Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Дымарский Анатолий Яковлевич

Квазиклассические решения в суперсимметричных и некоммутативных моделях квантовой теории поля

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена па физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва.

Научный руководитель: д. ф.-м. н. профессор В.Ч. Жуковский

(МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва)

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н. И.Я. Арефьева

(Математический Институт им. В. А. Стеклова РАН, г. Москва)

Ведущая организация: ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка

Защита состоится "2-/" декабря 2006 г. в /&_ часов минут на заседании диссертационного совета К.501.201.17 МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Воробьевы горы, д. 1, стр. 2, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан: " 19" ноября 2006 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

д. ф.-м. н. Ю.М. Макеенко (ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

доктор физико-математических наук

П.А. Поляков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Современная физика высоких энергий и физика элементарных частиц стоят перед неким рубежом, обусловленным отсутствием новых экспериментальных фактов, не укладывающихся в рамки Стандартной Модели (СМ). Однако СМ не дает полностью удовлетворительное описание фундаментальных взаимодействий в силу сложности конструкции и наличия большого количества параметров, фиксируемых экспериментом. Некоторую ясность, по-видимому, внесет Большой Ускоритель Адронов (ЬНС), который выведет экспериментальные наблюдения в область энергий порядка ТэВа. С этим экспериментальным проектом связывают большие надежды на нахождение "физики за пределами СМ", то есть неких новых эффектов и явлений, не укладывающихся в рамки существующих представлений. Целый ряд других экспериментов, таких как измерение силы гравитационного взаимодействия на сверхбольших и сверхмалых расстояниях, также направлен на нахождение "новой физики".

В качестве наиболее вероятных кандидатов на роль расширения СМ претендуют суперсимметричные обобщения СМ и теории поля с нарушенной лоренцевой симметрией. В связи с этим изучению этих теорий на сегодняшний день отводится особая роль.

Дополнительным стимулом к исследованию суперсимметричных теорий поля является их богатая динамика, в том числе нарушение киральной симметрии и конфайнмент. Это делает их похожими на квантовую хромоди-намику (КХД) - еще одно центральное направление в современной физике высоких энергий. В результате на сегодняшний день асимпотически свободные суперсимметричные теории с богатой структурой вакуума и низкоэнергетическим спектром являются своего рода полигоном для отработки теоретических методов, позволяющих изучать низкоэнергетическую динамику возможных расширений СМ.

Интерес к теориям с нарушением лоренцевой инвариантности, в свою

очередь, объясняется попытками описать поведение физических систем на сверхбольших и, возможно, сверхмалых масштабах. Напомним, что однородность пространства на таких масштабах не является экспериментально установленным фактом. Более того, однородное на больших масштабах электромагнитное поле с необходимостью нарушит однородность пространства и происходящих в нем физических процессов. Некоммутативные теории, грубо говоря, являются эффективным описанием "обычных" коммутативных теорий в присутствии сильного однородного магнитного поля. Таким образом, некоммутативные теории это "предельный случай" нарушения лоренце-вой симметрии внешним фоном. При этом возникает колибровочная группа симметрий, включающая в себя группу симметрий пространства. В последнее время некоммутативные теории являются все более и более популярным предметом для изучения, так как они могут очертить круг новых эффектов, возникающих в силу отказа от требования однородности пространства. На сегодняшний день этому предмету посвящена богатая литература, в том числе и публикации, обсуждающие экспериментальные ограничения на так называемый "параметр некоммутативности".

Наиболее существенной сложностью при изучении суперсимметричных и некоммутативных теорий (а также других теорий, предположительно описывающих "новую физику") является ограниченность используемого теоретического аппарата. Как правило, интересные эффекты возникают в режиме сильной связи и имеют непертурбативную природу. Это сильно ограничивает применимость стандартных методов, таких как пертурбативное (фейнма-новское) разложение по константе связи или квазиклассическое приближение. Более того, сложный формализм обсуждаемых теорий не всегда позволяет строго определить границы применимости того или иного метода. В связи с этим развитие или новое применение известного теоретического метода к некоммутативным и суперсимметричным теориям представляет определенный интерес.

Данная диссертационная работа посвящена применению квазиклассического метода к некоммутативным и суперсимметричным моделям квантовой теории поля. Рассматриваемые проблемы существенно отличаются как по физическому контексту, так и по используемому формализму. Исполь-

зуя квазиклассический метод (в частности, с помощью квазиклассических решений для рассматриваемых теорий), подтверждаются результаты, полученные ранее стандартными методами, а также получается целый ряд оригинальных результатов. Таким образом, обосновывается адекватность и применимость квазиклассического метода для рассматриваемых теорий.

Особенностью некоммутативных теорий поля является наличие дополнительного размерного параметра — "параметра нскоммутативности" который является невырожденным тензором второго ранга. Лагранжиан простейшей некоммутативной теории строится из лагранжиана обычной теории следующим образом: все операции умножения заменяются на ассоциативную, но не коммутативную операцию умножения "звездочка", определенную следующим образом:

г0>~ -

/*д(х) = е в"^/Ы)д(х2)\Х1^х = /-д+{/,д} + 0(в2) , (0.1)

где {} — скобки Пуассона, определенные с помощью 0м". Умножение звездочка (0.1) является нелокальным, так как включает в себя бесконечное количество производных. В связи с этим понятие частицы как локализованного точечного объекта уже не представляется удовлетворительным. Это подтверждает квантование даже простейшей теории с взаимодействием

/

дф * дф — \ф * ф * ф * ф . (0-2)

Как известно, ультрафиолетовые расходимости обычной квантовой теории поля определяются взаимодействием частиц на малых расстояних, то есть имеют локальный характер. Однопетливое рассмотрение данной теории показывает, что некоторые ультрафиолетовые рассходимости становятся конечными, но при этом зависят от инфракрасных расходимостей. Буквально, рассходимость зависит и от ультрафиолетового, и от инфракрасного масштаба Рц

Это явление получило название ЧУ/Ш смешивание. Из приведенной формулы видно, что эффективный ультрафиолетовый масштаб включает в себя

все степени импульса и не является локальным. В свете выше изложенного вопрос об описании некоммутативной теории в локальных терминах, то есть в терминах интегралов по траекториям отдельных частиц, приобретает особый интерес. Ответ оказывается положительным — данное описание возможно, однако в фазовом, а не в конфигурационном пространстве. Построению данного формализма посвящена вторая глава диссертационной работы.

Отдельный интерес вызывают попытки описывать некоммутативную теорию в классических терминах. Так, например, классические солитоны в некоммутативном случае локализованы и имеют конечный радиус. Во второй главе мы рассматриваем классическую траекторию некоммутативной частицы на фоне постоянного электромагнитного поля и показываем, что квазиклассический подход дает правильное описание квантовых эффектов распада ложного вакуума.

Другое интересное направление связано с недавно введенным дуальным описанием квантовых теорий поля с помощью десятимерных теорий супергравитации, находящихся в классической фазе (так называемая gauge/string duality). В связи с общей логикой этого подхода динамика некоторой четырехмерной квантовой теории полностью "закодирована" в классической динамике легких полей дуальной теории, таких как гравитон, дилатон и т.д. Глобальные симметрии калибровочной теории являются также и глобальными симметриями десятимерного гравитационного решения, а лагранжиан теории поля "закодирован" в его геометрических свойствах. Если же гравитационное решение не полностью нарушает суперсимметрию, то и теория поля оказывается суперсимметричной. Таким образом, изучение геометрических свойств классических решений десятимерной супергравитации определяет класс теорий поля, для которых дуальное описание может быть явно сконструировано.

Самым простым примером дуальности между теорией поля и гравитацией являются примеры гравитационных решений типа AdSs х Г = Е4 х М&, где Т — пятимерное многообразие типа Сасаки-Эйнштейна, а М, таким образом, коническое Калаби-Яу. Все решения подобного рода дуальны конформным теориям поля, что все же достаточно далеко от практических при-

ложений. Изучение более сложных геометрий, однако, позволяет сконструировать асимптотически-свободные примеры. Особенно важным является вопрос динамического нарушения суперсимметрии, так как, предположительно, наш мир описывается суперсимметричным расширением СМ в фазе динамического нарушения суперсимметрии. Исследовать данный вопрос в терминах теории поля либо очень сложно, либо просто невозможно в силу неприменимости пертурбативных методов. Дуальное описание дает очевидные преимущества, поскольку изучаемая теория находится в классической фазе и вопрос наличия суперсимметрии сводится к нахождению спинора Киллинга, удовлетворяющего системе линейных дифференциальных уравнений

ф + Ш Г'Ч"'"5Г"Ф + (0'4)

+ (Г - 95^ Г"**) Ф* = 0 ,

■^Чихмзмз = 9s2 4- igi Fpy,l2lJ3 .

В данной диссертационной работе подробно обсуждается обобщение сингулярного конифолда

¿>? = 0, (0.5)

i=1

который соответствует SU(2) х 5(2) инвариантной N = 1 супермимметрич-ной конформной теории поля с калибровочной группой SU(N) х SU(N). Обобщение сингулярного конифолда, так называемый деформированный ко-нифолд

= ~ (0-6)

¿=1

соответствует суперсимметричной теории со сложной структурой потока ре-нормализациоиной группы (так называемый каскад), который ведет к кон-файнменту при низких энергиях. Соответствующее решение имеет вид "искаженного" (warped) произведения четырехмерного пространства-времени

М4 и Калаби-Яу М (0.6) с риччи-плоской метрикой на нем

Л* = Н-^&в* + . (0.7)

Так как многообразие М есть многообразие Калаби-Яу, решением уравнений Киллинга (0.4) является ковариантно постоянный спинор многообразия М тензорно помноженный на четырехмерный спинор необходимой кираль-ности. Однако в более сложных ситуациях, когда многообразие М не является многообразием специальной голономии, нахождение решения для (0.4), которому посвящена третья глава диссертации, представляет собой интересную задачу математической физики с ясным физическим смыслом.

Другой метод исследования N = 1 суперсимметричных теорий состоит в отыскании дуальных описаний в терминах матричных моделей. Это новое перспективное направление уже позволило получить точное описание вакуумных ожиданий киральных операторов и породило целую серию работ, посвященных кольцу киральных операторов. Основная идея этого подхода состоит в том, что в силу особенностей реализации алгебры суперсимметрии в этом случае вакуумное ожидание киральных операторов

= (0-8)

не зависит от точек их месторасположения х\,.., хп. Таким образом, коррелятор есть просто число, зависящее от квантовых чисел операторов Яи-чЯп- Оказывается, числовое значение этого коррелятора, по крайней мере для операторов определенного вида <3п = Тг(Ф"), можно вычислить в рамках матричного интеграла как некий многотрейсовый коррелятор. Более того, с помощью того же матричного интеграла можно вычислить и эффективный суперпотенциал теории. Если исходная теория задавалась с помощью древесного суперпотенциала 1У(Ф), где

^Чх) = ~ «О = ~ > £а| = 0, (0.9)

то эффективный суперпотенциал \VcffiSi, «¿), зависящий от конденсата глю-онных полей Si и параметров затравочного потенциала щ, дается следующим выражением:

= (0.10) 1 *

В свою очередь, Р есть пленарный вклад в свободную энергию эрмитовой матричной модели Ё

-I <»")

в плапарном квазиклассическом пределе д$ —» 0. Значения глюонных полей 5» зависят от выбора классического вакуума матричной модели Фо.

Предложенный метод, как видно из вышесказанного, является исключительно интересным и инновационным. Важным является то, что подобно дуальности, обсуждавшейся ранее, матричная модель также должна рассматриваться в квазиклассическом режиме. В данной диссертационной работе мы обсуждаем свойства седловой точки матричного интеграла — квазиклассического решения в матричной теории, - тем самым продолжая рассмотрение применения квазиклассического метода к суперсимметричным теориям поля.

Научная новизна

В рамках данной дисертации получен ряд новых результатов. В том числе построен первично-квантованный формализм для полей произвольного спина в некоммутативном пространстве, взаимодействующих с калибровочными полями.

Вычислена вероятность рождения пар некоммутативных скалярных частиц на фоне однородного электрического поля в квазиклассическом приближении. Найденный ответ совпадает с полученным в рамках стандартного теоретико-полевого формализма, что подтверждает применимость квазиклассического метода к задачам некоммутативной теории квантовых полей.

Найдено явное решение для генератора десятимерной ПВ супергравитации (спинор Киллипга) в случае деформированного невырожденного копи-фолда в линейном порядке по параметру, снимающему вырождение. Полученное решение для спинора Киллинга имеет линейно-независимые коэффициенты при майорановских компонентах и, таким образом, отвечает новому классу решений НВ супергравитации. Соответствующее многообразие (деформированный невырожденный конифолд) является одним из немногих явных известных примеров многообразия типа обобщенного Калаби-Яу.

Получены новые соотношения, связывающие переменные, характеризующие вакуум матричной модели, с параметрами матричной модели дуальной N = 1 суперсимметричной теории поля. Пользуясь соотношением дуальности, данные уравнения интерпретированы в терминах значений глюонного конденсата в квантовой теории поля. В результате получено дифференциальное уравнение, связывающее эффективный препотенциал и его производную по масштабу.

Дифференциальное уравнение на препотенциал интерпретируется как уравнение ренормгруппы в эффективной низкоэнергетической теории.

Практическая и научная ценность

Предложен новый метод исследования некоммутативных квантовых теорий поля и развит соответствующий формализм. В рамках данного формализма показана применимость квазиклассического метода, существенно упрощающего вывод результатов, ранее полученных в рамках стандартного теоретико-полевого подхода.

Решено уравнение для спинора Киллинга на деформированном невырожденном конифолде в линейном порядке по параметру, снимающему вырождение. Данный результат может быть использован для дальнейшего изучения гравитационного решения, в том числе для построения суперсимметричных вложений 15-бран, удовлетворяющих уравнению так называемой асимметрии. Это направление исследований представляет интерес, так как упомянутые -О-браны являются дуальными объектами для композитных и непертурбативных операторов в 81/(2) х 5{7(2) инвариантной А/" = 1 суперсимметричной асимптотически свободной теории поля.

В рамках недавно сконструированного дуального описания N = 1 суперсимметричной теории калибровочного поля найдено новое дифференциаль-, ное соотношение на эффективный предпотенциал. Этот результат является новым так как его вывод в рамках стандартной квантовой теории поля до сих пор не был известен. Тем самым расширена область применения дуальных теорий для количественного описания низкоэнергетического предела суперсимметричных теорий поля.

Апробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаг pax кафедры теоретической физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, теоретических семинарах ИТЭФ, на семинаре отделения теоретической физики университета Уппсалы (Uppsala, Sweden, 2003), а также международных школах и конференциях «XII летняя школа-семинар Волга 2001» (Казань, 2001), «Ломоносов 2002«. (Москва 2002), «XXXIITEP Winter School of Physics», (Москва 2003).

По теме диссертации опубликовано 3 работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список литературы содержит около 130 наименований. Общий объем диссертации составляет 100 страниц.

Краткое содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность решаемых в работе задач, а также содержит обзор литературы и современных методов, используемых в исследовании.

Вторая глава диссертации посвящена развитию первично квантованного формализма для некоммутативных моделей квантовой теории поля. Дается краткое введение в предмет, а также вводятся необходимые определения и обозначения. Приводятся основные положения первично квантованного формализма применительно к стандартным моделям КТП, а также выражение для фейнмановского пропагатора скалярного поля Клейна-Гордона-Фока в виде интеграла по траекториям отдельной частицы в конфигурационном и в фазовом пространствах.

Этот результат обобщается на случай некоммутативного скалярного поля. Показано, что описание некоммутативной теории не является локальным в конфигурационном пространстве, но может быть представлено как локальное в фазовом пространстве. Дан вывод следующей формулу для оде-

того пропагатора частицы с гамильтонианом Н(р,х), распространяющейся в некоммутативном пространстве, определенном с помощью (0.1)

в(х,у)= / <1Т Jo

5= [ - Н^х» . (0.13)

В случае частицы, взаимодействующей с калибровочным полем А^, гамильтониан равен

Н(р, х) = (р - еА(х))2 - т2 . (0.14)

Выражение (0.13) в таком случае дает набор древесных диаграмм, описывающих взаимодействие кванта скалярного поля с классическим электромагнитным полем.

Данный формализм обобщается на случай поля произвольного спина. Выражение для фейнмановского пропагатора в этом случае выглядит даже в коммутативном случае весьма сложно в силу наличия дополнительной структуры — спина частицы. В коммутативном случае выражение для функции Грина было получено в работах Алексеева, Фаддеева и Шаташвили, а также Нильсона и Рохрлиха (№е1зоп, КоЬгНсЬ). Обобщение на некоммутативный случай выглядит следующим образом:

оо

С = ! <1Те~"пТ ! о

Развитый формализм далее применяется для вычисления вероятности распада ложного вакуума теории в присутствии сильного электрического поля. Аналогично коммутативному случаю для этого необходимо найти квазиклассическую траекторию, минимизирующую (0.13) в пространстве Евклида. Классическое действе на дайной траектории определит вероятность рождения пар. Оказывается, что в однородном поле

А. = (о.1б)

ответ зависит от калибровочного инварианта (относительно некоммутативной калибровочной группы)

Р^ = В^ + ^'"'В^В^ . (0.17)

[ VxVpeiS , (0.12)

Дальнейшие вычисления показываеют, что зависимость вероятности распада ложного вакуума от некоммутативной напряженности (0.17) такая же, как и в коммутативном случае

е2\Е\2 ^ (~1)п+1 , тгпт2. „ ~ ,Л ч

™ = Е еЕ<= (0Л8)

Третья глава диссертации посвящена изучению геометрических свойств невырожденного деформированного конифолда и нахождению соответствующего спинора киллиига (см. уравнение (0.4)). Невырожденный деформированный конифолд — это некомпактное трехмерное комплексное многообразие, заданное уравнением (0.6). Это многообразие имеет тривиальный первый класс Черна и допускает кэлерову структуру. Таким образом, это многообразие является многообразием Калаби-Яу и называется деформированным конифолдом. Спинор Киллиига Фо, соответствующий решению Клебанова-Штрасслера (решению, построенному на деформированном ко-нифолде), может быть выражен через ковариантно постоянный спинор Калаби-Яу 1ро и постоянный киральный четырехмерный спинор £

Фо = /г"1/8е®^о- (0-19)

Деформированный конифолд обладает ^ симметрией. Оказывается, есть непрерывное семейство деформаций, параметризующееся параметром д, снимающее вырождение по '¿2 (г>2 переводит д в — д). Соответствующее многообразие для ненулевых д называется невырожденным деформированным конифолдом (ДНК). В третьей главе показано, что обсуждаемая деформация не кэлерова и, соответственно, ДНК есть обобщенное Калаби-Яу. Кроме того, получен также спинор киллинга для ДНК в первом порядке по д, который имеет вид

Ф = Ф0 + гдЛ1/2Ф5 . (0.20)

Четвертая глава диссертации посвящена изучению планарного вклада в свободную энергию матричной модели (0.11), предложенной Дижграфом и Вафой (Н.Бук^гааГ, С. для описания Л/" = 1 суперсимметричных

теорий. Рассматривая матричную модель в квазиклассическом (планарном)

пределе и анализируя "классические уравнения движения" (петлевое уравнение), двумя разными способами доказано тождество

справедливое в точке классического экстремума эффективного потенциала

и F обозначает планарный вклад в свободную энергию матричной модели. Соотношение (0.21) далее интерпретируется как ренормализационно-групповое уравнение для эффективной теории в дуальном описании.

В заключении приводятся общие выводы и перечислены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертации

Построено первично-квантованное описание некоммутативной квантовой теории поля произвольного спина, взаимодействующего с классическим электромагнитным полем. Найден гамильтониан "некоммутативной" частицы и построено описание взаимодействующей некоммутативной квантовой теории поля в терминах интегралов по траекториям отдельных частиц.

Развитый формализм применяется для нахождения вероятности рождения пар некоммутативных частиц в присутствии постоянного электрического поля, т.е. вероятности распада ложного вакуума в единице объема за единицу времени.

Найдено явное решение для спинора Киллинга на невырожденном деформированном конифолде. Таким образом, показана суперсимметричность соответствующего низкоэнергетического решения теории суперструн типа IIB. Показано, что соответствующее шестимерпое многообразие компактифика-ции является комплексным, но не обладает кэлеровой структурой. Последнее подтверждает гипотезу о том, что данное многообразие является обобщенным Калаби-Яу.

(0.21)

(0.10)

(0.22)

С помощью дуального (квазиклассического) описания N=1 суперсиммст-ричной теории Янга-Миллса найдено новое уравнение, связывающее вакуумные ожидания полей в низкоэнергетическом пределе. Полученное соотношение интерпретируется как аналог ренормализационно-группового уравнения эффективной низкоэнергетической теории.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] A. Dymarsky

«Noncommutative field theory in formalism of first quantization»// Phys.Lett., B527 (2002) 125-130

[2] A. Dymarsky, V. Pestun

«On the property of Cachazo-Intriligator-Vafa prepotential at the extremurn of the superpotentiab// Phys.Rev. 11, D67 (2003) 125001

[3] А.Я. Дымарский, В.Ч. Жуковский

«Точное решение уравнения для спинора Киллинга на невырожденном деформированом конифолде» // Вестник МГУ, сер. Физика-Астрономия, 6 (2006)

[4] А.Я. Дымарский

«Эффективное действие для Рамон-Рамоновский полей на D-бранах» // Тезисы Международной конференции Ломоносов 2002, Москва 2002

Подписано в печать 20.11.2006 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 555 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

1 Введение

2 Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования

2.1 Некоммутативные теории поля и теории поля с нарушением лорепцевой симметрии

2.2 Введение в теорию некоммутативных полей.

2.2.1 Вторичное квантование некоммутативных полей. UV/IR смешивание

2.2.2 Классические объекты в некоммутативных теориях поля.

2.3 Основные формулы теории первичного квантования.

2.3.1 Случай скалярного поля.

2.3.2 Случай некоммутативного скалярного поля.

2.3.3 Теория первичного квантования для некоммутативных спинорных полей.

2.4 Нестабильность вакуума и рождение пар в присутствии постоянного электрического поля.

2.4.1 Случай скалярной электродинамики во внешнем поле.

2.4.2 Случай некоммутативной скалярной электродинамики во внешнем поле.

3 Спинор Киллинга для невырожденного деформированного конифолда

3.1 Обзор дуальности (соответствия) между гравитацией и калибровочной теорией поля.

3.1.1 AdS/КТП соответствие.

3.1.2 Решение Клебанова-Штрасслера

3.2 Уравнение Киллинга и наличие суперсимметрии решения уравнений супергравитации

3.3 Спинор Киллинга в случае решения Клебанова - Штрасслера.

3.3.1 Сингулярный конифолд.

3.3.2 Деформирующий фактор.

3.3.3 Неве-Шварц и Рамон-Рамоновские формы.

3.4 Невырожденный деформированный конифолд.

3.4.1 Доказательство отсутствия Кэлеровой структуры на невырожденном деформированном копифолде.

3.5 Спинор Киллинга на невырожденном деформированным конифолде . 58 3.5.1 Заключение.

4 О вакууме в эффективной низкоэнергетической суперсимметричной Я =

1 калибровочной теории Янга-Миллса

4.1 Эффективное действие в N = 2 суперсимметричных калибровочных теориях

4.1.1 Введшие.

4.1.2 Решение Зайберга-Виттеиа для Я = 2 SU(2) калибровочной теории

4.1.3 Низкоэпергетическое действие для Я = 2 SU(iV) теории.

4.2 Теория с Я = 1 суперсимметрией и калибровочной группой U(N).

4.2.1 Низкоеэнсргетическое действие для Я = 1 теории.

4.2.2 Дуальное описание Я = 1 U(iV) теории в терминах матричной модели

4.2.3 Постановка задачи в эффективной теории.

4.3 Доказательство соотношения на Я = 1 эффективный препотепциал, выполняющееся в точке экстремума эффективного суперпотенциала.

4.3.1 Метод петлевого уравнения.

4.3.2 Доказательство с помощью тождества Римана

Предметом изучения современной теоретической физики и физики высоких энергий является динамика квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы. При этом наибольший интерес представляют так называемые непертурбативные явления в области сильной связи, то есть такие явления, для описания которых необходимо учитывать нетривиальные вклады в функциональный интеграл. Интерес к этим явлениям легко объясним - теория пертурбативных эффектов хорошо разработана и их изучение не представляет какой-либо сложности, по крайней мере, принципиальной.

Роль квазиклассических методов при изучении квантовых систем с бесконечным количеством степеней свободы трудно переоценить, так как они дают интуитивно понятную картину происходящего и, в конечном итоге, позволяют найти приемлемое описание системы. Квантовая природа изучаемого объекта предполагает, что для его корректного описания необходимо просуммировать бесконечное множество вкладов в функциональный интеграл. Наличие бесконечного количества степеней свободы еще сильнее усложняет задачу. При этом описание теряет прозрачность в том смысле, что динамика системы не может быть описана в интуитивно понятных (классических) терминах. Поэтому возможность рассматривать некое классическое решение вместо квантового - большая удача для исследователя и именно это обстоятельство в большом количестве случаев приводит к решению задачи. И наоборот, отсутствие классических объектов часто делает задачу нерешаемой. Так, например, происходит с теорией конфаймента в КХД. Предполагаемые полевые конфигурации, ведущие к конфайменту, не являются классическими седловыми точками действия и потому не поддаются описанию в классических или каких бы то ни было других интуитивно понятных и простых терминах. Как результат эти конфигурации до сих пор не описаны и теория конфаймента далека от завершения.

Следует особо оговорить, что мы будем понимать под квазиклассическими методами. Как уже следует из примера с КХД, классические методы в контексте данной работы это не объекты, возникающие при решении задач классической механики. Под классическими методами мы будем понимать способ свести задачу с бесконечным количеством переменных к задаче с конечным количеством функций от конечного числа переменных. Безусловно, классические - в обычном смысле (то есть неквантовые) - задачи остаются классическими и с точки зрения данного определения. Но некоторые квантовые задачи, как известно, могут быть сведены к квазиклассике. Так, волновая функция гармонического осциллятора может быть найдена квазиклас-сически, в то время как волновая функция вакуума КХД квазиклассической никак не является. Итак, термин "классическое решение" понимается нами как объект, который хорошо определен в терминах конечной математики.

Примеры возникновения квазиклассических решений в современной теоретической физике весьма разнообразны. Фактически они ограничены лишь фантазией исследователя. В данной работе мы остановимся на некоторых из них, более или менее типичных. Самым простым способом сведения квантовой задачи с бесконечным количеством степеней свободы к классическому объекту является квазиклассическое приближение, ВКБ или метод стационарной фазы. Этот метод сводит вычисление функционального интеграла к нахождению решений уравнения движения, то есть, буквально осуществляет переход от "неклассического" объекта к "классическому". Указанный метод является одним из наиболее используемых в арсенале современной теоретической физики. Так, литература только по инстантонным решениям насчитывает более тысячи публикаций. К сожалению, этот метод имеет весьма узкий круг применимости: физическая система либо должна находиться в квазиклассическом режиме, либо обладать достаточным количеством супер-симметрий, чтобы классическое описание было точным. Такая система рассматривается в работе автора [65], где квазиклассическое решение используется не для вычисления функционального интеграла, как обычно, а для нахождения глобальных симметрий (дуальности) квантовой теории.

Еще одним хорошо известным примером возникновения "классического" объекта является невзаимодействующая теория поля. В этом случае применим метод первичного квантования, который сводит многие вычисления к нахождению кратчайших траекторий частиц. Заметим, что невзаимодействующая теория поля не обязательно является тривиальной, поскольку данное определение допускает сколь угодно сложное взаимодействие частиц с классическим фоном. Так, в второй главе мы рассматриваем некоммутативную скалярную электродинамику на фоне постоянных электромагнитных полей. Данная теория является нелокальной в обычном смысле. Тем не менее, мы показываем, что она может быть описана в терминах частиц и вероятность распада: ложного вакуума (в присутствии постоянного электрического поля) дается кратчайшей замкнутой траекторией, то есть седловой точой интеграла по траектории.

Дуальность между суперсимметричными теориями поля и классической гравитацией в AdS5 (так называемая AdS$/CFT) порождает класс примеров, в которых вычисление в квантовой теории поля Я = 4 SYM может быть переформулировано в рамках классической 10d гравитации. Это соответствие допускает обобщение на Я = 1 теории с конфайментом. Одна их таких теорий рассмотрена в главе 3. В этой главе наличие "классической" задачи (существование спинора Киллинга на многообразии) является доказательством наличия суперсимметрии. Кроме того, данный метод позволяет исследовать Кэллерову структуру многообразия компактификации.

Наконец, глава 4 посвящена изучению такого "классического" объекта как потенциал матричной модели в точке перевала. Оказывается, корреляторы киральных операторов в Я = 1 SYM совпадают с корреляторами матричной модели и это дает возможность вывести элегантное тождество, имеющее смысл ренорм-группового уравнения.

Безусловно, данная работа не охватывает все примеры успешного сведения задачи с бесконечным количеством переменных к простым квазиклассическим решениям. В рамках данной работы собраны лишь несколько нестандартных примеров того, как задача квантовой теории поля может быть переформулирована и решена в терминах конечной математики. Данные примеры объединены общей идеей использования квазиклассических решений для описания квантовых задач. Надеемся, предложенный подход окажется продуктивным в долгосрочной перспективе.

Глава 2

Некоммутативные теории поля в формализме первичного квантования

Заключения и выводы

В данной работе мы рассмотрели применение квазиклассического метода к задачам некоммутативной и суперсимметричной квантовой теории поля.

Во второй главе мы предложили новый метод исследования некоммутативных квантовых теорий поля, оснований на интегралах по траекториям отдельных частиц и развили соответствующий формализм. В рамках данного формализма была показана применимость квазиклассического метода, упрощающего вывод многих результатов. В частности, мы показали, как в рамках обсуждаемого формализма квазиклассический метод применяется для вычисления вероятности рождения пар на фоне внешнего классического поля.

Третья глава работы посвящена дуальному гравитационному описанию суперсимметричных теорий поля. Указанная дуальность, как известно, связывает теорию поля в режиме сильной связи с теорией супергравитации в классическим режимоме. Таким образом, исследование геометрических свойств гравитационного решения позволяет сделать вывод о ненарушенности суперсимметрии на барионной ветви пространства модулей Я = 1 теории поля, изучаемой в третьей главе. Соответствующее решение для спинора Киллинга необходимо для дальнейшего изучения гравитационного решения, в том числе для построения суперсимметричных вложений D-бран, удовлетворяющих уравнению, так называемой, к-симметрии. Заметим, что оначенные D-браны являются дуальными объектами для композитных и непертурбатив-ных операторов в SU(2) х SU(2) инвариантной Я = 1 суперсимметричной асимптотически свободной теории поля.

В четвертой главе нами изучено дуальное матричное описание Я — 1 суперсимметричной теории калибровочного поля и применение квазиклассического метода в данном случае. Квазиклассический предел в матричной модели совпадает с планарным пределом, используя который мы находим новое дифференциальное соотношение на эффективный потенциал. Это новый результат, вывод которого в рамках стандартной квантовой теории поля до сих пор не был известен.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Построен первично-квантованный формализм для полей произвольного спина в некоммутативном пространстве взаимодействующих с калибровочными полями.

2. Вычислена вероятность рождения пар некоммутативных скалярных частиц на фоне однородного электрического поля в квазиклассическом приближении. Найденный ответ совпадает с полученным в рамках стандартного теоретико-полевого формализма, что подтверждает применимость квазиклассического метода к задачам некоммутативной теории квантовых полей.

3. Найдено явное решение для генератора десятимерной IIB супергравитации (спинор Киллинга) в случае деформированного невырожденного конифолда в линейном порядке по параметру снимающему вырождение. Полученное решение для спинора Киллинга имеет линейно-независимые коэффициенты при майорановских компонентах и, таким образом, отвечает новому классу решений IIB супергравитации. Соответствующее многообразие (деформированный невырожденный конифолд) является многообразием типа обобщенного Калиби-Яу.

4. Найдено уравнение на эффективный низкоэнергетический предпотенци-ал для суперсимметричных N = 1 калибровочных теорий, выполняющееся в точке экстремума соответствующего эффективного суперпотенциала.

В заключение мы также укажем возможные направления развития затронутых тем:

• Исследование непертурбативных эффектов некоммутативных теорий поля и зависимости UV/IR смешивания от способа перенормировки.

• Дальнейшее исследование геометрических свойств компактификаций теории струн типа ИВ. Построение свободных от сингулярности решений, основанных на других многообразиях типа Сасаки-Эйнштейна (Yp,q и другие).

• Обобщение эффективного низкоэнергетического описания, основанного на матричной модели, на некиральные операторы.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю и соавтору В.Ч.Жуковскому за плодотворные дискуссии и неоценимую помощь в написании данной работы. Без всемерной поддержки научного руководителя эта работа не была бы написана. Отдельно мне хотелось бы поблагодарить моего соавтора В.С.Пестуна, а также других специалистов, помогавших мне в работе: Э.Т.Ахмедова, А.С.Горского, Д.Г.Мельникова, А.Д.Миронова, А.Ю.Морозова и К.Г.Селиванова.

1. N. Seiberg and E. Witten, String theory and noncommutative geometry // JHEP- 1999. - v9909. - n032. - arXiv:hep-th/9908142].

2. A. Connes, Noncommutative geometry // Academic Press 1994.

3. A. Y. Dymarsky, Noncommutative field theory in formalism of first quantization // Phys. Lett. В 2000. - v527. - pl25-130. - arXiv:hep-th/0104250].

4. I. Y. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and 0. A. Rychkov, Renormalizability And Uv/Ir Mixing In Noncommutative Theories With Scalar Fields // Phys. Lett. В 2000. - v487. - p357-365.

5. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov, A. S. Koshelev and O. A. Rytchkov, UV/IR mixing for noncommutative complex scalar field theory. II: Interaction with gauge fields // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2001. - vl02. - pll-17. - arXiv: hep-th/0003176].

6. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov and A. S. Koshelev, A note on UV/IR for noncommutative complex scalar field // arXiv:hep-th/0001215].

7. I. Y. Aref'eva, D. M. Belov and A. S. Koshelev,Two-loop diagrams in noncommutative phi**4(4) theory, // Phys. Lett. B- 2000. v476. - p431-436. - arXiv:hep-th/9912075].

8. S. Minwalla, M. Van Raamsdonk and N. Seiberg, Noncommutative perturbative dynamics // JHEP 2000. - v0002. - n020. - arXiv:hep-th/9912072].

9. M. Van Raamsdonk and N. Seiberg, Comments on noncommutative perturbative dynamics // JHEP 2000. - v0003. - n035. - arXiv:hep-th/0002186].

10. R. Gopakumar, S. Minwalla and A. Strominger, Noncommutative solitons // JHEP 2000. - v0005. - n020. - arXiv:hep-th/0003160].

11. A. Solovyov, On noncommutative solitons // Mod. Phys. Lett. A 2000. -vl5. - p2205-2218. - arXiv:hep-th/0008199].

12. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals // McGraw-Hill Book Company 1965.

13. A. M. Polyakov, Gauge fields and strings // Harwood Acad. Pub. 1987.

14. Yu. Makeenko and A. A. Migdal, Quantum Chromodynamics As Dynamics Of Loops // Nucl. Phys. В 1981. vl88. - p.269-285, Sov. J. Nucl. Phys.- 1980. v32. - p431-447, Yad. Fiz. - 1980. - v32. - p838-854..

15. J. S. Schwinger, The theory of quantized fields. I // Phys. Rev. 1951. -v82. - p914-927.

16. L. Alvarez-Gaume and J. L. F. Barbon, Non-linear vacuum phenomena in non-commutative QED // Int. J. Mod. Phys. A 2001. - vl6. - pll23-1146.- arXiv:hep-th/0006209.

17. N. Chair and M. M. Sheikh-Jabbari, Pair production by a constant external field in noncommutative QED // Phys. Lett. B- 2001. v504. - pl41-146.- arXiv:hep-th/0009037.

18. A. Y. Alekseev and S. L. Shatashvili, Propagator for the relativistic spinning particle via functional integral over trajectories // Mod. Phys. Lett. A -1988. v3. - pl551-1559.

19. A. Alekseev, L. D. Faddeev and S. L. Shatashvili, Quantization of symplectic orbits of compact Lie groups by means of the functional integral // J. Geom. Phys. 1988. - v5. - p391-406.

20. H. B. Nielsen and D. Rohrlich, A path integral to quantize spin // Nucl. Phys. В 1988. - v299. -p471-483.

21. A. M. Polyakov, Fermi-bose transmutation induced by gauge fields // Mod. Phys. Lett. A 1988. - v3. - n3.

22. C. Itzykson and J. B. Zuber, Quantum Field Theory // New York, Usa: Mcgraw-hill (1980) 705 P.(International Series In Pure and Applied Physics).

23. F. Cooper and G. C. Nayak, Shift theorem involving the exponential of a sum of non-commuting operators in path integrals // 2006. - arXiv:hep-th/0609192].

24. F. Cooper and G. C. Nayak, Schwinger mechanism in the presence of arbitrary time dependent background electric field// 2006. - arXiv:hep-th/0611125].

25. А. Дымарский, В.Ч. Жуковский, Точное решение уравнения для спинора Киллинга на невырожденном деформированом конифолде // Вестник МГУ, сер. Физика 2006. -тб.

26. J. Polchinski. Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges // Phys. Rev. Lett. 1995. - v75. - p4724-4727. - arXiv:hep-th/9510017].

27. J. Polchinski. String Theory Cambridge Univ. Press, 1998.

28. J. Polchinski. Combinatorics of boundaries in string theory// Phys. Rev. D- 1994. v50. - p6041-6045. - arXiv:hep-th/9407031.

29. E. Witten. Bound states of strings and p-branes// Nucl. Phys. B- 1996. -v460. p335-350. - arXiv:hep-th/9510135].

30. R. G. Leigh. Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet sigma model// Mod. Phys. Lett. A 1989. - v4. - p2767-2772.

31. S. W. Hawking. Black Holes and Thermodynamics// Phys. Rev. D 1976.- vl3. pl91-197.

32. G. Veneziano, S. Yankielowicz. An Effective Lagrangian For The Pure N=1 Supersymmetric Yang-Mills Theory// Phys. Lett. B- 1982. vll3. - p231-236.

33. N. Seiberg, E. Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Nucl. Phys. В - 1994. - v426. - pl9-52. Erratum-ibid. В - 1994. - v430. -p485-486.] -[arXiv:hep-th/9407087].

34. N. Seiberg, E. Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD// Nucl. Phys. В 1994. - v431. - p484-550. -arXiv: hep-th/9408099].

35. A. Klemm, W. Lerche, S. Yankielowicz, S. Theisen. Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Lett. В 1995. - v344. -pl69-175. - arXiv:hep-th/9411048];

36. P. C. Argyres, A. E. Faraggi. The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(n) gauge theory// Phys. Rev. Lett. 1995. - v74. -p3931-3934. - arXiv:hep-th/9411057.;

37. A. Klemm, W. Lerche, S. Theisen. Nonperturbative effective actions of N=2supersymmetric gauge theories// Int. J. Mod. Phys. A 1996. - vll. -pl929-1973. - arXiv:hep-th/9505150.

38. R. Dijkgraaf, C. Vafa. A perturbative window into non-perturbative physics// arXiv:hep-th/0208048.

39. P. Candelas, X. C. De la Ossa, P. S. Green, L. Parkes. An Exactly Soluble Superconformal Theory From A Mirror Pair Of Calabi-Yau Manifolds// Phys. Lett. B- 1991. v258. - pll8-126.

40. F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Seiberg, E. Witten. Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory// JHEP- 2002. v0212. - p071-138. - arXiv:hep-th/0211170].

41. E. Witten. Solutions of four-dimensional field theories via М-theory// Nucl. Phys. В 1997. -v500. - p3-42. - arXiv:hep-th/9703166].

42. J. M. Maldacena. The large N limit of superconformal field theories and supergravity// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p231-252 Int. J. Theor. Phys. - 1999. - v38. - plll3-1134.] - [arXiv:hep-th/9711200].

43. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p505-532. -arXiv:hep-th/9803131].

44. I. R. Klebanov, M. J. Strassler. Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and x^-resolution of naked singularities// JHEP 2000.- v0008. p052-088. - arXiv:hep-th/0007191.

45. J. M. Maldacena, C. Nunez. Towards the large N limit of pure N = 1 super Yang Mills// Phys. Rev. Lett. 2001. - v86. - p588-591. - arXiv:hep-th/0008001].

46. S. S. Gubser, C. P. Herzog, I. R. Klebanov. Symmetry breaking and axionic strings in the warped deformed conifold// JHEP 2004. - v0409. - p036-062. - arXiv:hep-th/0405282].

47. S. S. Gubser, C. P. Herzog and I. R. Klebanov, Variations on the warped deformed conifold // Comptes Rendus Physique 2004. - v5. - 1031-1038.- arXiv:hep-th/0409186.

48. L. Alvarez-Gaume, S. F. Hassan. Introduction to S-duality in N = 2 supersymmetric gauge theories: A pedagogical review of the work of Seibergand Witten// Fortsch. Phys. 1997. - v45. - pl59-236. - arXiv:hep-th/9701069.;

49. A. Bilal. Introduction to supersymmetry// arXiv:hep-th/0101055.

50. I. R. Klebanov, E. Witten. Superconformal field theory on threebranes at a Calabi-Yau singularity// Nucl. Phys. В 1998. -v536. - pl99-218. -arXiv:hep-th/9807080].

51. S. S. Gubser and I. R. Klebanov. Baryons and domain walls in an N = 1 superconformal gauge theory // Phys. Rev. D 1998. - v58. - pl25025-125032 - arXiv:hep-th/9808075].

52. I. R. Klebanov, N. A. Nekrasov. Gravity duals of fractional branes and logarithmic RG flow// Nucl. Phys. В 2000. - v574. - p263-274. -arXiv: hep-th/9911096].

53. I. R. Klebanov, A. A. Tseytlin. Gravity duals of supersymmetric SU(N) x SU(N+M) gauge theories// Nucl. Phys. В 2000. - v578. - pl23-138. -arXiv:hep-th/0002159].

54. N. Seiberg. Exact results on the space of vacua of four-dimensional SUSY gauge theories// Phys. Rev. D 1994. - v49. - p6857-6863. - arXiv:hep-th/9402044],

55. A. M. Polyakov. String theory and quark confinement// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1998. - v68. - pl-8. - arXiv:hep-th/9711002].

56. K. A. Intriligator and N. Seiberg. Lectures on supersymmetric gauge theories and electric-magnetic duality // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1996. - v45BC.- pl-28. arXiv:hep-th/9509066.

57. K. A. Intriligator and N. Seiberg. Phases of N = 1 supersymmetric gauge theories and electric-magnetic triality // arXiv:hep-th/9506084].

58. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov. Gauge theory correlators from non-critical string theory// Phys. Lett. В 1998. - v428. - pl05-114.- arXiv:hep-th/9802109.

59. E. Witten. Anti-de Sitter space and holography// Adv. Theor. Math. Phys.- 1998. v2. - p253-291. - arXiv:hep-th/9802150.

60. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz. Large N field theories, string theory and gravity// Phys. Rept. 2000. - v323. -pl83-386. - arXiv:hep-th/9905111];

61. E. D'Hoker and D. Z. Freedman. Supersymmetric gauge theories and the

62. AdS/CFT correspondence//«Strings, Branes And Extra Dimensions» -World Scientific (2004), Singapore. arXiv:hep-th/0201253.; K. Zarembo // Сб. тезисов конф. «Continuous Advances in QCD 2002 / ARKADYFEST» - Minnesota, 17-23 May 2002;

63. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. v2. - p505-532. -arXiv:hep-th/9803131].

64. S. S. Gubser, C. P. Herzog, I. R. Klebanov. Symmetry breaking and axionic strings in the warped deformed conifold// JHEP 2004. - v0409. - p036-062. - arXiv:hep-th/0405282].

65. A. Butti, M. Grana, R. Minasian, M. Petrini, A. Zaffaroni. The baryonic branch of Klebanov-Strassler solution: A supersymmetric family of SU(3) structure backgrounds// JHEP 2005. - v0503. - p069-101. - arXiv:hep-th/0412187].

66. G. Papadopoulos, A. A. Tseytlin. Complex geometry of conifolds and 5-brane wrapped on 2-sphere// Class. Quant. Grav. 2001. - vl8. - pl333-1354. - arXiv:hep-th/0012034].

67. M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, Type II strings and generalized Calabi-Yau manifolds // Comptes Rendus Physique 2004. -v5. - p979-986. - arXiv:hep-th/0409176].

68. M. Grana, R. Minasian, M. Petrini and A. Tomasiello, Supersymmetric backgrounds from generalized Calabi-Yau manifolds // JHEP 2004. -v0408. - n046. - arXiv:hep-th/0406137].

69. A. Dymarsky, I. R. Klebanov and N. Seiberg. On the moduli space of the cascading SU(M+p) x SU(p) gauge theory // JHEP- 2006. v0601. - nl55.- arXiv:hep-th/0511254.

70. A. Y. Dymarsky, String theory derivation of RR couplings to D-branes //- arXiv:hep-th/0206191.

71. A. Dymarsky, D. Melnikov. Comments on BPS bound state decay// Phys. Rev. D 2004. - v69. - pl25001-125009. - arXiv:hep-th/0303200.

72. А. Я. Дымарский, Д. Г. Мельников. О спектре глюболов в модели Клебанова-Штрасслера// Письма в ЖЭТФ 2006. - т.84 - вып.7 -стр.440-444.

73. D. Arean, D. Е. Crooks and А. V. Ramallo. 'Supersymmetric probes on the conifold // JHEP- 2004. v0411. - n035. - arXiv:hep-th/0408210.

74. J. H. Schwarz and R C. West. Symmetries And Transformations Of Chiral N=2 D = 10 Supergravity // Phys. Lett. B- 1983. vl26. - p301-304.

75. A. Dymarsky and V. Pestun, On the property of Cachazo-Intriligator-Vafa prepotential at the extremum of the superpotential // Phys. Rev. D 2003.- v67. p.125001-125006. - arXiv:hep-th/0301135.

76. S. Ferrara, B. Zumino. Transformation Properties Of The Supercurrent// Nucl. Phys. В 1975. - v87. - p207-220.

77. Phillip Griffiths and Joseph Harris, Principles of algebraic geometry // John Wiley and Sons, Inc., New York 1994.

78. W. Lerche, Introduction to Seiberg-Witten theory and its stringy origin // Nucl. Phys. Proc. Suppl. B- 1997. v55. - P83-117. - hep-th/9611190.

79. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, and Michael P. Mattis, The calculus of many instantons // Phys. Rept. 2002. - v371.- p231-459 hep-th/0206063.

80. P. Candelas, X. C. De la Ossa, P. S. Green, L. Parkes. An Exactly Soluble Superconformal Theory From A Mirror Pair Of Calabi-Yau Manifolds// Phys. Lett. В 1991. - v258. - pll8-126.

81. M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld and Yu. I. Manin, Construction of instantons // Phys. Lett. A 1978. - v65. - pl85-187.

82. Nikita Nekrasov and Andrei Okounkov, Seiberg-Witten theory and random partitions // ITEP-TH-36-03. 2003. - [hep-th/0306238].

83. N. A. Nekrasov, Seiberg-Witten prepotential from instanton counting // Adv. Theor. Math. Phys. 2004. - v7. - 831-864. - arXiv:hep-th/0206161.

84. N. Seiberg. Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions// Phys. Lett. В 1988. - v206. - p75-80.

85. C. Montonen, D. I. Olive. Magnetic Monopoles As Gauge Particles? // Phys. Lett. B- 1977. v72. - pll7-120.

86. Ugo Bruzzo, Francesco Fucito, Jose F. Morales, and Alessandro Tanzini, Multi-instanton calculus and equivariant cohomology // JHEP 2003. -v05. - n054. - hep-th/0211108.

87. R. Flume and R. Poghossian, An algorithm for the microscopic evaluation of the coefficients of the Seiberg-Witten prepotential // Int. J. Mod. Phys. A- 2003. vl8. - nl4. - p2541-2563. - hep-th/0208176.

88. Eric D'Hoker and D. H. Phong, Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems // 1999. - hep-th/9912271.

89. G. Bonelli and M. Matone, Nonperturbative Renormalization Group Equation and Beta Function in N=2 SUSY Yang-Mills // Phys. Rev. Lett.- 1996. v76. - 4107-4110. - arXiv:hep-th/9602174.

90. T. Eguchi and S. K. Yang, Prepotentials of N = 2 Supersymmetric Gauge Theories and Soliton Equations // Mod. Phys. Lett. A 1996. - vll. -pl31-138. - arXiv:hep-th/9510183.

91. J. Sonnenschein, S. Theisen and S. Yankielowicz, On the Relation Between the Holomorphic Prepotential and the Quantum Moduli in SUSY Gauge Theories // Phys. Lett. В 1996. - v367 - pl45-150. - arXivrhep-th/9510129.

92. Philip C. Argyres and Michael R. Douglas, New phenomena in SU(3) supersymmetric gauge theory // Nucl. Phys. В 1995. - v448. - p93-126.- hep-th/9505062.

93. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa, On geometry and matrix models // Nucl. Phys. B- 2002. v644. - p21-39. - hep-th/0207106.

94. Robbert Dijkgraaf, Sergei Gukov, Vladimir A. Kazakov, and Cumrun Vafa, Perturbative analysis of gauged matrix models // Phys. Rev. D 2003. -v68. -p045007-45023. - hep-th/0210238.--

95. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon, Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017.

96. Freddy Cachazo, Michael R. Douglas, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory. JHEP 2002.- vl2. n071. - hep-th/0211170.

97. Freddy Cachazo, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Phases of N = 1 supersymmetric gauge theories and matrices // JHEP- 2003. v02. - n42.- hep-th/0301006.

98. Freddy Cachazo, Nathan Seiberg, and Edward Witten, Chiral Rings and Phases of Supersymmetric Gauge Theories // JHEP 2003. - v04. -n018.- hep-th/0303207.

99. Robbert Dijkgraaf and Cumrun Vafa, Matrix models, topological strings, and supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. В 2002. - v644. - p3-20. - hep-th/0206255].

100. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon. Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017].

101. С. I. Lazaroiu, Holomorphic matrix models // JHEP -2003. v05. - n044.- hep-th/0303008.

102. R. Dijkgraaf, M. T. Grisaru, C. S. Lam, C. Vafa, and D. Zanon. Perturbative computation of glueball superpotentials // Phys. Lett. В 2003. - v573. -pl38-146. - hep-th/0211017].

103. Staphen G. Naculich, Howard J. Schnitzer, and Niclas Wyllard, The N = 2 U(N) gauge theory prepotential and periods from a perturbative matrix model calculation // Nucl. Phys. В 2003. - v651. - pl06-124. - hep-th/0211123].

104. Albrecht Klemm, Marcos Marino, and Stefan Theisen, Gravitational corrections in supersymmetric gauge theory and matrix models // JHEP- 2003. v03. -n051. - hep-th/0211216.

105. Frank Ferrari, On exact superpotentials in confining vacua // Nucl. Phys. В- 2003. v648. - pl61-173. - hep-th/0210135.

106. Frank Ferrari, Quantum parameter space and double scaling limits in N — 1 super Yang-Mills theory // Phys. Rev. D 2003. - v67. - p085013-85028.- hep-th/0211069.

107. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, and S. Prem Kumar, S-duality of the Leigh-Strassler deformation via matrix models // JHEP 2002. - vl2. -n003. - hep-th/0210239].

108. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, S. Prem Kumar, and Annamaria Sinkovics, Massive vacua of N = 1* theory and S-duality from matrix models // JHEP- 2002. vll. - n040. - hep-th/0209099].

109. Nick Dorey, Timothy J. Hollowood, S. Prem Kumar, and Annamaria Sinkovics, Exact superpotentials from matrix models // JHEP 2002. -vll. - n039. - hep-th/0209089].

110. Riccardo Argurio, Vanicson L. Campos, Gabriele Ferretti, and Rainer Heise, Exact superpotentials for theories with flavors via a matrix integral // Phys. Rev. D 2003. - v67. - p065005-065008. - hep-th/0210291].

111. Riccardo Argurio, Vanicson L. Campos, Gabriele Ferretti, and Rainer Heise, Baryonic corrections to superpotentials from perturbation theory // Phys. Lett. B- 2003. v553. - p332-336. - hep-th/0211249].

112. John McGreevy, Adding flavor to Dijkgraaf-Vafa // JHEP 2003. - vOl. -n047. - hep-th/0211009].

113. Hisao Suzuki, Perturbative derivation of exact superpotential for meson fields from matrix theories with one flavour // JHEP 2003. - v03. - n005.- hep-th/0211052.

114. Iosif Bena and Radu Roiban, Exact superpotentials in N = 1 theories with flavor and their matrix model formulation // Phys. Lett. В 2003. - v555.- pll7-125. hep-th/0211075.

115. Yves Demasure and Romuald A. Janik, Effective matter superpotentials from Wishart random matrices // Phys. Lett. В 2003. - v553. - pl05-108. - hep-th/0211082].

116. Yves Demasure and Romuald A Janik, Explicit factorization of Seiberg-Witten curves with matter from random matrix models // Nucl. Phys. В- 2003. v661. - pl53-173. - hep-th/0212212.

117. Yuji Tachikawa, Derivation of the Konishi anomaly relation from Dijkgraaf-Vafa with (bi-)fundamental matters // Phys. Lett. В 2003. - v573. -p235-238. - hep-th/0211189].

118. Bo Feng, Geometric dual and matrix theory for SO/Sp gauge theories // Nucl. Phys. В 2003. - v661. - pll3-138. - hep-th/0212010].

119. Bo Feng and Yang-Hui He, Seiberg duality in matrix models II // Phys. Lett. В 2003. - v562. - p339-346. - hep-th/0211234].

120. Christiaan Hofman, Super Yang-Mills with flavors from large N(f) matrix models // JHEP- 2003. vlO. - n022. - hep-th/0212095].

121. A. Morozov, Integrability and matrix models // Phys. Usp. 1994. - v37. - pl-55. - hep-th/9303139].

122. Sujay K. Ashok, Richard Corrado, Nick Halmagyi, Kristian D. Kennaway and Christian Romelsberger, Unoriented strings loop equations and N = 1 superpotentials from matrix models // Phys. Rev. D 2003. - v67. -p086004-086020. - hep-th/0211291].

123. Nathan Seiberg, Adding fundamental matter to "Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory" // JHEP 2003. - vOl. - n061. - hep-th/0212225].

124. F. Cachazo, Kenneth A. Intriligator and Cumrun Vafa, A large N duality via a geometric transition // Nucl. Phys. В 2001. - v603. p3-41. - hep-th/0103067].

125. F. Cachazo, B. Fiol, K. A. Intriligator, S. Katz and C. Vafa, A geometric unification of dualities // Nucl. Phys. В 2002. - v628. - p3-78. - hep-th/0110028].

126. Freddy Cachazo and Cumrun Vafa, N = 1 and N 2 geometry from fluxes // - 2002. - hep-th/0206017].

127. Hirosi Ooguri and Cumrun Vafa, Worldsheet derivation of a large N duality // Nucl. Phys. B- 2002. v641. - p3-34. - hep-th/0205297].

128. Cumrun Vafa, Superstrings and topological strings at large N //J Math Phys 2001. - v42. - p2798-2817. - hep-th/0008142].

129. H. Itoyama and A. Morozov, Integrability and Seiberg-Witten Theory: Curves and Periods // Nucl. Phys. В 1996. - v477. - p855-877. - hep-th/9511126].

130. H. Itoyama and A. Morozov Prepotential and the Seiberg-Witten Theory Nucl. Phys. В 1996. - v491. - p529-573. - hep-th/9512161].

131. A. Marshakov , М. Martellini and A. Morozov, Insights and puzzles from branes: 4d SUSY Yang-Mills from 6d models // Phys. Lett. В 1998. -v418. - p294-302. - hep-th/9706050].

132. Emil J. Martinec and Nicholas P. Warner, Integrable systems and supersymmetric gauge theory // Nucl Phys. В 1996. - v459. - p97-112.- hep-th/9509161.

133. A. Gorsky, I. Krichever, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, Integrability and Seiberg-Witten exact solution // Phys. Lett. В 1995.- v355. p466-474. - hep-th/9505035.

134. H. Itoyama and A. Morozov, Experiments with the WDVV equations for the gluino- condensate prepotential: The cubic (two-cut) case // Phys. Lett. B- 2003. v555. -p287-295. - hep-th/0211259].

135. H. Itoyama and A. Morozov, Calculating gluino condensate prepotential // Prog. Theor. Phys. 2003. - vl09. - p433-463. - hep-th/0212032].

136. H. Itoyama and A. Morozov, The Dijkgraaf-Vafa prepotential in the context of general Seiberg-Witten theory // Nucl. Phys. B- 2003. v657. - p53-78.- hep-th/0211245.

137. David Berenstein, Quantum moduli spaces from matrix models // Phys. Lett. В 2003. - v552. - p255-264. - hep-th/0210183].

138. Mina Aganagic and Cumrun Vafa, Perturbative derivation of mirror symmetry // 2002. - hep-th/0209138].

139. David Berenstein, Quantum moduli spaces from matrix models // Phys. Lett. В 2003. - v552. - p255-264. - hep-th/0210183].