Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах

Чижов, Алексей Владимирович

Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Чижов, Алексей Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Дубна МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах»

Автореферат диссертации на тему "Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах"

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

17-2009-160 На правах рукописи УДК 530.145, 535.14

чижов

Алексей Владимирович

КВАНТОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 0 ЛЕН ад,

Дубна 2009

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Владимир Иванович Манько

доктор физико-математических наук,

профессор Юрий Петрович Рыбаков

доктор физико-математических наук,

профессор Дмитрий Алексеевич Славнов

Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского", г. Саратов.

Защита диссертации состоится " /?" р^^О/Ц? 2009 г. в /'о часов на заседании диссертационного совета Д720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований по адресу: 141980 г. Дубна Московской области, ул. Жолио-Кюри, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан " " А/Я^^ЛЛ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: Лл и. с I

кандидат физико-математических наук ¿М/' А. Б. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Усовершенствование техники оптических экспериментов в течение последних лет позволило наблюдать ряд новых явлений ярко выраженного квантового характера, которые не имеют объяснений с точки зрения классической физики. К их числу относятся квадратурное сжатие вакуумных флуктуации электромагнитного поля, разгруппировка и субпуассоновская статистика фотонов, а также нарушение неравенства Коши-Шварца. Подобные эксперименты открывают возможность детального изучения квантовых корреляций, теоретические основы описания которых были заложены в работах Боголюбова и Глаубера.

Исследования квантовых корреляций позволяют, с одной стороны, проверять предсказания квантовой электродинамики, а, с другой стороны, являются важными для развития методов прецизионных оптических измерений и создания новых систем оптической коммуникации с предельно низким уровнем шума. Кроме того, в силу известной общности бозонных систем, новые неклассические явления в оптике стимулируют поиск соответствующих аналогов в физике конденсированных сред. Это, в свою очередь, ставит задачу изучения эффектов взаимодействия неклассических состояний света с квантовыми возбуждениями в средах. Данная проблема является одной из ключевых, исследуемых в диссертации. Её решение представляется важным для создания новой элементной базы оптоэлектроники и разработки нанотехнологических устройств, таких как квантовые точки, квантовые проволоки и светодиоды.

В настоящее время особый интерес представляет изучение различных неклассических свойств рассеянных полей и колебательных возбуждений среды в процессах комбинационного (бриллюэноского) рассеяния. Это, в свою очередь, ведет к генерации новых идей в методах оптической спектроскопии. С этой целью в диссертации впервые исследованы корреляции высших порядков полей рассеяния, такие как двухмодовое квадратурное сжатие второго порядка и

суммарное сжатие. Эти новые виды квантовых корреляций необходимы для более детального анализа квантовомеханических свойств и строения кристаллов, нанообъектов и т. д.

Следующей фундаментальной проблемой, обсуждаемой в диссертации, является концепция квантовой фазы, впервые сформулированная Дираком. Возможность генерации различных неклассических состояний света обусловила новый интерес к вопросу об определении понятия фазы и фазовых распределений в квантовой механике. В силу того что эрмитов оператор фазы, сопряженный оператору числа частиц, не может быть определен на бесконечном гильбертовом пространстве, особое внимание к определению фазы привлек не операторный формализм, а фазовые распределения, связанные с функциями квазивероятности, а также операциональный подход. В диссертации представлены авторские методы получения фазовых распределений, основанные на функции Вигнера и на неотрицательных квантовых функциях распределений.

Использование квантовых коррелированных состояний электромагнитного поля весьма актуально и в теории квантовой информации. Именно в оптических системах были впервые выполнены эксперименты по передаче секретного кода в квантовой криптографии и квантовому телепортированию фотонных состояний, что открывает принципиально новые перспективы в технологии оптической передачи информации. Ключевую роль в таких экспериментах играют квантовые перепутанные состояния поля, проявляющие нелокальные квантовые корреляции. Однако эти состояния в значительной степени подвержены декогеренции. Причиной декогеренции в оптических схемах является наличие областей поглощения у диэлектрических материалов, из которых сделаны различные устройства: оптические волокна, светоделители, зеркала и др. Поэтому анализ влияния диэлектрических оптических устройств на квантовые свойства состояний электромагнитного поля является актуальной задачей теории квантовых оптических экспериментов.

Один из подходов к квантовому описанию электромагнитного поля в диэлек-

триках с учетом эффекта потерь состоит во включении в рассмотрение квантового резервуара. Такое описание достаточно хорошо отражает декогеренцию в бесконечных однородных средах, когда граничными эффектами можно пренебречь. Однако в задачах с пространственно неоднородными средами с заданной геометрией эффект декогеренции уже не может быть описан в рамках такого подхода. Поэтому для этого случая был предложен подход к описанию поля, основанный на квантовании уравнений Максвелла для диэлектрических сред с помощью функции Грина, учитывающей пространственную неоднородность системы диэлектриков. В диссертации развивается метод преобразования состояний электромагнитного поля, основанный на данном подходе, и применение этого метода к проблеме достоверной передачи квантовых состояний посредством телепортации по смешанному квантовому каналу.

Цель диссертационной работы состояла в создании, развитии и приложении новых методов квантовой теории взаимодействия электромагнитного излучения с диспергирующими и абсорбирующими диэлектрическими средами. Эти методы предназначены для изучения квантовых корреляционных характеристик состояний электромагнитного поля и поляризационных возбуждений среды и анализа влияния эффектов диссипации на эти характеристики, а также для исследования способов надежной передачи квантовой оптической информации по зашумленным каналам связи.

Для реализации поставленной цели решены следующие основные задачи:

• выяснение условий возникновения неклассическнх состояний квантовых возбуждений кристаллов при оптических взаимодействиях и способов регистрации неклассических характеристик взаимодействующих полей;

• выявление роли диссипации в генерации высших корреляций между полями в комбинационном (бриллюэновском) рассеянии;

• анализ квантовых фазовых свойств электромагнитного поля на основе

квантовых функций распределения в фазовом пространстве и описание способов детектирования фазовых распределений;

• построение преобразований квантовых состояний электромагнитного поля в неоднородных линейных диэлектриках с дисперсией и абсорбцией;

• исследование условий достоверной передачи квантовых состояний путем телепортации по квантовому каналу в диссипативных средах.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• впервые выполнен квантовый корреляционный анализ состояний поляризационных возбуждений кристаллов при распространении в них квантованного электромагнитного излучения. Данный анализ состоял в исследовании квадратурного сжатия, субпуассоновской статистики квантовых возбуждений кристаллов и их квантовой перепутанности с полем накачки в зависимости от начальных состояний и констант взаимодействия полей;

• впервые для генерации состояний суммарного сжатия и двухмодового сжатия второго порядка предложено использовать вынужденное комбинационное рассеяние со стоксовой и антистоксовой модами. В этом процессе проанализированы условия возникновения таких типов сжатия и меж-модовой квантовой корреляции в зависимости от силы взаимодействия рассматриваемых мод и состояния фононных возбуждений рассеивающей среды;

Пегга-Барнетта и подход, связанный с функциями Хусими и Глаубсра-Сударшана. Также предложено фазовое распределение, основанное на неотрицательных квантовых функциях распределения, и разработана схема генерации таких функций. На их основе предложен способ оптимального измерения фазовых распределений состояний поля;

• впервые выведены универсальные соотношения, связывающие квантовые состояния электромагнитных полей на входах и выходах линейного неоднородного диэлектрического четырехполюсника. Эти соотношения получены как для матриц плотности, так и для обобщенных функций квазивероятности и справедливы при любой пространственной и частотной зависимости коэффициента преломления четырехполюсника, включая зоны поглощения;

• развит метод достоверной квантовой телепортации состояний электромагнитного поля, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных. Метод применим для передачи состояний посредством распространения коррелированных мод по каналам связи с потерями.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в использовании созданных и разработанных методов для теоретического анализа и предсказания неклассических эффектов, возникающих при взаимодействии квантованного электромагнитного излучения со средой, а также для решения практических задач передачи, защиты и обработки квантовой информации.

Результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Предсказаны эффекты генерации сжатых состояний и состояний с субпу-ассоновской статистикой для квантовых поляризационных возбуждений кристалла в процессах распространения квантованного электромагнитного излучения. Показано, что возникающее при этом квантовое пере-путывание между возбуждениями кристалла и полем накачки не явля-

ется монотонным во времени, а имеет сложный периодический характер, определяемый тепловыми флуктуациями кристалла.

2. Впервые доказано, что корреляции стоксовой и антистоксовой мод в вынужденном комбинационном рассеянии приводят к эффекту генерации сжатых состояний высших порядков, а также квантового перепутывания мод. Показано, что степень квантового сжатия и перепутывания мод в значительной степени определяется начальными состояниями мод и уровнем потерь в среде.

3. Развит подход к определению фазовых распределений состояний электромагнитного поля на основе квантовых функций распределения. Показано, что получаемые в этом подходе фазовые распределения для различных типов неклассических состояний поля применимы для интерпретации экспериментальных данных.

4. Предложен метод преобразования квантовых состояний электромагнитных полей линейными диэлектрическими четырехполюсниками с произвольным профилем коэффициента преломления. В рамках этого подхода установлено, что степень декогерентности квантового оптического канала, образованного двумя распространяющимися коррелированными световыми импульсами по линиям связи с помехами, существенно возрастает с ростом начальной квантовой коррелированности импульсов.

5. Развит метод квантовой телепортации состояний электромагнитного поля, зависящих от непрерывных переменных. Впервые описаны необходимые условия достоверной телепортации через квантовые каналы в диссипатив-ных средах и показано, что уровень диссипации накладывает ограничение на выбор передаваемых состояний.

Таким образом, разработанные в диссертации теоретические положения описания квантовых корреляционных характеристик электромагнитного поля в

диссипативных средах в совокупности являются новым крупным научным достижением в области общих вопросов квантовой механики и их приложений в квантовой теории информации.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах ЛТФ ОИЯИ, Политехнического института Ренсселаер (США), Физического института университета им. Ф. Шиллера г. Иена, физических факультетов университетов им. Гумболдьта г. Берлин и г. Ульм (ФРГ), г. Палермо и г. Пиза (Италия); на Международных совещаниях Международного центра теоретической физики (Триест, Италия) по конденсированному состоянию вещества, атомной и молекулярной физике (1990), но нелинейности "Шум в нелинейных системах" (1995), по квантовой информации и квантовым вычислениям (2002); на Международной школе по атомной и молекулярной спектроскопии Центра научной культуры "Этторе Майорана" (Эриче, Италия, 1991); на Международных конференциях по сжатым состояниям и соотношениям неопределенности ICSSUR (Балтимор, США, 1993; Балатонфюред, Венгрия, 1997); на Международной конференции по электронной теории и квантовой электродинамике: 100 лет спустя NATO ASI (Эдирне, Турция, 1994); на Международном семинаре по нелинейной и квантовой оптике (Познань, Польша, 1995); на Международной конференции "Интегралы по траекториям" (Дубна, 199G); на Международной конференции по квантовой оптике ICQO (Раубнчи, Белоруссия, 2000); на IX Международной конференции "Методы симметрии в физике" (Ереван, 2001); на Международных коллоквиумах по интегрируемым системам и квантовым симметриям (Прага, Чехия, 2001, 2002, 200G); па Международных совещаниях по квантовой физике и коммуникациям QPC (Дубна, 2002, 2005, 2007); на IV Семинаре памяти Д. Н. Клышко (МГУ, Москва, 2005); на Ми-нисимпозиуме "Нестандартные проблемы квантовой теории" (РУДН, Москва, 2005); на Международных школах-семинарах по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" КИФМС' 2005 (Суздаль, 2005) и "Современные нанотехнология и нанофото-

пика для науки и производства" (Владимир, 2008); на Школе-семинаре для студентов и аспирантов "Актуальные вопросы квантовой информации" (Дубна, 2006); на XIII Международной конференции по избранным проблемам современной теоретической физики SPMTP 08 (Дубна, 2008) ; на Тематической конференции по оптоинформатике ТМО' 2008 (СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 34 работы, в том числе 25 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Личный вклад автора. Из всех работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены положения и результаты, полученные либо лично соискателем, либо при его определяющем участии в постановке задач и разработке методов их решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 185 наименований. Общий объем диссертации — 228 страниц. Диссертация содержит 58 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель, основные задачи и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, дано краткое описание содержание разделов диссертации.

В первой главе исследованы условия генерации квадратурно-сжатых состояний, состояний с субпуассоновской статистикой квантовых возбуждений кристалла в процессах распространения квантованного электромагнитного излучения и способы регистрации этих состояний; изучена проблема появления

в таких процессах квантового перепутывання между взаимодействующими нолями.

В разделе 1.1 приведены определения квантовых флуктуацнонных и статистических характеристик состояний бозонных полей, меры квантовых корреляций и изложены общие принципы описания квантовых состояний полей методом функций распределения квазивероятности.

Раздел 1.2 посвящен изучению квантовой динамики двухмодовой бозонной системы и изучению флуктуацнонных свойств взаимодействующих в ней полей. В качестве модельного гамильтониана использовалось билинейное операторное выражение, описывающее процессы взаимодействия фотонов с квантовыми поляризационными возбуждениями кристаллов — фононами или экситопамп:

Н = Гшу[с\сЛ + 1/2) +Гш2(с1с2 + 1/2) + Шд1 (с{с2 - с\с\) -Шд2{с\с\ - г^), (1)

где ¿1, ¿2 и с{, 4 — операторы уничтожения и рождения мод поля излучения и бозе-возбуждепий с частотами и Ш2, а и д2 — соответствующие константы взаимодействия. В случае гамильтониана (1) получены точные аналитические выражения эволюции бозонных операторов методом канонических преобразований Боголюбова. Эти решения применялись для анализа временной зависимости дисперсий квадратур — обобщенных координат и импульсов, характеризующих квантовые флуктуации полей, для когерентных, сжатых и фоковских начальных состояний и различных констант взаимодействия. В итоге показано, что для исследуемых начальных состояний существуют динамические режимы, определяемые константами взаимодействия, при которых возникают эффекты генерации сжатых состояний в подсистемах, изначально проявлявших флуктуации выше вакуумного шума.

В разделе 1.3 гамильтониан (1) использовался для исследования квантовых эффектов, возникающих при действии электромагнитного излучения (накачки) нафононные возбуждения в кристалле (поляритонная модель). В предположении о том, что в начальный момент времени излучение находится в сжатом со-

стоянии, а фононы — в состоянии теплового равновесия, анализировалось временное поведение дисперсий квадратурных операторов фононной подсистемы и степень когерентности второго порядка. В результате показано, что в процессе эволюции системы в определенные периоды времени в системе фононов возникают состояния с подавленными по сравнению с вакуумным состоянием флуктуациями как обобщенной координаты, так и обобщенного импульса, что свидетельствует о возникновении сжатия. Характер поведения во времени корреляционной функции указал на изменение статистических свойств фононов: в процессе эволюции фононная система, стартуя от хаотического (суперпуассо-новского) состояния, в определенные отрезки времени переходит в субпуассо-новское состояние.

В разделе 1.4 изучен другой тип двухбозонного взаимодействия (1), описывающий процесс распространения монохроматического света в кристалле, при котором частота фотонов, непосредственно не взаимодействующих с фо-нонами, попадает в область образования экситонов. Для исследования эволюции системы полей рассмотрено поведение во времени (кросс)-корреляционных функций второго порядка и дисперсий квадратур. В качестве начальных состояний поля излучения рассматривались когерентное состояние и состояние сжатого вакуума, тогда как экситоны в начальный момент предполагались в состоянии теплового равновесия (хаотическом состоянии). В итоге показано, что при когерентной накачке в системе наблюдалось периодическое изменение статистических свойств взаимодействующих полей, при котором изначально хаотическое состояние поля экситонов в процессе временной эволюции переходит в когерентное состояние, а поле излучения переходит в хаотическое. В случае, когда поле излучения приготовлено в состоянии сжатого вакуума, взаимодействие приводит к увеличению суперпуассоновского характера статистики экситонов, причем наблюдается эффект перехода экситонов из хаотического состояния в сжатое. Предложены методы регистрации изменения статистических свойств полей в результате взаимодействия. Показано, что переход квантовых

поляризационных возбуждений кристалла в состояние с субпуассоновскои статистикой вследствие взаимодействия с полем накачки можно регистрировать методом комбинационного рассеяния па таких кристаллах. Для исследования статистических свойств электромагнитного поля на выходе из кристалла предложен метод рассеяния пучка атомов на стоячей волне этого поля, образованной резонаторной системой. Этот метод состоял в детектировании функции пространственной декогерентности матрицы плотности рассеянного атомного пучка. Показано, что фаза функции декогерентности, определяющая сдвиг фазы атомной интерференционной картины в эксперименте Юнга, дает возможность измерять число фотонов в состояниях Фока, тогда как дисперсия числа фотонов для состояний с ненулевой дисперсией определяется модулем функции декогерентности, который соответствует постоянной времени снижения видпости этой картины.

В разделе 1.5 исследованы нелокальные квантовые корреляции, возникающие в двухмодовой системе (1). В качестве начальных состояний полей использовались суперпозиции когерентного и хаотического состояний. Такой га-уссовский вид начальных состояний позволил получить аналитическое выражение для степени квантового перепутывания полей, мерой которого являлась логарифмическая отрицательность, построенная на следовой норме частично транспонированной матрицы плотности. Описанная модель изучалась с точки зрения возможности управления процессами генерации квантового перепутывания между полями за счет степени начальной хаотичности состояний полей (температуры), а также соответствующего выбора констант их взаимодействия. В итоге показано, что поведение логарифмической отрицательности не является монотонным во времени, а носит сложный периодический характер (рис. 1). Если оба поля в начальный момент находились в когерентных состояниях (при нулевой температуре), то степень перепутанности испытывает осцилляции с изменением максимумов и минимумов, что можно рассматривать как своеобразные возобновления и ослабления квантового перепутывания

Е (а) Е (Ь)

Рис. 1: Временное поведение квантового перепутывания между полями, в начальный момент находившихся в (а) в когерентных состояниях и (Ь) в когерентном и хаотическом состояниях с (п2) = 5. Параметры модели выбирались в единицах частоты = 1, — 2, а = 0,5; время дается в единицах

КГ1-

(рис. 1, о). Усиление тепловых флуктуаций приводит к заметному ослаблению квантовых корреляций, возникающих между полями в процессе взаимодействия, и изменению характера перепутывания. Так, если одно из полей в начальный момент находилось в хаотическом состоянии (в то время как другое было в когерентном состоянии), квантовое перепутывание в системе становится слабым и возникает уже в ограниченных временных интервалах с периодическим изменением максимумов (рис. 1, Ь). Если же оба поля изначально находились в хаотических состояниях, то существует критическая температура, выше которой квантовая перепутанность полностью исчезает и система становится сепарабельной.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, 8, 14, 15, 22, 23, 34].

Во второй главе исследовалась проблема генерации сжатых состояний высших порядков и квантовых перепутанных состояний в комбинационном (бриллюэновском) рассеянии.

В разделе 2.1 изучались условия возникновения квантовых корреляций высших порядков между стоксовой и антистоксовой модами в стохастическом подходе, когда взаимодействие рассеянных мод происходит посредством фононного резервуара, описываклцего и механизм потерь:

Н= (2)

к к

где 05, йд и йвк — соответствующие операторы уничтожения стоксовой, антистоксовой и фоношюй колебательной мод с частотами uis, и ui¡¡k, a g¡¡ и Kit — стоксовы и антистоксовы константы взаимодействия с резервуаром. Гамильтониан (2) описывает комбинационное рассеяние в параметрическом приближении, когда лазерное излучение считается интенсивным и представляется с-выражением = El ехр(—iu}Lt) с комплексной амплитудой El и частотой w¿. Начальные состояния рассеянных мод выбирались в виде суперпозиций когерентного и хаотического состояний (случай вынужденного комбинационного рассеяния). Считалось, что фононный резервуар находился в хаотическом состоянии. Интересной особенностью этой модели явилось возникновение суммарного сжатия стоксовой и антистоксовой мод, при отсутствии как разностного сжатия, так и квадратурного сжатия первого порядка между этими модами. На рис. 2 приведены области изменения времени взаимодействия и фазы ф = 2фь + 4>s — Фа, определяемой соответственно фазами комплексной амплитуды лазера El и констант взаимодействия g и к, при которых возникает суммарное сжатие, для начальных когерентных состояний стоксовой и антистоксовой мод при различных состояниях фононного резервуара. Как видно, с ростом фононных возбуждений области суммарного сжатия, сосредоточенные около значения фазы ф = 0 при малых временах взаимодействия и около ф = я"/2 при больших временах, заметно уменьшаются. Как показал выполненный анализ, суммарное сжатие также возможно и для начальных хаотических состояний стоксовой и антистоксовой мод после некоторого временного интервала с момента включения взаимодействия.

7С

©- л/2

0.0

Рис. 2: Область суммарного сжатия в переменных времени взаимодействия с масштабным множителем 7|^|2 и фазы для начальных когерентных состояний стоксовой и антистоксовой мод с амплитудами = \/2 в зависимости от

среднего числа фононных возбуждений (пв) в резервуаре (начиная с нуля с шагом 0,1).

В разделе 2.2 исследовано возникновение в упомянутой выше модели квантового перепутывания между состояниями мод. В качестве меры перепуты-вания бралась логарифмическая отрицательность, которая в случая гауссова вида начальных состояний мод представлялась явным аналитическим выражением. Поведение логарифмической отрицательности для различных начальных состояний стоксовой и антистоксовой мод представлено на рис. 3. Как видно из рис. 3, а, для начальных когерентных состояний стоксовой и антистоксовой мод состояние их подсистемы становится перепутанным (Е > 0) с момента включения взаимодействия, и степень перепутанности со временем монотонно возрастает, стремясь к асимптотическому значению. В случае, когда одно из полей находилось в когерентном состоянии, а другое поле — в хаотическом состоянии (рис. 3, Ь), или оба поля были в хаотических состояниях (рис. 3, с), квантовое перепутывание между ними возникает только после определенного времени взаимодействия. Шумы фононного резервуара стремятся разрушить

а) b) с)

Рис. 3: Логарифмическая отрицательность Е в зависимости от масштабированного времени взаимодействия Гt и шума фононного резервуара (пд) для случаев: а) обе моды в когерентных состояниях; Ь) стоксова мода в когерентном состоянии, а антистоксова мода в хаотическом состоянии; с) обе моды в хаотических состояниях.

квантовое перепутывание, уменьшая степень перепутанности. Кроме того, существует критический уровень фоношшх шумов, при котором квантовое перепутывание в случае начальных хаотических состояний не происходит.

Раздел 2.3 посвящен изучению корреляций высших порядков в стоксово-антистоксовой системе с учетом квантового состояния фоношшх возбуждений. С этой целью фононы представлялись эффективным одномодовым полем бозонов, и гамильтониан взаимодействия с интенсивным лазерным излучением выбирался в виде

tfint = -[hgsiiäU-1^-^ + hfjAäväl^-'^-'-^ + э. е.], (,'!)

где ffs и 9л — константы взаимодействия лазерного излучения с частотой и начальной фазой фь с фононной модой äy частоты шу для генерации стоксоиых (äs) и антистоксовых (й,д) фотонов рассеяния. Затухание мод учи тывалось как н в разделе 2.1. Исследовались условия генерации сжатых состояний высших порядков (квадратурно-сжатых второго порядка и суммарно сжатых) между стоксовой и антистоксовой модами в предположении, что в начальный момент

фотонные и фононная моды находились в когерентных состояниях, что отвечает экспериментальной ситуации бриллюэновского рассеяния. В итоге показано следующее. При таких начальных условиях и преоблающем антистоксовом взаимодействии для когерентной лазерной накачки с начальными фазами фь ~ 7г/4 и фь ~ 37г/4 возникает суммарное сжатие стоксовой и антистоксовой мод. В этом случае начальных состояний мод возникает и квадратурное сжатие первого и второго порядков в стоксово-антистоксовой подсистеме при значениях начальной фазы накачки фь в областях близких к 0 и тт. Увеличение шумов фононного резервуара, как и в случае их стахостического взаимодействия, приводит к заметному уменьшению степени сжатия и, тем самым, к разрушению квантовых корреляций между рассеянными полями.

Результаты второй главы опубликованы в работах [12, 13, 19, 32].

Третья глава посвящена описанию фазовых свойств неклассических состояний электромагнитного поля. В ней изложен авторский метод получения фазовых распределений, основанный на квантовых функциях распределения.

В разделе 3.1 дается обзор различных подходов к определению оператора квантовой фазы и фазовых распределений.

В разделе 3.2 представлен фазовый подход, основанный на функции Виг-нера. Фазовое распределение определялось как маргинальное распределение функции Вигнера путем её интегрирования по радиальной переменной комплексной амплитуды на фазовой плоскости, представленной в "полярных" координатах через интенсивность (радиус) и фазу: а = |а| ехр(гО) = \/1 ехр(гб). Для чистого квантового состояния с частично определенной фазой, т. е. когда |ф) = £~,Ае1П», в этом подходе получено аналитическое выражение для фазового распределения с симметризованным окном фазовых значений в относительно (р:

Р^\в) = 7чг{\а\е")\а\<1\а\ = 11 + 2^ ЬпЬксоз[{п - к)в]С^\п,к) 1, (4)

где коэффициенты к) определяются формулой

к) = £ (-1)^-™2(1"-М+2т)/2 ГТЛГ^ Г(|П - А|/2 + т + 1)

в которой Л = тт(п, к), — тах(п, к).

Далее дано обобщение на случай двухмодовых состояний и соответствующих маргинальных однофазовых распределений, включая распределения разности или суммы фаз:

р("О(0±) = ! р^^о+темвх- (с)

В разделе 3.3 исследовались фазовые распределения различных состояний электромагнитного поля, построенные на функции Вигнера, и проводился их сравнительный анализ с фазовыми распределениями, получаемыми в операторном формализме Пегга-Барнетта и квазивероятностном подходе с функциями Хусими С} и Глаубера-Сударшана V.

В параграфе 3.3.1 анализировались фазовые распределения смещенных фо-ковских состояний \а, Ы) = £>{а)|/У) с оператором смещения 1)(а) = ехр(шг* -а*а). Показано, что фазовое распределение вычисленное по фор-

муле (4), положительно определено, имеет (./V + 1) максимумов и ведет себя подобно распределению Пегга-Барнетта Р^\0). Следовательно, в случае смещенных фоковских состояний распределения и несут, в основном, одинаковую фазовую информацию. В то же время, у распределения Рт(Ю лишь два широких максимума (для N > 1), и поэтому определенная часть фазовой информации теряется.

В параграфе 3.3.2 исследовались фазовые распределения сжатых фоковских состояний |АГ)(г^) = 5(г,где оператор сжатия §(г,1р) = ехр ^г(а?е~2"р — а+2е21у>)/2], и сжатых хаотических состояний с матрицей плотности рзт = /(^ + (г,<р)(г,¡р)(N1- Оказалось, что для сжатых фоковских состояний вигнеровское фазовое распределение Р^'\0) не зависит от числа фотонов N в первоначальном фоковском состоянии и существенно от-

личается от фазовых распределений Рд™^) и только при малых N. С

ростом N распределения Рц™^) и стремятся к Рд^(б').

Фазовые распределения сжатых хаотических состояний получались из соответствующих фазовых распределений сжатых фоковских состояний суммированием по числу фотонов N с весовым фактором Бозе-Эйнштейна пм/{1 + п)м+1. Поскольку не зависит от N, то вигнеровское распределение

сжатого хаотического состояния совпадает с распределением Для сжа-

тых хаотических состояний при условии (2п+ 1)е~2г > 1 прямым интегрированием Р-функции по радиальной переменной найдено соответствующее фазовое распределение Р$т{0)- Показано, что при увеличении среднего числа фотонов п распределение -Рдт'^б) является предельным фазовым распределением для распределений Р^\в) Р&Р{0) и Р&Р(в), причем распределения Р$^В\в) и Р$т\в) становятся более узкими, тогда как распределение Рар(9) уширяется.

В параграфе 3.3.3 проведено исследование фазовых свойств двухмодовых сжатых фоковских состояний типа §(г,ф)+ Лг), где д — разность в числе фотонов между двумя модами, а ¿(г, у) = ехр[г(а6е~2"'3 — б^а^е2'*')] — оператор двухмодового сжатия. Показано, что вследствие сильной корреляции между модами совместное вигнеровское фазовое распределение, как и совместные фазовые распределения Пегга-Барнетта и {^-функции, зависят только от суммы фаз: Р(9а,вь) = Р(6+ = 6а + 9ь). В итоге установлено, что вигнеровское распределение Р^у\9+) и распределение Пегга-Барнетта являются близкими по форме и имеют (Д^ + 1) лепестков, тогда как гораздо шире и имеет лишь один лепесток для всех N. В случае = 0 все три распределения имеют одинаковую форму одного лепестка. Таким образом, как и в случае смещенных фоковских состояний, имеется существенное различие в фазовой информации, которую несут распределения Р^уЦд+) и Р^(9+).

В параграфе 3.3.4 на примере квадратично-амплитудных сжатых состояний исследованы условия положительной определенности фазовых распределений, построенных на функции Вигнера. Для четных квадратично-амплитудных

сжатых состояний установлена область изменения параметров, где фазовое распределение Вигнера становится отрицательным и когда нельзя говорить о таком распределении как об истинном распределении. Следовательно, фазовое распределение Вигнера для четных квадратично-амплитудных сжатых состояний может быть определено только в ограниченной области изменения параметров состояния, в то время как фазовое распределение Вигнера для нечетных квадратично-амплитудных сжатых состояний всегда положительно определено.

Раздел 3.4 посвящен операциональному подходу к описанию фазовых свойств электромагнитного поля.

В параграфе З.^Л сформулирован авторский метод получения фазовых распределений в операциональном подходе на основе неотрицательных квантовых функций распределений

предназначенных для вычисления средних значений физических величин в координатно-импульсном представлении для квантовой системы в состоянии ф с учетом характера измерения, задаваемого смотровыми функциями фь-Определение фазового распределения для расчета среднего значения любой наблюдаемой в виде функции фазовой переменной строилось на маргинальном распределении после интегрирования Рк(д,р) по радиальной переменной г = \А?2 + р2 в фазовом пространстве

Полученное распределение обладает всеми свойствами истинного фазового распределения. Предложенный формализм обобщен на случай двух мод с определением соответствующего маргинального однофазового распределения разности фаз. На примере распределения разности фаз двух слабых когерентных полей в эксперименте группы Манделя показано, что предложенный метод определенным выбором смотровых функций моделирует поведение двух

р) = (27т)-1 £ [ФКя - Ф'^ФШ 2

и 3

(7)

Рис. 4: Схема шестиполюсника и его реализация в виде идеальных 50 : 50 светоделителей (BS) и фазовращателей: ipx = arceos (1/3), а <р2 = Vi/2.

различных распределений, получаемых в операциональном подходе Мандсля и в операторном подходе Пегга-Барнетта.

В параграфе 3.4-2 представлен метод получения неотрицательных квантовых функций распределений с использованием шестиполюсного гомодинного детектора. На рис. 4 показана реализация шестиполюсной схемы на основе идеальных светоделителей и фазовращателей, на три входных канала которой подаются сильное поле гетеродина, сигнальное и зондирующее поля. Получаемое в такой схеме распределение предложено использовать для более точного измерения фазового распределения сигнального поля. Такая процедура основана на двухэтапном измерении фазы при различных состояниях зондирующего поля — вакуумного и сжатого вакуума, позволяющая уменьшать дисперсию фазы по сравнению с методом когерентной интерферометрии. Преимущество двухэтапного измерения продемонстрировано на примере сжатого состояния поля и показано, что дисперсия получаемого фазового распределения обратно пропорциональна сумме средних значений чисел фотонов сигнального и зондирующего полей: А(р ~ М-1.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [6, 7, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 33].

В четвертой главе на основе преобразования квантовых состояний полей на входе-выходе неоднородных диэлектрических четырехполюсников исследована эволюция квантового оптического канала в диэлектрических средах для использования в задачах квантовой телепортации.

В разделе 4-1 изложен подход к квантовому описанию электромагнитного поля в линейном диэлектрике с абсорбцией, основанный на представлении операторов поля через функции Грина волнового уравнения, и приведены операторные соотношения входа-выхода диэлектрического четырехполюсника с произвольной зависимостью коэффициента преломления.

Раздел 4.2 посвящен преобразованиям квантовых состояний в линейных диэлектрических четырехполюсниках и построению унитарного оператора преобразований.

В параграфе 4-2.1 сформулированы преобразования для матрицы плотности состояний электромагнитных полей и полей четырехполюсника. Установлено, что оператор начальной матрицы плотности = ¿¡¡п [а(ш), , представ-

ленный в виде функционала от спинорных операторов падающих полей к(ш) и полей четырехполюсника объединенных в биспинорный оператор

связан с оператором матрицы плотности ¿>(т1 преобразованных полей соотношением

где матрица преобразования Л(ш) является 5С/(4) матрицей, элементы которой определяются однозначно профилем показателя преломления и геометрическими размерами четырехполюсника.

В параграфе 4-2.2 на основе группового подхода к описанию закона преобразования состояний полей в реальном четырехполюснике построены схемы его замещения системой идеальных четырехполюсников. Схема замещения опреде-

(8)

ляется выбором вида факторизации матрицы преобразования Л(и) матрицами группы SU(2), отвечающих матрицам преобразования неких идеальных четырехполюсников. Для иллюстрации дан пример факторизации матрицы преобразования четырехполюсника с абсорбцией набором из двенадцати идеальных четырехполюсников с пятью видами унитарных матриц преобразования.

В параграфе 4 -2-3 преобразования состояний полей в четырехполюснике сформулированы для s-упорядоченных функций квазивероятности в фазовом пространстве. В частности, показано, что когда падающие поля и поля четырехполюсника не находятся в квантовом перепутанном состоянии, функция квазираспределения исходящих полей является сверткой

квазираспределений падающих полей и полей четырехполюсника, аргументы которых преобразованы, соответственно, обратными матрицами преобразования Т и поглощения А. Закон преобразования проиллюстрирован на примере поля в iV-фотонном состоянии Фока, падающего на однородную диэлектрическую пластину с комплексной проницаемостью лоренцовского типа.

В разделе 4-3 исследована декогеренция квантового канала, образованного двумя коррелируемыми импульсами света, которые распространяются по линиям связи с диссипацией. Операторы уничтожения двух немонохроматических импульсных мод определялись через квантовые операторы непрерывных мод электромагнитного поля a[rj\ = /0°° dio rf(uj)a(uj) и d[fj] = /0°° du)fi*{oj)d(ui), где т)(ш) и fj(oj) — нормированные функции, описывающие огибающие импульсов. Рассматривая линии связи как четырехполюсники с заданными матрицами преобразования, получена симметричная характеристическая функция состояния полей на выходах в предположении, что начальное квантовое перепутанное состояние импульсов задавалось как двухмодовый сжатый вакуум.

В параграфе 4-3-1 проанализированы эффекты диссипации на квантовую точность (fidelity) передачи начального состояния импульсов при их распрост-

ранении по линиям связи. Показано, что точность существенным образом зависит от спектрального перекрытия прошедших и падающих импульсов, которое, в свою очередь, определяется частотной зависимостью коэффициентов прохождения линий связи. Оказалось, что квантовая точность быстро уменьшается с увеличением начального сжатия, т. е. начального квантового перепутывания импульсов. Это демонстрирует крайне неустойчивое неклассическое поведение состояния сильно коррелированных импульсов.

В параграфе 4-3.2 исследовано изменение степени квантовой корреляции распространяющихся импульсов, представленной энтропийными мерами. В качестве мер корреляции импульсов использовались показатель корреляций и когерентная (квантовая) информация. Для случая свободного распространения одного из импульсов важным следствием явилось неотрицательность функции когерентной информации во всей области изменения значений коэффициента прохождения второго капала связи, что означает сохранение квантовых корреляций между импульсами, т. е. импульсы остаются в квантовом перепутанном состоянии при любой прозрачности линии связи. Этот вывод согласуется с критерием сепарабельности Переса-Городецкого для такой гауссовой системы. Однако уменьшение показателя корреляций, как верхнего предела для степени квантовой перепутанности импульсов, при уменьшении коэффициента прохождения свидетельствует об ослаблении начальной перепутанности.

В параграфе 4-3.3 выполнен анализ корреляционных мер для двух квазимонохроматических импульсов, изначально приготовленных в двухмодовом сжатом состоянии, один из которых распространяется в пустоте, а второй — через диэлектрическую пластину с комплексной проницаемостью лоренцовского типа. Показано, что квантовая точность и показатель корреляции для прошедших полей в области резонансной частоты, где диссипация является наибольшей, имеют четко выраженные минимумы, а в случае отраженных полей эти меры в указанной области частот достигают своих максимальных значений.

Раздел 4-4 посвящен проблеме передачи квантовых состояний электромаг-

питного поля методом квантовой телепортацни. Исследование относилось к передаче состояний, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных. Квантовый канал распределялся между передающей и принимающей станциями от источника двухмодового сжатого вакуума по диссипативным линиям связи. Для телепортации одномодового квантового состояния использовалась стандартная схема, в которой сначала на передающей станции выполняется гомодинное детектирование данного состояния и состояния фотона от источника сжатия. Полученное после такого гомодшшрования состояние другого фотона от источника сжатия на принимающей станции корректируется когерентным смещением в зависимости от результатов детектирования. Удалось доказать, что результат телепортации состояния, описываемого функцией Вигнера ^¡„(7), с помощью двухмодового квантового канала с функцией Виг-нера 1УЕ(а1,а2) после усреднения по всем результатам гомодинных измерений представляется функцией Вигнера вида

Здесь ¿иг — коэффициенты пропускания и отражения светоделителя в гомо-динном детекторе (£ + г = 1), а Д(/гц, щ) соответствует величине когерентного смещения состояния как функции результатов детектирования Цц и ¡т. За критерий качества телепортации принималась квантовая точность усредненного переданного состояния, которая в случае чистых квантовых телепортируемых состояний в терминах функций Вигнера определяется интегралом перекрытия

В параграфе 4-4-1 изучались условия достоверной квантовой телепортации состояний при использовании на передающей станции схемы балансного гомодшшрования I, г = 1/2. Показано, что наилучшие условия для телепортации в этом случае обеспечиваются когерентным сдвигом

= \/2А(//н - щ)ехр{г<р},

(Н)

Рис. 5: Квантовая точность телепортации (а) сжатого когерентного состояния (Со = 0,5, ао ~ 0,7, т. е. ñ fs 1) и (Ь) однофотонного состояния (N = 1).

где множитель Л = |T2/7i|, а фаза ф = tp + arg Ti + argT2 определяется, соответственно, фазами сжатия и коэффициентов прохождения линий связи Ti и Тг- Обсуждаемый метод телепортации проиллюстрирован примерами передачи типичных состояний квантовой теории, таких как сжатых (когерентных) состояний и состояний Фока. Для них найдены функции Вигнера переданных состояний и квантовая точность телепортации.

На рис. 5 изображены квантовые точности телепортации сжатого состояния и состояния Фока как функции параметра сжатия начального состояния квантового канала и коэффициента прохождения |Тг| при |Т\| = 1. Рисунки демонстрируют следующие факты. При наличии потерь в световодах точность телепортации существенно меньше единицы даже при достаточно большом первоначальном сжатии состояния фотонов квантового канала. Только когда потери не велики (|Тг| ^ 1), квантовая точность значительно превышает классический предел телепортации (£ = 0). Это обусловлено существенным ослаблением степени квантового перепутывания двухмодового сжатого вакуума при учете процесса декогеренции. Следовательно, потери при передаче квантового канала сильно ограничивают пределы надежной телепортации, что делает те-

депортацию фактически зависимой от передаваемого состояния.

В параграфе 4-4исследована проблема квантовой телепортации состояний в случае использования небалансного гомодинного детектора. Анализ дан для обобщенной схемы телепортации с несимметричным квантовым каналом применительно к когерентным состояниям. Показано, что такой метод обеспечивает корреляционную точность (entanglement fidelity) передачи за счет выбора коэффициентов пропускания и отражения светоделителя, а вместе с этим и когерентного сдвига, в соответствии с состоянием квантового канала. Для реализации такой телепортации необходимо, чтобы передающая станция была связана с источником двухмодового сжатия с помощью менее шумящего световода. Результаты четвертой главы опубликованы в работах [25, 26, 27, 28, 29, 30,

31].

Разделы 1.6, 2.3, 3.5 и 4-5 содержат основные выводы к каждой из глав. В Заключении представлены научные положения диссертации, выносимые на защиту.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

[1] Р. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Квантовые флуктуации в двухмодовой бозе-системе. ДАН СССР, т. 315, № 4, стр. 853-857 (1990).

[2] А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Time evolution of variances of quadrature operators in a two-mode boson system. Int. Journal of Mod. Phys. В 4, pp. 2335-2343 (1990).

[3] P. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Действие сжатого света на возбуждения в кристалле. Письма в ЖЭТФ, т. 52, вып. 7, стр. 993-996 (1990).

[4] В. Хмельовски, А. В. Чижов. Корреляционные свойства бозе-систем поля-ритопного типа. ТМФ, т. 86, № 2, стр. 285-293 (1991).

[5] А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov, A. S. Shumovsky. Quantum fluctuation and statistical properties of a two-mode boson system. Quantum Opt. 3, pp. 1-6 (1991).

[G] R. Tanas, В. K. Murzakhmetov, Ts. Gantsog, A. V. Chizhov. Phase properties of displaced number states. Quantum Opt. 4, pp. 1-7 (1992).

[7] A. V. Chizhov, Ts. Gantsog, В. K. Murzakhmetov. Phase distributions of squeezed number states and squeezed thermal states. Quantum Opt. 5, pp. 8593 (1993).

[8] A. V. Chizhov, В. B. Govorkov, Jr., A. S. Shumovsky. Statistical properties of phonons in polariton-like system at equilibrium. Mod. Phys. Lett. В 7, pp. 1233-1238 (1993).

[9] A. V. Chizhov, В. K. Murzakhmetov. Photon statistics and phase properties of the two-mode squeezed number states. Phys. Lett. A 176, pp. 33-40 (1993).

[10] Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Сжатые фоковские состояния и детекти-- рование гравитационных волн. Оптика и спектроскопия, т. 75, вып. 5, стр.

1035-1039 (1993).

[11] А. V. Chizhov, В. К. Murzakhmetov. Properties of two-mode squeezed number states. Proceedings of the Third International Workshop on Squeezed States and Uncertainty Relations (Baltimore, Maryland, USA, August 10-13, 1993), NASA Conference Publication 3270, pp. 3-13 (1994).

[12] A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher order squeezing in a boson coupled two-mode system. Phys. Rev. A 52, pp. 1698-1703 (1995).

[13] К. C. Yeong, J. W. Haus, A. V. Chizhov. Quantum-field coherence in a Raman amplifier. Phys. Rev. A 53, pp. 3606-3613 (1996).

[14] Fam Le Kien, A. V. Chizhov. Loss of spatial coherence in atomic deflection from an off-resonant quantized standing-wave field. Phys. Rev. A 53, pp. 3675-3678 (1996).

[15] A. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Q-representation of the field in a cavity with a moving mirror. Proceedings of the International Conference "Path Integrals" (Dubna, Russia, May 27-31, 1996), pp. 284-288 (1996).

[16] Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Проблема фазы электромагнитного поля в квантовой оптике. ЭЧАЯ, т. 27, вып. 3, стр. 747-796 (1996).

[17] Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Фазовые свойства квадратично-амплитудных сжатых состояний. ТМФ, т. 107, № 2, стр. 320-328 (1996).

[18] М. G. A. Paris, А. V. Chizhov, О. Steuernagel. Phase space distributions by three-port coupler. Optics Communications 134, pp. 117-120 (1996).

[19] A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher-order squeezing in a boson-coupled three-mode system. J. Opt. Soc. Am. В 14(7), pp. 1541-1549 (1997).

[20] Ц. Ганцог, Б. К. Мурзахметов, Р. Танась, А. В. Чижов. Фазовые распределения для смещенного фоковского и смещенного хаотического состояний. Оптика и спектроскопия, т. 82, № 2, стр. 278-281 (1997).

[21] А. V. Chizhov, В. К. Murzakhmetov. Phase distributions and quasidistributions of amplitude-squared squeezed states. Proceedings of a NATO Advanced Study Institute on Electron Theory and Quantum Electrodynamics: 100 Years Later (Edirne, Turkey, September 5-16, 1994), NATO ASI Series В Vol. 358, pp. 141-148 (1997).

[22] A. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Quantum statistics of vacuum in a cavity with a moving mirror. Phys. Lett. A 230, pp. 269-275 (1997).

[23] A.V. Chizhov, G. Schrade, M.S. Zubairy. Dynamics of the field in a cavity with movable boundaries. Proceedings of the Fifth International Conference on Squeezed and Uncertainty Relations (Balatonfured, Hungary, May 27-31, 1997), NASA/CP-1998-206855, pp. 485-490 (1998).

[24] A. V. Chizhov, V. De Renzi, M. G. A. Paris. A two-step optimized measurement for the phase shift. Phys. Lett. A 237, pp. 201-205 (1998).

[25] L. Knoll, S. Scheel, E. Schmidt, D.-G. Welsch, A. V. Chizhov. Quantum state transformation by dispersive and absorbing four-port device. Phys. Rev. A 59, pp. 4716-4726 (1999).

[26] A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled light pulses through dispersive and absorbing channels. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 3, pp. 77-83 (2001).

[27] A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Two-pulse correlations in noisy quantum channels. Оптика и спектроскопия, т. 91, № 3, pp. 437-441 (2001).

[28] А. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled pulses: correlation measures. Czechoslovak Journal of Physics 51, № 12, pp. 1279-1284 (2001).

[29] A. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Continuous-variable quantum telepor-tation through lossy channels. Phys. Rev. A 65, p. 022310 [9 pages] (2002).

[30] A. V. Chizhov. Entanglement fidelity of coherent-state teleportation with asymmetric quantum channel. Письма в ЖЭТФ, т. 80, вып. 11, стр. 839-842 (2004).

[31] А. В. Чижов. Корреляционная точность телепортации по смешанному квантовому каналу. Известия РАН. Серия физическая, т. 70, № 3, pp. 403406 (2006).

[32] А. V. Chizhov. Entanglement in a Two-Boson Coupled System. Письма в ЖЭТФ, т. 85, № 1, 102-105 (2007).

[33] А. V. Chizhov, A. A. Gusev, L. A. Sevastianov, S. I. Vinitsky. Phase representation of quantum-optical system via the nonnegative quantum distribution function. Письма в ЭЧАЯ, т. 4, № 2(138), стр. 330-335 (2007).

[34] А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Entanglement control in coupled two-mode boson systems. Phys. Rev. A 78, p. 064302 [4 pages] (2008).

Получено 27 октября 2009 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 28.10.2009. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,06. Уч.-изд. л. 1,81. Тираж 100 экз. Заказ № 56749.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Чижов, Алексей Владимирович

Введение

1 Взаимодействие квантованного электромагнитного излучения с кристаллами

1.1 Квантовые корреляционные характеристики состояний бо-зонных полей.

1.2 Двухбозонная система.

1.3 Поляритонная модель

1.4 Взаимодействие фотонов с экситонами

1.5 Квантовое перепутывание двухбозонной системы.

1.6 Выводы к первой главе.

2 Квантовые корреляции мод излучения в комбинационном и бриллюэновском рассеяниях

2.1 Сжатие высших порядков стоксовой и антистоксовой мод в комбинационном рассеянии

2.2 Квантовое перепутывание стоксовой и антистоксовой мод

2.3 Сжатие высших порядков в бриллюэновском рассеянии

2.4 Выводы ко второй главе.

3 Квантовые фазовые распределения электромагнитного поля

3.1 Оператор фазы и фазовые распределения.

3.2 Фазовые распределения квазивероятности.

3.3 Фазовые свойства неклассических состояний света . 112 3.3.1 Смещенные фоковские состояния.

3.3.2 Сжатые фоковские и сжатые хаотические состояния

3.3.3 Двухмодовые сжатые фоковские состояния.

3.3.4 Квадратично-амплитудные сжатые состояния

3.4 Операциональный подход к описанию фазовых свойств электромагнитного поля

3.4.1 Фазовое представление через неотрицательные квантовые функции распределений.

3.4.2 Оптическая гомодинная томография.

3.5 Выводы к третьей главе.

4 Нелокальные квантовые корреляции импульсов электромагнитных полей в линейных диэлектриках с абсорбцией

4.1 Квантовое описание поля в линейном диэлектрике с абсорбцией

4.2 Преобразование квантовых состояний в линейных диэлектрических четырехполюсниках с абсорбцией

4.2.1 Преобразование матрицы плотности.

4.2.2 Схема замещения четырехполюсника

4.2.3 Преобразование в фазовом пространстве.

4.3 Декогеренция квантового оптического канала

4.3.1 Квантовая точность передачи состояний импульсов

4.3.2 Энтропийные меры корреляций импульсов.

4.3.3 Меры корреляций световых импульсов в диэлектрической пластине.

4.4 Квантовая телепортация состояний, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных.

4.4.1 Балансное гомодинирование.

4.4.2 Небалансное гомодинирование

4.5 Выводы к четвертой главе.

Введение диссертация по физике, на тему "Квантовые корреляции электромагнитного поля в диссипативных средах"

Актуальность темы

Усовершенствование техники оптических экспериментов в течение последних лет позволило наблюдать ряд новых явлений ярко выраженного квантового характера, которые не имеют объяснений с точки зрения классической физики. К их числу относятся квадратурное сжатие вакуумных флуктуаций электромагнитного поля [1]—[3], разгруппировка [4]-[6] и субпуассоновская статистика [7] фотонов, а также нарушение неравенства Коши-Шварца [8]. Подобные эксперименты открывают возможность детального изучения квантовых корреляций, теоретические основы описания которых были заложены в работах [9]-[21].

В настоящее время особый интерес представляет изучение различных неклассических свойств рассеянных полей и колебательных возбуждений среды в процессах комбинационного рассеяния [24]—[31]. Это, в свою очередь, ведет к генерации новых идей в методах оптической спектроскопии. С этой целью в диссертации впервые исследованы корреляции высших порядков полей рассеяния, такие как двухмодовое квадратурное сжатие второго порядка и суммарное сжатие [32]-[34]. Эти новые виды квантовых корреляций необходимы для более детального анализа квантовомеханических свойств и строения кристаллов, нанообъектов и т. д.

Следующей фундаментальной проблемой, обсуждаемой в диссертации, является концепция квантовой фазы, впервые сформулированная Дираком [35]—[44]. Возможность генерации различных неклассических состояний света обусловила новый интерес [45]—[52] к вопросу об определении понятия фазы и фазовых распределений в квантовой механике. В силу того что эрмитов оператор фазы, сопряженный оператору числа частиц, не может быть определен на бесконечном гильбертовом пространстве [36]—[38], особое внимание к определению фазы привлек не операторный формализм, а фазовые распределения, связанные с функциями квазивероятности [53]—[57], а также операциональный подход [58]-[61]. В диссертации представлены авторские методы получения фазовых распределений, основанные на функции Вигнера и на неотрицательных квантовых функциях распределений.

Использование квантовых коррелированных состояний электромагнитного поля весьма актуально и в теории квантовой информации. Именно в оптических системах были впервые выполнены эксперименты по передаче секретного кода в квантовой криптографии [62] и квантовому телепортированию фотонных состояний [63]—[65], что открывает принципиально новые перспективы в технологии оптической передачи информации. Ключевую роль в таких экспериментах играют квантовые перепутанные состояния поля, проявляющие нелокальные квантовые корреляции [66]—[71]. Однако эти состояния в значительной степени подвержены декогеренции. Причиной декогеренции в оптических схемах является наличие областей поглощения у диэлектрических материалов, из которых сделаны различные устройства: оптические волокна, светоделители, зеркала и др. Поэтому анализ влияния диэлектрических оптических устройств на квантовые свойства состояний электромагнитного поля является актуальной задачей теории квантовых оптических экспериментов.

Один из подходов к квантовому описанию электромагнитного поля в диэлектриках с учетом эффекта потерь состоит во включении в рассмотрение квантового резервуара [72, 73]. Такое описание достаточно хорошо отражает декогеренцию в бесконечных однородных средах, когда граничными эффектами можно пренебречь. Однако в задачах с пространственно неоднородными средами с заданной геометрией эффект декогеренции уже не может быть описан в рамках такого подхода. Поэтому для этого случая был развит подход к описанию поля, основанный на квантовании уравнений Максвелла для диэлектрических сред с помощью функции Грина, учитывающей пространственную неоднородность системы диэлектриков [74]—[76]. В диссертации развивается метод преобразования состояний электромагнитного поля, основанный на данном подходе, и применение этого метода к проблеме достоверной передачи квантовых состояний посредством телепортации по смешанному квантовому каналу.

Цель работы состояла в создании, развитии и приложении новых методов квантовой теории взаимодействия электромагнитного излучения с диспергирующими и абсорбирующими диэлектрическими средами. Эти методы предназначены для изучения квантовых корреляционных характеристик состояний электромагнитного поля и поляризационных возбуждений среды и анализа влияния эффектов диссипации на эти характеристики, а также для исследования способов надежной передачи квантовой оптической информации по зашумленным каналам связи.

Для реализации поставленной цели решены следующие основные задачи:

• выяснение условий возникновения неклассических состояний квантовых возбуждений кристаллов при оптических взаимодействиях и способов регистрации неклассических характеристик взаимодействующих полей;

• анализ квантовых фазовых свойств электромагнитного поля на основе квантовых функций распределения в фазовом пространстве и описание способов детектирования фазовых распределений;

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• впервые для генерации состояний суммарного сжатия и двухмодо-вого сжатия второго порядка предложено использовать вынужденное комбинационное рассеяние со стоксовой и антистоксовой модами. В этом процессе проанализированы условия возникновения таких типов сжатия и межмодовой квантовой корреляции в зависимости от начального состояния рассматриваемых мод и фононных возбуждений рассеивающей среды;

• предложен новый метод для описания фазовых распределений квантовых состояний электромагнитного поля, основанный на функции квазираспределения Вигнера. В рамках этого метода для различных состояний поля получены аналитические выражения фазовых распределений, дан анализ условий их применимости и выполнено сравнение с фазовыми распределениями других подходов, таких как операторный формализм Пегга-Барнетта и подход, связанный с функциями Хусими и Глаубера-Сударшана. Также предложено фазовое распределение, основанное на неотрицательных квантовых функциях распределения, и разработана схема генерации таких функций. На их основе предложен способ оптимального измерения фазовых распределений состояний поля;

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах ЛТФ ОИЯИ, Политехнического института Ренсселаер (США), Физического института университета им. Ф. Шиллера г. Йена, физических факультетов университетов им. Гумболдьта г. Берлин и г. Ульм (ФРГ), г. Палермо и г. Пиза (Италия); на Международных совещаниях Международного центра теоретической физики (Триест, Италия) по конденсированному состоянию вещества, атомной и молекулярной физике (1990), по нелинейности "Шум в нелинейных системах" (1995), по квантовой информации и квантовым вычислениям (2002); на Международной школе по атомной и молекулярной спектроскопии Центра научной культуры "Этторе Майорана" (Эриче, Италия, 1991); на Международных конференциях по сжатым состояниям и соотношениям неопределенности ICSSUR (Балтимор, США, 1993; Балатонфюред, Венгрия, 1997); на Международной конференции по электронной теории и квантовой электродинамике: 100 лет спустя NATO ASI (Эдирне, Турция, 1994); на Международном семинаре по нелинейной и квантовой оптике (Познань, Польша, 1995); на Международной конференции "Интегралы по траекториям" (Дубна, 1996); на Международной конференции по квантовой оптике ICQO (Раубичи, Белоруссия, 2000); на IX Международной конференции "Методы симметрии в физике" (Ереван, 2001); на Международных коллоквиумах по интегрируемым системам и квантовым симметриям (Прага, Чехия, 2001, 2002, 2006); на Международных совещаниях по квантовой физике и коммуникациям QPC (Дубна, 2002, 2005, 2007); на IV Семинаре памяти Д. Н. Клышко (МГУ, Москва, 2005); на Минисимпозиуме "Нестандартные проблемы квантовой теории" (РУДН, Москва, 2005); на Международных школах-семинарах по фундаментальной физике для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" КИФМС'2005 (Суздаль, 2005) и "Современные нанотехнология и нанофотоника для науки и производства" (Владимир, 2008); на Школе-семинаре для студентов и аспирантов "Актуальные вопросы квантовой информации" (Дубна, 2006); на XIII Международной конференции по избранным проблемам современной теоретической физики SPMTP08 (Дубна, 2008); на Тематической конференции по оптоинформатике ТМО'2008 (СПбГУ ИТМО, Санкт-Петербург, 2008).

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

4.5 Выводы к четвертой главе

Построена теория преобразования состояний электромагнитного поля в линейных диэлектрических средах с дисперсией и абсорбцией, а также предложено применение этой теории в схемах передачи оптической информации.

Построение этой теории дано на основе операторных соотношений входа-выхода диэлектрических четырехполюсников с произвольным профилем коэффициента преломления. Полученные преобразования как для матриц плотности, так и для функций квазивероятностей позволяют описывать квантовые свойства электромагнитного поля при его прохождении через различные приборы оптических схем, такие как световоды, светоделители, интерферометры и др. Кроме того, найденный унитарный оператор преобразования состояний открывает возможность строить схемы замещения различных реальных оптических приборов в виде эквивалентных взаимосвязанных систем идеальных четырехполюсников для любых диапазонов частот.

В рамках предложенной теории выполнен анализ степени декогерент-ности квантового оптического канала, образованного двумя коррелированными световыми импульсами при их распространении по различным каналам связи с помехами за счет диэлектрических потерь. Исследования выполнены для световых импульсов, изначально находившихся в состоянии двухмодового сжатого вакуума, с использованием квантовой точности, энтропийных мер, таких как показатель корреляций и когерентной квантовой информации, и меры, определяемой логарифмической отрицательностью. Показано, что степень квантовой корреляции импульсов резко уменьшается с увеличением начального сжатия, т. е. начального перепутывания в квантовом канале.

Развит метод передачи квантовых состояний, зависящих от непрерывных или счетных бесконечных переменных, посредством квантовой телепортации с несимметричным квантовым каналом. В рамках этого метода для базовых оптических состояний, таких как когерентные и фоковские состояния, найдены условия, при которых обеспечивается их надежная телепортация как в случае балансного, так и небаланспого гомодиниро-вания на передающей станции.

Заключение

Просуммируем основные результаты диссертации.

1. Предсказаны эффекты генерации сжатых состояний и состояний с субпуассоновской статистикой для квантовых поляризационных возбуждений кристалла в процессах распространения квантованного электромагнитного излучения. Показано, что возникающее при этом квантовое перепутывание между возбуждениями кристалла и полем накачки не является монотонным во времени, а имеет сложный периодический характер, определяемый тепловыми флук-туациями кристалла.

5. Развит метод квантовой телепортации состояний электромагнитного поля, зависящих от непрерывных переменных. Впервые описаны необходимые условия достоверной телепортации через квантовые каналы в диссипативных средах и показано, что уровень диссипации накладывает ограничение на выбор передаваемых состояний.

В силу вышеперечисленных результатов, разработанные в диссертации теоретические положения описания квантовых корреляционных характеристик электромагнитного поля в диссипативных средах в совокупности являются новым крупным научным достижением в области общих вопросов квантовой механики и их приложений в квантовой теории информации.

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору А. С. Шумовскому, открывшему ему удивительный мир квантовой оптики, что и послужило началом работы над настоящей диссертацией.

За многолетнюю совместную работу и постоянную поддержку автор глубоко благодарен своему другу и соавтору Рашиду Назмитдинову.

Автор искренне признателен своим соавторам Д.-Г. Велыну, С. И. Ви-ницкому, М. С. Зубайри, Л. Кнёллю, М. Г. А. Парису, Л. А. Севастьянову, Р. Танасю, Фам Ле Киену, Дж. В. Хаусу, В. Хмельовскому, а также Ц. Ганцогу, Б. Б. Говоркову (мл.), А. А. Гусеву, В. Де Ренци, К. С. Йонгу,

Б. К. Мурзахметову, Ш. Шеелю, Э. Шмидту, Г. Шраде и О. Штойерна-гелю за плодотворное сотрудничество.

За ценные обсуждения многих проблем, исследуемых в диссертации, автор благодарен профессорам С. М. Аракеляну, Ч. Бурдику, А. Вюнше, В. П. Гердту, В. П. Горбачеву, А. Я. Казакову, В. П. Карасеву, С. Я. Ки-лину, Г. Ю. Крючкяну, С. П. Кулику, О. В. Манько, X. Паулю, Ф. Пер-сико, О. Д. Тимофеевской, М. Хиллери, О. А. Хрусталеву и В. Шляйху.

Автор признателен своим коллегам по лаборатории Э. И. Алискенде-рову, Р. Заводны, Е. А. Кочетову, С. Е. Красавину, В. А. Москаленко, В. О. Нестеренко, Н. М. Плакиде, В. Н. Плечко, В. А. Осипову, В. Б. При-езжеву, М. А. Смондыреву, Хо Чунг Зунгу, Н. А. Черникову, А. Ю. Черному, В. И. Юкалову, В. Ю. Юшанхаю и В. С. Ярунину за интерес к работе и продуктивные дискуссии

Особая благодарность В. В. Пупышеву за критические замечания, которые содействовали улучшению рукописи данной диссертации.

За предоставление благоприятных условий для научной работы автор благодарен дирекции Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова и Объединенного института ядерных исследований.

Самые теплые слова благодарности автора предназначены его семье за понимание, терпение и поддержку на протяжение всего периода работы над диссертацией.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Чижов, Алексей Владимирович, Дубна

1. R. Е. Slusher, L. W. Hollberg, B. Yurke, J. C. Mertz, J. F. Valley. Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity. Phys. Rev. Lett. 55, pp. 2409-2412 (1985).

2. L.-A. Wu, H. J. Kimble, J. Hall, H. Wu. Generation of squeezed states by parametric down conversion. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 2520-2523 (1986).

3. Z. H. Lu, S. Bali, J. E. Thomas. Observation of squeezing in the phase-dependent fluorescence spectra of two-level atoms. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 3635-3638 (1998).

4. H. J. Kimble, M. Dagenais, L. Mandel. Photon antibunching in resonance fluorescence. Phys. Rev. Lett. 39, pp. 691-695 (1977).

5. M. Dagenais, L. Mandel. Investigation of two-time correlations in photon emissions from a single atom. Phys. Rev. A 18, pp. 2217-2228 (1978).

6. P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, A. Heidmann, S. Reynaud. Observation of photon antibunching in phase-matched multiatom resonance fluorescence. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 687-690 (1986).

7. R. Short, L. Mandel. Observation of sub-Poissonian photon statistics. Phys. Rev. A 51, pp. 384-387 (1983).

8. J. F. Clauser. Experimental distinction between the quantum and classical field-theoretic predictions for the photoelectric effect. Phys. Rev. D 9, pp. 853-860 (1974).

9. H. H. Боголюбов. К теории сверхтекучести. Известия АН СССР. Серия физическая, 77, № 1, стр. 11 (1947).

10. R. J. Glauber. The Quantum Theory of Optical Coherence. Phys. Rev. 130, pp. 2529-2539 (1963).

11. R. J. Glauber. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field. Phys. Rev. 131, pp. 2766-2788 (1963).

12. D. Stoler. Equivalence Classes of Minimum Uncertainty Packets. Phys. Rev. D 1, pp. 3217-3219 (1970).

13. E. Y. C. Lu. New coherent states of the electromagnetic field. Lett. Nuovo Cimento 2, pp. 1241-1244 (1971).

14. E. Y. C. Lu. Quantum correlations in two-photon amplification. Lett. Nuovo Cimento 3, pp. 585-588 (1972).

15. H. P. Yuen. Two-photon coherent states of the radiation field. Phys. Rev. A 13, pp. 2226-2243 (1976).

16. A. M. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения. УФН, т. 123, вып. 1, стр. 23-55 (1977).

17. J. N. Iiollenhorst. Quantum limits on resonant-mass gravitational-radiation detectors. Phys. Rev. D 19, pp. 1669-1679 (1979).

18. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, V. I. Man'ko. Generalized uncertainty relation and correlated coherent states. Phys. Lett. A 79, pp. 150-152 (1980).

19. С. M. Caves. Quantum-mechanical noise in an interferometer. Phys. Rev. D 23, pp. 1693-1708 (1981).

20. С. M. Caves. Quantum limits on noise in linear amplifiers. Phys. Rev. D 26, pp. 1817-1839 (1982).

21. С. М. Caves, В. L. Schumaker. New formalism for two-photon quantum optics. I. Quadrature phases and squeezed states. Phys. Rev. A 31, pp. 3068-3092 (1985).

22. L. P. Kouwenhoven, D. G. Austing, S. Tarucha. Few-electron quantum dots. Rep. Prog. Phys. 64, pp. 701-736 (2001).

23. J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. Willems van Beveren, S. Tarucha, L. M. K. Vandersypen, L. P. Kouwenhoven. Semiconductor few-electron quantum dots as spin qubits. Lecture Notes in Physics (Springer, Berlin), Vol. 667, pp. 25-95 (2005).

24. Д. H. Клышко. Фотоны и нелинейная оптика. М.: Наука, 1980.

25. Я. Перина. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений. М.: Мир, 1987.

26. М. G. Raymer, I. A. Walmsley. The quantum coherence properties of stimulated Raman scattering. Progress in Optics XXVIII, ed. E. Wolf. North-Holland, Amsterdam, Chap. 3, pp. 183-270 (1990).

27. J. Perina. Photon statistics in Raman scattering of intense coherent light. Opt. Acta 28, p. 325 (1981).

28. J. Perina. Photon statistics in Raman scattering with frequency mismatch. Opt. Acta 28, p. 1529 (1981).

29. A. Pieczonkova, J. Perina. Statistical properties of Brillouin scattering. Czech. J. Phys. В 31, pp. 837-856 (1981).

30. J. Perina, V. Perinova, J. Kodousek. On the relations of antibunching, sub-Poissonian statistics and squeezing. Opt. Commun. 49, pp. 210-214 (1984).

31. S. V. Kuznetsov, О. V. Man'ko, N. V. Tcherniega. Photon Distribution Function, Tomogramms and Entanglement in Stimulated Raman Scattering. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 5, pp. S503-S512 (2003).

32. С. K. Hong, L. Mandel. Higher-Order Squeezing of a Quantum Field. Phys. Rev. Lett. 54, pp. 323-325 (1985).

33. L. Mandel, С. К. Hong. Coherence, Cooperation and Fluctuations. Cambridge: Cambridge University Press, 1986).

34. M. Hillery. Sum and difference squeezing of the electromagnetic field. Phys. Rev. A 40, pp. 3147-3155 (1989).

35. P. A. M. Dirac. The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation. Proc. R. Soc. London Ser. A 114, № 767, pp. 243-265 (1927).

36. F. London. Winkelvariable und kanonische Transformationen in der Un-dulationsmechanik. Z. Phys. 40, № 3-4, pp. 193-310 (1927).

37. L. Susskind, J. Glogower. Quantum mechanical phase and time operator. Physics 1, № 1, pp. 49-61 (1964).

38. P. Carruthers, M. M. Nieto. Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics. Rev. Mod. Phys. 40, pp. 411-440 (1968).

39. J. C. Garrison, J. Wong. Canonically Conjugate Pairs, Uncertainty Relations, and Phase Operators. J. Math. Phys. 11, pp. 2242-2249 (1970).

40. В. H. Попов, В. С. Ярунин. Об операторе фазы линейного гармонического осциллятора. Вестник Ленинградского университета, 22, стр. 7-12 (1973).

41. V. N. Popov, V. S. Yarunin. Quantum and quasi-classical states of the photon phase operator. J. Mod. Opt. 39, № 7, pp. 1525-1531 (1992).

42. J.-M. Levy-Leblond. Azimuthai quantization of angular momentum. Revista Mexicana de Fisica 22, p. 15 (1973).

43. T. S. Santhanam. Quantum mechanics in discrete space and angular momentum. Found. Phys. 7, № 1-2, pp. 121-127 (1977).

44. T. S. Santhanam, K. B. Sinha. Quantum mechanics in finite dimensions. Australian J. Phys. 31, p. 233 (1978).

45. J. Bergou, B.-G. Englert. Operators of the phase: Fundamentals. Ann. Phys. 209, № 2, pp. 479-505 (1991).

46. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Unitary Phase Operator in Quantum Mechanics. Europhys. Lett. 6, pp. 483-487 (1988).

47. S. M. Barnett, D. T. Pegg. On the Hermitian Optical Phase Operator. J. Mod. Opt. 36, № 1, pp. 7-19 (1989).

48. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Phase properties of the quantized singlemode electromagnetic field. Phys. Rev. A 39, pp. 1665-1675 (1989).

49. D. T. Pegg, S. M. Barnett. Tutorial review Quantum optical phase. J. Mod. Opt. 44, № 2, pp. 225-264 (1997).

50. S. M. Barnett, D. T. Pegg. Quantum theory of optical phase correlations. Phys. Rev. A 42, pp. 6713-6720 (1990).

51. R. Tanas, Ts. Gantsog. Phase properties of fields generated in a multiphoton down-converter. Phys. Rev. A 45, pp. 5031-5038 (1992).

52. Ts. Gantsog, R. Tanas. Phase properties of the two-mode squeezed vacuum states. Phys. Lett. A 152, pp. 251-256 (1991).

53. W. Schleich, A. Bandilla, H. Paul. Phase from Q function via linear amplification. Phys. Rev. A 45, pp. 6652-6654 (1992).

54. U. Leonhardt, H. Paul. Phase measurement and Q function. Phys. Rev. A 47, pp. R2460-R2463 (1993).

55. M. Freiberger, W. Schleich. Photon counting, quantum phase, and phase-space distributions. Phys. Rev. A 47, pp. R30-R33 (1993).

56. M. Freiberger, K. Vogel, W. Schleich. From photon counts to quantum phase. Phys. Lett. A 176, pp. 41-46 (1993).

57. R. Tanas, Ts. Gantsog, A. Miranowicz, S. Kielich. Quasi-probability distribution Q(alpha, alpha*) versus phase distribution P(theta) in a description of superpositions of coherent states. J. Opt. Soc. Am. B 8, pp. 1576-1582 (1991).

58. J. W. Noh, A. Fougères, L. Mandel. Measurement of the quantum phase by photon counting. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 1426-1429 (1991).

59. J. W. Noh, A. Fougères, L. Mandel. Operational approach to the phase of a quantum field. Phys. Rev. A 45, pp. 424-442 (1992).

60. J. H. Shapiro, S. S. Wagner. Phase and amplitude uncertainties in heterodyne detection. IEEE J. Quantum Electron. 20, pp. 803-813 (1984).

61. S. L. Braunstein, C. M. Caves. Phase and homodyne statistics of generalized squeezed states. Phys. Rev. A 42, pp. 4115-4119 (1990).

62. A. K. Ekert. Quantum cryptography based on Bells theorem. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 661-663 (1991).

63. D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurtner, A. Zeilinger. Experimental quantum teleportation. Nature 390, pp. 575579 (1997).

64. D. Boschi, S. Branca, F. De Martini, L. Hardy, S. Popescu. Experimental realization of teleporting an unknown pure quantum state via dualclassical and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 80, pp. 1121-1125 (1998).

65. T. C. Ralph, P. K. Lam. Teleportation with bright squeezed light. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 5668-5671 (1998).

66. E. Schrödinger. Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik. Naturwissenschaften 23, pp. 807-822; 823-828; 844-849 (1935).

67. J. S. Bell. On the Einstein Podolsky Rosen Paradox. Physics 1, pp. 195200 (1964).

68. J. S. Bell. On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. Rev. Mod. Phys. 38, pp. 447-452 (1966).

69. A. Aspect, P. Grangier, G. Roger. Experimental realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A new violation of Bell's inequalities. Phys. Rev. Lett. 49, pp. 91-94 (1982).

70. A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger. Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers. Phys. Rev. Lett. 49, pp. 1804-1807 (1982).

71. Z. Y. Ou, L. Mandel. Violation of Bell's inequality and classical probability in a two-photon correlation experiment. Phys. Rev. Lett. 61, pp. 50-53 (1988).

72. J. J. Hopfield. Theory of the contribution of excitons to the complex dielectric constant of crystals. Phys. Rev. 112, pp. 1555-1567 (1958).

73. B. Huttner, S. M. Barnett. Quantization of the electromagnetic field in dielectrics. Phys. Rev. A 46, pp. 4306-4322 (1992).

74. T. Gruner, D.-G. Welsch. Correlation of radiation-field ground-state fluctuations in a dispersive and lossy dielectric. Phys. Rev. A 51, pp. 3246-3256 (1995).

75. T. Gruner, D.-G. Welsch. Green-function approach to the radiation-field quantization for homogeneous and inhomogeneous Kramers-Kronig dielectrics. Phys. Rev. A 53, pp. 1818-1829 (1996).

76. T. Gruner, D.-G. Welsch. Quantum-optical input-output relations for dispersive and lossy multilayer dielectric plates. Phys. Rev. A 54, pp. 1661-1677 (1996).

77. L. Mandel, E. Wolf. Optical coherence and quantum optics. Cambridge Univ. Press, 1995.

78. R. Hanbury Brown, R. Q. Twiss. Correlation between Photons in two Coherent Beams of Light. Nature 177, pp. 27-29 (1956).

79. F. Davidson, L. Mandel. Correlation measurements of laser beam fluctuations near threshold. Phys. Lett. A 25, pp. 700-701 (1967).

80. R. Loudon, P. L. Knight. Squeezed light. J. Mod. Opt. 34, pp. 709-759 (1987).

81. M. C. Teich, B. E. A. Saleh. Squeezed states of light. Quantum Opt. 1, pp. 153-191 (1989).

82. S. M. Barnett, P. L. Knight. Thermofield analysis of squeezing and statistical mixtures in quantum optics. J. Opt. Soc. Am. B 2, pp. 467-479 (1985).

83. M. Hillery. Amplitude-squared squeezing of the electromagnetic field. Phys. Rev. A 36, pp. 3796-3802 (1987).

84. M. Hillery. Squeezing of the square of the field amplitude in second harmonic generation. Opt. Commun. 62, pp. 135-138 (1987).

85. E. P. Wigner. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. Rev. 40, pp. 749-759 (1932).

86. Я. П. Терлецкий. О предельном переходе квантовой механики в классическую. ЖЭТФ, т. 7, вып. 11, стр. 1290-1298 (1937).

87. D. I. Blokhintzev. The Gibbs quantum ensemble and its connection with the classical ensemble. J. Phys. USSR Vol. II, No. 1, pp. 71-74 (1940).

88. К. E. Cahill, R. J. Glauber. Ordered Expansions in Boson Amplitude Operators. Phys. Rev. 177, pp. 1857-1881 (1969); Density Operators and Quasiprobability Distributions. Phys. Rev. 177, pp. 1882-1902 (1969).

89. E. C. G. Sudarshan. Equivalence of Semiclassical and Quantum Mechanical Descriptions of Statistical Light Beams. Phys. Rev. Lett. 10, pp. 277-279 (1963).

90. Дж. Клаудер, Э. Сударшан. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.

91. S. М. Barnett, P. L. Knight. Squeezing in Correlated Quantum Systems. J. Mod. Opt. 34, № 6-7, pp. 841-853 (1987).

92. V. Vedral, M. B. Plenio. Entanglement measures and purification procedures. Phys. Rev. A 57, pp. 1619-1633 (1998).

93. S. M. Barnett, S. J. D. Phoenix. Entropy as a measure of quantum optical correlation. Phys. Rev. A 40, pp. 2404-2409 (1989).

94. B. Schumacher, M. Nielsen. Quantum data processing and error correction. Phys. Rev. A 54, pp. 2629-2635 (1996).

95. H. Barnum, M. A. Nielsen, B. Schumacher. Information transmission through a noisy quantum channel. Phys. Rev. A 57, pp. 4153-4175 (1998).

96. A. Peres. Separability Criterion for Density Matrices. Phys. Rev. Lett. 77, pp. 1413-1415 (1996).

97. P. Horodecki. Separability criterion and inseparable mixed states with positive partial transposition. Phys. Lett. A 232, pp. 333-339 (1997).

98. G. Vidal, R. F. Werner. Computable measure of entanglement. Phys. Rev. A 65, p. 032314 11 pages] (2002).

99. M. Kozierowski, R. Tanas. Quantum fluctuations in second-harmonic light generation. Opt. Commun. 21, pp. 229-231 (1977).

100. L. Mista, J. Perina. Anticorrelation effect in parametric amplification processes. Czech. J. Phys. В 27, pp. 831-834 (1977).

101. A. Bandilla, H. H. Ritze. Enhancement of photon antibunching by interference I. Young's interference experiment. Opt. Commun. 28, pp. 126130 (1979).

102. L. Mandel. Squeezing and photon antibunching in harmonic generation. Opt. Commun. 42, pp. 437-439 (1982).

103. L. Pitaevskii, S. Stringari. Bose-Einstein Condensation. Clarendon, Oxford, 2003.

104. А. С. Давыдов. Теория твердого тела. М.: Наука, 1976.

105. V. V. Dodonov, А. В. Klimov, V. I. Man'ko. Generation of squeezed states in a resonator with a moving wall. Phys. Lett. A 149, pp. 225-228 (1990).

106. S. Sarkar. Photon statistics and moving mirrors. Quantum Opt. 4, pp. 345-353 (1992).

107. С. K. Law. Effective Hamiltonian for the radiation in a cavity with a moving mirror and a time-varying dielectric medium. Phys. Rev. A 49, pp. 433-437 (1994).

108. J. R. Klauder. The Action Option and the Feynman Quantization of Spinor Fields in Terms of Ordinary c-Numbers. Ann. Phys. 11, pp. 123168 (1960).

109. M. Hillery, M. S. Zubairy. Path-integral approach to problems in quantum optics. Phys. Rev. A 26, pp. 451-460 (1982).

110. G. A. Garret, A. G. Rojo, A. K. Sood, J. F. Whitaker, R. Merlin. Vacuum Squeezing of Solids: Macroscopic Quantum States Driven by Light Pulses. Science 275, pp. 1638-1640 (1997).

111. Y. G. Semenov, K. W. Kim. Elastic spin-relaxation processes in semiconductor quantum dots. Phys. Rev. В 75, p. 195342 21 pages] (2007).

112. А. С. Давыдов, Э. H. Мясников. О вычислении энергии молекулярных экситонов. ДАН СССР, т. 173, № 5, стр. 1040-1042 (1967).

113. У. Люиселл. Излучение и шумы в квантовой электронике. Москва, Мир, 1972.

114. D. F. Walls. Quantum theory of the Raman effect. I. Interaction with phonons. Z. Phys. 273, № 3, pp. 224-233 (1970).

115. M. J. Holland, D. F. Walls, P. Zoller. Quantum nondemolition measurements of photon number by atomic beam deflection. Phys. Rev. Lett. 67, pp. 1716-1719 (1991).

116. R. Graham, M. Schlautmann, P. Zoller. Dynamical localization of atomic-beam deflection by a modulated standing light wave. Phys. Rev. A 45, pp. R19-R22 (1992).

117. O. Steuernagel, H. Paul. Decoherence from spontaneous emission. Phys. Rev. A 52, pp. R905-R908 (1995).

118. D. F. Walls. A master equation approach to the Raman effect. J. Phys. A: Math., Nucl. Gen. 6, pp. 496-505 (1973).

119. W. Schleich, J. A. Wheeler. Oscillations in photon distribution of squeezed states and interference in phase space. Nature 326, pp. 574-577 (1987).

120. W. Schleich, R. J. Horowicz, S. Varro. Bifurcation in the phase probability distribution of a highly squeezed state. Phys. Rev. A 40, pp. 74057408 (1989).

121. C. K. Hong, L. Mandel. Experimental realization of a localized one-photon state. Phys. Rev. Lett. 56, pp. 58-60 (1986).

122. F. A. M. De Oliveira, M. S. Kim, P. L. Knight, V. Buzek. Properties of displaced number states. Phys. Rev. A 41, pp. 2645-2652 (1990).

123. H. P. Yuen. Two-photon coherent states of the radiation field. Phys. Rev. A 13, pp. 2226-2243 (1976).

124. M. S. Kim, F. A. M. de Oliveira, P. L. Knight. Properties of squeezed number states and squeezed thermal states. Phys. Rev. A 40, pp. 24942503 (1989).

125. P. Krai. Displaced and Squeezed Fock States. J. Mod. Opt. 37, № 5, pp. 889-917 (1990).

126. А. С. Шумовский. Каноническое преобразование Боголюбова и коллективные состояния бозе-полей. ТМФ, т. 89, № 3, стр. 438-445 (1991).

127. G. S. Agarwal. Generation of Pair Coherent States and Squeezing via the Competition of Four-Wave Mixing and Amplified Spontaneous Emission. Phys. Rev. Lett. 57, pp. 827-830 (1986).

128. D. Yu, M. Hillery. Minimum uncertainty states for amplitude-squared squeezing: general solutions. Quantum Optics 6, pp. 37-56 (1994).

129. B. M. Garraway, P. L. Knight. Quantum phase distributions and qua-sidistributions. Phys. Rev. A 46, pp. R5346-R5349 (1992).

130. J. R. Torgerson, L. Mandel. Is There a Unique Operator for the Phase Difference of Two Quantum Fields? Phys. Rev. Lett. 76, pp. 3939-3942 (1996).

131. V. V. Kuryshkin. Some problems of quantum mechanics possessing a non-negative phase-space distribution function. Int. J. Theor. Phys. 7, № 6, pp. 451-466 (1973).

132. L. Cohen. Time-frequency distributions — a review. Proceedings of the IEEE 77, pp. 941-981 (1989).

133. M. G. Raymer, M. Beck, D. F. McAlister. Complex wave-field reconstruction using phase-space tomography. Phys. Rev. Lett. 72, pp. 11371140 (1994).

134. K. Vogel, H. Risken. Determination of quasiprobability distributions in terms of probability distributions for the rotated quadrature phase. Phys. Rev. A 40, pp. 2847-2849 (1989).

135. U. Leonhardt, J. A. Vaccaro, B. Bôhmer, H. Paul. Canonical and measured phase distributions. Phys. Rev. A 51, pp. 84-95 (1995).

136. U. Leonhardt, H. Paul. Realistic measurement of phase. Physica Scripta T 48, pp. 45-48 (1993).

137. K. Mattle, M. Michler, H. Weinfurter, A. Zeilinger, M. Zukowski. Non-classical statistics at multiport beam splitters. Appl. Phys. B 60, p. Sill (1995).

138. G. Weihs, M. Reck, H. Weinfurther, A. Zeilinger. All-fiber three-path Mach-Zehnder interferometer. Opt. Lett. 21, pp. 302-304 (1996).

139. S. K. Sheem. Optical fiber interferometers with 3 x 3] directional couplers: Analysis. J. Appl. Phys. 52, pp. 3865-3872 (1981).

140. B. Yurke, S. L. McCall, J. R. Klauder. SU{2) and SU( 1,1) interferometers. Phys. Rev. A 33, pp. 4033-4054 (1986).

141. M. Reck, A. Zeilinger, H. J. Bernstein, P. Bertani. Experimental realization of any discrete unitary operator. Phys. Rev. Lett. 73, pp. 58-61 (1994).

142. U. M. Titulaer, R. J. Glauber. Density Operators for Coherent Fields. Phys. Rev. 145, pp. 1041-1050 (1966).

143. K. J. Blow, R. Loudon, S. J. D. Phoenix, T. J. Shepherd. Continuum fields in quantum optics. Phys. Rev. A 42, pp. 4102-4114 (1990).

144. L. Vaidman. Teleportation of quantum states. Phys. Rev. A 49, pp. 1473-1476 (1994).

145. S. L. Braunstein, H. J. Kimble. Teleportation of Continuous Quantum Variables. Phys. Rev. Lett. 80, pp. 869-872 (1998).

146. Д. А. Славнов. Измерения и математический аппарат квантовой физики. ЭЧАЯ, т. 38, вып. 2, стр. 295-359 (2007).

147. Д. А. Славнов. О квантовой телепортации. ТМФ, т. 157, № 1, стр. 79-98 (2008).

148. М. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York (1970).

149. P. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Квантовые флуктуации в двухмо-довой бозе-системе. ДАН СССР, т. 315, № 4, стр. 853-857 (1990).

150. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Time evolution of variances of quadrature operators in a two-mode boson system. Int. Journal of Mod. Phys. В 4, pp. 2335-2343 (1990).

151. P. Г. Назмитдинов, А. В. Чижов. Действие сжатого света на возбуждения в кристалле. Письма в ЖЭТФ, т. 52, вып. 7, стр. 993-996 (1990).

152. В. Хмельовски, А. В. Чижов. Корреляционные свойства бозе-систем поляритонного типа. ТМФ, т. 86, № 2, стр. 285-293 (1991).

153. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov, A. S. Shumovsky. Quantum fluctuation and statistical properties of a two-mode boson system. Quantum Opt. 3, pp. 1-6 (1991).

154. R. Tanas, В. K. Murzakhmetov, Ts. Gantsog, A. V. Chizhov. Phase properties of displaced number states. Quantum Opt. 4, pp. 1-7 (1992).

155. А. V. Chizhov, В. В. Govorkov, Jr., A. S. Shumovsky. Statistical properties of phonons in polariton-like system at equilibrium. Mod. Phys. Lett. В 7, pp. 1233-1238 (1993).

156. A. V. Chizhov, Ts. Gantsog, В. K. Murzakhmetov. Phase distributions of squeezed number states and squeezed thermal states. Quantum Opt. 5, pp. 85-93 (1993).

157. A. V. Chizhov, В. K. Murzakhmetov. Photon statistics and phase properties of the two-mode squeezed number states. Phys. Lett. A 176, pp. 33-40 (1993).

158. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Сжатые фоковские состояния и детектирование гравитационных волн. Оптика и спектроскопия, т. 75, вып. 5, стр. 1035-1039 (1993).

159. A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher order squeezing in a boson coupled two-mode system. Phys. Rev. A 52, pp. 1698-17031995).

160. К. C. Yeong, J. W. Haus, A. V. Chizhov. Quantum-field coherence in a Raman amplifier. Phys. Rev. A 53, pp. 3606-3613 (1996).

161. Fam Le Kien, A. V. Chizhov. Loss of spatial coherence in atomic deflection from an off-resonant quantized standing-wave field. Phys. Rev. A 53, pp. 3675-3678 (1996).

162. А. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Q-representation of the field in a cavity with a moving mirror. Proceedings of the International Conference "Path Integrals" (Dubna, Russia, May 27-31, 1996), pp. 284-288 (1996).

163. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Проблема фазы электромагнитного поля в квантовой оптике. ЭЧАЯ, т. 27, вып. 3, стр. 747-796 (1996).

164. Б. К. Мурзахметов, А. В. Чижов. Фазовые свойства квадратично-амплитудных сжатых состояний. ТМФ, т. 107, N2 2, стр. 320-328 (1996).

165. М. G. A. Paris, А. V. Chizhov, О. Steuernagel. Phase space distributions by three-port coupler. Optics Communications 134, pp. 117-1201996).

166. A. V. Chizhov, J. W. Haus, К. C. Yeong. Higher-order squeezing in a boson-coupled three-mode system. J. Opt. Soc. Am. В 14(7), pp. 15411549 (1997).

167. Ц. Ганцог, Б. К. Мурзахметов, Р. Танась, А. В. Чижов. Фазовые распределения для смещенного фоковского и смещенного хаотического состояний. Оптика и спектроскопия, т. 82, № 2, стр. 278-2811997).

168. A. V. Chizhov, G. Schrade, M. S. Zubairy. Quantum statistics of vacuum in a cavity with a moving mirror. Phys. Lett. A 230, pp. 269-275 (1997).

169. A. V. Chizhov, V. De Renzi, M. G. A. Paris. A two-step optimized measurement for the phase shift. Phys. Lett. A 237, pp. 201-205 (1998).

170. L. Knoll, S. Scheel, E. Schmidt, D.-G. Welsch, A. V. Chizhov. Quantum state transformation by dispersive and absorbing four-port device. Phys. Rev. A 59, pp. 4716-4726 (1999).

171. A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled light pulses through dispersive and absorbing channels. J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 3, pp. 77-83 (2001).

172. A. V. Chizhov, E. Schmidt, L. Knoll, D.-G. Welsch. Two-pulse correlations in noisy quantum channels. Оптика и спектроскопия, т. 91, N5 3, стр. 437-441 (2001).

173. А. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Propagation of entangled pulses: correlation measures. Czechoslovak Journal of Physics 51, № 12, pp. 1279-1284 (2001).

174. A. V. Chizhov, L. Knoll, D.-G. Welsch. Continuous-variable quantum teleportation through lossy channels. Phys. Rev. A 65, p. 022310 9 pages] (2002).

175. A. V. Chizhov. Entanglement fidelity of coherent-state teleportation with asymmetric quantum channel. Письма в ЖЭТФ, т. 80, вып. 11, стр. 839-842 (2004).

176. А. В. Чижов. Корреляционная точность телепортации по смешанному квантовому каналу. Известия РАН. Серия физическая, т. 70, № 3, стр. 403-406 (2006).

177. А. V. Chizhov. Entanglement in a Two-Boson Coupled System. Письма в ЖЭТФ, т. 85, № 1, стр. 102-105 (2007).

178. А. V. Chizhov, A. A. Gusev, L. A. Sevastianov, S. I. Vinitsky. Phase representation of quantum-optical system via the nonnegative quantum distribution function. Письма в ЭЧАЯ, т. 4, № 2(138), стр. 330-335 (2007).

179. А. V. Chizhov, R. G. Nazmitdinov. Entanglement control in coupled two-mode boson systems. Phys. Rev. A 78, p. 064302 4 pages] (2008).