Критерий сильной разрешимости задачи Трикоми и краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в пространствах Lp тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство на^кн -Академии наук Республики Казахстан 11нст1(Уут -(^дретнческой и прикладной математики

/ к {"'ЛП На правах рукописи

/ о УДК 517.956.6

Аймаханова Айзат Шалхаровна

Критерий сильной разрешимости задачи Трикоми и краевой задачи са смещением для уравнения Лаврентьева -Бицадзе в пространствах Lp

01.01.02-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНМЕ УРАВНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

А Л М АГАТА 1997 г.

Работа выполнена в Южно-Казахстанском Техническом Университете

Научные руководители член-корр.НАН РК. л.Ф.-м.н.. профессор

Кальменов Т.Ш., д.ф.-м.н. Садыбеков М.А. Официальные оппоненты Д.Ф.-М.Н.. профессор Абдрахманов М.А.

к.ф.-м.н.. доцент Джунисов А.Т.

Ведущая организация Казахский Государственный Национальный Универстиет имени Аль-Фараби

Защита состоится _на заседании

диссертационного совета Д.53.04.01 при институте теоретической и прикладной математики МН-АН РК по адресу : 480100, г. Алматы, ул. Пушкина 125

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ МН-АН РК Автореферат разослан "_" _ 1998 год

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.53.04.01, к.ф.-м.н.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ .Теория уравнений смешанного типа является одним из центральных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частным» производными . Интерес к этим вопросам объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов , так и их. многочисленными практическими приложениями в газовой динамике , теории бесконечно малых изгибаний поверхностей , в безмоментной теории оболочек и в других областях.

Впервые на важность изучения уравнений смешанного типа указал С.А. Чаплыгин в 1902 году в своей работе « О газовых струях « . После известных работ Ф.Трикоми [1], С.Геллерстедта систематическое изучение уравнений смешанного типа продолжалось в работах А.В.Бицадзе [2,4] , Лаврентьева [3],Ф.И.Франкля , К.И.БабенкО , М.Проттера , С.Моравец , Ю.М.Березанского , А.М.Нахушева [7-11], В.Н.Врагова [16], М.М.Смирнова [15], Ю.М.Крикунова [5,6], Т.Ш.Кальменова [18,20], Н.Г.Сорокиной [19], Е.И.Моисеева [17,21], С.М.Пономарева и других.

Проблемам теории краевых . задач для уравнений смешанного типа посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов . Достаточно полный обзор полученных результатов содержится в книгах :А.В.Бицадзе [2,12], М.М.Смирнова [15], М.С.Салахитдинова [13], Т.Д.Джураева [14].

Принципиальные , известные к настоящему моменту , результаты по темам , близким к • рассматриваемым в настоящей диссертации , и весьма исчерпывающая библиография содержится' в монографиях Ф.Трикоми [1], А.В.Бицадзе [2,12] , М.М.Смирнова [15], Е.И.Моисеева [17], Т.Ш.Кальменова [18].

Одним из актуальных вопросов теории уравнений смешанного типа является выяснение вопроса о совпадении слабого и сильного решений краевых

задач . Во всех известных работах этот вопрос связывался с ограничением на форму границы области в ее эллиптической части . В работе Ю.М. Березанского без такого ограничения , доказано существование слабых решений из Ь2(П) "для краевой задачи Трикоми , но его единственность и совпадение с сильным решением доказаны не были . В работе Н.Г.Сорокиной [19] методами развитыми О.К.Фридрихсом , П.Лаксом , Р.Филлипсом для уравнения Чаплыгина доказано совпадение слабого и сильного решений задачи Трикоми при некоторых ограничениях на границу эллиптической части области.

В работах Т.Ш.Кальменова и А.Б.Базарбекова [27,28] был получен критерий сильной разрешимости Ьр(0.) для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

Ьи=-5&гуихх-иу>=/{х,у) (1)

в случае когда эллиптическая часть области ограничена дугой окружности:

Критерий сформулирован в терминах угла подхода а кривой стг к отрезку АВ в точке А.

Далее , в работе Т. Ш. КалЬменова , М. А. Садыбекова, Н.Е. Ержанова [29] задача Трикоми исследована для случая произвольных контуров а. Ими доказан критерий сильной разрешимости задачи Трикоми в ¿2 ь терминах углов а и р подхода кривой ст к отрезку АВ в точках А к В соответственно. Причем, углы- а и р по разному влияют на сильную разрешимость задачи.

Затем , в работе М.А.Садыбекова , Н.С.Калиева [36] была исследована краевая задача со смешением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) для случая произвольных контуров а.Ими доказан критерий сильной разрешимое-

ти выше указанной задачи в Ь2. При этом сильная разрешимость зависит не только от углов подхода кривой к отрезку АВ , но и от значений коэффициента а(х) в краевом условий в точках А или В .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование сильной разрешимости в Ьр(Г2) задачи-Трикоми и краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) в случае .когда эллиптическая часть области ограничена произвольной гладкой кривой .

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основана на классическом интегральном представлении решения , методе сингулярных интегральных уравнений с применением элементов теории конформных отображений и методов функционального анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА . В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказан критерий сильной разрешимости вЬр задачи Трикоми для

уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1) . При этом сильная разрешимость зависит от углов подхода кривой а к отрезку АВ .

2. Получена априорная оценка решения задачи Трикоми для уравнения (1) в норме №¿((1) через норму в Ьр(С1) правой части уравнения .

3. Доказан критерий сильной разрешимости в Ьр краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (1). Сильная разрешимость в данном случае зависит от углов подхода айа, кривой сг к отрезку АВ и от значений коэффициента а(х) из краевого условия в точках А или В .

4. Получена априорная оценка решения краевой задачи со смещением для уравнения (1) в норме весовых пространств типа С.Л.Соболева через норму

Lp (О) правой части уравнения , при а < а0 ,j3</30- в норме ^'(ii) через норму в Lp (Г2) правой части уравнения .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ . Результаты работы представляют теоретический интерес . Они могут быть использованы в теории краевых задач для широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных , для дальнейшей разработки спектральной теории краевых задач уравнений смешанного типа , а также при изучении математических вопросов газовой динамики , теории распространения волн , теории бесконечно малых изгибаний поверхностей . •

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации и отдельные её части докладывались на 1 съезде математиков РК, на семинаре, руководимом член- корр. АН Руз, д.ф.-м.н., профессором М.С. Салахитдиновым, на семинаре, руководимом член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором Н.К.Блиевым, на семинаре, руководимом член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором М.О. Отелбаевым, на семинаре, руководимыми член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором Кальменовым Т.Ш. и д.ф.-м.н., профессором P.O. Ойнаровым, на семинаре, руководимыми член- корр. АН РК, д.ф.-м.н., профессором С.Н. Хариным и д.ф.-м.н., профессором М.А. Абдрахмановым, на семинаре, руководимыми д.ф.-м.н., профессором С.И. Темирбулатовым и д.ф.-м.н., профессором Алдашевым С.А.

ПУБЛИКАЦИИ . Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ . Диссертационная работа состоит из введения и двух глав ( в обеих по 4 параграфа ) и списка литературы . Нумерация формул (утверждений ) - двойная : первая цифра указывает параграф, вторая - номер формулы (утверждения) в нем .

ГЛАВА 1. КРИТЕРИЙ СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЕВА-БИЦАДЗЕ. Пусть Q конечная область, ограниченная при у > 0 кривой Ляпунова, а при у< 0 характеристиками: АС:.х+у=0, ВС: х-у=] уравнения Лаврентьева-Бицадзе

Lu=-sgnyuix - иуу = f(x,у) . (2)

Задача Т. Найти решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям

Ч=° Алс= 0 (3)

В работах Т.Ш. Кальменова и А.Б. Базарбекова [27;28] получен критерий сильной разрешимости в Lp задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае когда эллиптическая часть области ограничена дугой

окружности:-^j +(^ + 5)2 =^- + 52 .Критерий сформулирован в терминах

угла подхода а кривой ст8 к отрезку АВ в точке Л.

Далее, в работе Т.Ш. Кальменова, М.А. Садыбекова, Н.Е. Ержанова [29] задача Трикоми исследована для случая произвольных контуров с. Ими доказан критерий сильной разрешимости задачи Трикоми в в терминах углов а и р подхода кривой ст к отрезку АВ в точках А и В соответственно. Причем, углы а и р по разному влияют на сильную разрешимость задачи. Приведем последний результат полностью .

ТЕОРЕМА 1 . Задача Трикоми (2)-(3) однозначно сильно разрешима для любой правой части / е L, (О) если и только если

, (4)

• 4 2

При выполнении (4) сильное решение задачи принадлежит к классу (П) гу С(П) и удовлетворяет неравенству.: ЦиЦ, £ СЦ/|0 ■

В данной главе будем рассматривать задачу Т с правой частью /(*,>>) е £,(П). Основным результатом является получение критерия сильной разрешимости задачи Г в пространствах 1,(П).

Относительно кривой сделаем следующее предположение. а-кривая Ляпунова и оканчивается сколь угодно малой длины дужками АА1 и ВВ1 некоторых окружностей, обращенными вогнутостью к области П,, а внутренние по отношению к П, углы в точках АиВ (обозначим их через а и р), отличны от нуля; в частности, АА/ и ВВ; могут быть прямолинейными отрезками.

Кривую Ляпунова а с указанными выше свойствами будем называть кривой класса еЛ) .

Через обозначим пространство С.Л.Соболева с нормой | «Ц, , где

И'ДП) = ¿/О). Пусть ¡V - множество функций и <= »'/(П), удовлетворяющих краевым условиям (3)..

Обозначим через I замыкание в ¿,(П) оператора, заданного на IV равенством (2).

Функцию и е £,(П) назовем сильным решением задачи Т, если и е£>(£) и Ьи=/, то есть если существует последовательность функций ипе1¥ такая , что ип и 1м„ сходятся в норме ¿^(П) соответственно кии/ . Согласно этим определениям задача Т для любой правой части Ах,у) <=Ьр (О) будет сильно разрешима, если Ь имеет ограниченный обр.атный оператор, определенный на всем П, =Пг»{у>0}, С12 = Пп£у>0}.

Во втором параграфе главы задача (2)-(3) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению , изучаются свойства решений этого уравнения , получены оценки решения уравнения в пространствах .

Третий параграф главы посвящен выводу априорной оценки для сильного решения задачи Т.

ТЕОРЕМА 2 . Сильное решение и(хуу) задачи Т удовлетворяет неравенству:

(5)

В четвертом параграфе приводится формулировка и доказательство основного результата главы .

ТЕОРЕМА 3 . Оператор Ь ограниченно обратим в Ьр(О.) (то есть задача Т сильно разрешима для любой правой части /(х,у) еЬр(П)) если и только если выполнены условия

8/7-1 4 р-1

Доказательство необходимости условий (6) основано на следующей лемме , которая доказывается на оснований явного вида решения сингулярного интегрального уравнения во втором параграфе .

ЛЕММА 1. Необходимое условие сильной разрешимости а) Если и е IVП) является решением задачи Т, то функция /(х,у) =(Ьы) (х,у) необходимо обладает свойствами:

/вКегА р а>-— (7)

■ 8 р-1

/ е КегВ при (8)

8 р-1

где А и В некоторые линейные функционалы из Ьр(П) в С .

б) Функционал А ограничен из Ьр(О.) в С если и только если

Зл р

а>--—. •

8 р-1

в) Функционал В ограничен из Ьр( П,) в С если и только если

4 р-1

В силу леммы 1 прн нарушении условий (6) хотя бы один из функционалов А или В является ограниченным и , следовательно, его ядро - замкнутое не плотное в Ьр(П) линейное многообразие . Полученное противоречие

доказывает необходимость условий (6). •

Для доказательства достаточности условий (6) понадобилась следующая лемма.

ЛЕММА 2 . Пусть 5 - плотное в Ьр(С1) линейное многообразие, 1 ^/><со; А,{1£1йп) линейные функционалы , определенные на 5; Л/ = г\{КегА1 ,1 й / £ л}. Тогда линейное многообразие М не плотно в

¡./О.) , если и только если существует ненулевая комбинация А[ = ^СД ,

1-1

ограниченная в Ьр(£1) .

В этом же параграфе доказывается еще несколько лемм , из которых и из леммы 2 вытекает

СЛЕДСТВИЕ: Пусть выполнены условия (6). Тогда существует плотное в Ь/С1) линейное многообразие М такое , что для всех /„ еМ решение

задачи Т принадлежит IV р(С1).

Пусть / е Lp( CI) - произвольная функция . Тогда существует последовательность /„ еМ , такая что lim\f - fn\g = 0. Обозначим через

Ч> е Wp(QJ решение задачи Т для уравнения (1) с правой частью /„. В силу полноты пространства Lp(D.) последовательность /„ фундаментальна. Тогда априорная оценка (5) обеспечивает фундаментальность последовательности ип в IVJ (Q). В силу полноты этого пространства существует функция и е fVjfC2J, такая что lim\u- мД = 0, которая и будет искомым сильным решением задачи Трикоми.

ГЛАВА 2. КРИТЕРИЙ СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ. Пусть Q с R2 - конечная область, ограниченная при у> 0 кривой а с концами в точках А(0,0) и В(1,0), при у < 0- характеристиками АС : х + у = 0 и ВС : х - у = 1 уравнения Лаврентьева-Бицадзе :

Lu = -sgayuIX-uyf= f(x,y) (9)

Задача А: Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

«¡„=0 (10)

= «(*,(*)) , 0<х< 1 (11)

ах ах

где в0 (х) = ;- j)eAC ; в, (jc) = е ВС , а(х) - заданная функция.

Краевая задача А впервые была сформулирована и исследована в работе A.M. Нахушева [ 7 ] . Им сформулирован и доказан аналог принципа экстремума A.B. Бицадзе применительно к задаче А в случае а(х) * -1 для всех х e[0,l] , и доказано существование единственного регулярного решения

задачи А для однородного уравнения (9) с неоднородными краевыми условиями (10), (11).

При а(х) г 0 задача А совпадает с задачей Трикоми. При |а(х)| = 1 задача со смещением без применения теории сингулярных интегральных уравнений сводится к задаче Хольмгрена (при а (л:)=1) или задаче Дирихле (при = -1) для уравнения Лапласа, сильная разрешимость которых достаточно хорошо исследована.

В работе М.А.Садыбекова , Н.С.Калиева [36] была исследована краевая задача со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (9) для случая произвольных контуров а .Ими доказан критерий сильной разрешимости выше указанной задачи в Ьг. При этом сильная разрешимость зависит не только от углов подхода кривой к отрезку АВ , но и от значений коэффициента а(х) в краевом условии в точках А или В .

Приведем последний результат полностью .

ТЕОРЕМА 4 . Задача А однозначно разрешима для любой правой части / е ¿з (П) если и только если выполнены условия

(12)

«0) = 0,иГ2» + 2Ъ'

Зтс 1

1

Здесь 5 параметр из условия (13).

При выполнении условия (12) сильное решение задачи А принадлежит классу Н\ (П) r\ C(Q) для - 0(1) < е < ^ и удовлетворяет неравенству

R,sq/»0

где =

п 1 + я(1)

Основным результатом данной главы является доказательство критерия сильной разрешимости задачи А.

Относительно кривой сделаем следующее предположение . <у - кривая Ляпунова и оканчивается сколь угодно малой длины дужками АА1 и ВВ1 некоторых окружностей, обращенных вогнутостью к области fij = По {у > О}, а внутренние по отношению к Q, углы в точках А и В (обозначим их через а и ß соответственно) отличны от нуля ; в частности АА, и Вй1 могут быть прямолинейными отрезками.

Кривую Ляпунова а с указанными выше свойствами будем называть кривой класса -¿/а еЛ.) .

Относительно функции а(х) ' предположим , что ф)бС|(0,1)лС,[0,1],е>0 , а в случае , если а(0)= 0 , 00 , S> 0 , что в некоторой полной окрестности точки х = 0 имеет место неравенство

c-'i^sc (13)

Как и в работе [ 7 ] потребуем , что а(х) * -1 для всех 0 <, х S 1 . При а(х) я 1 задача А решается в явном виде без применения теории сингулярных интегральных уравнений . Поэтому , потребуем |а(д:)) * 1 для всех 0 £ х ä 1. В дальнейшем рассмотрим лирь случай |а(*)| < 1 . Случай |а(д;)| > 1 получается ггсюда заменой в задаче х на 1 - х .

Через 1Ур (О) обозначим пространство С.Л.Соболева с нормой |«|( , где IVр(О) г ¿ДО) ; через Н\(£1) - весозое пространство функций с нормой :

где гв - расстояние до прямой АВ в области =Пп{у<0},и гв = 1 в области Я,.

Пусть W - множество функций и е 1Ур (П) , удовлетворяющих краевым

условиям (10) , (11) . Обозначим через Ьл замыкание в Ьр (П) оператора ,

заданного на W выражением (9).

Функцию иеЬр(П) назовем сильным решением задачи А , если

иеЩЬА) и Ьли-/ , то есть , если существует последовательность {и,}функций ип еIV такая , что и„ и £«. сходятся в ¿,(П) соответственно к и и /. Согласно этим определениям , задача А будет однозначно сильно разрешимой для любой правой части / е Ьр (О), если и только если оператор

имеет ограниченный обратный оператор Ь'^ , определенный на всем

Во втором параграфе главы задача (9) - (11) эквивалентно редуцируется к сингулярному интегральному уравнению, изучаются свойства этого уравнения , получены оценки решения уравнения в пространстве £,(0,1) .

Третий параграф главы посвящен выводу априорной оценки для сильного решения задачи А (9) - (11).

. ТЕОРЕМА 5 . Сильное решение и(х,у) задачи А удовлетворяет неравенству

Ии5С|/«о О4)

где 1) е=Одля Р <

2) е>0 при р =

+ л-6»(1) + тгв(\)

р- 1 Р

р- 1

В четвертом параграфе приводится формулировка и доказательство основного результата главы.

ТЕОРЕМА. 6 . Задача А однозначно разрешима для любой правой части / еЬр(С1) , то есть оператор ¿л ограниченно обратим на всем Ьр(О).если и

только если выполнены условия :

1 )рй

1 + 20(0)

2 р- 1

[1 + 29(1)] ,

я(0) * 0 , либо о(0) = 0,5^

4-р

4 р

ай

4 р

Злр

, либр

(15)

4(р(<5+1)-1)' 4 р

2 )Р>:

8 р-1 р 2 , 1-2«0)]

1 + 20(0) 2 р - 1' ' 4 р -

Доказательство необходимости условий (15) основано на следующей лемме , которая доказывается на основании явного вида решения сингулярного интегрального уравнения во втором параграфе .

ЛЕММА 3 . Необходимое условие сильной разрешимости

а) Если и - решение задачи А, то функция /(х,у) = (Ьи)(х,у) необходимо обладает свойствами:

/ еКегА при [1 -20(0)]

(16)

feKerB при p > 1 + 2в{\)} (17)

4 p-\ J

где А и В - линейные функционалы из Lp (Q) в С , а КегА - ядро функционала А : КегА = {/ eD(A):Af = 0}. б) Функционал А ограничен из Lp{Q) в С если и только если

1) рй--- , e(0) = 0 , и

'У. 1 + 2(9(0) w .4 р

Ълр 4 - р ■ р-1

а>--- при -<6<-— (18)

4{р{8+\)-\) 4/7 р К ;

3 л р

а>--— при —..

8 т>-1 р

2) р>--- , а>--£-[1-20(0)1 (19)

1+20(0) Ар-11 к v '

в) Функционал В офаничен из £,(П) в С если и только если

р> £-£-[1 + 26(1)] (20) 2/7-1 .

В силу леммы 3 при нарушении условий (15) хотя бы один из функционалов А или В является ограниченным и , следовательно , его ядро -замкнутое , не плотное в ¿,(12) линейное многообразие . Полученное противоречие доказывает необходимость условий (15).

Для доказательства достаточности условий (15) понадобилась лемма 4.9 из главы 1 . В этом же параграфе доказывается еще несколько лемм из которых и из леммы 4.9 главы 1 вытекает

СЛЕДСТВИЕ . При выполнении условий (15) существует плотное в Ьр (О) линейное многообразие М такое , что для всех / е М решение и(х,у)

задачи А принадлежит И>'р (О) .

Пусть / б Ьр(0) . В силу следствия леммы 4-9 главы 1 при выполнении условий (15) существует последовательность {/„} функций /„ е М такая , что /п сходится к / в Ьр(С1) . Обозначим через и„ еIVр (О) - решение задачи А с правой частью /„ . В силу полноты пространства Ьр(П) последовательность {/»} фундаментальна в Ьр(П) . Тогда априорная оценка (14) обеспечивает фундаментальность последовательности {ы„} в пространстве //,' (П), е> 0 . Поэтому из полноты пространства Я] (О) следует существование единственной функции и еН1(Г2) ,е> 0 предела последовательности {«„} , которая согласно определению и будет искомым сильным решением задачи А .

В заключение, автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям за постановку задач, за полезные советы и замечания, сделанные при выполнении данной работы.

1. Аймаханова А.Ш. Достаточное условие сильной ¡разрешимости задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в Ьр. //Тезисы докладов 1

сьезда математиков РК, - Шымкент, 1996. - С.54 .

2. Садыбеков М.А., Аймаханова А.Ш. Критерий сильной разрешимости

задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в пространствах Ьр .//-Алма-Ата, 1997,-36 с.'-Деп. в КазгосИНТИ 13.01.97,- №7358 -

Ка 97 - Деп.

3. Аймаханова А.Ш. Критерий сильной разрешимости краевой задачи

со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в пространствах ¿„.//-Алма-Ата, 1997.-40 с. - Деп. в КазгосИНТИ 19.02.97.-№ 7453 -Ка 97 - Деп.

4. Кальменов Т.Ш., Садыбеков М.А., Аймаханова А.Ш. Критерий

сильной разрешимости краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Общий случай.// - Алма-Ата, 1997,- 19 с. - Деп. в КазгосИНТИ 19.02.97. - № 7454 - Ка 97 - Деп.

5. Кальменов Т.Ш., Садыбеков М.А., Аймаханова А.Ш. Критерий

сильной разрешимости краевой задачи со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Общий случай. // Наука и образование Южного Казахстана. Республиканский научный журнал. Серии: Экономика. Математика. - 1997. - № 6. - С. 128-139.

АЙМАХАНОВА А.Ш.

1-р (О) кенютИндеп Лаврентьев - Бицадзе тецдеу1 ушж Трикоми есебтщ хэне шетлк есебшщ ыгысуымен кучгп критеришщ шешМ.

1_р (П) кецютИндеп Лаврентьев - Бицадзе тендоу1 ушж Трикоми есебжщ жоне шетп'к есебжщ ыгысуымен куагп критерижщ швш'1м1 ерекше шенелген жатыц цисыцтыц эллипстк бол1г» ушж долелдент зерттелжген. Трикоми есебжщ куагп шешМ а кисыгыньщ бурыштарга жацындауына жанв АВ кесждюже тоуолд1 болады, жене дв есептщ куши шеинмже бурыштар ертурл1 осор отед1. Шетп'к есебжщ ыгысуымен куат шеил'м сг кисыгыныц бурыштарга жакындауына р<> АВ

кесждюже твуелд» болады жене шетпк шарттагы А жоне В нуктесжде а(х) коэффициентжщ мент© байланысты болады. Ьр (П) кендстИнде тендеудщ он жагында турган норма арцылы Трикоми есебжде зерттелт жаткан тещдеудеп Г^(О) нормага

шеонм багасы алынган. Шеттк есептщ шеишмжо априориялык багасы зорттел!п жаткан твцдоуго нормалы жугонгон кен'ютг'ждеп С.Л.Соболевага тектес тецдеужщ он жагында турган Ьр (О) нормасы аркылы алынган.

Aimakhanova A.S.

Criterion of strong resolvability of Trikomi problem and boundary value problem with displacement for the equation of Lavrentiev-Bitsadze in the space Lp (fi.)

The strong resolvability of Trikomi problem and boundary value problem with displacement for the equation of Lavrentiev-Bitsadze in the space Lp (a) in the case when elliptic part is bounded by optional smooth curve is investigated and proved. The dependence of strong resolvability on angles of 6" curve approach to interval AB in Trikomi problem (angles effect on the strong resolvability differently) and the dependence of strong resolvability on approach angles of the curve to interval AB and a.(^coefficient's value in boundary condition at points A or B in the boundary problem with displacement are noted. The valuation of the Trikomi problem solution for the boundaiy part of equation in the norm Wp through the norm LpCfl} and the valuation of the solution of the boundary problem with displacement for the equation in the norm of weighted spaces of Sobolev type.