Квадратурные формулы для интегралов со сдвигом и численное решение сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

О РЙЗАнс^И!

ОИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА ./_

/

На правах рукописи

ШАКИРОВ Искандер Асгатович

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ СО СДВИГОМ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01. 01. 01 - математический, анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Казанского ордена Ленина и ордена Трудового {фасного Знамени государственного университета имени В.И. Ульянова-Ленина.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук Габдулхаев Б.Г,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Иванов В.В.

кандидат физико-математических наук Тихоненко Н.Я.

Ведущая организация: Молдавский государственный университет

Защита состоится "23" мая_ 1991 г. в 14 час.

на заседании специализированного Совета по математике К 053. Э.05 в Казанском государственном университете имени В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета ( г. Казань, ул. Ленина, 18 ).

Автореферат разослан " _22|' апреля_1991 г.

Учёный секретарь специализированного Совета, доцент {¿¿¿¿¿с?-/-- Шапуков

PCrSKgiftj

rm I. ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ А'л

CC'2 ^ ДЦЦЙ

—актуальность темы. В настоящее время теория сингулярных интегральных уравнений (с.и,у.) со сдвигом, а также тесно связанная с ней теория краевых задач со сдвигом представляют собой самостоятельный и интенсивно развивающийся раздел математического анализа. Из советских учёных в этой области плодот- . ворно занимались Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахов, Д.А.Квеселава, Н.П.Векуа, Б.В.Хведелидзе, Л»И.Чибрикова, B.C.Рогожин, Ю.И.Черский, Г.С.Литвинчук, И.Б.Симоненко, Э,И.Зверович, С.Г.Самко,

B.Г.Кравченко, их многочисленные ученики и последователи. В последнее десятилетие весомый вклад в теорию внесли научные школы Одессы, Минска, Ростова-на-Дону. Итоги исследований подведены в нескольких специальных обзорных работах и монографиях.

Как следует из теории, краевые задачи и уравнения со сдвигом в замкнутом вида решаются крайне редко. Например, решение задачи Газемана представляется через сингулярные интегралы, плотности которых, в свою очередь, являются решениями некоторых уравнений Фредгольма. Поэтому как для теории, так и дяя практики необходима разработка приближённых методов решения таких уравнений и задач с соответствующим теоретическим обоснованием. Если по приближённым методам решения сингулярных ин-. тегральных уравнений получены значительные результаты, обзор которых имеется в монографиях В.В.Иванова, Б.Г.Габдулхаева,-

C.Г.Михлина и З.Прёсдорфа, С.М.Белоцерковского и И.КЛифанова, то для с.и.у. со сдвигом многие вопросы остаются открытыми и по настоящее время.

Первоначальный интерес к приближённым методам решения сингулярных интегральных уравнений и краевых задач со сдвигом проявили В .Г.Иваницкий и НЛ.Тихоненко. Дальнейший вклад в эту область внесли В.А.Золотаревский, В.И.Няга, Н.Я.Тихоненко, В.Д.Диденко, В.Н.Сейчук и др. Работ в этом направлении сравнительно немного. В большинстве из них уравнения со сдвигом сводились к системам сингулярных интегральных уравнений или же к уравнениям Фредгольма второго рода с последующим применением

к ним известных приближённых методов. Такой подход с вычислительной точки зрения является сложным и в ряде случаев является нежелательным. Поэтому представляется целесообразным непосредственное применение прямых и других аппроксимативных методов к с.и.у. со сдвигом, их теоретическое обоснование.

Цель работы- построение и исследование оптимальных по порядку методов вычисления сингулярных интегралов со сдвигом; обоснование некоторых прямых и аппроксимативно-итерационных методов решения ряда классов интегральных уравнений; оптимизация прямых методов решения с.и.у. со сдвигом.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов широко используются теория операторов Нётера, общая теория приближённых методов анализа, теории функций и приближений, сингулярных интегральных уравнений со сдвигом.

Научная новизна. В диссертации предложен новый подход к построению двусторонних регуляризаторов для сингулярных интегральных операторов со сдвигом Карлемана, действующих в векторных пространствах суммируемых и гёльдеровских функций. Для операторов частного вида получены достаточные условия их линейной обратимости. Построены и обоснованы квадратурные формулы для ряда классов сингулярных интегралов со сдвигом. Дано теоретическое обоснование метода механических квадратур, некоторых проекционных и аппроксимативно-итерационных методов для определённых "классов интегральных уравнений. Рассмотрена и решена задача оптимизации конечномерных аппроксимаций сингулярных интегралов со специальными сдвигами. Получены результаты по оптимизации прямых методов решения с.и.у. с карлемановскими сдай гами.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит ~ теоретический характер. Полученные в ней результаты могут най-. ти применение при разработке конкретных алгоритмов приближённого вычисления сингулярных интегралов со сдвигом, при дальнейшем развитии приближённых методов решения сингулярных интег ральных уравнений и краевых задач со сдвигом. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, сво-

- к -

дящихся к уравнениям и задачам рассматриваемого вида.

Апробация работы. Результаты диссертации, по мере их получения, докладывались на семинаре "Теория аппроксимации и её приложения" при Казанском госуниверситете (руководитель - проф. Б.Г.Габдулхаев), на итоговых, научных конференциях КРУ за 19851990 гг. и Нижнекамского филиала КХТИ за 1987-1988 гг., на 11-й научной.конференции факультета математических знаний Куйбышевского политехнического института (г. Куйбышев, 1986 г.), на научном семинаре (руководитель - проф. И.П.Мысовских) в Ленинградском госуниверситете (г. Ленинград, 1988 г.), на Сибирской школе по вычислительной математике (г. Новосибирск, 1988 г.), на 4-м Всесоюзном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Харьков, 1989 г.), на Всесоюзной научной конференции "Методы решения интегральных уравнений" (г. Тарту, 1989 г.), на 3-й Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Одесса, 1989 г.), на научном семинаре (руководитель - И.К.Лифанов) в ВВИА им. Н.Е.Жуковского (г. Москва, 1989 г.), на 5-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (г. Саратов, 1990 г.), на республиканской научной конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения"(г. Киев, 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав, включающих 14 параграфов. Её объём -116 страниц, список литературы содержит 64 наименования.

II.'СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержание работы.

Глава I посвящена построению двусторонних регуляризаторов сингулярного интегрального оператора со сдвигом

™~^ < к к £

№ УУС <Ш5.1 +1, (1)

действующего в стандартных векторных пространствах,суммируемых

С 1р I Г ) , 1 Р , НьА/ )или гёльдеровских ( ЙД Г ), О <. ^ < 1 ) функций , определённых на простом замкнутом контУРе Г . где Т - вполне непрерывный интегральный оператор; С , Ь , )Х/К ~ операторы комплексного сопряжения, сингулярного интегрирования и сдвига соответственно, причём IV - I ( I - единичный оператор, - кратность сдвига Карлемана).

В § I предлагается новый способ построения двусторонних регуляризаторов оператора (I). Для этого, исходя из известного понятия символа этого оператора '

вводится понятие символ-матрицы оператора /

К :

тк( t) =

At Ь Bit)' 'Sit) hit)

(2)

!Ztmn x ¿.V-mn

где A (t) , 8(.t) - матрицы порядка Xmn * Xmn. , составленные из коэффициентов оператора К ; для оператора вида (I) X ■= Z • , а для его частных случаев, не содержащих оператора комплексного сопряжения, X - 1

Множества операторов вида К и соответствующих им сим-в.ол-матриц вида^Сг) образуют алгебры с/Ь и i(TL соответственно. Через JL обозначим фактор-алгебру qA/SQ » -двусторонний идеал вполне непрерывных интегральных операторов. Пусть XL - множество нётеровых операторов из /А. , а

ffL - множество матриц из YYL , определители которых отличны от нуля. Тогда имеют место следующие теоремы (нумерация утверждений в автореферате совпадает с нумерацией утверждений в диссертации).

^ Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977. - с.

Теорема 1.1. Множества ТЬ и Ц7Ъ являются изоморфными между собой группами ( ХТС > где ^

соответствующий изоморфизм).

Теорема 1,2. Двусторонним регуляризатором оператора К е ХЬ является оператор Я & ТС > соответствующий при изоморфизме £ к обратной символ-матрице оператора К , т.е. В - [ Ю-^)] . Коэффициенты ре-

■ Л

гуляризатора восстанавливаются по первым ил строкам

(. t ) Г\ £

В & 2 проведена равносильная регуляризация нетерового уравнения

К1=«и*Сх *М5х ШШх +Тх-^и (з)

с сохраняющим или изменяющим ориентацию контура интегрирования карлемановским сдвигом. Приведены достаточные условия линейной обратимости оператора К , а также условия, когда уравнение (3) имеет конечное число линейно независимых решений.

§ 3 посвящен исследованию разветвления решений одного класса нелинейных с.и.у. со сдвигом. При этом существенно использованы результаты предыдущих параграфов. Показано, что возможные случаи ветвления зависят от свойств фредгольмовских операторов, полученных в процессе регуляризации. Сформулированы теоремы об однозначной и многозначной продолжимости решений рассматриваемых уравнений.

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию квадратурных формул (к.ф.) для ряда классов интегралов. В частности, для сингулярных интегралов со специальными сдвигами построены и обоснованы интерполяционные к.ф. по чётному числу узлов. Интерполирующие плотности таких интегралов полиномы выбраны так, чтобы при обосновании метода квадратур для с.и.у. со сдвигом в следующей главе были наложены возможно минимальные ограничения на их исходные данные.

В § 4 из семейства полиномов Я- -ой степени, интерполи»* рующих заданную ¿^-периодическую функцию х •=-асз') по чётным узлам ( к= £, г.п ), выделены необходимые

в дальнейшем интерполяционные полиномы з и

и

ín Л Л

Приведены их степенные формы и установлено, что соответствующие им операторы являются проекционными.

В § 5 изучены некоторые аппроксимативные свойства введённых в предыдущем параграфе интерполяционных полиномов. Доказаны необходимые в дальнейшем вспомогательные леммы.

§ 6 посвящен непосредственному построению квадратурных формул для сингулярных интегралов со сдвигом

Í г

Простые и удобные в приложениях к.ф, получены в случаях кар-лемановских сдвигов единичной окружности Г на себя

OCCÍ1 =■' i/í , oClí)=-f, oCct) = -í/¿" (5)

и циклического сдвига кратности w ( т в N )

оа£)= expujiyt с рт , f, te Г ),

где

(6)

В § 7 рассмотрено семейство квадратурных формул прямоугольников по всевозможным равномерно распределённым на отрезке [О,¿л"] узлам. Вопросы точности этих формул для тригонометрических полиномов исследованы методом вариации узлов (параметра, определяющего эти узлы). Такой подход позволил указать вполне определённую к.ф. из рассматриваемого семейства, точную для каждого конкретного полинома из подпространства тригоно-

трических полиномов, т.е. установлена связь между точностью ф. прямоугольников для полиномов произвольной степени и рас-ложением узлов на периоде.

В § 8 проведено теоретическое обоснование построенных в стом параграфе квадратурных формул для сингулярных интегралов специальными сдвигами вида (5) и (б). Исследование их схо-мости е пространствах Никольского, суммируемых, гёльдеровских непрерывных функций сведено к аналогичному вопросу для сингу-рных интегралов с ядром Коши, который достаточно хорошо изу-к. Приведены оценки погрешности, учитывающие структурные свой-

плотностей. Получены вспомогательные результаты, необхо-мые з следующей главе.

В третьей главе излагаются результаты по приближённому ¡:ению сингулярных интегральных уравнений со сдвигом

(у_ = \Jx , Vx-ah+WjL+cSxi-clWSx. (?)

if-i

= y . = ^ («kWI +LkWSX. ), (S)

з Thx ~ h [1, Г) 3(T) ; коэффициенты при главных час-х U"Х- и """ ~ известные постоянные или функции; у.-

lnt) , h-h(.t,t) - заданные, а X = хСt~) - искомая 1кции. Большое внимание уделяется теоретическому обосновании шых методов решения этих уравнений. Следуя монографии ^ , 1 теоретическим обоснованием приближённых методов в диссер-дии понимается следующий круг задач:

1) доказательство теорем существования и единственности аения аппроксимирующих уравнений;

2) установление оценок погрешности приближённого решения;

3) доказательство сходимости приближённых решений к точ-iy решению и установление скорости сходимости;

Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - 232 с.

4) исследование устойчивости и обусловленности приближё: ных методов.

Для решения этих задач применяется вариант общей теории приближённых методов анализа, предложенный Б.Г.Габдулхаевым ' При этом существенно используются результаты предыдущих глав, а также некоторые результаты теории приближения.

В § 9 дана постановка задачи и приведены ряд вспомогател ных результатов из общей теории приближённых методов анализа.

§ 10 посвящён теоретическому обоснованию метода механиче ких квадратур для уравнений (7), (8) с постоянными коэффициен тами при главных частях в пространствах суммируемых и гёльде-ровских функций. Приведём одну вычислительную схему этого мет да (для определённости, при сдвиге оС(£) = 1/£ ) и результа по её обоснованию в пространстве ¿.р = |_р<. Г) ( 1<р<°о )

Приближённое решение уравнения (7) ищется в виде га

иехры, зк=| к, ), (£

К-1

а неизвестные параметры СК С < ) определяются из

системы линейных алгебраических уравнений

гп

где , ^ = ехрия^ /п ) , »

о^ 4 . - чётно; -1 +гй<Ц.5К~Ь})/г. , <-} - нечётнс

Для вычислительной схемы (7), (9), (10) справедлива

Теорема 3.1. Пусть уравнение (7) однозначно разрешимо в пространстве ¿^С Г) ( р ); Ь (по обоик аргументам), ^ - интегрируемые в смысле Римана функции и

с +¡.¿=0 . Тогда система алгебраических уравнений (ТО) од« нозначно разрешима хотя бы при достаточно больших И , и приближённые решения , определяемые из (9) и (10),

сходятся к точному решению уравнения (7) в среднем с

юказателем р . Если же h и ^ - непрерывные функции :воих аргументов, то метод сходится со скоростью

llx-x: II. -О Lr

■де вп(/? ) и еГ„ ( /i ) - наилучшие равномерные приближения функции k соответственно по переменным t и т полино-1ами из „.£ к п ' -п

К

В § II для рассмотренных в предыдущем параграфе с.и,у. со двигом обоснованы методы коллокации и редукции. Приведены ■аюке утверждения о сходимости методов механических квадратур, юллокации, редукции для уравнений

f\X = Ut) h + JhoL - у it) Ш)

/\ х ~ ad) ¡х +at) Sx + TU = . ai)

первых двух методах наибольший интерес представляет случай ётного числа узлов интерполяции (коллокации).

Теорема 3.IO, Пусть операторы At и Ai линей-о обратимы в пространстве /. (. Г) ( i <- р < ); ait) , Ctt) - удовлетворяющие условию Гёльдера, a h[t,Z) (по обе-м переменным), ^(t) , lit) ~ интегрируемые в смысле Римана ункции, причём последняя из них отлична от нуля на единичной кружности Г . Тогда соответствующие уравнениям (II), (12) истемы линейных алгебраических уравнений метода механических вадратур как по чётным , так и по нечётным узлам однозначно азрешимы хотя бы при достаточно больших П , причём их при" к

лижённые решения вида (9) и XnU)~ У CKt сходятся к точ-ым решениям рассматриваемых уравнений в среднем с показателем

Р '

В § 12 для с.и.у. со сдвигом Карлемана вида (7) с переменными коэффициентами при главной части (/х исследуются два варианта метода уточняющих итераций (квадратурно-итерационный и вырожденно-итерационный методы), которые являются важнейшими частными случаями аппроксимативно-итерационных методов. Для этого же уравнения рассматривается метод наименыш квадратов. Сформулирована теорема, необходимая в следующей главе при исследовании оптимальных методов решения уравнения вида (7).

В заключительной, четвёртой главе изложены результаты п> оптимизации методов вычисления интегралов со сдвигом и прямы методов решения с.и.у. со сдвигом, которые получены в основы на базе результатов предыдущих двух глав и методов монографи

• При этом использованы также определения оптимальности к. и прямых (проекционных) методов из этой же монографик.

В § 13, следуя величина

1/ г С ) = ¡.ni in f sup IllfrSx. - WSPhoi L a

X„cX Pnt?n JF X

названа оптимальной оценкой погрешности класса квадратурных формул вида

rsа^ИОДх иеЛ/>. <

определяемых классами операторов и подпространств X,

на классе плотностей Г С X • При получении верхних и нш них оценок для (13) (при конкретных X. » F , <f п .

WУ ) существенно использован тот факт, что в шестом параграфе в процессе построения к.ф. вида (14) применялись квад] турные формулы для сингулярного интеграла с ядром Гильберта Вопросы оптимизации конечномерных аппроксимаций последних № следованы достаточно полно, и это, в конечном счёте, позвол! перенести результаты по оптимизации к.ф. для интеграла Гиль та на сингулярные интегралы (4) со сдвигами (5) и (б).

В § установлено, что для рассмотренных в предыдущей главе с.и,у. со сдвигом применим метод оптимизации, основан

:а теории поперечников компактов в функциональных пространст-iax и на общей теории приближённых методов анализа '. Для этих ;е уравнений получены результаты по оптимизации приближённых гетодов, построенных на основе информации, заданной значениями :оэффициентов в конечном числе точек или же коэффициентов Фурье цементов исследуемых уравнений.

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены и выносятся на защиту , следующие юновные результаты:

1. Предложен новый подход к построению двусторонних ре-уляризаторов для сингулярных интегральных операторов со сдви« ■ом Карлемана.

2. Впервые построены и исследованы оптимальные по точ-ости квадратурные формулы для сингулярных интегралов со спе-[иальными сдвигами.

3. Дано теоретическое обоснование некоторых прямых и .ппроксимативно—итерационных методов для определённых классов штегральных уравнений. Получены результаты по оптимизации ¡рямых методов решения сингулярных интегральных уравнений с врлемановскими сдвигами.

В заключение выражаю искренную благодарность своему науч-ому руководителю - профессору Билсуру Габдулхаевичу Габдулха-¡ву за постановку задач и руководство работой.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

. Шакиров И.А. О регуляризации сингулярных интегральных операторов со сдвигом Карлемана/ Казан,- ун-т. - Казань, 1986.

- 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.04.86., № 2482-В86.

. Шакиров И.А. 0 решениях одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и комплексно сопряжёнными значениями неизвестной функции// Аналитические методы в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

- Куйбышев, 1987. - С. 126-132.

3. 111акиров И.А. Квадратурные методы решения сингулярных интегральных уравнений со сдвигом/ Казан, хим.-технол. ин-т. - Казань, 1989. -35 с. - Деп. в ВИШИ 15.06.89., № 3997В 89.

Шакиров ИД. Квадратурные формулы для сингулярного интегра ла со специальными сдвигами и их приложения/ Казан, хим.-технол. ин«т. - Казань, 1989. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.07.89., * 4901 -В89.

5. Шакиров И.А. Метод механических квадратур для сингулярных интегральных уравнений со специальными сдвигами// Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: Тез. докл. 4-го Всесоюзн. симпозиума. 21-27 мая 1989 г. -Харьков, 1989. - С. 290-292.

6. Шакиров И.А. Квадратурный метод решения интегральных уравнений со сдвигом// Интегральные уравнения в прикладном моделировании: Тез. докл. 3-й Республ. конф. 14-16 ноября 1989 г. - Киев, 1989. - Ч. I. - С. 174-175.

Сдано в набор 15.04.91 г. Подписано в печать 17.04.'91 г. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.1. Тираж 100. Заказ 248. Бесплатно.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5