Квазиоднородные спектральные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Саркисян Павел Степанович Квазиоднородные спектральные задачи

01.01.02. - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (физико-математические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005050495

Москва-2012

005050495

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана.

Научный руководитель:

доктор физико -математических наук, профессор Московского государственного технического университета им. Н.Э Баумана (МГТУ) Исмагилов Раис Сальманович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета им М.В. Ломоносова (МГУ), Мирзоев Карахан Агаханович;

доктор физико-математических наук, профессор Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета (МАДИ), Буслаев Александр Павлович.

Ведущая организация:

Национальный исследовательский университет «МЭИ».

Защита состоится 26 февраля 2013 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан 17 января 2013 года.

Ученый секретарь _ у

диссертационного совета/^// Россовский Леонид Ефимович

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Спектральные задачи тесно связаны с несколькими разделами математики, такими как математическая физика, теория операторов, спектральная геометрия, алгебра.

Большое внимание исследователей было обращено исследованию задачи о колебаниях струны. Это прежде всего вызвано историческими причинами, влиянием того обстоятельства, что струна имела огромное значение в культуре и искусстве человечества. С развитием науки открылась глубокая математическая содержательность задач, связанных со струной.

Задача о спектре колебаний струны - задача поиска чисел Л, удовлетворяющих уравнению у" — -Хру, где р - функция плотности струны. В качестве граничного условия обычно берут условие закрепления 2/(0) = у(Ь) = 0 (Ь - длина струны), возможны и другие варианты закрепления.

Известно, что такая задача имеет решение, - бесконечную последовательность положительных чисел, которая, будучи упорядоченной по возрастанию, устремляется к бесконечности.

Обратная задача для струны - задача поиска плотности по известному набору чисел {А^}.

История вопроса, берет свое начало с древних времен, когда представления исследователей ограничивались знанием о существовании единственной частоты колебания струны и, само собой, обратная задача считалась решенной вместе с прямой задачей.

Проблема обратной задачи была четко поставлена в речи Лоренца в 1913 годуг. В своем выступлении Лоренц сформулировал интересную физико-математическую проблему: как изменяется спектр собственных коллебаний континуума при изменении его формы. Например, как изменяется спектр ко-

1Исторпя математики с древнейших времен до начала XIX столетия, А. П. Юшкевич, М.: Наука, т. 3, 1972.

лебаний мембраны литавр при изменении формы ее контура?

В 1966 году Марк Кац своей статьей - «Можно ли услышать форму барабана?» 2 обратил внимание математического мира на имеющуюся проблему в области обратных задач. В 1992 году опубликована ответная статья Вебба и Вольперта под названием «Нельзя услышать форму барабана» 3. Авторами представлены два барабана имеющих совпадающий спектр колебаний. Таким образом, вопрос о существовании изоспектральных барабанов был решен положительно и, соответственно, вопрос об определении параметров мембраны по спектру ее колебаний - отрицательно.

Известно, что по заданному набору чисел {A/J (спектру колебаний) плотность струны, вообще говоря, не определяется однозначно. Для однозначного определения плотности необходимо наложить на струну дополнительные условия.

Обычно, чтобы было возможно получить решение обратной задачи для струны (и задачи Штурма -Лиувилля), исследователи полагали заданными два набора спектра (меняя для этого условия закрепления на концах), либо накладывали ограничения на плотность струны.

Можно задаться другой целью - отказавшись от ограничений, искать задачи имеющие один и тот же спектр. Наиболее простая струна - однородная ( р = const ) и спектр такой струны мы можем найти в явном виде. Представляется интересным вопрос существования неоднородных струн у которых спектр совпадает со спектром однородной струны.

Мы исследуем этот вопрос для чрезвычайно простого класса струн -для струн с кусочно-постоянной плотностью.

В свете поставленного вопроса, представляются интересными подобные исследования также для других задач. Для родственных объектов, - канонических систем и графов ставятся те же вопросы.

Мы называем струну квазиоднородной, если спектр её колебаний сов-

2Can one hear the shape of a drum? M. KAC, Amer. Math. Monthly, 73 part II (1966), pp. 1-23.

3One cannot hear the shape of a drum, Carolyn Gordon, David L. Webb, Scott Wolpert, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), 134-138.

падает со спектром однородной струны и затем это понятие переносим на канонические системы и на спектральные задачи на графах, выделяя для каждого объекта исследования некую соотвествующую однородную задачу (задачу, в которой функции, служащие в качестве её параметров являются константами).

Цель работы.

Возникает ряд естественных задач, важнейшими являются выяснение условий квазиоднородности струны и канонической системы, изучение многообразия этих объектов, задача восстановления всей струны (плотности) по её части (при условии квазиоднородности), задача восстановления квазиоднородной канонической системы.

Метод исследования.

Метод исследования задачи заключается в ее алгебраизации. Мы связываем со спектральной задачей класс полиномиальных матриц.

Выясняется, что условие квазиоднородности удается выразить на чистом алгебраическом языке с использованием указанных матриц. Далее, задача восстановления квазиоднородной струны по ее заданной части сводится к алгебраическим операциям с матрицами указанного класса.

Научная новизна.

В работе дано законченное решение указанных выше задач. Показано, что для достаточно простых объектов - струн с кусочно-постоянной плотностью, вопрос об их изоспектральности с однородной струной решается положительно. Указан алгебраический алгоритм, который приводит к построению квазиоднородных струн. Здесь проблема состоит в следующем: задается часть кусочно-однородной струны заданной звенности, требуется восстановить неизвестную часть в предположении, что струна квазиоднородна.

Метод алгебраизации, который был использован, позволяет привести исходную задачу к задаче связанной с матрицами специального вида; эти матрицы мы называем выделенными. Изучение свойств этих матриц, позволяют решить задачи распознавания и восстановления квазиоднородной струны по

ее известной части.

Задача исследования канонических систем также (как и в случае со струной) сводится к работе с некоторым классом полиномиальных матриц; мы называем эти матрицы отмеченными.

Метод алгебраизации оказывается одинаково успешен успешен для обеих типов задач (для струн и канонических систем).

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы специалистами в области дифференциальных уравнений, теории операторов, спектральной теории.

Данное исследование показывает, что явление изоспектральности проявляется уже в классе весьма простых объектов исследования, например, струн с кусочно-постоянной плотностью. Можно надеяться, что предлагаемый подход найдет применение и в других, сходных с представленными, задачах.

На примере рассмотренных задач, выработан определенный подход к решению (алгебраизация), который оказался успешен и использование которого позволило получить результаты работы. Предлагаемый при решении подход, состоящий в использовании кусочно-постоянных функций, есть способ упростить задачу и может применяться для исследования в других, сходных задачах.

Одна из постановок задачи сейсмики - определение по сейсмограмме некоторых характеристик среды (функции плотности и упругости, называемой жесткостью) как функции глубины 4. Такую задачу решают, принимая допущение о том, что в месте исследования земля есть плоская слоистая среда, поперечное колебание в которой задается уравнением Штурма-Лиувилля. Один из способов практического решения задачи состоит в исключении из рассмотрения сильно осциллирующих функций.

'Вычислительные методы в прикладной математике, под. ред. Г.И. Марчука п Ж.-Л. Диониса, Новосибирск - 1982

Можно надеяться, что намеченный в нашей работе способ алгебраиза-ции окажется полезным для этого круга задач.

Основные результаты, которые выносятся на защиту.

1. Условия квазиоднородности для струны с кусочно-постоянной плотностью.

2. Алгоритм восстановления квазиоднородной струны по ее части.

3. Условия квазиоднородности канонической системы.

4. Алгоритм построения квазиоднородных канонических систем.

5. Квазиоднородность спектральной задачи на графе.

Аппробация работы.

Представление материала диссертационной работы на:

1. Конверенции МГТУ «Студенческая научная весна - 99» (условия квазиоднородности для струны);

2. Международной научной конференции в МГТУ им.Баумана «Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях», 27.10.2010;

3. Семинаре в МГУ 25.04.2011;

4. Семинаре в РУДН 03.04.12;

5. Семинаре в РУДН 22.05.12;

Публикации.

По теме диссертационной работы опубликовано 3 работы.

Содержание работы.

Первый раздел содержит описание задач и основные результаты соответствующих разделов.

Обзор начинается с широко известной задачи Штурма-Лиувилля и основных результатов для этой спектральной задачи. Далее изложена проблематика изоспектральности и решения обратных задач, подходы при их решении.

Далее, кратко, представлены результаты диссертационной работы: раздел, посвященный спектральной задаче для струны и условиям квазиоднородности для струны с кусочно -постоянной плотностью; раздел посвященный выделенным матрицам и алгоритму восстановления квазиоднородной струны по ее части; раздел посвященный каноническим системам, условиям квазиоднородности канонических систем, отмеченным матрицам и алгоритму построения квазиоднородных канонических систем; и, наконец, раздел посвященный спектральной задаче на графе.

Второй раздел посвящен спектральной задаче для струны и условиям квазиоднородности струны с кусочно-постоянной плотностью.

Рассматривается следующая задача.

у"(х) = -\ру{х) 1/(0) = 1/(6) = О

Эта задача ставит соответствие каждому р последовательность чисел

ш.

В случае, когда р — а2 соответствующая струна однородна и мы можем найти спектр явно: у/Х^ = к = 1,2,____

Струны со спектром, совпадающим с этим спектром, мы называем квазиоднородными.

В работе плотность задана в виде р(х) = щ2 при х € (cfc-i, Ск), к =

1,...,« (со — 0, Сп = Ъ)

Обозначим dkh — пк, где h = Ck~ Ck-i - длина к -го звена.

В случае, когда а/: — const мы называем струну сбалансированной. В этом случае условия квазиоднородности удается выразить в наиболее простом виде.

Результат этого раздела - условия квазиоднородности для сбалансированной струны, закрепленной на концах, получен в совместной с P.C. Исма-гиловым работе [1].

Этот результат формулируется в следующем виде.

Струна ai,... ,Оп, с закрепленными концами, квазиоднородна тогда и только тогда, когда для всех т, таких, что 1 ^ m ^ n, m - нечетно, величины

равны одной и той же, не зависящей от т, константе.

В данной работе эта тема получает дальнейшее развитие. А именно, условие квазиоднородности получено для разных граничных условий, в частности, для периодических (т.е. для струны -кольца).

Третий раздел посвящен восстановлению квазиоднородных струн с кусочно-постоянной плотностью.

Мы задаем часть струны и, в предположении квазиоднородности, определяем другую ее часть. (Для определенности, мы считаем правую часть струны заданной, а левую неизвестной.)

Прежде чем перейти к общему алгоритму отметим простые случаи, когда условия на неизвестную часть струны нетрудно вывести непосредственно из условий квазиоднородности.

В случае п = 3, 4 правая часть струны состоит из единственного звена и формулы восстановления имеют вид:

для трехзвенной струны

1

Зй2 — а1

для четырехзвенной струны

«4 = оз

Д-з («2 + Др + «2 («2 - ар аз («2 + Д1) - «2 («2 - «г)

Перейдем теперь к алгоритму, позволяющему восстановить струну произвольной звенности по ее заданной части.

Набору чисел <ц,..., ап, ставится в соответствие матрица

Матрица А(1) называется выделенной и обладает следующим набором свойств.

1. Матрица составленная из степеней многочленов А(Ь), имеет вид

Эти свойства позволяют установить соответствие между множеством матриц и набором соответствующих им параметров плотности струны; задавая матрицу, мы определяем и соответствующий набор чисел.

Здесь обнаруживается некоторое обстоятельство. Указанное соответствие устанавливается для всех матриц, лежащих вне некоторого алгебраически пренебрежимого множества. (Мы называем множество матриц алгебраически пренебрежимым, если коэффициенты полиномов этих матриц подчинены некоторому набору алгебраических уравнений.)

Если А\ есть выделенная матрица, построенная по известной (заданной) части струны - аь... ,Опх, пг = [§] + 1, А2 есть аналогичная матрица

(1)

2. Ы{А) = (1 - ¿)п.

3. Лц(0) = 1, А21(0) = 0, Л22(0) = 1.

для неизвестной части струны, то отыскание матрицы А2 сводится к решению матричного уравнения

Далее, по полученной матрице А^ определяются неизвестные величины ащ+1,...,ап. Это производится с помощью алгоритма факторизации выделенных матриц.

Для реализации полученного алгоритма была написана компьютерная программа, дополнительная ценность которой заключается в том, что она позволяет отыскивать квазиоднородные струны с кусочно-постоянными плотностями приближенными к непрерывным плотностям. Ниже на рисунке, в виде графика плотности, представлена такая струна, состоящая из 53 звеньев.

Четвертый раздел представляет результат исследования канониче-

2

X

ских систем.

Каноническая система задана следующим уравнением.

,]у' = \ В(х)у, же [0,4 у(0)=у(с1).

причем функция х >—► В(х), х € [О, <Л\ кусочно-постоянна; таким образом,

(ак Ьк \ Ьк ск )

что В{х) = Вк при х € (хк-ъ Хь] , ДЛЯ всех к=1,...,п. Предполагается, что det Вк> 0.

Пусть Вк = .Т^Вк Як = \ZdetBfc (дк = у/ШЩ), Бк = Вк/'1к■ Условия квазиоднородности для нечетного п (мы ограничиваемся исследованием этого случая) записывается в виде

1хР(<) = (1+»*)" +(1-й)"»

где

к=1

Матрицы обладающие свойствами матрицы Р(£):

1. йеё(Рч) < п;

2. Р(0) = /;

3. ае1(Р) = (1 + ^)";

4. Ьг(Р) = (1+»«)•*+ (1-й)в.

мы называем отмеченными, и эти матрицы позволяют решать задачу построения квазиоднородных канонических систем.

Любая отмеченная матрица Р (за исключением алгебраически прене-

п

брежимого множества) представима в виде Р(£) = П > где =

1, 1аг(ЗД = 0.

Таким образом, эффект связанный с алгебраически пренебрежимыми множествами проявляется как в теории струн, так и с теории канонических систем.

Стратегия построения квазиоднородных канонических систем состоит из двух шагов:

Шаг 1. Построение отмеченной матрицы.

Шаг 2. Разложение полученной матрицы в произведение (факторизация).

Задача построения отмеченных матриц, в соответствие с шагом 1, сводится к системе алгебраических уравнений. В конечном итоге, мы получаем рациональный алгоритм, следуя которому, задавая произвольные многочлены, мы, этим самым, определяем отмеченную матрицу.

Разложение матрицы Рп(£) (шаг 2 алгоритма) заключается в отыскании матриц £1, ¿>2, • • •, вп, таких, что выполнено представление

п

Эта задача также сводится к алгоритму, который заключается в последовательном отщеплении от матрицы (£) сомножителей вида I + t Бк (к — п,... ,1).

Пятый раздел представляет как перенести понятие квазиоднородности на спектральные задачи на графах.

В разделе приводится простой пример, который показывает, что понятие квазиоднородности, перенесенное на графы, является содержательным.

Выводы.

В диссертации излагаются результаты, объединённые общей темой исследования квазиоднородных спектральных задач. Указан общий подход к этому кругу задач, который может быть назван «алгебраизацией» задачи. Этот подход приводит к ряду явных вычислительных процедур, позволяющих исследовать явление квазиоднородности.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Р.С.Исмагилов, П.С.Саркисян, О квазиоднородных струнах, Математические заметки, т. 78, в. 2 (август 2005г.), стр. 317-320.

2. П.С.Саркисян, Восстановление квазиоднородных струн, Математические заметки, т. 82, в. 1 (июль 2007г.), стр. 125-134.

3. П.С.Саркисян, Канонические системы, Математические заметки, т. 92, в. 2 (август 2012г.).

Подписано в печать 26 декабря 2012 г. Формат 60x90/16,объём 1,0 пл. Тираж 100 экз., заказ № 17011301

Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 7728572912X772801001 Адрес: 105066, г. Москва, Лефортовский пер., дом 8, корпус 2. Тел. 728-97-17, +7(499)261-78-22. http ://www.onlinecopy.ru

1 Задача Штурма - Лиувилля.

1. Проблема спектра и изоспектральности.

2. Квазиоднородные струны.

2.1. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны.

3. Задача восстановления квазиоднородной струны по ее части.

4. Канонические системы.

5. Построение квазиоднородных канонических систем.

6. Квазиоднородные спектральные задачи на графах.

6.1. Спектральная задача на графе.

6.2. Пример квазиоднородной неоднородной задачи на графе.

2 Условия квазиоднородности для струны.

1. Постановка задачи.

2. Пример: однородная струна.

3. Уравнение спектра струны с кусочно-посто-янной плотностью. Матрица перехода.

4. Условия квазиоднородности в виде системы алгебраических уравнений.

5. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, закрепленной на концах.

6. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, свободной на концах.

7. Условия квазиоднородности для сбалансированной струны, соединенной в кольцо.

8. Струны квазиоднородные по отношению к двум типам граничных условий.

3 Восстановление квазиоднородной струны.

1. Постановка задачи.

2. Задача о восстановлении квазиоднородной струны по сё левой части; сведение к алгебраической задаче.

3. Выделенные матрицы.

4. Восстановление квазиоднородной струны по её левой части.

3. Вывод.

На этом простом примере, мы видим, что понятие квазиоднородности, перенесенное на графы, является содержательным.

1. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, А. П. Юшкевич, М.: Наука, т.З, 1972.

2. Пути развития спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, Н. Н. Круликовский, Томск 2008.

3. Лекции по нелинейной динамике, Ю.А. Данилов, 2006, КомКнига.

4. Теория звука, Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей), Теория звука, М.: Гостехиз-дат, 1955.

5. Обратные задачи Штурма-Лиувилля, Б.М. Левитан, Наука 1984.

6. Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe, Borg G. Eine, Acta. Math. 1946. - Bd. 78. M. - S. 1-96.

7. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, J. Milnor, Proc. Nat. Acad. Sci. , 51 (1964), 542.

8. Can one hear the shape of a drum? M. KAC, Amer. Math. Monthly, 73 part II (1966), pp. 1-23.

9. One cannot hear the shape of a drum, Carolyn Gordon, David L. Webb, Scott Wolpert, Bull. Amer. Math. Soc. 27 (1992), 134-138.

10. Riemannian coverings and isospectral manifolds, T. Sunada, Ann. of Math. (2) 121 (1985), no. 1, 169-186.

11. Bounded domains which are isospectral but not congruent, H. Urakawa, Ann. scient Ecol. Norm. Sup. 15 (3) (1982), 441-456.

12. H. Hochstadt and B. Lieberman, An inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data, SIAM J. Appl. Math. 34 (1978), 676-680.

13. N. Levinson The inverse Sturm Liouville problem. - Math. Tidsskr. B, 1949. - P. 25-30.

14. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля, Марченко В.А. Киев: Наукова Думка, 1972.

15. On the determination of a Sturm-Liouville equation by spectra, Levitan, B.M. (1964b) Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat 28, 63-68.

16. Крейн M.Г., Избранные труды т.З, Киев 1997.

17. Constructing isospectral manifolds, Brooks R., Amer.Math.Monthly 95 (1988), 823-839.

18. Ein Beispiel positiv definiter quadratischer Formen der Dimension 4 mit gleichen Darstellungszahlen, Schiemann A.

19. Методы математической физики, Курант Р., Гильберт Д, 1933, т.1.

20. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., М. 1967.

21. Дифференциальные уравнения на геометрических графах, Ю.В. Покорный и др. Физматлит 2005

22. Введение в комплексный анализ, Шабат Б.В., Наука, 1987.

23. Р.С.Исмагилов, П.С.Саркисян, О квазиоднородных струнах, Математические заметки, т.78, в.2 (август 2005г.), 317-320.

24. П.С.Саркисян, Восстановление квазиоднородных струн, Математические заметки, т.82, в.1 (июль 2007г.), 125-134.

25. П.С.Саркисян, Канонические системы, Математические заметки, т.92,в.2 (август 2012г.), 291-301.