Квантовое плато намагниченности и магнетокалорический эффект в ферримагнитных спиновых цепочках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

003447370

БОЯРЧЕНКОВ АЛЕКСЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

Квантовое плато намагниченности и

магнетокалорический эффект в ферримагнитных спиновых цепочках.

Специальность 01 04 07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

з О СЕН 2008

Екатеринбург 2008

003447378

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Уральского государственного университета имени А.М.Горького

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Бострем Ирина Геннадьевна Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Скрябин Юрий Николаевич кандидат физико-математических наук, доцент Мальцев Владимир Николаевич

Ведущая организация. Башкирский государственный университет

Защита состоится « ® ^ь О^Т^рД 2008 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 212.286 01 при Уральском государственном университете им. A.M. Горького, расположенном по адресу. 620083, г Екатеринбург пр. Ленина, 51, комн. 248

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А. М. Горького

Автореферат разослан «_»_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук Г" ^Кудреватых Н. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Процессы намагничивания в ферримагнитных спиновых цепочках, состоящих из двух сортов спинов (S, s), привлекают внимание исследователей из-за возможности наблюдения эффектов квантования, проявляющихся в виде плато в кривой намагничивания. Согласно теореме Либа-Шульца-Маттиса [1, 2], необходимым условием для появления плато является соотношение

S — т = integer,

в котором Sum сумма спинов по всем узлам элементарной ячейки и ее намагниченность, соответственно. Для ферримагнитных спиновых цепочек это означает, что имеется плато намагниченности т~ S — s в основном состоянии и плато с более высокими значениями т = S — s + 1,5 — s + 2, ..., S -f 5. В результате ряда исследований было установлено, что плато основного состояния имеет квантовую природу, и что для интерпретации поведения намагниченности удобно ввести представление составных спинов, основанного на картине состояния валентных связей Аффлека-Кенеди-Либа-Тасаки, предложенной для халдейновских спиновых цепочек [3]. Применительно к ферримагнитной спиновой цепочке спинов (5, s) это означает, что система сочетает в себе свойства антиферромагнетика спина 2s и ферромагнетика спина (S — s) [4].

При изучении магнетокалорического эффекта в одномерных антиферромагнетиках указывалось, что следует ожидать усиления магнетокалорического эффекта вблизи квантовых фазовых переходов в магнитном поле, в частности, на границах плато намагниченности [5]. Такие предсказания были сделаны для индуцированных полем переходов в системах с синглетным основным состоянием, спиновых лестниц и халдейновских спиновых цепочек [6].

На основании тех же физических аргументов, можно ожидать необычного

поведения магнетокалорического эффекта в (5,5)-ферримагнитных спиновых цепочках при низких температурах. Включение магнитного поля приводит к открытию щели в спектре ферромагнитных возбуждений, связанных с (й — в) ферромагнитной составляющей ферримагнетика. В случае малых полей это будет сопровождаться увеличением температуры системы в процессе адиабатического намагничивания. Поля большей величины будут вызывать разрушение состояния валентных связей, связанного со спии-^в антиферромагнитной составляющей ферримагнетика, из-за конденсации локальных триплетных возбуждений, что приведет к охлаждению системы. Вблизи точки перехода, соответствующей разрушению плато основного состояния, будет происходить накопление энтропии, и, как следствие, ожидается сильный магнетокалорический эффект, аналогичный найденному в геометрически фрустрированных антиферромагнетиках [7].

В работе [8, 9] при помощи скейлинговой теории квантовых фазовых переходов было показно, что параметр Грюнайзена и магнетокалорический эффект являются прекрасными инструментами для обнаружения предполагаемых квантовых критических точек. Хотя сам квантовый фазовый переход происходит при нулевой температуре при изменении внешнего магнитного поля, магнитные термодинамические свойства при конечных температурах оказываются крайне чувствительными к соответствующему изменению поля. В частности, параметр Грюнайзена для магнитных систем

(йМ/йТ) я 1 с1Т

Н Сн т ан

(1)

5

где Сц - теплоемкость при постоянном магнитном поле Н и (¿М/йТ)н - производная намагниченности по температуре, обнаруживает характерное изменение знака вблизи квантовой критической точки.

В диссертации магнетокалорический эффект исследуется на примере фер-римагнитной цепочки (5/2,1), предложенной ранее в качестве модели для изу-

О —Мп

+

4-

Рис. 1. Пространственный вид (а) и схема цепочечной структуры соединения [Мп(Л/ас)2ВЛГОл] (б).

чения магнитных свойств металл-органических соединений [Мп^ас^ВЮд] (Д = Н,Р, С1, Вг\ И/ас - гексафторацетилацетат), синтезированных около 10 лет назад группой проф. К. Иноуэ [10,11]. Ранее было установлено, что соединения имеют вид длинных зигзагообразных полимерных цепочек, образованных двухвалентным ионом Мп2+ и бис-аминоксильными радикалами (Рис. 1). Магнитными моментами обладают ионы Мп2+ (5 = 5/2) и фрагмент N0-группы дирадикалов (Б = 1/2). При низких температурах (ниже 4.8 - 5.5 К, в зависимости от типа Л-иона) наблюдается магнитное упорядочение как внутри цепочек, так и между ними. Межцепочечное обменное взаимодействие имеет антиферромагнитный характер для первых двух соединений (Л, Р), и является ферромагнитным для двух последних (С1,Вг). Однако, и в том и в другом случае оно на три порядка слабее внутрицепочечного, и при температурах выше Тс (Т^) соединения семейства [Мп(к/ас)2ВМОц], с точки зрения магнитных свойств, являются квазиодномерными. Экспериментально определен тип внутрицепочечных магнитных взаимодействий [10, 11]- обменное взаимодействие между Зй-электронами двухвалентного марганца и 2р-электронами МЭ-группы - антиферромагнитное, а магнитные моменты А^О-групп одного дирадикала упорядочены ферромагнитным образом. Сколько-нибудь заметной

магнитной анизотропии по данным кривых намагничивания обнаружено не было [10].

Рис. 2. Модель цепочки (5/2,1/2,1/2) с двумя типами обмена.

В работе [11] была предложена модель магнитной структуры соединений семейства [Мп^ас^ВЫОп] выше точки трехмерного упорядочения - ферри-магнитная спиновая цепочка из тримеров (5/2,1/2,1/2) с чередующимся знаком изотропного обменного взаимодействия (Рис. 2). Обмен между спинами 1/2 ферромагнитный (7^) и значительно превосходит по абсолютной величине антиферромагнитный обмен (Л) между спинами 5/2 и 1/2. В этой же работе указывалось, что для описания термодинамических свойств соединения можно рассматривать спины ЛЮ-групп связанными в единый спин 3 = 1, т. е. пренебрегать синглетным состоянием этой пары.

Цель диссертационной работы. Целью работы является теоретическое описание магнитных и термодинамических свойств квантовой ферримагнитной цепочки (5/2,1), которая является простейшей спиновой моделью металл-органических соединений [Мп(А/ас)2ВЫОв\ выше точки трехмерного упорядочения.

Были поставлены следующие задачи:

• Исследовать основное состояние цепочек (5/2,1) и (5/2,1/2,1/2). Рассчитать энергию и волновую функцию основного состояния. Определить границы применимости упрощенной модели (5/2,1).

• Рассчитать спектр элементарных возбуждений ферримагнитных цепочек (5/2,1) и (5/2,1/2,1/2) Определить температурное поведение магнитной восприимчивости и теплоемкости

• Построить кривую намагничивания ферримагнитной цепочки (5/2,1). Проверить, реализуется ли эффект квантования намагниченности.

• Рассчитать магнетокалорический эффект и проверить соотношения скей-линговой теории для возможных квантовых фазовых переходов.

Научная новизна работы

1. Впервые проведен расчет энергии, намагничениостей подрешоток и корреляционной длины для основного состояния квантовой ферримагнитной цепочки (5/2,1/2,1/2). Определен спектр ее элементарных возбуждений.

2. При помощи модифицированной теории спиновых волн для одномерного квантового ферримагнстика объяснена температурная зависимость магнитной восприимчивости соединения [Мп(Ь/ас)2ВЫОн\.

3 Проведено обобщение метода матричных произведений на ферримагнит-ные цепочки, элементарная ячейка которых состоит из трех спинов. Исследована зависимость точности результата от размерности матриц элементарных ячеек и предложен критерий для се выбора.

4. Методом точной диагонализации на конечном кластере с выделением центрального узла рассчитан полный спектр цепочки (5/2,1) в магнитном поле.

5. Прямым расчетом кривой намагничивания подтверждено существование "квантовых" плато намагниченности для одномерного квантового ферри-магнетика (5/2,1), не возникающих при классическом описании системы.

6. Для квантовой ферримагнитной цепочки (5/2, 1) обнаружена точка квантового фазового перехода при значении поля, разрушающего плато основного состояния. Проведена оценка величины критического поля и прямы-

ми численными расчетами показано выполнение скейлинговых соотношений для "магнитного" параметра Грюнайзена Гн-

Практическая ценность работы: проведенные исследования имеют научную и практическую ценность.

Во-первых, большая величина спина блока допускает возможность квантовых аномалий в поведении намагниченности ферримагнитной цепочки, и разработанный нами метод вычисления полного спектра позволил прямым расчетом подтвердить их существование, определить критическое поле квантового фазового перехода и проверить выполнение скейлинговых соотношений. Проведенные расчеты подтверждают представление о квантовом ферримагнетике (Б, в) как о "составной" системе, проявляющей свойства и ферромагнитной цепочки и антиферромагнитной цепочки спина 2з.

Во-вторых, апробированный алгоритм расчета спектра цепочки предполагается использовать для объяснения особенностей поведения намагниченности в сверхсильных импульсных магнитных полях для соединений {Мп{Н}ас)%ВЫОп\ {К — Н, С1) ниже точки трехмерного упорядочения. В настоящее время уже имеется теория [15], объясняющая аномалии магнитной восприимчивости и очень большое время магнитной релаксации, экспериментально обнаруженные в этих соединениях [16] Однако в работе [15] спектр цепочек, взаимодействующих между собой и с внешним магнитным полем, моделировался с помощью осцилляторной модели. Информация о полном спектре отдельной цепочки позволит более корректно рассчитать энергию межцепочечного взаимодействия, кинетические коэффициенты обмена энергией и построить более точную микроскопическую теорию.

В-третьих, на примере квантового ферримагнетика (5/2,1) был успешно апробирован метод диагонализации для низкоразмерных квантовых систем с учетом спиновой (2) симметрии, предложенный в работе [17] для двумерных

систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Обобщение метода матричных произведений и. модифицированной теории спиновых волн на случай ферримагнитной цепочки, состоящей из трех спинов на элементарную ячейку, и расчет с помощью этих подходов свойств основного состояния, спектра низколежащих возбуждений и термодинамических свойств цепочки (5/2,1/2,1/2).

2. Подтверждение существования квантовых плато намагничениости на кривой намагничивания цепочки (5/2,1), предсказываемых теорией Оши-кавы-Яманаки-Аффлека.

3. Прямой расчет магнето калорического эффекта: построение изоэнтроллй-ных кривых и расчет магнитного параметра Грюнайзена. Обнаружение аномалий магнетокалорического эффекта при значении поля Нс, разрушающего плато основного состояния.

4. Выполнение скейлинговых соотношений для магнитного параметра Грюнайзена в области низких температур вблизи Нс, указывающее на существование квантового фазового перехода.

Перечисленные положения, выносимые на защиту, определяют научную новизну выполненных в рамках работы над диссертацией исследований.

Апробация. Результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях и семинарах. 33 Всероссийском совещании по физике низких температур НТ-33 (г. Екатеринбург, 2003 г), Международной конференции ЬБМ-2003 (г. Флоренция, Италия, 2003 г), V, VI Региональной Школе-Конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (г. Уфа, 2005, 2006 гг.), II летней научной школе фонда "Династия"

9

(Москва, 2005 г.), XXXI Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка" (г. Кыштым, 2006 г.), научно-исследовательской стажировке молодых ученых "Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях" (г. Уфа, 2006 г.), Международной конференции Еаз1;г)^-2007 (г. Казань, 2007 г.), XXXII Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка" (Зеленый Мыс, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации полностью изложены в десяти статьях и тезисах международных конференций, включая 5 статей в ведущих отечественных и зарубежных журналах. Полный список работ приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы и насчитывает 140 страниц, включая 26 рисунков, 5 таблиц и 168 библиографических ссылок.

Содержание работы

Во Введении дается краткий обзор литературы, обосновывается актуальность и практическая значимость темы диссертации, формулируется цель исследования.

В первой главе приводится обзор работ, которые дают представление об истории становления и современном состоянии теории квантовых одномерных ферримагнетиков. Подробно рассматривается вопрос об условиях существования квантовых плато намагниченности на кривой намагничивания ферримаг-нитных цепочек. Приведен обзор работ, в которых обсуждается возможность обнаружения квантовых критических точек по аномалиям магнетокалориче-ского эффекта, и предсказывается характер поведения магнитного параметра Грюнайзена вблизи таких точек.

Остальная часть главы посвящена обзору современных аналитических и численных методов, используемых для расчета свойств квантовых спиновых цепочек: квантовый метод Монте-Карло, методы ренорм-группы матрицы плотности и матричных произведений, метод точной диагонализации.

Во второй главе излагается способ и результаты вычислений энергии, намагниченностей подрешеток, корреляционной длины в основном состоянии ферримагнитной цепочки (5/2,1/2,1/2) с помощью метода матричных произведений [18].

В гамильтониане цепочки

Я = 7в

" п п \ п п

1&1п

(2)

первые два слагаемых представляют внутриблочное обменное взаимодействие, последнее - взаимодействие с соседними блоками (обозначение спинов соответствуют Рис. 2). Перед построением матриц цепочки была проведена процедура диагонализации блочного гамильтониана- рассчитан спектр энергии триме-ров и собственные функции в базисе полного спина как функции отношения

В формализме метода матричных произведений состояние цепочки из N блоков с периодическими граничными условиями описывается функцией

\П) = Тг(дгд2-Ь)- (3)

Элементарные матрицы блоков дг строятся из волновых функций тримера и некоторых тензорных матричных констант Хкя:

дц

к А |

ч м

Хк"

(Ш)

(4)

где [...]- коэффициенты Клебша-Гордана группы вращений, СзА - вариаци-

1

онные параметры. Размерность элементарных матриц определяется размерностью выбранных тензорных констант. Авторы оригинального метода использовали тензорные константы порядков к = 0ик = 1 (4 матрицы размерностью 2 х 2). Можно убедиться, что в этом случае при построении дИ будут учтены

только функции основного и первого возбужденного состояний тримера; вари-

0- 1- 1-ационных параметров будет три: С3г = и, Сз2 = V, С}2 = "ш (из них 2 неза-

2 2 2

висимых). Использование векторных констант размерностью 3x3 позволяет учесть вклад всех уровней блока, но при этом число вариационных параметров возрастает до 6 (5 независимых). Мы провели расчет на матрицах обоих типов, сравнили и объяснили результаты.

Энергия в расчете на блок записывается следующим образом:

N

Тг

Тг )

_____ (5) л / 3 3 \ ^ 33

где С = (<р5) ® дз* - трансфер-матрица блока, знак ® означает прямое произведение матриц. Это выражение является функцией вариационных параметров. Ее минимальное значение в пределе N —► оо дает энергию основного состояния, а значения параметров, при которых оно достигаегся, определяют собственную функцию основного состояния. Численная минимизация проводилась симплекс-методом.

Результат для энергии основного состояния при различных отношениях обменных интегралов приведен на Рис. 3(а) (базис 2x2)

Как видно из графика, энергия в расчете на блок меняется от значения —7.0 ^, которое соответствует невзаимодействующим блокам, до величины —5.80с

Рис. 3. Энергия основного состояния па блок как функция отношения \ Jj\fJa (а); энергия нижней оптической ветви спектра цепочек различной длины при к — 0 (метод МРМ) (б).

причем это значение практически постоянно для \Jf\fJa > 10. Расчет на матрицах 3x3 дает для предельного значения несколько меньшую величину —5.914 что ближе к значению, полученному методом цепных дробей (—5.913 7а) [19].

Формализм метода матричных произведений позволяет провести расчет наблюдаемых: средних значений намагниченности подрешеток

Тг ((дрУ ® ¿К (3?) = —^--г = 1,2,3

Тг (д?)

и спиновых корреляционных функций

(6)

Тг

(^и^гц) —

(#)Т ® (>#) ¿Г2 (зРУ® (^д!1) 6*

Тг

(йг)

(?)

Графики для средних намагниченностей подрешеток представлены на Рис. 4. Предельные значения при J¡ —► оо равны (5*) ~ 2.26, (5|) = (5|) = —0.38. Асимптотическое поведение корреляционной функции при п —» оо

для корреляционной длины £ было получено значение 0.336.

Рис. 4. Поведение намагниченности подрешеток в зависимости от отношения 8 — | <//|/./а

По результатам расчетов главы 2 были сделаны следующие выводы: оптимальным размером для матриц блоков будет тот минимальный размер, при котором будут учтены все состояния блока; упрощенной моделью (5/2,1) можно пользоваться при отношении 6 = \Jf\fJa > Ю; основное состояние квантовой цепочки (5/2,1/2,1/2) характеризуется сильными квантовыми флуктуациями, значительно сокращающими среднюю величину намагниченности подрешеток, н крайне малой корреляционной длиной.

Отметим, что спин-волновой расчет средней энергии основного состояния и намагниченностей подрешеток для модели (5/2, 1) ((,$1) — 2.269, (5|) = —0.769) хорошо согласуется со значениями, полученными методом матричных произведений.

В третьей главе приводится способ и результаты расчета спектра возбуждений двумя различными методами: матричных произведений и модифицированных спиновых волн. С помощью последней теории определяются магнитная восприимчивость и теплоемкость.

Спин-волновой расчет проводился для цепочки (5/2,1/2,1/2). Были получены три ветви спектра' бесщелевая акустическая ветвь возбуждений над ферри-магнитным основным состоянием с намагниченностью М = Х«=1 + ^2» + 3/2 .¡V —1, нижняя оптическая мода, соответствующая полной намагниченности

М — 3/2 Лг + 1, и верхняя с М = 3/2 N + 2.

Энергия нижней оптической ветви спектра считалась также и методом матричных произведений по методике, предложенной в работе Колежука и др. [20]. Пробная волновая функция оптических магнонов с импульсом к выбиралась в виде

|к) = егЫ ¡гг.), |n> = Tr {gi...9n^9n9n+i-9b} - (9)

п

Матрицы д совпадают с элементарными матрицами основного состояния, а д имеет квантовые числа (§§).

В функционале энергии явно выделяется слагаемое N Egs, пропорциональное числу N блоков в цепочке, и энергия возбуждений ш(к) :

е - ^+м w, _ w - СЮ)

Индексы (1) и (0) обозначают члены, пропорциональные N1 и № соответственно. Расчет проводился на матрицах размерностей 2 х 2 и 3 х 3.

На Рис. 3(6) приведены данные расчета энергии цепочек различной длины для к = 0. Хорошо видно, что линейная зависимость (10) действительно выполняется. На вставке приведены результаты обработки методом наименьших квадратов. Величина оптической щели оказалась равной 3.79 J, что прекрасно совпадает с результатом (3.7939 J), полученным методом цепных дробей [19].

Температурная зависимость магнитной восприимчивости соединения [Mnihfac)iBNOii\ (Рис. 5) рассчитывалась с помощью модифицированной теории спиновых волн. Показано, что отношение \ Jj\/Ja Для обменных интегралов внутри цепочки не меняет профиль восприимчивости до максимально достижимых температур эксперимента (порядка 350К).

В четвертой главе описывается расчет спектра цепочки (5/2,1) с помощью одномерного варианта метода точной диагонализации на конечном кла-

г

0,4

э

1

0,3

0,2

0,1

0,0

0 2 4 6 В

T/Ja

0,0-

0 100 200 300 400 500 600

т,к

Рис. 5. Температурная зависимость восприимчивости в нулевом поле. (□) - экспериментальные данные, (о) -2321К, 5 = Ш = 2.00; (Д) - = -696К, 5 = 1; х - .7/ = -23К, 8 = 0 02 - результаты модифицированной спин-волновой теории

стере с выделением центрального спина, предложенного в работе [17] для двумерного антиферромагнетика. Рассматривается цепочка длиной 9 узлов: центральный узел 5о = 1 и по 4 узла в его окружении справа и слева. Сначала гамильтонианы правой и левой частей диагонализуются на функциях полного спина 51 (¿>г) четырех узлов, а затем, по формулам сложения моментов, образуется базис функций полного спина окружения (5и). На втором этапе строится и диагонализуется матрица оператора взаимодействия центрального узла с окружением. Средняя энергия на связь е^ расчитывается через веса базисных функций а, энергию полного кластера Ег$, энергии левой и правой частей (Е^Е,^) по формуле

Наблюдаемые намагниченности подрешеток вычисляются как квантовомехани-ческие средние для центрального узла (г'5М iSM) и его ближайших соседей {гвМ 1 ¿5М) (5х = |) на волновых функциях полной цепочки. Поскольку корреляционная длина мала, а размер кластера достаточно большой, это

(И)

позволяет значительно уменьшить влияние краевых эффектов. Благодаря учету 311(2) - симметрии, матрица гамильтониана взаимодействия центрального узла с его окружением разбивается на сектора, соответствующие разным значениям спина, которые могут быть диагонализованы независимо. Это позволяет найти спектр цепочки полностью, не пренебрегая никакими состояниями. Полученный нами спектр будет достаточно хорошим приближением к низшим и центральным значениям энергии связи для бесконечной цепочки.

В пятой главе.решается проблема построения кривой намагничивания с помощью спектра £полученного в предыдущей главе, и определяеется критическое поле Нс, разрушающее плато основного состояния. Подобная задача решалась ранее методом дискретного континуального интегрирования (БРШ) [19]. В результате для низких температур получается ступенчатая кривая, представленная на графике 6(6), которая подтверждает основной результат работы [2].

Стандартный способ изучения процесса намагниченности при Т = 0 - определить Е(К, М) как наинизшую энергию гамильтониана ферримагнитной цепочки в подпространстве с фиксированным значением полной намагниченности

Е; = М для конечной системы из N элементарных блоков (5,в).

Тогда намагниченнсть на блок т выводится из условия М

гтг = — : М = ыох[М\Е^,М + 1)-Е^,М)>Н],

что даст, в свою очередь, ступенчатую кривую. К сожалению, метод точной диагонализации страдает от сильных конечномерных эффектов, что при расчете магнитной термодинамики проявляется как "колебания" изоэнтропийных кривых в низкотемпературном режиме и затрудняет исследование магнетока-лорического эффекта. Чтобы избежать этой трудности и получить сглаженные кривые намагничивания при Т = 0, аппроксимирующие результат термодина-

.У"

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Н/Н.

Рис. 6. (а) Схема построения кривой намагничивания при Т — 0; (6) Кривая намагничивания ферримагнитной цепочки (5/2,1) при Т = 0, восстановленая по спектру системы из N = 9 узлов. Скачок намагниченности при критическом поле Нс = 3 04 7 отмечен стрелкой Результат БРГО. расчета для низких температур (Т — 0 001,7) показап для сравнения.

мичсского предела, метод точной диагонализации обычно комбинируют с скей-линговым анализом, основанным на конформной теории поля [21].

В предложенном в диссертации подходе намагниченность на блок при Т = 0 рассчитывается следующим образом.

Определяем наинизшие по энергии кластерные уровни Ета(3) — ЯН для каждого значения 5 как функции приложенного внешнего магнитного поля, и строим огибающую для семейства этих кривых (Рис. 6(а) ). Для кластера из 9 узлов имеется 10 отрезков огибающей, соответствующих изменениям спина Л5" = 1 в точках (показаны стрелками), где магнитное поле определяется соотношением

Яс!и51(5) = £ют(5) - Етт(5 - 1), 5 = 6,... 15. (12)

Учитывая, что намагниченность на блок в состоянии |гвМ) определяется соотношением

для каждого участка огибающей находим намагниченность тШ1П(Я) и энергию е™п блока согласно выражениям (13) и (11), соответственно. При Т — 0 поведение тпшш(Н) обнаруживает ступенчатый характер (Рис.б(б)). Заметный скачок т™1^!!) возникает при смене наинизших зсемановских уровней, имеющих значения спина кластера S = 10 и S = 11. Предыдущие скачки намагниченности, соответствующие изменению полного спина кластера от 5 до 10, оказываются сильно подавленными, из чего можно сделать вывод, что они вносят вклад в плато основного состояния cm — 3/2. При этом следует учитывать, что значения магнитного поля Н, определяются спектром конечного кластера и необходимо изменить масштаб значений поля, чтобы воспроизвести кривую намагничивания бесконечной системы и оценить критическое ноле Нс. Для этого можно использовать соотношение e'{m) = Н, из которого следует, что намагниченность претерпевает скачки при значениях

-.min _ Fmin

WS) = Ll^n- (14)

ms ms_ x

Используя численные данные для перехода между состояниями со спинами 9 и 10, получаем Н1ишР(Ю) = 3.0407 J, и масштабируем все значения магнитных полей к этой величине. Как следствие, для критического поля получается значение Нс — #jump(ll) « 3.43 J (вместо ffciust(ll) = 4.85 J). Этот результат следует сравнить с предсказаниями спин-волновой теории 3.0 J и метода матричных произведений 3.79 J.

При конечной температуре намагниченность на блок рассчитывается как m — —dF/dH, где F — — TinZ есть свободная энергия. Статистическая сумма блока Z(T,H) = Y^iSM ехР [~£iSm(H)/T] вычисляется с помощью значений энергии

е»SM{H) = £»s ~ Н (SB)ism •

Шестая глава посвящена исследованию магнетокалорического эффекта. В работах [8, 9], основываясь на аргументах скейлинг-анализа, было предска-

н/н, H/Hs

Рис. 7. Кривые постоянной энтропии для ферримагнитной цепочки (5/2,1) в большом (а) и малом (6) масштабах Значения энтропии на блок S/N, измеренные в единицах кв, отмечены числами на конце каждой линии. Наклон вблизи предполагаемой квантовой критической точки показан стрелкой.

зано, что магнетокалорический эффект очень удобен для изучения квантового критического поведения, поскольку, в отличие, например, от теплоемкости, ведет себя более сингулярным образом вблизи точки квантового фазового перехода (КФП), и поэтому его можно использовать для поиска таких точек.

В частности, магнитный параметр Грюнайзена Гя

{dM/dT)H 1 dT

Г/7 =

Я Сн Т dH

(15)

где Сн - теплоемкость в постоянном магнитном поле, расходится, когда Т стремится к нулю для любого квантового фазового перехода, управляемого внешним полем, и по его поведению можно определить критические показатели, характеризующие КФП. Расходимость Гя ~ Т~0 определяется ¡3 = 1/^2, где V - критический показатель корреляционной длины £ ос |г|" и 2 - динамический критический показатель, описывающий расходимость времени корреляции тс ос [22]. Контролируемый параметр г = (Я — Нс)/Нс представляет собой расстояние до квантовой критической точки (ККТ). Другим индикато-

0,007 0.008 0,009 0.010 0 011 0,012

T/J

0.8 0,6 0,4

и" 0.2 £

0,0-0.2

Л. 4

4vZ)"' = -3 734

0 720

-5,10 -5,05 -5,00 4S5 490 485 -4 80 475

InT

Рис. 8. Магнетокалорический эффект вблизи критического поля Нс при изменении температуры в области низких температур и при постоянном значении контролируемого параметра г: ±0 66 х 1(Г3 (О), ±1-76 х 1(Г3 (Д), ±2.7G х 1(Г3(а) (а), "log-log" график Гя от температуры в квашовом критическом режиме г — 0 (б)

ром ККТ является смена знака параметра Грюнайзена на фазовой диаграмме (Г, Я) в области конечных температур. Накопление энтропии происходит вблизи ККТ, поскольку непосредственно над этой точкой система находится в состоянии фрустрации, выбора между двумя равновозможными основными состояниями. Результаты скейлинг-анализа предсказывают для параметра Грюнайзена расходимость от обратного значения контролируемого параметра Гя = -Gr/[Ii—Нс), когда Т 0. Множитель GT < 0 является универсальным и определяется только критическими индексами

Gr = —

и (y^z - d)

vt

(16)

где d - размерность, j/g и усвязаны с низко-температурным поведением теплоемкости Сн ~ справа и слева от точки КФП соответственно.

Кривые адиабатического намагничивания для квантовой ферримагнитной цепочки (5/2,1) могут быть рассчитаны либо прямым численным решением уравнения S(H, Т) = const, либо численным интегрированием дифференци-

ально соотношения

dT (dM/dT)H

dH s CH ' KU>

Далее используется первый способ, поскольку он более устойчив при малых полях и температурах.

Результат, представленный на Рис. 7, демонстрирует, что изоэнтропийные кривые слегка изогнуты вниз вблизи точки Н — Нс с заметным минимумом. Как отмечено выше, такое поведение происходит в системах, где "ландшафт" изоэнтропийных кривых при конечных температурах определяется находящимся внизу квантовым фазовым переходом. В отличие от расчетов методом стандартной точной диагонализации (см., например, работу [23]), краевые эффекты ("wigglings") сильно подавлены при низких полях и заметны лишь при Н > Нс. Отсутствие заметных колебаний может служить рабочим критерием для отбора изоэнтропийных кривых при анализе квантовой критичности.

В остальной части главы рассматривается вопрос, согласуются ли предсказания скейлинговой теории с приведенными расчетами. Изменение Гя(Т) при постоянном магнитном поле обнаруживает расходимость вплоть до наинизших достижимых температур с очень большими значениями (Рис. 8(a)).

Следует особо отметить, что такая же расходимость в температурном поведении Гд была найдена для хорошо известной системы с квантовым фазовым переходом - изинговской цепочки в поперечном поле [22]. Кривые оказывются симметричными относительно инверсии г —► —г, изменение знака Гд- происходит при г = 0. Из графика 'log-log" для зависимости Тц(Т) от температуры (Рис. 8(6)) находим Гя ос с показателем /3 ~ 3.734, что дает критический показатель vz ~ 0.27, определяющий квантовый критический режим, Т ~ \rYz, на фазовой диаграмме квантового фазового перехода.

Указанная расходимость в сочетании с изменением знака Гд найдена также

0.70-072^ 0 79.

-0,04 -0,02 0.00 0,02 0,04 0,06

гН

•0,03 -С 02 <01 0.00 б 01 0.02 ОДЗ

гН.

Рис. 9. (а) Магнетокалорический эффект вблизи критического поля Нс как функция контролируемого параметра г. Значение энтропии на блок показано стрелкой на конце каждой линии. (6) Зависимость обратной от Гц как функции г Направление изменения энтропии от 0.70кв до 0.78кв с шагом 0.02 кц показано стрелками. Данные кривой Б = ОЛОкц подогнаны с помощью линии 3.5785(Я — Нс) — 0 0004 (пунктирная линия).

при изменении поля вдоль изоэнтропийной линии (Рис. 9(6)). Отметим, что в этом расчете удобнее контролировать значение энтропии, двигаясь вдоль изоэнтропийной кривой вблизи ККТ. Скейлинговый закон ~ —С?г/(7/ — Нс) хорошо виден на графике для обратной величины от Гя как функции параметра г (Рис 9).

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Дано обобщение метода диагонализации на конечных кластерах, основанного на технике ренорм-группы в реальном пространстве, применительно к квантовой ферримагнитной цепочке (5/2,1). Метод позволяет находить оценки наблюдаемых в термодинамическом пределе, используя состояния конечного кластера.

2. С помощью упомянутого выше метода построена кривая намагничивания

при низких температурах, обнаруживающая плато основного состояния.

3. Исследован магнетокалорический эффект и обнаружено его аномальное поведение вблизи критического магнитного поля, разрушающего плато основного состояния.

4. В полном согласии с предсказаниями скейлинговой теории, обнаружены характерные признаки индуцированного полем квантового фазового перехода: магнитный параметр Грюнайзена Гя (а) меняет знак при изменении магнитного поля и (б) обнаруживает степенную расходимость с уменьшением температуры.

Список публикаций по теме диссертации:

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах:

1. Бострем И.Г., Боярченков А.С., Коновалов А А , Овчинников А.С., Сини-цын В.Б. К вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квазиодномерных ферримагнетиках // ЖЭТФ -2003. -том 124. -вып 3(9). -стр. 680-690.

2. Боярченков А.С. Изучение влияния краевых эффектов в расчетах термодинамических средних на пизкоразмерных спиновых соединениях // Вестник Башкирского университета. -2006. -№3, -стр. 17-19

Статьи в зарубежных научных журналах, в которых могут быть опубликованы основные научные результаты диссертации:

3. Ovchinnikov A.S., Bostrem I.G., Boyarchenkov A.S., Sinitsyn V.E., Baranov N V., Inoue K. Low-energy excitations and thermodynamical properties of the quantum (5/2, 1/2, 1/2) ferromagnetic chain. // J. Phys. Condens. Matter -2002. -Vol. 14. -p. 8067-8078.

4. Ovchinnikov A.S., Bostrem I.G., Sinitsyn V.E., Boyarchenkov A.S., Baranov N.V., Inoue K. Quantum dissipation theory of slow magnetic relaxation mediated by domain-wall motion in the one-dimensional chain compound [Mn(hfac)2BNOn] // Phys. Rev. B. -2006. -Vol.74, -p.174427 (10 страниц)

5. Boyarchenkov A.S., Bostrem I.G., and Ovchinnikov A.S. Quantum magnetization plateau and sign change of the magnetocaloric effect in ferrimagnctic spin chain. // Phys. Rev. B. -2007. -Vol.76, -p.224410

Другие публикации:

6. Боярченков A.G. Вычислительная оптимизация метода точной диагонали-зации в приложении к 1D ферримагнитной цепочке с целью расчета энергетического спектра и особенностей магнетокалорического эффекта // Сборник материалов научно-исследовательской стажировки "Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях". -Уфа: Рио ВашГУ. -Т.2. -стр. 87-95.

7. А.С.Воярченков, И.Г.Бострем, А.С.Овчинников "Изучение влияния краевых эффектов в расчетах термодинамических средних на низкоразмерных спиновых соединениях" // сборник тезисов XXXI Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка", стр. 67. (г. Кыштым, 2006

г-)

8. А.С.Воярченков "Переход от ограниченного ферримагнитного кластера к квази-бесконечной ID-цепочке при расчете магнетокалорического эффекта методом точной диагонализации с учетом симметрии" // сборник тезисов VI Региональной Школы-Конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии, стр. 153. (г. Уфа, 2006 г.)

9. A.S. Boyarchenkov, I.G.Bostrem, A.S. Ovchinnikov "Magnetization plateau and sign change of the magnetocaloric effect in ferrimagnetic spin chain" // сборник тезисов международной конференции Eastmag-2007, стр. 74. (г. Казань, 2007 г.)

10. А. С. Боярченков, И. Г. Бострем, А. С. Овчинников "Плато намагни-чен-ности и смена знака магнетокалорического эффекта в ферримагнитной спиновой цепочке", сборник тезисов XXXII Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка", стр. 115. (г. Новоуральск, 2008 г.)

Литература

[1] Lieb D.H. and Mattis D.C. Ordering Energy Levels of Interacted Spin Systems // J. Math. Phys. -1962. - Vol.3, -p.749-751

[2] Oshikawa M., Yamanaka M., and Affleck I. Magnetization Plateaus in Spin Chains: "Haldane Gap" for Half-Integer Spins // Phys. Rev. Lett. -1997. -Vol.78, -p. 1984-1987.

[3] Affleck I., Kennedy T , Lieb E.H., and Tasaki H. Rigorous results of valence-bond ground states in antiferromagnets // Phys. Rev Lett. -1987. -Vol. 59. -p 799-802.

[4] S. Yamamoto, T. Fukui, and T. Sakai, Characterization of ferrimagnetic. Heisenberg chains according to the constituent spins // Eur. Phys. J. В -2000. -Vol. 15. -p. 211-219.

[5] M.E. Zhitomirsky, A. Honecker Magnetocaloric effcct in one-dimensional antiferromagnets // J. Stat. Mech.. Theor. Exp. -2004. -p. 07012-07032

[6] H.-J. Mikeska, A.K. Kolezhuk "One-Dimensional Magnetism", доп. материал к лекционному курсу // Lect. Notes Phys. -2004. -Vol. 645, -p.1-83.

[7] M.E. Zhitomirsky Enhanced magnetocaloric effect in frustrated magnets. // Phys. Rev. B. -2003. -Vol. 67. -p.104421 (7 страниц)

[8] Zhu L, Garst M., Rosch A., and Si Q. Universally Diverging Gruneisen Parameter and the Magnetocaloric Effect Close to Quantum Critical Points // Phys. Rev. Lett. -2003. -Vol.91 -p. 066404 (4 страницы).

[9] Garst M. and Rosch A. Sign changc of the Gruneisen parameter and magnetocaloric effect near quantum critical points // Phys. Rev. В -2005. -VoL71. -p. 205129 (10 страниц).

[10] Inoue К., Iwamura H. One or two-dimensional ferro- and ferrimagnetic ordering formed by manganese (II) complexes with 7r-conjugated polynitroxide radicals // Synthetic Metals -1995. -Vol.71, -p.1793-1794.

[11] Markosyan A.S., Iwamura H., Inoue K. Magnetic behavieor of the ferrimagnetic (1/2, 5/2, 1/2) linear trimer in complexes of Mn(hfac)2 with bis- and trisnitroxide radicals. // Molecular Crystals and Liquid Crystals, -1999. -Vol. 334. -p.549-568.

[12] Ovchinnikov A.S., Bostrem I.G., Smitsyn V.E., Baranov N.V.,Inoue K. The ground-state properties of the one-dimensional heterospin chain (5/2,1/2,1/2) with alternating exchange // Journal of Physics Condensed Matter. -2001. -Vol.13, -p. 5521-5229.

[13] Sakai Т., Okamoto К Quantum magnetization plateaux of an anisotropic ferrimagnetic spin chain. // Phys Rev. B. -2002. -Vol.65, -p. 214403 (6 страниц).

[14] Yamamoto S., Sakai T. Multiplateau magnetization curves of one-dimensional Heisenberg ferrimagnets // Phys. Rev. B. -2000. -Vol.62, -p. 3795-3800.

[15] Ovchinnikov A.S., Bostrem I.G., Simtsyn V.E., Boyarchenkov A.S., Baranov N.V., Inoue K. Quantum dissipation theory of slow magnetic relaxation mediated by domain-wall motion in the one-dimensional chain compound [Mn(hfac)2BNOH] // Phys. Rev. B. -2006. -Vol.74, -p. 174427 (10 страниц)

[16] Baranov N.V., Mushnikov N.V., Goto Т., Hosokoshi Y., Inoue K. Slow dynamics of the magnetization in the ordered state of molecule based magnets with one-dimensional chain structure // Journal of Physics Condensed Matter. -2003. -Vol. 15. -p. 8881-8897.

[17] Sinitsyn V.E., Bostrcm I.G., Ovchinnikov A.S. Symmetry adapted finite-cluster solver for quantum Heisenberg model in two-dimensions" a real-space renormalization approach // J. Phys. A: Math. Theor. -2007. -Vol. 40. -p. 648-668.

[18] Kolezhuk A. K., Mikeska H.-J., and Yamamoto. S. Matrix-product-states approach to Heisenberg ferrimagnetic spin chains // Phys. Rev. В -1997, -Vol. 55. -p. R3336-R3339

[19] Бострем И.Г., Боярченков A.C., Коновалов A.A., Овчинников A.C., Сини-цын В.Е. К вопросу о квантовом плато намагниченности в металл-органических квазиодномерных ферримагнетиках // ЖЭТФ, 2003, -т. 124, -вып.3(9). -стр. 680-690.

¡20) Kolezhuk A.K , Mikeska H.J., Maisinger К., and Schollwöck U. Spinon signatures in the critical phase of the (1, 1/2) ferrimagnet in a magnetic field // Phys. Rev. В -1999. - Vol. 59. -p. 13565-13568.

[21] Sakai T. and Takahashi M. S=1 antiferromagnetic Heisenberg chain in a magnetic field. // Phys. Rev. В -1991. -Vol. 43 -p. 13383-13393.

[22] Sachdev S. Quantum Phase Transitions. // Cambridge University Press' Cambridge, England. -ISBN-0 521 58254 (608 страниц)

[23] Honecker A. and Wessel S. Magnetocaloric effect in two-dimensional spin-1/2 antiferromagnets // Physica B. -2006. -Vol.378-380. -p. 1098-1099.

Подписано в печать 05.09.2008г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2. Заказ №553 Тираж 100.

Отпечатано в ИПЦ «Издательство УрГУ». г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

Глава 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

Глава 2. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ МЕТОДОМ МАТРИЧНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ.

Глава 3. РАСЧЕТ ЭНЕРГИИ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ И СПЕКТРА НИЗКОЛЕЖАЩИХ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ.

Глава 4. РАСЧЕТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ТОЧНОЙ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ.

Глава 5. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КРИВОЙ НАМАГНИЧИВАНИЯ.

Глава 6. МАГНЕТОКАЛОРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКЕ СПИНОВ (|,1). ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ КВАНТОВОЙ

КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ.

бензол

МП—О

0 — Мп

Рис. 1. Пространственный вид (а) и схематичное изображение цепочечной структуры соединения [Мп{11/ас)2ВМОа} (б).

Актуальность темы. Первое семейство металл-органических соединений с общей формулой [Мп(Н/ас)2ВМОн], (Я = Н, С1, Вт) было синтезировано около 10 лет назад группой К. 1поие [2], и сразу же стало объектом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований. Было установлено, что соединения имеют вид длинных зигзагообразных полимерных цепочек, образованных двухвалентным ионом Мп2+ и радикалами (рис. 1). Магнитными свойствами обладают ионы Мп2+ (спин 5 = |) и фрагмент ТУО-группы дирадикалов (спин 5 = 1/2). При очень низких температурах (ниже 4.8 — 5.5К в зависимости от типа Л-иона) имеется магнитное упорядочение как в цепочках, так и между ними. Межцепочечное обменное взаимодействие имеет антиферромагнитный характер для первых двух соединений, и ферромагнитно для двух последних. В том и другом случае оно на три порядка слабее внутрицепочечного, и при температурах выше Тс{Тп) соединения семейства [Мп(к/ас)2ВАЮд] с точки зрения магнитных свойств являются квазиодномерными. Экспериментально были определены величина и тип внутрицепочечных магнитных взаимодействий. Обменное взаимодействие между Зс1-электронами двухвалентного марганца и 2р-электронами УУО-группы антиферромагнитно, а магнитные моменты ЛЮ-групп одного дирадикала упорядочены ферромагнитно. Сколь нибудь заметной магнитной анизотропии по данным кривых намагничивания обнаружено не было[3].

Рис. 2. Модель, описывающая магнитные свойства соединения [Мп(/г/ас)25АгОй].

В работе [4] была предложена модель магнитной структуры соединений семейства [Мп(Н/ас)2ВНОц] выше точки трехмерного упорядочения: ферримагнитная спиновая цепочка из тримеров (5/2,1/2,1/2) с чередующимся знаком изотропного обменного взаимодействия. Обмен между спинами 1/2 ферромагнитный и большой, а между спинами 5/2 и 1/2 антиферромагнитный и меньший по величине (рис. 2). В этой же работе было высказано предположение, что из-за заметной разницы в величине ферромагнитного и антиферромагнитного интегралов можно рассматривать спины N0-групп связанными в единый спин 5 = 1, т.е. пренебрегать синглетным состоянием этой пары. Хорошее понимание магнитных свойств цепочки (5/2,1/2,1/2), информация о температурном и полевом поведении ее спектра, намагниченности, магнитной восприимчивости и других характеристик помогли бы объяснить свойства реальных соединений как в высокотемпературной области, так и в области трехмерного упорядочения. Это один из аспектов актуальности выбранной области исследований.

Изучение свойств ферримагнитных цепочек (5/2,1/2,1/2) и (5/2,1) интересно и актуально также и с чисто теоретической точки зрения благодаря тому, что в них входит большой спин 5/2. Имеющиеся теоретические методы исследования квантовых цепочек хорошо апробированы на системах (1/2,1) и (1, 3/2). Исследование применимости их к цепочке с большой величиной спина и более сложным составом элементарной ячейки несомненно имеет практическую и научную ценность. Особенно выделим до сих пор актуальную проблему квантования намагниченности в низкоразмерных системах [5]. Согласно теореме Либа-Маттиса[6], спин основного состояния тримера (димера) будет равен 3/2, а спин цепочки из N тримеров (димеров) - соответственно, 3/2 х N. Кроме "классического" плато намагниченности при т = 3/2, возникающего при описании системы в рамках представления классических спинов, возможно появление и плато с большей намагниченностью при га = 5/2,7/2 согласно критерию Очикавы-Яманаки-Аффлека. В настоящее время считается доказаным, что и плато основного состояния имеет квантовую природу [7, 8], что делает возможным описание основного состояния квантового ферримагнетика (5, в) через картину составных спинов, т.е. комбинацию ферромагнетика спина Б — в я антиферромагнетика спина 2з. Такая картина позволяет представить механизм формирования плато на базе УВЭ (уа1епсе-Ьопс1-state) состояний Аффлека-Кеннеди-Либа-Тасаки (АКЬТ), предложенного ранее для халдейновских спиновых цепочек [9].

Проявление в низкотемпературном поведении квантового ферримагнетика (5, свойств, присущих как ферромагнетику, так и антиферромагнетику предполагает крайне необычное поведение магнетокалорического эффекта, о котором для данной системы до сих пор известно очень мало. Можно ожидать, что большие поля будут вызывать разрушение УВБ-состояния, связанного с антиферромагнитной 2б' амплитудой, за счет конденсации триплетных возбуждений. В свою очередь, это вызовет усиленный магнетокалорический эффект вблизи точки квантового фазового перехода, соответствующего разрушению плато основного состояния при некотором значении критического поля 1гс. Поэтому можно ожидать значительный магнетокалорический эффект и аномальное поведение "магнитного" параметра Грюнайзена, предсказанные скейлинговой теорией для квантовых фазовых переходов [10-12].

Цель и задачи работы. Целью работы является теоретическое исследование магнитных и термодинамических свойств квантовых ферримагнитных цепочек (5/2,1/2,1/2) и (5/2,1), которые являются простейшей моделью магнитного состояния металл-органических соединений [Мп(}г/ас)2ВМОл] выше точки трехмерного упорядочения.

Указанная цель достигается путем выполнения следующих задач:

1. Исследование основного состояния цепочек. Расчет энергии и волновой функции основного состояния. Определение границ применимости упрощенной модели (5/2,1).

2. Расчет полного спектра ферримагнитной цепочки в магнитном поле, вычисление свободной энергии и энтропии.

3. Расчет кривой намагничивания ферримагнитной цепочки. Изучение эффектов квантования намагниченности.

4. Расчет параметров магнетокалорического эффекта и проверка соотношений скейлинговой теории для квантового фазового перехода.

Научная новизна.

1. Впервые проведен расчет энергии и собственной функции основного состояния ферримагнитной цепочки, включающей узлы со спинами, превышающими значение 5 = 2.

2. Проведено обобщение метода матричных произведений на цепочки, состоящие из тримеров. Стандартный метод матричных произведений был разработан для цепочек, содержащих 2 сорта узлов.

3. Разработан одномерный вариант метода точной диагонализации с выделением центрального узла и окружения, применение которого позволило с хорошей точностью получить полный спектр цепочки (5/2,1) в магнитном поле.

4. Прямым расчетом кривой намагничивания подтверждено существование "квантовых" плато намагниченности, не возникающих при классическом описании системы.

5. Обнаружена точка квантового фазового перехода в магнитном поле. Произведена оценка величины критического поля и прямыми численными расчетами показано выполнение скейлинговых соотношений для "магнитного" параметра Грюнайзена Г#.

Научная и практическая ценность. Проведенные исследования имеют научную и практическую ценность. Во-первых, большая величина спина тримера допускает возможность квантовых аномалий в магнитном и термодинамическом поведении ферримагнитной цепочки, и разработанный нами метод расчета полного спектра позволил непосредственным расчетом подтвердить их наличие и оценить положение квантовых плато намагниченности, критическое поле квантового фазового перехода и связанные с ним критические индексы. Проведенные расчеты подтверждают представление о квантовом ферримагнетике (£, $), как о "составной" системе, проявляющей как свойства ферромагнитной цепочки Б ~ э так и антиферромагнитной цепочки спина 2в.

Во-вторых, полученные нами данные о свойствах цепочки в магнитном поле предполагается использовать для объяснения особенностей поведения соединений [Мп(/г/ас)2-6ЛЮд] в сверхсильных импульсных магнитных полях ниже точки трехмерного упорядочения. В настоящее время уже имеется теория [13], объясняющая аномалии магнитной восприимчивости и очень большое время магнитной релаксации, экспериментально обнаруженные в этих соединениях. Однако в работе [13] спектр цепочек, взаимодействующих между собой и с внешним магнитным полем, моделировался спектром осциллятора. Информация о полном спектре одиночной цепочки позволит более корректно рассчитать энергию межцепочечного взаимодействия, кинетические коэффициенты Онсагера, и добиться количественного объяснения эксперимента.

В-третьих, на примере квантового ферримагнетика (5/2,1) был успешно апробирован метод диагонализации для низкоразмерных квантовых систем с учетом спиновой Би(2) симметрии, предложенный в работе [14] и успешно примененный авторами к 2-мерным магнетикам [15].

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и проведением сравнительных расчетов различными методами. В предельных случаях из результатов исследования можно получить известные данные.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, литературного обзора, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы и насчитывает 140 страниц, включая 26 рисунков и 130 библиографических ссылок.

Выводы. В данной главе проведен анализ квантового критического поведения исследуемой одномерной цепочки спинов (5/2,1).

В поведении системы в магнитном поле были обнаружены характерные черты квантового фазового перехода при изменении внешнего поля, а именно: параметр Грюнайзена Г/г обнаруживает характерную смену знака при изменении поля, а так же степенную расходимость Гд при уменьшении температуры. Полученный результат для префактора Сг « —иг необходимо дополнительно проверить. Это можно объяснить тем, что щель в спектре при удалении от критической точки приводит к тому, что удельная теплоемкость экспоненциально спадает от температуры[12]. Тогда крит. индекс входящий в запись скейлингового соотношения (6.17) можно принять равным оо по обе стороны ККТ, таким образом, префактор упрощается до = — иг в обоих низкотемпературных режимах. Однако, это не согласуется со сценарием, в котором намагниченность т растет как гладкая непрерывная функция от поля при Н > /гс, другими словами, система будет бесщелевой при Н > кс. В этом случае следует ожидать г = 2, и — 1/2, — оо (к < /гс), и Уп = 1 (к > /гс), что обеспечивает = — иг — — 1 для /г < Нс и Ог — —1/2 для И > Нс. Это несоответствие, а так же отклонение поведения энтропии при низких температурах от корневого, происходит в основном от конечномерных эффектов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Заключение. В настоящей работе представлены результаты теоретического расчета энергии и волновой функции основного состояния, полного спектра возбуждений, магнитных и термодинамических свойств ферримагнитных цепочек (5/2,1/2,1/2) и (5/2,1), которые являются моделями магнитной структуры металл-органических соединений [Мп(/г/ас)2-ВАГ0д] выше точки трехмерного упорядочения. Получена кривая намагниченности при разных значениях температур; показано существование квантовых плато намагниченности.

Нами был проведен анализ магнетокалорического эффекта для одномерной цепочки спинов (5 = 5/2,5 = 1), являющейся моделью существующего металл-органического соединения. Мы обнаружили значительный магнето калорический эффект вблизи магнитного поля, разрушающего плато основного состояния.

Для найденного квантового фазового перехода были расчитаны критические индексы. Найденные значения критических индексов позволили охарактеризовать спектр системы по , обе стороны от точки КФП, а так же сопоставить поведение нашей системы с хорошо изученной изинговской одномерной цепочкой. При сравнении было обнаружено, что имеется некоторое различие в поведении этих двух систем. Очевидно, необходимо дальнейшее изучение этой проблемы и я надеюсь, что предложенные способы расчета и полученные результаты стимулируют дальнейшее развитие данной области.

Как и предсказывалось в ряде работ, проведенный анализ подтверждает, что металл-органические соединения являются подходящими объектами для поиска квантового плато намагниченности. Модель квантовой ферримагнитной цепочки (5/2,1), предложенная для их описания, обнаруживает сосуществование классического и квантового плато.

В заключение следует отметить, что поля, при которых возможно наблюдать квантовое плато намагниченности, достаточно велики, порядка обменного интеграла, и составляют примерно 106 — 107 эрстед, что затрудняет их экспериментальное наблюдение.

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Hexafluoroacetylacetone, Интернет-ссылка на Wikipedia.

2. К. Inoue, Н. Iwamura. One or two-dimensional ferro- and ferrimagnetic ordering formed by manganese (II) complexes with 7r-conjugated polynitroxide radicals // Synthetic Metals. -1995 -Vol. 71 -pp. 1793-1794.

3. A.S. Markosyan, H.Iwamura, K.Inoue. Magnetic behavieor of the ferrimagnetic (1/2, 5/2,1/2) linear trimer in complexes of Mn(h/ас)г with bis- and trisnitroxide radicals //Molecular Crystals and liquid crystals, -1999.- Vol. 334. -pp.549-568.

4. M. Oshikawa, M. Yamanaka, and I. Affleck. Magnetization Plateaus in Spin Chains: "Haldane Gap" for Half-Integer Spins //Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. -pp. 1984-1987.

5. E. Lieb and D. Mattis. Ordering Energy Levels of Interacting Spin Systems. // J. Math. Phys. -1962. -Vol. 3. -pp. 749-751.

6. T. Sakai and M. Takahashi. Magnetization plateau in an S = § antiferromagnetic Heisenberg chain with anisotropy //Phys. Rev. B. -1998. -Vol. 57. -pp. R3201-R3204.

7. T. Sakai and S. Yamamoto. Magnetic properties of quantum ferrimagnetic spin chains //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -pp. 1024-1027.

8. M. Oshikawa, М. Yamanaka, and I. Affleck. Magnetization Plateaus in Spin Chains: "Haldane Gap" for Half-Integer Spins //Phys. Rev. Lett. -1997. -Vol. 78. -pp. 1984-1987.

9. L. Zhu, M. Garst, A. Rosch, and Q. Si, Universally Diverging Gr'uneisen Parameter and the Magnetocaloric Effect Close to Quantum Critical Points // Phys. Rev. Lett. -2003. -Vol. 91. -pp.066404. (4 pages)

10. M. Garst and A. Rosch, Sign change of the Gr'uneisen parameter and magnetocaloric effect near quantum critical points // Phys. Rev. В -2005. Vol. 72. - pp. 205129 (10 pages).

11. Ovchinnikov A.S., Bostrem I.G., Sinitsyn V.E., Baranov N.V.,Inoue K. The ground-state properties of the one-dimensional heterospin chain (5/2, 1/2, 1/2) with alternating exchange // Journal of Physics Condensed Matter. -2001. -Vol.13, -p. 5521-5229.

12. Бострем И.Г., Овчинников A.C., Синицын B.E. Метод точной диагонализации с сохранением полного спина и учетом полного спина и учетом точечной симметрии для двумерного изотропного гейзенберговского магнетика // ТМФ. -2006. Т. 49. - № 2. - Стр. 262-280.

13. Sinitsyn V.E., Bostrem I.G., Ovchinnikov A.S. Symmetry adapted finite-cluster solver for quantum Heisenberg model in two-dimensions: a real-space renormalization approach // J. Phys. A: Math. Theor. 2007. - Vol. 40. - P. 645-668.

14. F.D.M. Haldane, Nonlinear Field Theory of Large-Spin Heisenberg Antiferromagnets: Semiclassically Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis Neel State //Phys. Rev. Lett. -1983. -Vol. 50. -pp 1153-1156

15. H.J. de Vega and F. Woynarovich. New Integrable Quantum Chains combining different kind of. spins. //J. Phys. A. -1992. -Vol. 25, -p.4499.

16. O. Kahn, Y. Pei, and Y. Journaux. // сборник статей Inorganic Materials под ред. D. W. Bruce и D. O'Hare (Wiley and Sons). -1992. -стр 92.

17. S. Brehmer, H.-J. Mikeska, and S. Yamamoto. Low-temperature properties of quantum antiferromagnetic chains with alternating spins S — 1 and S — 1/2 // J. Phys.: Condens. Matter. -1997. -Vol. 9. -pp. 3921-3931.

18. S. Yamamoto, Shoji, S. Brehmer and H.J. Mikeska, Elementary excitations of Heisenberg ferrimagnetic spin chains // Phys. Rev. B. -1998 -Vol. 57. -pp. 13610-13616.

19. M. Alcaraz, A.L. Malvezzi. Critical behaviour of mixed Heisenberg chains // J. Phys. A: Math. Gen. -1997. -Vol. 30. -pp. 767-778.

20. S. Yamamoto and T. Fukui. Thermodynamic properties of Heisenberg ferrimagnetic spin chains: Ferromagnetic-antiferromagnetic crossover // Phys. Rev. B. -Vol.57, pp.

21. L.-P. Levy Magnetism and Superconductivity. // Springer, 2004. -274 стр.

22. H. Niggemann, G. Uimin, and J. Zittartz. Mixed Heisenberg chains: II. Thermodynamics // J. Phys.: Condens. Matter -1998. -Vol. 10. -pp. 5217-5236.

23. Т. Ono, T. Nishimura, M. Katsumura, T. Morita, and M. Sugimoto. Ground-State Properties of Alternating-Spin XXZ Chains //J. Phys. Soc. Jpn. -1997 -Vol. 66. -pp.2576-2579.

24. S. Yamamoto and T. Fukui. Thermodynamic properties of Heisenberg ferrimagnetic spin chains: Ferromagnetic-antiferromagnetic crossover //Phys. Rev. B. -1998. -Vol. 57. pp. R14008-R14011.

25. S. K. Pati, S. Ramasesha, and D. Sen. Low-lying excited states and low-temperature properties of an alternating spin-l-spin-1/2 chain: A density-matrix renormalization-group study //Phys. Rev. B. -1997. -Vol. 55. -pp. 8894-8904.

26. T. Sakai and S. Yamamoto. Critical behavior of anisotropic Heisenberg mixed-spin chains in a field //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 60. -pp. 4053-4056.

27. S. Yamamoto, T. Fukui, K. Maisinger, and U. Schollwock. Combination of ferromagnetic and antiferromagnetic features in Heisenberg ferrimagnets //J. Phys.: Condens. Matter. -1998. -Vol. 10. -pp. 11033-11048.

28. O. Kahn, Y. Pei, and Y. Journaux // сборник статей Inorganic Materials под ред. D. W. Bruce и D. O'Hare (Wiley and Sons). -1995. -стр. 95.

29. A. Caneschi, D. Gatteschi, J.-P. Renard, P. Rey, and R. Sessoli, Magnetic phase transition and low-temperature EPR spectra of a one-dimensional ferrimagnet formed by manganese(II) and nitronyl nitroxide // Inorg. Chem. -1989. -Vol. 28. -pp. 1976-1980.

30. A.S. Markosyan, Y. Hosokoshi, K. Inoue, Influence of the thermal excitations of the ferrimagnetic linear trimer on the paramagnetic behavior of the layeredmetal-radical complex Mn(hfac)23(3RD)2 ■ n C7Í/16, Phys. Lett. A. -Vol.261. -1999. -pp. 212-216.

31. A. Caneschi, D. Gatteschi, P. Rey, and R. Sessoli. Structure and magnetic properties of ferrimagnetic chains formed by manganéese(II) and nitronyl nitroxides //Inorg. Chem. -1988. -Vol. 27. -pp. 1756-1761.

32. Y. Hosokoshi, K. Katoh, Y. Nakazawa, H. Nakano, and K. Inoue. Approach to a Single-Component Ferrimagnetism by Organic Radical Crystals //J. Am. Chem. Soc. -2001. -Vol. 123. -pp. 7921-7922.

33. E. Lieb, T. Schultz, and D. Mattis. Two Soluble Models of an Antiferromagnetic Chain. // Ann. of Phys. (N.Y.). -1961. -Vol.16, -pp.407-466.

34. Y. Ajiro, T. Goto, and H. Kikuchi, T. Sakakibara, and T. Inami, High-field magnetization of a quasi-one-dimensional S=1 antiferromagnet Ní(C2H%N2)2N02{C10a)-. Observation of the Haldane gap // Phys. Rev. Lett. -1989 -Vol. 63. -N 13. -pp. 1424-1427.

35. D. C. Cabra, A. Honecker, and P. Pujol. Magnetization Curves of Antiferromagnetic Heisenberg Spin- | Ladders //Phys. Rev. Lett. -1997. -Vol. 79. -pp. 5126-5129.

36. W. Shiramura, K. Takatsu, B. Kurniwan, H. Tanaka, H. Uekusa, Y. Ohashi, K. Takizawa, H. Mitamura, and T. Goto, Magnetization Plateaus in NH^CuClz //J. Phys. Soc. Jpn. -1998. -Vol. 67. -pp. 1548-1551.

37. G.S. Rushbrooke, P.J. Wood. On the High-Temperature Staggered Susceptibility of Heisenberg Model Antiferromagnets. //J. Mol. Phys. -1967. -Vol. 11. -pp. 409-421.

38. B.G. Liu. Magnetic properties of a quasi-two-dimensional Heisenberg antiferromagnetic model // J. Phys.: Cond. Matter-1990. -Vol. 2. -pp. 6007-6012.

39. K. Hida. Magnetic Properties of the Spin-1/2 Ferromagnetic-Ferromagnetic-Antiferromagnetic Trimerized Heisenberg Chain //J. Phys. Soc. Jpn. -1994. -Vol. 63. -pp. 2359-2364.

40. K. Okamoto. Plateau of the magnetization curve of the S = 1/2 ferromagnetic-ferromagnetic-antiferromagnetic spin chain // Solid State Commun. -1995. -1995 -Vol. 98. -pp. 245-248.

41. K. Totsuka. Magnetization plateau in the S = \ Heinsenberg spin chain with next-nearest-neighbor and alternating nearest-neighbor interactions //Phys. Rev. B. -1998. -Vol. 57. -pp. 3454-3465.

42. H. Nakano and M. Takahashi. A Plateau in the Magnetization Process of the S = 1 Spin Chain //J. Phys. Soc. Jpn. -1998. -Vol. 67. -pp. 1126-1129.

43. D. C. Cabra and M. D. Grynberg. Ground-state magnetization of polymerized spin chains // Phys. Rev. B. -1999 -Vol.59, -p. 119-.

44. A. Honecker Strong-coupling approach to the magnetization process of polymerized quantum spin chains //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -pp. 6790-6794.

45. D. C. Cabra, A. Honecker, and P. Pujol. Magnetization plateaux in TV-leg spin ladders //Phys. Rev. B. -1998. -Vol. 58. -pp. 6241-6257.

46. K. Tandon, S. Lai, S. K. Pati, S. Ramasesha, and D. Sen. Magnetization properties of some quantum spin ladders //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -pp. 396-410.

47. A. K. Kolezhuk, Magnetization plateaus in weakly coupled dimer spin system //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -pp. 4181-4188.

48. R.J.V. Dos Santos, S. Coutinho. Ising model with competing random decorating D vector spins // J. Phys. A. -1987. -Vol. 20. -N16. -pp. 5667-5676.

49. T. Kuramoto. Fractional Magnetization Plateau in the Alternating Spin Heisenberg Chain //J. Phys. Soc. Jpn. -1999. -Vol. 68. -pp. 1813-1816.

50. T. Sakai and S. Yamamoto, J. Phys.: Condens. Matter 12, 9787 -2000.

51. M.Hagiwara, K. Kobayashi and T. Chihara. Crystal Structures of a Bond Alternating Chain Compound Ni2(Medpt)2(/2-ox)(fi-N3)n](Cl04) ■ Q.5H2On and a Dimer Compound [Ni2{dpt)2(fi ~ ox)(H20)2]{N03){PF6) //J. Phys. Soc. Jpn. -1997. -Vol. 66. -pp. 1702-1706.

52. Y. Narumi, M. Hagiwara, R. Sato, K. Kindo, H. Nakano, and M. Takahashi. Thermodynamics of the S=1 quantum spin chains with bond alternation // Physica B. -1998. -Vol. 246-247, 509.

53. K. Katoh, Y. Hosokoshi, K. Inoue and T. Goto. Singlet Ground States in an Organic S= 1/2 Spin Ladder and a Novel Double Spin Chain of Ferromagnetic Dimers Formed by an Organic Tetraradical //J. Phys. Soc. Jpn. -2000. -Vol.69, -pp.1008-1011.

54. T. Goto, M. I. Bartashevich, Y. Hosokoshi, K. Kato and K. Inoue. Observation of a Magnetization Plateauof 1/4 in a Novel Double-Spin Chain of Ferromagnetic

55. Dimers Formed by Organic Tetraradicals //J. Physica B. -2001. -Vol. 294-295. -pp. 43-46.

56. K. Okamoto, N. Okazaki and T. Sakai. Magnetization Plateau of an S=1 Frustrated Spin Ladder // J. Phys. Soc. Jpn. -2001. -Vol. 70. -pp. 636-639.

57. S. Miyahara and K. Ueda. Exact Dimer Ground State of the Two Dimensional Heisenberg Spin System SrCu2(B03)2 //Phys. Rev. Lett. -1999. -Vol. 82, -pp. 3701-3704.

58. T. Kuramoto. Magnetic and Critical Properties of Alternating Spin Heisenberg Chain in a Magnetic Field //J. Phys. Soc. Jpn. -1998. -Vol. 67. -pp. 1762-1766.

59. K. Okamoto, T. Sakai. Quantum magnetization plateaux of an anisotropic ferrimagnetic spin chain //Phys. Rev. B. -Vol.67, -pp. 214403 (6 pages)

60. S. Yamamoto, T. Sakai. Multiplateau magnetization curves of one-dimensional Heisenberg ferrimagnets //Phys. Rev. B. -2000. -Vol. 62. -pp. 3795-3800.

61. R. Kiichler, P. Gegenwart, J. Custers, O. Stockert, N. Caroca-Canales, C. Geibel, J.G. Sereni, and F. Steglich. Quantum Criticality in the Cubic Heavy-Fermion System CeIri3-xSnx. // Phys. Rev. Lett. -2006. -Vol. 96. -p.256403.

62. P. Gegenwart, F. Weickert, M. Garst, R.S. Perry, and Y. Maeno. Metamagnetic Quantum Criticality in St^R^O? Studied by Thermal Expansion. // Phys. Rev. Lett. -2006. -Vol.96, -p.136402.

63. A.A. Migdal. Recursion equations in gauge field theories. // Zhurnal Eksperimental'noi i Teoreticheskoi Fiziki. -1975. -Vol.69. -Num.3, -pp. 810-822

64. L.P. Kadanoff. Notes on Migdal's Recursion Formulas // Ann. Phys. -1976 -Vol. 100. -pp. 359-370.

65. M.Suzuki and H. Takano. Migdal renormalization group approach to quantum spin systems //Phys. Lett. A. -1979 -Vol. 69. -pp. 426-428.

66. H.P. Ying et al. Loop-cluster algorithm: an application for the 2D quantum Heisenberg antiferromagnet //Phys. Lett. A. -1993. -Vol. 183. -pp. 441-445.

67. Th. Niemeijer, J.M.J. Van Leeuwen. Wilson theory for 2-dimensional Ising spin systems. // Physica (Amsterdam) -1974. -Vol. 17. -pp. 17-40.

68. N. Goldenfeld. Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group // Addison-Wesley, Reading. -1992. 394 cTp.

69. J.O. Indekeu, A. Maritan, A.L. Stella. Renormalization group recursions by mean-field approximations. //J. Phys. A -Vol.15. -1982. -pp. L291-297.

70. J. Sznajd. Linear renormalization transformation for weakly interacting spin chains //Phys. Rev. B. -2001. -Vol. 63. -pp. 184404 (7 pages).

71. A.L. Stella and F. Toigo. Real-space renormalization group and critical phenomena in the

72. S.R. White. Density matrix formulation for quantum renormalization groups // Phys. Rev. Lett. -1992. -Vol. 69. -pp. 2863-2866.

73. S.R. White. Density-matrix algorithms for quantum renormalization groups // Phys. Rev. B -1993 -Vol. 48. -pp. 10345-10356.

74. S. K. Pati, S. Ramasesha, and D. Sen. A density matrix renormalization group study of low-energy excitations and low-temperature properties of alternating spin systems // J. Phys.: Condens. Matter-1997. -Vol. 9. -pp. 8707-8714.

75. J. Rogiers and R. Dekeyser. Renormalization-group approach to two-dimensional quantum models // Phys. Rev. B. -1976. -Vol.13, -pp.4886-.

76. S. 'Ostlund and S. Rommer. Thermodynamic Limit of Density Matrix Renormalization //Phys. Rev. Lett. -1995. -Vol. 75, 3537-3540.

77. A. K. Kolezhuk, H.-J. Mikeska, and S. Yamamoto. Matrix-product-states approach to Heisenberg ferrimagnetic spin chains // Phys. Rev. B. -1997. -Vol. 55. -R3336-R3339.

78. E. Warburg. Magnetische Untersuchungen (Recherches magnetiques). // Annalen der Physik und Chemie. -1881. -Vol.XIII. -pp. 141-164.

79. V. K. Pecharsky and K. A. Gschneidner (Jr.). Magnetocaloric effect and magnetic refrigeration. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. -1999. -Vol.200. -pp.44-56.

80. A. Tishin, K. A. Gschneidner, and V. K. Pecharsky. Magnetocaloric effect and heat capacity in the phase-transition region. // Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -p. 503.

81. M.E. Zhitomirsky. Enhanced magnetocaloric effect in frustrated magnets. Phys. Rev. B. 2003.- Vol. 67. - p. 104421 (7 pages).

82. M. E. Zhitomirsky and A. Honecker. Magnetocaloric effect in one-dimensional.antiferromagnets. // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. -2004. -p.07012.

83. T. Sakai and M. Takahashi. S — 1 Antiferromagnetic Heisenberg Chain in a Magnetic Field. // Phys. Rev. B. -Vol.43. -1991. -pp. 13383-13393.

84. Т. Sakai and М. Takahashi. S=1 antiferromagnetic Heisenberg chain in a magnetic field. Phys. Rev. В 1991. - Vol. 43 - pp. 13383-13393.

85. Boyarchenkov A.S., Bostrem I.G., and Ovchinnikov A.S. Quantum magnetization plateau and sign change of the magnetocaloric effect in ferrimagnetic spin chain. // Phys. Rev. B. -2007. -Vol.76, -p.224410

86. S. Sachdev. Quantum Phase Transitions. Cambridge University Press: Cambridge, England. - 1999. (608 pages).

87. E.P. Raposo, M.D. Coutinho-Filho. Field theory of ferrimagnetic Hubbard chains. // Phys. Rev. B. -1999. -Vol.59 -p. 14384.

88. A.M. Tsvelik. Field-theory treatment of the Heisenberg spin-1 chain. // Phys. Rev. B. -1990. -Vol. 42. -p. 10499.

89. M.E. Zhitomirsky, A. Honecker 'Magnetocaloric effect in one-dimensional antiferromagnets' cond-mat/0404683 v2 11 Aug 2004

90. S. Yamamoto, Т. Fukui, К. Maisinger, and U. Schollwock, Thermodynamics of the (1, ferrimagnet in finite magnetic fields //J. Phys.: Condens. Matter. -1998. -Vol. 10. 11033 pp. R5908-R5911.

91. S. Yamamoto. Bosonic representation of one-dimensional Heisenberg ferrimagnets. // Phys. Rev. B. -2004. -Vol.69, -p.064426.

92. N. Fukushima, A. Honecker, S. Wessel, and W. Brenig. Thermodynamic properties of ferromagnetic mixed-spin chain systems. // Phys. Rev. B. -2004. -Vol. 69. -p. 174430.

93. J. Abouie, S.A. Ghasemi, and A. Langari. Thermodynamic properties of the ferrimagnetic spin chains in the presence of a magnetic field. // Phys. Rev. B. -2006. -Vol. 73. -p. 014411.

94. Бострем И.Г., Боярченков А.С., Коновалов А.А., Овчинников А.С., Синицын В.Е. К вопросу о квантовом плато

95. Д.А. Варшалович, А.Н. Москалев, В.К. Херсонский "Квантовая теория углового момента", Ленинград, Наука, 1975, 433с.

96. А.К. Kolezhuk, H.J.-Mikeska, К. Maisinger, and U.Schollw'ock. Spinon signatures in the critical phase of the (1, ferrimagnet in a magnetic field //Phys. Rev. B. -1999. -Vol. 59. -pp. 13565-13568.

97. I. Affleck, T. Kennedy, E.H. Lieb, and H. Tasaki. Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets.

98. S. Rommer and S. 'Ostlund. Class of ansatz wave functions for one-dimensional spin systems and their relation to the density matrix renormalization group //Phys. Rev. B. -1997. -Vol. 55. -pp. 2164-2181.

99. S. Yamamoto, Т. Fukui, and T.Sakai. Characterization of ferrimagnetic Heisenberg chains according to the constituent spins. // Eur. Phys. J. B. -2000. -Vol. 15. -p. 211.

100. S. Yamamoto and T. Sakai. Low-Energy Structure of Heisenberg Ferrimagnetic Spin Chains, J. Phys. // J. Phys. Soc. Jpn. -1998.-Vol. 67. -pp. 3711-3714

101. M. Takahashi. Modified spin-wave theory of a square-lattice antiferromagnet. // Phys. Rev. B. -1989. -Vol. 40. -p.2494.

102. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков "Численные методы". // М., "БИНОМ, Лаборатория знаний", 2006

103. Дж.Голуб, Ч.Ван Лоун "Матричные вычисления" М., "Мир" 1999

104. Sakai Т. and Takahashi М. S=1 antiferromagnetic Heisenberg chain in a magnetic field. // Phys. Rev. В -1991. -Vol. 43 -p. 13383-13393.

105. A. Honecker and S.Wessel. Magnetocaloric effect in two-dimensional spin-1/2 antiferromagnets. Physica B. 2006. - Vol. 378-380. - pp.1098-1099.

106. H. Li, T.L. Cheng. Analytical study of the thermodynamic behavior of an antiferromagnetic Heisenberg model //Phys. Rev. B. -1995. -Vol. 52. -15979-15982.

107. Ю.Б.Рубин, М.Ш.Рывкин Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М., "Наука" 1972

108. A.M. Mariz, С. Tsallis, and А.О. Caride. Criticality of the D = 2 bond-dilute anisotropic Heisenberg ferromagnet //J. Phys. C.: Solid State Phys. -1985. -Vol. 18. -pp. 4189-4209.

109. J. Ricardo de Sousa, I.G. Araujo. Quantum influence in the criticality of the spin-1/2 anisotropic Heisenberg model //J. Mag. Mag. Mat. -1999. -Vol. 202. -pp. 231-238.

110. A.V. Chubukov, S. Sachdev, J. Ye. Theory of two-dimensional quantum Heisenberg antiferromagnets with a nearly critical ground state. // Phys. Rev. B. -1994. -Vol.49, -pp.11919-11961.

111. S. Sachdev, J. Ye. Universal quantum-critical dynamics of two-dimensional antiferromagnets. // Phys. Rev. Lett. -1992. -Vol. 69. -pp.2411-2414.

112. J. Ricardo de Sousa, J.A. Plascak. Phase transition in the three-dimensional anisotropic Heisenberg antiferromagnetic model // Phys. Lett. A. -1997. -Vol. 237. -pp. 66-68.

113. B.M. McCoy, J.H.H. Perk, and R.E. Shrock. Time dependent correlation functions of the transverse Ising chain at the critical magnetic field. // Nucl. Phys. B. -1983.' -Vol. 220. -pp. 35-47.

114. P. Pfeuty. The one-dimensional Ising model with a transverse field. // Ann. of Phys.(NY) -1970. -Vol.57, -pp. 79-90.

115. A.R. Its, A.G. Izergin, V.E. Korepin, V.Yu. Novokshenov. Temperature autocorrelations of the transverse Ising chain at the critical magnetic field. // Nucl. Phys. B -1990. -Vol.340, -p. 752.

116. S. Sachdev. Valence bond and spin-Peierls ground (state for Ising chain in transverse field. // Nucl. Phys. B. -1996. -Vol.464, -pp. 576-595

117. S. Sachdev, A.P. Young. Low Temperature Relaxational Dynamics of the Ising Chain in a Transverse Field. // Phys. Rev. Lett. -1997. -Vol.78, -pp.2220-2223.