Квазилинейные недивергентные эллиптические уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ Б . ОД

' Г.ЭДЙН! HA'JH УИГ'АНШ

7. ЫИСТИ^ДОШИМШ МАТЕМАТИКИ Í МЕХМШ

Iii! нрав-эх рушшс;»

5ЕРС1ША Волод.чннг) ¡Icrpomri

ШЗШНШ11 11ЕЛИЗЕРГЕ1ГПИ ШПШП» PIDÛÎ1Î11I3

C!. 01.02 -л«-гзргпц1алы!1 piEiiainid

АВТОРЕФЕРАТ fôjceptûuiï на здобдтгя юуиозого стушш кандидата ¡Нзиво-илгекаигши itûurc

¡¡опецьп'- 1334

ыбота Биконана в Ïuctht'JH пршшдиоТ иатвцатикн I инхаи1ш1 fill l'upaïiiH

Иацковий кар 1 вник: ¿¡кадеы1к fill ûitpaïmi, доктор !$1зкко-катеиа7ичних iiatjü, гмоцесор

I.S. Скрншшк

CíUíUüI опоиеити: ¿■•'втор ф 1 зи.чo-uá'(ека-тичиих наук, г. i-о^е с op

S»,С. Укакой

гиды (Ийлко-нйтека'П1Ч!й»; imyiî,

Г Л ./'.гшшда;

i'pob iíifüi oj:ranlsaiUa:

fcübfCbfniíi дойказн:;;!

lia сяоцЫ»1ыаш>У Л OSiCl.DS. яг» Ьг*Пй'г1*1

"ПрЧЖЩтЯ—srrsR«КЙ»—l—гзаmi—CJLlinjiuT;-; f 340' 14s к.Дзизцьк-П-», e!j.'¡. Pr.::¡: ihüe¥>iSy¡)r, '•'■'•..

3 ьсйс? сзнлйак» «сы ъ »«ogisisiii ¡Hüaíeícui

1 петит ¿'ту., '

ftsî?i-;.eîc;''i>î iiöslsiiafio а .

бчсшй Cíj^'puííii' cnsiibAH-oawml

#15!гао-1:ав*йТ8ч«ал ,. -СЛ. Верше&ш

ЗПГППЬНП ХРРЙКТЕРИСТИКЛ РОБОТА

ДисертаШйна робота прксвячена питанию розв'язност! неди-вергентних ел1птичних р1внянь, проблем! Ландесмана-Паз'ера i роз-в'ччност! опсраторних р!снянь з допомогоп пбертання векторного поля, до яких зводяться ц1 задач 1.

йктцальн!сть теми. Доел1дхення граничних задач для иел1-Шйиих дифвремц1альних р!пнянь знаходиться в центр! упаги iine-pecis ф1зик1в, 1няенер1в, мехам1к1в. Пел lui Ян I р1вняння з'явля-ютьгя п Оагатьох задачах сучаспоУ ф 1эики. toxmIkh 1 тому с да-иий Ч'н: t цай(51льи активно розроблаванов области дифсренц1аль-них р!виянь.

Питаниями раза*язност1 дивергентних р!внянь, як 1 зводятся дп п1до6рагеиь7~: Х~*Х ( X ■ спряжений прост i р до X зайналися багпто автирio: й.й.дубииський, О.Браудер, О.Л.Ладикенська, H.I. Уральисва, В.В. Потришш, Г,Х!нт1, I.B. Скрипнии 1 lnai. Спочат-ку, п основному, задач! розв'яэуЪалися р1зними нодеф1кац1ями методу Галерк1иа.

Тополог 1чн1 методи спростйли метод» доведения. ТололоПчний п1дх1д доэволяег зоирема, вклвчати граничШ задач1 в параметрмч-не с1мейство задач того я типу 1 зводити досл1даення граничних задач до вивченкя б!льв простих задач 1 одереания"простих anplop-них оц!нок. Основой тополоПчних метод!в е внд1лення клас1в в1до-браяень, для яких могна ввести поняття обертання векторного поля (екп1валеитного поияттв степен1 в1добра*ения).

' Детально теор!н векторннх пол!в, як! описують широкий клас гШптичннх задач, побудував I.B. Скрипник. Це то.ор!я для в1добра-яень Т : Х~"Х • Лля'п1добраш1ь Т класцТ '.%-*У багато роб!т а а Ф. Браудера 1 В.В.Петринииа. Але в застосуваннях У~Х або X" або.У -г1льбсртовий просПр, до зиа-,но спрощуе ситуац!п.

При розгляд1 в1доброяень7^Х~*У природньо в'шшкае допо«1п-ипЛ оператор, яиий узагальнве дуальииЛ оператор при вивченн! в1-добраясиь. Дуальннй оператор досл1дяеиий багатьиа авторами (Ф. Браудер, В.В. ВаАнберг). Допои!гаий оператор/< при внвчешП мопотоиипх onepatoplo викорнстовувасэ р!зшгмн авторами i О.Пстрн-шш, Ф. Ораудер), алв без його побудопи 1 вивчемня його власти-' востей. D зв'язкц э ции нэтод побудовн такого оператора, а такой

вивчення його властивостей е актуальним 1, в1дпов1дно, результати, Я1Л одержуються з його допоногою, с сучасиими. - '•■

Доведениям 1снування розв'язк1в для недивергентних р1внянь вииих порядк1в займалися Л.1. С1ыешов, СЛ. Поховае^, ft,В. БабIн. Резулыати дисертацП' узагальниють \'хн1 резулбтати.

Проблема Ландесмана -Лазера для р1внянь виду Ли.* Ви , де/? - л!н1йний оператор, aS -кел11. \йний. бере св i ft початок в1д YXHboY nepaol роботи 1970 року. Ця проблема узагальнювалась рiэ-ники автораки (С/Лльяис", К. Фрезе, S. Нечас, Л. Н1ренберг, П.Гесс, С. Фу.ч1к). В.В.Петривин зв!в розгляд niel задач1 до виг-ляду Ли ->лСи =/ при ^ —I розглянцв П докладно в просторах Соболева lV,'n . В дисертац1йн!й робот 1 проблема Ландеска-

/77

на -Лазера вивчаеться в просторах Wp ip>n тобто вивча-вться нов 1 класи оператор1в, яя1 узагальнквть результат цього напрянку lhüiix автор i е ,

Пета роботи полягае в доведена! 1снуваина розз'язн1в недивергентних ел1птичних р1впянь, обчисленнп 1ндексу критичиих то-чок, знаходвешш критерПв 1снування власнмх функц1й 1 тонок 61-фуркац1й, досл1двенна проблоии Аандоска'.ш-Яазвра d просторах Соболева.

Кетодкка досл!дкення, Доел1дв8нг.а, asi проводяться в дисер-тац1йн1й робот 1, полагаать d роэввтку 1 застосувани! тополог 1ч--1П1х-иетод1в-досл1дгспия^1ал1и1Гшцк-р1рийкь^райор1_ задач! зво-дзться до операторных plsi&Hb, як1 налегать до таких клас!в, дла яких aosna ecoctis- поиаття-ойертаина векторного пола. На основ! властивостей оСертаина векторного пола досл1деупться спера-торн! pldhshhfl, ПотIíí. е!дпов1дно, ц1 результати порефорыульсву-иться на ел1птичн1 рЮияшз. Така скоиа епграо була застосоваиа Е.Лере. 1 В.Еаудерон, а пот!а сцттескй роэаиток одержала о пра-цах Е.й.Красносельского 1 i.&.C¡;pmmi;a.

lia'jKcca повязка. D дас2ртац1й;11й робот! сдаргаи! сл1дуечГ ?;сс1 результата:

- сяд1лвикй кгас опзратор1в, йк1 д1вть 1з одного бешахового прбсторц в luana банаховий npocTlp. для ских новна свести поиаття тополог1чно1 характорг.стшш-оОзрташШ секторного пола. 3 його допоиогов досл^гдегьсе им с »1дпоэ1дш!я операторная р1снзнь;

-одермна формула 1нцекса критичноУ точки оператора: -лобудований допои1яний оператор, цзагальнвичий дуальнмй, який природньо виникае при вивчённ1 мвнотонних оператор1в i вивчавться його властивост1:

-доведен!'те^ре^и }снуваннп роэв'язк1з для кедивергентних ел!птичнкх plвнян'ь вищого порядку;

-досл1дп8на, пробле^й Ландесыана-Лазера для ел!птичних р1внянь з просторах ,

' Практична ц!нн1сть. ОдерааШ в робот! результати нають тео-ретичне значения, на практзд вони иожцгь буги застосован! при розв'язанн! задач 01зикй, мехаШнн, техи1кн, теорП" прушост1,' г1дродинаи1ки.

йпробац!я рзботи. Основ»! результат« допов1дались на науио-вих конференц!ях ДоиДУ. на ceaUiapi по кел1н!йконц анал1зу в 11Ш АН УкраУии, на м1внародн1й конференцй" " Ивл1н1йн! задач! натейатнчноУ <Язикн " в Черн1вцях 1989 року.

Публ!кац!У. По теа1 дисертацП' опубл1иовано 7 роб1т, одна 1з них в cniaaaropcTsi з I.D. Схрипникои.

Структура дисертаЩУ. Робота складаеться 1з вступу, трьох глаз, пзрел!ку яИератури з 77 найнендвань I а1стить в соб! КО стертой ивиянописного тексту.

ЗН1СТ ДНСЕРТШГ

И еступ1 розглядаеться актуалы'Лсть тснатики, 1стор1я проО-леии,прздизт 1 кетод досл!дкешш, короткий з«1ст дисертацИ.

В перз!й глав! розглпддпться деы!неперервн1 обкеван1 опера-тори Т 'Х.-1-У КзХ 1 У -банахов! простори. Для них вводиться понятгя обвртаяня векторного поля, використоэувчи при цьоиц влас-тпзост! допон1гного оператора К : X—1*У 1 елец1аяьн1 повн1 сис-теви р просторах X I У* • Розглядапться властивост!, яв1 П8обх1дн1 для побддови теорП о1добраввнь. .

0 § $.1 сводиться, поняття обсртанна векторного поля.

Пехай«2? - обыеаепа область о X э граиицвв Б така, но пв-

4

- Б -

ретин S э ск1нченом1рним п)дпростором в X е поя1едрои. Прнпу-стыно. чо оператор К иае сл1дупч1 властивостП

1.- К -неперервний. тобто сильно зб1«н1 послЦовност! переводить и сильно зб1вн1;

2. KIO) = О ; '

3 К - взаеинооднозначний; ' Y г/ *

4. для оператора К 1снують п - а!рн1 п1дпростори »А 1У так!. «о КпХ <=- У* де Кп звуаення оператора /ч на Л„ .

Будемо говорит«, во ЪеШнеперервниА обмехений оператор _за-дов1льняе уыов 1 dL ). якщо для дов1льноК посл1довност1 ин 6 . слабо збиноУ до и„ 1з

/,,77 ~KC¿0> ¿O

випливае. «о ик сильно зб1гаеться до ¿¿о . - '-/ л

Будемо говорити. но цей оператор задов1льняе уиов1 якчо для дов!льно* посл1 довност! <uKéS , слабо зб1»ко* до Uc 1з ;

випливае сильна зб1вн1сть RoC¿e . ^

значения оункцЮналв/»е " на елеиенП гге-^ . Для оператора. як! задовольняить «аов!.о< ) або Ы0) з допо-nornio к1нечнои1рно* апроксииацП. вводиться лонаття обертаиня векторного поля, 1 показуетьса floro стабШзаЩа з ростом рози1р-иостей апрокснхувчмх п1дпростор1о.

Улови оI ). Jо ). 71CH0 зв'яэан1 з- уаоваки KS. КН. розгляну-т1 В.В.Петришииии. tlail умови слаб1«1 його* Оператор А взагая!

нвл1и1йиий,. -

Така схева- эастосовувалась р!зниин авторакМВ^Красносмь-ськни. ЬВ.Скрипником) для б!лы простих випадкЮ. 1 покн що йе-кае достатиьо повних реал!эац1й таких схев.

В § 1.2 доводяться авичайн1 вяастивост1 обвртания поля. нвобхЦн! для того, *об 1снували крнтнчи! точки оператора усерз-дин1 облает! «2> (критичное точное оператора Т наэмавть точка и, так«. *о ТивяО). Зокроиа доводите теорвна. аналог1чна те орв*1 Хоп<и: la рЮивст! обвртания розглянутих пол1в бее критич-ннх точек на границ! облает! внпяявае 1к гоиотопн1сть. ^

Б | 1.3 доводиться • , л .

Творвиа 1.4. Яцо р1внаиия7й=»(7 «ае т1лькн нудьовий розв я-эоп. то ноль е !зольованов критичное точное поля Ти ! !ид«кс

О

нуля р!вннй [-1} де V - сума кратностей характеристична чисел оператора = (Т*Г) Г, як1 лекать в 1нтервал1 (0,1).

Тут 7" -пох1дна Фреие оператора Т в нул1./~ -л1н1й-

нийц1лкон неперервний оператор такий, цо виконуються сл!дупч1 умови:

при и*0 \

2. ёизначений I ц1лком неперервний оператор Л ;

3. при достатньо малому £ слабе эаникання инояини

•Ъ= & ьт* =0,

, О < ни // < £ , О « £ « /}

не м1стить нуля.^

Оператор Т мохе! не задов!льняти умов1 ), а Т задо-в1льняти. • - ,

В § 1.4 показуеться 1снування оператора К , який д1е 1з простору О-} в про с т 1 р Ьр1 (О) ( р'=Р/(Р- 1)> Р> f ) 1 иае пластивост!, як1 вимагалися в § 1.1.

Побудова оператора. К проводиться сл1дуючим чином. Область С п - м1рного евкл1дового простору особливим способов розби-ваеться-посл1довно на вим1рн1 мновини, як1 не перетинапться. По м1рах чих нновин в.простор 11.Р(С) будуеться систеца базисних вектор Iв (х) типу Хаара, яка е ортонорыована. По цьоиу базису з до-помогов лНИйного елИпнчного оператора

э граиичнини уыоваки ¿

гп

ГЛ*Гх>*>Ч*ш0 ■

-

рТвнянняи . -

2т. .

визначаетьея спец!ал1)Нд система {) о "простор! , й (О). де/^-такий оператор, встаиовлюе 1зоиорф!эы м1я прос-

торам а С С) 1 ЬрСС) . Тут -п1дпрост1р прос-

тору Соболева э эазначенини вице граничниии уиовахи.

Тепер оператор К : -1- ¿р> (О) визначаеться аЦ-

дугчии чинок

Ка = кс, +г;1и1Р~г(ь, +П)и.

i лерев1ряються його' властивост!.

Показуеться, цо тек вобудсваккй оператор не е слабо нелерер-вним, тобто слабо зб1аи1 поел!довност1 не обов'азково переводить в слабо зб!жн1, що суттево ускладнше теор!ю ионотонних операто-р1в, яка заетосовуеться в диференц!альних р!вшннях. При р ~2 в1н буде слабо неперервним, J тоыу результат« в (&) одерЕу-вться набагато легше, Така ситуац'я виникае 1 при застосуванн1 дуального оператора,

В друг1й глаШ розглядаються питания 1сиування розв'лэк1в ц недивергентних ел!птичних р1внянь вицих порядк1в, а такоа у опе-раторних р1внянь, до яких зводяться ц1 задач!.

В § 2.1 для роэглянутих в nepsld глав! олератор1в, поиазуе-ться 1снування розв'яэк1в у в1дпов1дних операторких рШынь, як1 нають вигляд '

Ти =/ ...

поли оператор Г -коерцитнвннЛ, або itensptmft. Ц1 теореии узагаль-шшть в1дои! теорени 0. Браузера, Б.В. Петривина, СЛ.Похогаева 1 iiisMX авторю.

Б S 2,2 узагальнвяться результат» 1.В. Скришшка про 1 списания власних функц1й, точок розгалуаоння, точок б1фуркац!й для операторних р!внякь з операторами, як! Д1вть !э банахового простору в спрякений прост1р па клас» р1вияиЬ з операторами, розгля-_иутини в перв1й_глав1.

В § 2.3 даеться застосувйшш~теорвки~1т4—псрзоИ-гдаш!—да_

обчислоння 1ндексу критично! точка ( нуля) коазШнШюга ел!п-тичного р1шшшя. . п

В обнеа®«1й.облает!ft - ¡Ирного евклЦового простору R з мстаткьо гладкою границей розглядаеться нелШйний сяШтнчипЛ оператор гш-«"4 г^ггп'\

(eij«i/rr

Будоно припускатн, що викоиуаться сл1дусч1 улови:

1. При достатньо иалоау додатньому € фуикцП О.^, •••Дг«п*«)* Q(xt fot • • иеперервно днфаранцШовн! по 5'

прй ЭГ6 О 1 при (?„{ +... неперервн! по X .

- 2. 3 деакоп додатиьов пост1йнои d виконуеться кер1вн1сть

Г— Ю) .«А г',1,2П7 (О) , . ' , .

■¿¿«« СX)l >dhl ; м.. Q^ (Х)»<Ъ№,\.~А

На границ! 5 облает! задавтьса m грйиичнях Blulftira one-

рато]Ип з неперервнини по Гельдеру кое^1ц!ентами.

Нсхий р > п i \X/pJ ™, ( G ) -п1дпрост1р простору Соболева, ут-ворений функц1ями. як! ,з&дов1лъняйть уновзм ßj и(х)~0 при и 6 «S . Припустимо, по 1снуе ц1лком неперервкий оператор П такий, 50 Ь4 + П встансвлье 1эоыорф1зм просторамиtyJ а(0) 1 L.AO-) Tai — "" - ~ ,e Р

>— (О) с*.**,

L<U а«* (эс)£>си.

1ы1 х2/Г1

Будеио припускати, цо 0 - 1зольована критична точка оператора Т . Тут використовувались загально лрийнят\ позначення.

1 виконашМ аяов 1..2 доведена сл1дувча Теорема 2.15. Якио ноль -невиродаена критична точна оператора 7 , то тод1 1ндекс нуля оператора Т р1виий (- 1) , де ^ -суиа кратностей характеристнчких чисел ц1лком неперервного оп

ратора /, ■•=■ ( Т+ Г)Г:\У3 -*$(/*"! ленать в 1нтероал1 (0,1). ' р,в р

*

В § 2.4 розглядааться дв1 ел1птичн1 эадач1 частково дивергентного.виду. Гснування рсзв'азк1в у таких задач при унов! Хх яоерцитипиопП роэглядао Й.С.С1аояов. Наа нетод дозволге легко, при умой 1 аиконапна природинк обиеаень ка кое(511ц1бнти, одернати 1 1нв1 твореин 1свупакна, зонреиа при непарких коефЩ1ентах пои Зокрева иапть й!сцв сл!дцач1 георами.

Теорема 2.1?. Припустило , цо,задача

I Эй. I Зи t _ к j _ _9а и 10

uls = Sn-Ig",-...ss$r*ls ~йиь «'.la^-'is

и\ гч

9

(тдт -тШдна по кораал1 до границ! S , А -под1гараон1ч-ипй оператор порядка 2к ) aas природн! обйэяенна на кобф1ц1енти, як1 гарантya<ii cQaeaeiiJcTb, деи1н8перервн1сгь, внконання уновпЫ > длз оператора, шшй оиникае при II зведеши до операторного р1в-подш (Похозаев СЛ., ClBoiws ft.C.r Скрипни» I.D.) 1 внлачена э napauBTpü4tio,tlH0flCTOO задач того а вида

21 (-1} J -

Тод!. якцо для любого розв'язку и. С^х) мае м!сце оц!нка '

ни а. < R (к*

1 обертання поля Ти на сфер1 SRfOj = {и £ Л = Я J

в1дм1нне в!д нуля, то 1снуе хоч один розв'язок граничиоТ задач1

у,т + «у . Я -т+к

в /ipocTupl WP (С-) для дов1льно!' функцП f Гаг) & У(/р, CG-J. -Теорена 2.21, Припустимо, що коеф1ц!енти задач1

¿Гг-*) и,я LuY^ltx),

к-1 ,

.i ou i ,1 =п

uU =••. • • • = dT^k

(тут ¿и - l^~QJL(:x)S)6i -ел!птичмнй оператор э гладкими кое-

(«<|*гк - j

Ф1ц1ентани порядку?к , О i к £ Hi) так!, so оператор Т. який по- ? являеться при зведеин1 задач1 стандартник кетодои до операторно- ; ro pi сияния е обыевенш,. дел1неперервнии, 1 uae ы1сце в1дпов!дна 1 додатн1сть по старших пох!дних, то задача иас розв'язок для"до-1 в1льноТ фуикпП £ й (-0) "в простор! фуикц1й^т\X/p"T(?j . )

якщо фцнхц11/^(x^^S) яепарн1 поу .5,1 операторТ -обменеиий,']

В 5 2.5 розглядаеться задача

""""-fx е (г);- 1

- •

x'eS, де

. U * W^CV^fMeL^.fjfx'leW^S),

j)n - пох1дна порядку t по напрямку зовн1«нъоТ норыал! до rpa~ ниц! 5 . & -обкеаена область в Rn , для якоТ мавть м!сце тео-. реии вкладвння Соболева. На коеф!ц1енти накладавться природн! ухопл.

При KOBetRHHl теоЬеи 1снуванкя. освоении е перев!рка викокан-

- и -

на уаови о<0 ). Виконанна умови <U0 ) сл1дуе 1э 1снування для cl-

йейства ел1птичних оператор1в „ ,

___? т - i ч

Tvu = Ца^с^гг...;^ лх ол1птичного оператора ^

ЛЛи. = Ц

1*1 i- ?<v>

3 неск1нчено диференц1йовнини кое<?1ц1ентами в G т.аких , до з деякиаи поспйними С, , C¿ виконуеться нер1вн1сть коериитивносП

' и (X) е ^"(0) п ¿¡'^ (G),

В цьоау випадку за onepatop К берено оператор М. .

Знову теорвни 1снування розв'яэк1в одерауиться перефориулэ-паннян в1дпов1дних теореи для операторних р1внянь.

В т-рвт 1й глаэ1 розглядаеться проблвйа Ландвскана- Лазера, тобто нап1вл1н1йн1 р1вияння', у яких л1н1йна частина мае иэмулч-dc ядро.

В § 3.1 розглядаеться р1внзння оиду

Ли ви <»>

Д8 Л - я1н1Пниа фрвдгольновий оператор нульового 1ндеису, -нелИИйняй оператор такий, що ви- o(ttuit¡ при Hurt —» оо , причоау 7= ■* В эадов1льняе уцов1 Ые). Т~ д1е 1з банахово-го простору X в банаховиЯ npoctlp у .

Зг1дно творИ л1и1йних опэратор1и цозна эп2>бнтц-ся1яцвзч1 представления

X y-RMky,, nvmm c¿¿m

ш dim Kzx A*clim Ult а fa/}

Tvt R(#) -область значения оператора . К^х-Л - ядро оператора Я .

Пряпусваеао, що 1сн"<оть сл1дуэч1 допои1янI опаратори М 1 Н М - лиИйний оператор, який здШснпе взаеаноодиозначну в1дпоа1ди1сть «taKtxfí l У, , Н - л1н1йннй оператор, якиА зд1й-снве взаевноомозначнч йЦпов1дн1сть ata Кеч Д i Rf/?)a , при-

чоыу дл? доеильних <j £ ке хл (у ^о) < му,ну)>>0 .

9кщо К&Х Л-О, то р1вняння (1) мае розв'язок для дов5льноУ . ФункцП' { е У .

Якщо ^Kz-lß ¿ Q ^ то иае uicqe

Теорема 3.2. Ятео /f ' - л!н1йний оператор нульового 1ндекса, ви.~о(чии) приiiu(( —í-co , эаыкнутий на дов1льп1п

В(о,1) (куля рад!уса "С з центром в нул! в простор! X ) i задо-в1льняе умов1 c¿0 ) , то р1вняння (1) пае розв'язок , якцо могна побудувати такий компактний оператор С , цо одна 1з ьшокин

д ~ = [u : fíe,. + ß« ± S С а - / =0, § > oj

обменена при - О .

1з ule'i теореми легко одерауеться сл1дуюча теорека, яка без-посередньо застосовуе.ься до днферепЩальних р1вкянь.в частинккх ,

п0х1дних. ■ .

Теорека 3.3. Якцо/# - л!н1йкий оператор пульс ОГо 1ндекса, Ви = о (Wir) при и«<(~*<«>, Т =Д+£> занкнутий для дов1льно\' 8(о,х) 1 задов1лькяе цыов! o¿0), то^ р!вняиня (!) нас розв'язок, якцо виконуеться одна 1з иыов

• a) < Ва(41 Ну> ->. < Ну}

К -'о"

або 4 • л s.

б, ¿¿т < В С*«, н а) < < 4, И ч)

- к-*00

при с- X 7 да~Н—- -опера—

- UUk St

тор, введений-bkcte...

ФркцП 1з простору X Kosaa предегавляти р1зшш( способами через складов! И*t ß i I в!дпов1дно коана зиШавати форцу-лювалия тоореии 3.3."

В заклвчних параграфах даетьЬя застосуванна тоореии 3.3 до ел1птичних ploHSHb. 3 И дог.вмогоя одервзеться !сицвакня розв'яз-к1в ея1птичних р!внянь в просторах Соболева Wp (G) ( р > п ). р|Наяог!чк1 результатв в просторах Wp (О) , одергаи1 о роботах Петривика D.B.

Б § 3.2 розглядаетьса зекача

jü и. (х)- д. (х, Uj Vu, ЛиН1 (и) = f(x) (xeG-) \l)

Ъсс./*с)/1 - О (X G 'S)

в просторах ООр к О) . Доведена

Теорема 3.6. При виконанЩ в1дпов1дних умов для Функц1й $ • Ь , задача (2) мае розв'язок при дов1льн!й ФункцП (!(х)£ ¿рСФ э простор! ^¡¡Ур , якцо виконуеться одна 1з умов

£т На) = + «х> а5о йт А ((:) =■ - .

Л —г +О0 . 6 —г •

В § 3.3 розглядаетьсз ел1птична задача Ли + д(х,и.) = /<х) (хе С-, ОоС(ос)£><1 (3)

1/Э1 &Г0; |5>

до с а) . . виаЦм! сункцП. а д:^

оии1рна по X 1 неперврвна по £ Оункц1я така, цо

I < а(х; ( а(х> б ¿.р СО)

причоад Юнуать границ! п

ит а(х,к) = <2 +■ (эс;

-I- ± о <

Позиачиио _ •)

= [х еС: у(2с)>о}, & у(зс)={хе€г: у(х)<оу

Кае гИсцз

Тзорека 3.7. Задача (3) лае розо'язси в прк.!с:»цванп1

для оператораалр1орно! оЩнйи э 1 викояакк1 од по) 1з уиоз

. I К'ь.)с/х +]"%&)Н(ч)сЬ. >5/Н(у)Ых: о*<у> с-"{у) О

£э И -оператор, взедэкий о § 3.1

у - . ^Г ? Хе х /7 , гдтт/} - ФредгольновкЛ.

и и. 1( II щ !т ' Р.в

В 2 '3.4 роэгдядоетьса злШтячаа задача

Ли. 4- 4(') = /(*) (X 6 С},

а,« о о'= /.....т, х е

Л , В; - £

52т | р! $ т;

чг

в облагт! О з достатньо гладкою границею 3 , Припустиыо. ко

гт

г-а 151

1 крайова задача

Ми=0, В.и1& -О

е фредгольмовою нульового 1ндекса, причоиу Кех Л* {о}. В1диосно функцН & припустимо, цо виконан! уиови:

Де СГ С С0, О, ,<(х> е Ьр (&) (Р>.П).

2, При ЭС б О , | ( = ^ !снуе р!внои!риа поХ граница

А. - .

г5". " СЛГ>

Lt^ Ь П

прячоку

( ь (тс, <> Н (X) € ¿ р/р- 1-<г

При допущениях I., 2 Iснуе ФУнкц1онал

Я <*)'*> ] 1л С —~ л ■ * Ш^Н (у) Ых.

Теореыа~3.07~3адача-(3 )-йае-розв1яэок-с—IV^_як£ю_ви=_ нонуеться одна 1з уиов:" ..■-. Л

1) б" £ [О,П. о(у)>о . $ = О ; 2> £ 6 (0,1), а (у)>0 :

3) сГ = 0. 9СУ) ><4,нуУ-

ОсновШ результат, як! виносяться на эахист:

1. Вид1лення класу операт£ф1в, як1 д1вть 1з одного банахового простору в 1пвий банаховий прост1р, 1 введения поняття обертання векторного поля на границ! деякоХ облает!, в1дм1нн1сь в1д нуля якого гараитуе !снування в област1 критично! точки для оператора, тобто ^снувания розв'язку у в1дпов!дного р1вняння.

2. Побудова допои1еного оператора К : який вииикае при

&осл1д!шш1 KOHOTOiiftifK оператор!!» в 5аиахопях просторах. Догл!д-зеннл яuro зластивоетеЛ,'ли! нео(щди! при шшчегш! нвдиЕергеит-

'.■"'х птнчп'1х |!íими!).

Z, Гршшди аастясувдння anepavopimï тесрН до ¡»становления ic-5!1")апия p03B'S!33hí и »сдясоргсптпмх м)птичних pi внянь SltSJHX яо-

p.'.VÜiiB.

.Злстосцзйпта тополег Иного методу для дослЦшша преблеии Г'-дас^гна-Лзоара для гд^п'лгпшх Dimitió i;wro пооддку is слаб-игл J ni "miern а простпр-« Собслгиа.

Ргт.' p^'.'swya я?югруац}У стпШЖовдм! в удîдпз/чл pnúorna:

i- ч?*5кнв S.П. О sibv-iwm н'итагипгп пог.а для еяиого класс?.- г ~п~

V'--:OÍÍ // WÜ'.ís,- foie;»: ¡!З\'И, д'дшл,- 107-Î.-

г.» сл^-ш.

?.. 'Iif. :л№ !¡. П. Ьнччыекп« иидсьсь критической точки ti "•паяа-; ".î'euen -ншка,- I-V.cp: !5.nj»t. «»ль,- }$?5,- H'sn. ?G.- C.WMP2. j. ti,íí. G OW-w'^i^i nc.'iMwit гтапгонл

Íi.-Hj:'., 1-m-.- 'с.0,- С.30- КЗ.

ц. ?,«>»пк:»а Чзст»»я>аг» ртгорноегь ttgwrc г.лчсса т-

/•,:.í:u¡!tО'ПЧ'.и w»rj.ifnmm эашпгичъшл црг-^нст^Ч it йгпенгм-f-^rt-.u fas«-: ¿угла.» $л7?.- ?.2.-Й.112-ИЙ.. 5, а.11, з<;г,'1чл ¡¡¿йкааа и рв&сгскекгм а-учл? if

l-in:HiíVMi4 t^issix,- К-kíaî Uav.::. - НШ,- :<2,-- С.

¿n.-Kíi

'J. И, r.j-;-tuзли'птгшказ у^яаэч'-;: с

ча;:и?! .ii.í;'.-¡',üüfi K'-vhí /.' Ibv, M пел. ¡o;'» l'.'^-v, ífenit ;i'ji¡-U;Î.' Г?):,-

зчплт* здссоетдея'ч /smfcra* ;¡шячяяй ?a»vî .'/

г^шх-шч ;?.scnj Jîavt. f,'jv?fa,- С,

iôa-яг.

•> UM--:» Ti- >*'- ■

Г..'--л

," ■■' - ••■ г.' ' ¡•••••i f, •,•: .

Г-''-íí .i-'.-' ,V."