Простые волны и распад разрыва в упругопластической среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

БАЛАШОВ Дмитрий Борисович

ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И РАСПАД РАЗРЫВА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель—доктор физико-математических наук,

профессор Я. А. Каменярж

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. Б. Ефимов

кандидат физико-математических наук, доцент Б. В. Куксенко

Ведущая организация — Институт физики Земли РАН

Защита диссертации состоится«. » фе-й/зйчьъй!. 1993 г. в часов в ауд. 16—10 на заседании специализированного совета

Д 053.05.03 в МГУ им. М. В. Ломоносова (119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан

'» 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.03 МГУ, доцент

В. А. Мол и о в

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Интерес к динамическим задачам теории

настического течения основан на возможности применения их решений практических инженерных задачах ( отметим, например, сварку фывом, импульсную штамповку, подземный сильный взрыв, пробивание про! псание тел ). Изучение данных задач связано с рассмотрением роцессов динамического нагружения. Пэведение материалов в ходе аглх процессов сложно, для него пока не сформулированы зтализированные определяющие соотношения. Поэтому во многих иучдях для расчетов используются различные приближенные модели.

Одна из наиболее распространенных моделей - соотношения эории пластического течения . В рамках этой модели среда иисывавтся квазилинейной системой уравнений, однородных гносительно производных.

Для анизотропной упругопластической среды с упрочненной эответствуадая квазилинейная система гиперболическая, а ее арактеристические скорости с* перемежаются со скоростями аспространения упругих волн с*

Такая гиперболическая система уравнений допускает частные вшения. в которых все искомые величины могут быть представлены в иде функций одной из них. Эти решения наэываюгся простыми волнами ПВ ) или волнами Римана.

Решения типа ПВ обладают одной важной особенностью- их зучонио сводится к исследованию системы обыкновенных ,иф4оронциальных у^аьнений.

О 3 с" 5 с" * с" 5 с' » « х I

к

С 1 ]

Рошеннл типа ПВ могут быть использованы для построен v. решения рада важных задач, например, задачи о распад произвольного разрыва, а также для проверки алгоритмов числ9нно1 решения задач и сравнения с эксперементалышми данными.

Основные результаты по исследованию задач, в которы применяются пластические ПВ, содержатся в работах I. Манде л; Р. Хилла, С.С. Григоряна, В.К. Новацкого, Е. Блейха, Т. Тингг A.M. Скобеева, ЯА. Каменяржа.

Другая интересная особенность ГО - возможность образовали разрывов решения при эволюции гладких начальных данных, т.е. та называемое опрокидывание ПВ или градиентная катастрофа.

Для любой квазилинейной системы уравнений относительн неизвестных рассмотрим ПВ с параметром tí(x.t), т.о. решени! этой системы вида "t » иАе(х.\.)) . в плоскости х . в ; начальный момент времени зададим некоторый пробил

е(х, to) , такой что ¿>o(x,t.o)/я* < о и проследим при t > t( эволюцию этого профиля в ГО, распространяющейся, например, вправе Каждое Фиксированное значение в распространяется вправо с< скоростью с(е) , определяемой характеристическим уравнением. Есл) dс/ад > о , то с течением времени исходный профиль становится все круче и существует такой момент времени , при котором у криво} 0(x.t-*) появится вертикальная касательная. Говорят, что в момент te ПВ опрокидывается . В зависимости от знака величины úc/úí опрокидываются ПВ, в которых o(x,t) возрастает, или соответственно, убывает в направлении распространения волны.

Иначе обстоит дело с опрокидыванием ПВ в средах, которые описываются уравнениями теории пластического течения- Для таких сред кроме системы дифференциальных уравнений должно быть выполнено неравенство o\/»i z о ( ¿>x/¿n. - множитель из

гссоциированного закона о^уох. - ок/гмар/оби> , -

- пластические деформации. Функция р задает уравнение юверхности текучести ). Это неравенство накладывает ограничения ю изменение параметра ПВ 0(х.О и в ряде случаев приводит к гаму, что ПВ, удовлетворяющие эму, не опрокидываются.

Выделение таких случаев представляет интерес, поскольку при ггсутс-вии опрокидывания ПВ имеется ряд задач, которые можно гсследовать без рассмотрения каких-либо поверхностей разрыва, фоме упругих ударных волн и контактных разрывов.

Ранее было показано , что удовлетворяющие условию нагружения 1ластические ПВ системы уравнений Прандтля - Рейсса не опрокиды-заются. В связи с этим возникает вопрос: является ли отсутствие шрокидывания ПВ следствием выбора частного вида критерия текучести ( поверхности Мизеса ) или оно справедливо в более общем :лучае?

Отсутствие опрокидывания простых пластических волн системы сравнений Прандтля - Рейсса делает возможным построение решения ивтомодэльной задачи о косом ударе ( мгновенное приложение к траницэ нормальной и касательной нагрузок, остающихся в дальнейшем юстоянными ) по полупространству и задачи о распаде произвольтго разрыва в среде соответствующего типа при помощи только 1ласткчоских ПВ, упругих ударных волн и контактных разрывов.

Для уравнений Прандтля - Рейсса соответствующая система /равнений плоских ПВ в ряде случаев расщепляется ( так как не все щадящие в нее уравнения связаны друг с другом ) и допускает юэтому достаточно простое лсследование . Шесте с тем, во всех гредыдущих работах накладывались некоторые ограничения на характер ;вижвния среды, поэтому оставался открытым вопрос о том, можно ли гсследовать соответс .вующие ПВ без этих ограничений.

Определенный интерес представляет изучение эффектов связанной тврмопластичности. Как было показано ранее, учет этих эффектов приводит к появлению в пространстве напряжений двух областей, в одной из которых происходит опрокидывание ПВ, а для другой соотвстствующая система уравнений пластического течения неэволюционна. Хотя размер этих областей относительно размеров поверхности текучести мал С порядка 1 к диаметра поверхности текучести >, однако их наличие приводит к некоторым важным эффектам. Например, часть среды с напряжениями, принадлежащими области неэволюционности, можно трактовать как полосу сдвига, где происходит локализация деформация, т.е. начинается разрушение материала • Наличие области опрокидывания ПВ приводит к образованию поверхностей сильного разрыва.

В связи с этим возникает задача об исследовании проявления эффектов опрокидывания ПВ и неэволюционности уравнений для более широкого, чем было изучено ранее, класса термопластических сред.

Цель работы- Исследование эволюционности уравнений теории течения и опрокидывания плоских ПВ упруго-идеальнопластической и термопластической среды; исследование свойств решений в виде ПВ; разработка аналитических методов решения автомодельных задач о косом ударе по полупространству и распаде произвольного разрыва.

Научная новизна. В работе впервые устанавливается отсутствие опрокидывания ПВ для упруго-идоальнопластического тела с произвольной гладкой поверхностью текучести и линейной анизотропной упругостью.

Исследовано опрокидивание ПВ в теории связанной термопластичности с условием текучести Мизеса при изотропном упрочнении Найди на область напряженных состояний, для которых происходи опрокиды! 'ние ПВ.

Показано, что рошвнио системы уравнений плоских ПВ в изотропно упрочняющемся материала Прандтля - Рейсса в общем случае ( без предположения о виде Функции упрочнения и состоянии перед ПВ ) сводится к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка- В частном случае линейного упрочнения, а также при отсутствии упрочнения решение системы уравнений для плоских ПВ сводится к квадратурам.

В случае линейна упрочняющейся среды решена задача о косой ударе по полупространству, находящемуся в произвольном предвари-тально напряженном однородном состоянии, а также задача о распаде произвольного разрыва. Доказана теорема существования и единственности решения этих задач.

Предложен способ, позволяющий получить решение задачи о косой /даре, используя лишь три семейства плоских кривых, которые шределяются квадратурами. Найдена замена переменных, сводящая »адачу о распаде разрыва к системе пяти конечных уравнений, биение задачи о косом соударении полупространств, на имеющих фвдваритэлышх напряжений, получено в квадратурах.

Изучено влияние изотропного упрочнения и. термического разуп-ючнения на эволюционность уравнений, но учитывающих теплопровод-гости. Получена оценка критического модуля упрочнения, при котором оответствующая система уравнений становится неэволюционной.

• Практическая ценность. Излученные результаты создают основу островния решения различных динамических задач для пругопластичоскнх материалов, а также полезны при разработка ичислитольних методов pet ния прикладных задач.

Закономерности распространения пластических ПВ, изученные в аботе, могут быть использованы при постановка опытов с элинейными волнамч.

Апробация. Результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинаров Института механики МГУ, кафедр газовой и волновой динамики, теории пластичности и механики композитов механико-математического факультета МГУ, Института проблем механики РАН, кафедры математического моделирования Фиэико--механических процессов Московского института электронного машиностроения.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях

11-31.

Структура и обьем работы. Работа состоит из введения и четырех, глав ( глава 1 содержит 2 параграфа, глава г - э параграфа, глава з-з параграфа, глава 4 - з параграфа >, имеет в рисунков и библиографию из ог названий. Общий обьем работы - юа страницы.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

Во введении дается обзор литературы по динамическим задачам пластичности, а также кратко излагается содержание и формулируются основные результаты работы.

Пэрвая глава посвящена исследованию опрокидывания ПВ в упругопластической и термопластической среде, а также исследованию эволюционности системы уравнений связанной модели термопластичности.

Исследование опрокидывания производится на основании критери.

(<ЛсУс1в) ое/*х < о с 2 з

где t1 - параметр ПВ, с(е) - характеристическая скорость.

В исследуется опрокидывание ПВ в упруго-идеальноплас-

тичоской среде с произвольной гладкой поверхностью текучести р'((31- о . функция р , как обычно, предполагается выпуклой. Для упругих деформаций принимается закон • в1тбк1 .

Движение такой среды плоскими волнами, распространяющимися вдоль оси х а х* дэкартовой системы координат , рассматривается в рамках геометрически линейной теории. Соответствующая квазилинейная гиперболическая система уравнений имеет вид

С - компоненты скорости, р0 - плотность, г\ ) - вр'ой^ ): Ро--- ,

01, Лч

1/2

л* гы

—1 & , + -1 б ,

Лс Лх 11

в\ «»и "в., ■

_£!_ к + в _, я —» о

л ч • вх. ' ч ях.

Кроме того, течение пластической среды должно удовлетворять неравенству £ о ( условию нагружения ).

В §1 показано, что условие нагружения и критерий опрокидывания с г э в рассматриваемом случае - взаимно исключающие неравенства, поэтому пластические ПВ в среде рассматриваемого типа но опрокидываются.

Следует отметить, что отсутствие опрокидывания ПВ является слэдствлем выбора определенной модели среды. Так, например, для уравнений модели грунта опрокидывание ПВ возможно-

В §г показано, что к опрокидыванию ПВ приводят некоторые эффекты связанной термопластичности. Рассматривалась изотропно упрочняющяяся среда, учитывающая температурное расширение и термическое разупрочнение при следующих предположениях о свободной энергии , функции диссипации, поверхности текучести, ассоциированном с ней законе и параметре упрочнения:

— 1 СЗ —

" §(<Г* КЛ, - «(зх+гр)(т-то)<к - |(т-то>» - рл(т-то>

' " ко + ' ^^ • 135

а«* - ахб^ , ах г о , а* - .

Пэремещения и деформации считаются малыми, а процесс распространения волн - адиабатическим.

Пэказано, что если в состоянии перед простой волной реализуется напряженное состояние, для которого значение девиаторной компоненты напряжений б^ принадлежит некоторому интервалу ( -д. о > , то такая ПВ опрокидывается. При движении с одной компонентой скорости нормальной к Фронту волны, приводится простой пример опрокидывающейся ПВ.

В для среды, описываемой уравнениями < з э, проведено также исследование эволюционности. Изучено влияние, Тиэтороо оказывают на эволюционность слэдуюцие три эффекта: • тепловое расширение, упрочнение и термическое разупрочнение.

Получено неравенство - критерий эволюционности, выполнение которого эквивалентно наличию тс; лью действительных корней характеристического уравнения. Проанализировано выполнение этого

неравенства для класса сред в зависимости от значений материальных

«

постоянных. Шказано, что, если упрочнение нэ учитывается, то иывот место ноэволяцхонность. При этом и термнчоскоо разупрочнение и объемное расширение являйте я эффектами, ответственны«« за не эволюционность. Если упрочнение учитывается, то в зависимости от соотношений манду материальными постоянными осуществляется как эволюционность, так и неэволюционысс-.-ь. Получена оценке величины

фИТИЧЭСКОГО модуля упрочнения П * то) , при котором гачинает проявляться неэволхционность.

Показано, что теорема Манделл с 1 э о чередовании арактвристических скоростей со скоростями распространения упругих олн в случае термопластической среды неверна.

Исследование эволщионности представляет интерес, поскольку рнтические ( в смысле эволюционности ) значения материальных хх:тоялных соответствуют моделям сред, начинающим проявлять увстгятельность к локализации деформаций в полосы сдвига ействительно, бифуркация квазистатического решения ( локализация а Формаций ) происходит при тех же условиях, что и переход к еэволюционности.

Во второй главе рассматриваются плоские ПВ, распространяющи-ся в изотропно упрочняющейся среде Прандтля - Рейсса, поведение эторой описывается уравнениями

Й. -»V, . , ео.л. в\ а\

кк 1 а 1 V 1 , а

---ЗК -ж— , . - ♦ б. . ; -ж- 2 0 .

ох. вл ' IJ г^ ох. ох. IJ ' ох.

Ох ОХ

,6? . - Г(*> . -5Г- " -ЗГ- 2Г<*>

В §э и §4 для такой среды в общем случае ( без предположений виде начального напряженного состояния ) изучается система (ыкновенных дифференциальных уравнений плоских ПВ-

В случав изотропного упрочнения произвольного вида в жазано, что: 1) часть обыкновенных дифференциальных уравнений ПВ тно сразу проинтегрировать и найти пять первых интегралов >авнений ПВ; 2) с помощью этих интегралов одно из оставшихся ыкиовенных дифференциальных уравнений первого порядка отделяется остальных; 3) решение остальных уравнений сводится к вычислению

интегралов, зависящих от решения этого уравнения. Таким образом, изучение ПВ сводится к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

В случае линейного упрочнения ( * (*) - + Рх ) в определена комбинация переменных, которую целесообразно принять за параметр ПВ для того, чтобы одно из обыкновенных дифференциальных уравнений системы, описывающей ПВ. отделилось от остальных. После проведения найденной замены переменных оно интегрируется в квадратурах ( принимает вид уравнения Рикатти, частное решение которого известно >. С учетом этого удается проинтегрировать в квадратурах остальные уравнения ПВ.

В третьей главе с помощью результатов, полученных в §з - в, построено решение автомоде 'шных задач о косом ударе по предварительно напряженному полупространству к распаде произвольного разрыва.

В случае линейно упрочняющейся ( в частном случав неупрочнящейся > среды в §е рассмотрена задача о косом ударе по полупространству находящемуся в произвольном однородном напряженном состоянии. Эта задача решена' в наиболее общей постановке, именно, в отличие от предыдущих работ сняты все ограничения на вид начального напряженного состояния полупространства. Кроме того, получены следующие результаты: 1) показано, что решение задачи определяется двумя параметрами; 2> предложен способ, позволяющий, определить значения этих параметров, производя только элементарные преобразования ( растяжения и сдвиги ) над тремя семействами плоских кривых, которые определяются квадратурами; 3) показано, что множество всевозможных значений ударной нагрузки ( для Фиксированных значений начальных напряжений ) состоит четырех областей <\ ,

в каждой из которых реиання состоят из одной и той же последовательности волн, именно: в области о, - двух' упругих ударных волн; в области о, - упругих ударных и медленной пластической ПВ; в области с^ - упругих ударных, медленной и быстрой пластических ПВ; в области О, - упругих ударных и быстрой пластической ПВ.

В §7 рассматривается задача о распаде разрыва в упругопластической среде с критерием текучести Мизеса при линейном изотропном упрочнении. На контактной поверхности х = о предполагаются выполненными условия непрерывности вектора напряжения и скорости.

Предложена замена переменных, сводящая задачу о распаде разрыва к системе пяти топочных уравнений. Уравнения составляются с использованием найденных в - о закономерностей изменения скорости и напряжений в решении задачи о косом ударе по полупространству. В качество примера в рассмотрена задача о косом соударении полупространств, не имеющих предварительных напряжений. Решение задачи сводится к построению двух семейств однопарамэтричоских плоских кривых, которые определяются квадратурами.

В четвертой главе доказывается теорема существования и единственности решения задач о косом ударе и распаде разрыва в рассматриваемом классе Функций, т.е. когда решение может состоять лишь из упругих ударных волн, пластических ПВ и поверхности контактного разрыва, разделенных областями, в которых все параметры постоянны. В этом случае теорема единственности доказывается в §э на основании априорных оценок, аналогичных оценкам решений системы уравнений теории упругости-

В доказательство разрешимости задачи о распаде разрыва

1 »4

сводится к доказательству существования решения двух частных задач, именно, задачи о косом ударе по полупространству и задачи о распаде разрыва для случая, когда начальные напряжения полупространств х > о и х < о совпадают. Существование решения этих задач устанавливается в

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Балашов ДБ-, Камеи яр» Я А 0 простых волнах ъ упруго - идеаль-нопластической среде. ПММ, 1989. Т. 53. Вып. 4. С. 687 - 700.

2. Балашов ДБ. О простых волнах уравнений Прапдтля - Рейсса. ГОШ,

1992. Т.56. Вып. 1. С. 124 - 133.

3. Балашов ДБ. О распадг разрыва в линейно упрочняющейся упругопластической среде / Ин-т проблем механики РАН. М. 1992. 17 с. - ( Деп. в ВИНИТИ 19 октября 1992 г.. N 3007 - В921 ).

Подч:хсно в почат-. г.

-'Ор^.Х' саь 1/ГС. '.'¡I;'. ГиО.

Г.оскв™г'1:5о1:гаТ'1я"Г?"' .Г