Квазиклассические методы в задачах взаимодействия атомных систем с лазерным излучением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

НИИ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА

РГБ ОД

1 с г я Е:оз

На правах рукописи УДК 530.145:535

СМИРНОВА Ольга Владимировна

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АТОМНЫХ СИСТЕМ С ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

01.04.21 - лазерная физика

ч

АВТОРЕФЕРЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2000

Работа выполнена в Отделе микроэлектроники НИИЯФ им. Д.В. Скобельцына

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор А. М. Попов, кандидат физико-математических наук О. В. Тихонова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. П. Гореславский доктор физико-математических наук, профессор М. В. Фёдоров

Ведущая организация: Московский Физико-Технический Институт

[ СШШФ 2000Г. В. Ж-

Защита состоится "у.7 " Ш.уиЖУЬ-' 2Ц00г. в у^/ часов на заседании диссертационного совета Д053.05.80 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: Москва, 119899, Воробьёвы горы, 19 корпус, НИЙЯФ МГУ, ауд. 215

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ.

Автореферат разослан'

/X"

гЬ- 2000г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

гН. Васильев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последнее время наиболее заметные сдвиги в экспериментальном исследовании взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем произошли, во-первых, в связи с возможностью генерации импульсов сверхвысокой интенсивности (101Х Вт/см2) и сверхкороткой длительности (10"14 с) и, во-вторых, в связи с возможностью получения и исследования свойств высоковозбужденных состояний атомов и молекул. Это привело к обнаружению ряда новых эффектов (например, надпороговая ионизация атомов, диффузионная ионизация, генерация гармоник высокого порядка на атомах, молекулах, ионах, стабилизация) и закономерностей (например, вигнеровская статистика спектров высоковозбуждённых состояний атомов и молекул, динамическая локализация). В теории освоение новых областей параметров поля (сверхвысоких полей) и системы (высоковозбуждённых состояний) потребовало привлечения новых методов описания динамики атомных систем (например, метод Кра-мерса-Хеннебергера (КХ), методы теории квантового и классического хаоса). Широкое использование классических моделей атомных и молекулярных систем, часто обладающих хаотическим движением, стимулировало вопрос о корректной формулировке и применимости принципа соответствия.

С учётом перечисленных обстоятельств большой интерес представляет развитие квантово-классической аналогии с целью обогащения аппарата квантовой механики хорошо разработанными методами классической механики для решения квант овомеханических задач в квазиклассической области.

Цель работы.

Использовать квазиклассические методы для

• установления границ применимости метода КХ, позволяющего оценить область параметров поля, в которой может наблюдаться эффект адиабатической стабилизации;

• построения высших поправок к приближению КХ;

• построения выражения для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости, пригодного для вычисления отклика хаотических систем.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Установлена формальная аналогия метода Крамерса-Хеннебергера и классического метода осреднения. На основе формальной аналогии метода КХ и метода осреднения определены границы применимости метода КХ и получен явный вид эффективного потенциала, описывающего квадратичный штарковский сдвиг невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до со-6 включительно. Показано, что эффективный потенциал, полученный в рамках квантового рассмотрения, совпадает с классическим, ранее установленным (Карапетян, 1999) в рамках метода Капицы.

2. В широком диапазоне значений параметров поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Построен квазиклассический предел квадратичной восприимчивости, пригодный для вычисления отклика микроканонического ансамбля хаотических систем.

4. Для построения квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и правшах сумм метод Н - разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка Л2 включительно.

5. Показано, что члены второго порядка по Й в й - разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

Практическая ценность.

Проведённые исследования представляют практический интерес в связи с проблемой создания высокоинтенсивных источников коротковолнового (рентгеновского) излучения, перспективами использования в атом-но-молекулярной спектроскопии быстропротекающих процессов, задачей описания свойств мезоскопических структур.

На защиту выносятся следующие положения.

1. В условиях справедливости диподьного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса.

2. Эффект адиабатической стабилизации существует в области низких частот. Порог эффекта адиабатической стабилизации в этой области не зависит от интенсивности поля.

3. Гамильтониан КХ допускает представление в виде асимптотического ряда по параметрам, контролирующим применимость приближения КХ. Учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру

ем, где еи - отношение характерной атомной частоты (£20 = ^У0/агт, VD, а - характерные параметры потенциала) к частоте поля а, в случае 5 »1, где 5 - отношение характерного размера атома к амплитуде ос-циллядий свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного штарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации" с точностью до ю-6 включительно.

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости может быть выражен через классические характеристики движения и использован для вычисления отклика хаотических систем.

5. Члены второго порядка по h в й - разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазяклассического предела квадратичной восприимчивости.

Апробация работы.

Результаты работы доложены на

• конференции SILAPIV (Super-Intense Laser-Atom Physics), Россия, 1995;

• конференции ICONO XVI (International Conference on Coherent and Nonlinear Optics), Москва, Россия, 1998;

• конференции ФАС-XVI (Фундаментальная атомная спектроскопия), Звенигород, Россия, 1998;

• научной сессии МИФИ-2000, Москва, Россия, 2000,

• семинаре "Многофотонные процессы" ИОФРАН,

• семинаре ОМЭ НИИЯФ МГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, из них 3 - тезисы докладов. Список работ приведен в конце автореферата. Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём диссертации составляет 101 страницу, включая 9 рисунков и список литературы из 125 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность выбранной темы, научная новизна работы, формулируются защищаемые положения, обсуждается структура работы.

В первой главе метод Крамерса-Хеннебергера (КХ) (Kramers, 1950, Henneberger, Phys.Rev.Lett.,1968, 21, 838) приближенного описания динамики атомных систем в сильном монохроматическом поле используется для изучения особенностей эффекта стабилизации.

Эффектом стабилизации называется уменьшение вероятности фотоионгоа-ции атома с увеличением интенсивности поля. Обычно различают два вида стабилизации, соответствующих различной природе этого эффекта и проявляющихся при разных соотношениях между параметрами лазерного импульса и атомной системы: интерференционная стабилизация (Фёдоров, Мовсесян, ЖЭТФ, 1988, 94, 51) и адиабатическая стабилизация (Pont, Gavrila, Phys. Rev. Lett, 1990, 65, 2362). Метод КХ позволяет раскрыть механизм адиабатической стабилизации. Основные идеи метода КХ хорошо известны: преобразование Крамерса

SKH = exp

r • i Л Í -it

р\А{ф' exp --^¡лЦф1 ^ Ihme i

yhem 0 j

приводит исходный гамильтониан атома

в поле

А = А0ёх sin caí, А0 = - Fe/еео к следующему виду:

Нкн - р1 jlm + V0f(x + ёхае cos cat),

где ае = F/nt(ü2 . В приближении КХ в гамильтониане Нш зависящий от времени потенциал заменяется средним за период значением F0/0{х,ае) -потенциалом КХ. Приближение КХ справедливо и продуктивно, если влияние поправок У = V0f(x + éxaecosajt)-V0f0(x,ae) мало. В этом случае все необходимые величины, например, скорости ионизации, поляризуемости, могут быть вычислены по теории возмущений, а энергии стационарных уровней хорошо аппроксимируют точные квазиэнергии системы. Однако, несмотря на то, что приближение КХ не содержит принципиальных сложностей, связанных с интерпретацией результатов, полученных на его основе, в настоящее время, по-видимому, не существует единого мнения относительно границ применимости этого приближения и роли различных параметров. Вопрос о границах применимости приближения КХ интересен не только с методической, но и с практической точки зрения. Определение границ применимости приближения КХ позволяет определить границы режима адиабатической стабилизации. С появлением первых экспе-

риментов по стабилизации (N. J. van Druten et al„ Phys. Rev. A, 1997, 55, 622) становится важным, во-первых, подтвердить тот факт, что экспериментальная ситуация реализована в пределах применимости приближения КХ, а во-вторых, с помощью этого метода описать экспериментальные зависимости.

В разделе 1.1 обсуждение постановки задачи сопровождается обзором литературы.

В разделе 1.2 обсуждаются эффекты, связанные с включением поля. Показано, что при опгимальном режиме включения поля суммарная вероятность заселения состояний КХ составляет 20-25%.

В разделе 1.3 определяются границы применимости приближения КХ в квазиклассической области на основе формальной аналогии с классическим методом осреднения, четкие границы применимости которого устанавливает теорема Боголюбова. В качестве модельной системы используется потенциал притяжения —V0f(x/a) в поле электромагнитной волны с частотой ю и напряженностью Fje. В задаче возникают два параметра квазиклассичности R» 1 и В»1, где R = F1 /mho? - параметр Риса, В - ^2mV0a2/h2 - борцовский параметр. Наличие двух параметров ква-зикласеичяости позволяет рассмотреть с единых позиций как существенно квантовые (В«1), так и квазиклассические (В» 1) системы. Рассмотрены случаи: R » 1 при произвольном значении В; В» 1 при произвольном значении R.

В рамках единого подхода показано, что приближение КХ применимо в пределе сверхатомных частот, а также при нарушении вышеуказанного условия, т.е. при понижении частоты поля вплоть до некоторого значения сосц, в пределе сверхатомных полей.

Результаты работы сопоставляются с данными компьютерных и лабораторных экспериментов и с ранее полученными условиями применимости приближения КХ.

В широком диапазоне значений поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

В разделе 1.4 формулируются выводы и намечаются направления дальнейших исследований.

Целью работы, являющейся предметом второй главы, является представление гамильтониана КХ в виде асимптотического ряда по параметрам, контролирующим применимость приближения КХ, и обсуждение физического смысла формальных конструкций, определяющих высшие поправки к потенциалу КХ.

Для построения высших поправок к приближению КХ использована формальная аналогия метода КХ и метода осреднения.

В разделе 2.1 обсуждается постановка задачи.

В разделе 2.2 аппарат метода осреднения (канонические преобразования) используется для построения асимптотического разложения функции Гамильтона исследуемой системы.

В разделе 2.3 аналогичные преобразования проведены в случае квантовых систем для гамильтониана Крамерса-Хеннебергера.

В разделе 2.4 показано, что в случае поля линейной поляризации учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру

би = (Ц,/а>) , Ц> = л/^о/«2'" ПРИ 8»1 определяет модифицированный потенциал КХ следующего вида

положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного штарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле с точностью до со-6 включительно.

В разделе 2.5 формулируются выводы и намечаются направления дальнейших исследований.

В третьей главе рассматривается квазиклассический предел й —»■ О квадратичной восприимчивости автономных гамильтояовых систем к гармонически зависящему от времени внешнему полю.

Как известно, вопрос о величине восприимчивости к слабому гармонически зависящему от времени возмущению вида -хР соз<а( универсальным образом решается в квантовой теории. Например, выражение для квадратичной восприимчивости квантовой системы с дискретным спектром, находящейся в стационарном состоянии |л) и описывающей отклик системы на удвоенной частоте, имеет вид:

Однако, если объектом исследования является квазиклассическая система, приведенное выражение для квадратичной восприимчивости может оказаться практически бесполезным. Действительно, из экспериментов по изучению спектров высоковозбужденных состояний атомов и молекул (Е. Haller, Н. Koppel, L. S. Cederbaum, Phys. Rev. Lett, 1984, 52, 1665) следует,

¿ш штпшк„

что динамика квазиклассической системы может быть как регулярной, так и хаотической. Хаотическое движение приводит:

• к разрушению интегралов движения (кроме энергии) и, следовательно, к отсутствию соответствующих правил отбора;

• к нерегулярности спектра и матричных элементов;

• к чувствительности спектра и матричных элементов к изменению параметров невозмущенной задачи.

Таким образом, определяющий вклад в сумму по т,к в выражении для квадратичной восприимчивости даёт большое количество нерегулярно зависящих от т, к слагаемых. В такой ситуации для вычисления восприимчивости наиболее естественно использовать классический подход. Для установления вида классического предела многих физических величин достаточно известных принципов соответствия Бора и Гейзенберга, определяющих главные члены в асимптотических разложениях квантовых частот перехода азкл и матричных элементов координаты хк„ по й. Особый случай представляют физические величины, которые в квантовой теории выражаются формулами вида Ь~тр(а)к„,хкп), где т - целое. Для таких величин классический предел определяется не главными, нулевого порядка по Тг, членами в асимптотических разложения сокп и хкп, а поправками высших порядков по Л. Примерами таких величин являются восприимчивости, определяющие величину отклика системы на приложенное к ней поле, меняющееся со временем по гармоническому закону. Таким образом, при построении квазиклассического предела квадратичной восприимчивости возникает задача об определении Н -разложений матричных элементов и частот перехода с точностью до й2 включительно.

В разделах 3.1-3.3 обсуждение постановки задачи сопровождается обзором литературы.

В разделе 3.4 для вычисления квазиклассического предела предложен основанный на соотношениях симметрии и правилах сумм метод Тг - разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода. Метод позволяет определить й - разложения этих величин с точностью до Й3 включительно.

Показано, что для одночастичной системы с гамильтонианом вида

Н = -^— + 1/(х) 2т

Й -разложения частот и матричных элементов координаты имеют следующий вид:

Л . 2 ОП' . / з (П£2')'я Л

/

24

П-г5,П Л 2

V 4

V2 ' 52 » , 1

+—х,оо!+—х$ а2 + г2ох.-ш'х, .

4 8 ]

Здесь аргументом всех функций является энергия £„ = £, X, • амплитуда б-ой гармоники в Фурье-разложении закона движения классической системы, ПСЕ1)- частота классического движения, 3(е) = -—т"^-^»), угловые

24 «с

скобки (...) означают усреднение по периоду, функции g1(E), £2(£) являются решениями задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.

В разделе 3.5 показано, что квазиклассический предел квадратичной восприимчивости одномерной системы имеет вид

Заметим, что при со = 0 указанное выражение можно привести к следующему виду:

В разделе 3.6 квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через трехточечные корреляционные функции

объем энергетической поверхности р{Е) и их производные по энергии:

+

Сх(т,в)=(х(1)х({ + т)х{{ + 0))г СхЕ{т,0)= (')*(' + + в)-х(г)±(/ + г)хс(г + в)\,

йЕ,йт) ,

угловые скобки означают усреднение по времени, величины хЕ и у 1 определяются как решения системы уравнений хЕ = -изахЕ Уе = -иуххЕ - иуууЕ

с начальными условиями

г I =

1,=о дЕ> е1ы» дЕ'

V I V I

В частности,

1 й2

1р йЕ

Полученное выражение может быть использовано для численного расчета квадратичной восприимчивости, например, в модели нелинейного осциллятора. Нелинейные осцилляторы обычно рассматриваются с целью описания колебательных спектров молекул в области сильного возбуждения, где становится существенным взаимодействие различных мод и энгармонизм колебаний. Полученное выражение также может быть использовано для расчета квадратичного отклика в модели бильярда. Модели бильярдов используются, например, для описания свойств мезоскопиче-ских систем.

Практически расчет по полученной формуле более удобен, чем прямая симуляция отклика в компьютерном эксперименте, предъявляющая высокие требования к численной процедуре и компьютерным ресурсам.

В разделе 3.7 формулируются выводы и намечаются направления дальнейших исследований.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Основные результаты работы

1. Границы применимости метода Крамерса-Хеннебергера (КХ) определены для квантовых (при больших значениях параметра Риса) и квазиклассических систем на основе формальной аналогии этого метода с классическим методом осреднения. В рамках единого подхода показано, что в условиях справедливости дипольного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса и в пределе высоких частот.

2. В широком диапазоне значений поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Предложен метод построения высших поправок к приближению КХ. Показано, что учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру ет, где ещ - отношение характерной атомной частоты к частоте поля со, в случае 8 »1, где 8 - отношение характерного размера атома к амплитуде осцилляции свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного штарков-ского сдвига невырожденных уровней в высокочасто гном поле линейной поляризации с точностью до о-4 включительно. Предложенный метод также позволяет вычислять сдвиги уровней или поляризуемости потенциала КХ в сверхатомных полях в случае 5 «1.

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через классические характеристики движения и пригоден для определения отклика хаотических систем.

5. Для вычисления квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и правилах сумм метод й -разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка й2 включительно. Показано, что члены второго порядка по Н в Л- разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

Публикации

1. Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Смирнова. Стабилизация атомов в сильном поле в приближении Крамерса-Хеннебергера / / ЖЭТФ, 1994, 106, 1360-1372

2. Е. A. Volkova, А. М. Popov, and О. V. Smirnova. Numerical simulations of electron potential scattering in a superatomic laser field / / Laser Physics, 1995,5, 883-887

3. Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Смирнова. Вынужденный тормозной эффект в сверхатомном лазерном поле / / ЖЭТФ, 1996,109, 138-150

4. Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Смирнова, О.В. Тихонова. Возникновение режима стабилизации в сильном лазерном поле и приближение Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 1997,111, 1194-1206

5. P. V. Eluytin, О. V. Smirnova. On the quasiclassical limit of the quadratic susceptibility / / ICONO XVI, 1998, technical digest, 142

6. П.В. Елютин, О.В. Смирнова. Применение метода h- разложений для построения квазиклассического предела квадратичной восприимчивости / / Тезисы докладов конференции ФАС-XVI, 1998, 132

7. П.В. Елютин, О.В. Смирнова. О квазиклассическом пределе квадратичной восприимчивости / / ТМФ, 1999,119, 93-104

8. О.В. Смирнова. О применимости приближения Крамерса-Хеннебергера / / Сборник трудов научной сессии МИФИ - 2000, 5, 190

9. О.В. Смирнова. О применимости приближения Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 2000,117, 702-709

lO.O.V. Smirnova. Applicability Boundaries of the Kramers-Henneberger

Approximation in the Quasi-Classical Region / / Laser Physics, 2000,10(2).

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СТАБИЛИЗАЦИЯ АТОМА В СИЛЬНОМ ПОЛЕ И МЕТОД КРАМЕРСА-ХЕННЕБЕРГЕРА (КХ)

1.1 Обзор литературы: Адиабатическая стабилизация и метод КХ

1.1.1 Формализм КХ

1.1.2 Основные параметры

1.1.3 Классические модели: хаотическая динамика и стабилизация

1.1.4 Эксперимент по стабилизации

1.2 Конечная длительность фронта импульса: стабилизация КХ "адиабатическая" или "внезапная"?

1.3 Границы применимости метода КХ и пороги стабилизации.

1.3.1 Метод осреднения

1.3.2 Грашпщ применимости приближения КХ для существенно квантовых систем

1.3.3 Границы применимости приближения КХ для квазиклассических систем

1.3.3 Оценки по теореме Боголюбова

В последнее время наиболее заметные сдвиги в экспериментальном исследовании взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем произошли, во-первых, в связи с возможностью генерации импульсов

1 /Г А сверхвысокой интенсивности (10 Вт/см ) и сверхкороткой длительности (1014 с) и, во-вторых, в связи с возможностью получения и исследования свойств высоковозбужденных состояний атомов и молекул. Это привело к обнаружению ряда новых эффектов (например, надпороговая ионизация атомов [1], диффузионная ионизация [2-4], генерация гармоник высокого порядка на атомах, молекулах, ионах [5], стабилизация [6-8]) и закономерностей (например, вигнеровская статистика спектров высоковозбуждённых состояний атомов и молекул [9], динамическая локализация [3,10]). В теории освоение новых областей параметров поля (сверхвысоких шлей) и системы (высоковозбуждённых состояний) потребовало привлечения новых методов описания динамики атомных систем (например, метод Крамерса-Хеннебергера (КХ) [7,8], методы теории квантового и классического хаоса [2,9,11].) Широкое использование классических моделей атомных и молекулярных систем, часто обладающих хаотическим движением, стимулировало вопрос о корректной формулировке и применимости принципа соответствия.

С учётом перечисленных обстоятельств большой интерес представляет развитие квантово-классической аналогии с целью обогащения аппарата квантовой механики хорошо разработанными методами классической механики для решения квантовомеханических задач в квазиклассической области. В рамках этой программы в данной работе квазиклассические методы использованы для 5

• установления границ применимости метода КХ, позволяющего оценить область параметров поля, в которой может наблюдаться эффект адиабатической стабилизации;

• построения высших поправок к приближению КХ;

• построения выражения для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости, пригодного для вычисления отклика хаотических систем.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Установлена формальная аналогия метода Крамерса-Хеннебергера и классического метода осреднения. На основе формальной аналогии метода КХ и метода осреднения определены границы применимости метода КХ и получен явный вид эффективного потенциала, описывающего квадратичный штарковский сдвиг невырожденного уровня в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ш6 включительно. Показано, что эффективный потенциал, полученный в рамках квантового рассмотрения, совпадает с классическим, ранее установленным (Карапетян, 1999) в рамках метода Капицы.

2. В широком диапазоне значений параметров поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области вдзкйх частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Построен квазиклассический предел квадратичной восприимчивости, пригодный для вычисления отклика микроканонического ансамбля хаотических систем.

4. Для построения квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и прави6 лах сумм метод й- разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка Н2 включительно.

5. Показано, что члены второго порядка по /г в Й- разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

На защиту выносятся следующие положения.

1. В условиях справедливости дипольного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса.

2. Эффект адиабатической стабилизации существует в области низких частот. Порог эффекта адиабатической стабилизации в этой области степи не зависит от интенсивности поля.

3. Гамильтониан КХ допускает представление в виде асимптотического ряда по параметрам, контролирующим применимость приближения КХ. Учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру 8Ю, где 8Ю - отношение характерной атомной частоты к частоте поля ш, в случае 8 »1, где 5 - отношение характерного размера атома к амплитуде осцилляций свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного пггарков-ского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ю"6 включительно.

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости может быть выражен через классические характеристики движения и использован для вычисления отклика хаотических систем. 7

5. Члены второго порядка по Н в Й - разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

Работа имеет следующую структуру.

• В главе 1 рассмотрены особенности эффекта адиабатической стабилизации. Обсуждаются эффекты, связанные с включением поля. Определяются границы применимости приближения КХ для существенно квантовых и квазиклассических систем на основе формальной аналогии с классическим методом осреднения, четкие границы применимости которого устанавливает теорема Боголюбова. Результаты сопоставляются с данными численных и лабораторных экспериментов и с ранее полученными условиями применимости приближения ЮС. В широком диапазоне значений поля и системы определяются области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности поля. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

• В главе 2 рассмотрена задача о построении высших поправок к приближению КХ. Показано, что в случае поля линейной поляризации учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру ей = {р./со) , П = а - характерные параметры потенциала) при 8 »1 определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного пггарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до о-6 включительно.

• В главе 3 рассматривается квазиклассический предел % -> 0 квадратичной восприимчивости автономных гамильтоновых систем к гармо8 нически зависящему от времени внешнему полю. Для вычисления предела предложен основанный на соотношениях: симметрии и правилах сумм метод %- разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка ft2 включительно. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через классические характеристики движения и пригоден для определения отклика хаотических систем.

• В разделе заключение сформулированы основные выводы. Расширенная формулировка выводов содержится в последнем разделе каждой главы.

• Общий объём диссертации составляет 101 страницу, включая 9 рисунков и список литературы из 125 наименований.

Результаты работы сопоставляются с данными компьютерных экспериментов, любезно предоставленных автору сотрудником ОМЭ НИИЯФ

МГУ к.ф.м.н. Е. А. Волковой.

Результаты работы доложены на

• конференции SILAPIV (Super-Intense Laser-Atom Physics), Россия, 1995;

• конференции ICONO XVI (International Conference on Coherent and Nonlinear Optics), Москва, Россия, 1998;

• конференции ФЛС-XVI (Фундаментальная атомная спектроскопия), Звенигород, Россия, 1998;

• научной сессии МИФИ-2000, Москва, Россия, 2000,

• семинаре "Многофотонные процессы" ИОФРАН.

• семинаре ОМЭ НИИЯФ МГУ.

По материалам диссертации опубликованы статьи [31, 34, 39, 40, 59, 124,

125] 9

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Границы применимости метода Крамерса-Хеннебергера (КХ) определены для квантовых (при больших значениях параметра Риса) и квазиклассических систем на основе формальной аналогии этого метода с классическим методом осреднения, В рамках единого подхода показано, что в условиях справедливости дипольного приближения приближение КХ является асимптотически точным в пределе Сверхатомных полей при больших значениях параметра Риса и в пределе высоких частот.

2. В широком диапазоне значений поля и системы определены области существования эффекта адиабатической стабилизации. Показано, что порог стабилизации в области низких частот не зависит от интенсивности. Результаты согласуются с данными лабораторных и компьютерных экспериментов по изучению стабилизации атомов.

3. Предложен метод построения высших поправок к приближению КХ, Показано, что учет первой неисчезающей поправки к потенциалу КХ по параметру ею, где еа - отношение характерной атомной частоты к частоте поля са, в случае 6 »1, где 5 - отношение характерного размера атома к амплитуде осцилляций свободного электрона в поле волны, определяет модифицированный потенциал КХ, положение энергетических уровней в котором аппроксимирует величину квадратичного штарковского сдвига невырожденных уровней в высокочастотном поле линейной поляризации с точностью до ш-6 включительно. Предложенный метод также позволяет вычислять сдвиги уровней или поляризуемости потенциала КХ в сверхатомных полях в случае <5 «1.

80

4. Квазиклассический предел квадратичной восприимчивости выражен через классические характеристики движения и пригоден для определения отклика хаотических систем.

5. Для вычисления квазиклассического предела квадратичной восприимчивости предложен основанный на соотношениях симметрии и правилах сумм метод Н - разложений матричных элементов координаты и квантовых частот перехода, реализованный до членов порядка Н2 включительно. Показано, что члены второго порядка по Й в Й- разложениях матричных элементов координаты и квантовых частот перехода не входят в выражение для квазиклассического предела квадратичной восприимчивости.

81

Автор выражает глубокую благодарность А. М. Попову за то, что он обратил его внимание па интересный и допускающий дальнейшее развитие метод Крамерса-Хеннебергера, указал на отсутствие ясности в вопросе о границах применимости этого метода, за огромную поддержку и постоянное внимание к работе, О. В. Тихоновой за плодотворное сотрудничество и полезные обсуждения, Е. А. Волковой за предоставленную возможность сопоставить результаты аналитических оценок с численным экспериментом. Автор также благодарит П. В. Елютина за постановку задачи о квадратичной восприимчивости квазиклассических систем, многочисленные консультации и критические замечания, участников семинара по многофотонным процессам института общей физики РАН за многочисленные полезные обсуждения. Автор выражает глубокую признательность Д. Н. Трубникову, предоставившему возможность завершить написание диссертации по этой теме.

83

Рис.2. Положение основного и первого возбуждённого состояний в потенциале КХ в зависимости от интенсивности излучения (модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма У0- 5 эВ, а =0.1 нм, частота кванта поля Йю =2.5 эВ).

84

Рис.3. Пространственные распределения плотности вероятности в стационарных состояниях 1,2,3,4,5 КХ потенциала для интенсивности излу

16 2 чения Р = 10 Вт/см (модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма ¥0= 5 эВ, а = 0.1 нм, частота кванта поля Но = 2.5 эВ).

86 о 10 20 за 40 г, фс

Рис.5. Временная динамика заселения трёх нижних состояний КХ-потенциала при изменении электрического поля по формуле (1.5) для tj■=6Г (а) и *у=14Г(б). Интенсивность излучения Р = 1016 Вт/см2. модельный потенциал: прямоугольная потенциальная яма Ув = 5 эВ, а =0:1 нм, частота кванта поля Йо> =2.5 эВ).

87

88

Рис. 7. Область параметров поля (ограничена жирными линиями), в которой справедливо приближение Крамерса-Хеннебергера в квантовом случае В~ 1 (Р0 = 2.5эВ, а - 0.1нм). Звёздочками отмечены значения параметров поля (й© = 2.5эВ, Р = 3 -1015,1016Вт/см 2), при которых наблюдалась стабилизация в численных экспериментах [31]. Обозначения: 1- условие отсутствия релятивистского дрейфа К0/я = , 2 - условие £ = I (К0/а = F), 3 - условие В = 1, 4 - условие ¿' = 1,5- условие со = €1,6- условие Гаврилы-Каминского Еш/Н& = 1.

90

Рис, 9, Границы применимости метода Крамерса-Хеннебергера в квазиклассическом случае В »1 (У0 = 0.54эВ, а = 1.25нм). Звёздочкой отмечены параметры поля (Иа> = 2 эВ, Р = 1014Вт/см2), при которых наблюдалась стабилизация в эксперименте [17].

Буквами БР обозначена область (ограничена прямыми 1,2,3,4) параметров поля, в которой приближение КХ применимо в пределе сильных полей (F»F0/a). Буквами Ш7 обозначена область (ограничена прямыми 1,2) параметров поля, в которой приближение КХ применимо в пределе высоких частот (со » П).

Другие обозначения: 1- условие со-О. (е = 1 для НБ), 2 - условие отсутствия релятивистского дрейфа У0/а = , 3 - условие (■£ = 1 для ББ), 4 - условие ¿> = 1,5- условие = 1.

91

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Н. Б. Делоне, М. В. Фёдоров Многофотонная ионизация атомов: новые эффекты / / УФН, 1989,158(2), 215-253

2. G. Casati, В. V. Chiricov, D. L. Shepelyansky, I. Guarneri Relevance of classical chaos in quantum mechanics: hydrogen atom in monochromatic field / / Phys. Rep., 1987, 154(2), 78-123

3. R. V. Jensen, S. M. Susskind, M. M. Sanders Chaotic ionization of highly excited hydrogen atoms: comparison of quantum and classical theory with experiment //Phys. Rep., 1991,201(4), 1-56

4. H. Б. Делоне, В. П. Крайнев, Д. Л. Шепелянский Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле / / УФН, 1983,140(3), 355-392

5. В. Т. Платоненко, В. В. Стрелков Генерация гармоник высокого порядка в поле интенсивного лазерого излучения / / Квантовая электроника, 1998, 25(7), 582-600

6. М.В. Федоров, Электрой в сильном световом поле, М.: Наука, 199L

7. К. Burnnett, V. С. Reed and P. L. Knight Atoms in ultra-intense laser fields // J. Phys. B, 1993, 26, 561-598

8. Н.Б. Делоне, В.П. Крайнов Стабилизация атома в поле лазерного излучения // УФН, 1995,165(11), 1295-1321

9. П. В. Елютин Проблема квантового хаоса / / УФН, 1988,155(3), 397442

10. G. Casati, I. Guarneri, D. L. Shepelyansky Hydrogen atom in monochromatic field: chaos and dynamical photonic localization / / IEEE J. Quantum Electronics, 1988, 24(7), 1420-1444

11. А. Лихтенберг, M Либерман Регулярная и стохастическая динамика, М.: Мир, 1984.92

12. H. A. Kramers, Les Particles Elémentaires, Report to the Eighth Solvay Conference, Brussels: Editions Stoops (1950).

13. W. C. Henneberger, Perturbation method for atoms in intense laser field / / Phys.Rev.Lett.,1968, 21(12), 838-841

14. M. Pont, N. R. Walet, M. Gavrila, C. W. McCrudy Dihotomy of hydogen atom in superintense, high-frequency laser fields / / Phys. Rev. Lett., 1988, 61(8), 939-942

15. M. Pont and M. Gavrila Stabilization of atomic hydrogen in superintense, high-frequency laser fields of circular polarization / / Phys. Rev. Lett, 1990, 65(19), 2362-2365

16. M. P. de Boer, J. H. Hoogenraad, R. B. Vrijen et al. Adiabatic stabilization against ionization: an experimental study / / Phys. Rev. A, 1994, 50(5), 4085-4098

17. N. J. van Druten, R. S. Constantinescu, J. M. Schins et al. Adiabatic stabilization: observation of the surviving population / / Phys. Rev. A, 1997, 55(1), 622-629

18. M. Pont, M. Gavrila The levels of atomic hydrogen in intense, high-frequency, laser fields // Phys. Lett. A, 1987,123(9), 469-474

19. M. Pont Atomic distortion and ac-Starc shifts of H under extreme radiation conditions / / Phys. Rev. A, 1989, 40(10), 5659-5672

20. M. Pont, N. R. Walet, M. Gavrila Radiative distortion of the hydrogen atom in superintense, high-frequency fields of linear polarization / / Phys. Rev. A, 1990, 41(1), 477-494

21. Q. Su, J. H. Eberly Suppression of ionization and atomic electron localization by short, intense laser pulses / / Phys. Rev. A, 1991,43(5), 2474-247993

22. К. С. Kulander, К. J. Shafer, J. L. Krause Dynamic stabilization of hydrogen in an intense high-frequency, pulsed laser field / / Phys. Rev. Lett., 1991,66(20), 2601-2604

23. R. Grobe, M. V. Fedorov Packet spreading, stabilization, and localization in superstrong fields / / Phys. Rev. Lett., 1992,20(17), 2592-2595

24. E.A. Волкова, A.M. Попов Стабилизация отрицательных ионов в сверхсильных световых полях / / ЖЭТФ, 1994,105(3), 592-600

25. Е.А. Волкова, A.M. Попов, О.В. Тихонова Исследование структуры энергетического спектра в системе "атом + сильное внешнее электромагнитное поле" и ЖЭТФ, 1996,109(5), 1586-1598

26. R. J. Vos, М. Gavrila Effective stabilization of Rydberg states at current laser performances // Phys. Rev. Lett., 1992,68(2), 170-173

27. M. Gavrila and J. Z. Kaminski Free-free tranzitions in intense high-frequency laser field / / Phys. Rev. Lett, 1984,52(8), 613-616

28. J. I. Gersten and M. N. Mittleman The shift of atomic states by laser field / / J. Phys. B, 1976, 9(15), 2561-2572

29. A. M. Popov, O.V. Tikhonova and E. A. Volkova Hydrogen atom in a strong laser field / / Laser Phys., 2000,10(1) (в печати)

30. H. Б. Делоне, В. П. Крайнов, Атом в сильном световом поле, М.: Энергоатомиздат, 1984

31. Е.А. Волкова, А.М. Попов, О.В. Смирнова Стабилизация атомов в сильном поле и приближение Крамерса Хеннебергера / / ЖЭТФ, 1994,106(5), 1360-1372

32. М. Pont, R. Shakeshaft Observability of atomic stabilization in an intense short pulse of radiation // Phys. Rev. A, 1991, 44(7), R4110-411394

33. R.M. Potvliege, P.H.G. Smith Adiabatic stabilization of excited states of H in an intense linearly polarized laser field /1 Phys. Rev. A, 1993, 48(1), R46-R49

34. E.A. Волкова, A.M. Попов, O.B. Смирнова, О.В. Тихонова Возникновение режима стабилизации в сильном лазерном поле и приближение Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 1997,111(4), 1194-1206

35. R. Bhatt, В. Piraux, К Burnett Potential scattering of electrons in the presence of intense laser fields using KH transformation / / Phys. Rev. A, 1988, 37(1), 98-105

36. J. van de Ree, J. Z. Kaminski, M. Gavrila Modified Coulomb scattering in intense, high-frequency laser fields Phys. Rev. A, 1988, 37(11), 4536-4539

37. I. Rabadan, L. Mendez, A. S. Dickinson Elctron scattering in a Yukawa potential in the presence of a high-frequency laser field I I J. Phys. B, 1994, 27(10), 2089-2102

38. M. Gavrila, M. J. Offerhaus, J. Z. Kaminski Elastic scattering from a Yukawa potential in intense, high-frequency laser fields / / Phys. Lett. A, 1986,118(7), 331-335

39. E. A. Volkova, A. M. Popov, and О. V. Smirnova Numerical simulation of electron scattering in a superatomic laser field / / Laser Phys., 1995, 5(4), 883-887

40. E.A. Волкова, A.M. Попов, O.B. Смирнова. Вынужденный тормозной эффект в сверхатомном лазерном поле // ЖЭТФ, 1996,109, 138-150

41. J. Grochmalicki, М. Lewenstein, К. Rzazewski Stabilization of atoms in superintense laser fields: is it real? / / Phys. Rev. Lett., 1991, 66(8), 10381041

42. R. Grobe, С. K. Law Stabilization in superintense fields: a classical interpretation / / Phys. Rev. A, 1991, 44(7), R4U4- R411795

43. В. Sundaram, R. V. Jensen "Scarring" and suppression of ionization in very intense radiation fields / / Phys. Rev. A, 1993, 47(2), 1415-1430

44. F. Benvenuto, G. Casati, D. L. Shepelyansky Classical stabilization of the hydrogen atom in a monochromatic field / / Phys. Rev. A, 1993, 47(2), R786-R789

45. G. Casati, I. Guarneri, G. Mantica Classical stabilization of periodically kicked hydrogen atom / / Phys. Rev. A, 1994, 50(6), 5018-5024

46. R. V. Karapetyan Motion of an atomic electron in a strong laser field / / Laser Phys., 2000,10, (в печати)

47. К. A. H. van Leeuwen, G. van Oppen, S. Renwick, et ai Microvave ionization of hydrogen atoms: experiment versus classical dynamics / / Phys. Rev. Lett, 1985,55(21), 2231-2238

48. J. Grochmaiicki, J. Mostovski, M. Trippenbach Above-threshold ionization of classical atom / / J. Phys. B, 1976,21(9), 1673-1680

49. A. JT. Нефёдов Стабилизация классического атома в сильном переменном поле // ЖЭТФ, 1991,100(3), 803-813

50. J. I. Gersten and М. N. Mittieman Atomic transitions in ultrastrong laser fields / / Phys. Rev. A, 1974,10(1), 74-80

51. С. K. Choi, W. C. Henneberger, F. C. Sanders Intensity dependent ionization potential for H and He in intense laser beams / / Phys. Rev. A, 1974, 9(5), 1895-1897

52. M. В. Федоров, A. M. Мовсесян Интерференционные явления в процессах типа фотоионизации группы когерентно-заселенных ридберговских уровней //ЖЭТФ, 1988,94(3), 51-65

53. J. Н. Hoogenraad, R. В. Vrijen, D. L. Noordam Ionization suppression of Rydberg atoms by short laser pulses / / Phys. Rev. A, 1974, 50(5), 4133413896

54. А. М. Popov, О. V. Tikhonova and Е. A. Volkova Ionization of circular hydrogen-like atomic states in a laser field: comparison of the results of computer simulations and experimental data / / Laser Phys., 1999, 9(5), 1053-1059

55. H. H. Боголюбов, Ю. А. Митропольский Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, М.: Наука, 1974

56. А. X. Найфе Методы возмущений, М.: Мир, 1988

57. В. Ф. Журавлёв, Д. М. Климов Прикладные методы в теории колебаний, М.: Наука, 1988

58. А. М. Popov, О. V. Tikhonova and Е. A. Volkova Applicability of the Kramers-Henneberger approximation in the theory of strong-field ionization // J. Phys. B, 1999, 32(15), 3331-3345

59. П. В. Елютин, О. В. Смирнова О квазиклассическом пределе квадратичной восприимчивости / / ТМФ, 1999,119(1), 93-104

60. P. V. Elyutin Classical susceptibilities of chaotic systems / / Phys. Lett. A, 1997, 233(3), 175-180

61. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц Механика М.:Наука, 1988f>

62. Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц Статистическая физика М.: Наука, 1989

63. П. В. Елютин, частное обсуждение

64. А.А. Krylovetsky, N.L. Manakov, S.I. Marmo Quadratic Stare effect and dipole dynamic polarizabilities of hydrogen-like levels / / Laser Phys., 1997, 7(3), 781-796

65. H. Бломберген Нелинейная оптика, M.: Мир, 1965

66. R. E. Smalley, L. Wharton, D. H. Levy The fluorescence excitation spectrum of rotationally cooled N02 / / J. Chem. Phys. 1975,63,4977-498997

67. H. Koppel, L. S. Cederbaum, W. Domcke Strong nonadiabatic effects and conical intersections in molecular spectroscopy and unimolecular decay: C2#4+ // J. Chem. Phys. 1982, 77(4), 2014-2022

68. E. Haller, H. Koppel, L. S. Cederbaum On the statistical behavior of molecular vibronic energy levels // Chem. Phys. Lett., 1983,101(3), 215-220

69. E. Haller, H. Koppel, L. S. Cederbaum Uncovering the transition from regularity to irregularity in a quantum system / / Phys. Rev. Lett, 1984, 52(12), 1665-1667

70. G. Wunner, U. Woelk, I. Zech Rydberg atoms in uniform magnetic fields: uncivering the transition from regularity to irregularity in a quantum system //Phys. Rev. Lett, 1984, 57(26), 3261-3264

71. I. S. Percival, D. Richards Classical collisions and the correspondence principle / / J. Phys. B, 1970,3, 315-327

72. S. Percival, D. Richards A correspondence principle for strongly coupled states // J. Phys. B, 1970,3,1035-1046

73. Клышко Д.Н. Физические основы квантовой электроники. М.:Наука, 1986

74. P. F. Naccache Matrix elements and correspondence principles / / J. Phys. B, 1972,5,1308-1319

75. H. Б. Делоне, В. П. Крайнов Динамическая поляризуемость высоковозбуждённых водородоподобных состояний / / ЖЭТФ, 1982, 83(6), 2021-2026

76. А. В. Талонов, М. И. Петелин, В. К. Юлпатов Индуцированное возбуждение классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. ВУЗ'ов Радиофизика, 1967,10(9-10), 1414 -145398

77. Э. С. Медведев Формула Ландау-Лившица и принцип соответствиядля квазиклассических матричных элементов / / ТМФ, 1992, 90(2),218.225

78. Физический Энциклопедический Словарь. /Гл. ред.: Б.А. Введенский, Б.М. Вул. Т. 4. М.: Сов. энциклопедия, 1965

79. Квантовая механика. Терминология. (Сборники рекомендуемых терминов; вып. 104). Отв. ред. Н. П. Клепиков М.: Наука, 1985

80. Физическая энциклопедия. /Гл. ред. A.M. Прохоров; т. 4., с. 599. М.: Научн. изд-во "Большая Российская Энциклопедия", 1994

81. А. Б. Мигдал Качественные методы в квантовой теории М.: Наука, 1975

82. Мае лов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики М.: Наука, 1976.

83. В. П. Маслов Асимптотика собственных значений для уравнения Шредингера в одномерном и радиально симметричном случае / / УМН, 1960,15,4(94), 220-221.

84. М. В. Федорюк Асимптотика дискретного спектра оператора w"(x)-k2p(x)w(x) Матем. сб., 1965,68(110): 1, 81-110.

85. J. L. Dunham The Wentzel- Brillouin-Kramers method of solving the wave equation / / Phys. Rev., 1932, 41(6), 713-720

86. P.N. Argyres The Bohr Zommerfeld quantization rule and the Weyl cor-respondense / / Physics, 1965,2(3), 131-139

87. R.N. Kesarvani, Y.P. Varshni Five term WKBJ - approximation / / J. Math. Phys, 1980,21(1), 90-92

88. С. M. Bender, K. Olaussen, P. S. Wang Numerological analysis of the WKB approximation in large order / / Phys. Rev. D, 1977, 16(6), 1740174899

89. А. Эйнштейн Собрание научных трудов, т.З, с.407, М.: Наука, 1966

90. Langmuir The structure of the helium atom / / Phys. Rev., 1921,17(3), 339-353о

91. JI. Д. Ландау, Е. M. Лш&ииц Квантовая механика. Нерелятивистская теория, М.: Наука, 1989

92. J. J. Morehead Semiclassical integrable matrix elements Phys. Rev. A, 1996,53(3), 1285-1294

93. Г. Вейль Квантовая механика и теория групп М.: Наука, 1986

94. С. П. Гореславский, Н. Б. Делоне, В. П. Крайнов Вероятности радиационных переходов между высоковозбуждёнными атомными состояниями // ЖЭТФ, 1982, 82(6), 1789-1796

95. M. G. Gutzwiller Periodic orbits and classical quantization conditions / / J.Math.Phys, 1971,12(3), 343-358

96. A. Yoros Unstable periodic orbits and semiclassical quantization / / J.Phys. A, 1988,21(3), 685-692

97. D. Wintgen Semiclassical path-integral quantization of nonintegrable hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett, 1988,61(16), 1803-1806

98. M. G. Gutzwiller The quantization of a classically ergodic system / / Physica D, 1982,5(2-3), 183-207

99. Ф. Дайсон Статистическая теория энергетических уровней сложных систем М.: Иностранная литература, 1963

100. С. Смейл Дифференцируемые динамические системы / / УМН, 1970,25(1), 113-185101. 3. Нитецки Введение в дифференциальную динамику М.: Мир, 1975

101. S. Tomsovic, Е. J. Heller Semiclassical construction of chaotic eigenstates // Phys. Rev. Lett, 1993, 70(10), 1405-1412100

102. S. Tomsovic, E. J. Heller Long-time semiclassicai dynamics of chaos: the stadium billiard // Phys. Rev. E, 1993, 70(1), 282-299

103. W. McDonald, A. N. Kaufman Spectrum and egenfunctions for a hamil-tonian with stochastic trajectories If Phys. Rev. Lett, 1979, 42(18), 11891191

104. E. J. Heller Bound-state egenfanctions of classically chaotic hamiltonian systems: scars of periodic orbits / / Phys. Rev. Lett, 1984, 53(16), 15151518

105. Г. M. Заславский Стохастичность динамических систем М.: Наука, 1984

106. М. Feingold, A. Peres Distribution of matrix elements of chaotic systems 11 Phys. Rev. A, 1986, 34(1), 591-595

107. M. Wilkinson A semiclassicai sum rule for matrix elements of classically chaotic systems / / J. Phys. A, 1987, 20(9), 2415-2423

108. P. V. Elyutin, J. Shan Susceptibility of chaotic systems to perturbations / / Phys. Rev. Lett, 1996, 77(25), 5043-5045

109. G. P. Berman, G. M. Zaslavsky Condition of stochasticity in quantum system // Physica A, 1978, 91(4-5), 450-460

110. G. M. Zaslavsky Stochasticity in quantum systems / / Phys. Rep., 1981, 80(3), 157-250

111. G. Casati, В. V. Chirikov, О. V. Zhirov Existence о a long time scale in quantum chaos / / Phys. Rev. E, 1997, 55(6), 7757-7758101

112. W. H. Zurek Pointer basis of quantum apparatus: into what mixsture does the wave packet collapse? // Phys. Rev. D, 1981,24(6), 1516-1525

113. W. H. Zurek, J. P. Paz Decoherence, chaos and the second law / / Phys. Rev. Lett, 1994, 72(16), 2508-2511

114. A. R. Kolovsky Condition of correspondence between quantum and classical dynamics for a chaotic system / / Phys. Rev. Lett, 1996, 76(3), 340343

115. В. И. Татарский Вигнеровское представление квантовой механики / / УФН, 1983,139(4), 578-619

116. А. С. Давыдов Квантовая механика М.: Наука, 1973

117. Г. А. Бете Квантовая механика М.: Мир, 1965

118. S. Scandolo, F. Bassani Kramers-Kronig relations and sum rules for the second harmonic susceptibility // Phys. Rev. B, 1995, 51(11), 6925-6927.

119. M. Bianucci, R. Mannela, B. J. West, P. Grigolini Chaos and linear response: analysis of the short, intermediate and long-time regime / / Phys. Rev. E, 1994, 50(4), 2630-2638

120. Sh. Mukamel, V. Khidekel, V. Chemyak Classical chaos and fluctuation-dissipation relations for nonlinear response // Phys. Rev. E, 1996, 53(1A), R1-R4

121. В. П. Mac лов Асимптотические методы и теория возмущений М.: Наука, 1988.

122. O.V. Smirnova Applicability Boundaries of the Kramers-Henneberger Approximation in the Quasi-Classical Region / / Laser Physycs, 2000, 10(2).

123. О. В. Смирнова О применимости приближения Крамерса-Хеннебергера // ЖЭТФ, 2000,117(4), 702-709