Квантование динамических систем со связями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СУПЕРСТРУКТУРА ОПЕРАТОРНОГО ОПИСАНИЯ КВАНТОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ ПЕРВОГО РОДА

§ I. Операторы и символы.

§ 2. Полный набор операторов релятивистского фазового пространства.

§ 3. Генерация операторной калибровочной алгебры.

§ 4. Унитаризующий гамильтониан.

§ 5. Операторная динамика.

§ 6. Производящий функционал. Интеграл по путям. . . .Ю

§ 7. Замыкание и абелизация базиса операторной калибровочной алгебры.

§ 8. Заключительные замечания к I главе.

ГЛАВА П. СУПЕРСГРУКТУРА КОШИГУРАЦИОННОГО ОПИСАНИЯ

КВАНТОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОБЩЕЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ АЛГЕБРОЙ

§ I. Некоторые вводные замечания.

§ 2. Расширенное конфигурационное пространство.

§ 3. Основная гипотеза конфигурационного описания.

§ 4. Генерация лагранжевой калибровочной алгебры.

§ 5. Генерация конфигурационной меры.

§ 6. Структура допустимого калибровочного фермиона.

Более явная форма эффективного действия.

§ 7. Антиканоническая эквивалентность в конфигурационном описании. Замыкание и абелизация базиса калибровочной алгебры.

§ 8. Решение мастер-уравнения, как калибровочная сверхтеория с нильпотентными генераторами.

§ 9. Заключительные замечания ко П главе.

Данная диссертация преследует две основные цеди:

1) последовательное решение проблемы канонического операторного квантования релятивистских динамических систем со связями первого рода, генерирующими общую (неабелеву, незамкнутую, приводимую) калибровочную алгебру (I глава);

2) параллельное построение ковариантной схемы квантования динамических систем с общей калибровочной алгеброй непосредственно в конфигурационном пространстве (П глава).

Мотивировка. Для современного этапа развития теории элементарных частиц характерно доминирующее положение калибровочных и суперкалибровочных полей, как наиболее реальной основы для объединения всех сил Природы. В этой связи весьма актуальным и важным является дальнейшее исследование и развитие аппарата калибровочной теории поля и прежде всего - нахождение универсальных и эффективных методов квантования.

Каждый шаг в развитии калибровочной теории поля, от электродинамики до супергравитации, требовал модификации существующих и развития новых методов решения проблемы квантования. Этот процесс объективно обусловлен общими требованиями локальности и релятивизма в сочетании с усложнением структуры динамической эквивалентности, математически воплощенной в свойствах калибровочной алгебры теории.

В максвелловской электродинамике - простейшей калибровочной теории - генераторы градиентных преобразований образуют абелеву (коммутативную) алгебру. В теории Янга - Миллса калибровочные генераторы образуют уже неабелеву алгебру Ли. В эйнштейновской гравитации в лагранжевом формализме мы также имеем неабелеву алгебру Ли для калибровочных генераторов, однако в гамильтоновом формализме калибровочная алгебра гравитационных связей первого рода оказывается открытой (незамкнутой) / 1,2 / вне гиперповерхности связей. Далее, в первоначальной версии= I - супергравитации / 3-5 / мы впервые сталкиваемся с тем, что даже лагран-жева калибровочная алгебра оказывается открытой - лишь на классических экстремалях алгебра суперкалибровочных преобразований замыкается, причем ее структурные коэффициенты зависят от поля.

В связи с незамкнутостью калибровочной алгебры супергравитации был поставлен вопрос о возможности замыкания алгебры с помощью специально вводимых для этой цели вспомогательных полей*\ В^Г = I и ¿Г = 2 - супергравитациях были найдены, соответственно в / 6-9 / и / 10-12 /, наборы вспомогательных полей, замыкающих алгебру, однако в высших супергравитациях найти вспомогательные поля до сих пор не удалось и даже более того - возникли серьезные сомнения в их существовании / 18,19 /. Таким образом, коль скоро возможность замыкания калибровочной алгебры вспомогательными полями является в общем случае проблематичной, мы становимся перед необходимостью нахождения систематического метода квантования теорий с открытой калибровочной алгеброй**^.

Здесь надо сказать, что возможность замыкания алгебры супергравитации вспомогательными полями тесно связана с существованием естественного геометрического описания в суперпространстве. Применительно Кс)Г= I - супергравитации наиболее простой и экономный способ такого описания предложен в работах / 13-15 /. Применительно к случаю^в 2-см./ 16,17 /.

Здесь нужно сказать, что даже в тех случаях, когда в конечном итоге вспомогательные поля удается ввести, фактически это достигается каждый раз заново угадыванием результата, т.к. продолжение сноски см. на след.стр.).

С другой стороны, рассмотрение антисимметричных тензорных полей / 20 / и полей высшего спина / 21 / привело к необходимости работать с линейно-зависимыми (приводимыми) калибровочными генераторами. В этом случае при квантовании оказывается/ию, грубо говоря, госты становятся калибровочными полями, причём нуль-векторы исходных калибровочных генераторов являются генераторами калибровочных преобразований гостов. Это, в свою очередь, приводит к необходимости калибровочных условий для гостов и, следовательно, - к необходимости новых "гостов для гостов" и т.д.

Таким образом, в случае, когда исходные калибровочные генераторы линейно-зависимы, необходимо вместе с ними рассматривать их нуль-векторы, которые также могут быть линейно-зависимы и иметь свои собственные нуль-векторы и т.д., пока мы не придем к финальным нуль-векторам, которые уже линейно-независимы. Эти последовательные нуль-векторы образуют "иерархию приводимости", или - в более традиционной математической терминологии - точную последовательность (образ каждого следующего отображения совпадает с ядром предыдущего).

Естественная длина этой последовательности называется стадией приводимости калибровочной алгебры. Калибровочная алгебра линейно-независимых генераторов рассматривается как алгебра нулевой стадии приводимости. Бели генераторы линейно-зависимы, но (все) их нуль-векторы уже линейно-независимы, то мы говорим о калибровочной алгебре первой стадии приводимости и т.д.

Продолжение сноски с пред.стр. никакого систематического метода здесь нет. В то же время, метод квантования теорий с открытыми алгебрами удается развить систематически и его применение единообразно, как это будет видно из дальнейшего.

Как уже было сказано, на каждой данной стадии приводимости госты предыдущей стадии становятся калибровочными полями и требуют новых калибровочных условий и новых гостов - гостов данной стадии. Кроме того, по соображениям релятивистской ковариантности, калибровочные условия, используемые в приводимых калибровочных теориях, как для исходных динамических переменных, так и для гостов каждой стадии, вплоть до предфинальной, как правило, также выбираются линейно-зависимыми. Вследствие этого, лагранжевы множители к указанным калибровкам также становятся калибровочными полями и требуют новых калибровочных условий для себя, что, в свою очередь, приводит к необходимости так называемых экстрагостов. Таким образом, мы видим, что даже определение полного спектра полей, необходимых для корректной формулировки приводимых калибровочных теорий, является нетривиальной проблемой.

Разумеется, приводимая калибровочная алгебра, вообще говоря, может быть также неабелевой и открытой. В этом наиболее общем случаев исходные генераторы и их последовательные нуль-векторы должны образовывать точную последовательность на экстремалях калибровочного действия (слабые нуль-векторы).

Итак, мы видим, что, по мере обращения к более сложным динамическим системам, калибровочная алгебра приобретает новые качественные свойства: неабелевость, незамкнутость, приводимость. В качественном отношении эти свойства, повидимому, исчерпывают возможности, существующие при разумных ограничениях в локальной релятивистской теории поля.

Здесь необходимо подчеркнуть, что при заданном калибровочном действии, генераторы, как и все высшие структурные функции калибровочной алгебры, определены неоднозначно. Если бы не требования локальности и релятивизма, мы были бы в состоянии (по крайней мере, в рамках теории возмущений) определить абелевы неприводимые генераторы в любой калибровочной теории, или даже свести калибровочную теорию к некалибровочной. Именно требования локальности и релятивистской ковариантности формализма вынуждают нас работать с неабелевыми, открытыми, приводимыми (,.,?) калибровочными алгебрами.

Проблема операторного квантования. Любое калибровочное или суперкалибровочное поле с точки зрения гамильтонова формализма характеризуется наличием связей первого рода (в терминологии Дирака / 22 /), которые и являются каноническими генераторами калибровочных преобразований теории. Таким образом, естественной общей основой для квантования калибровочных полей должна служить квантовая механика релятивистских динамических систем со связями.

Как правило, квантование динамических систем со связями проводится на основе формального интеграла по путям в фазовом пространстве. В этом подходе были достигнуты значительные успехи и получен ряд важных для калибровочной теории поля результатов. Однако, с точки зрения первопринципов квантовой механики, как алгебраической конструкции, наиболее последовательным является для любой динамической системы операторное квантование.

При каноническом операторном квантовании исходят из некоторого эрмитова гамильтониана и канонических одновременных коммутационных соотношений для операторов динамических переменных. Уравнения Шрёдингера или Гайзенберга задают тогда динамическую эволюцию в соответствующем представлении.

Эти уравнения при широких предположениях могут быть решены стандартным функциональным методом / 23-29 /ив результате мы получим для оператора эволюции или ^ - матрицы замкнутое решение в виде функционального интеграла по путям в фазовом пространстве системы. Эффективное гамильтоново действие, входящее в этот функциональный интеграл, содержит регуляризованный по времени символ оператора гамильтониана.

Регуляризация состоит в том, что канонически-сопряженные импульсы и координаты берутся в несовпадающие моменты времени и только после функционального интегрирования параметр раздвижки по времени устремляется к нулю. При этом выбор способа раздвижки должен быть согласован с выбором нормальной фо^ы^которой соответствует символ гамильтониана. Так, например, JpQ- символу соответствует раздвижка

Таким образом, согласованный выбор способа регуляризации и типа символа содержит информацию о порядке некоммутирующих операторных множителей в гамильтониане. Вычисляемый до предельного перехода, снимающего раздвижку, функциональный интеграл по путям не зависит от выбора конечнократной аппроксимации.

Если непосредственно в эффективном действии (т.е. до функционального интегрирования по путям) снять регуляризацию по времени, а символ оператора гамильтониана заменить его классическим пределом, тогда получим так называемый формальный интеграл по путям, соответствующий "каноническому квантованию с помощью фазового интеграла Фейнмана". При таком "квантовании" эффективное действие в интеграле по путям просто совпадает с классическим гамильтоновым действием. Формальный интеграл по путям, вообще говоря, зависит от выбора конечнократной аппроксимации / 27,26 /.

Для динамических систем без связей обычно не возникает никаких проблем совместности при наложении канонических коммутационных соотношений на операторы фазовых переменных. Однако, совершенно другая ситуация имеет место для систем со связями. Наиболее резко это проявляется для динамических систем со связями второго рода. В этом случае канонические коммутационные соотношения заведомо несовместны с операторными уравнениями связей.

Наглядно это можно пояснить следующим образом. Канонические коммутационные соотношения имеют следствием стандартный принцип неопределенности. Поэтому, полная редукция динамики системы на гиперповерхность связей приведет к возникновению бесконечных квантовых флуктуации в направлениях, нормальных к гиперповерхности. Эти нормальные флуктуации неизбежно выведут систему с гиперповерхности связей.

Чтобы полностью подавить нормальные флуктуации, следовало бы сделать одновременные коммутационные соотношения точно совместными с операторными уравнениями связей. При этом, выражения для одновременных коммутаторов операторов фазовых переменных должны самосогласованным образом удовлетворять соотношениям, выражающим общие алгебраические свойства коммутатора, а в линейном по квантовой постоянной приближении они должны совпадать с соответствующими скобками Дирака. К сожалению, в настоящее время корректное решение этой операторной проблемы для связей второго рода пока не найдено, за исключением тривиальных случаев. Поэтому при квантовании систем со связями второго рода пока приходится ограничиваться рассмотрением на уровне формального интеграла по путям.

Что касается динамических систем со связями первого рода, то здесь дело обстоит следующим образом. Как уже было сказано выше, связи первого рода генерируют калибровочные преобразования, оставляющие инвариантным классическое действие. Чтобы устранить калибровочное вырождение действия, необходимо наложить калибровочные условия. Существуют два кардинально различных класса допустимых калибровочных условий.

Так называемые унитарные калибровки вместе со связями первого рода образуют эффективные связи второго рода так, что в этих калибровках канонические коммутационные соотношения заведомо ведут к противоречиям. Унитарные калибровки релятивистски некова-риантны. Типичным примером унитарной калибровки является кулонов-ская калибровка.

Другой класс допустимых калибровочных условий образуют так называемые релятивистские калибровки. Стандартная форма релятивистского калибровочного условия требует»чтобы производная по времени от лагранжевых множителей к связям первого рода равнялась некоторой функции динамических переменных (но не их временных производных), взятых в тот же момент времени. Такая форма вполне естественна, если принять во внимание, что лагранжевы множители к связям первого рода являются временными компонентами релятивистских полей. Типичным примером релятивистской калибровки является лоренцевская калибровка.

Принципиальное значение имеет то обстоятельство, что в релятивистских калибровках отсутствует редукция динамических переменных на какую-либо гиперповерхность в фазовом пространстве. Лагранжевы множители к релятивистским калибровкам и к связям первого рода входят в кинетическую часть гамильтонова действия как дополнительные пары канонически-сопряженных переменных и в этом смысле становятся динамически активными. Для всех переменных, включая лагранжевы множители к калибровкам и к связям, экстремум действия даёт в этом случае канонические уравнения движения. Таким образом, динамическая система со связями первого рода может формально рассматриваться в релятивистских калибровках как эффективная динамическая система без связей, но в расширенном фазовом пространстве, включающем, наряду с исходными каноническими переменными, также канонически-сопряженные пары лагранжевых множителей.

Отсюда следует, что именно в релятивистских калибровках мы можем, при квантовании динамических систем со связями первого рода, без каких-бы то ни было противоречий наложить канонические одновременные коммутационные соотношения на операторы канонически-сопряженных переменных расширенного фазового пространства. Тем самым открывается принципиальная возможность канонического операторного квантования релятивистских динамических систем со связями первого рода, которое сводится теперь к решению проблемы построения оператора унитаризующего гамильтониана. Ключевым моментом в решении этой проблемы является установление универсальной связи мезду общей структурой унитаризующего гамильтониана и процессом генерации калибровочной алгебры.

На классическом уровне структура унитаризующего гамильтониана определена в работах / 1,30-32 /, где в терминах суперскобок Пуассона установлена универсальная формула, связывающая унитари-зующий гамильтониан с тремя основными объектами теории: фермион-ной и бозонной производящими функциями калибровочной алгебры и фермионной производящей функцией калибровок, или калибровочным фермионом.

Производящие функции калибровочной алгебры зависят от канонических переменных, образующих так называемый минимальный сектор. Последний включает исходные канонические переменные, а также канонические переменные, образующие алгебраический сектор гостов. Алгебраический сектор формируется из расчета: на каждую связь первого рода приходится гостовская каноническая пара противоположной (по отношению к связи) статистики.

Если исходные связи первого рода линейно-независимы (неприводимый случай), то только они и принимают участие в игре; в этом случае алгебраический сектор содержит только гостовские канонические пары нулевой стадии.

Если исходные связи первого рода линейно-зависимы (приводимый случай) и их последовательные слабые нуль-векторы образуют точную последовательность на гиперповерхности связей, тогда на каждой данной стадии приводимости госты предыдущей стадии становятся калибровочными полями. Это значит, что последовательно возникают новые связи первого рода, накладываемые на госты предыдущей стадии и образуемые с помощью нуль-векторов данной стадии. Каждой из этих новых связей первого рода также соответствует гос-товская каноническая пара противоположной (по отношению к связи) статистики в алгебраическом секторе. Таким образом, новые канонические госты возникают на каждой данной стадии приводимости.

В терминах суперскобок Пуассона в минимальном секторе канонических переменных формулируются производящие уравнения для фер-мионной и бозонной производящих функций калибровочной алгебры. Решение этих уравнений ищется в виде рядов по степеням гостов. Низшие члены в разложении фермионной производящей функции содержат исходные связи первого рода и их последовательные слабые нуль-векторы. Низший член (нулевой степени по гостам) в разложении бозонной производящей функции отождествляется с исходным гамильтонианом системы.

В низшем порядке по гостам нулевой стадии производящие уравнения для фермионной и бозонной производящих функций дают соответственно соотношения инволюции исходных связей первого рода между собой и с исходным гамильтонианом. В низших порядках по гостам следующих стадий уравнение для фермионной производящей функции даёт уравнения для слабых последовательных нуль-векторов исходных связей первого рода. В более высоких порядках по гостам производящие уравнения дают сначала низшие тождества Якоби, обеспечивающие формальную совместность в системе соотношений инволюции и уравнений для нуль-векторов, а затем возникает бесконечная последовательность высших циклических соотношений Якоби, в которой каждое соотношение обеспечивает формальное выполнение необходимых условий совместности предыдущих. Таким образом мы видим, что коэффициенты разложения производящих функций по степеням гостов суть не что иное, как структурные функции калибровочной алгебры.

Назначением калибровочного фермиона является генерация набора допустимых калибровок, необходимых для устранения калибровочного вырождения. Релятивистские калибровочные условия необходимы для исходных динамических переменных и гостов всех стадий, кроме финальной. Каждая из этих калибровок, вплоть до предфиналь-ной стадии, является линейно-зависимой, также как и соответствующие связи первого рода. Вследствие этого, канонически-сопряженные лагранжевы множители к калибровкам и связям также становятся калибровочными полями и требуют для себя новых (релятивистских) калибровочных условий, что, в свою очередь, приводит к необходимости новых канонических переменных - гостов вспомогательного сектора и экстрагостов.

Итак, мы видим, что калибровочный фермион, а следовательно, и унитаризугощий гамильтониан в целом, зависят от полного набора канонических переменных, который включает: канонические переменные минимального сектора, канонически - сопряженные лагранжевы множители к калибровкам и связям первого рода, канонические пары гостов вспомогательного сектора и сектора экстрагостов.

Классический унитаризующий гамильтониан, будучи построен, как это изложено здесь, следуя / 32 /, определяет гамильтоново действие в фазовом пространстве полного набора канонических переменных, которое, в свою очередь, является основой для построения соответствующего формального интеграла по путям. Общая структура унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры такова, что этот формальный интеграл по путям не зависит от выбора калибровочного фермиона. Конкретный механизм, реализующий эту калибровочную независимость (на формальном, разумеется, уровне), состоит в том, что фермионная производная функция калибровочной алгебры выступает в роли канонического "Вй^генератора".

Сформулируем теперь следующим образом программу построения операторной версии унитаризующего гамильтониана. Все канонически - сопряженные пары из полного набора фазовых переменных заме' нягатся операторами, удовлетворяющими каноническим одновременным коммутационным соотношениям. Классическая общая структура определения унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры сохраняется с точн таторами соответствующих операторов. Решение производящих уравнений для фермионного и бозонного производящих операторов калибровочной алгебры ищется в минимальном секторе в виде некоторой нормальной формы ряда по степеням операторов гостов из алгебраического сектора. Коэффициенты этих рядов есть структурные операторы соответствующей операторной калибровочной алгебры. Детальная реализация этой программы составляет основное содержание I главы диссертации, причем наше изложение следует / 32-36 /.

Проблема конфигурационного квантования. Как уже было сказано выше, последовательное решение проблемы канонического операторного квантования дает возможность получить корректный интегскобок классических функций умноженными рал по путям в фазовом пространстве, реализующий гамильтонову формулировку динамики. Сильной стороной гамильтонова формализма I является его очевидная каноническая симметрия. Его слабой стороной является выделенное положение времени и связанный с этим косвенный характер проявления релятивистских свойств. С другой стороны, как с чисто вычислительной точки зрения, так и в связи с исследованием структуры перенормировок, весьма желательно иметь лагранжеву формулировку динамики в конфигурационном пространстве, где все релятивистские свойства становятся явными.

В принципе, выполнив интегрирование по каноническим импульсам и перейдя от гамильтоновых гостов к лагранжевым (т.н. "процесс устранения парадокса дираковской калибровки"), мы получили бы корректный функциональный интеграл по путям в конфигурационном пространстве, реализующий лагранжеву формулировку динамики. Таким образом, принципиально, никакой самостоятельной проблемы конфигурационного квантования не существует.

К сожалению, однако, фактическая реализация программы перехода к конфигурационному описанию в лагранжевом формализме - весьма трудна технически даже в конкретных (нетривиальных) примерах, а о том, чтобы провести ее в общем виде, пока не может быть и речи. Тем не менее, замечательным образом оказывается, что существует возможность (или, по крайней мере, весьма правдоподобная надежда, подкрепленная примерами) совершить своего рода "большой скачок" и предвосхитить общую структуру конфигурационного ответа с точностью до некоторых деталей, неопределимых без обращения к последовательному квантованию, но, быть может, не существенных для физики. Подойдем к разъяснению этой возможности путем нижеследующих рассуждений.

Ясно, что в любой калибровочной теории эффективное действие, входящее в конфигурационный функциональный интеграл, должно состоять из исходного калибровочно-инвариантного лагранжева действия, калибровочных членов, устраняющих выровдение и действия гостов. Ясно также, что в конфигурационном описании, чтобы обеспечить калибровочную независимость функционального интеграла, вообще говоря, необходама (кроме действия гостов) нетривиальная мера интегрирования в конфигурационном пространстве. Итак, две "вещи" надо найти, чтобы построить функциональный интеграл - эффективное действие и меру интегрирования.

Руководящая идея относительно нахождения эффективного действия состоит в том, что оно должно быть естественным образом связано с процессом генерации лагранжевой калибровочной алгебры, подобно тому, как гамильтоново эффективное действие естественно связано с процессом генерации гамильтоновой калибровочной алгебры связей первого рода. Правда, в лагранжевом формализме нет скобок Пуассона, нет канонических преобразований и т.д., так что, казалось бы, неясно, на какой основе должен быть реализован процесс генерации лагранжевой калибровочной алгебры. Но если главная идея правильна, тогда то, чего не достает, должно быть создано!

Каждому лагранжеву полю, следуя / 37 /, поставим в соответствие антшзоле противоположной статистики, так что фактически возникает пространство полей и антиполей, имеющее удвоенную размерность. Для любых двух функций на пространстве полей и антиполей определим бинарную операцию, называемую антискобкой. Антискобка, грубо говоря, устроена также как скобка Пуассона, если поля рассматривать как "координаты", а антиполя - как "импульсы".

Далее оказывается, что антискобка обладает алгебраическими свойствами, в некотором смысле противоположными свойствами скобок Пуассона. Эта противоположность является прямым следствием того, что здесь "координаты" и "импульсы" находятся в антикорреляции по статистике, в то время как обычные канонические координаты и импульсы скоррелированы по статистике.

Наличие антискобок делает пространство полей и антиполей похожим на фазовое пространство гамильтонова формализма. В пространстве полей и антиполей определяются так называемые антиканонические преобразования, которые сохраняют антискобки, подобно тому, как обычные канонические преобразования в фазовом пространстве сохраняют скобки Пуассона и т.д.

Производящее уравнение для бозонной производящей функции лагранжевой калибровочной алгебры формулируется / 37 / в терминах антискобки совершенно также, как производящее уравнение для фермионной производящей функции гамильтоновой калибровочной алгебры формулируется в терминах суперскобки Пуассона. Производящее уравнение лагранжевой калибровочной алгебры получило название "мастер-уравнения". Никакой фермионной производящей функции лаг-ранжева калибровочная алгебра не имеет.

Генерация лагранжевой калибровочной алгебры происходит следующим образом. Ищется бозонное решение мастер-уравнения в минимальном секторе полей и антиполей. Минимальный сектор полей включает исходные лагранжевы переменные и госты алгебраического сектора. Алгебраический сектор состоит из лагранжевых гостов всех стадий приводимости, до финальной включительно. Каждому полю из минимального сектора сопоставлено антиполе противоположной статистики.

Решение мастер-уравнения ищется в виде ряда по степеням антиполей и гостов. Низший член разложения (нулевой степени) отождествляется с исходным лагранжевым калибровочно-инвариантным действием. Следующие члены содержат лагранжевы калибровочные генераторы и их последовательные слабые нуль-векторы. Дальнейшие члены разложения содержат высшие структурные функции.

В низшем порядке по антиполям и гостам мастер-уравнение даёт тождества Нётер для генераторов и уравнения для их последовательных слабых нуль-векторов. В следующем пордцке возникают коммутационные соотношения открытой алгебры для скобки Ли калибровочных генераторов. Далее появляются сначала низшие, а затем - бесконечная последовательность высших циклических тождеств Якоби, каящое из которых обеспечивает выполнение необходимых условий совместности предыдущих.

Эффективное действие в функциональном интеграле совпадает, с точностью до членов, фиксирующих калибровки, с производящей функцией лагранжевой калибровочной алгебры, при замене антиполей производными по соответствующим полям от калибровочного фермиона.

Назначением калибровочного фермиона, как и в гамильтоновом формализме, является генерация полного набора допустимых калибровочных условий, необходимых для корректного устранения вырождения функционального интеграла. С этой целью, дополнительно к переменным минимального сектора, вводятся лагранжевы множители, госты вспомогательного сектора и экстрагосты. Фиксирующие калибровки члены в эффективном действии имеют вид суммы произведений лагран-жевых множителей на соответствующие калибровочные функции. Последние, в свою очередь, получаются, как производные калибровочного фермиона по гостам вспомогательного сектора и экстрагостам (значения антиполей, соответствующих этим переменным).

Остается рассмотреть проблему нахождения меры интегрирования в конфигурационном пространстве. Здесь мы ограничимся следу-ю щим замечанием. Конфигурационная мера выражается через бесконечную последовательность функций полей минимального сектора. Условие калибровочной независимости функционального интеграла диктует для этих функций бесконечную систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Неоднородностями в этих уравнениях являются шпуры и дивергенции структурных функций лагранжевой калибровочной алгебры. Граничные условия к этим уравнениям не могут быть определены без обращения к последовательному квантованию. Если шпуры и дивергенции структурных функций калибровочной алгебры равны нулю, то уравнения для всех функций, определяющих меру, допускают нулевое решение. Если выбрать именно это решение, тогда конфигурационная мера - тривиальна. Детальное рассмотрение процессов генерации лагранжевой калибровочной алгебры и меры интегрирования в конфигурационном пространстве составляет основное содержание второй главы диссертации, причем наше изложение следует / 37-40 /.

Истоки. Различные аспекты квантования динамических систем со связями являются предметом исследований многих авторов. Здесь отнюдь не преследуется цель сколько-нибудь полного литературного обзора. Мы упомянем, а в некоторых случаях, кратко прокомментируем только работы, имеющие наиболее непосредственное отношение к исследованиям автора данной диссертации.

Как уже было сказано выше, квантование динамических систем со связями обычно рассматривается не на операторном уровне, а на уровне формального интеграла по путям. Поэтому, если не оговорено противное, говоря об ^ - матрице, решении, или выражении для^-ч- матрицы, полученных в упоминаемых ниже работах, мы подра

Каноническая - матрица для бозонных динамических систем зумеваем именно пред интегралов по путям. представления для^-}- матрицы в виде формальных со связями первого рода была получена в унитарных (нерелятивистских) калибровках в работе / 41 /. В работе / 42 / было получено решение для С^ - матрицы динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого и второго рода в унитарных калибровках.

В работе / I / канонический формализм был распространен на релятивистские калибровки. Было показано, что построение^ - матрицы в релятивистских калибровках сводится к нахождению унитари-зующего гамильтониана в релятивистском фазовом пространстве. Явная форма этого гамильтониана была получена в / I / для случая бозонных динамических систем со связями первого рода, генерирующими калибровочную алгебру ранга один. Одновременно в работе / I / было сделано важное наблюдение, что калибровочная часть унитари-зующего гамильтониана может быть представлена в виде скобки Пуассона фермионной функции, зависящей только от калибровки и другой фермионной функции, построенной из связей и структурных коэффициентов их инволюции. Это был первый шаг к пониманию универсальной связи между структурой унитаризующего гамильтониана и процессом генерации калибровочной алгебры.

Основная формула для классического унитаризующего гамильтониана и классические производящие уравнения гамильтоновой калибровочной алгебры были сформулированы в работе / 30 /. Их явное решение было получено в работе / 30 / для случая динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующих калибровочную алгебру ранга один.

Авторы работы / 31 / распространили определение унитаризующего гамильтониана и форму производящих уравнений на случай наличия связей второго рода и получили решение для канонической ^ -матрицы в релятивистских калибровках для динамических Бозе-Ферми - систем со связями обоих родов в общем случае неприводимой кали

- 22 бровочной алгебры любого ранга.

Альтернативный метод квантования бозонных динамических систем с неприводимыми связями первого рода был предложен в работе / 43 /. В этом методе не вводится никаких гостов. Вместо этого, калибровочная независимость ^ - матрицы обеспечивается с помощью так называемого компенсирующего функционала, ранее введенного в работе / 44 / в связи с квантованием массивного поля Янга-Миллса. В работе / 45 / метод компенсирующего функционала был обобщен для динамических Бозе-Ферми - систем со связями как первого, так и второго рода.

Обобщённый канонический формализм, развитый в работах / I, 30,31 /, дал возможность получить существенные результаты применительно к конкретным динамическим системам. Наиболее важными из них являются последовательное каноническое квантование и построение^)- матрицы для эйнштейновской гравитации / 46 / и супергравитации / 47 /.

В работе / 32 / впервые был последовательно развит обобщенный канонический формализм для систем с линейно-зависимыми связями первого рода. Это позволило получить решение для канонической матРИЦы динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) и приводимую (любой стадии) гамильтонову калибровочную алгебру, при наличии также (линейно-независимых) связей второго рода. В следующей работе / 48 / этот результат был распространён для наиболее общего случая, когда связи второго рода также могут быть линейно-зависимы и иметь любую стадию приводимости.

Ключевая идея операторного квантования релятивистских калибровочных систем была высказана в работе / 49 /. Она состоит в том, чтобы подчинить каноническим коммутационным соотношениям операторы релятивистского фазового пространства, включающего, в неприводимом случае, исходные динамические переменные, лагранжевы множители к релятивистским калибровкам и связям первого рода, а также соответствующие госты. В рамках этой основной идеи операторное квантование теории Янга-Миллса рассматривалось в работах / 50-52 /.

В работе / 33 /, являющейся дальнейшим развитием той же идеи, было проведено операторное квантование динамических Бозе-Ферми- систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) неприводимую калибровочную алгебру. В этой работе впервые сформулирована операторная версия универсального определения унитаризующего гамильтониана и производящих уравнений калибровочной алгебры. Эти результаты представлены в более явном виде в работе / 34 /, где также получено соответствующее решение для канонической С^ - матрицы в виде корректного (неформального) интеграла по путям в релятивистском фазовом пространстве. Таким образом, в / 34 / впервые показано, что на виртуальных фазовых траекториях действует квантовая калибровочная алгебра, генерируемая символами операторов связей первого рода.

В следующей работе / 35 / для неприводимого случая сформулирована процедура замыкания и абелизации операторной калибровочной алгебры. Классический аналог этого результата хорошо известен: связи первого рода всегда, по крайней мере, локально могут быть сделаны абелевыми путём "вращения" (линейного комбинирования), производимого обратимой матрицей, вообще говоря, зависящей от фазовых переменных. В работе / 35 / определено зависящее от операторов гостов унитарное преобразование, приводящее фермион-ный производящий оператор калибровочной алгебры к виду, соответствующему новым операторам связей, коммутирующим между собой.

Это же преобразование, сопровождаемое некоторым эффективным форм-изменением оператора калибровочного фермиона, будучи применено к бозонному производящему оператору, приводит его к виду, который соответствует новому гамильтониану, коммутирующему с новыми связями. Разумеется, новые операторы связей и гамильтониана, вообще говоря, нелокальны и не обладают правильной релятивистской вариантностью, однако, управляемая ими динамика новых операторов фазовых переменных - физически эквивалентна исходной.

Наконец, в работе / 36 / результаты / 33-35 / были распространены на случай динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга)и приводимую (любой стадии) операторную калибровочную алгебру.

Независимо от канонического квантования, развивались так называемые ковариантные методы, имеющие целью построение правил Фейнмана для калибровочных полей непосредственно в конфигурационном пространстве. Применительно к теориям с калибровочной алгеброй (группой) Ли, ковариантное квантование рассматривалось в работах / 53-62 /. Естественным обобщением класса калибровочных алгебр Ли является класс неприводимых замкнутых калибровочных алгебр. Наиболее общей для этого класса является ситуация, когда структурные коэффициенты калибровочной алгебры зависят от поля, насколько это позволяют сильные соотношения Якоби. Формальная конструкция, реализующая эту ситуацию, рассмотрена в работе / 63 /, как на алгебраическом, так и на групповом уровне. Здесь сформулированы функциональные уравнения, обобщающие обычные групповые свойства, получены дифференциальные уравнения, являющиеся аналогами уравнений Ли и Маурера-Картана, а также аналоги правой и левой групповой меры. На основе этих результатов дано соответствующее обобщение так называемого трока Фаддеева-Попова.

Важное значение для более глубокого понимания структуры калибровочной теории поля имело наблюдение / 64,50 /, что в теориях с калибровочной алгеброй (группой) Ли эффективное действие, включающее исходное калибровочно-инвариантное действие, члены, фиксирующие калибровку и квадратичное действие гостов, - всегда инвариантно относительно нильпотентных суперпреобразований специального типа с одним фермионным параметром. Эта специальная суперинвариантность получила название В или симметрии. симметрия оказалась весьма полезной при исследовании структуры перенормировок. С другой стороны, именно на пути обобщения идеи симметрии был найден адекватный метод ковари-антного квантования теорий с общей калибровочной алгеброй.

Первый шаг в этом направлении был сделан в работе / 65/, где были найдены ковариантные правила Фейнмана в первоначальной версии с= I - супергравитации, совпадающие с результатом / 47 /. В этой работе самосогласованным образом определялись поправки к закону преобразования всех лагранжевых переменных и биквадратичная по гостам поправка к эффективному действию. В силу специфических свойств калибровочной алгебры супергравитации, точное действие гостов исчерпывается биквадратичными членами (теория ранга два), см. также / 66 /.

Следующим шагом явилась работа / 67 /, в которой метод / 65 / был распространен на случай неприводимой открытой калибровочной алгебры любого ранга. В этой работе также, самосогласованным образом ищутся поправки к закону ВКИ- преобразования и к действию гостов, с тем, чтобы обеспечить калибровочную независимость функционального интеграла (с тривиальной мерой интегрирования). Эти поправки находятся итерационно, вместе с последовательными структурными соотношениями. Замкнутое производящее

- 26 уравнение калибровочной алгебры здесь ещё отсутствует.

Решающий шаг к замкнутой формулировке сделан в работе / 37 /. Здесь, превде всего, сформулированы исходные положения, или принципы ковариантного квантования: калибровочная независимость, невырожденность, правильность классического предела. Затем, в плане реализации этих принципов, вводится пространство полей и антиполей, а также антискобки для функций на этом пространстве (замети здесь, что в "чистой" математике антискобка хорошо известна / 68-70 /). В терминах антискобки и нильпотентного дифференциального оператора второго порядка формулируется точное квантовое уравнение для фазы фейнмановской экспоненты в функциональном интеграле. Это уравнение выражает следующую основную идею: производные фазы по антиполям являются генераторами такого " В!?^11^"* образования" полей, что соответствующая вариация фазы компенсирует логарифм якобиана этого преобразования". Уравнение для фазы обеспечивает калибровочную независимость функционального интеграла.

Разлагая фазу фейнмановской экспоненты в ряд по степеням квантовой постоянной, имеем в классическом приближении мастер-уравнение в полном пространстве полей и антиполей. Интересующее нас решение этого уравнения есть сумма производящей функции калибровочной алгебры (удовлетворяющей мастер-уравнению в минимальном секторе полей и антиполей) и членов, генерирующих (после замены антиполей производными по соответствующим полям от калибровочного фермиона) полный набор необходимых калибровочных условий. Таким образом, после замены всех антиполей соответствующими производными калибровочного фермиона, классическая часть фазы фейнмановской экспоненты даёт эффективное действие, а квантовые поправки к ней дают меру интегрирования в конфигурационном пространстве.

Как функция полной совокупности полей и антиполей, эффективное действие должно удовлетворять не только мастер-уравнению, но также дополнительному требованию собственности решения. Решение мастер-уравнения называется собственным, если его гессиан (матрица вторых производных) имеет на экстремали максимально-возможный ранг. Важнейшее следствие мастер-уравнения состоит в том, что компоненты гессиана, будучи умножены слева (справа) на постоянную матрицу симплектической метрики в пространстве полей и антиполей, дают правые (левые) нуль-векторы гессиана на экстремали. Из этого следует, что максимальный ранг гессиана решения на экстремали равен числу полей (половине полного числа полей и антиполей). Если решение мастер-уравнения является собственным, тогда любой правый (левый) нуль-вектор гессиана на экстремали есть линейная комбинация правых (левых) нуль-векторов гессиана, построенных из его компонент. Другими словами, если решение - собственное, то его гессиан не имеет на экстремали никаких других нуль-векторов, кроме тех, которые содержатся в нем самом / 37 /. Требование собственности решения для эффективного действия обеспечивает невырожденность функционального интеграла в классе допустимых калибровочных условий. Оказывается, что при принятом способе генерации калибровок, это требование фактически сводится к требованию собственности для производящей функции калибровочной алгебры, как решения мастер-уравнения в минимальном секторе полей и антиполей. Правильность классического предела обеспечивается граничным условием, требующим, чтобы при нулевых значениях антиполей и гостов производящая функция калибровочной алгебры совпадала с исходным калибровочным действием. В свою очередь, именно требование собственности решения для производящей функции диктует состав гостов, необходимый для генерации калибровочной алгебры.

Содержание полного набора полей и структура калибровочного фермиона, используемые в /37 /, обеспечивают генерацию в рамках мастер-уравнения неприводимой открытой калибровочной алгебры любого ранга и корректное устранение соответствующего вырождения функционального интеграла.

Здесь уместно заметить также следующее. Мастер-уравнение появляется в формализме ковариантного квантования на двух уровнях. Во-первых, как уже было сказано выше, оно возникает как классическое приближение уравнения для фазы фейнмановской экспоненты в функциональном интеграле. Во-вторых, если определить производящий функционал, введя в функциональный интеграл внешние источники полей и внешние антиполя, то оказывается, что в силу уравнения для фазы, - квантовое действие (преобразование Лежандра логарифма производящего функционала относительно внешних источников полей) в точности удовлетворяет мастер-уравнению в терминах антискобки по средним полям и внешним антиполям / 37 /.

Будучи точным и универсальным уравнением для квантового действия, мастер-уравнение является наиболее адекватным средством исследования структуры перенормировок в калибровочных теориях / 71-78 /. В этом качестве мастер-уравнение является естественным обобщением соотношений Уорда, полученных ранее рядом авторов в теориях с замкнутой алгеброй / 79-85,49 /. Кроме того, нужно сказать, что именно применительно к теории Янга-Миллса мастер-уравнение и было впервые выписано в работе / 71 / (правда, не в терминах антискобок), как удобная форма записи соотношений Уорда для квантового действия. Однако, истинное значение мастер-уравнения, как универсального производящего уравнения конфигурационной калибровочной алгебры, - осталось в работе / 71 / нераскрытым и было выяснено только в / 37 /.

В работе / 86 / построено специальное антиканоническое преобразование , переводящее функциональный интеграл для ^ - матрицы работы / 37 / в новое представление. Это представление наиболее удобно в случае, когда вырождение исходного действия устраняется добавлением к нему квадратичной формы относительно калибровочных функций, причём матрица коэффициентов этой квадратичной формы может сама зависеть от полей. Лагранжевы множители к калибровкам превращаются в новом представлении в компоненты так называемого третьего госта, взаимодействующего с гостами Фаддеева -Попова. Таким образом, в случае замкнутой алгебры получает обоснование результат / 87 /, а в случае открытой алгебры дается его обобщение.

Дальнейшее исследование конструкции, предложенной в /37 /, продолжено в работе / 40 /. Здесь, прежде всего, в канонической параметризации сформулированы обыкновенные дифференциальные уравнения для орбиты открытой группы, порождаемой (локально) исходными генераторами неприводимой открытой калибровочной алгебры. Наложение допустимых калибровочных условий на начальные данные уравнений орбиты даёт возможность ввести для калибровочного поля новые переменные, часть из которых калибровочно-инварианта ("физические" компоненты), а другая часть испытывает тривиальные сдвиги при калибровочных преобразованиях ("групповые" компоненты). Таким образом, в новых переменных мы имеем новые калибровочные генераторы, являющиеся просто константами. Если теперь по векторному закону преобразовать новые генераторы к исходным переменным, то, будучи вектором, скобка Ли новых генераторов и в ис -ходных переменных обратится в нуль. Итак, будучи выражены в ис ходных переменных, новые генераторы образуют абелеву калибровочную алгебру. Эти абелевы генераторы отличаются от исходных открытых генераторов поворотом базиса и членами, исчезающими на классических экстремалях и, вообще говоря, являются нелокальными и/или релятивистски-нековариантными.

Далее рассматривается другой способ замыкания и абелизации конфигурационной калибровочной алгебры. Этот способ, независимо предложенный в / 78 /, состоит в построении такого антиканонического преобразования в пространстве полей и антиполей, которое переводит решение мастер-уравнения, соответствующее исходной открытой алгебре, - в решение с т,ем же исходным действием, но отвечающее замкнутой или абелевой калибровочной алгебре.

Оказывается, что эти два способа абелизации калибровочной алгебры находятся в глубокой взаимосвязи. С помощью т.н. метода -функции / 88,63 /, из обыкновенных дифференциальных уравнений орбиты выводится бесконечная последовательность уравнений открытой группы. Эти уравнения в частных производных по групповым параметрам сохраняют свой вид в произвольной параметризации; первые два уравнения обобщают на открытый случай уравнения Ли и Маурера-Картана, а также их аналоги из / 63 /. Решение калибровочных условий на начальные данные орбиты, как уравнений для групповых параметров обращенной орбиты, - задает естественное отображение, сопоставляющее каждой функции групповых параметров - функцию калибровочного поля. Будучи реализовано в уравнениях открытой группы, это естественное отображение превращает их в дифференциальные уравнения для функций калибровочного поля, в точности совпадающие с уравнениями для коэффициентов разложения производящей функции абелизующего антиканонического преобразования по степеням антиполей и гостов.

Финальным шагом является вывод функционального интеграла для

С^- матрицы / 37 /, как результата квантования некалибровочной системы (динамики "физических" компонент). Основная идея состоит здесь в следующем. Уже упоминавшиеся выше "физические" компоненты калибровочного поля (калибровочно-инвариантная часть новых переменных, возникающих при наложении калибровочных условий на начальные данные орбиты) образуют, как доказывается, базис независимых калибровочных инвариантов теории и исходное калибровочное действие с необходимостью является функцией этих "физических" компонент. Как функция "физических" компонент, исходное действие является уже некалибровочным (невырожденным) и для его квантования постулируется стандартный интеграл Фейнмана с некоторой мерой интегрирования в пространстве "физических" компонент. Затем в этот функциональный интеграл вводится единица, представленная как интеграл по "групповым" компонентам (см. выше) от 5 - функций, содержащих допустимые калибровочные условия и умноженных на соответствующий якобиан. Параметризация якобиана через интеграл по гостам приводит ответ для^- матрицы к виду, соответствующему квантованию абелевой калибровочной теории (напомним, что "групповые" компоненты новых переменных испытывают тривиальные сдвиги при калибровочных преобразованиях исходных переменных). В этом ответе легко восстанавливается вид калибровочного фермиона и одновременно идентифицируются антиполя, соответствующие каядому из полей. Остается произвести антиканоническое преобразование в пространстве полей и антиполей, обратное абелизующему, после чего возникает ¡5) - матрица / 37 /.

Наконец, в работе / 89 / приведено доказательство сформулированной еще в / 37 / теоремы существования неприводимой калибровочной алгебры. В рамках точно сформулированных постулатов неприводимой калибровочной теории здесь дано индуктивное доказательство существования бозонного собственного решения мастер-уравнения в минимальном секторе в виде ряда по степеням антиполей и гостов, обладающего нулевым гостовским числом. Этим завершается наше рассмотрение эволюции методов ковариантного квантования неприводимых калибровочных теорий.

Ковариантное квантование теорий с замкнутой калибровочной алгеброй любой конечной стадии приводимости проведено в работах / 90,91 /. В этих работах предложено соответствующее обобщение, или модификация трока Фаддеева-Попова применительно к точной последовательности любой конечной длины и, таким образом, получено корректное выражение для статсуммы (- матрицы).

2) " конструкция для калибровочных теорий с абелевой приводимой алгеброй была развита (в основном - применительно к квантованию антисимметричных тензорных полей) в работах / 92-97 /. Концепция "гостов для гостов" явным образом сформулирована в / 92 /. Необходимость введения "скрытых гостов", иили "экстрагостов" при использовании линейно-зависимых калибровочных условий выяснена в / 93 /. Синтез этих двух аспектов для антисимметричных тензорных полей реализован в / 94-97 /.

Наиболее последовательный и универсальный метод ковариантного квантования теорий с открытой (любого ранга) и приводимой (любой стадии) калибровочной алгеброй развит в работах / 38,39 / на основе обобщения конструкции и результатов работы / 37 /. В /38, 39 / показано, что и концепция "гостов для гостов", и статус экстрагостов являются, применительно к приводимой ситуации, следствиями исходных принципов ковариантного квантования, сформулированных в / 37 /. Требование собственности решения для производящей функции калибровочной алгебры автоматически диктует состав, статистику и гостовское число полей, входящих в алгебраический сектор гостов. С другой стороны, требование, чтобы калибровочный ферми он генерировал полный набор допустимых калибровочных условий, необходимых для корректного устранения вырождения функционального интеграла по всем переменным, - автоматически диктует состав, статистику и гостовское число лагранжевых множителей, гостов вспомогательного сектора и экстрагостов. Таким образом определяется полный набор переменных расширенного конфигурационного пространства приводимой калибровочной теории. После этого, конфигурационный функциональный интеграл для ^ - матрицы строится по общим правилам / 37 /, модифицированным применительно к приводимому случаю. Именно эти модифицированные правила и были фактически описаны в общих чертах в предыдущем пункте.

Мы закончим наше рассмотрение "Истоков" данной диссертации следующим замечанием. Одна из наиболее характерных и общих черт операторного (глава I) и ковариантного (глава П) квантования состоит в том, что здесь мы принципиально имеем дело с "суперслучаем", когда сосуществование бозонных и фермионных операторов или переменных является неизбежным. Этот "суперслучай" находится в компетенции суперматематики, включающей суперматричное исчисление, суперанализ, теорию супермногообразий и т.д. Для фактического содержания данной диссертации является существенным использование некоторых аспектов суперматричного исчисления и суперанализа. В этой связи, важное ориентирующее значение для автора имели работы / 98-100 /.

Структура диссертации. Диссертация включает: "Введение", две главы основного содержания, "Заключение", три "Приложения", список литературы и имеет объем <2/?й страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации.

В I главе последовательно развит метод операторного канонического квантования релятивистских динамических Бозе-Ферми - систем со связями первого рода, генерирующими открытую (любого ранга) и приводимую (любой стадии1* калибровочную алгебру. Это включает следующие основные моменты.

В § 2 фиксирован полный набор (2.1), (2.8)-(2.Ю) операторов релятивистского фазового пространства теории любой конечной ( -й) стадии приводимости. Для этих операторов заданы распределение статистики (2.II)-(2.14), гостовского числа (2.16)-(2.18) и свойства (2.27^-(2.31) относительно эрмитова сопряжения. Все коммутационные соотношения при совпадающих временах предполагаются каноническими - см. (2.21)-(2.26).

В § 3 дана (в минимальном секторе (2.1), (2.32)) операторная версия (3.1), (3.2) производящих уравнений и детально рассмотрен процесс генерации операторной калибровочной алгебры - см. разложения (3.7), (3.8> для фермионного и бозонного производящих операторов, структурные соотношения (3.19), (3.20), (3.23), (3.24), полиномиальные разложения (З.ЗОМЗ.ЗЗ^ для коэффициентных операторов (3.9), (ЗЛО).

Выполнение необходимых условий формальной совместности операторных структурных соотношений обеспечивается циклическими тождествами (3.5), (3.6^. Условия (3.3), (3.4^ эрмитовости производящих операторов дают для коэффициентных операторов разложений (3.7). (3.8^ свойства (3.26М3.29^ относительно эрмитова сопряжения (см. также (2.29^.

В явном виде получены: соотношения инволюции для связей первого рода между собой (3.59^ и с исходным гамильтонианом (3.62), уравнения для сильных нуль-векторов первой стадии, низшие соотношения Нкоби (3.80), (3.84), (3.103, (3.106), уравнения для слабых нуль-векторов второй стадии (3.87) и третьей стадии (3.114), а также соотношения (3.117) для коммутаторов сильных нуль-векторов первой стадии друг с другом. На уровне низших соотношений Якоби явно подтверждено выполнение необходимых условий формальной совместности (З.УО), (3.91), (3.109), (3.110).

Подробно рассмотрен важный случай полностью абелева базиса калибровочной алгебры - см. (3.144)-(3.154).

В § 4 из трех основных ингредиентов - фермионного (3.7) и бозонного (3.8) производящих операторов калибровочной алгебры (см. также (4.2)) и оператора калибровочного фермиона из (4.5) -построен эрмитов оператор (4.6) унитаризующего гамильтониана теории, Этот унитаризугощий гамильтониан является основой операторного динамического описания систем со связями первого рода.

Условия допустимости (4.9)-(4.12), (4.17 ), (4.21), накладываемые на классический предел символа оператора калибровочного фермиона, обеспечивают корректное устранение калибровочного вырождения динамики (по крайней мере - в рамках петлевого разложения или теории возмущений). Минимальная версия (4.29)+(4.34) оператора калибровочного фермиона генерирует допустимые линейные калибровки.

В § 5 сформулирована операторная динамика. Эволюция во времени операторов (2.19), (2.20) релятивистского фазового пространства задана гайзенберговскими уравнениями движения (5.1), содержащими унитаризугощий гамильтониан (4.6), при канонических одновременных коммутационных соотношениях (1*7). Будучи преобразованы, согласно (5.14), (5.15), к представлению, зависящему от внешних источников, уравнения движения (5.1) имеют своим следствием операторные соотношения Уорда (5.17).

Показано, что,с точки зрения динамической эволюции операторов (2.19), (2.20) релятивистского фазового пространства, любое допустимое форм-изменение оператора калибровочного фермиона может быть представлено, согласно (5.3), как эффект специального канонического преобразования, задаваемого унитарным оператором из (5.4). Исходя из этого, фиксирован класс операторов (5.7), (5.8), матричные элементы которых по физическим состояниям из (5.12) не меняются, согласно (5.13), при вариации оператора калибровочного фермиона.

В § б из операторных уравнений движения в представлении, зависящем от внешних источников, получены уравнения (6.2), (6.3) в вариационных производных для производящего функционала (6.1) квантовых функций Грина. Решение этих вариационных уравнений функциональным Фурье-преобразованием даёт замкнутое выражение для производящего функционала в виде функционального интеграла (6.7) по путям в релятивистском фазовом пространстве. Эффективное действие (6.8) в этом интеграле по путям содержит "раздвинутый" по времени символ оператора унитаризующего гамильтониана (4.6). Тем самым полностью учитывается информация о порядке следования некоммути-рующих операторных множителей.

Для символов унитаризующего гамильтониана и производящих операторов калибровочной алгебры имеют место - аналоги (в смысле (1.3)-(1.6), (1.9)) уравнений (4.6), (4.2), (3.1), (3.2), каковыми являются соответственно (6.П)-(6.14). В рамках производящих-^ - уравнений (6.13), (6.14) может быть непосредственно реализован процесс генерации калибровочной -X*-алгебры символов. Начальным этапом этого процесса является генерация ■)(— соотношений инволюции для символов операторов связей друг с другом (6.15) и с символом оператора исходного гамильтониана (6.16), а также^ -уравнения (6.17) для символов операторов сильных нуль-векторов

- 208 первой стадии. Именно квантовая калибровочная - алгебра, генерируемая в рамках (6.13), (6.14) символами операторов связей первого рода и исходного гамильтониана, фактически действует на виртуальных фазовых траекториях интегрирования в (6.7).

Решение .^уравнений (6.13), (6.14) может быть представлено в виде квазиклассических разложений (6.18), (6.19) для символов производящих операторов. Это даёт для коэффициентов рекуррентные уравнения (6.20)46.25). В нулевом приближении таким образом получаются производящие уравнения (6.20), (6.23) классической калибровочной алгебры. Разложения (6.26), (6.30) решения уравнений (6.20), (6.23) по степеням гостов дают соответствующие классические структурные соотношения (6.27), (6.28), (6.31), (6.32).

В § 7 сформулирована общая процедура замыкания и абелизации операторной калибровочной алгебры. Первым (и основным) шагом здесь является решение в виде разложений (7.13), (7.18) уравнения (7.2) для унитарного оператора канонического преобразования, приводящего фермионный производящий оператор калибровочной алгебры к виду (7.3^, линейному по гостовским импульсам. Таким образом мы приходим к структурным уравнениям (7.19), (7.20^ для коэффициентных операторов (7.14). Выполнение необходимых условий совместности этих уравнений обеспечивается (3.19), (3.20), (7.7М7.9). Условие унитарности (7.1) оператора преобразования (7.13) даёт для операторов (7.14) свойства (7.24)-(7.29) относительно эрмитова сопряжения. Вторым (и последним^ шагом процедуры является нахож дение коэффициентных операторов разложений (7.44),(7.49) из уравнений (7.51)-(7.53^, приводящих бозонный производящий оператор (7.41) к виду (7.62), линейному по гостовским импульсам. Выполнение необходимых условий совместности этих уравнений обеспечивается (7.37)-(7.39), (7.7М7.9).

- 209

Наконец, в явном виде получено фактическое содержание низших уравнений (7.19) и (7.201 при £» в низшем секторе (0»^)» а именно трансформационные свойства: (7.85) - для операторов связей, (7.88) - для структурных операторов инволюции связей, (7.90) для операторов нуль векторов первой стадии.

Динамические переменные в новом представлении удовлетворяют уравнениям движения (7.82), которые содержат новый унитаризующий гамильтониан (7.75^, описывающий эквивалентную динамическую систему с замкнутой или даже абелевой калибровочной алгеброй. Генерирующие эту алгебру новые операторы связей, нуль-векторов и исходного гамильтониана являются (если иметь ввиду теорию поля), вообще говоря, нелокальными и не обладают правильной релятивистской вариантностью. Тем не менее, предложенная процедура замыкания и абелизации калибровочной алгебры имеет важное значение для понимания общей структуры операторного описания динамических систем со связями первого рода.

Во П главе последовательно развит метод ковариантного квантования непосредственно в кон<|игурационном пространстве для теорий о открытой (любого ранга) и приводимой (любой стадии) лагранжевой калибровочной алгеброй. Это включает следующие основные моменты.

В § 2 фиксирован полный набор переменных (2.1), (2.6)-(2.9) расширенного конфигурационного пространства калибровочной теории ¿^-й стадии приводимости. Для этих переменных заданы распределение статистики (2.П)-(2.13) и гостовского числа (2.14)-(2.17).

В § 3 сформулировано основное выражение (3.6) для производя -щего функционала в виде функционального интеграла в расширенном конфигурационном пространстве системы. Этот конфигурационный интеграл содержит фейнмановскую экспоненту, фаза которой выражается через решение основного уравнения (3.3). Последнее представлено

- 210 также в виде (3.14), в терминах антискобки (3.9) со свойствами (З.Ю)-(ЗЛЗ) и оператора (3.4).

С помощью 11 преобразования" (3.15) переменных интегрирования в (3.6), получены соотношения Уорда (3.16) и выражение (3.18) для изменения производящего функционала (3.6) при вариации калибровочного фермиона. Для преобразования Лежандра (3.19) производящего функционала (3.6) относительно источников полей из (3.16) следует мастер-уравнение (3.23) в терминах антискобки (3.9) по среднему полю (3.20) и внешнему антиполю

Решение уравнения (3.14) представлено в виде квазиклассического разложения (3.24) по степеням квантовой постоянной. Для нулевого члена разложения (3.24) имеем мастер-уравнение (3.25), для коэффициентов при положительных степенях квантовой постоянной -уравнения (3.26), (3.27). Классический член разложения (3.24) задаёт эффективное действие (3.28), квантовые члены задают конфигурационную меру (3.29), после чего (3.6) принимает вид (3.30).

Решение полного мастер-уравнения (3.25) специализируется в виде (3.31), как сумма решения мастер-уравнения в минимальном секторе (производящей функции лаграннсевой калибровочной алгебры), и членов, генерирующих калибровочные условия. Соответствующая специализация выражений для эффективного действия (3.28) и конфигурационной меры (3.29) имеют вид (3.33), (3.34).

В § 4 в рамках мастер-уравнения (4.1) в минимальном секторе (3.21) детально рассмотрен процесс генерации лагранжевой калибровочной алгебры - см. разложение (4.2) для производящей функции,-структурные соотношения (4.8), (4.9), полиномиальные разложения (4.12).

В явном виде получены: тождества Нётер (4.30), коммутационные соотношения (4.31) для генераторов открытой алгебры, уравнения

4.32) для слабых нуль-векторов первой стадии, низшие соотношения Якоби (4.41), (4.42), уравнения (4.43) для слабых нуль-векторов второй стадии.

Подробно рассмотрен важный случай полностью абелева базиса лагранжевой калибровочной алгебры - см. (4.60)-(4.64).

В § 5 в рамках уравнений (3.26),(3.27),(3.32) рассматривается процесс генерации конфигурационной меры - см. разложение (5.1), структурные уравнения (5.5)-(5.10), полиномиальные разложения (5.11). Обсуждается дефицит информации в определении конфигурационной меры, невосполнимый без обращения к каноническому квантованию, явно гарантирующему унитарность.

В § 6 сформулированы условия допустимости (6.1), (6.4) для калибровочного фермиона, обеспечивающие (по крайней мере - в рамках петлевого разложения или теории возмущений) корректное устранение калибровочного вырождения функционального интеграла (3.6). Дана минимальная версия (6.Щ+(6.15) калибровочного фермиона, генерирующего допустимые линейные калибровки. Дано также соответствующее (6.П)+(6.15) более явное выражение (6.20) для эффективного действия (4.33).

В § 7 сформулирована общая процедура замыкания и абелизации лагранжевой калибровочной алгебры. Прежде всего, здесь показнно, что антиканонические преобразования (7.2)-(7.4) полного набора полей и антиполей сохраняют общую структуру выражения (7.1) для конфигурационной ^ - матрицы - см. (7.5)-(7.П).

Затем, сформулировано уравнение (7.14) для производящей функции (7.12) антиканонического преобразования (7.15) в минимальном секторе полей и антиполей, приводящего исходный общий базис (4.2) к замкнутому (7.16) или абелеву (7.17) базису ранга один. Решение для производящей функции (7.12) ищется в виде разложения (7.18)

- 212 по антиполям. Таким образом в линейном и квадратичном по антиполям приближениях получаем соответственно (7.40) и (7.43).

Наконец, в явном виде получено фактическое содержание низшего уравнения (7.40) в секторах исходных переменных и гостов нулевой стадии, а именно трансформационные свойства: (7.50) - для исходных калибровочных генераторов, (7.53) - для структурных коэффициентов, (7.56) - для нуль-векторов первой стадии.

В § 8 показано, что выражение (7.1) для конфигурационной^

- матрицы фактически реализует рецепт квантования калибровочной сверхтеории, в которой (собственное) решение полного мастер-^урав-нения (3.25) играет роль исходного калибровочного действия, а калибровочные генераторы (8.7) построены непосредственно из компонент гессиана (8.8) и являются нильпотентными на экстремали - см. (8.11). Тем самым решение мастер-уравнения реализует пример теории бесконечной стадии приводимости.

В явном виде здесь получены низшие структурные соотношения калибровочной сверхалгебры, генерируемой мастер-уравнением, а именно: тождества Нётер (8.6), уравнение слабой нильпотентности (8.9), коммутационные соотношения (8.12), низшие соотношения Яко-би (8.15).

1. Fradkin E.S. , Vilkovisky G.A., Quantization of Relativistic Systems with Constraints, Phys. Lett., 1975, v. 55B,p. 224-226.

2. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A., Quantization of Relativistic Systems with Constraints. Equivalence of Canonical and Co-variant Formalisms in Quantum Theory of Gravitational Field., CERN preprint, 1977, Ref. TH.2332-CERN, p.1-53.

3. Ferrara s., Freedman D.Z., Nieuwenhuizen van P., Progress toward a Theory of Supergravity., Phys. Rev., 1976, v. 13D, p. 3214-3218.

4. Deser S., Zumino В., Consistent Supergravity., Phys. Lett., 1976, v. 62B, p. 335-337.

5. Freedman D.Z., Nieuwenhuizen van P., Properties of supergravity Theory., Phys. Rev., 1976, v. 14D, p. 912-916.

6. Breitenlohner P., some Invariant Lagrangians for Local super-symmetry., Nuol. Phys., 1977, v. 124B, p. 500-510.

7. Ferrara s., Nieuwenhuizen van P., The Auxiliary Fields for Supergravity., phys. Lett., 1978, v. 74B, p. 330-332.

8. Fradkin E.S., Vasiliev M.A., S-matrix for the Theories that Admit closure of the Algebra with the Aid of Auxiliary Fields. Auxiliary Fields in supergravity., Lett. Nuovo Cim., 1978, v. 22, p. 651-659.

9. Sohnius M.S., West Р.С., An Alternative Minimal Off-Shell Version of W=1 Supergravity., Phys. Lett., 1981, v. 105B, p. 353-357.

10. Fradkin E.S., Vasiliev M.A., Minimal set of Auxiliary Fields and S-Matrix for Extended Supergravity., Lett. Nuovo Cim.,1979, v. 25, p. 79-87. 11. Wit de-B., Holten van J.W., Multiple-fas of Linearized

11. S0(2)-Supergravity., Nucl. Phys., 1979, v.155B, p. 530-543. 12# Pradkin E.S., Vasiliev M.A., Minimal Set of Auxiliary Fields in S0(2)-Extended supergravity., Phys. Lett., 1979, v. 85B, p. 47-51.

12. Ogievetsky V., Sokatchev E., Structure of supergravity

13. Group., Phys. Lett., 1978, v. 79B, p. 222-224.

14. Огиевецкий В.И., Сокачев Э.С., Простейшая группа супергравитации Эйнштейна.,

15. Яд. Фаз., 1980, т.31, с. 264-279.

16. Siegel W., Eocek M., On Off-Shell supermultiplets., Phys. Lett., 1981, v. 105B, p. 275-277.

17. Rivelles V.O. , Taylor J.G., Off-Shell No -Go Theorem for Higher-Dimensionality supersymmetries and Supergravities., King's College preprint, 1982.

18. Townsend P.K., Covariant Quantization of Antisymmetric Tensor Gauge Fields., Phys. Lett., 1979, v. 88В, p. 97-Ю1.

19. Berends P.A., Holten van J.W., Nieuwenhuizen van P., Witde В., On Spin 5/2 Gauge Fields., Phys. Lett., 1979, v. 83B, p. 188-190.- 265 22« Дирак П.A.M., Лекции по квантовой механике., М., "Мир", 1968, с. 7-82.

20. Batalin I.A., Vilkovisky G.A., Relativistic S-Matrix of Dynamical Systems with Boson and Fermion Constraints., Phys. Lett., 1977, v. 69B, p. 309-312.

21. Fradkin E.S., Fradkina Т.Е., Quantization of Relativistic Systems with Boson and Fermion First and second Class Constraints., Phys. Lett., 1978, v. 72 B, p. 343-348.

22. Batalin I.A., Fradkin E.S., A Generalized Canonical Formalism and Quantization of Reducible Gauge Theories., Phys.- 266 1.tt., 1983, v. 122В, p. 157-164.

23. Batalin I.A., Fradkin E.S., Operator Quantization of Rela-tivistic Dynamical Systems Subject to First Glass Constraints., Phys. Lett., 1983, v. 128B, p. 303-308.

24. Баталии И.А., Фрадкин E.C., Операторное квантование релятивистских динамических систем сосвязями первого рода., Яд. Физ., 1984, т. 39, с. 231-239.

25. Batalin I.A., Fradkin E.S., Closing and Abelizing Operato-rial Gauge Algebra Generated by First Class Constraints.,journ. Math. Phys. 4384 p. SA&6-j

26. Batalin I,A., Vilkovisky G.A., Gauge Algebra and Quantization., Phys. Lett., 1981, v. 102 B, p. 27-31.

27. Batalin I.A., vilkovisky G.A., Feynman Rules for Reducible Gauge Theories., Phys. Lett., 1983, v. 120 B, p.166-170.

28. Batalin I.A., Vilkovisky G.A., Quantization of Gauge Theories with Linearly Dependent Generators., Phys. Rev., 1983,v. 28D, p. 2567-2582.

29. Batalin I.A., Vilkovisky G.A., Closure of the Gauge Algebra, Generalized Lie Equations and Feynman Rules., ITucl. Phys., 1984, v. 234B, p. 106

30. Фаддеев Л.Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов., Теор. Мат. Физ., 1969, т.1, с. 3-17.

31. Batalin I.A., A Compensating Functional in the Massive Yang

32. Mills Theory., Nucl. Phys., 1974, v. 76B, p. 347-364.

33. Фрадкина Т.Е., Квантование релятивистскиз Ферми-Бозе-системсо связами первого и второго рода методом компенсирующего функционала., ЖЭТФ, 1980, т. 31, с. 70-75.

34. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A., Unitarity of S-Matrix in Gra-vidynamics and General Covariance in Quantum Domain., Lett. Nuovo Cim., 1975, v. 13> p. 187-192.

35. Fradkin E.S., Vasiliev M.A., Hamiltonian Formalism, Quantization and S-Matrix for Supergravity., Phys. Lett., 1977, v. 72B, p. 70-74.

36. Batalin I.A*> Fradkin E.S«> Quantization of Dynamical Systems Subject to Reducible second Class Constraints., Lett. Uuovo Cim., v. 38, p. 393-401.(^83)

37. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A., S-Matrix for Gravitational Field II. Local Measure; General Relations; Elements of Renormalization Theory., Phys. Rev., 1973> v. 8d, p. 42414285.

38. Тютин Й.В., Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке., Препринт ФИАН, 1975, № 39, с. 1-62.

39. Kugo Т., O^ima I., Local Covariant Operator Formalism of- 268

40. Non-Abelian Gauge Theories,, Suppl. Progr. Theor. Phys., 1979, N 66.

41. Christ U.H.j Lee T.D. Operator Ordering and Peynman Rulesin Gauge Theories., Phys. Eev., 1980, v. 22D, p. 939-958. 53« Peynman R.P., Quantum Theory of Gravitation., Acta phys.

42. Polon., 1963, v. 24, p. 697-722. 54* Бе-witt b.S.i Quantum Theory of Gravity I, Ц, Ш. phys. Rev., 1967, v. 160, p. 113-1149; v. 162, p. 1195-1239, p. 1239-1256.

43. Paddeev L.I)., Popov V.N., Peynman Diagrams for the Yang-blills Field., Phys. Lett., 1967, v. 25B, p. 29-30.

44. Pradkin E.S., Tyutin I.V., S-Matrix for Yang-Mills and Gravitational Pields., Phys. Rev., 1970, v.2I), p.2841-2857.58. t'Hooft G., Renormalization of Massless Yang -Mills Pields., Nucl. Phys., 1971, v.33B, p. 173-199.

45. Kallosh R., Renormalization in Non-Abelian Gauge Theories., Nucl. Phys., 1974, v. 78B, p. 293-312.

46. Batalin I.A., Pradkin E.S., Invariant Realization of Functional Integration over a Local Gauge Group., Annals, of- 269

47. Phys., 1974, v. 83, p. 367-425. 62a, Batalin I.A., Fradkin E.S., External Source in Gauge Theory., Nucl. Phys., 1975, v. 100Б, p. 74-92.

48. Batalin I.A.,Quasigroup Construction and First Class Constraints., Journ. Math. Phys., 1981, v. 22, p. 1837-1850.

49. Becchi C., Rouet A., Stora R., Renormalization of the Abe-lian Higgs-Kibble Model., Comm. Math. Phys., 1975, v. 42, p. 127-162.

50. Wit de В., Holten van J.W., Covariant Quantization of Gauge Theories with Open Gauge Algebra., Phys. Lett., 1978, v. 79B, p. 389-393.

51. Buttin C., Les derivations des champs de tense.urs et1*invariant differentiel de schouten., C.r. Acad. Sci. Paris, 1969, Ser A-B, v. 269, A-87.

52. Tulczyew W.M., The GLA of Vector Fields and the Generalized Lie Derivative of Forms., Bull. Acad. Polon. Sci., 1974, ser. math., v. 22, p. 936-942.

53. Лейтес Д.А., Новые супералгебры Ли и механика., ДАН СССР, 1977, т. 236, с. 804-807.

54. Zinn-Justin J., Renormalization of Gauge Theories., In "Trends in Elementary Particle Theory", Lecture Notes in Physics, 1975, v. 37, p. 2-39, ed. by H.Rollnik and K. Dietz. Springer, Berlin.

55. Dixon J.A., Field Redefinition and Renormalization in Gauge

56. Тютин И.В., 0 перенормировке калибровочных теорий в нелинейных калибровках., Изв. вузов. Физ., 1981, т. 24, с. 11-15.

57. Воронов Б.Л., Тютин И.В., К перенормировке эйнштейновской гравитации., Яд. Физ., 1981, т. 33, с. I7I0-I722.

58. Воронов Б.Л., Тютин И.В., К формулировке калибровочных теорий общего вида.,Теор.Мат.Физ.,1982, т.50, с. 333-343.

59. Ward J.C*, An Identity in Quantum Electrodynamics., Phys.

60. Rev., 1950, v. 73, p. 182L.

61. Фрадкин E.C., 0 некоторых общих соотношениях в квантовойэлектродинамике., Письма ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 258-261.

62. Takahashi Y., On the Generalized ward Identity, Nuovo Cim., 1957, v. 6, p. 371-375.82. slavnov A.A., Generalized Ward Identities for Gauge Fields., Kiev preprint, 1971, ITP-71-83E7 ±-14 .

63. Славнов A.A., Тождества Уорда в калибровочных теориях.,Теор. Мат. Физ., 1972, т. 10, с, I5I-I6I.

64. Taylor J.С., Ward Identities and Charge Renormalization of the Tang-Mills Field., Hucl. Phys., 1971, v. 33B, p. 436-444.

65. Славнов A.A., Фаддеев Л.Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей., М. "Наука", 1978.- 271

66. Понтрягин Л.С., Непрерывные группы., М. "Наука", 1973, с. 402-414.89« Batalin I.A.> Vilkovisky G.A., Existence Theorem for Gauge Algebra., Journ. Math. Phys. (in press), Препринт ФИАН, 1984, Jt C. ¿-63.

67. Schwarz A.S., The Partition Junction of a Degenerate Quadratic Functional and Ray -singer Invariants., Lett. Math. Phys., 1978, v.2, p. 24-7-252.

68. Schwarz A.S.j The Paritition Function of a Degenerate Functional, Comm. Math. Phys., 1979» v. 67, p. 1-16.

69. Namazie M.A., Storey D., On Secondary and Higher Generation Ghosts., Nucl. Phys., 1979, v. 157B, p. 170.

70. Siegel W. , Hidden Ghosts., Phys. Lett., 1980, v. 93B, p.170-172.94. sezgin Б., Nieuwenhuizen van P., Renorraalization Properties of Antisymmetric Tensor Fields Coupled to Gravity., Phys. Rev., 1980, v. 22D, p. 301-307.

71. Duff M.J. у Nieuwenhuizen van p., Quantum Inequivalence of Different Field Representations., Phys. Lett., 1980, v. 94B, p. 179-182.

72. Kimura Т., Quantum Theory of Antisymmetric Higher Rank Tensor Gauge Fields in High Dimensional Space-Time., Progr. Theor. Phys., 1981, v. 65, p. 338-350.- 272

73. Hata H., Kugo Т., Ohta П., Skewsymmetric Tensor Gauge Field Theory Dynamically Realized in QCD TJ^ Channel,, Nucí, Phys. , 1981, v. 178B, p. 527-544.

74. Березин Ф.А., Суперматематика, Доклад на конференции по калибровочным теориям поля, Москва, Май 1978 г.^ с. 1-30.

75. Лейтес Д.А., Введение в теорию супермногообразий., Усп. Мат. Наук, 1980, т. 35, с. 3-57.

76. Березин Ф.А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирукъ щими переменными. Изд-во МГУ, 1983, с. 8-208.

77. Batalin i.a., Fradkin E.S. , Quantization of the Bose—Fermi— Systems subject to the First and second Class Constraints., proc. of the International seminar "Group Theoretical Methods", Zvenigorod, 28-30 November, 1979, v. 2, p. 247269.

78. Batalin i. a., Vilkovisky G.a., Gauge Algebra and Quantization., Proc. of the second seminar "Quantum Gravity", Moscow, 13-15 October 1981, p. 267-280.