Критерий эволюционности пересоединяющего токового слоя тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

РГ6 од

На правах рукописи УДК 523.94

МАРКОВСКИЙ Сергей Алексеевич

КРИТЕРИЙ ЭВОЛЮЦИОННОСТИ ПЕРЕСОЕДИНЯЮЩЕГО ТОКОВОГО СЛОЯ

01.04.02. - Теоретическая физика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в Московской физико-технической институте.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Б.В. Сомов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

A.C. Кингсеп,

кандидат физико-математических наук

B.C. Титов.

Ведущее учреждение: Московский инженерно-физический институт.

Защита диссертации состоится " / " !Л4л) Р^к 1994 Г-в ¿О час. С С мил. на заседании Специализированного

корпуса МФТИ, по адресу 141700 г. Долгопрудный Московской обл. (Проезд с Савеловского вокзала до станции "Новодачная* или "Долгопрудная).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан 1994 г.

Ученый секретарь-Специализированного совета кандидат физико-математических паук

С.М. Коршунов

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Многие нестационарные явления в космической и лабораторной плазме происходят в результате дере-соедиения магнитных силовых линий. К этим явлениям относятся солнечные вспышки, магнитосферные бури, неустойчивости срыва в токамаках. В диссертации процесс пересоединения рассматривается в приближении магнитой гидродинамики и высокой проводимости среды. Такое приближение обычно используется для описания вспышек на Солнце.

Условием для возникновения магнитного пересоединения является наличие нулевой точки магнитного поля, в которой электрическое поле отлично от нуля. В окрестности указанной точки, нарушается условие вмороженности, поэтому здесь непрерывное движение идеально проводящей среды невозможно. В окрестности этой точки должен образоваться пересоединяющий токовый слой - разрыв, разделяющий магнитные поля противоположного направления.

Течение среды в окрестности нулевой точки магнитного поля исследовалось в численных экспериментах. При атом помимо токового слоя наблюдались две медленные магшггозвуковые ударные волны, присоединенные к каждому из его концов. Таким образом, численные эксперименты показывают, что слой может расщепляться иа другие разрывы.

Расщепление токового слоя на ударные волны означает переход от одного режима магнитного пересоёдинения, с одномерным распределением электрического тока, к другому, при котором это распределение становится двумерным. Оба режима подробно изучались как при помощи теоретических подходов, так и в численных экспериментах. Однако, вопрос о возможной причине расщепления и условиях, при которых оно происходит, остается .откры-

тым. Такой причиной может быть неэволюционность токового слоя как разрыва.

Разрыв называется эволюционным, если задача о его бесконечно малом возмущении имеет единственное решение. Для этого необходимо, чтобы амплитуды расходящихся от разрыва линейных волн, возникающих при его бесконечно малом возмущении, однозначно определялись из граничных условий на поверхности разрыва.

Неэволюционный разрыв не может существовать в реальной среде, он подвержен неустойчивости двух типов: расщеплению на эволюционные разрывы и самопроизвольному излучению волн малой амплитуды.

Критерий аволюционности широко используется для исследования различных МГЛ-течений, содержащих одномерные разрывы. В частности, для ионизирующих ударных волн и в задаче об обтекании тел.

В настоящей работе критерий эволющюнпости применяется к пересоединяющему токовому слою. Токовый слой при конечной проводимости не сводится к одомерному разрыву, так как неоднородность скорости внутри него двумерна, и характеризуется двумя масштабами. Толщина слоя, т.е. расстояние между пересоединяющимися магнитными потоками, определяет скорость диссипации магнитного поля в нем, а ширина - запас магнитной энергии в области взаимодействия потоков.

В диссертации получены условия, при которых в среде достаточно высокой проводимости токовый слой взаимодействует с малыми возмущениями как одномерный разрыв, и решен вопрос о его эволюционности относительно этих возмущений. Пели работы формулируются следующим образом.

1. Выяснение условий, при которых пересоединяющий токовый

слой взаимодействует с бесконечно малыми возмущениями как одномерный разрыв.

2. Вывод линеаризованных граничных условий для малых возмущений на поверхности слоя.

3. Получение критерия эволюдионности токового слоя относительно таких возмущений.

4. Исследование возможности расщепления неэволюционного токового слоя на другие разрывы.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Впервые расщеплете токового слоя па другие разрывы рассматривается как результат его неэволюшюнности.

2. Найдены условия, при которых слой можно считать разрывом по отношению к малым возмущениям.

3. Получен критерий его эволюдионности относительно таких возмущений.

4. Показано, что единственным типом одномерных разрывов, па которые может ращопляться слой, являются медленные маг-питозвуковые ударные волны.

Научная и практическая значимость работы. В диссертации сформулирована причина расщепления токового слоя на другие разрывы и найдены условия указанного расщепления. Это позволяет объединить два режима магнитного пересоединения в слое: с ударными волнами, присоединенными к его концам, и без них. Такая объединенная модель может быть использовала для описания явлений, возникающих в результате пересоединения магнитных силовых линий, в частности, солнечных вспышек.

Кроме того, получены уравнения для малых возмущений внутри слоя и вых ел сны граничные условия на его поверхности. Они

з

необходимы для дальнейшего исследования свойств течения среды в окрестности нулевых точек магнитного поля. Основные положения, выносимые ва защиту.

1. Получены условия, при которых токовый слой взаимодействует с бесконечно малыми возмущениями как одномерный разрыв.

2. Решены уравнения для бесконечно малых возмущений внутри и снаружи слоя.

3. Выведены линеаризованные граничные условия на токовом слое как поверхности разрыва.

4. Показано, что токовый слой является эполюциошгьш относительно возмущений, распространяющихся нормально к его поверхности.

5. Найдены скорости течения среды поперек токового слоя, при которых он является неэволюционным относительно наклонно распространяющихся возмущений.

6. Доказано, что если неэволюционный токовый слой расщепляется на одномерные разрывы, то ими являются медленные магнитозвуковые ударные волны.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4 научных статьях.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на семинарах теоротдела ФИ РАН и отдела физики Солнца ГАИШ. А также докладывались на VIII всесоюзном семинаре "Физика солнечной плазмы" (г. Ленинград, 30 октября - 4 ноября 1989 года), IX всесоюзном семинаре "Физика Солнца и космическая лектродинамика" (г. Львов, 2 -8 сентября 1990 года), X

всесоюзном семинаре "Солнечные вспышки" (г. Лудагао-на-Оке, 15 - 21 сентября 1991 года).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из пяти глав, изложена на 102 страницах, из них 6 рисунков. Библиография содержит 76 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования еволюцион-ности пересоединяющего токового слоя, а также научная и практическая значимость результатов такого исследования. Кратко описано современное состояние проблемы вволюциошзости разрывов. Обозначена цель работы и приведены ее основные положения, выносимые на защиту. Отмечена научная новизна этих положений. Изложено содержание диссертации и приведен список научных статей, в которых она опубликована. В первой главе вводится понятие эволющюппости и дается обзор основных результатов теории вволюционности одномерпых разрывов. В частности, приведены ограничения на скорость течения среды поперек ударной волны, вытекающие из требования эволюшюнностк. Эти ограничения сводятся к тому, что в реальной среде могут существовать только быстрые и медленные ударные волны. Для них нормальная составляющая скорости с обеих сторон поверхности разрыва больше или меньше альфвеновской скорости.

Кроме того, в этой главе обсуждаются свойства ударных волн включения и выключения, которые являются предельными случаями соответственно быстрых и медленных волн. Они занимают промежуточное положение между эволюционными и неэнолюци-овными разрывами. Вопрос об их вволюционности не может быть решен в рамках идеальной МГД и требует учета диссипации. В

б

результате волна выключения оказывается эволюционной, а волна включения - нет.

Во второй главе указаны условия формирования пересоедишпо-щего токового слоя. В этой главе, исходя из известпых свойств токового слоя, сделан ряд предположений, которые используются в дальнейшем. В частности, считается, что слой является установившимся, он возникает, если магнитная вязкость ит мала, по не обращается в ноль. Для такого слоя отношение толщины а (поперечного размера вдоль оси у) к ширине b (продольному размеру вдоль оси х) пе равно нулю. При атом в области прямого тока, т.е. совпадающего по направлению с электрическим полем, происходит втекание среды в слой, а в области обратного - вытекание параллельно оси у. Предполагается также, что плотности среды внутри и снаружи слоя сравнимы но порядку величины.

Кроме того, показано, что при достаточно большой проводимости характерные скорости течения среды вне слоя должны удовлетворять соотношению:

где - нормальная к слою составляющая скорости, V, - скорость звука, а У^ - альфвеновская скорость.

В заключение, во второй глазе обоснована возможность пренебрежения всеми диссипативпьши кинетическими коэффициентами, кроме ит.

В третьей главе в приближении ВКВ рассматриваются бесконечно малые возмущения вне токового слоя. Их частота и и волновой вектор к связаны дисперсионным уравнением:

Vе/ « у« « У/ ,

(1)

а>о [ifc2 У,2 (kVyi )2 -VfhJwoiiuo-^k*)-—ifc2 Уд w2 +wg( two ~vmk2)}= О,

где о>о = (ку). В этой главе вводится ограничение па частоту:

(3)

а "а

где и|| = и-кх vx . При условии (3) длина волны магнитозвуковых возмущений много больше толщины слоя, что дает возможность считать его разрывом. Это условие позволяет также найти ре-шешш уравнения (2) в аналитическом виде. Такие решения получены в пулевом приближешп! по малым параметрам, задаваемым неравенством (3). При этом исследовались случаи нормального с слою (кх = 0) и наклонного распространения. Показано, что в первом случае тлеются две волны, которые могут взаимодействовать с токовым слоем как с разрывом, т.е. для них ку 1/а. Если же кх ф 0 , то таких волны три, причем некоторые из них оказываются поверхностными. На основе выражений для волнового вектора выяснены условия возникновения поверхностных волп. А также произведена классификация всех волн на приходящие и уходящие, что необходимо для получения критерия эволюционности. В котще третьей главы аналитическое решение уравнения (3) проиллюстрировано известным ранее графическим решением. В четвертой главе изучаются бесконечно малые возмущения внутри токового слоя, которые соответствуют рассмотренным в третьей главе возмущениям снаружи него. Показано, что в прибли-жешш (3) в уравнениях для малых возмущепий можно пренебречь производными 8ух/дя, т.е. неоднородностью скорости вдоль поверхности слоя. Ввиду двумерного характера течения внутри слоя, вместе с величиной дух/дх необходимо пренебречь также дм у /8у. В этом случае малые возмущения внутри слоя описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Решения этих уравнений найдены в нулевом приближении по малым параметрам, задаваемым неравенством (3), для нормального и наклонного распространения возмущений. При кх ф 0 эти решения

записываются следующим образом:

Svy = гС0 / -И-*-+ С, (4)

где ртлр- давление и плотность среды. В подынтегральном выражении тильдой обозначены безразмерные функции, нормированные на свои значения вне слоя. Эти значения характеризуются индексом "ех" . Возмущения других безразмерных МГД-величин выражаются через 6v„. Размерная величина 6vy связана с 6vy формулой:

awi»

6v„ =-if«n + -rrz, (5)

* *

где £ - смещение токового слоя как целого.

Соотношение (4) дает два решения системы линеаризованных уравнений МГД внутри слоя. Остальные четыре решения, в силу неравенства (3), удовлетворяют приближению ВКБ, т.е. для них к.j 3> 1/а. Для таких возмущений на поверхности слоя пе могут выполняться граничные условия аналогичные тем, что справедливы на одномерных разрывах, поскольку величина возмущения существенно меняется на расстоянии порядка толщины слоя. В пятой главе установлено соответствие между возмущениями внутри и снаружи слоя. Показано, что волны с ку -С 1/а вне слоя в общем случео приводят к таким возмущениям внутри него, для которых к у 3> 1/а. Вместе с тем, доказано, что существует возмущение, для которого амплитуды мод с к у 1/а равны нулю и выполняются граничные условия на поверхности слоя. Эти граничные условия имеют вид

iw* (б)

4тг (6p+ -6p.) + btbBt - в; 6В; = о, (7)

4п(^У(к1-1)6р*+В±6В±=0. (8)

Первые два условия являются следствием свойств решения (4). Третье возникает благодаря тому, что рассматривается не произвольное! возмущение, а талое, что амплитуды мод с к ¡, 3> 1/а равны пулю. Таким образом, имеется пять уравнений для определения амплзгтуд расходящихся волн и смещения разрыва £ . Поэтому число уходящих от поверхности токового слоя волн должно равняться четырем.

Из анализа проведенного в третьей главе следует, что если среда втекает в слой (в области прямого тока), то уходящих волп всегда две: по одной с каждой стороны поверхности разрыва. В таком случае система (б) - (8) не имеет решения. Это, в частности, означает, что условие (8) не может быть выполнено. Поскольку (8) имеет место всегда, когда амплитуды волн с I/а равпы

нулю, то при втекании среды такие возмущения должны присутствовать внутри слоя. В результате граничные условия на его поверхности не выполняются и критерий эволюционности одномерных разрывов не применим.

Если же среда вытекает из слоя (в области обратного тока), то уходящих волны четыре. В этом случае система (6) - (8) имеет единственное решение. Вместе с тем, при определенных углах падения амплитуды расходящихся волн, которые определяются из уравнений (б) - (8) бесконечно велики по сравпеншо с падающей. Неограниченное возрастание коэффициентов отражения и преломления происходит, если волновые векторы уходящих воли совпадают. Исходя из свойств возмущений, рассмотренных в третьей главе, показало, что это возможно только тогда, когда скорость течения поперек слоя удовлетворяет неравенству

3 16 (У^У К '

В правой части этого неравенства стоит максимальная проекция групповой скорости медленной магпитозвуковой волны малой ам-

плитуды на нормаль к поверхности разрыва. При выполнении (9) токовый слой не является эволюционным, так как задача о его малом возмущении не имеет решения.

Наконец, в пятой главе доказано, что в результате расщепления неэволюпионного токового слоя на одномерные разрывы могут возникнуть только медленные махнитозвуковые волны, присоединенные к его концам.

В заключении перечислены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для достаточно большой проводимости среды найдено ограничение на частоту магнитозвукового возмущения, при котором, с одной стороны, его длина волны вне слоя много больше толщины последнего, а с другой стороны, внутри слоя оно описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

2. Показано,что этого недостаточно для того, чтобы возмущение взаимодействовало с токовым слоем как с разрывом, т.е. чтобы на его поверхности выполнялись одномерные граничные условия. Ввиду двумерного характера течения, внешнее возмущение с длиной волны много большей толщины слоя в общем случае приводит к таким возмущениям внутри него, для которых выполнено обратное неравенство. В связи с этим, для получения критерия эволюционностн необходимо исследовать решения линеаризованпых уравнений МГД внутри слоя.

3. Такое исследование позволяет сделать следующие выводы. Если среда вытекает из слоя (в области обратного тока), и скорость вытекания меньше максимальпой проекции групповой скорости медленной магнитозъуковой волпы на нормаль

к нему, то существует возмущение, которое удовлетворяет двум требованиям. Во-первых, для него справедливы одномерные граничные условия на поверхности слоя. И, во-вторых, амплитуды расходящихся волн, которые определяются из этих условий, бесконечно велики по сравнению с падающей. Таким образом, задача о бесконечно малом возмущении не имеет решения, и токовый слой не является эволюционным. В противном случае:' если скорость вытекания больше проекции групповой скорости медленной волны или среда втекает в слой (в области прямого тока), вывод о его неэволюготонности сделать нельзя. В этом случае либо не существуют граничные условия, либо задача о бесконечно малом возмущении слоя имеет единственное решение.

4. Из проведенного рассмотрения следует, что в отличие от тангенциального разрыва, наличие конечной проводимости не приводит к неэволюционности токового слоя. Лиссинатив-ные волны, которые возникают при ограниченной проводимости, либо затухают внутри слоя и не учитываются при решении вопроса об эволюшюнности, либо для них не выполняются граничные условия и критерий эволюционности одномерных разрывов неприменим.

5. Наконец, в работе доказано, что в результате расщепления неэволюционного токового слоя на одномерные разрывы возникают медленные магнитозвуковые ударные волны, присоединенные к его концам.

Материалы диссертации опубликованы в следующих статьях.

1. Марковский С.А., Сомов В.В. Некоторые свойства магнитного пересоединения в токовом слое с ударными волнами. В сб.: "Физика солнечной плазмы". М.: Наука, 1989. С. 45.

2. Власов В.И., Марковский С.А., Сомов Б.В. Об аналитической модели магнитного пересоединения в плазме. М., 1989. Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 06.01.89. №769-В89.

3. Марковский С.А., Сомов Б.В. Критерий вволюциопности для пересоединяющего токового слоя. //ЖЭТФ. 1993. Т. 104. С. 2736.

4. Марковский С.А. О расщеплении пересоедияяющего токового слоя. // Вестник МГУ. Серия физика и астрономия. 1994. Т. 35. К«2. (в печати).

Ротапринт МФТИ Ти РАЖ 100 ЭКЗ. Закаъ N 1/131