Кулоновские состояния дырок в кубических полупроводниках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

На правах рукописи

ГАЛИЕВ Вячеслав Исмаилович

КУЛОНОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЫРОК В КУБИЧЕСКИХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

01.04.10 - физика полупроводников и диэлектриков

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте радиотехники и электроники РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник * А-Ф-Полупанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Н.С.Аверкиев

доктор физико-матецатических наук А-С-Каминский

Ведущая организация: Международный центр научной и технической информации-

Защита диссертации состоится 25 февраля 1993 г. в 13°° на заседании Специализированного совета К.002.74. 01 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу: 141120, Московская обл., г.Фрязино, пл.Введенского, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН.

Автореферат разослан ЫА" Of

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

" ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Хорошо известно, что для зонной структуры кубических элупроводников с решеткой алмаза и цинковой обманки характерна южная структура валентной зоны: вырожденный ее максимум и эличие двух ветвей - тяжелых и легких дырок- Наличие ^лоновского потенциала, создаваемого примесями или дефектами в элупроводнике, приводит к смешиванию легко- и тяжелодырочных эстояний, что, в свою очередь, ведет к крайне сложному характеру эавнений приближения эффективной массы, описывающих эти эстояния, решения которых дают, в частности, спектры энергий и элновые функции акцепторных примесей и экситонов в этих элупроводниках- В связи с этим, несмотря на проводимые зтенсивные исследования, большое число задач, для решения эторых необходимо знание кулоновских состояний дырок, в □стности, целого ряда актуальных задач одного из важнейших ззделов физики полупроводников - физики примесных состояний - до их пор не было рассмотрено. Кроме того, в связи с развитием эхнологии и появлением все новых структур с квантовыми ямами, эпример, полупроводниковых квантовых цилиндров и квантовых эчек, возникает актуальная проблема расчёта различных эрактеристик приыесей в этих структурах- Для решения всех этих роблем появляется самостоятельная задача построения точных и эдежных методов решения соответствующих уравнений Шредингера, эму, в частности и посвящена значительная часть диссертации- Все зшеизложенное и определяет важность и актуальность избранной ЭМЫ-

Целью настоящей работы являлось:

1- Построение аналитических методов решения многокомпонентны, сингулярных радиальных уравнений Шредингера, в частности уравнений эффективной массы, описывающих кулоновские состояли дырок в кубических полупроводниках.

2- Исследование влияния заряда глубокой примеси на оптически, переходы в вырожденную валентную зону.

3- Точное решение в ранках сферического приближения задачи ; мелком акцепторе в кубических полупроводниках и расче-зависимости спектра его сечения фотоионизацш от отношени: эффективных масс.тяжелой и легкой дырки.

4- Расчет спектров энергий и оптического поглощения мелки: примесей в полупроводниковой квантовой точке.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

- развиты математические методы, которые пригодны как дл< построения аналитических решений систем сингулярных радиальны: уравнений Шредингера, рассматриваемых в физике полупроводиикоЕ (уравнения эффективной массы), атомной, ядерной физике 1 квантовой химии, так и для рассмотрения более общего кругг проблем - построения решений многокомпонентных сингулярных зэдз! на собственные значения.

- построены точные выражения для волновых функций в случае матричных гамильтонианов с кулоновскиы слагаемым что, е частности, позволяет свести определение спектра пыша характеристик акцепторных примесей б различных полупроводниках г; расчету с помощью стандартных компьютерных программ-

Научная новизна работы.

1. Разработаны новые математические метоцы построений аналитических решений многокомпонентных сингулярных рлпиальных

равнений Шредингера, в частности, уравнений эффективной массы с амильтонианом Латтинджера, описывающих кулоновские состояния ырок в полупроводниках с вырожденными зонами.

2. Исследовано влияние зарядового состояния глубокого римесного центра и электрон-фононного взаимодействия на пектральную и температурную зависимость сечения фотоионизации ефекта при переходах в сложную валентную зону и показано, что орма края примесного поглощения, обычно описываемая эмпирическим равилом Урбаха, хорошо объясняется при учете электрон-фононного заимодействия влиянием заряда дефекта на конечное (зонное) остояние носителя заряда-

3. Вычисленный спектр сечения фотоионизации и его емпературной зависимость для глубокой примеси Не" в ве впервые озволил объяснить экспериментальные данные как по температурной, эк и по спектральной зависимостям, включая область линноволнового хвоста примесного поглощения-

4. Впервые рассчитан спектр сечешя фотоионизации мелкого гаептора в кубическом полупроводнике как функция отношения ффективных масс тяжелой и легкой дырки, т.е. для различных элупроводников.

5. Впервые вычислена зависимость спектра энергий и оптического эглощения манкого акцептора и донора в полупроводниковой зантовой точке от ее радиуса-

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались э Всесоюзной конференции по фотоэлектрическим явлениям в элупроводниках (Ташкент, 1ЭЗЭ); Всесоюзном совещании по теории г/лупроводников (Донецк, 1939); 4-ой Международной конференции по эмпыотерной алгебре и ее применению в физических исследованиях

(Дубна, 1ЭЭ0); 12-ой Всесоюзной конференции по физию полупроводников (Киев. 1990); 4-ой Международной конференции т мелким примесям в полупроводниках (Лондон, Великобритания, 1990) научных семинарах ИРЗ РАН.

Публикации- Материалы диссертации опубликованы в 15 печатньп работах, список которых приведен в конце автореферата -

Структура диссертации- Диссертация состоит из введения четырех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 1И страниц, 8 рисунков. А таблицы и библиографию из 55 наименований Основные положения, выносимые на защиту-1- Развиты математические методы построения аналитически: решений систем сингулярных радиальных уравнений Шредингера. I частности, уравнений эффективной массы, описывающих кулоновски! состояния дырок в кубических полупроводниках-

2. Показано, что влияние заряда глубокого примесного центр; на оптические переходы в сложную валентную зону может быть учтенс путем умножения парциальных сечений фотопереходов в подзон! тяжелых и легких дырок на соответствующие факторы Зоммерфельда Вычислен спектр сечения фотоионизации глубокой примеси Ня~ в ве ] объяснены экспериментальные данные как по температурной, так и п< спектральной зависимостям, включая область длинноволнового хвост; примесного поглощения.

3- Впервые рассчитан спектр сечения фотоионизации мелкой акцептора в кубическом полупроводнике как функция отношени; эффективных масс тяжелой и легкой дырки, т.е. для различны: полупроводников. Установлено, что при очень большой величин» этого отношения он совершенно не похож на спектр водородоподобнся примеси, а напоминает скорее спектр глубокой примеси.

А. Исследована зависимость спектра энергий и оптического гаглощения мелкого акцептора и донора в полупроводниковой свантовой точке от ее радиуса. Установлено, что при достаточно галых радиусах мелкий водородоподобный донор, с точки зрения зптического поглощения, становится "двухуровневой" системой, так сак более 90% всего его поглощения приходится на переход 1в-2р.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность избранной темы,

формулирована постановка задачи, выявлена научная новизна и

фактическая ценность работы, приведено краткое содержание

шссертадаи, формулируется цель работы и перечисляются основные

результаты, выносимые на защиту- Здесь же описаны трудности,

юзникающие при решении квантово-механических задач в случае

дафференциально-ыатричных гамильтонианов с кулоновским слагаемым.

1ан краткий критический обзор использовавшихся до сих пор методов

/

зешения таких задач.

В первой главе детально излагается новый подход к решению дифференциально-матричных сингулярных уравнений Шредингера в ;лучае, когда потенциал является суперпозицией кулоновского и юлиномиального потенциалов- В частности, такими уравнениями звляются уравнения эффективной массы, описывающие кулоновские ;остоякия дырок в полупроводниках с вырожденными зонами- Основная щея метода состоит в следующем: исходное "трехмерное" уравнение ]редингера

№ = В»,

~де волновая функция * зависит от радиус-вектора г и, возможно.

от некоторого числа дискретных {например. спиновых) переменных, можно представить в виде бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В определенных случаях эта система либо "расцепляется" (при наличие симметрии, простейший пример -радиальные уравнения для атома водорода), либо ее можно "оборвать", основываясь на соображениях точности. Т.е. проблема сводится к сингулярной многокомпонентной задаче на собственные значения вида

^wx (f/tix + Р0х d/dx + (яо+я1х+___+дмх' )^f(x) = О, ле(0,+оо),

где w,p_, я. - некоторые пхП-матрицы, a f(x) - п-компонентная радиальная волновая функция. Эта задача имеет две особые точки -регулярную л=о и иррегулярную В главе приведено построение

всех линейно-независимых решений в окрестности регулярной особенности для многокомпонентных уравнений более общего вида, чем вышеприведенное уравнение второго порядка:

00 к

(x d/dx-E^x )у(х) = о,

о

где х принадлежит окрестности нуля, 4,- rf< d-матрицы, а у( ) -d-компонентная функция. Решениями этого уравнения, как показано в главе 1, являются определенные линейные комбинации функций, имеющие следующую форму:

х~ ■ Е uax*, X <S spectrum AQ , к е IN , ц^ е С4'.

Метод позволяет легко выделить "физические" решения. т.к. построенные решения имеют очевидную асимптотику при х —► Важно отметить, что гамильтонианы, рассматриваемые в диссертации, приводят к недефектной матрице ло, имеющей целые собственные значения.

В окрестности иррегулярной особенности решения представляются в виде асимптотических разложений, для получения которых применяется факторизация дифференциально-матричного оператора

Окончательно, в некоторой промежуточной точке )

производится "сшивка" волновых функций и их производных Гряды в окрестности как доказано в диссертации, имеют бесконечный радиус сходимости).

Развитые в этой главе математические методы пригодны не только для построения решений многокомпонентных сингулярных радиальных уравнений Шредингера, которые встречаются в атомной и ядерной физике, физике полупроводников, квантовой химии, но и позволяют решать более общий круг проблем, а именно, строить решения многокомпонентных сингулярных задач на собственные значения.

Во второй главе с помощью развитых методов исследуется влияние заряда глубокого дефекта на оптические переходы в валентную зону. Показано, что влияние зарядового состояния глубокого примесного центра на оптические переходы в сложную валентную зону полупроводника может быть учтено путем умножения парциальных сечений переходов в подзоны легких и тяжелых дырок, вычисленных без учета этого влияния на соответствующие факторы Зоммерфельда и

о

получены выражения для этих факторов. С помощью развитых в первой главе методов эти факторы Зомыерфельда вычислены точно для центров различной симметрии и различного зарядового состояния. В данной главе исследовано влияние зарядового состояния глубокого примесного центра и электрон-фононного взаимодействия на спектральную и температурную зависимость сечения фотоионизации дефекта при переходах в сложную валентную зону и показано, чтс форма края примесного поглощения, обычно описываемая эмпирическим правилом Урбаха. хорошо объясняется при учете электрон-фононногс взаимодействия влиянием заряда дефекта на конечное (зонное) состояние носителя заряда- Влияние электрон-фононногс взаимодействия на край примесного поглощения учитывается в простом одноиодовом приближении с помощью формулы типа Ридли ГЦ -С учетом влияния зарядового состояния примеси, а также электрон-фононного взаимодействия вычислен спектр сечешк фотоионизации и его температурная зависимость для глубокой примеси не" в <3е. Объяснены экспериментальные данные Г21 как пс температурной, так и по спектральной зависимостям сеченда фотоионизации этой примеси в широкой спектральной области, включая область длинноволнового хвоста примесного поглощения. Отмечается, что появившиеся в последнее время подходы к вычислению сечений фотоионизации дефектов в полупроводниках, основанные на кластерных методах расчета, не пригодны дл5 описания интересной с экспериментальной точки зрения спектральной области вблизи края примесного поглощения. Это связано, е частности, с дальнодействующим характером кулоновского потенциал; заряженного дефекта, учет которого в рамках кластерных методов связан с очень большими вычислительными трудностями. Развитый же

в данной главе значительно более простой подход, использующий лишь небольшой набор параметров дефекта, позволяет хорошо описывать именно эту спектральную область.

В третьей главе развитые в первой главе математические методы используются для точного решения задачи (в рамках сферического приближения) о спектре сечения фотоионизации мелкого акцептора в кубическом полупроводнике как функции отношения эффективных масс тяжелой и легкой дырки, другими словами, для различных полупроводников. Действительно, в сферическом приближении (т.е. в пренебрежении гофрировкой валентных зон), которое хорошо выполняется для большинства кубических полупроводников и которое позволяет формализовать задачу, при использовании безразмерных единиц единственным параметром (кроме заряда примесного центра), характеризующим материал, является параметр р. введенный в Г31: где г 1 - это параметры Яаттинджера валентной зоны- Величина параметра ц характеризует эффективные массы ТЯЖеЛОЙ И ЛеГКОЙ ДЫРКИ: (1+/-/ )г1 и полностью

определяет отношение этих масс Р-т^ю^. Р - Поэтому

вычислив спектры при различных параметрах и мы будем знать их (в безразмерных единицах) для различных материалов. Следует отметить, что до настоящего времени спектр сечений фотоионизадаи мелкого акцептора вычислялся только в случае акцепторов в ве в Г4.5Ч. В данной главе вычислены как полные спектры фотоионизации мелких акцепторов в зависимости от значения параметра р (0<<и<1), так и парциальные сечения" фотоионизации с рождением легкой и тяжелой дырок. Показано, что при увеличении величины р (и, соответственно, величины отношения эффективных масс тяжелых и легких дырок) от малых значений- й (м-о,1), соответствующих

экситонноыу диапазону (т.е. спектру сечения фотоионизации пряного экситона). к большим значениям происходит сильное

перераспределение примесного поглощения по спектрального диапазона так, что при достаточно больших значениях этой величины почти все поглощение акцептора приходится на непрерывный спектр (т.е. линейчатый спектр "исчезает"). сечение фотоионизации остается практически постоянным в очень широком диапазоне энергий, а спектр сечения фотоионизации мелкого акцептора напоминает скорее спектр глубокой примеси. Ясно, что такое поведение спектра связано с наличием двух масс. Действительно, основное состояние акцептора имеет тяжелодырочный характер -энергия основного состояния при всех й порядка тяжелодырочного Ридберга. волновая функция тоже имеет, в основном, тяжелодырочный характер, т.е. основное состояние "отслеживает" зону тяжелых дырок, в то время как зона легких дырок изменяется очень слабо при изменении м- Таким образом, при увеличении м происходят переходы из все более локализованного основного состояния в практически неизменную зону легких дырок. Соответственно, если парциальный спектр сечения фотоионизации с рождением тяжелой дырки качественно не изменяется при увеличении м. то спектр, соответствующий рождению легкой дырки, полностью видоизменяется, превращаясь, при в кривую с максимумом, сильно сдвинутым относительно порога фотоионизации.

В четвертой главе вычислены зависимости спектра энергий и оптического поглощения мелкого акцептора в сферической ваАв-квантовой точке (или микрокристалле) от ее радиуса в линейном приближении по параметру, характеризующему гофрировку валентных зон- Предполагается, что потенциальные барьеры на

границах квантовой точки - бесконечно высокие. Эти зависимости рассчитаны также в сферическом приближении как функции величины отношения эффективных масс тяжелых и легких дырок. что. во-первых, позволяет оценить эти величины для квантовых точек из различных полупроводников (см. главу 3). а во-вторых, дает возможность проследить переход от случая мелкого акцептора к случаю мелкого водородолодобного донора, когда отношение масс "дырок" стремится к единице. Показано, что при уменьшении радиуса квантовой точки спектр оптического поглощения сильно видоизменяется, в частности, при достаточно малых радиусах точки более 50« всего поглощения акцептора в (ЗаАв-квантовой точке приходится на переход из основного состояния в состояние г~. которому в объеме полупроводника соответствует очень слабая линия, в случае же мелкого водородолодобного донора практически все поглощение (~99%> приходится на переход из основного в первое возбужденное состояние (1а-2р), таким образом, с точки зрения оптического поглощения. мелкий донор превращается в "двухуровневую" систему.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации:

1. Развиты математические методы построения аналитических

решений систем сингулярных радиальных уравнений Шредингера, в

частности, уравнений эффективной массы, описывающих кулоновские

состояния дырок в полупроводниках с вырожденными зонами. В

окрестности регулярной особенности решения найдены в виде

алгебраических комбинаций степенных функций <\ - собственное

00 к

значение "ведущей" матрицы) , степенных рядов Е^х и функции

о

1шс. В окрестности иррегулярной особенности решения

представляйся асимптотическими разложениями. Предложен метод получения асимптотических разложений при помощи. факторизации дифференциально-матричного оператора второго порядка, который соответствует радиальному уравнению Шредингера.

2- Построены точные выражения для волновых функций в случае гамильтонианов, квадратичных по импульсу и содержащих кулоновское слагаемое. в частности. для гамильтониана Латтинджера, описывающего кулоновские состояния дырок в кубических полупроводниках.

3. Установлено, что влияние заряда глубокого примесного центра на оптические переходы в сложную валентную зону может быть учтено путем умножения парциальных сечений фотопереходов в подзоны тяжелых и легких дырок, вычисленных без учета заряда центра на соответствующие факторы Зоммерфельда. Исследовано влияние зарядового состояния глубокого примесного центра и электрон-фононного взаимодействия на спектральную и температурную зависимость сечения фотоионизадаи дефекта при переходах в сложную валентную зону и показано, что форма края примесного поглощения, обычно описываемая эмпирическим правилом Урбаха. хорошо объясняется при учете электрон-фононного взаимодействия влиянием заряда дефекта на состояние носителя заряда в зоне-

4. Вычислен спектр сечения фотоионизавди и его температурная зависимость для глубокой примеси ня- в <3е. Впервые объяснены экспериментальные данные как по температурной. так и по спектральной зависимостям сечения фотоионизации ШГ в Се, включая область длинноволнового хвоста примесного поглощения.

5. Впервые рассчитан спектр сечения фотоионизации мелкого акцептора в кубическом полупроводнике как функция отношения

эффективных масс тяжелой и легкой дырки, т.е. для различных полупроводников и установлено, что при увеличении этого отношения происходит сильное перераспределение примесного поглощения по спектральному диапазону и качественное изменение формы спектра так, что при очень большой величине отношения спектр становится абсолютно неводородоподобным и напоминает скорее спектр глубокой примеси. Вычислены также парциальные спектры сечения фотоионизации по-отдельности для переходов в подзону легких и тяжелых дырок.

6- Вычислена зависимость спектра энергий и оптического поглощения мелкого акцептора и донора в полупроводниковой квантовой точке от ее радиуса- Установлено, что при достаточно малых радиусах более 50% поглощения акцептора в СаАв-квантовой точке приходится на переход из основного состояния в состояние г", которому в объеме полупроводника соответствует очень слабая линия, мелкий же донор, с точки зрения оптического поглощения становится "двухуровневой" системой, так кате более 90% всего поглощения приходится на переход 1в-2р.

Основные результаты диссертации представлены в следующих

публикациях:

1. В.И.Галиев, А.А.Пахомов, А.Ф.Полупанов. Влияние заряда глубокого примесного центра на оптические переходы в сложную валентную зону. ФТТ. 198Э. 31. с. 182-192

2. В.И.Галиев, А.Ф.Полупанов. И-Е-Шпарлинский. Построение решений систем линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки первого рода. Препринт н 17(518) ИРЭ АН СССР. 1989. 21 С-

3. В.И.Галиев, А.Ф.Полупанов. Точные выражения для волновых функций матричных гамильтонианов с кулоновским слагаемым. Препринт Я 18(519) ИРЗ АН СССР, 1989, 38 с.

4. В.И.Галиев, Э-З-Иыаыов, Н-М-Колчанова, А.А.Пахомов, А.Ф.Полупанов. Форма края примесного поглощения при фотоионизации глубоких центров в полупроводниках, Тезисы докладов Всесоюзной конференции по фотоэлектрическим явлениям в полупроводниках, Ташкент, 1989, с. 218-219

5. В.И.Галиев, А.Ф.Полупанов. Точные решения уравнений эффективной массы в случае матричных гамильтонианов с кулоновским слагаемым, Тезисы докладов 14 Всесоюзного совещания по теории полупроводников, Донецк, 1989, с- 18

6- В.И.Галиев, Н-М-Колчанова, А.А.Пахомов, А.Ф.Полупанов. Влияние заряда глубокого примесного центра на оптические и безызлучательные переходы в сложную валентную зону. Тезисы докладов 14 Всесоюзного совещания по теории полупроводников, Донецк, 1989, с. 35

7- V.I.Galiev, A.F.Polupanov, I.E.Shparlinski. The differences of roots of polynomials and solutions of ODE, Abstracts of IV Int. Conf. on Computer Algebra in Physical Research, Dubna, 1990, C.49

8. В-И-Галиев, А-А-Пахомов, А-Ф.Полупанов. О точном решении проблемы кулоновских состояний носителей заряда в полупроводнике со сложной зоной, Тезисы докладов XII Всесоюзной конференции по физике полупроводников, Киев, 1990, ч.2, с. 103

9. A.F.Polupanov, V.I.Galiev, V.K.Zhuravlev. Photoionization cross-section spectra of shallow acceptors in semiconductors: effect of a chance in heavy- to light-hole mass ratio, Materials Science Forum, 1990, 65-66, pp. 41-46

10. V.I.Galiev, A.F.Polupanov, I.E.Shparlinski. On the construction of solutions of systems of linear ordinary differential equations in the neighbourhood of a regular singularity, J. o£ Computational and Applied Mathematics, 1092, 39, pp. ira-163

11. A.F.Polupano-v , V.I.Galiev. Exact solutions for shallow impurities 3tates and impurity absorption in semiconductor quantum doto, Abstracts of the V Intern. Conference on Shallow Impurities in Semiconductors: "Physics and Control of Impurities", Kobe, Japan, 1992, p. F-Pl

12. V.I.Galiev, A.F.Polupanov. Exact solutions for shallow acceptor states and optical absorption in semiconductor quantum dots, Abstracts of the VI Intern. Conference on Superlattices, Microstructures and Microdevices, Sian, China, 1992, p. We-P-55

13. V.I.Galiev, E.Z.Imamov, A.A.Pabhomov, A.F.Polupanov. Coulomb effect in deep center photoionization, Abstracts of the 21st Intern. Conference on the Physics of Semiconductors, Beijing, China, 1992, p. ThP-153

14. А.А.Пахоыов, А.Ф.Полупанов, В.Й.Галиев, Э.З. Имамов. Влияние заряда глубокого примесного центра на оптические переходы в валентную зону. п. Сравнение с экспериментом, ФТТ, 1991, 33, с.730-734

15. V.I.Galiev, A.F.Polupanov, I.Е.Shparlinski. Distances from differences of roots of polynomials to the nearest integers, Information Processing Letters, 1992, 43, pp. 143-146

Цитируемая литература [13 В.К. Ridley. J.Phye. С. 1980, 13, 2015 [23 Э.Э. Голик, А-И. Кузнецов, В-Л. Синие. ФТП- 1981, 15, 1787

[33 A. Baldereechi, N.O. Lipari. Phys. Rev., 1973, B8, 2697

[4] Ш.М. Коган, А-Ф- Полупанов- ЖЭТФ, 1Э81, 80, 394

[5] А-Ф- Полупанов- ФТП, 1982, 16, 16

Подписано в печать 23.12.1992 г. Формат 60x84/16. Объем 1,16 усл.п.л. Тираж 100 экз. Ротапринт ИРЭ РАН. Зак.6.