Л. Лионса2). С другой стороны, в физических моделях существование кратных решений рассматриваемых задач может говорить о том, что исходных предпосылок и наложенных условий не достаточно для того, чтобы однозначно определить и описать исследуемое явление. Наконец, знание о существовании кратных решений способствует лучшему пониманию природы изучаемого процесса или явления. Например, существование бесконечного множества геометрически различных и неограниченных по норме соответствующего функционального пространства решений уравнения Эмдена-Фау-лера можно трактовать как то, что мы живем в расширяющейся вселенной.

Существование и кратность решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных могут зависеть как от нелинейности рассматриваемой задачи, так и от топологии области, в которой она рассматривается. В настоящей диссертации основное внимание уделяется алгебраическо-

2 Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987.

у аспекту вопроса о кратности решений. Мы будем рассматривать нелиней-ые задачи, у которых нелинейности зависят от вещественного параметра А, предметом проводимых здесь исследований будет изучение существования ратных решений рассматриваемых нелинейных задач в зависимости от это-о параметра. Такие задачи часто моделируют важные процессы в механике, . изике и других науках3.

В диссертации рассматриваются нелинейные вариационные задачи, не ринадлежащие к классическому типу (так называемому коэрцитивному клас-у), к которому не применимы классические теоремы вариационного исчис-■ения.

Для задач, не являющихся коэрцитивными, на сегодняшний день наи-олее известны методы Люстерника-Шнирельмана4, теорема о горном пере-але5 (mountain pass theorem), метод зацепления6 (linking method) и теория орса7.

В 1979 г. С. И. Похожаевым8 впервые был предложен мощный метод лобального расслоения для некоэрцитивных вариационных задач, что от-

3 Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, Ed. by J. B. Keller, S. Antman. Courant Institute f Mathematical Sciences, 1967; Lions P. L. On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations / SIAM. 1982. Vol. 24. Pp. 441-467: Umezu K. Behavior and stability of positive solutions of nonlinear elliptic oundary value problems arising in population dynamics // Nonlinear Anal. 2002. Vol. 49. Pp. 817-840.

4 Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. Москва, 930; Цитланадзе Э. С. Теоремы существования точек минимакса в пространствах Банаха и их прило-ения // Тр. М. Матсм. о-ва. 1953. Т. 2. С. 235-274; Thews К. Nontrivial solutions of elliptic equations at

csonance // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 1980. Vol. 85. Pp. 119-129.

5 Ambrosetti A., Rabinowitz P. H. Dual variational methods in critical point theory and applications // . Functional Analysis. 1973. Vol. 14. Pp. 349-381.

6 Benci V. Some critical point theorems and applications // Comm. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 33. Pp. 47-172; Ni W.-M. Some minimax principles and their applications in nonlinear elliptic equations // J. Anal.

ath. 1980. Vol. 37. Pp. 248-275.

7 Morse M. The calculus of variations in the large. 1934; Smale S. Morse theory and nonlinear eneralization of of the Dirichlet problem // Ann. of Math. 1964. Vol. 80. Pp. 382-396.

8 Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // ДАН СССР. 1979. Т. 247. С. 327-1331.

крыло возможности для исследования новых классов нелинейных функционалов и порождаемых ими нелинейных дифференциальных уравнений и систем в частных производных. Этот метод базируется на расслаивании исходного функционала J на несколько «автономных» функционалов, каждый из которых порождает свои критические точки. Причем, такой подход не требует, например, никаких условий невырожденности (как в теории Морса) и не требует линейности оператора (что играет огромную роль в применении методов Ляпунова-Шмидта).

Для многих вариационных задач доказательство существования более одного решения наталкивается на большие трудности. Иногда удается доказать существование двух решений, комбинируя классические и современные минимаксные методы вариационного исчисления. Доказательство же существования большего количества решений требует намного более тонких методов и рассуждений. Наряду с проблемой существования решений, представляет также большой интерес проблема отсутствия решений нелинейных задач. Этим вопросам посвящены главы 3-5 диссертации.

Другой важной проблемой нелинейных задач, зависящих от вещественных параметров, является явное описание их точек бифуркации. Несмотря на всю важность таких точек, в современной литературе по дифференциальным уравнениям данному вопросу не уделяется достаточного внимания и, по большому счету, либо эти точки «угадываются», либо только констатируется их существование. Проблеме явного вариационного описания точек бифуркации нелинейных задач, в частности, посвящена глава 2 диссертации.

В настоящей диссертации будут использоваться несколько методов. Основным же аппаратом у нас будет служить глобальный метод расслоения С. И. Похожаева, ибо он, как представляется автору, наиболее гармонично вписывается в контекст рассматриваемых задач и его использование видится наиболее прагматичным.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых результатов о существовании кратных решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем, а также о несуществовании решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, обоснованы строгими математически-и доказательствами и состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы о бифуркации решений нелинейной задачи Неймана со знаконеопределенной нелинейностью. Получены некоторые качественные свойства соответствующих решений. Найдена точка бифуркации в форме явного вариационного тождества.

2. Доказано существования двух/трех положительных решений нелинейных задач Дирихле для оператора р-лапласиана и выпукло-вогнутых нелинейностей. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной задачи Дирихле четного порядка. Доказано существование трех положительных решений нелинейной задачи Дирихле для оператора р-лапласиана.

3. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений для полигармонических операторов. Доказано отсутствие гладких положительных решений нелинейной гамильтоновой системы для полигармонических операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертация осит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в азличных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных про-зводных и ее приложениях в геометрии и математической физике. Они, в

частности, найдут свое применение в дальнейшем исследовании проблемы кратной разрешимости нелинейных задач и уточнении полученных результатов. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 53-й научной конференции МФТИ (2010), научном семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям РУДН (2010), научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики МИАН (2011), научном семинаре отдела математической физики МИАН (2011).

Методы исследования. В диссертации используются глобальный метод расслоения С. И. Похожаева, теорема о горном перевале Амбросетти-Рабиновица, метод тождеств Реллиха, теоремы о бифуркации Амбросетти-Рабиновица, метод продолженного функционала Я. Ш. Ильясова, принцип сравнения и классические вариационные методы.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах [1-5], из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в Перечень ВАК (2 статьи в российских и 2 статьи в зарубежных журналах) и 1 тезис доклада.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, списка обозначений, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография включает 66 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана

практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные результаты.

В первой главе приводятся основные вспомогательные результаты, используемые в последующих главах диссертации, а именно две «версии» глобального метода расслоения С. И. Похожаева и лемма о горном перевале Амбросетти-Рабиновица.

Во второй главе исследуются положительные решения нелинейной, знаконеопределенной задачи Неймана

—А и — 0 вП,

|^ = А и + Цх)\и\р-2и надП,

где Г2 - гладкая, ограниченная область в К^, а А - вещественный параметр. Задача (1) исследуется при следующих предположениях:

НО) 2 < р < 2** при N ^ 3 и 2 < р < оо при N = 1,2. Н1) / е 0 < а < 1.

Н2) |/<0.

дП

Здесь обозначено

М приЛ^З,

2** :=

ЛГ-2

оо при N = 1,2. Как видно из условия (Н2), функция / может менять знак на дП.

Хорошо известно, что задачи типа (1) возникают во многих математических моделях прикладных наук. Более того, задача (1) также связана с адачами, возникающими в теории конформных преобразований римановой метрики.

В настоящей главе мы устанавливаем точный диапазон I тех параметров А, для которых рассматриваемая задача (1) имеет положительное решение,

доказываем, что Л* = sup I суть точка бифуркации задачи (1) и выводим некоторые свойства монотонности положительных решений задачи (1).

Отметим, что мы предлагаем явную минимаксную процедуру нахождения значения Л*. А именно, будет показано, что

г in Vu • Vv - ГЛО /ир-*у А := sup inf Jп ->эп J

u£MveN

J,

ЭП

UV

где

M := {«еС1(П)|и>0на П}

N :=

v € H\ü)

и>0и

v > О

дП

Основные результаты настоящей главы представлены в нижеследующих теоремах -, в которых мы полагаем

F(u) :=

fW\p.

díl

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия (Н0)-(Н2). Если sup / > 0, то

д£1

справедливы следующие утверждения:

(а) 0 < Л* < оо.

(б) Для любого А € (О, Л*) задача (1) имеет такое полоокителъное решение и\, что F(u\) < 0. Задача (1) не имеет положительных решений ни при каком Л € (Л*, оо).

Если 2 < р < 2**, то справедливо следующее дополнительное утверждение:

(в) Существует такое Л € (0, Л*), что для любого A £ (—оо, Л) задача (1) имеет второе положительное решение w\, которое удовлетворяет неравенству F(w\) > 0.

Чтобы сформулировать более точный результат (в дополнительных предположениях), нам понадобится линеаризованная задача для задачи (1):

—Ди = 0 в(],

а (2)

<^- = \*v + (p- 1 )f{x)u*p'2v на дй, где (Л*, и*) - положительное решение задачи (1).

Теорема 2.1.2. Предположим, в дополнение к условиям теоремы 2.1.1, что f Ф 0 п. в. Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) 0 < Л* < оо.

(б) Для любого A G (0, Л*] задача (1) имеет такое положительное решение и\, что F(u\) < 0. Задача (1) не имеет положительного решения ни при каком A G (Л*, оо).

(в) Положим и* := и\*, тогда линеаризованная задача (2) имеет положительное решение V*. Все положительные решения исходной задачи (1) около (Х*,и*) образуют кривую из класса С1 ((—e,e),R х С2(П)), е > 0, такую, что

(A (s), «(s)) = (Л (s), и* + sv* + h(s)), J v*h{s)dx = 0.

я

Эта кривая обладает следующими свойствами: А(0) = А*, А'(0) = 0и /i(0) = h'{0) = 0.

Если 2 < р < 2**, то справедливо следующее дополнительное утверждение:

(г) Задача (1) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда А € (—оо, А*]. Более того, существует такое Л € (0, А*), что для любого А € (—оо, Л) задача (1) имеет второе положительное решение w\, которое удовлетворяет неравенству F{w\) > 0.

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия (Н0)-(Н1). Если f ^ 0 и / ф О, то справедливы следующие утверждения:

(а) 0 < Л* ^ оо. Причем Л* = оо при / < 0 п.в. и 0 < Л* < оо при f = О на некотором непустом, открытом, гладком куске dfl.

(б) Задача (1) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда Л € (О, Л*). Для таких X, задача (1) имеет в точности одно положительное решение, и\. Отображение А и\ возрастающее и обладает следующими свойствами:

limuA = 0, lim |K||L2(an) = оо. (3)

Лфи Аул

Более того, если Л* = оо, то второе равенство в (3) может быть заменено на более сильное:

lim U\ = оо.

AfA'

В третьей главе исследуется существование и кратность положительных решений нелинейной задачи Дирихле для р-лапласиана с нелинейностью, включающей выпуклый и вогнутый члены.

Пусть Q с - ограниченная область с гладкой границей. Мы исследуем существование кратных положительных решений нелинейной задачи Дирихле

-Ари = Aa(:r)Ha-2u + b{x)\u\ß~2u в Q,

(4)

и = 0 на 9Q,

где А - положительный числовой параметр.

Для задачи (4) предполагаются выполненными следующие предположения.

(НО) 1 < а < р < ß < р*;

(Н1) а,ъе

(Н2) а+ ф 0;

(НЗ) | Ьр^ > 0, где </5^0- решение задачи максимизации п

А* := тах <

м

V е

|Уи|р = 1

В условиях выше

Р •=

если р < ЛГ;

ЛГ-р>

оо, если р^ N

обозначает критический показатель Соболева, а а+ тах(а, 0). Нас также будет интересовать условие

Н4) М0< Ми где

Мп := тах

а\у\

V е

|Уг;|р = 1 и = 0

М\ := тах

а«

V е

|Уи|р = 1 и

Ь\у\р ^ О

Так как а, Ь £ решения задачи (4) суть в точности критические

точки непрерывно-дифференцируемого на функционала

ЗД = -

Р

|Уи|р - -

а

а\и\а - -В(и),

где

В(и) :--

Ъ\и\Р.

п

Основные результаты настоящей главы заключены в следующих двух теоремах.

Теорема 3.1.1. Если выполнены условия (НО)-(НЗ), то существует такое число А* > 0, что для всех А € (О, Л*) задача (4) имеет два положительных решения щ,и2 £ {В > 0}, удовлетворяющих неравенствам

Л (иг) < 0 < ^{щ).

Теорема 3.1.2. Если выполнены условия (Н0)-(Н4), то существует такое число А* > 0, что для всех А £ (О, А*) задача (4) имеет три положительных решения щ, и2 € {В > 0} и гг3 £ {В < 0}, удовлетворяющих неравенствам

В четвертой главе исследуется существование кратных решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем высокого порядка, содержащих выпукло-вогнутые нелинейности.

Пусть О, - гладкая ограниченная область в а А - вещественный параметр. Нас интересуют следующие вопросы: а) кратность решений нелинейной задачи Дирихле

тах(«/Л(и2), J\{щ)) < 0 < ЛЫ-

А1ти = Аа(а;)|и|а_2и + Ь{х)\и\р~\ в П, £>7и = 0 (V Ы < 2т - 1) на да

(Ра)

где

А1ти := Дт (|Дти|р_2Дти), т € И; б) кратность решений нелинейной гамильтоновой системы

(-А)ти = Нг-2и

(~А)ть = А а(х)\и\а-2и + Ъ(х)\и\?-2и

в П, в П, на 9П,

(Эд)

где

ВтЧ> := (у, Ду, • ■ ■, Ат~1ф). 14

в) отсутствие положительных решений системы (Яд).

По отношению к задаче (Рд) предполагаются выполненными следующие условия:

НО) а,Ье

Н1) а, Ь > 0 п.в. в П;

Н2) 1 < а < р < /3 < р*(2т),

где

р*(з) :=

( р!V N -рз

оо

при рв < при рэ ^ N.

Мы называем измеримую функцию и: О, Л решением задачи (Рд) если она принадлежит к соболевскому пространству и для всех

(р 6 И^д т'р(С1) удовлетворяет равенству

\Ати\р~2АтиАт1р =

где

/А(х,и) := Ла(х)|и|™-2и + Ь(х)|и|;3-2и.

В отношение гамильтоновой системы (Эд) нас интересуют сильные решения, которые принадлежат к пространству (П) х (Г2), где

И^'(П) :={ие \У2т>3(П) | Вты = 0 на ЭП}

иг' — Г/{Г — 1), /3' = /ЗД/9 — 1).

Для ее исследования мы будем использовать аналоги предположений (Н0)-(Н2):

(ЭО) а, ь €

(81) а,Ь > 0 п.в. в П;

(Э2) 1<а<г'<^и- + 4>1-^. у г р N

Решения задачи (Рд) суть в точности критические точки ее функционала

энергии Л € С\1¥%т>р(П)):

1

= -Р J

|Дти|р - -а

а|иг - ^

Ъ\и\Р.

Основные результаты этой главы таковы.

Теорема 4.1.1. Пусть выполнены условия (Н0)-(Н2). Тогда найдется такое X* > 0, что для любого А 6 (О, А*) существуют две последовательности (ип) и (гип) различных решений задачи (Рд) такие, что

3\{ит) < 0 < 7д(гоп) для всех т,п & N.

Теорема 4.1.2. Пусть выполнены условия (80)-(82). Тогда найдется такое X* > 0, что для любого А £ (О, А*) система (Эд) имеет бесконечно много различных сильных решений в 1Удт'Г (О) х И^д™"5 (Г!).

Теорема 4.1.3. Пусть а,Ь ~ положительные числа и предположим, что 1 < г, а, /3 < оо удовлетворяют

1 1 < 1 2т

г тш(а, /3) ^ N '

Тогда если П - звездная относительно 0 область, то система (вд), не имеет положительных решений (и, и) в С2т(0) ни при каком А > 0.

В пятой главе исследуется существование кратных положительных решений нелинейной задачи Дирихле

—Ари = А (\и\а~2и - |ир-2и) + \и\0~2и в П,

и = 0 на дО.,

где П - гладкая ограниченная область в Г?/^, а Л - вещественный параметр. Данная задача изучается при единственном условии:

НО) 1<а<р</3<7<р*.

Заметим, что решения задачи (5) суть в точности критические точки функционала энергии

Чи) = -Р

|Vu|p - -

а

hSj

о

7

Сформулируем основной результат этой главы.

Теорема 5.1.1. Существует такое X* > 0, что для любого X G (О, Л*) задача (5) умеет три слабых положительных решения щ, щ, щ £ С1;/'(Г2) (для некоторого 0 < р, < 1), удовлетворяющих неравенствам

max(JA(«i), Л(«з)) < 0 < J\(m)-

В Заключении резюмируются полученные в диссертации основные результаты.

Я искренне признателен моему научному руководителю - член-корреспонденту РАН Станиславу Ивановичу Похожаеву за плодотворные обсуждения и ценные замечания, полученные в процессе выполнения диссертации.

Публикации по теме диссертации

1. Lubyshev V. Precise range of the existence of positive solutions of a nonlinear, indefinite in sign Neumann problem // Commun. Pure Appl. Anal. 2009. Vol. 8. Pp. 999-1018.

2. Лубышев В. Ф. Кратные положительные решения эллиптического уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью, содержащей знакопеременный член // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 167-180.

3. Лубышев В. Ф. Кратная разрешимость нелинейных уравнений и систем // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» / МФТИ. Часть VII. Управление и прикладная математика. Т. 1. Москва - Долгопрудный: 2010. С. 24-26.

4. Lubyshev V. F. Multiple solutions of an even-order nonlinear problem with convex-concave nonlinearity // Nonlinear Anal. 2011. Vol. 74. Pp. 1345-1354.

5. Лубышев В. Ф. Кратная разрешимость нелинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Мат. заметки. 2011. Vol. 89. Р. 260-271.

Введение

Обзор литературы.

Список обозначений.

Глава 1. Основные определения и вспомогательные результаты

Глава 2. Нелинейные задачи Неймана

2.1. Постановка задачи и результаты.

2.2. Предварительные сведения.

2.3. Некоторые свойства решений рассматриваемой задачи.

2.4. Некоторые свойства Л*.

2.5. Доказательство основных результатов

2.6. Дополнение.

Глава 3. Кратные решения эллиптических уравнений для оператора р-лапласиана с выпукло-вогнутой нелинейностью

3.1. Постановка задачи и результаты.

3.2. Задача минимизации I

3.3. Задача минимизации II.

3.4. Задача минимизации III

3.5. Доказательство основных результатов

Глава 4. Кратные решения нелинейных уравнений и систем высокого порядка.

4.1. Постановка задачи и результаты.

4.2. Вспомогательные утверждения.

Случай отрицательной энергии . . . Случай положительной энергии . . . Доказательство основных результатов

Глава 5. Три положительных решения одной нелинейной задачи Дирихле.

5.1. Постановка задачи и результаты.

5.2. Вспомогательные утверждения.

5.3. Задача минимизации I

5.4. Задача минимизации II.

5.5. Задача минимизации III

5.6. Доказательство основных результатов

Актуальность работы. Теория нелинейных дифференциальных уравнений является в настоящее время одной из наиболее активно разрабатываемых областей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Нелинейные дифференциальные уравнения возникают в многочисленных задачах современных естественных, общественных и инженерных наук. Важность исследования таких уравнений особенно велика в настоящее время, когда имеется абсолютная необходимость в моделировании и изучении процессов, происходящих в неоднородных активных средах, в условиях большого диапазона изменения температур, больших нагрузок и больших деформаций.

Число ежегодно публикуемых работ по нелинейным уравнениям велико. Причем это как сугубо теоретические работы, так и работы, отдающие предпочтение приложениям, разработке численных методов решения нелинейных уравнений и задач оптимального управления.

Теория нелинейных дифференциальных уравнения выработала довольно сильное симбиотическое отношение со многими областями математики, физики и других наук. С одной стороны, нелинейные уравнения моделируют множество явлений, изучаемых в естественных науках (электромагнетизм, нелинейные уравнения Максвелла) или общественных науках (финансовые рынки, нелинейная модель Блэка-Шоулза), обогащая теорию нелинейных уравнений новыми задачами, а с другой - служат важным источником их развития. В частности, с появлением пионерской работы Гаусса и Римана о многообразиях, нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных были в центре многих важных развитий в геометрии1.

Одной из основных и наиболее сложных проблем современной теории

1 Например, они использовались при доказательствах гипотезы Пуанкаре и гипотезы Калаби. Другой пример — задача Ямабе в дифференциальной геометрии. нелинейных уравнений и систем является проблема существования у них кратных решений. Причем эта проблема имеет как большое теоретическое, так и большое прикладное значения.

Например, априорная информация о числе решений исследуемой нелинейной задачи играет огромную роль в процессе разработки и применения численных методов ее решения, ибо во-первых заранее не известно к какому именно решению будет сходиться (сходящийся) итерационный процесс, а во-вторых не все решения рассматриваемой нелинейной задачи могут иметь физическую, экономическую или какую-либо другую «целевую» интерпретацию, что важно иметь в виду при разработке соответствующих алгоритмов. Число решений нелинейных задач, описывающих процессы управления является также одной из основных проблем, встречающихся при разработке и исследовании математических моделей-оптимизации для систем, описываемых нелинейными уравнениями математической физики (см., например, книгу Ж.-Л. Лионса [11]). С другой стороны, в физических моделях существование кратных решений рассматриваемых задач может говорить о том, что исходных предпосылок и наложенных условий не достаточно для того, чтобы однозначно определить и описать исследуемое явление. Наконец, знание о существовании кратных решений способствует лучшему пониманию природы изучаемого процесса или явления. Например, существование бесконечного множества геометрически различных и неограниченных по норме соответствующего функционального пространства решений уравнения Эмдена-Фау-лера можно трактовать как то, что мы живем в расширяющейся вселенной.

Существование и кратность решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных могут зависеть как от нелинейности рассматриваемой задачи, так и от топологии области, в которой она рассматривается. В настоящей диссертации основное внимание уделяется алгебраическому аспекту вопроса о кратности решений. Мы будем рассматривать нелинейные задачи, у которых нелинейности зависят от вещественного параметра Л, а предметом проводимых здесь исследований будет изучение существования кратных решений рассматриваемых нелинейных задач в зависимости от этого параметра. Такие задачи часто моделируют важные процессы в механике, физике и других науках (см., например, [26, 46, 64]).

В диссертации рассматриваются нелинейные вариационные задачи, не принадлежащие к классическому типу (так называемому коэрцитивному классу), к которому не применимы классические теоремы вариационного исчисления.

Для задач, не являющихся коэрцитивными, на сегодняшний день наиболее известны методы Люстерника-Шнирельмана [2, 6, 62], теорема о горном перевале (mountain pass theorem) [21], метод зацепления (linking method) [25, 50] и теория Морса [48, 53, 54, 57].

В 1979 г. в работе [10] С. И. Похожаевым впервые был предложен мощный метод глобального расслоения для некоэрцитивных вариационных задач, что открыло возможности для исследования новых классов нелинейных функционалов и порождаемых ими нелинейных дифференциальных уравне- -ний и систем в частных производных. Этот метод базируется на расслаивании исходного функционала J на несколько «автономных» функционалов, каждый из которых порождает свои критические точки. Причем, такой подход не требует, например, никаких условий невырожденности (как в теории Морса) и не требует линейности оператора (что играет огромную роль в применении методов Ляпунова-Шмидта). Метод глобального расслоения нашел свое дальнейшее развитие в работах [12-16].

С этими и некоторыми другими методами исследования нелинейных задач можно ознакомиться по работам [1, 3, 4, 7-9, 30, 59].

Для многих вариационных задач доказательство существования более одного решения наталкивается на большие трудности. Иногда удается доказать существование двух решений, комбинируя классические и современные минимаксные методы вариационного исчисления. Доказательство же существования большего количества решений требует намного более тонких методов и рассуждений. Наряду с проблемой существования решений, представляет также большой интерес проблема отсутствия решений нелинейных задач. Этим вопросам посвящены главы 3-5.

Другой важной проблемой нелинейных задач, зависящих от вещественных параметров, является явное описание их точек бифуркации. Несмотря на всю важность таких точек, в современной литературе по дифференциальным уравнениям данному вопросу не уделяется достаточного внимания и, по большому счету, либо эти точки «угадываются», либо только констатируется их существование. Проблеме явного вариационного описания точек бифуркации нелинейных задач, в частности, посвящена глава 2 диссертации.

В настоящей диссертации будут использоваться несколько методов. Основным же аппаратом у нас будет служить глобальный метод расслоения С. И. Похожаева, ибо он, как представляется автору, наиболее гармонично вписывается в контекст рассматриваемых задач и его использование видится наиболее прагматичным.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых результатов о существовании кратных решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем, а также о несуществовании решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Настоящая диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике. Они, в частности, найдут свое применение в дальнейшем исследовании проблемы кратной разрешимости нелинейных задач и уточнении полученных результатов. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Доказаны теоремы о бифуркации решений нелинейной задачи Неймана со знаконеопределенной нелинейностью. Получены некоторые качественные свойства соответствующих решений. Найдена точка бифуркации в форме явного вариационного тождества.

2. Доказано существования двух/трех положительных решений нелинейных задач Дирихле для оператора р-лапласиана и выпукло-вогнутых нелинейностей. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной задачи Дирихле четного порядка. Доказано существование трех положительных решений нелинейной задачи Дирихле для оператора р-лапласиана.

3. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений для полигармонических операторов. Доказано отсутствие гладких положительных решений нелинейной гамильтоновой системы для полигармонических операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на

• 53-й научной конференции МФТИ (2010);

• научном семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям РУДН (2010);

• научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики МИАН (2011);

• научном семинаре отдела математической физики МИАН (2011).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах [А1, А2, АЗ, А4, А5] , из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в Перечень ВАК (2 статьи в российских и 2 статьи в зарубежных журналах) и 1 тезис доклада.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, списка обозначений, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография включает 66 наименований.

Заключение

В заключение, подведем итог по полученным в настоящей диссертации результатам. Итак, в диссертации:

1. Доказаны теоремы о бифуркации решений нелинейной задачи Неймана со знаконеопределенной нелинейностью. Получены некоторые качественные свойства соответствующих решений. Найдена точка бифуркации в форме явного вариационного тождества.

2. Доказано существования двух/трех положительных решений нелинейных задач Дирихле для оператора р-лапласиана и выпукло-вогнутых нелинейностей. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной задачи Дирихле четного порядка. Доказано существование трех положительных решений нелинейной задачи Дирихле для оператора р-лапласиана.

3. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений для полигармонических операторов. Доказано отсутствие гладких положительных решений нелинейной гамильтоновой системы для полигармонических операторов.

Я искренне признателен моему научному руководителю - член-корреспонденту РАН Станиславу Ивановичу Похожаеву за плодотворные обсуждения и ценные замечания, полученные в процессе выполнения диссертации.

1. Свешников А. Г., Алынин А. Б., Корпусов М. О. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.: Научный Мир, 2008.

2. Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных задачах. Москва, 1930.

3. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

4. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

6. Цитланадзе Э. С. Теоремы существования точек минимакса в пространствах Банаха и их приложения // Тр. М. Матем. о-ва. 1953. Т. 2. С. 235-274.

7. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М., 1956.

8. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., 1972.

9. Лионе Ж.-П. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

10. Похожаев С. И. Об одном подходе к нелинейным уравнениям // ДАН СССР. 1979. Т. 247. С. 1327-1331.

11. Лионе Ж.-JI. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987.

12. Похожаев С. И. Об одном конструктивном методе вариационного исчисления // ДАН СССР. 1988. Т. 298. С. 1330-1333.

13. Похожаев С. И. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач // Тр. МИАН СССР. 1990. Т. 192. С. 146-163.

14. Похожаев С. И. О методе глобального расслоения в нелинейных вариационных задачах // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. С. 286-334.

15. Ильясов Я. Ш. О процедуре проективного расслоения функционалов над банаховыми пространствами // Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 156-163.

16. Ильясов Я. Ш. Тождество Похожаева и метод расслоений // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. С. 1453-1459.

17. Ильясов Я. Ш. Исчисление бифуркаций методом продолженного функционала // Функц. анализ и его прил. 2007. Vol. 41. Р. 23-38.

18. Alama S., Pino М. Del. Solutions of elliptic equations with indefinite nonlin-earities via Morse theory and linking // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 1996. Vol. 13. Pp. 95-115.

19. Ambrosetti A., Azorero J. Garcia, Alonso I. Peral. Multiplicity results for some nonlinear elliptic equations //J. Funct. Anal. 1996. Vol. 137. P. 219-242.

20. Ambrosetti A., Brezis H., Cerami G. Combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems // J. Funct. Anal. 1996. Vol. 137. P. 219-242.

21. Ambrosetti A., Rabinowitz P. H. Dual variational methods in critical point theory and applications //J. Functional Analysis. 1973. Vol. 14. Pp. 349-381.

22. Aubin T. Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Grundlehern der amthematiscshen Wissenschaften, 1982.

23. Azorero J. Garcia, Alonso I. Peral. Some results about existence of a second positive solution in a quasilinear critical problem // Indiana Univ. Math. J. 1994. Vol. 43. P. 941-957.

24. Azorero J. Garcia, Manfredi J., Alonso I. Peral. Sobolev versus Holder local minimizers and global multiplicity for some quasilinear elliptic equations // Comm. Contemp. Math. 2000. Vol. 2. P. 385-404.

25. Benci V. Some critical point theorems and applications // Comm. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 33. Pp. 147-172.

26. Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, Ed. by J. B! Keller, S. Antman. Courant Institute of Mathematical Sciences, 1967.

27. Bozhkov Y., Mitidieri E. Existence of multiple solutions for quasilinear systems via fibering method //J. Differential Equations. 2003. Vol. 190. Pp. 239-267.

28. Bozhkov Y., Mitidieri E. Existence of Multiple Solutions for Quasilinear Equations via Fibering Method // Contributions to Nonlinear Analysis, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl. 2006. Vol. 66. Pp. 115-134.

29. Brezis H., Nirenberg L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm. Pure Appl. Math. 1983. Vol. 36. Pp. 437-477.

30. Chang K. C. Infinite dimensional Morse theory and multiple solution problems. Boston: Birkhàuser, 1993.

31. Cherrier P. Problèmes de Neumann non linéaires sur les variétés Riemanni-ennes // J. Func. Anal. 1984. Vol. 57. Pp. 154-206.

32. Chhetri M., Girg P. Existence and nonexistence of positive solutions for a class of superlinear semipositone systems // Nonlinear Anal. 2009. Vol. 71. Pp. 4984-4996.

33. Clément Ph., de Figueiredo D.G., Mitidieri E. Positive solutions of semilinear elliptic systems // Comm. Partial Differential Equations. 1992. Vol. 17. Pp. 923-940.

34. Crandall M. G., Rabinowitz P. H. Bifurcation from simple eigenvalues // J. Func. Anal. 1971. Vol. 8. Pp. 321-340.

35. Egnell H. Elliptic boundary value problems with singular coefficients and critical nonlinearities // Indiana Univ. Math. J. 1989. Vol. 38. P. 235-251.

36. Escobar J. F. Conformai deformation of a Riemannian metric to a scalar flat metric with constant mean curvature on the boundary // Ann. of Math. 1992. Vol. 136. Pp. 1-50.

37. Evans L. C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence, 1998.

38. Gongbaoa L., Guo Z. Multiple solutions for the p$zq-Laplacian problem with critical exponent // Acta Mathematica Scientia. 2009. Vol. 29. Pp. 903-918.100

39. Hulshof J., Mitidieri E., vanderVorst R. C. A. M. Strongly indefinite systems with critical Sobolev exponents // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. Vol. 350. Pp. 2349-2365.

40. Hulshof J., vanderVorst R. C. A. M. Differential systems with strongly indefinite variational structure // J. Funct. Anal. 1993. Vol. 114. Pp. 32-58.

41. Il'yasov Y. On nonlocal existence results for elliptic equations with convex-concave nonlinearities // Nonlinear Anal. 2005. Vol. 61. Pp. 211-236.

42. Kyritsi S. T., Papageorgiou N. S. Pairs of positive solutions of p-Laplacian equations with combined nonlinearities // Comm. Pure and Applied Analysis. 2010. Vol. 8. Pp. 1031-1051.

43. Li S. J., Wu S., Zhou H. S. Solutions to semilinear elliptic problems with combined nonlinearities //J. Differential Equations. 2002. Vol. 185. P. 200-224.

44. Lions P. L. On the existence of positive solutions of semilinear elliptic equations // SIAM. 1982. Vol. 24. Pp. 441-467.

45. Mitidieri E. A Rellich type identity and applications // Comm. Partial Differential Equations. 1993. Vol. 18. P. 125-151.

46. Morse M. The calculus of variations in the large. 1934.

47. Multiplicity of positive solutions for some quasilinear Dirichlet problems on bounded domains in Rn // Commentationes Mathematicae Universitatis Car-olinae. 2003. Vol. 44. Pp. 645-658.

48. Ni W.-M. Some minimax principles and their applications in nonlinear elliptic equations // J. Anal. Math. 1980. Vol. 37. Pp. 248-275.

49. Ni W.-M. On the elliptic equation Au + K(x)u(n+2V= 0, its generalizations, and applications in geometry // Indiana Univ. Math. J. 1982. Vol. 31. Pp. 493-529.

50. Ouyang T. On the positive solutions of semilinear equations Au-\-\u+hup = 0 on compact manifolds. Part II // Indiana Univ. Math. J. 1991. Vol. 40. Pp. 1083-1141.

51. Palais R. S. Morse theory on Hilbert manifolds // Topology. 1963. Vol. 2. Pp. 299-340.

52. Palais R. S. Lusternik, Schnirelman theory on Banach manifolds // Topology. 1966. Vol. 5. Pp. 115-132.

53. Pohozaev S. I. Handbook of Differential Equations. Stationary Partial Differential Equations // Ed. by M. Chipot. Amsterdam: Elsevier, 2008. Vol. 5. Pp. 49-209. Nonlinear variational problems via the fibering method.

54. Salvatore A. Multiple solutions for elliptic systems with nonlinearities of arbitrary growth // J. Differential Equations. 2008. Vol. 244. Pp. 2529-2544.

55. Smale S. Morse theory and nonlinear generalization of of the Dirichlet problem // Ann. of Math. 1964. Vol. 80. Pp. 382-396.

56. Srikanth P. N. Uniqueness of solutions of nonlinear Dirichlet problems // Differential Integral Equations. 1993. Vol. 6. Pp. 663-670.

57. Struwe M. Variational Methods. Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems. Springer Varlag, 1990.

58. Taira K. The Yamabe problem and nonlinear boundary value problems //J. Differential Equations. 1995. Vol. 122. Pp. 316-372.

59. Taylor M. Pseudodifferential Operators. Princeton Univ. Press, 1981.

60. Thews K. Nontrivial solutions of elliptic equations at resonance // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 1980. Vol. 85. Pp. 119-129.

61. Umezu K. Nonlinear elliptic boundary value problems suggested by fermentation // Nonlinear Differential Equations Appl. 2000. Vol. 7. Pp. 143-155.

62. Umezu K. Behavior and stability of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems arising in population dynamics // Nonlinear Anal. 2002. Vol. 49. Pp. 817-840.

63. Zhang L. Uniqueness of positive solutions of Au + u + uP = 0 in a ball // Comm. Partial Differential Equations. 1992. Vol. 17. Pp. 1141-1164.

64. Zhang L. Prescribing curvatures on three dimensional riemannian manifolds with boundaries // Trans. Amer. Math. Soc. 2009. Vol. 361. Pp. 3463-3481.

65. Публикации по теме диссертации

66. Al. Lubyshev V. Precise range of the existence of positive solutions of a nonlinear, indefinite in sign Neumann problem // Commun. Pure Appl. Anal. 2009. Vol. 8. Pp. 999-1018.

67. A2. Лубышев В. Ф. Кратные положительные решения эллиптического уравнения с выпукло-вогнутой нелинейностью, содержащей знакопеременный член // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 167-180.

68. А4. Lubyshev V. F. Multiple solutions of an even-order nonlinear problem with convex-concave nonlinearity // Nonlinear Anal. 2011. Vol. 74. Pp. 1345-1354.

69. A5. Лубышев В. Ф. Кратная разрешимость нелинейных эллиптических уравнений высокого порядка // Мат. заметки. 2011. Vol. 89. Р. 260-271.