Критические явления в анизотропных моделях статистической физики: магнетики, полимеры тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАЩОНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРА1НИ ШСТИТУТ Ф13ИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

РГ8 ОД

ГОЛОВАЧ Юрш Васильевич

УДК 530.145

КРИТИЧН1 ЯВИЩА В АН1ЭОТРОПНИХ МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧНО! Ф13ИКИ: МАГНЕТИКИ, ПОЛ1МБРИ

01.04.02 - теоретична фвика

Автореферат дисертаци на здобуття наукового ступеня доктора ф^зико-математичних паук

г

XullJ^

rtJu.-^H

Львш - 1998

Дисертад1ею е рукопис

Робота виконава в 1нституп ф1зики ковденсованих систем HAH Украши Офщшт опонепти:

Доктор фп.-мат. наук, професор Головко Мирослав Федорович, завщувач вщдшу тсорп розчишв

1нституту физики ковденсованих систем HAH Украши

Доктор ф1з.-мат. наук, професор Олемской Олександр 1ванович, завщувач кафедри ф!зично1 електрошки Сумського державного ун1верситету

доктор фЬ.-мат. наук, професор Чалий Олександр Васильович,

зашдупач кафедри бюлогччно! i медичноТ ф1зики

Нащонального медичного ун'шерситету ш. акад. О.О. Богомольца

Провщпа установа:

1нститут теоретично! физики ¡м. М.М. Боголюбова HAH Украши (м. Кшв), ввддш математичпого моделювання

Захист вщбудеться "с ^ " ^^_ 1998 р. о _ годиш на засщанш

сголйаллзова-юн вчеао! ради Д 35.156.01 при 1нститут'[ фщики ковденсованих систем HAH Украши за адресом: 290011, м. Льв1в, вул. Свендщького, 1.

3 дисертащею можна ознайомитися в б1блютещ Гнституту фЬики кондепсованих систем HAH Украши ( 290026, м. Лыии-26, вул. Козельницька, 4).

Автореферат розicланий " ^ " ^ х_199

Вчений секретар

спещал1зоиано! вчено! ради Д 35.156.0]

кандидат ф!з.-мат. наук

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуалкмсть теми. Мабуть, важко иазвати iiiniy дшянку сучасно! теоретично! физики, яка б зазнала за останш чверть стол!ття таких значних змш, як теор1Я критичпих явищ. Б1лг>ше того, з'явившись па св1т у форм! phmix Bapian-т1в Teopil середнього поля для опису критичних точок в рщинах та р1вноваж-них термодинам^чпих фазових лереход1в другого роду у задачах статистично! ф1зики ; термодинампси, теор1я критичних явищ сьогодш стала в значшй Mipi ьпждисциплшарною наукою. Розширилось i коло понять, як1 метить у co6i термш "критичщ явища". KpiM традиийгаих критичних точок в рщинах та р1вноважних термодинам!чних фазових переходов другого роду пщ цим термином розум'поть еьогодщ i нер1вноважн! дисипатишп фазоги переходи, i явища прот1кання, як приклад геометричних фазових переход1в. коли в систем! вини-кае безмежний (перколяц'Лний) кластер. В термшах теорц критичних явищ описуються i властивосй пол1мерних макромолекул у добрих розчшшиках. Два останн! приклади - перколяд^йяий кластер i довга гнучка макромолекула - е одночасно i прикладами об'екпв, що характеризуются дробовою дросторо-вою вим^ршстю - фрактал1в. Виявляеться фрактали, як i певне Ix узагальнен-ня - мультифрактали, також е критичними об'ектами. Зокрема, це дозволяя лоширити Tcopito критичпих явищ i для опису росту структур в лапласових полях.

Не зважаючи на те, що перел1чепе коло явищ дуже широке, е принайми! дв1 суттев! риси, що ix об'еднуготь i дозаоляють вщнести до одного класу. Це сингулярний характер зли пи властивостей в певних критичних точках i унгпер-сальтстпь поведтки. в Ix околй Як стало зрозумшим сьогодш, причиною i одного, i другого е аномалъпий picm флюктуацШ та Ix корелящя на дуже великих вщстанях в окол1 критичних точок. Корслящйний paniyc стае единим харак-терним масштабом системи, i це спричиняе нечутлившть II поведшки до так званих мжроскошчпих парамстр1в. Наслщком е, зокрема, масштабна (scaling) швар1автшсть систем, у яких вщбуваються кригичш явища. Методом, який npiniin до глибокого розумшня уш'версальних закон!в сксйлшгу а також впер-ше дозволив в аналггичшй форм! отримати надйш кшькют характеристики критичних явищ виявився метод ренормал1защйно1 групи (РГ), що виник в задачах квантово! Teopil поля (E.C.G. Stueckelbcrg, А. Petermann, Iielv.Phys.Acta., 1953, 25, 499; М. Gell-Mann, F.E. Low, Phys.Rev1954, 95, 1300; H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Докл.АН СССР.., 1955, 103, 203). В значгпй Mipi завдяки тонерським роботам К.Вшьсона (K.G. Wilson, Phys.Rev.В, 1971, 4, 3174; ibid., 1971, 4, 3184) стало зрозумшим: опис корелящй на великих вщстанях, що ви-зшкають в термодинам^чнш систем! в окол! фазового переходу другого роду,

може бути проведений в термшах Teopii поля. Прогрес, який вщбувся завдя-ки лроникненню ¡дей кваятово! теорц поля у физику критичних явищ зараз е загальновщомим i загальновизнаним. Детальному ошису р1зних його аспсктш присвячена низка монографш та огляд1в. Як зараз добре ввдомо, дослщження критичних властивостсй, що винмкаюгь в задачах статистичко! физики, можна проводити в термшах Евклидово! теорп поля лагранжиан яхо! певпим чином ввд-повщае ефсктивному гамшьтошану вих1дно! модел1 статистично! ф1зики (див., наприклад J. Zinn-Justm. Euclidean field theory and critical phenomena. - New York: Oxford University Press. 1989.)

He зважаючи на те, що дослщження критично! повед1нки за допомогою ме-■году РГ було i залишаеться предметом уваги багатьох автор!в, е низка явищ i об'ектш, як1 все ще вимагають детального анализу. Серед них в окрему трупу можна видшити криткчн! явища, що описуються за допомогою формально под1бних моделей статистично! ф'вики, сильною рисою котрих в ашзотрошя вщповщного ефсктивного гам!льтошана. Приклади об'бкт1в, що описуються такими моделями, можна знайти практично у Bcix дшянках физики конденсо-ваних систем. В контакт яашох роботи ми зунияимося на декшькох з них. Так, актуальною задачею ф1зики феромагнетизму е вплив немагштних домшгок на феромагштне впорядкуваяня; при дослщженш наднровщност! вщкритим залишаеться питания про можлив1сть критично! поведшки у надпроввднику в нрисутпост! флюктуюючого магштного поля; у ф!зиц1- пол1мер1в дослщження вимагають особлииост! поведшки сумппей пол!мер1в а також масштабш вла-стивост! структури пол^мервих citok. Як показано, зокрема, i в дисертащвшй робот), теоретичний опис критично! поведшки таких систем можна проводити на шдстав! атзотрошшх моделей статистично! ф1зики.

Оскшьки кшькюний опис перел1чсних вище об'екмв, як i цшо! низки ¡нших критичних об'ект!в. можна зд^йснювати за допомогою лод1бних моделей, акту-альним е вироблення единого погляду на явища, що у них вщбуваються, з тим, щоб могти застосовувати исходи, котрх традищйло використонуються в одних дшянках ф1зики до анал!зу задач, що виникають в шших дшянках.

В окремий щкавий напрямок останнш часом вщцлилися роботи, в яких проводиться дослщження фазових переход1в другого роду у випадку, коли umiip-шеть простору d е нецшою. Поняття недшо! BHMipHocri простору вже давно стало звичпим у теорп критичних явищ. Актуальшсть тако! коцепцп зумо-влена ц1лою пизкою причин: з одного боку, розгляд пим1рност1 простору (або и вщхилення вщ якогось фЬссоваяого значения) як неперервно! змшно! i параметра розкладу Teopii збурень дозволяе отримати результат i для ц'шого значення d. 3 шшого боку, неперервна змша просгорово! вим^рност! шляхом аналгеичного продовження гшеркуб1чних Граток на нещл! d використовуеться

для того, щоб лов'язаги результата, отримаш для лсвпого фшсовапого (нсщло-го) й з точними результатами (якщо вопи ¡спують) або з результатами, отри-маними шшими методами 1, таким чином, перев^рити иадшн1сть того чи шшого способу обчислекь. Б1льше того, у деяких моделышх системах спостер)габться можлив!Сть виникнення пового типу явищ, починаючи з певпо! (нещло!) вим)р-поеп простору, що приводить до потреби визначення ц1в\ маргинально! вимф-ноеп. Окремою проблемою е питапня про можлившть штсрпрстацп критично! повед'щки сшяових систем на фракгалышх гратках за допомогою апал^тичного продовжения до нещлих вимфностей. Таким чином, у самост!йпу задачу пере-творюеться дослщження критично! повед!нки моделышх систем при нецелому в.. В той час, як модель 1зшга при нещлому (1 дослщжувалась за допомогою р13них пщход1в, одне >з II найпростшшх узагалыгень - т-векторна модель при змш! й М1Ж верхньою та нижньою критичними вим1риостями вивчена далеко не досгатньо. Що ж стосуеться ашзогропних моделей, то тут дослщженпя лише почияаються. Причому до появи наших роб1т жоден з ¡снуючих на сьогодш РГ пщход1в не давав задов^лыюго мльшеного опису критично! поведшки в таких моделях при нещл1й вим^рномч простору.

Задачею, обсудження яко! почалося з появи роботи В. Галпер^яа та ш. (В.1. На1репп, Т.С. ЬпЬепэку, Б. Ма, Phys.Rev.Lett., 1974, 32, 292) I тривае дониш, е проблема досл1джепня впливу флюктуацщ на фазовий перехвд в падпроввдний стан 13 врахуванням флюктуацй породженого купер^вськими парами магштпо-го поля . Питания про р'щ фазового переходу в вадпров^дний стан па сьогодш в вщкритим: на ехсперимспт! це пов'язано з труднощами, спричинешши. зо-крема, вузьк!стю дшяпки температур, у якш спостср1гаеться наближення до точки фазового переходу. А вшеутшеть точного теоретичного розв'язку задач! спричиняе р^зш наближеа1 пщходи, котр! не дають одяоетайно! вщповщ! иа поставлене заяитаняя про рвд фазового переходу. Основне питания, що дис-кутуеться для тако! модел! в метод! РГ, полягае в тому, чи м1стять р!вняння РГ ст1йку нерухому точку чи К1? Вщсутшсть отйко! неруяомо! точки часто ¡нтер-претуеться як змша роду фазового переходу (спричинена флюктуащями маг-штного поля) 1 прояв спричиненого флюктуащями фазового переходу першого роду. Оскшьки згадана модель надпровщника також е прикладом ашзотрол-по! модели актуальною задачею е застосування для !! анал1зу матсматичпого апарату, добре апробованого в шших задачах.

Вщомо, який поступ при дослщжевщ особливостей поведшки пол1мерних ланцюгчв у доброму розчинпику спричипили ще! П. Ж. де Жена про зв'язок м1ж моделлю феромагнетика поблизу критично! температури та блуканпями ¡з самоуникапням (Р. в. (1е Сепиев, Ркуэ.Ьеи.А, 1972, 38, 339). На сьогодш сформу-вався щлий напрямок ф!зики пол1мер!в, що базуеться на застосувашп методу

Pf для опису певних властивостей nonÎMepÏB у добрих розчинниках (див., на-приклад, J. des Cloizcaux, G. Jaimink. Les Polymères en Solution: leur Modélisation et leur Structure. - les editions de physique, Les Ulis, 1987, 845 p.). Щлком природшм виявилось узагальнення теорн, котра описувала довп гнучю пстмерт лан-цюги, для опису пол1мерпих cîtok, як сукупност1 довгих ланцюпв, зв'язаних cboïmh кшцями. Масштабш властивоси тако! «тки визначаються îï зфко-под1бними. вершинами, що зв'язуютъ кшц1 лапцюНв. Для кшьюсного опису них властивостей введене поняття з1ркових показниюв - star exponents. Вони також б ушверсальними i, кр'ш BHMipHOCTi простору, залежать вщ юлькост! лаицюпв, що виходять ¡з вершин. Актуальшсть обчислення таких показншйв зумовлена тим, wo 31ркопод1бш пол1мери реал^зуютъся в копол1мсрних мще-лах, при абсорбцп на колощяих частинках i синтезоваш експериментально ¡з к!льк1стю ланцюгиа, що персвищуе 18. Обчислення зфкових показникгв приводить до знаходження спектру оператора ¡3 певною симстр1ею i, знову, можс трактуватися як розгляд критично! поведшки атзотропно! модель

Ще один приклад ая1зотропно! задач; у <jbi3Hni пол!мер!В - цс дослщження властивостей багатокомпонентпо! долшерноТ cyMinii. Зокрема, актуальною проблемою е розгляд безпосередньо в трививЛрному простор) так звано! по-TpiftBoï полимерно! cyMinxi (ternary solution), що складаеться ¡з полшер1в двох copTÎB та розчинпика. Вщповвдна теоретико-дольова задача характеризуемся присутшстю у лагранж1аш трьох доданк^в pi3no"i симстра (L. Schäfcr, U. Lehr. С. Kappeler, J.Phys.(Paris) L, 1991, 1, 211). Дуже щкав! hobi система отриму-ються при об'еднашп лаицюпв pi3anx сортов. Найбшып простим прикладом таких систем в так зван! блочн! копол1мери (block copolymers), що складають-ся ¡з двох частин р1зних сортов. Вони мають певне практично застосування, зокрема можуть служити сурфрактантами. В контекст! наших доелвджень вони дають найпросиший приклад пол1мерно1 зЁрки, що складаеться ¡3 ланцюгш двох сортш. Таким чином, в ф1зищ дол^мер'ш складно! топологи викикае проблема опису масштабних властивостей таких копояшерних 31рок.

Одшею ¡3 причин актуальности опису масштабних властивостей 31рок, утво-рених полшерамя двох copria е те, що така теор1я мае застосування при до-слщжонш явшца обмежено! дифуз1ею агрегацн - DLA (Т.А. Witten, Jr., L.M. Sander, Phys.Rev.Lei. 1981, 47, 1400-1403). Зокрема, слщуючи модель запро-понованш М. Кейтсом i Т. В1ттеном, можна використаги полхмерний фор-мал'1зм для опису концентрацП дифундуючих частинок поблизу абсорбуючого полимерного ланцюга. В'щомо, що гнучкий дол^мерний ланцюг е фракталом i характеризуемся вщповвдною фрактальною вим'фшетю. В той час як опис росту структури в його окол1 та просторових корелящй приводить до появи (кетрив!алыыго) спектру мультифрактальних виьпрностей. Таким чином, ви-

никае можлив1сть застосування метоц'т Teopil поля в теорп мультифракталь-них м'р. Зд1йснення тако! программ також аидаеться на час'ь

Зр'язок роботи з наукопими програмами, планами, темами. Вибраний напрямок дослщжепь пов'язаний ¡з науковою тематикою 1нституту физики кон-денсованих систем НАН Украши, зокрсма частина результатт отримапа при робот1 над бюджетними темами НАН Украши: "Теория фазових псрсхол!в у триБиьпрнш модел[ Ынга, дослщження властивостей магиетиюв i сегнетослек-тршав" (1983 - 1988 p.p., номер державно! реестрацп 070516), "Дослщжсния впливу опромшения на ф13ичн1 властивост1 коиденсованИх ссрсдовищ" (1986 -1988 p.p., тема згщно розпорядженвя Президп АН УРСР No 1546 вщ 30.07.1986 р.). "Дослщження властивостей магнетишв в аморфному i рвдкому ставах i дом1шкових статв у надплинному гелио" (1983 - 1988 p.p., номер державно! реестрацп 070518), "Дослщження фазових переход1В першого та другого роду з використанням функшональних методов" (1988 - 1993 p.p., номер державно! рееетраци 01 88 0086790), "Дослщження критичной поведшки простих та бага-гокомпонентних флюдав та сшнових систем" (1994 - 1998 p.p., номер державно! реестрацп 01 94 022987) а також темами Фонду фундаментальних дослщжень ДКНТ та М!шстерства науки Украши.

Мета i задач! досладжеппя. Метою дисерташйно! роботи е провести анализ критично! поведшки низки багаточастинкових систем i вказати на мо-жлив!сть 1х дослщження з единих позищй, використовуючи формализм ашзо-трогших моделей. Для досягнення nie! мети в робот! виконаний ряд завдань. Серед них: запропонована щея застосування методу колектлвних зм1яних в те-opi! ашзотропних систем; запропоноваш умови нормування масивно! теорп поля при нецшш вим!рноет1 простору; створеш kobi методи дослщження асимпто-тнчиих ряд1в, то втшкають в Teopii критичних явищ; к^льк^сно описаншг внлив флюктуашй магштного поля на перехвд в надпровщний стап; обчислеш значения показник1в, що характеризуют масштаба! властивост! польмерш складно! тополог!!; створена кшыйсна теория кополшерних citok та на I! основ! проведений опис пронесу гармоншно! дифузп поблизу полимерного абсорбера.

Наукова новизна одержадих результатов.

В po6oxi внерше робиться спроба розглянути з едино! точки зору хритичну поведшку рхзних ф!зичних об'ектш, що опиеуються ан!зотропними моделями. Це, зокрема, дозволяв застосовувати методи, котр! традищйно використову-ються в одних дшянках фЬики до анал]зу задач, що виникають в ¡нших делянках.

Запропонована в робот! щея про застосування методу колективних змшних I.P. Юхновського (див., наприклад, И.Р. Юхновский Фазовые переходы, второ-

го рода. Метод коллективных пе-ремеиных. - Кшв, Наукова думка, 1985, 223 с.) у теори анЬотропних та структурно-невпорядкованих систем дозволила, зо-крема, дослщити неув^версальш характеристики структурно-невпорядковано! ?п-векторно1 модел! 1 привела до оцшок дшянки концевтращй магштно! компо-неити, при якй працюе концепщя "слабкого розведення".

В рамках методу теоретико-польово! РГ в робот1 запропонований новий шдхщ до дослщження критично! поведшки при нещлш вимфпост! простору. Слщуючи вде! Дж. Пар131 (й. Рапе!, •/.Лаг.Рйр., 1980, 23, 49) про перенорму-вання безпосередньо у двох та трьох вим1рах ми залропонували розглянути реыормгрупов! функци масивно! теори поля безпосередньо при пещлому зна-ченш вим1рност! простору сI. Олшею ¡з переваг нашого шдходу в порхвнншп з ¡ншими методами е тс, що вш дозволяв розглянути всю делянку й у пром:жку м1ж верхньою та нижньою критичною вим1рностями. В той час як для модел1 1зшга 1 лг-векторно! модел1 запропонований нами метод дослщженпя е одним ¡з можливих способов анализу критично! поведшки, у випадку розведено! модел! 1зтга наш метод е единим у теоретико-польвш ренормгруповш схем!, що дозволяв отримати надшш значения критичних показниов при довшьнш вим1рност1 простору. Широко вщома техшка г-розкладу для тако! модел! не приводить до достов1рш1х значень критичних показнтпв навить при застосуванш пересумо-вуванпя до ряду теори збурень.

Вперше за допомогою методу теоретико-польово! РГ ми показали, що у модели надпров1дника з й-виьирним векторним потенд1алом магштного поля ! параметром впорядкувашгя Ф, що складаеться ¡з л/2 комплексних компонент, при й = 3 \ п = 2 'зарядова' нерухома точка виявляегься стШкою, 1 це приводить до нового набору критичних показшщв. Отримаш числов1 значения критичних показниюв. Головне ж твердженвя, що випливае з наших дослщжень, полягае в тому, що при ренормгруповому анал!з1 модсл! надпровщвика все ще ¡снуе можлившть фазового переходу другого роду ¡з критичшши показниками, вщ-мшними вщ показник!в *Не.

До появи наших роб1т в ф^зиц! пол!мер1в не застосовувався метод масивпо! теори поля при фшсованШ вим1рност1 простору, котрий мае низку безумовних переваг. Ми вперше застосували ней метод в теорп пол1мер!в складпо! топологи 1 отримали результати для критичних показникш, що онисують масштаб-Н1 властивоич пол1мерно1 Зфки у двох 1 трьох вим^рах. Отримаш значения добре узгоджуються з результатами числового моделювашш та £-розкладу.

В робот! запропонована модель для дослщження багатосортних пол1мер-них с!ток 1 для !х опису введено поняття копол!мерш1х 31ркових показниюв. У випадку двох сорив пол1мер1в вперше дослщжено спектр показшлав, що опи-сують масштабш властивостт з1рок 1 сформульовано задачу про знаходжен-

ня масштабних показникш 3ipoK взаемсотючих i нсвзаемодтчих блукань да мов1 визначенпя скейлшгових вим'фностей композитних польових операторов лагранжево! теори поля. Викопаш нами обчислення можуть стимулювати до-слщжешшя проблеми копол!мерних 3ipoK методом Монте Карло.

При дослщженш характеристик дифузп поблизу фрактального абсорбера у формалЬм! модел! Едвардса в робот1 вперше застосовано технику пересу-мовування асимптотичпих ряд1в. Ця техшка широко застосовна в гсорстико-польових дослщженнях критичних явищ, де вона привела до пайточшших на сьогодш результат1в для к'шьюсного опису критично! поведшки р1зних моделей. Вперше застосовуючи I! для опису нропесу стащонарно! дифузи поблизу фрактального абсорбера в робот! тим самим вказуеться на можлив1сть засто-сування тако! техшки в Teopii мультифрактальних м!р.

Основш положения, що виносяться на захист.

1. 1дея застосувапня методу колективних змшних у Teopii ашзотрошшх та структурно-невпорядкованих систем. Зокрема, результата дослщжсняя за по-го дономогою критично! поведшки модел! з куб!чпою ашзотрошею та модел! слабо розведеного замороженого m-векторного магнетика.

2. Загалыга схема дослщжень критично! поведппси при довшыий (пецшш) BHMipHOCTi простору d, що базуеться на розгляд! умов пормування масивно! тсори поля при довшьному d. Техшка Teopii збурень при довшыюму d i, зокрема, обчислеш значения трипетлевих штеГрал1в масивно! Teopii поля при О < d < 4.

3. Кшьккш характеристики критично! поведшки дешлькох моделей, широко вживаних при дослщжент фазових персход1в другого роду (модел! 1зшга, т-векторно! модел1 та слабо розведено! заморожено! m-векторно! модел1) для значень d в ¡нтервал! м1ж верхньою та нижньою критичною вим!ршстю. Засто-сування р'1зних метод'ш пересумовування асимптотичпих ряд1в для отриманпя них характеристик.

4. Твердження про те, що перехщ в надпровщний стан яри врахуванш флюкту-ацш породжеяого купер!вськими парами MarHiTHoro поля в фазовим переходом другого роду.

5. Вперше обчислеш безпосередньо у тривим1рному npocTopi значения показ-HHKiB, що характеризуют масштабш пластивост! пол!мерних «ток та 3ipoK - з!ркових показншав (star exponents). 1дея дослщження безпосередньо у три-BimipnoMy npOCTopi ун!версально! критично! поведшки потршно! пол1мерно! cyMinii (полшери двох copTiB + добрий розчипник), отрима1п вирази для ре-нормгрупових функцш тако! сисгеми. Застосувапня техшки псевдо- е розкладу у Teopii ашзотропних систем.

6. Статистична теорш копол1мерних «ток та з>рок у метод! теоретико-польово! РГ. Попяття копол1мсрпих з1ркових показншав та !х числов1 значения у дво- та тривиьпрному простора

7. 1дея застосування теоретико-дольового шдходу до обчислення мультифрак-тальних спектр1в. Дослвдження гармошйно! дифузи поблизу пол1мерпого абсорбера. Числов1 значения показнишв, що характеризують такий процес. Чи-слов! значения спектральних функций та застосування методики пересумову-вання асимптотичних ряд1в для !х отримання.

Практичие значения одержаних результатов. В дисертащший робот1 за-.пропоновано едияий ногляд на критичну повед1нку р1зних об'екпв физики кон-деясованих систем, що описуються ашзотропними моделями статистично! ф1зи-ки. Це дозволяе застосовувати знания, отримаш анал1зуючи одш задачи при дослщженш шших задач. Так, метод пересумовування асимптотичних ряд1в, котрий е потужним сучасним методом анал!зу ряд1в теорц фазових переходов, завдяки нашим роботам знайшов застосування в теорм мультифрактальних м1р. Запропонований нами шлях апалту критично! повед!нки при довшьшй (нсщлй) втпрпост! простору на сьогодш реализований лише для декшькох

блена теор1я пол1мерт складно! топологи мае практично значения для опису пол1мерних зхрок та с!ток а також для д0сл(дження сумппей пол1мвр!в дбох сорт1в.

Особистий внесок здобувача. Вклад здобувача у роботи, викопаш з сшв-авторами, визначаеться таким чином. При дослщженш критично! поведшки за допомогою методу колективних змшних здобувачев1 належить застосування р!зницевих р1внянь наближеного перетворення РГ для апал1зу т-векторно! модел! [1,2,4] та щея застосування розклад1В за константами зв'язку у техшщ наближеного перетворення РГ для визначенпя ушверсальних характеристик критично! поведшки розведено! т-векторно! модсл1 [6,9,11]. При анал!з1 критично! поведшки розведено! т-векторно! модел! при нецшш вим!рност! простору за допомогою методу теоретико-польово! РГ [12-15] здобувачем запропоно-вано постановку задач! та зд1йснено аналтгчш обчислення ренормгрупових функщй. При обчисленн! петлевих штеграл1в масивно! теорп поля [18] здо-бувачев! належить постановка задач! та виконання анал1тичпих обчисленнь. При дослщженш критично! поведшки наднровщника ¡3 врахуванням флюкту-ацй магштного поля [22,28,35] здобувачев1 належить щея застосування техшки пересумовуваппя асимптотичних ряд1в у цш задач! та виконання .анал!тичних та числових обчислень на пщстав! отриманих рашше ренормгрупових функщй. У груш задач про критичну поведшку пол1мер1в складно! тополога та пол1мер-

них cyMimefl [20.23,26,27,30,31] а також про застосування теорп noniMepin для опису мультифрактал1в [24,29,33] здобувачев1 наложить вдея викопанпя обчи-слень без застосування г-розкладу а також участь у виконакш bcîx анал1тич-них та чисельних розрахугаав.

Апробащя результат1в дисертацП. Осношп результати дис;ртац1йно1 ро-боти доповщались i обсуджувались на таких паукових зустр1чах: VI Респ. конф. 1з статистично! ф!зики (JIbbib, 1982), II Всес. конф. Термодинамика необратимых процессов и ее применение (Чершвщ, 1981), II Soviet-Italian Syrap. on Mathematical Problems of Statistical Physics (Lviv, 1985), III Int. Group Selected Topics of Statistical Physics (Kiev, 1987), 6th and 7th Euiop. Meet, on Ferroelectricity (Poznan, 1987; Dijon, 1991), 7th and 8th Int. Meet, on Ferroelectricity (Saarbriiken, 1989; Gaithersburg. 1993), Всес. конф. Современные проблемы статистической физики (jlbbïb, 1987), XIII Int. Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics (Moscow, 1990), I Soviet-Polish Symp. on Physics of Ferroelectrics and Related Materials (Lviv, 1990), Всес. копф. Современные проблемы статистической физики (Харкав, 1991), Int. Conf. Renormalization Group'91 and Renormalization Group'96 (Dubna, 1991; Dubna, 1996), 12th General Conf. of the Condensed Matter Division of EPS (Praha, 1992), Int. Conf. on the Physics of Transition Metals (Darmstadt, 1992), 18th and 19th IUPAP Int. Conf. on Stat. Phys. (Berlin, 1992; Xiamen, 1995), Ukrainian-French Symp. Condensed Matter: Science & Industry (Lviv, 1993), Ювшей-на паукова конф. присвячепа 40-р1ччю фпичного факультету Лглпвського дер-жушверситету (JIbbîb, 1993), I Укр. конф. Структурт г фгзичм eAacmuoocmi невпорядкованих систем (Льв1в, 1993), Int. Conf. Physics in Ukraine (Kiev, 1993), A'/eme Congrès International de Physique Mathématique (Paris, UNESCO, 1994), Colloque Physique Mathématique des Systèmes Désordonnés (Paris, Sorbonne, 1994), Int. Conf. on Magnetism (Warsaw, 1994), Ukrainian-Polish & East European Workshop on Ferroelectricity and Phase Transitions (Uzhgorod - V. Remety, 1994), 20th Seminar of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (Wels, 1995), М1жнар. паукова конф. присвячена 150-pi44io вщ дня народження I. Пулюя (Львгв, 1995), Int. Seminar Critical Phenomena and Self-Organization (Dubna, 1995), Int. Workshop on Statistical Physics and Condensed Matter Theory (Lviv, 1995), 32nd Winter School on Theoretical Physics (Karpacz, 1996), Науковий семшар ¡з статистичпо! Teopiï конденсованих систем (Льв1в, 1997), 22nd Seminar of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (Szklarska Porçba, 1997).

Окрем1 результата: були темами ceMinapiB, проведених автором у таких установах: Математический институт им. В. А. Стеклова Российской Академии наук (Москпа, грудень 1983), кафедра теоретично! физики Чершвець-кого державного ушверситету (Чершвш, грудень 1983), фЬичний факультет

Ужгородського державного университету (Ужгород, 1991), Servise de Physique Theorique (C.E. Saclay, Фрапщя, травень, 1992), Fachbereich Physik der Universität Essen (Essen, Шмеччина, травень, 1992; березень, 1994), Institut für Theoretische Physik, Johannes Kepler Universität (Linz, Австр1я, einem», листопад, 1995; листопад 1996), вщдш Teopii фушацй i диферешиальних р^вняпь Гпституту приклад-них проблем математики i механ!ки ¡м. Я.С. Шдстригача HAH Украши (JIbbib, травень, 1995), Instytut Fizyki PAN i Uniwersytet (Варшава, березень, 1997) а та-кож неодноразово обсуджувалися на семшарах 1нституту физики копденсова-них систем HAH Украши та вщдшш статисгичпо! Teopii копденсованих сташв та квантово1 статистики цього шетитуту. Деяю ¡з запропоповапих у дисертади щей та отримаиих результата увШшли до спецкуршв, прочитапих автором у р1зний час на кафедрах теоретично! ф1зики та ф1зики копденсованих систем Льв1вського державного ушверситету iM. I. Франка, на ф1зичному факультет! Сумського державного ун!верситету та в Johannes Kepler Universität (Linz, Австрш).

ПублЬсацй. За матер1алами дисертацп опублшовано бшя 100 po6iT. Список poöiT, KOTpi м!стять ословн! положения дисертацп. що виносяться па захист, приведеяо в кдащ автореферату. BiH нальчуе 31 статтю i 4 гези копферендш.

Структура 1 об'ем дисертади. Дисертацш складаеться i3 вступу, шести розд1 л!в, BiicnoBKiB та списку використадих джерел. Обсяг дисертацп 291 сторшка, включно ¡з списком використаних джерел, що М1стить 226 найме-пувань.

ОСНОВНИЙ 3MICT РОБОТИ

У встуш ацалгзуеться стан обрано! для дослщжень проблеми, обгрунто-вуеться и актуальтть, приводяться основш положения, що винесеш на захист, описуеться ix новизна та практично зпачення. Зроблено короткий огляд лгте-ратури.

У дершому роздш! приведено декЫька моделей, дослщження яких стано-вить одпе i3 завдапь роздШв II, III, IV дисертацп. Зокрема, розглянуто тп-векторну модель, II узагальнення на вина док куб'тно! ашзотрош! а також слабо розведепу заморожену от-векторну модель. При застосувашп методу реплж остання задача також зводиться до ашзотропно! модель

Спершу розглядаеться критична поведшка m-векторно! модсл1 - систе-ми N взаемодточих m-компонентних класичних векторк) ("сшшв") 5ц = {Яд, ..., SJJ}, локалвованих па вузлах R ¿-вимхрно! rinepKy6i4H0i гратки.

При вщсутност1 зовпшшього магнггного поля гамшьтошап модел1 мае вигляд:

« = £ У(|К - (1)

1 а,а'

де J(— И']) - короткосяжпа феромагнггна (./(Я) > 0) взаемод1я м1ж сшнами 5ц 1 б'п.' 1 розташованими на вузлах К 1 Л', а Л'яб'д. означав скалярний добуток. Ця модель е узагальнспням низки моделей, П можлив1 застосування у теори критичних явищ широко ввдомь

Застосовуючи деретворення Стратоповича-Габбарда статистичну суму та-коТ моделЁ 2:Во1т можпа записати у вигляд1 функцюнальпого штегралу за т-компонептним полем ф(И)щ.

•^isotr

де функщонал вшъно! eneprii:

/(d$exp{-FisotrM}, (2)

тут v{k)- Фур'е-образ потепщалу взаемодп, /3 = кТ- температура в енергетич-пих одипицях, «2/- ввдом! функцп довжини та вим1рност1 cniHiB, фь- Фур'е-образ поля 0(R) = {^(R), <£2(R), • ■ •, <£™(R)}, а штегрування в (2) означав:

/(«$ = П /W), /W) = П <№))• (4)

Функцюпал (3) е 0(то)-симетричний: nin швар1антпий вщпосно поворот1в поля ф и т-вим!рному rinepnpocTopi. ЕНдповщну модель в контекст! наших до-слщжепь пазиватимемо iэотпропною.

Розглядаючи гам1льтошан (1) у випадку, коли N\ вузл1в гратки зайшт, N — N\ - Binbni, зайпят1 вузли розпод1лен1 випадково i зафпссоваш, отримуемо за-морожену розведену модель (quenched diluted model). Скориставшись методом реплж, ii в1льну енерйю можпа знайти як границю F = — fcTlim„_,.0[(2^nis — 1)/п], де статистична сума записуеться у вигляд! функционального штегралу:

Zn ■

• JWnexp{-Finis№]}, (5)

а для функцюналу в!льпо1 eneprii у випадку некорельованого розподшу зайня-тих вузл1в можна зпайти таке представления:

1 к о=1 Ри\К) R Q=1

„2

c(1 йс)"'Е £ i^(R)iV(B.)ia+.... (6)

R a,P=l

тут с = ЛГ1 /Лг - концентращя зайнятих вузл1в а крапками позначен! члени витого порядку за ф. Тнтегрування проводиться за п х т компонентним полем

Функщопал (6), на вщмшу вщ (3), не е 0(го)-симетричшш 1 мктить два додан-ки, пропорции! четверпй степеш поля. Вш дае приклад атзотропно'г модель Зокрема, в решйчшй границ1 п -> 0 вш вщповщае функцюналов1 В1льно1 енерга розведено! заморожено! гп-векторно! модель

В першому роздЫ дисертацП розглядаеться ще одпа ашзотропна модель, котра мае ряд щкавих застосувань. Це так звана модель з кубичною атзо-трошею. Функдюнальне представления для не! можпа отримати з (6) покла-даючи ш = 1 1 иадаючи шший змкт неушверсальним множникам при степенях польово! зм1нно1.

Дослщження основних характеристик критично! поведшки згаданих моделей проводиться в першому роздш! дисертацп за допомогою наближеного пе-ретворення РГ, запропонованого 1.Р. Юхновським в метод! колективних змш-них. Спершу дослщжуються ушверсалыи (пезалежш вщ шкроскошчиих пара-метр1в системи) характеристики. Приводяться вирази для критичних показ-ник1В моделей I робиться висновок про те, що застосуванпя обравого шдходу дозволяе яюсно в1рно описати явшца кросоверу, що вщбуваються в ашзотроп-них моделях. Для !х детального кшьюсного дослщження слщ застосувати технику пересумовування асимптотичних ряд1в в поеднанш з обчислснням високих порядшв теорП збурень, що реал1зовано в паступних роздшах дисертацп в тех-шщ теоретико-польово! РГ.

Одпак, застосувапяя наближеного пертворення РГ дозволяе дослщити не-ушверсальш характеристики. Спочатку досл'щжений вплив флюктуацш на критичну температуру Тс ¡зотропно! тп-векторно! модел! 1 обчислеш значения Тс для взаемодп близьких сусдав як функцп вим'фност1 параметра впорядку-вання. Дал! дослщжуються особливоси критично! поведшки розведено! т-векторно! модель Зокрема, обчислена температура феромагштного впорядку-вання як функдш концентраци магштно! компоненти с. На рис. 1 приведена отримана нами залежшеть Тс/Т^л (ТстГа - результат теорн середнього поля) вщ с для р1зних вим!рностей параметра впорядкування т. При с = 1 отримуемо результат для нерозведено! модель Видно, що врахуваппя флюктуацй в рамках наближеного перетворення РГ, приводить до зменшенпя Тс на величину порядку 50% в пор1внянш з результатом теорп середнього поля. Для значень концентрацп магштно! компоненти близьких до 1 (в дшянщ слабкого розведеп-ня) ¡з змешненням с значения Тс лтшпо зменшуеться.

ф:

0.8

0.0

1.0

0.6

0.4

0.2

0.0

.0.2

0.4

0.6

0.3

1.0

с

Рис. 1: Критична температура розведено! тривимфно! т- вскторно! модел1 як фупкщя концентраци магштно! компоненти.

Вцгомо, що модель, яку ми розглядаемо, дае правильш значепня критичних показпиюв при високих значениях концентрацп магштно! компонеати с. При дослщжспш критично! поведшки поблизу порогу нрот!кання необхщно вра-ховувати наявшеть двох корелявдйних довжин - температурпо! корвляшйно! довжипи 1 лппйних розм!р1в геометричних кластеров. Це приводить до функционалу вшьно! епергп модел! Поттса. Таким чином, значения концентрацп срегс, при як!й зникае фазовий перехщ у магнетовпорядкований стан (Тс(срегс) = 0) не може бути отримане з модел!, котру ми апалпуемо. Тим не менше, спо-стер1гаючи поведшку Тс(с) при дальшому зменшенш копцетгтрацп с бачимо, що залежшеть перестае бути липйною ¡, починаючи !з певного значения с*, р1внян-пя для Тс перестае мати розв'язки. Таким чином, можна говорити про д1лянку с, для яко! кореш ртняппя для Тс ¡снують, а отже ¡снуе фазовий переход в магнетовпорядкований стап. Зауважимо, що значения с* бшыпе вщ значения срегс (для просто! куб1чно! гратки с£егс = 0.307, Срегс = 0.247 для випадкових вузл1в I випадкових зв'язюв). Таким чином пропонуеться оцшка дшянки концентращй магштно! компоненти, при яких кнуе фазовий перехщ у магнетовпорядкований стан.

Предметом другого розд1лу дисертацп б дослщжспня критично! поведшки при пещлй вим1рноси простору. Результата, приведен! в цьому роздпп дис-

ертацп, так само як i результаты решти розд'инл, отримаш за допомогою методу теоретико-полъово! РГ. Як зараз добре ввдомо, дослщженпя критичних властивостей, що виникаються в моделях статистично! ф1зики в окол1 точки фазового переходу другого роду, можпа провоити в термшах Евклщово! Teopii поля, лагранжиан яко! певним чином вщповщае га.упльтошапу вихщно! модел1 статистичяо! физики. Так, критичду поведшку запровадженоТ в попередньо-му роздш1 т-векторно! моде л i (3) можпа описати Евклщовою Teopieio поля з лагранж1аном:

m = /d«H{±[lV¿l2 + m*l¿l2] + ^l¿l4}, (8)

де т2 - липйна функщя температуря, Ао - пепереиормована (гола) константа зв'язку, ф = Ф(Я) - векторне поле ф = (ф1 ,ф2,... ,фт). Ашзотропним моделям сшвставляеться лагранжхан, що мютить декшька констант зв'язку {До} вщ-пов1дно1 симетрп.

Основним объектом теори е оддочастинково незв'щш (1PI - one particle irreducible) верпшдш фуикцп Г(£,-Л'' (pi, fei,... кц\ irj-g; Ао; d) Kurpi можиа означити як:

¿(V> + Е ^)r(/,,,Vj({p=}; №1; тЬ до; <*) = /

d\ ... tfnd'Rt .. .d... Ф^ЫФьЛп) ■ • • ^„(rw)>f„. (9)

Усереднещш в (9) проводиться з вщповвдним лагранж1аном (для т-векторно! модели - це лагранж!ан (8)). В (9) i нижче ми вказуемо на явну залежшеть вершинних функцш вщ bhm¡phoctí простору d.

В асимпготичшй границ! непоренормоваш вершинш фуикцп е розб1жними. Перехщ вщ теорп, залежно! вщ голих змшпих, до перенормовано! Teopii можна здйсяити за допомогою контрольованого переГрупування ряд1в для вершинних функщй. Таке перенормування можна здшенити за допомогою декшькох асимптотично екв1валентних процедур. Одн'шю з них е ренормал1защя 1PI вершинних функций при нульових 1мпульсах i ненульов1й Maci - умови нормування масивпо! Teopii поля, що приводить до pin нянь Каллаяа-Симанщка. 3 метою дослщжепня критично! поведшки при нещлШ bhmíphoctí простору d ми пропо-нуемо розглядати умови нормувандя масивно! Teopii поля безпосередньо при фiкcoвaнoмy, нецшому значенш d:

Г{°Л(р,-р-,т,и-,0,)\р=0 = ТО2, (10)

—г£'2)(р, -p;m, u-,d)\p=o - 1, (11)

rkW)((Pi};»n.«;«Olw=o = rn4-du, (12)

Гн2)(?;р,-p;m,tí;d)|,=p=o = 1, (13)

де 111,11- перенормоваш маса 1 константа зв'язку. Лсимптотичпо близько по критично! точки ренормалкзонаш першинш фуякди задовгльняють однорвдне р1впяння Каллана-Симашшса:

- у7*(М)}г!1л"({Лл-};т2,«;«0 = 0, (14)

У випадку ашзотропно! модел1 ¡з декшькома константами зв'язку г/, у р1внян-ня (14) входит наб1р /3-функцш /3„,. У стшкй нерухомш точщ. координата яко! визначаеться нулем /?—функцп /Зи(и*) = 0 фулкцш визначае величину критичного показшжа парно! корслящйно! функцп ц-. 7ф(и*) = г). А критичпий показник корелядшно! довжини можна обчислити, розглядаючи в стшкш нерухомш точщ двоточкову вершинну функцию ¡з вставкою ф2, Гд'2'(д;р, — р: т, и\(I), що визпачае ще одну 7-функшю 7^2: 7^3(и*, и*) = 2 - и~1 — 7ф(и',ь*).

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

¡1

Рис. 2: Двопетлев1 штеграли г2 як функци вим1рност! простору

Осповна вщмшшсть запродоновано! нами схсми дослщжень вщ традицшно-го шляху, започаткованого щс роботами Пар!з1, полягае в тому, що виникаюч! в теорп збурепь штеграли розраховуються безпосередньо при нецелому зпа-ченш в,. В дьому ж полягае ! осповна трудшсть застосування пашо! схеми. В той час як числов1 значения петлевих штеграл1в дво- ! тривтапрно! теорп вщомк для застосування нашо! схсми дослщжень виникае необхщшсть розра хунку 1 табулювання цих штсграл1в. В другому роздш1 дисертаци викладеш результата, що дозволяють застосувати нашу схему для дослщження р1зних

1.00

0.75

0.50

0.23

0.00

0.0

1.0

2.0 Л

3.0

4.0

Рис. 3: Трипетлев1 штеграли >3 - г8 як функцп вим!рност1 простору й.

задач при нецшому <1. Спочатку за допомогою поеднаппя техшки фейманш-сько; параметризацп та бездосереднього штегруванпя в ¿-виьпрнш сферичшй систем! координат ми зпаходимо анал1тичш представлення для ¡нтеграл1в за ¡мпульсами, залежш вщ <1, як вщ параметра. Отриман! вирази дозволяють ро-зраховувати числов1 значения штеграл1в для довшьного нещлого й. На рис. 2, 3 показан! результата залежносп нормовапих величин дво- (¿ъ г2) та трипетле-вих (¿з - г'в) штеграл1В вщ вим^рноси простору. Вщповщшсть М1ж значениям петлевих штеграл!в та фейнмашвськими д1аграмами, котрим вопи вщповща-ють, слщуе ¡з рис. 4, де зображен1 д1аграми для дво- 1 чотириточково! функцш Гд'2', Г<?'4) з точтстю до трипетлевих вклад1в. У випадку функцп Гд'2' вщповщ-ш штегральш значения приведет для д/дк2Гд'2'.

Петлев1штеграли однаков! для моделей р1зно! симетри. Таким чином, от-римаш представлення петлевих штеграл1в для нещлого <1 та Тх числов! значения (в робот1 ми подаемо !х у вигляд1 таблиць з кроком Д^ = 0.1), вщкривають шлях для анализу критично! поведшки р1зпих моделей.

Наступном кроком при виклад1 загально! схеми анал1зу критично! поведшки при дов1лышх значениях с! е з'ясування. як працюе запропонований метод до-слщжепь. Проводиться попередш обчислешш ыльюспих характеристик критично! поведшки т-векторпо! модел1 ¡з вщомим величинами при щлих <11 ви-ясняеться, яка точшсть необхщна при визначенш типових значень петлевих штегралш.

— о. -е- & ш х ХХХ^Х хО

1 о г2 о й 1 1 1 ¿1

)ооо< XX) )8<

Рис. 4: Графи функщй Г<2>, Г<4> у триттст левому наближепш.

Результати, отримаш при застосуванш описаного вище методу до дослщжепня критично! поведшки при нецелому й декшъкох стандартних моделей статистично! ф1зики викладеш в третьому розд1Л1 дисертацп. Дослщжепня розпочинаються ¡з детального апал1зу критично! поведшки модел! 1зшга у ви-падку. коли (1 змшюеться в пром^жку дпж оехльию та иижньою критичною вимфшетю, що становить для модел! 1зшга 1 < (I < 4. На вщмшу вщ шших моделей, що розглядаються в цьому розд!л1 дисертацн, модель 1зщга при довигь-ному зпачелш й була предметом Грунтовного анал13у. Тому основпе завдання полягае в тому, щоб, вперше застосувавпш запропонований нами метод масив-но1 ренормал!зацм при довЫьному фшеованому значенш вим1рност1 простору до дослщжепня модел! 1зшга, перев!рити його надгйшеть ! достов!ршсть отри-маних результат'ш.

Спочатку ми отримуемо вирази для РР функщй скалярно! модел1 ф4 у ви-гляд1 ряД1в за перенормованою константою зв'язку, запнеаних у трипетлевому наближенни У зв'язку ¡з асимптотичпою природою отриманих ряд1в для ре-нормгрунових функщй, слщ застосовувати певну процедуру пересумовування для отримання достов!рно! шформацп па !х шдстав1. Це реал1зовано за допо-могою модифжованого пересумовування Паде-Бореля. В результат! ми отримуемо хмльюеш характеристики критично! поведшки з високою достов1ршстю у всьому пром1жку 1 < ё <4.

На вщмшу вщ модел1 1зшга, дат про кригичну поведшку т-векторно! модел! при дов!льпому нецелому значены вим!рност-1 й майже вщеутш 1 результати, представлен! в цьому роздш! дисертацп, дають на сьогодш найповн!щий опис тако! задач!. На пщетав! анал1зу отриманих в робот! РГ фупкц!й 0(т)-симстрично! моде л 1 ми отримуемо числов! значения критичних показник!в при дов1льн1й вим!рност1 простору. На рисунку 5 зображений критичпий показник кореляцшно! довжини и як фупкщя т для р1зних значень ¿. У випадку т = оо ми вщтворюемо точний результат и = (й — 2)~!. Згщно теореми Мермша-

Рис. 5: Критичний показник парно! корелящйяо! функцп у як функщя вим)рност1 ё для т = 2,3,4, оо.

Вагиера-Гогенбсрга, для те! модел! нижня критична вишршсть (1С = 2 при т > 2. що вщповщае асимптотшн функц!! па рис. 5.

Отримаш в робот! вирази для РГ функщй заморожено! розведено! ш-вскторно! модел1 мають вигляд:

(й + (т + 2)ф» + (т + 8)9(6т„+-^ + 5) х

1. т+2.1 24 г,

- 2} + + (^ГГ^ 1(тя +14) х

(м-^ + ^^ + Д?"'+ •■■}. (15)

«, - + (тя + + (|Я"6^8)[.-, - 5 +

uv +

Тут шдекс (3LA) означае трипетлевий вклад (залежний вщ штеграл!в ¿i--¿9)

який ми не приводимо явно через гром1здысть. Результата, що нас цпсавлять. розглядаються в репл1чнш границ! п = 0. Як i у прикладах, що наводилися вище, у зв'язку ¡3 асимптотичною природою ряд^в (15) - (18) для обчисленяя над1йпо1 шформаци на Ix ocnosi слщ застосовувати процедуру пересумовуван-пя.

Ми розглядаемо узагальнеппя методу Паде-Вореля на випадок фупкцш декшькох змганих, обираючи зам1сть Паде-апроксимант ращональш апрокси-манти двох змшпих - апроксиманти Ч1сгольма. В результат!, система р1впяпь ßu{u*,v*) = 0,ßv(u',v') = 0 метить 4 nepyxoMi точки i у робот: проводиться аналЬ ix criüKoCTi та вщповщно! критично! поведшки для р1зпих значепь глобальних параметр1в. Для достатньо великих значень т, т > гпс, ¡зотроп-на нерухома точка (ii* ф 0, V* = 0) е стшкою i визначае критичпу поведшку сисгеми. Це означае, що критична поведшка розведено! системи сд1впадае з критичною поведшкою вщповщно! чисто! системи. Коли шльюсть компонент параметра впорядкування зменшуеться, починаючи з марпяального значения тс, ¡зотропна нерухома точка стае нестойкою i ввдбуваеться кросовер до змшапо! нерухомо! точки (и* ф 0,г>* ф 0). Ця нетухома точка описуе нову 'ви-падкову' (random) критичну поведшку. Зокрема, у випадку розведено! модел! 1зшга (m = 1, п = 0) стойкою виявляеться нерухома точка и* ф 0, v" ф 0 для Bcix значень nuMipirocTi 2 < d < 4. Цей висновок узгоджуеться ¡з евристичним критер!ем Tappica (A.B. Harris, J.Phys.C, 1974, 7, 1671): асимптотичн! значения критичних показникгв при розведенш змшюються лише rani, коли питома теплоемп1сть "чисто!" системи розбп-аеться. Таким чипом, у випадку m = 1 нова критична поведшка спостер1гаеться на всьому пром1жку 2 < d < 4, як це слщуе, зокрема, i з результат1в наших обчислепь, приведених на рисунку 6.

Результата обчислеяь викоданих за допомогою ренормгрупового пщходу при фшсовашй вим!рност1 простору пор1вняш з ¡шпими ввдомими результатами на рисунку 6. 3 рисунку слщуе, що для дослщження критичних властивостей розведено! модел! Ыпга у дшянщ d м!ж верхньою та нижньою критичними

BHMipnocTHMH найбшыд надшним е теорегико польовий ренормгруповий шдхщ при фшсованш BHMipnocTi простору.

Рис. 6: Значения критичного показника кореляц^йно! довжини слабо розведено! заморожено! модел1 1зшга як функгцл вишрпост1 простору. Наш) результати в дво- (штри-хова крива) та тридетлевому (сушльна крива) наближениях пор1внюються з результатами, отриыаними за допомогою методу методу масштабних пол1в (К.Е. Newman, E.K. Riedel, Phys.Rev.B, 1982, 25, 264) (:нрочки) та пересумованого г'^-розкладу (ромбики). Квадратиком зображепий найточшпшй ¡з вщомих аналггичних результат для тривим1ржо1 теорн (I.O. Mayer, A.I. Sokolov, B.N. Shalaev, Ferroelectrics, 1989, 95, 93; I.O. Mayer, J. Phys. A, 1989, 22, 2815).

Особливо наочно проблему анал1зу асимптотичних ряд ¡в, що пшшкають в теорИ критичних явищ в ашзотропних моделях, можна прошюструпати на приклад! задач!, розглянуто! в четвертому розд!л1 дисертаци. Тут дослщжуеться фазовий перехщ в надпроввдний стан беручи до уваги як флюктуаци параметра впорядкування, так i флюктуаци магщтного поля.

3 теоретично! точки зору згщно теорн надпров1дпост1 БКШ перехвд ¡з нормального у надпровщний стан е класичним переходом другого роду i описуеть-ся гамшьтошаном Гинзбурга-Ландау з комплексним параметром впорядкування, що ввдгавщае хвильовш функцп купер!вських пар. Враховуючи флюктуаци параметра впорядкування можна знайти величини ввдповщних критичних по-казник!в, kotpi у цьому випадку сшвпадають ¡з критичними показниками 0(т)-

симетрично! модел1 при тп = 2. У свою чсргу, це веде до висповку, що перехщ у надпров!дпий стан описуеться тим самим набором критичних показпюив, хцо i nepexifl нормально! рвдини у падплинний стан. Врахуванпя того, що при переход! у надпроввдний стан вщповщва "надплинна рщина" е зарядженою, суттево ускладнюе задачу. Влерше таке питания розглядалося Галпершим, Любеись-ким i Ma (1974) i з тих nip пропонувались pi3Hi способи розгляду iiie! проблеми. Теоретичною моделлю, запропонованою для опису критично! поведшки, слу-гуе звичайна (Э(т)-симетрична модель Ф4 з m/2-компонентним комплекспим полем Ф, що взаемод!в 13 кал^брупальним полем, котре описуе флюктуююче магштпе поле (В = rotA), створепе купер1вськими парами. Таким чином, ми маемо справу \з ашзотропною моделлю, з кал1брувально ¡нвар1антним гам1ль-TonianoM:

H = f Л-ф„|Ф|2 + ||CV - ге0А)Ф|2 + + ^(VA)2}, (19)

котрий залежить вщ голих параметров t0, во, «о. Параметр <0 змшюе знак при певшй температур!, а решта парамстр!в вважаються незалежхшми вщ темпе-ратури. Для константи зв'язку ео = 0 вемае магштяих флюктуацШ i модель зводиться до звичайно! лольово! Teopi! (14), що описуе перехщ другого роду.

Як i в попередшх роздшах дисертацп, для опису властивостей модел! (19) в окол! точки фазового переходу застосовуеться метод ренормал1зацгйно! групи. Вих1дними данимн для пашого дослщжеппя е огримаш в схем! мш!мального вщ-шмаяня педавш двопстлев1 результати (S. Kolnberger, R. Folk, Phys.Rev.B, 1990, 41, 4083) для ренормгрупових функций модел! (19). Ргоняния для hotokib для нерснормованих констант зв'язку и. / (/ = е2) е такими:

Д., (20)

де I - параметр потоку, а вирази для /З-функщй вщо.\п у двопетлевому яабли-женш. Попередшй апал1з вираз!в типу (20), в одно- або двопетлевому набли-женвях базувався на "безпосередпьому" розв'язуванн1 р!впянь для перухомо! точки. Це приводило до результату, що р1вняння не м^стять епйко! яерухомо! точки при тп = 2, i загальдого висновку про те, що в ташй модел1 вщбуваеться фазовий перехщ нершого роду.

У зв'язку з тим, що ряди мають асимптотичну природу, в нашому досл'щжен-iii ми застосовуемо мстоди апялпу ряд1в, що вшшкають в авззотропних моделях. Один 1з результаив наших обчислепь, отримакий на шдегав! апалиичпого продовження ряд!в для /?-функщй показаний на рис. 7, де зображено д^аграму потоку (flow diagram) р1впяпь (20) для т = 2. Просир копстант зв'язку подменяй на дешлька частин сепаратрисами (tobctI лшп на рисунку 7, що з'едпують

д = dl

du _

ldl ~

иерухом! точки. Кр1м Раусово! (О: и" — 0, /* = 0), ¡снуе ще три нерухом1 точки, одна вщповвдае беззарядовому (II: и* ^ 0, /* = 0) а дт шеи - зарядовим (С1, С2: и* ф 0,/* ф 0) випадкам. Нерухом! точки в, С1 1 II е нестойким (чорш круги), а нерухома точка С2 е сийкою (показана як чорний квадрат па рисунку 7). Також на рисунку показан! декшька рхзних лшш потоку.

и

Рис. 7: Лшн потоку р!внянь (20) для випадку гга = 2, й = 3.

Те, що зарядова перухома точка С2 е стшкою, приводить до значень кри-тичних показдик'ш, вщмгшшх вщ значень показпишв в беззарядов^й перухом1й точщ и, тобто вони не сшвпадаюгь ¡з критичыими показниками 4Яе, як де часом стверджуеться. Ми провели обчислення ефективних критичних показ-ник1в, котр1 характеризують перехщ в падпровццшй стан. На рисунку 8 зо-бражено ефектившш крятичний показпик кореляздйно! довжини вздовж л1нш потоку рис. 7. 3 рисунку видно, що зпачешш критичного показника корелящй-но! довжини (так само як 1 значения шхпих критичних показниюв) в асимпто-тичшй границ! в!др!зняються ищ значень в нерухомш точщ и. Вщзначимо також, що отриманий нами критичний показпик парно! кореляцшяо! функцп ц е вщ'емним, що узгоджуеться ¡з результатами недавн!х дослщжень.

0.85

flow parameter

Рис. 8: Ефективний критичний показвик и для iiotokíb, показания на рисунку 7 (де-тальшше див. у тексп).

Ockíльки значения критичних показhhkíd отримат нами в двопетлевому наближенш ¡з застосуванням Паде-анал13у, !х слщ розглядати як попередяь Головне ж твердження, що винливае з наших дослщжеиь, полягае в тому, що при ренормгруповому анал1з1 модел1 надпровщника все ще ¡снуе можлтпеть фазового переходу другого роду ¡з критичними показниками, вщмшними ввд noKa3HHKÍB *Не.

П'ятий роздш дисертацн присвячений доелвджепню критичних явищ в ашзотропних моделях ф1зики пол1мер1в. Вагато особливостей поведшки по-Л1мерних лапцюпв у доброму розчиннику можна пояснити якшдо i описати тлькюпо з високою точнютю завдяки застосуванню методу РГ. ПроГрес у пьому напрямку спричипили ще! Де Жена про зв'язок мш моделлю 0(тп)-симетричного d-BUMtpnoro феромагнетикапоблизу критично! температурит = Тс у rpanimi m = 0 та блуканнями ¡з самоупиканням (SAW - self avoiding walks ) на гратщ тако! ж bhmíphoctí. Зокрема, критичш показники v та 7 корелящйно! довжини i Marnixnoï сприйнятливост1 0(т)-симетрично! модел1 при то = 0 вщ-

поввдають показпикам розм1ру та кшькост! конф1гурац1й v та 7, що описують середню квадратичну вщстапь R2

R?~N2", iV> 1 (21)

М1ж кшцями ланцюга з N MOHouepio та шльк1сгь ZN можливих cnoco6iB реал1-заци SAW ¡з N кроюв на задашй гратцк

ZN~ цкТР-\ iV> 1, (22)

до р - неушверсальна константа зв'язность

Щ закони були узагальнеш для опису систем пол1мерних ланцктв у доброму розчиннику, що зв'язан! кшцями i утворюють так звану пол)меряу атку (В. Duplantier, J.Stat.Phys., 1989, 54, 581). Для задано! сггки G сшввщношення (22) виконуеться ¡з показником 7 = 7о, котрий характеризуе «тку. Бшыпе того, пщклас сггок, котрий називаеться пол1мерними з^рками (polymer stars) i складаеться 13 F пол!мерних ланнюпв зв'язаних м!ж собою одним ¡з кшщв, характеризуется базовим набором показпшав ур. Показник 7с полимерно! с1тки можна виразити через показники jF 3ipOK, що II утворюють. В той час як показники (21),(22) штенсивно дослщжувались методом РГ у pi3irax BapiaH-тах, 3ipKOBi показники ще не е достатньо вивченЬ 1х знаходженпя приводить до визна.чення аномальпих вим^рпостей композитних onepaTopia 13 шпуром, р!вним нулю - traceless operators (D. J. Wallace, R. K. P. Zia, J.Phys.C, 1975, 8, 839). Це мохе штерпретуватися як розгляд ашзотроппо! теоретико-польово! модел! ¡з лагранж1апом, що мштить дв1 константи зв'язку: одна з них е 0(тп)-симетричною i описуеться тензором SQll...)a4, а симетр!я шшо! характеризуеть-ся 5,0(т)-симетричним тензором ¡з нульовим шпуром jVai-'"-aF:

ЦФьФь] = \\ ddT[(pl\$\2 + |V0|2) + +

~№"--агфаК...фаг]. (23)

Зазначимо, що проблема ренормал1заца композитних оператор!в ¡з нульовим лшуром до появи паших po6iT розглядалась лише за допомогою е-розкладу. Ввдмшною рисою наших дослщжепь е те, що подобно до того, як не робилося в роздшах 3,5 дисертацн ми застосовуемо р1вняпня масивно! теори поля при фшсованш вим1рност! простору. Записуючи умови нормування масивно! те-opii поля ми отримуемо вирази для ренормгрупових функцш в трипетлевому наближепш. 1х анал1з проводиться за допомогою перетворепня Паде-Бореля а також техщки пересумовування, основано! на конформному вщображенш. В результат! отримуються значения з1ркових показпишв 7f, приведен! в таблиц! 1.

Таблица 1: Значения критичиих показншив yF отримаш в тривим1ршй теорн (колонки 2,3,4,5) в пор1вняшп з результатами е-розкладу (колонки 6,7,8) (L. Schäfer, С. von Ferber, U. Lehr,В. Duplantier, Nucl.Phys.B, 1992, 374, 473) i обчислепь Мопте-Карло (колопка 9) (A. J. Barret, D. L. Tremain, Macrornolecvles, 1987, 20, 1687; J. Batoulis, К. Kremer, Macromolecules, 1989, 22, 4277).

F <1 = 3 d = 3 £-розклад Мойте Карло

Паде-Борель конф.вщобр.

3 1.06 1.05 1.06 1.06 1.05 1.05 1.07 1.09

4 0.86 0.86 .86 .83 0.84 0.83 0.85 0.88

5 0.61 0.61 .58 .56 0.53 0.52 0.55 0.57

6 0.32 0.32 .24 .22 0.14 0.18 0.16

7 -0.02 -0.01 -.17 -.17 -0.33 -0.20

8 -0.40 -0.36 -.63 -.62 -0.88 -0.60 (-0.99, -0.30)

9 -0.80 -0.72 -1.14 -1.11 -1.51 -1.01

Ми приводимо типов! значения з1ркових кригичних показнишв, що отри-ыуються за допомогою pisHiix вар!ант'ш обчислень в тривим'фшй теори (наш'1 результата), в техшш г-розкладу для теорп з нульовою масою та в метод1 Монте-Карло. Таблиця 1 слугуе тестом стаб1льност1 результате до змши схе-ми обчислень. Для невелико! к1лькост1 rinoK F < 5 результата р1зпих тдхолш добре узгоджуеться М1ж собою та з результатами Монте-Карло. Для бшьшо! к!лькост1 гшок F > 5 узгоджешсть результатов попршуеться. Основною причиною е те, що при обчисленш 31ркових показншав хомбшаторш множники приводять до розкладу за Fe у випадку s розкладу i за Fg при розклад! за пе-репормоланою константою зв'язку д. А для таких великих значень параметра розкладу навггь пересумований ряд не дае падйно! шформацп.

Наступним кроком у наших дослвджеинях е узагальпенпя reopiï однорщних пол1мерних 3ipok та cîtok на випадок, коли сггку утворюють полшери р1зних copTÎB. Для опису системи / пол1мерпих ланцюНв використовуеться модель Едвардса, узагальнепа на випадок ландюпв рЬних coprie. Конф1гурад1я одного пол1мера задаеться траектор1ею ra(s) в d - вшпрному простор! Ш?, параме-тризованою поверхневою зм1нною 0 < s < Sa. Таку систему можна описати за допомогою гам1льтотану:

т~Я(г°) = £ Г d+ \ £ и* / d"rp.(r)ft(r), (24)

«вГ ^J о ds 6а^, J

де «об - симетрична матриця взаемодш виключеного об'ему м1ж ланцюгами a, b = 1,..., /; густини pa(r) = /0So ds5d(r — ra(s)). Статистична сума отримуеть-ся як функциональный штеГрал за вйма можливими конфдуращями системи пол1мерш, под!лений на II об'ем:

Вщшдадний теоретико-польовий лагранж1ан С / взаемод!ючих т компо-нентних дол1в фь, що в гранищ т 0 описуе критичну поведшку системи пол1мер1в (24) е таким:

Для дослщження тако! задач1 ми застосовуемо два pi3iii способи виконання нроцедури перенормування: перенормування при нульовш Maci з наступним е-розкладом та РГ тдхщ при фжсоватй вим1рност1 простору. Зокрема, де дозволило дерев1рити надшшсть паближень i точшсть отриманих результатов. Чисельш результата отримаш нами для так звано! потр1йно! пол1мерно1 cyMinri (ternary solution), що складаеться ¡з пол1мср1в двох сорт1в, помщених у добрий розчинник (третя компонента). Зокрема, на шдстав1 дослщження р1внянь для РГ потоку зроблено висновок, про те, що в rpannni безмежно довгих ланцюпв поведшка систсми пол1мер1в двох сорив у розчиш описуеться такими ж законами сксйлшгу як i поведшка односортного розчипу.

У птостому p03nijii дисертацп продовжуються дослщження асимптотичних властивостей складних пол1мерних систем а також розвинена нами теор1я за-стосовуетьея для опису явища. дифузп б1ля фрактального абсорбера. Спочат-ку розглядаються пол1мерш з1рки, утворен1 ланцюгами р1зних сорт1в. 1х мас-штабш властивост! описуються аномальними вим1рностями композитних опе-ратор1в П{=1 Фа Ttopii з лагранж1аном (26). Шльшсний опис пол1мерпо! З1рки утворено! полимерами двох сорив проводиться в термшах запроваджених нами копол1мерних з1ркових показниюв r/}1;.i. Так, для'з1рки утворено! j\ пол1мср-ними ланцюгами сорту 1 i /2 пол1мерними ланцюгами сорту 2 кшьюсть кон-ф1Гурац1й записуеться як:

де R ~ N" розм!р ¡зольованого пол1мерного ланцюга (21), £ - масштаб. Ми об-числюемо копольмерш з1рков1 показники при умов1 взаемного уникання лан-цюг1в 1-го i 2-го сорту для таких випадив: лапцюги 1-го сорту е блукання ¡3 самоуниканнями (SAW), ланцюги 2-го сорту е випадков! блукання (RW) -

(25)

Zt ~ (Rjtyilih-h,ila-hт2:

(27)

ланцюги обидвох copi-iu е RW - rfjiS2\ ланцюги обидвох сорив е SAW - 77^¡2. Осташпй випадок зводиться до розглядспо! вами в попсрсдпьому poздiлi од-норщпо! полшерно! з1рки. А для показпиюв rfj^^ мн отримуемо в Tcxnini

£ = 4 — d -розкладу таш вирази:

Члл (£) = -Л h| + /1 /2 (/2 - з + /,) J - /, h (/2 - 3 + л) (/, +

/2 + 3((3)-3)^, (28)

Vflh{e) = J, (l - h - 3/,)| + /, (25 - 33/, + 8/,2 - 91/, + 42/,/, +

л

18/22)^ +f, (577 - 969/, + 456/,2 - 64/,3 - 2463/2 4- 2290/,/, -

492/, 2/2 + 1050/22 - 504/,/22 - 10S/23 - 712((3) + 936/,С(3) -

224//4(3) + 2652/гС(3) - 1188/,К(3) - 540/22С(3))-^, (29)

де £(3) ~ 1.202 - (/функщя Романа. KpiM цього, для Зфки ¡3 / взаемних уникань (mutually avoiding walks - MAW) ми отримуемо:

vfMV00 = -(/ - 1 )f\ + /(/ ~ 1)(2/ - 5)^ - (/ - l)/(4/2 -

20/ + 8/C(3) -19((3) + 25)J^. _ (30)

Вирази для копол{мерних 31ркових ноказншав ми отримуемо також проводя-чи обчислення безпосередньо у дво- i тривим1рнш теор1ях. Чисельш значения критичних показншав отримуються в робот! за допомогою застосувапня pb-них техн1к пересумопування для асимптотичних ряд!в критичних показншав i можуть слугувати основою для проведения вщповвдних експеримепталыгах дослщжень.

В останнш частиш розд1лу побудовапа пами теор1я застосовуеться для опи-су явища дифузм поблизу фрактального абсорбера. Ми розглядаемо задачу, запропоновапу М. Кейтсом i Т. В1ттеяом (М.Е. Cates, Т.A. Witten, Phys.Rev. А, 1987. 35, 1809) про дифуз1ю частинок поблизу фрактального абсорбера i зна-ходження усереднених за поверхнёю абсорбера розв'язюв тривим1рного piB-няння Лапласа для скалярного поля р{т)\

V2p(r) = 0 (31)

¡3 граничними умовами

р{т) = 0 на noBepxni абсорбера,

р(г) = роО для ¡г| -> оо. (32)

Моменти < [p(r)]n > поля на вщсташ г вщ абсорбера лшшного po3Mipy R вецуть себе як:

де А(гг) - Ha6ip незалежних показншав. В той час як абсорбер е фракталом (у наших дослщженннях ми вибираемо його у форм! SAW або RW), нотис поля р(г) визначае мультифрактальну Mipy на a6cop6epi. Представления розв'язюв стацюнарного р1вняння дифузп (31) у вигляд! ¡нтегралу за траектор1ями до-зволяе описати ланласове поле i абсорбер за допомогою одного формал13му. При цьому /-тий момент поля < [р(г)]/ > в точщ г пропорцШний до кшькоси конф^Гурацш f випадкових блукань, один кшець кожного з яких знаходиться в точщ г; випадков1 блукання уникають абсорбер, заданий як два блукання, що також закшчуються в точщ г. Таким чином, ми приходимо до розгяду стати-стично! суми пол1мерно1 з!рки блукань двох сорт1в. В результат!, вибираючи абсорбер у форм! випадкового блукання (RW) або блукання ¡з самоуниканням (SAW) ми визначаемо показники:

1 на шдстав1 попередньо отриманих вираз1в для копол1мерних з1ркових показ-нишв ^¡¡¡2 знаходимо для них вирази у вигляд! ряд1в теори збурень с-розкладу та тривиапрпо! теорп. Под!бним чином ми знаходимо шли величини, котр1 характеризуют мультифрактальну м1ру 1 пов'язаш Ь спектром показншав А(л) - показники Гельдера та спектральш функцп. Для отримання !х числових зна-чень ми застосовуемо техшку пересумовування. Таким чином, отримавши характеристики мультифрактально! м1ри, що характеризуе процес дифузп б1ля фрактального абсорбера, ми, одночасно, вперше застосовуемо техшку пересумовування асимптотичних ряд!в в теорп мультифрактальних м1р.

В роздш1 висновки викладеш найб1лыд важлив! результат!!, отримат в дисертацц. Вщзначаеться, що метою роботи е розглянути з едино! точки зору критичну поведшку р!зних ф1зичних об'екив, що описуються ашзотропними моделями. Це, зокрсма, дозволяе застосовувати методи, котр! традищйно ви-користовуються в одних дшянках ф1зики до анал1зу задач, що виникають в шших дшянках. Головш висновки роботи можна сформулювати у вигляд1 таких тверджень:

1. Запропоновано щею застосування методу колективних змшпих для аналь зу критично! поведшки ашзотропних моделей. Це дозволило, поряд з неушвер-сальними характеристиками, дослвдити неушверсальш величини. Зокрема, для модел! розведеного замороженого магнетика зроблено висновок про роз-

< [р(г)Г (r/R)4n),

(33)

<W(") = —tJin,

АялиК") = -Чгп + V20-

(34)

(35)

М1ри дшянки концептрацШ магштно! компонента, при яких ¡епуе фазовий переход у магпетовпорядкоианий стан.

2. В рамках методу теоретико-польово! ренормал1зацЬшо! г*руди ми запропонували метод дослщження критично! поведшки при вец'тШ вим!рност! простору. Слщуючи ще! Дж. Пар131 про перепормування безпосередньо у двох та трьох вимфах ми запропонували розглянути ренормгрупов1 функци масив-но! теорп поля безпосередньо при нсц'шому значенш вим1рност! простору д. ! розробили пеобхщний теоретичний грунт для використання такого шляху до-слщжень. Зокрема, у наших дослщженнях ми детально зупинились на анал1з1 критично! поведшки при нещлй вим1ркост1 простору трьох моделей: модел! 1зшга, т-векторно! модсл1 та слабо розведено! га-векторно! модель Проведеш нами дослщження привели до надп'ишх значень критичпих доказникш декшь-кох моделей при нецолих <1.

3. Важливий ф1зичггий висновок слщуе ¡з розглянуто! нами задач! про вплив флюктуатй па фазовий лерехщ в надпротмдтгй с.тап\э врахувадням флюктуацш магштного поля, породженого купер!вськими парами. 3 наших дослщжснь ви-пливае, що при ренормгруповому анал!з1 модел! надпров!дпика все ще ¡снуе можливкть фазового переходу другого роду ¡з критичдими показниками, вщ-мганими вщ показншав *Не.

4. 3 проведених нами дослщжель тривиморних пол1мер!в складно! топологи (пол1мерпих аток ! згрох) вштливають результата, котр'у добре узгоджуються з результатами числового моделюзання та £-розкладу 1 евщчать про залежшеть асимптотичних масштабних властивостей пол1мерних зорок В1д !х топологи.

5. Ми запропонували модель для дослщження багатосортних пол!мерних с!ток ! для !х опису ввели поняття копол1мерних з!ркових показншав. У випад-ку двох сорт1в пол!мер1в ми вперше дослщили спектр показнишв, що описують масштабш властивост1 з!рок.

6. Важлив! результати в наших дослщженнях отримаш при вивчеят характеристик дифузп поблизу фрактального абсорбера. Ми виконали обчи-слення в рамках теоретико-польового шдходу, пов'язуючи напп дослщження ¡з дослщжекням масштабних властивостей композитам польових операторов I визначаючи !х спектр. А саме. ми показали, що масштабш властивост1 ко-поломерних зорок задають набор показкиков, що визначають скейлшг усередне-пих момешпв густипи дифупдуючих частинок поблизу абсорбера. Ми застосу-вали техноку пересумовування, котра себе добре зарекомендувала в теорстико-польових обчисленнях, для отримання над1йдо! щформацоо про спектральну функдою, показники Гельдера 1 показники. котр1 визначають масштабну по-ведшку усередцених моментов густини дифупдуючих частинок. Широко засто-совна в теоретико-польових дослщженнях критичпих язюц, ця техшка ще не

використовувалясь в теорп мультифрактал!в.

Ochobhi результата дисертацп опубликован! в роботах:

[1] Вакарчук И.А., Рудавский Ю.К., Головач, Ю.В. Исследование критических свойств n-компопентной модели на основе приближенного преобразования репормализадионпой группы // Физ. Многочаст. Сист. - 1983. - No 4. - С. 44-59.

[2] Рудавський Ю.К., Головач Ю.В. Наближене р1внянпя ренормал1зацшно! групп для n-компонентно! модел! Стешп // Доповвд1 АН УРСР. - 1986. - No 6. - С. 64-67.

[3] Головач Ю.В. Застосування методу ренормал1задшно! групи до анал1зу критично! темпсратури сшнових моделей // Доповвд АН УРСР. - .1987. -No 1. - С. 41-44.

[4] Юхповский И.Р., Рудавский Ю.К., Головач Ю.В. Исследование критического поведения n-компонентной модели Стенли в методе коллективных переменных // Термодинамика необратимых процессов. - Москва: Наука.

- 1987. - С. 49-55.

[5] Holovatch Yu.V. Phase transition in the anisotropic cubic model // Ferroel. Lett.

- 1987. - vol 8. - No 1. - P. 11-14.

[6] Holovatch Yu.V., Shpot N.A. Approximate renormalization group tansformation in the theory of disordered systems // Proc. 3rd Int. Workshop "Nonlinear and Turbulent Processes in Physics". - Kiev: Naukova Dumka. - 1988. - vol 1. - P. 264-267.

[7] Головач Ю.В. Теория возмущений для задачи о фазовом переходе в модели Стенли // Физ. Многочаст. Сист. - 1989. - No 15. - С. 7-15.

[8] Holovatch Yu.V. On the critical behaviour of an anisotropic cubic model // Acta Phys. Pol. - 1989. - vol 75. - No 4. - P. 457-468.

[9] Головач Ю.В., Шпот M.A. К вопросу о влиянии случайных примесей на фазовый переход в изотропной то-компоиентной модели // Труды Всес. конф. "Современные проблемы статистической физики". - Кшв: Наукова Думка. - 1989. - том 2. - С. 291-296.

[10] Holovatch Yu.V. Critical temperature of the site dilute model by the approximate RG approach // Ferroel. Lett. - 1990. - vol 11. - No 5. - P. 111-116.

[11] Holovatch Yu.V., Shpot N.A. Critical indices of random m-vector model by approximate renormalization group approach // Acta Phys. Pol. - 1990. - vol 78. -No 3. - P. 369-378.

[12] Holovatch Yu., Shpot M. Critical exponents of random Ising-likc systems in general dimensions // Journ. Stat. Phys. - 1992. - vol 66 - No 3/4. - P. 867-883.

[13] Головач Ю-, Шпот H. Критическое поведение разбавленной ш-векторной модели при нецелых размерностях пространства // Вопросы Атомн. Науки и Техники. - 1992. - No 3(24). - С. 48-53.

[14] Holovatch Yu., Shpot N. Critical exponents for Ising-like systems in non-integer dimensions from field theory // Renormalization Group'91. 2nd Int.Conf. - Singapore: World Scientific. - 1992. - P. 45-54.

[15] Holovatch Yu. Phase transition in continuous symmetry model in general dimensions - fixed dimension renormalization group approach // Int. Journ. Mod. Phys. A. - 1993. - vol 8. - No 30. - P. 5329-5351; Saclay preprint SphT/92-123

[16] Holovatch Yu. Critical exponents of Ising-like systems in general dimensions // Теор. Мат. Физ. - 1993. - том 96. - No 3. С. 482-495.

[17] Holovatch Yu. Critical behaviour of some model spin systems in non-integer space dimension // Proc. Int. Conf. "Physics in Ukraine". - 1993. - Kiev: Bogoliubov Institute for Theoretical Physics. - P. 52-55.

[18] Holovatch Yu., KrokhmaFs'kii T. Compilation of two-point and four-point graphs in field theory in noninteger dimensions // Journ. Math. Phys. - 1994. - vol 35. -No 8. - P. 3866-3880.

[19] Holovatch Yu. On the method for study of the critical behaviour of spin models in arbitrary space dimension // Cond. Matt. Phys. - 1994. - No 3. - P. 33-56.

[20] von Ferber C., Holovatch Yu. Star exponents in polymer theory // Cond. Matt. Phys. - 1995. - No 5. - P. 8-22.

[21] Holovatch Yu. Critical behaviour in non-integer dimension // Lecture Notes in Physics. - Berlin: Springer Verlag. - 1996. - vol 477. - P. 224-236.

[22] Folk R., Holovatch Yu. On the critical fluctuations in superconductors // Journ. Phys. A. - 1996. - vol 29. - No 13. - P. 3409-3425.

[23] von Ferber C., Holovatch Yu. Polymer stars in three dimensions // Теор. Мат. Физ. - 1996. - том 109. - No 1. - С. 34-50.

[24] von Ferber С., Holovatch Yu., Schäfer L. Diffusion near an absorbing polymer // Cond. Matt. Phys. - 1996. - No 7. - P. 15-25.

[25] Holovatch Yu. Renormalization group study of the m-vector model between two and four dimensions // Ferroelectrics. - 1997. - vol 192. - No 1. - P. 55-59.

[26] von Ferber C., Holovatch Yu. Statistics of multicomponcnt polymer stars // Cond. Matt. Phys. - 1997. - No 10. - P. 9-40.

[27] von Ferber C., Holovatch Yu. Copolymer networks: Multifiactal dimension spectra in polymer field theory // Europhys. Lett. - 1997. - vol 39. - No 1. - P. 31-36.

[28] Folk R., Holovatch Yu. Is the noimal-to-superconducting transition of first or second order? // Journ. Phys. Stud. - 1997. - vol 1. - No 3. - P. 343-355.

[29] von Ferber C., Holovatch Yu. Field-theoretic operators for multifractal moments // Renormalization Group'96. 3rd Int.Conf. - Dubna: JINR. - 1997. - P. 123 - 138.

[30] von Ferber C., Holovatch Yu. Copolymer networks and stars: Scaling exponents // Phys. Rev. E. - 1997. - vol 56,- No 6. - P. 6370-6386.

[31] von Ferber С., Holovatch Yu. Copolymer networks: The spectrum of scaling dimensions // Physica A. - 1998. - vol 249. - Nos 1-4. - P. 327-331; preprint ICMP-97-19E.

[32] Holovatch Yu. Critical behaviour in non-integer dimension: fixed dimension renormalization group approach // ХРте Congrès International de Physique Mathématique, UNESCO-Sorbonne. Livre des Résumés. - Paris. - 1994. - P. 39-40.

[33] von Ferher C., Holovatch Yu., Schäfer L. Scaling laws for linked polymers and diffusion near a fractal absorber // Meco'20, 20th Seminar of the Middle European cooperation in statistical physics. Abstracts. - Wels (Austria). - 1995. - P. 18.

[34] Holovatch Yu. On the critical behaviour of weakly diluted Ising model: 3d results and their extension to non-integer d // Int. Seminar "Critical phenomena and self-organization". Abstracts. - Dubna (Russia). - 1995. - P. 20.

[35] Folk R., Holovatch Yu. On the critical fluctuations in superconductors // Meco'22, 22nd Seminar of the Middle European cooperation in statistical physics. Abstracts. - Szklarska Porçba (Poland). - 1997. - P. P22.

Головач Ю.В. Критичш явища в ашзотропних моделях статистично! фши-ки: магнетики, пол1мери. - Рукопис.

Дисертащя на здобуттн наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за снешальшстю 01.04.02 - теоретична ф1зика. - 1нститут физики конден-совапих систем HAH Украши, Лыпв, 1998.

Дисертащя присвячена дослщженню критичних явищ у ф1зищ конденсова-них систем, KOTpi онисуються за допомогою формально шдабних моделей статистично! физики Î3 атзотропними ефективними г » м i л ь т о н ian ами. Теория критичних явшц в таких системах побудована в рамках ренормгрупового пщходу ¡з застосуванням як традищйних, так 1 розроблених в дисертацп методик Серед прикладвих результате роботи: пояснения впливу флюктуащй магштного поля па перехщ в надпров1дний стан; обчислення значень показнишв, що характеризуют масштабш властивост1 пол1мер1в складно! топологи; створення kùilkîchoï Teopiï копол1мерних cïtok та опис на ïï ochobï процесу дифузп по-близу полимерного абсорбера.

Ключов1 слова: критичш явища, ренормалЬашйна трупа, критичш показ-ники, ашзотропш модель

Головач Ю.В. Критические явления в анизотропных моделях статистической физики: магнетики, полимеры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических паук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт физики конденсированных систем НАН Украины, Львов, 1998.

Диссертация посвящена исследованию критических явлений в физике конденсированных систем, описываемых при помощи формально похожих моделей статистической физики с анизотропными еффекгивпыми гамильтонианами. Теория критических явлений в таких системах достроена в рамках ренор-мгруппового подхода с применением как традиционных, так и разработанных в диссертации методов. Среди прикладных результатов работы: объяснение влияния флуктуации магнитного поля на переход в сверхпроводимое состояние; вычисление значений показателей, характеризирующих масштабные свойства полимеров сложной топологии; создапие количественной теории кополимер-ных сетей и описание на ее основании процесса диффузии вблизи полимерного абсорбера.

Ключевые слова: критические явления, ренормализационная группа, критические показатели, апизотронные модели.

Holovatch Yu.V. Critical phenomena in anisotropic models of statistical physics: magnets, polymers. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for Condensed Matter Physics of the National Academy of Scienccs of Ukraine, Lviv, 1998.

The dissertation is devoted to the study of critical phenomena in condensed matter physics described by formally similar models of statistical physics with anisotropic effective Hamiltonians. Theory of critical phenomena in such systems is constructed in the frames of the renormalization group approach applying traditional as well as elaborated in the dissertation methods. Main applications of the study include: explanation of the influence of magnetic field fluctuations on the transition to the superconducting state; calculation of the exponents characterizing scaling features of polymers of complex topology; quantitative theory of copolymer networks and description of diffusion near the polymer absorber on this basis.

Key words: critical phenomena, renormalization group, critical exponents, anisotropic models.