Кручения в категории модулей над расслоенным произведением колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИТВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ щ. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

РГ6 ол

п , ,,,, На правах рукопису

/ ' . -;;'' ■; г " 7

УДК 512.553

ВОВ К Роман Володимирович

СКРУТИ В КАТЕГОРЙ МОДУЛ1В НАД РОЗШАРОВАНИМ ДОБУТКОМ КШЕЦЬ

01.01.06 — алгебра та теорш чисел

Автореф>. 1Т дисертаци на здобуття наукового ступеня кандидата с|лзико-математичних наук

Ки'ш 1997

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана у Лыпвському державному ушверситет! ¡м. 1.Франка

Науковий кер1вник: кандидат ф1зико-математичних наук,

Офщшш опоненти: доктор ф1зико-математичних наук,

Пров1дна установа: Харювський державний ушверситет

Захист в1дбудеться 17 червня 1997 року о 14-й годиш на заадан ш спещал13овано! ради Д 01.01.01 при Кшвському ушверситет] ¡меш Тараса Шевченка за адресою: 252127 Кигв - 127, проспект Академгка Глушкова б, мсхатко-математичний факультет,.

3 дисертащею можна ознайомитись у б1блютещ ушверситету за адресою м.Кигв, вул. Володимирсъка, 62.

Автореферат розшлашш „й року.

доцент Комарницький М.Я.

професор Кириченко В.В.

академик АН Молдови,

доктор ф'^зико-математичних наук,

професор Рябухш Ю.М. (Молдова)

Вчений секретар спещалйзовано! ради

Оваенко С.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Дисертащя ирисвячена вивченню скру-tîb в категорп модупв над розщаровашш добутком юлець. Точ-Hinie, тут дослщжуються взаемозв'язки Mi>K властивостями скру-tîb над розшарованим добутком шлець i властивостями скруйв над в1дпов1дними множниками.

Конструквдя розшарованого добутку множин природшм чином виникла в топологи i привертала увагу багатьох доапдни-гав. IIotîm ¡дея використання розшарованих добутгав в KaTeropi-ях, BiflMÎHHiix В1Д топодоггпшх npocTopiB, все 'iacTime приваблюе спещал1ст1в, що працюють в алгебру reoxieTpii, Teopii граф1в, то-що. Особливу популярнгсть ця гдея здобула теля ycniniHoro використання iï в алгебра1чнш Â'-Tcopii (Басс X. Алгебраическая /¿"-теория - М.: Мир, - 1973. 591 е., Милнор Дж. Введение в алгебраическую Л'-теорию - М.: Мир, - 1974. 196 е.). Ряд важливих застосувань розшароваш добутки знайшли в алгебраачнш геоме-Tpiï та Teopii категорш. В Teopii юлець та модул1в розшароваш добутки здебшьшого використовуються для побудови приклад1в та контрприклад ¡в. Разом з тим, е роботи, в яких доанджуеться будова розшарованих добутюв юлець (модуив) за властивостями множниюв та r0M0M0p(|n3MiB, яы задають структуру розшарованого добутку. Розшароваш добутки юлець доапджувались ба-гатьма авторами. Узагальнено ixm результати можна виразити у вигляд1 твердження: категор1я ш'ективних (проективних, плоских) модутв над розшарованим добутком юлець екв1валентна розшарованому добутку вщповщно категорш ш'ективних (проективних, плоских) мод}\шв. Дании факт для проективних моду-л1в дов1в Mi л нор. Прнпускаючи що Bei шльця е комутативними i один i3 гомоморф1зшв с ш'екгивним, Ферранд (Ferrand D. Descente de la platitude par un homomorphisme fini // C. R. Acad. Sei Paris, - 1969, - 269. P.946-949.) дов1в аналопчний результат для плоских модул1в i Васконселос (Vasconselos W.V. Conductor,

proectivity and injectivity // Pacific J. Math., - 1973, - 46. P.603-608) для проективних i ш'ективних модул1в. Частксда результати для ш'ективних KOTBipHiix отримали ФаччЫ (Facchini A. Fibre product and Morita duality for commutative rings // Rend. Sem. Math. Univ. Padova, - 1981, - 67. P.143-156) i Вамос (Vamos P. Ring with duality // Proc London Math. Soc., - 1977, - 35, No 3. P.275-289). В1сман (Wiseman A.N. Pullbacks of rings // Thesis, University of Sheffield, - 1981. 108р.) також досшджував питания, аналопчш до розглядуваних Минором, у випадку проективних i плоских модул1в при додаткових обмеженнях. ffi результати на ocHoei досконалшго1 техшки узагальнили Фаччш1 i Вамос (Facchini А., Vamos P. Injective modules over pullbacks // J. London Math. Soc. (2), - 1985, - 31. P.425-438) для ш'ективних модул is, i, як настдок, отримали аналопчш результати для плоских i проективних мо-дул1в. Досшдженнял! в цьому напрямку присвячена теж стаття (Nashier В., Nichols W. Pathcing modules over commutative squares // Journal of Algebra - 1988, - 113. P.294-317), де певт власти-bocti модулгв над розшарованим добутком юлець визначаються властивостями модул!в над юльцями-множниками.

Напрямок, в якому досл1джуеться структура розшарованих до-бутк1в юлець, започаткував Фаччпн (Facchini A. Fibre product and Morita duality for commutative rings // Rend. Sem. Math. Univ. Padova, - 1981, - 67. P.143-156). BiH встановив нетеровкть роз-шарованого добутку нетерових кшець у випадку сюр'ективност! обох визначальних гомоморф1зшв. У в1дм!чешй po6oTi при цих же обмеженнях доайджуеться спектр розшарованого добутку ко-мутативних кшець. Суттевкть обмеження сюр'ективност1 на ви-значальш гомоморф1зми першим зауважив Огома в po6oTi (Ogo-ma Т. Fibre products of Noetherian rings and their applications // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., - 1985, - 97. P.231-241). Але його позитивш результати для комутативних нетерових ылець отри-маш в припущенш сюр1 eKTHBHocTi одного з визначальних гомо-

морс}пзм1В. Це припущення збершаеться i в формулюваннях результата дано! дисертацп. Огома знайшов HeoGxiflHi i достатш умови нетеровост1 розшарованого добутку комутативних нете-рових юлець та описав ix спектр. В наступит po6oTi (Ogoma Т. Fibre products of Noetherian rings // Advanced Studies in Pure Mathematics, - 1987, - 11. P.173-182) вш эастосував Ц1 результата до побудови аналогу прикладу Нагати некатенарних геометрич-них юлець. В результат цього побудова таких прикладпз стала прозоргаою.

Багато автор1в цшавляться структурою спектру комутативних юлець i поведшкою його при "склеювант" простих 1деал1в (Doering A.M.S., Lequain Y. The gluing of maximal ideals - spectrum of a noetherian ring - going up and going down in polynomial rings // Transactions of the American Mathematical Society, - 1980, 260 No 2. P.583-593; Golan J.S., Raynaud J., Van Oystaeyen F. Sheaves over the spectra of certain noncommutative rings // Communications in Algebra, - 1976, - 4, No 5. P.491-502; Yanagihara H. On glueing of prime ideals // Hiroshima Math. Journal, - 1980, - 10. P.351-363 i iH.). Техшка склеювання також використовуеться для конструю-вання р1зномаштних кшець з пот[мбшши властивостями спектру. Як показав Огома, одним ¡з таких техшчних npiiiioMis склеювання, можливо найефектившшим, полягае в переход! до розшарованого добутку юлець. Отже, це тдкреслюе важливкть вивчення розшарованих добутгав юлець i модул1в над ними.

Зрозухпло, що аналопчш питания е цшними у випадку Teopii асощативних (не обов'язково комутативних) юлець. Зокрема, ва-жливо знати при яких умовах розшароваш добутки нетерових Ki-лець е нетеровими, як влаштований спектр (в ceHci Попеску), то-що. Цжавим с теж питания про функтор1альтсть спектру неко-мутативних кшець. Саме цим питаниям присвячена дисертацшна робота, що, безумовно, тдтвсрджуе ii актуальшсть.

Мета роботи. Ввести i досл1дити розшароваш добутки

скрутав (радикальних фшьтр1в) 1 на цш основ1 описати гратку скругпв в категори модушв над розшарованим добутком кшець. Дооидити ыльця дроб1в розшарованого добутку шлець. Знайти умови нетеровост1 розшарованого добутку некомутативних нете-рових юлець. Описати теоретико-скрутовий спектр розшарованого добутку некомутативних юлець.

Мегоди дocлiджeнь. Основу доаюджень склали методи те-ор!1 юлець та модугив, гомолопчно! алгебри, теорн граток. Наукова новизна. В робот! отримано так! нов! результати:

• введено природш поняття розшарозаного добутку скрутив та розшарованого добутку радикальних фь71ьтр1в;

• описана гратка скрут1в розшарованого добутку юлець;

• знайдеш достатш умови нетеровоеп розшарованого добутку некомутативних нетерових юлець;

• описано спектр розшарованого добутку некомутативних К1-лець;

• встановлено зв'язок м!ж кшьцем дроб1в розшарованого добутку юлець та юльцями дро(лв множниюв.

Теоретична та практична цшшсть дисертацп полягае в тому, що одержан! результати узагальнюють ряд теорем таких в1ДО.\шх математигав як Вамос, Огома, Фачч1Ш 1 шших. Вони розкривають аналогно М1Ж комутативними та некомутативними юльцями при дослщженш проблем, зв'язаних з розшарованими добутками кшець. В щлому вони становлять певний внесок в те-ор1Ю юлець та модул!в. Ва одержан! в дисертацп факти мають загально-теоретичний характер ! ¡х прямого практичного вико-ристання не передбачаеться.

Апробацгя роботи. Результати дисертацп допов1дались на VI симпоз1ум1 по теорй юлець, алгебр та модушв (Льв!в, 1990); м1жнароднш науковш конференци, присвяченш 100-р1чмю з дня народження М.Г.Чеботарьова (Казань, 1994); всеукрашськш науковш конференци " Розробка та застосування математичних ме-

тодхв в науково-техтчних доопдженнях", присвячент 70-р1ччю ßifl дня народження П.С.Каз1М1рського (Льв1в, 1995); м1жнарод-нш конференцп "Representation theory and computer algebra" (Ки-¡в, 1997); розширеному алгебра"1Чному ceMinapi, присвяченому 80-ргию В1д дня народження Л.А.Калужнша (Ктв, 1994); алгебраЬ чних ceMiHapax Кшвського та Льв1вського ушверситет!в.

Публжацп. По тем! дисертаци опублпсовано 8 наукових ро-6iT, список яких наведено в кшщ автореферату.

Об'ем i структура робота: Загальний обсяг дисертаци становить 115 сторшок машинопису. Дисертащя складаеться i3 вступу та семи шдроздшв. Список використаних джерел мктить 71 найменувань.

3MICT РОБОТИ

У встуш обгрунтовано актуальшсть проблематики дисертаци, наводиться короткий огляд po6iT за темою дисертаци, характе-ризуеться зм1ст роботи i ii основт результата.

В нульовому тдроздш, для повноти викладу, 3i6pam необхшп означення та факти, яи використовуються в дисертаци.

У першому тдроздш, який носить вступний характер, роз-криваеться будова розшарованого добутку юлець А = А\ х Aß А^ i достатньо детально описуеться конструкщя корозшарованого добутку модул1в М = Mi UMa М? над юльцем А.

Нехай А = А\ X Аа А2 - розшарований добуток кшець, заданий ушверсальнпм квадратом

pi

А -> А1

А2 -> А0

h

де гомоморф1зм /2 е сюр'ективним. Д\я функтора Нотд{—,Е), де Е - ш'ективний Л-модуль, на цю д1аграму приводить до коу-

шверсального квадрата

М •(- Mi

1 <2>

М2 «- Mo

який задае корозшарований добуток модул1В М = М\ \ЛМа , де Mi 6 Ai-Mod, М2 £ A2-Mod i М0 6 A0-Mod.

Нагадаемо, що екв1валентннми називаються так! ш'ективш модуле кожний з яких вкладаеться в прямий добуток кошй iHmoro. Використовуватимемо так! позначення:

Рх = HomA(Ai, -) : A-Mod Ax-Mod, Р2 = Ногпа(А2, -) : A-Mod A2-Mod, Fi = HomAl (Ao,-) : Ay-Mod A0-Mod, F2 = HomAi (A0, -) : A2-Mod A0-Mod.

Нехай дано функтор) T

Т A^Mod xAo_Mod A2-Mod Л-Mod Г : {Mx,M2, а) М, де М = Mj UWo М2

Цей функтор е правим спряженим до функтора S

S : A-Mod —у Ax-Mod xAo.MoJ А2 Mod S-.M^M(Px,P2,r]M),

звщки випливае юнування шверсних екв1валентностей М1Ж пов-ною шдкатегор1ею £(А) в A-Mod, яка породжена ш'ективними А-модулями, i повною шдкатегор1ею £ в що породжена об'ектами (Ex, Е2,а) i3 J, де Ег е ш'ективним Л ¡-модулем i Е2 е ш'ективним А2-модулем в1дпов1дно (див. вшцециговану роботу Фаччш1 i Ва-моса).

МЪк егамвалентшши ш'ективними модулями над розшарова-ним добутком юлець A i екв1валентними ш'ективними модулями над клльцямп А\ i А2 встановлено взаемозв'язок, який описуеть-ся наступили чином: якщо (Ei,E2,a), (Е[, Е'2,а') - об'екти ка-тегорп С = Ax-Mod xAo_M(><J A2-Mod i E = T(E1,E2,a) i E' = T(E[, E2,a'), де T - функтор, заданий вище, то ш'ективш А-модулi E i Е' с cKBiBa.TeiiTHiif.iii тoдi i tuiьки тод'и коли nipm наступи! три твердження: 1) Е\ = Р\{Е) i Е[ = Pi(E') е екв1ва-лентними ш'ективними Ai-модулями; 2) Е2 = Р2{Е) i Е'., = Р2(Е') е екв1валентними ш'ективними Л2-модулями; 3) E» = F2P2(E) i Е'0 = F2P2(E') е екв1валентними ш'ективними Ло-мо дулями.

KpiM цього, встановлет деяк! imai властивост1 модугйв, яю збе-р1гаються при переход! до корозшарованих добутыв:

- Л-модуль M = Mi üMo М2, де Mi = Pi(M), М2 = Р2{М) i Mo = F2P2(M) e однорЦним тод1 i tLîbkii тод!, коли M\ i М2 e однор1дними А\- i Л2-М0дулями в1дпов1Дно;

- якщо M = Mi üMo М2, де Mi = Pi{M), М2 = Р2{М) i М0 = F2P2(M), то модуль M е скшчено-втйрним по Голд1 тод1 i ильки тод1, коли модул1 Mi i М2 е скшчено-втирними по Голдь

Другий тдрозд!л ирпсвячений досладженню в1диов1дност! м1ж скрутами в KaTeropii модуллв, яка визначаеться гомоморфизмом галець. Маючи гомоморф1зм кхлець f : А —> В побудовано bî-дображення /-1 : B-Tors —> A-Tors. При дп цього воображения кожному скруту а £ B-Tors з ш'ективним котв1рним M G B-Mod сшвставляеться скрут f~l(cr), коиороджений ¡н'ективною оболон-кою £?(дМ) модуля аМ. Показано, що воображения /_1 с гомо-морф1змом повних граток. Доведено також, що гомоморфЬм /-1 переводить первинш скрути над кыьцем В у первинш скрути над шльцем А.

Основним результатом другого шдроздку е наступна теорема.

Теорема 15. Нехай / : А —> В - стморфгзм галець, M G A-Mod. 1н'ектпивна оболонка Е(М) копороджуе первин-

ний скрут т 6 A-Tors modi i тгльки modi, коли гн 'сктивний B-модуль Нотпа(В,Е(М)), копороджуе первинний скрут а € B-Tors. KpiM цъого, т = f~l(a).

У третьому шдроздш описаш скрути в категори модул1в над розшарованим добутком юлець. 3 щею метою ми вводимо нов) поняття розшарованих добутюв скрутгв i радикальних фшьтр1в.

Нехай категор!я С = A\-Mod x-Ao.Mod A2-Mod е розшарованим добутком категорш A\-Mod i A2-Mod над категоркю Ao-Mod i A = Ai xAg A2. Розшарованим добутком CKpyriB т\ i т2 в ка-Teropiï С назвемо скрут г, копороджений об'ектом (Е^. Е-^.в) в категори С, де Е\ G A\-Mod i Е2 € A?-M od - ш'ективш KOTBipm CKpyTiB T\ i 7"2 в1дпов1дно, a 9 - 1зсм0рф1зм в категори Ao-Mod в : Fi (Ei) F2 (E2)• Скрут г з категори A-Mod, копороджений

таким ш'ективним модулем що д1аграма

<- ^

! i ^- £J0

е коушверсальним квадратом також називатимемо розшарованим добутком cKpyTÎB. 1н'ективний модуль Еп £ Ao-Mod копороджуе скрут то- Позначатимемо цей розшарований добуток скрут1В через rj хТо т2 i називатимемо його розшарованим добутком CKpyTiB ri i т2 над скрутом т0.

Першим основним результатом дисертаци е

Теорема 19. Нехай А = А% Хд0 А2. Грагпка скругпгв A-Tors iзоморфна розшарованому добутку граток A\-Torsx. a0_tots A2-Tors.

В цьому шдроздш доведено ряд фактов, яю встановлюють В1Д-повщшсть м1ж перюдичними i нашвпростими класами модул1в над розшарованим добутком юлсць Ai xAoA2i в1дпов1дними класами модушв над кшьцями Ai i А2:

- модуль М £ A-Mod е r-нашвпростим тод1 i тальки тодц коли Mi = Р\{М) е Г1-нап1впростим, М2 = Р2(М) - т2-натвпростим i Mo = F2P2(M) - г0-нашвпростим;

- Л-модуль М = Mi UMo Mi е т-першдичним тод; i тальки тод1, коли Mi е ri-перюдичним i М2 е г2-перюдичшш в1дпов1дно A¡-Л2-модулями;

- для модугпв М € A-Mod, Мх = Pi(M), М2 = В2(М), М0 = F2P2{M) мае мюде piBHicTb г (Mi üMo М2) = тх(Мх) Uro(Afo) т2(М2);

- якщо гальця A] i Л2 е проективними A-модулями, Л-модуль М = Мх UjVfo Мъ заданий коушверсальним квадратом (2), то Л-модуль N е r-чистим (шдльним) в М € A-Mod тод1 i тальки тод1, коли Nx = Нотпл{А\, N) е тх-чистим (щшьним) в Мх ~ HorriA(Ai,M), i N2 = HomA(A2,N) е т2-чистим (тцшьшш) в М2 = HomA(A2, М).

Одним Í3 основних результатав в цьому шдроздш е

Теорема 26. Нехай А = Аху.ЛдА2 -розшарований добуток kí-лець, кыъця Ах i Л2 е проективними як А-модулг. М = Mi UMo М2 i т = тх xTg r2. Todi модуль М е абсолютно т-чистим modi i гпглъки modi, коли Мх е абсолютно тх -чистим, M-¿ е абсолютно т2-чистим г Ma е абсолютно То-чистим модулями.

В дисертаци встановлено, що для радикальних ф1льтр!в i кйтець Ai i А2 вщповщно множина ^ = {/ ¡ / £ ¿(Л), € Bctí, A2p2(I) € 3v2} e радикальним фоьтром киьця Л. Цей факт дае можлшисть визначити розшарований добуток скрутав <тх i <г2 як скрут, що в1дпов1дае радикальному ф1льтру Встановлеш деяк1 властивоста розшарованого добутку скрутав.

У четвертому шдроздш описано структуру л1вого спектру розшарованого добутку кшець. Це становить другий основний результат дисертаци:

Теорема 29. НехайА = Ai ХДо Л2 -розшарований добуток кi-лецъ, заданий утверсалъним квадратом (1). С — /1 (Ai)n/2(A2) -пгдкгльцс в Ао, Ф = jx орх = /2ор2 - гомоморф1зм кыецъ А -» Aq.

Якщо S - множина ecix власних первинних скрупив в категоргг A-Mod,

SQ = {Ф-Цто) | го G C-Sp}, Si = {р^Ы I П € Аг-Sp , Ker/j % AnnAlM г х(М) = ти de М 6 Ax-Mod }, <S2 = {Р2 Ч'г) I r2 € Imp2-Sp , Кег/2 £ Annimp2N i X{N) = r2, de N € Imp2-Mod }, mo 5 = 50 U Si U S2.

Юльцям дроб1в розшарованого добутку кыець присвячено п'я-тий шдроздии дисертацн. Позначимо через As праве тльце дро-6íb кшьця А вщносно мультишпкативно-замкнено! множини S. Тод1 мае мкце наступний результат.

Твердження 30. Не хай А = Ai хЛо Я2 - розшарований добуток кыець, S, Si, S2 i Sq ~ мулътиплгкативно-замкнет множини в кыъцях A, Ai, А2 г Aq eidnoeiduo, rnani гцо S = Si xSo S2, i гснуютъ лгвг кыъця dpoóie As, Ais,, A2s2 ¿ вказанш кыець eiduocno заданих множин. Todi As = Ais, xAos •

Нагадаемо, що для кшьця ендоморфЬкпв S = EndA(E) модуля Е icHye ендофунктор Ве(-) = Нот$[НотА(—, Е), Е) в катего-pü A-Mod. Отримано наступний результат про модул! часток розшарованого добутку млець.

Теорема 31. Нехай А = Ai хДо А2 - розшарований добуток кыець, заданий унгверсалъним квадратом (1), де гомоморфгзии fi г /2 е сюр'ективними, г = тх хто т2 - розшарований добуток cnpymie Ti 6 Ai -Тогs i т2 £ A2-Tors над т0 6 Ao-Tors i гснуютъ

A-Í30M0pij¡ Í3mu

HomA{BE{Ax),E)=HomA(Ai,E), HomA(BE{A2), E)=HomA(A2,E), НотАз (Be{Ao), E)=HomA2 {A0, E). Todi, лкщо гснуютъ ModyAi часток QT(A), QT(Ai), QT(A2) i QT(Ao) А-модулгв A, Ai, A2 i Ao вгдносно скруту t, mo Qr(A) = Qr(Ai) xQt(Aq) Qt[A2).

У шостому шдроздш доопджуються HeTepoBi i нашвнетеров! юльця, г-HeTcpoBÍ модуль Знайдено достатш умови нетеровост1 розшарованого добутку некомутативних нетерових кшець. Це становить суть третього основного результату дисертацй.

Перед формулюванням нагадаемо, що двосторонш ¿деал I шль-ця А волод1е правою властшзктю ApTÍHa-Pica (А11-властивктю), якщо для кожного правого щеалу К юльця A icnye таке натураль-не число п, що К П 1Л С К1. Дана властившть використовуеться при доаидженш локал1зацш, стабьльних скрутив, тощо. Не випад-ковою е поява ii при вивченш розшарованих добутгав юлоць.

Нехай С = fi(Ai) П/2(А2), Ki = Кег/i, К2 = Кег/з-

Твердження 32. Нехай А\, А2,0 - нетеровг справа кгль-ця, (деали К\,К2 задоволънлють праву у мочу Артгна-Ргса, а IC(/Kl+l, K^fK?*1 скшчено-породжем правг С-модулг за будь-лких j £ N. Todi кыъце А = А\ Хд0 А2 нетерове справа.

Знайдено необхщш i достатш умови нетеровостй розшарованого добутку id.if-ць певного типу.

Теорема 33. Якщо гомоморфгзми ji i f2 такг, що всг правг гдеали кшець А\ iA2, якг мйтлться в где плах eidnoeiduo К\ iK2, маютъ централът систему, гпвгрних, то кгльце А — А\ А2 е нетеровим справа modi i пильки modi, коли виконуютьел такг умови:

(i) кыъцл Ai, А2 i С нетеровг справа;

(И) модуль Ki/Kf - екгнчено-породжений правий С-модуль при кожному i = 1,2.

1з yiei теореми результат Огоми отримуеться як безпосереднш

НЛСЛ1ДОК.

Цжавою е також 1дея перенесения даних результаив на в1днос-ний випадок. У цьому напрямку не вдалось отримати кшцевого результату, але деякх позитивш просування ми наводимо в цьому ж шдроздш.

Нагадаемо, що л1вий A-модуль М е т-нетеровим тод1 i ильки

TOfli, коли для довшьного зростаючого ланцюга Mj Ç М2 С ... шдмодул1в модуля M icHye таке натуральне число к, що фактор-модуль Mi+ijMi е т-пертдичним для кожного г ^ к. Умови, при яких модул! над розшарованим добутком юлець е т-нетеровими визначае наступна теорема.

Теорема 35. Нехай А = Ai хАо А2 - розшарований до-буток гллецъ, кыьця А\ г А2 е проективними лк А-модулг, M = М\ UA,o М2 ~ корозшарований добуток модулгв, de Mi = HomA(Ai,M), Мг = НотА(А2, M) г М0 = HomAl (A0.Mi), г г — Ti xtq т2 - розшарований добуток CKpymie Т\ G A\-Tors, т2 £ A2-Tors над tq £ Aq-Tors.

Якщо модулг Mi с Ti-петеровим i М2 е т2-нетеровим, то гх корозшарований добуток M с т-нетеровим.

Теорема 35 е четвертям осовним результатом.

ЛПвий Л-модуль M е г-кокритичним якщо вш т-нашвпростий, i кожний його ненульовий шдмодуль е т-ццльним. Клльце А е на-тзнетеровим тод1 i ильки тодц коли для кожного власного скру-ту г G A-Tors icHye r-кокритичний л1вий А-модуль. В1дм1тимо, що л1ве нетерове кшьце е л1вим нагпвнетеровим. Про розшаро-ван1 добутки л1вих натвнетерових кшщь отримано наступний результат:

Твердження 38. Нехай А = Ai хАдА2 розшарований добуток кыецъ, заданий утверсалъним квадратом (1), кыьця Ai г А2 е проективними як лгвг i правг А-модулг г гомоморфгзми fi i f2 е сюр'ективними. Кыъце А е ллвим напгвнетеровгш modi i тыьки modi, коли кыьця Ai i А2 е лгеими напгвнетеровими.

Дане твердження узагалыдае вищезгаданий результат Фач-

чшь

Автор висловлюе подяку своему науковому кер1внику Комар-ницькому Микол1 Ярославовичу за постшну увагу до роботи, ц1-hhî поради та зауваження.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП

1. Вовк Р.В. Розшароват добутки сnpymie // Математичш студи, - 7, N2, - 1997. С.119-130.

2. Вовк Р.В. Кыъцл dpo6ie розшарованого добутку кглець // Bic-ник JlbßiBCbKoro утверситету. Cepin мехашко-математична, -47, - 1997. С.5-16.

3. Вовк Р.В. Про некомутативт h-локалът кыъця // Алгебра i тополопя. Тематичний зб1рник наукових праць, JIbBiB, - 1996. С.55-57.

4. Вовк Р.В., Комарницькин М.Я. Розшароват добутки деяких некомутативних нетерових кыецъ // Алгебра i тополог1я. Тематичний зб^рник наукових праць, Кшв, - 1993. С.26-32.

5. Vovk R.V. On a spectrum of fibre product of rings // Representation theory and computer algebra, (Kyiv, March 18-23), - 1997. P.46.

6. Вовк P.B. Абсолютно а-чистые модули над расслоенным произведением колец // VI симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Тезисы сообщений, Львов, - 1990. С.33.

7. Вовк Р.В. Некоммутативные h-локалъные кольца // Алгебра и анализ. Тезисы докладов международной научной конференции посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (5-11 июня 1994г., г.Казань), - 1994. С.25.

8. Вовк Р. Н-локалът, повтстю обмежет кыъця // Всеукращ-ська наукова конференщя "Розробка та застосування матема-тичних мeтoдiв в науково-техшчних до сложениях" присвяче-на 70-р1ччю В1Д дня народження професора П.С.Каз1м1рського. Тези допов1дей, частина I, Львiв, - 1995. С.17.

Ключов! слова: розшарований добуток ылець, скрут, розша-

рований добуток скрутав, гратка скрут1в, спектр, кiльцe дроб1в.

Вовк Р.В. Кручения в категории модулей над расслоенным произведением колец. Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1997.

В диссертации исследуются расслоенные произведения колец ц модули над ними. Введены понятия расслоенного произведения кручений и радикальных фильтров и исследованы простейшие их свойства. Установлено изоморфизм между решеткой кручений над расслоенным произведением колец и расслоенным произведением решеток кручений над кольцами-сомножителями. Описано спектр расслоенного произведения колец. Найдены условия, когда расслоенное произведение колец является нетеровым. Установлено связь колец частных расслоенного произведения колец с соответствующими кольцами частных колец-сомножителей.

Vovk R.V. Torsion theory in a category of modules over fibre product of rings. The manuscript. Thesis of the dissertation for obtaining the degree of the candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1997.

Fibre products of rings and modules over them are investigated in the dissertation. New terms of fibre product of torsion theories and gabriel topologies are introdused and their simple properties are explored. Isomorphism between a lattice of torsion theories over fibre product of rings and fibre product of lattices of torsion theories over rings-multipliers is established. A spectrum of fibre product of rings is described. Conditions when the fibre product of rings is noetherian are found. Connection between rings of quotients of the fibre product of rings with the appropriate rings of quotients for rings-multipliers is established.