L2 Свойства решений обыкновенных симметрических дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Бесплатно.

Азарба]'чан Республикасы Елмлэр Акадсм^'асы вэ ТэЬсил Назирлирг ЕА-нын Физика-р^ази^ат вэ Механика елмлэри белмэси

Эл]азмасы Ьугугунда УДК 517.53

ОРУЧОВ ГАРДАШХАН ЭЛИМЭММЭД оглу

КОМПЛЕКС ПАРАМЕТРЛЭРДЭН АСЫЛЫ тРИ-МЭХСУСИ СТИЛТЕС ИНТЕГРАЛЛАРЫ ВЭ ОНЛАРЫН ТЭТБИГИ

(01.01.01 — ри]ази анализ)

Физика-ри]ази]]аг елмлэри доктору алимлик дэрэчзеи алмаг учун гэгдим сдилмиш диссертао^апын

АВТОРЕФЕРАТЫ

БАКЫ — 1995

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МИРЗОЕВ КАРАХАН АГАХАН ОГЛЬ гр- СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 01.01.01.- математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.9

Москва - 1995 г.

Работа вьполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Научньй консультант: член-корреспондент РАН

профессор В. А. Садовничий.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор А. Г. Костюченко.

доктор физико-математических наук профессор В. Б. Орочкс.

доктор физико-математических наук профессор Я. Т. Султанаев.

Ведущая организация: Московские физико-технический институт.

• Зашита диссертации состоится 1995 года

16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Л. 033.05.0 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносов по адресу 119ЙН. Москва. Ленинские поры. МГУ. механико-математи ческий факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-мате матического факультета МГУ (Главное здание. 14 эта«)

Автореферат разослан .^У ¿¿¿С^сЛ^лА 1995 года.

Ученьй секретарь диссертационного совета

Л.053.05.04 при МГУ. профессор Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассмотрим дифференциальное вьражение llf):=-f"t qf.

где вещественная функция q измерима па полуоси I=(0.+m) и суммируема на каждом ее замкнутом конечном подынтервале [а,р]. Согласно Г. Вейлю вьражение 1 классифицируется следующим образом: если

У paonenrie lit J-О nmcrtyf ytrujenirit?, ntf i ipHria/iilt?A*iuim? i Цлл-"Г(тиСТ Ну

¿"СП, jo говорят, что для выражения i и мен г место случай п[*?лель-ной точки Св бесконечности); в противном случае для 1 имеет место случай предельного круга.

Хорошо известно, что в случае предельной точки (соответственно предельного круга) минимальный оператор, порождённый выражением 1 в пространстве Л1), имеет индексы дефекта (1;1) (соответственно С2;2)), т.е. оператор, порождённый выражением 1 и однородным грзиичньм условием в нуле, является самосопряженным в пространстве *?({' в случае предельной точки; а в случае предельного круга та-•лсйыч огае не ярляется и нужно задавать граничим? условия в бесконечности.

Вопрос о достаточных условиях на q. обеспечиваюлих для выражения I случая предельной точки или предельного круга, начиная с работы Г. Вейля 1910 года, находится в центре внимания многих математиков, к литература, посвященная этой теме, довольно обширна. Хорошо известны признаки Г. Вейля (1910 г.). Левинсона-Сирса-Титч-марша (19-19-1951 гг.). Хартмана (1950 г.). Исмагилова (19621983 гг.), Истхема С1972 г.) и др.

Взаимосвязь этих тес ром нему собой и с другими достаточными условиями, обеспечивавшими для вьраження 1 случай предельной точки. также обсуждалась многими авторами. Известны также несколько необходимых и достаточных условий различного рода. Однако, центральной проблемой классификации для вьражьния 1, как это подчеркнуто в одной обзорной работе Эверита (1977 г.). является следугашя задача

Найти необходимое и достаточное условие на коэффициент q, обеспечивавшее для вьракения 1 случай предельной точки или предельного круга.

Несомненньй интерес представляют также вопросы квазирегуляр-

ности и неквазирегулярности обыкновенных дифференциальных операторов и вопросы существования неограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от их коэффициентов.

Изучаемые в диссертации задачи относятся к задачам подобного • рода. В частности, в случае выражения 1 наши результаты дают ответ и на поставленную вьше задачу.

Цель работы. Являясь в течение 20 лет участником семинаров по теории самосопряжённых операторов в МГУ автор стремился дать ответы на ряд конкретных вопросов теории обыкновенных сингулярных симметрических дифференциальных операторов. В диссертации получены различные теоремы существования решений симметрических квазидифференциальных уравнений произвольного порядка, не принадлежащих пространству ¿е£П) С 1£р£+т), приведены два критерия принадлежности всех решений линейных однородных квазидифференциальных уравнений зтому пространству.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Отметим наиболее важные задачи, решённые в диссертации.

1. Найдены два критерия принадлежности всех решений линейных однородных симметрических кваз и дифференциальных уравнений с комп-лекснозначньми коэффициентами пространству (1£ра+в), В случае р»2 - это критерии квазирегулярности обыкновенных симметрических дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве ^СП. В частности, для .дифференциальных операторов второго порядка - это необходимое и достаточное условие реализации случая предельного круга.

2. Разработан метод, позволявший получить нижние оценки для Функций Коши линейных симметрических квазидифференциальных уравнений произвольного (чбтного) порядка с вещественными коэффициентами.

3. Доказаны различные достаточные условия, обеспечивающие существование решений симметрических квазидифференциальных уравнений произвольного порядка, не принадлежащих пространству (1£рз £+*). непосредственно в терминах коэффициентов этих уравнений.

4. Получены аналоги теорем Патнема, Сирса. Исмагилова. Истхе-

ма и др., относящихся к дифференциальньм операторам второго порядка в гильбертовом пространстве £^(1). для дифференциальных уравнений произвольного порядка и пространства I) Clsps+nO. Часть результатов новы и для наиболее известных случаев р-2 и операторов второго порядна.

Методика исследования. Большинство результатов диссертации пг.луидны новыми методами, которыэ специально разработаны автором иля зтих целей. Использованы методы тоорки обшювети.к дифференциальных уравнений, методы математического анализа и методы спектральной теории обькновенных дифференциальных операторов.

Приломвния. Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральной теории самосопряжённых дифференциальных операторов. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МИРАН. Московском. Саратовским. Бакинском и других университетах и математических институтах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались на научных семинарах в МГУ по спектральной теории операторов под руководством проф. D.M. Левитана, проф. А,Г. Костюченко, чл.-корр. РАН В. А. Садовничего. а такге на следу-ших семинарах и конференциях:

1) научный семинар МФТИ (руководители - проф. В. Б. Лидский, про|>. С. П. Аллилуев и проф. Э. Е. Сон);

2) семинар кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители - проф. Е. М. Ландис и проф. В. А. Кондратьев) .

3) семинар кафедры обшей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководители - акад. РАН В.А. Ильин, член-корр. РАН A.B. Бицадзе и проф. Е.И. Моисеев);

4) семинар отдела дифференциальных уравнений МИРАН (руководители - проф. В.П. Михайлов, проф. A.A. Дезин и проф. Л.К. Гущин);

5) международная школа "Понтрягинские чтения IV" (г. Воронеж, 1993);

6) совместное заседание семинара имени И. Г. Петровского по

дифференциальным уравнениям и проблемам математической физики и Московского математического общества (1990, 1994).

Публикации. Основньв результаты диссертации опубликованы в 14 работах автора (одна работа в соавторстве). Список работ приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения. шести параграфов, каждый из которых разделён на несколько пунктов, заключительных замечаний и цитированной литературы и содержит 137 страниц. Цитированная литература содержит 69 наименований, включая 19 рчбот автора.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В первой параграфе, состоящем из трех пунктов, приводятся основные определения и факты, которые используется в дальнейшем. Мы приводим традиционное определение симметрического дифференциального выражения в п. 1. В п. 2. следуя работе У.Н. Эверита и А. Зетла Шеи* егсЬ1еГ уоог У^кипбе (3). XXVII, рр.363-397 С1979)), мы вводим понятие квазипроизводной и симметрического квазидифференци-альнсух> выражения следующим образом:

Пусть Р-СГ,^ - матрица порядка пхп (п>1). элементами которой являются комллекснооначные функции на интервале I. удовлетворяющие

условиям:

а) Г^-О почти всюду в I. если гз1+1^аг>;

б) Г^ локально абсолютно интегрируема, т.е. С^« xia.fi) для любых а.Э€1 и 151,jsn СГ0€ «^СШ;

в) 1%1*0 почти всюду на I при 1*1гп-1.

Квазипроизводные функции у и скалярное квазидифференциальное

выражение, порождённое матрицей Р, определяются следующим образом. Пусть у|0,«у и предположим, что квазипроизводные у1""11 уже определены и являются абсолютно непрерывньми функциями на каждом компакте 1а.(5К1. (к-1.2.....1). Функция

Л«1

называется к ваз'производной функции у 1-го порядка, а вьражение

иу* Су'"-''/-^^-" .1-1

- квазидифференциальным вьрагением, порождённьм матрицей Р. В диссертации рассматривается только кваэидифференциалъные выражения, порояденнш матрицей Р. удовлетворяющей условиям а), б), в) и условно симметричности:

где Г*- матрица. сопряженная к матрице Р. т.е. Р**^,), а J -постоянная матрица

Введём следушее сх5означение

п-1 _

<11. V}- ^(-1)п+1"',и1,,,у1п"1"-11 .1-0

и пологим (и.уМи.у). если п - чётно и Си.уЬЮ.у) или

Iи.V1!(и,у}. если л - почетно. Опред лим теперь квазидиф|ереи циллиюе вьражение т, положив т»1>. если п - четно и г-И/ и;», гесли п - почётно. Область определения ОСт) выражения т -это множество всех функций у. для которых существует локально абсолютно непрерьтныз квазипроетводииэ у *Л1 до (п-1) - го порядка включительно. Билинейная (1орма [и,VI является кососимметрической и справедлива формула

* Р _

где (и.у) «(и,у1Ср)-1и,у)Са). 'г

Вырдтсниэ т называется симметрическим квээиди^форенииальт.м выражением, поро*денным матрицей Р. Далее в этом пункте даётся формулировка теоремы существования и единственности для соответст-вушей системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

П. 3 посвящен определении и основным свойствам функции Коми для симметрических кваэидифференциальных выражений. Точнее, пусть

и,.иг.....ип и иС'.О - решения уравнения

ту «О,

удовлетворявшие начальны* условиям Uj1~11C0)='S1j и соответственно

utl_11(x.O jj^-ö, „ С» .J-1.2... .п). Для функции uCxЛ) справедлива формула

п _

uCx.U-J (-l)nM'upCx)un>l4.Ct). f»l

Функцию uC-.U целесообразно называть функцией Кош я уравнения ry-f.

Во втором параграфе, состоящем из четырёх пунктов, приведены два критерия принадлежности всех решений линейных однородных квази-дифференииальных уравнений пространству г£(1) и их простейшие следствия. В п. 1 сформулирован и доказан критерий принадлежности всех решений уравнения ху-0 пространству ü£CI) в терминах решений уравнения xy-h, где h - "допустимая" функция

Теорема 1(2,1).^ Лая толо. чтойы оса решения уравнения ty»Q принадлежали пространству jfP( J) ClSpS+и), необходимо и О ос та -техно. ч/лойы ¿>лл лсАой функции такой. что

(I) (), Функция v_txy м<* примаОллхала пространст-

•и ^СП1<>С Р 4

В п. 2 сформулирован и доказан критерий принадлежности всех решений уравнения ту»0 пространству *J(I) в терминах функций Коши uCx.L). введённой в предыдущем параграфе:

Теорема 2(2.2). ДЛЯ ">л»о. чтоСш вся ратания уравнения ху*0 принайлв жали пространств у JfP(J) С lsp<+e), нчоСжсОшю и достаточно. чтойы Оля яобой посл&Эо&атглъности непересекающихся имтлр-

*ало» Ca ,Ь )СI, Ш"1,2. .. выполнялась ¡/словив

♦«• Ью X хп

]Г{ J wCx)dxJ|uCx.t)|pwCt)dt] <«В. -1 а» а»

В п.З доказана следующая теорема.

Теорема 3(2.3). пусти ca^.b^Cl. в-1.2....- поелваооа-

тал^мость непересекающихся интервалов таких, что при некотором к«(0,1,...,П-1) выполняется условия

1Здесь и далее в автореферате в скобках приведена нумерация соответствующих утверждений из текста диссертации.

ni-'^i hÄöi'-^r-

»•»i а а

я b

® Л ,(8k),

In Cb -аГ5Г vCx)dxf

.,„ га m i J »vlk]»,lU]

r,-« » ~ t 3xyKidil

V

rcjtia tipaanatuta xy"0 ряшанив, к&азилроизeoönosi ¡('»о порядка

котсрозо на п&ина&лаяш/я

Часть ЯИйГЛртяиия npiÄSiiuiÖHJ I Ь'ОрвМ 1-3. в В П. 4

настоящего параграфа приводятся некоторь» их непосредственный слодствяя.

П. Inn. 2 §3 носят обзорный характер. Здесь приведены Фрагменты теории индексов дефектов операторов, порождённых квазидиффе-ренциальньми вьрахениями в гильбертовом пространстве ü®СI). и сформулированы некоторые известные факты, которые является важньми для дальнейшего. Следуя работе автора [71. в п. 3 приводится слв-дуиапЯ признак неквазирегулярности оператора, порожденного квэзп-ди^фиренцийльмым кьрзнснием

с вещественными коэффициентами p0.pt.....p^ie^CI).

Т е о р о м а 4(3,6). пусто

(3 ,b 3CI (я»1.2. . . ) - п&слфЗо&орюльнос/тгь и vnsipac <7к аю>ци х с я ишыраалоо пххких, что 0Д>Сх)£М . р„(х)2Ю. р.Сх)вО..... р .Cx)iO

Г1 Ч г0 г 1 * Гг-1

лсч/nu ъскзОу на (д Ь )'

84* RS *

Ф) ujwzfn /iacfoo одно и» условий <5 ) или £ ):

V 18

1 ь

t— f b -a f r ,0r>-j-h -.1 гг

I 1 1 ["-WxJj Pk(x)dx} -

при некоторое ke(0,l.... ,n-l);

2 ъ*п

■^a- Cb -a ul»a/a « »

a«I "и

z

при некоторых. seíO. 1....). k€Í0.1.... ,П"1 >, *aa р^-1. асли s»0 u p^-varimln {pk(x): xeta^bj}. s€<1,2.. ...>.

а выражение | не является к*азир*ж уляршл*. п

В п. 4 приводится обшение этой теоремы на случай пространства *р(I) Cw»l):

Теорема SC3.7). пусть (a^.b^cl Cm«1.2...) - послеао-ва/пяльмость непересекающихся интервалов таких, что Qjjp (x)sM . роСх)еО. PjCxJsO..... p^jíxjto ^ти всоЭу на (.am\~¡ "

«H-l H»

Í -aJal"(,'-,0*n-JJ-1—]

[ «rw H¿ " * " J

при некотором SC(0,1,.. . } " J,k«{0.1.....П-1). '<*» Pto"i. *сли S-0

" P^-varlinin {p„Cx): xcla^.bjj. «ли s«(1.2... .>•

уравнение ] (fj«0 имеет решение, производная j-'o порядка которою не принадлежит пространству I) ( J ) ).

конце этого пункта приведены примеры, иллострируоише возможности этого признака.

В §4 рассматривается квазидифференциальныэ операторы, порожденные квазидифференциальньми выражениями второго порядка. П. 1 посвящен обзору некоторых, на наш взгляд, важнейших работ, в которых идет речь об этих операторах. Отметим, что выЗор этих работ носит чисто субьективньй характер и далеко не полон. В пп. 2.3 приводятся применения теорем 1. 2 соответственно и их следствий к дифференциальны* выражениям вида Hfl— г' ♦ qf. В п. 2 мы ограничились случаем пространства Ли. а в п. 3 рассматривается пространство ЛП С1 spa«i).

Приведём примеры применения этих теорем:

Теорема 6(4.9). Пусти ветаственнолнапние функции р u Q определены ка полуоси I, Р и Q локально обсолкпно непрерывны. Функции -Р ♦{q+02)P, CPQ)' tP о принадлежат пространству ^d). Tosöa:

а) если рде*^!)» /»о Оля тиражам I ил*ж*т *«*сто случаи п£нт<Э<жлы<о(1

/*&<ки;

С>) если р€£^С1) и ш«т<ггп спличниа от нуля прсь5>зл при

для адонэтня | ш*<?<гт /*зсто случай пр<*$(Злы1е>го кру-яа. Т в О р © М 3 7С4.11). Пусть с уицгсгпаусеп посЛФЭоваггхзльноспх» напяр<?сака<мшхсА иштариало*\ (3 , Ь ) С,2,. . . ) и 0<р£1

кил» что

<х>

х

£ (ь»"аш),'р| / усх.осйл т-1 а_ а_ *

»я та

ь„ х

| 11т (Ь^-а^Г*! у(хЛ)сИ-«»|.

*-1 I

X

у^х.тЗ-иСх-т^г). У^Х.ГЗ-^У^Х.^^.Г)«^. 5-1.2....

т

а

ь

п

»■> СЬ -а ) Г ч х<1П-1>) т-1.2.....

га т

а„

«»ЛР'ЛП).

Теорема 8(4.12). Пцсть {а ,Ь ) (т-1.2,...) -

г м т

(Ь.-а_),,/гм

- -»С,

ь_

1/2 -.р/г

♦«о

I

СЬ-а )р'2°

_И И

| | Сх-ая)ч_Сх)бх+11

а«.

То&аа ураенаниа ЦГ]»0 алпаш ' зшаниа. на принадлвхшига проскранст-

<ч> *РСП.

В §3. состоящем из шести пунктов, получены нижние оценки для функции Коши симметрического квазидифференциального уравнения с вещественными коэффициентами I на конечном отрезке. В пп. 1-3 приведены итерационные ряды для этой функции и с помощью одной леммы С п. а) получены упомянутые вше нижние оценки в случае, когда длина рассматриваемого интервала и коэффициенты квазидифференциального вьражения связаны между собой определёнными соотношениями: Теорема 9С5.1). "цепи (а.Ь)С1. рп(х)гО ло,<лш

хеса.ь), и пусти р" р" , гоакиа* что

•О I

У-[[ ] ( { Ц-Т?"'* Лг*

¿5, Ип-1-к)П8 ЛЫ р0С«) Т* N РПС«) 1

в8 X

«1 -„>] -1-

а

Толда при «с<гх а:Ц,ЯхаЬ римкиии Ноши ц(х,1) уравнения | [Г]»0 выполняется кароввкс/жха

(-13^ иСх.ОьУнС-Ы рГСхД)*

♦в .

♦^Ч-п'-^^сх.и си«од.....п-1).

р~сх): —а>1пСркСхЗ.О>; р^х):-ркСх)»р;(х) Ск-0.1.....п-1).

х

рГСх.ОпССх.и-» СхЛ)«-1-— [ КЛ-ТКТЧ?)""1 ¿т

n-1

К»0 i

n-1

(s-0.1.... ).

Эти неравенства, по-видиному. имеет самсстоятельньй интерес. Но всяком случае, из них «сшю извлечь новое доказательство известной теоремы Хартмана-Уинтнера и дать аналог этой теоремы для уравнений дькших порядков:

Теорема 1ССЗ.З). £ a. b)Cï. рп(х)гО '••>*<="

при уеГа.М и пист. функции п~ п~..... г>~ ^овлитворжуи условию

ТояОа, если аз*Фзспьъанн<хг решения у(х)$0 уравнения | [Г3«0 u^tfof/и

' п'

12П~1)-кратом карано « некоторой точка j¡ е( а.Ы yCx)*0 nf>a

ас"* хе(а.Ы\<х0>.

В п. 9 мы приводим один способ разбиения произвольного отрезка на конечное число отрезков так. чтобы в каждом из них выполнялись нижние оценки для функции Кти и оцениваем сверху число таких отрезков в зависимости от коэффициентов соответствующего уравнения.

Точнее, пусть (a.b)CI - произвольньй отрезок, Ost»<l - постоянное число и рпСх)*0 почти всоду на ía,bj. Определим разбиение отрезка 1а.Ы точками з=гз0<з1<... <зн»Ь следу кям отразим. Положим afl. »а и рассмотрим функиив

т

b

а

Эта функция возрастает при х>а_ и lim f(x.aft)-0. Следовательно.

либо fCx.a0Xl-»» при всех х«[а.Ы. либо уравнение Г(х.а0)-1-ы имеет корни из отрезка 1а.Ы. В первом случае положим а^-Ь и завершим разбиение, а во втором случае положим

at:»niln|x: х>а0. f(x,a0)-l-i>}-.

Если при этом окажется, что aj-b. мы также завершаем разбиение, в противном случае определим число а8. заменив в приведенных выше рассуждениях число э0 на число аг Предположим теперь, что точка ae (m-O.l,...) требуемого разбиения уже построена, и построим точку a^j. Рассмотрим функцию fСх.ажЭ при xeta^.b). В случае, когда Г(х.а^)< 1 -и при всех x«(ae.bJ. определим точку а^-b и завершим разбиение отрезка (а.Ы; в случае же. когда уравнение fCx.a^J-l-v имеет корни, положим

WBln{X! X>£V

и завершим разбиение, если а^'Ь; если же awM<b. продолжим процесс. Количество точек разбиения отрезка (а.Ы точками aQ< at<... конечно, более того, их максимальное количество К удовлетворяет неравенству

Ь b

i -tjl.Kn-1 -ЮМ» |iCT-a)Cb-t)]r>","kP^Cr)di|,/2*l

а " а

Налагая на коэффициенты квазидифференциального вьражения 1п

дополнительные ограничения, для числа N можно доказать и другие неравенства. Эти неравенства являются аналогами известных неравенств и играют важную роль в дальнейшем.

В п. 8 сформулированы и доказаны две леммы, которые находят применение в §8.

В §0 приводятся теоремы существования решений линейных симметрических квазидифференииальных уравнений с вещественными коэффициентами, не принадлежащих пространству ip(I) (lsps»e) в терминах их коэффициентов. В п. 1. в частности, сформулированы и доказаны следующие теор/ <ы:

Т е о р е М а 11(6.1). пусть сущастаушуп гхс*:

н&п<?р&сякахш1хся ин/пароалоа (3 ^ ) С1В-1#2... . ) и иис-ло 0<1г31

п п

ки<9, что

П р„(х)*0 при х«(а .Ь ) (ш-1,2....);

гп и я

2) функции # р~ такиа. что

£ г*" ' Ь»

у—1—Г Г Г Г и-т?"-'" «и!«

ип-1-мп* з 11 '}* и )

Ь.

I

ь» х -р/а

зС1-1>)| Ст-1.2....):

»■» гид

3) ^СЬ.-а,,)1-*] I <1х| у(хЛ)(Н.| «-1 у ая ав ■>

Ь» х .

Нт ^Ьв-аиГе| уСХ.ОСИ-+« .

а я -I

ТЯ » V»

УСХЛ) - £ ^Сх.О+У

^ »"О »-1

и функции р'Сх.О С5"0,1... . ) оприд&лзни в формулировка гпяорани д ТолОа ураанзниа I (Г]«0 ияззт рзшзниа. на приноёлзкащсгз пространс-

аЛп

Теорема 12(6. 2) Лрс/ль сущзстаузгп посл&доаальтлмс" пн. нзпйрасзкасишхся шшараалоа ^ (ш»1 2 ) пк1кая' >*п*о

1) РпСх)-1 поит лсо>и х«(ав.Ьв) Ст»1.2....):

2) функции п", п"..... о" пакил. что

к0" К1.....

У-1--\ Г(Ь -т)(т-а)1 р"Гт)бг£Ь -а„ Ст-1.2.. .. );

(Сп к)!)2 I I. а ^ * " в

♦ о» ,

3) У (Ь -а ига (Ь -а )"+*

т-1 4

ТояОа уравнение | [ р ] -О имгат рашаниа, на принайлажащаа пространс -л

/ту г^сп (1ар*+«>).

Теорема 13(8.3). Пусти (а )С1 - послеаооотзлиности Г ига

н<т<зр&с<гксиощцхся интараалоя такиу, что п (х)£0 почти есюОу при

кеСа^.Ь^ Си"1.2,• • •) и ли6°

СЬ -а )("-,/г,р<1 , (Ь -а З2""1

м ^ о -а ; е _ . \ —2—2-,-5- «+« Цт —2—Е- в+а

лиЬо п+2/р>2 "

«в г

I "4 -Ъ-1 рй

«-1 ^ ая

ап-иа/р J „+в

1 тйп»!

ЗОЯ

[( ю 1 чйп»! «

Ив -Чпг- 1 р" гпМ

В1

Мп-тах{Рг1(Х):хс[аю.Ьв]}

г г ''в ч П-1 ''в ч!/г

* N -р- Е /"Ь.-хХх-а^-ЪСх^х »1.

Ч а к»о а *

к»в ал

Го*<Эа уровнигнив | [ГШ) ш**"* решение, на принс&лахшига пространс -

гр(1) (1грЗ+в).

Заметим, что теоремы 11 и 13 являчтся аналогами теорем 7 и 8 соответственно.

Теорема 14(6.4). Пусти (а .Ь )С1 - послМолатлиности

в в

няпарясфкающихся интяртало* таких, что р (х)1Ю почти »саОу при

и

ХССа^.Ь^) (ГО* 1,2, ■ ■ • ). Предположи/», что при наноторо,, к«{0,1.... , П-1) и натуралкма* 5. уОоллатторяюшдя нарааянстлу 5< ($< • ) , выполняется условии

in»! ^¡о

{-H <»•"•}

(s»i)p/a

v " а*

к

afn*s(n->t))*i

f

Um -* ~Н Ч'""

di

Sii'l t2/n

_ i ^ 1 - 1 .

♦ ■■" j , рк*рк wu '*''-"" * " " ivi'k'

5 - H&<Qr*HOG число, TOiö« 1 tri —0 P&ll"SHU<t, ил при-

ноалалащаа пространстац J) (Jsps+a).

В п.2 перечислены основные следствия этих теорем, в частности, аналоги теорем Сирса, Исмагилова и Истхема. Из результатов п.2 следует также часть утверждений работ Аткинсона. Истхема и Маклеу-да СРгос. Roy. Soc.. Edlnbyrgh 7вА, pp.183-196 С1977)) и Эверита. Ноулса и Рада СРгос. Roy. Soc.. Edinburgh. ЮЗА. pp.213-228 С19863) . полньй обзор которых приведён в п. 1 §4. Кроме того, некоторые утверждения. сформулированные ниже, является новыми и для вьоакениЯ вида HD* >-СрГ ) »qf, н для случаев р»2 или р-»».

СлеДСТВИО 1С8.1). Пусти с^цастяцет пася^Зова/>ь1л^~ поспи н^пярасвксиацихся инт&р&алов (д ([Пя1 2 . , . )

а (х)гО noimu лсюгт при хеСа ,Ь ).

гп га гя

Ьп Ь„

й m

in —1 tvl-fc

_1_.у-1--- j Гсь-х)(х-а )]"" p"Cx)dxiK.

P" wS, i(n-l-k)l) J l 4 J *

a- a.

*àct ~ il An&O

b-.........

ТГ t-f f* i(b -xXx-a )Jn 1

E'^lf p(x; *}

e-j »■a J

П

ь„

. " [(b -x)(x-a ) ) 1 lira С b -a ) f-s-=- dx-«> .

— * a { PJt) J

г5 ,-»Г ЬЛ г" СЬ-тЗ'Чт-х)'1-1-»

•-1 1 а.1 х пг"

р*Сх)х

'[1 I «

Сх-т)п"1"|((т-а_)п 1

рпсх) } /

СЬ_-1)пСт-х)п"1"11

Г . "Г СЬ-1)пСт-х)п-1-" 1 „

[{[I — £1Т;сх5х

Г * Сх-тЗ^'^Ст-а)" 1 1

х Г -а—<1г

I { Рп^ ] ]

г пи некотором |<€{0,1.....П"1). ТоеНа уравнение 1 [Г]«0 имеет решение, не приноЯлзжатее пространству (1£р5+и),

Следствие 2С6.2). пусто ()<С5рп(х)£С почти всаНу при хс1, с и С " постоянные числа и пусто ц - положительная неуЪм-воошая функция на I такая, что п-1

£ р^сх)5м(х) "р" х€1 « | г("-,/г)р/г=ч-ю. к-о о

Тозса уравнение | I Г} ""-О *лмеет решение, не принадлежащее пространс~ й

та у гР(П (1£рЗ+еО

Следствие ЗС6.3). пусто 0<сгрп(х)8С всояу при

. с и С " постоянные и пусти п-1

---- 0 л*5" X-► ♦«.

к^О

Тое&а уравнение ] [Г)»0 неограниченное решение.

п

Один из аналогов теоремы Р.С, Исмагилова Сем. Успехи матем. наук. 18. № СИЗ), стр. 1Б1-166 С1963Э) для уравнения вида 1„(П-0 приведен в п.З. §3 настоящей работы Стеорема 4). Кроме того, аналог той же теоремы можно сформулировать также и в следуощем виде: Следствие 4(6.4). пусти (а Ь )С I - последователь-

И Я

«осло нзъърасакохяшхея имлюреадов та*их, что Озр , р (х)£0,

^Л И' М> '

р^х)«)..... р^СхЭгЮ по,ши •С'&и "ей хеСа^.Ь^) (ш'1.2.- -) "

I 157Г J ÍCbB-xKx-aJ)3"-^Pl,Cx)dx »к,

»»I 'ra I аи J

при Н&хоторс,* ksío. 1.....n-1). ТогОа ураанянив | [ f ) «0 P-Ju-j-

нив. н» прикаолахлшаа пространству J ),

Теперь лрикодбм аналог одной теоремы Истхема (Bull. London Math. Soc.. 4. pp. 340-344 С1972)).

Следствие 5(0.3). Пусти (a^.b^Cl - посл&Оо*<х1к>л\~

.'i-i/:'- i' 'V1, ----,■ ^r ru---" ^ uiv<WHMi«MI. U f - "г^ЛС*-

4Lici>i ^m-1!, . . . 4fr<o ¿g /i.e. fia (a ) a

* * ' n ra' й

а) У rl1"» С Пи у-0).

n ra

б) ib -aj,*(l*"1/a>p * Sk CCb-aJZnrl y tíc).

■ и я ne a

n-J b»

0) T f ((*a«)Cb -x)lff-1-|,p:Cx)dxsKCb -a

f, , j ш я к si я m

i.o aa

1

У f ÍCx-aJCb -X) 1 r'~1~,tp~CX)dxsKCb -a .

I / J oin к nui 'ml

k«0 a J

Kl

JtÖ<X ÇJt 11 К - ПОЛОКШМДЫШ4 Аослюлммиа. Töjda ypatJHtfHUtf

t ( fl»0 имайп решения, к<? прииск''Лросгпранст^у

(lapa*®).

Теперь приведён ещй один простой признак существования решения уравнения I (П-0. не принадлежащего лростран<~гпу i^CI) С laps«).

Следствие 6(8 в), пцсяь с^р (x)sc а**™-* - г* "

11 ( Ii 0.1.....П~1), С и С ~ поло жи/г*?льнк*г* по -тюядш^з.

а +-<». ТолОа vpatmeHtt« | (fj»0 решение, на прино&лежащая

пространству I ) ClSpS»«.,.

Следствие 8 является обобщением одной теоремы Патнема (см. монографию И. А. Иаймаркз "Линейнье дифференциальные операторы' . Москва. 1963, §23. п.6. теорема 7, стр.351).

Теперь сформулируем некоторь» следствия теоремы 14.

Следствие 7(6.7), Пусть (а ,ь )cl - последователь-

в в

ности непересекающихся интервалов таких, что Osn (х)~ Н пспми всю-оу при х€Сав.Ьв) (m*1.2.---). u пусть

и ч<8п-1/а)р»г

Z_lB___L_f (D*)i/C«n-i»8/pjl

* . I?" J

И

fllm ———i4_rB(Pi).-r,/2.Jt

I—" Cb-a)M„ 0 J J

Ю

где числа Ц и у были определены при формулировке теорема 23. в в

То*<За уравнение J {f ] «Q имеем решения, не принадлежащее просшранс-

£P(I) (lspa+e).

Следствие 8(6.8), Пусть (а К )С1 - послеОователь-

п в ■

ность непересекающихся интервалов таких, что 0£D (х)-М почти всю-

в

Ну при хс(а ,Ь ) (и*1,2,- • • ). Если JspS+e, мо предположим, что

в в) ' при некотором кб(0,1.....П-2)' а если j£p<2 ила р"+«, "ю при некотором к«(0,1... . , П-1) выполнено условие

Ь.

I»

ч(зп-гк-1/г)р»1

Si t i " a J

Ш

(„ г ^в -.эг»-2к»1/г

То*Ла ураанение | [П»0 имеет решение, не принадлежащее пространс-п

Замечание. Из результатов п.5 §С диссертации следует, что числа у в теоремах 13 и Н можно заменить числами

{(Ь -а )э п"2 1,/4

—Vй—£ I КЬи-х)(х-а11|)],>-1г-кр;(х)<1х[

* к"° ав

если Р^СхЗвО при хе(ая,Ь1||) (ш=1.2,■• ■). или

Cb „а jaj.1 пм-j b« -i/(a>8)

га__гл

a k-o а

если р ,(х)Ю..... р ,(х)=Ю, при Ь ) (яг1.2. - -• ,>-1.2.....

г Гг~ 1 П~ J Гн И

п-2), где с *1пГ(р (х): хе(а ,Ьт)). Это. в свое очередь, позволит, например, улучшить количественные оценки в следствиях 2. 3, 7 и 8.

й явплычи-л с<юлшл г с^--;:: ппл-

Олемы. к которым применимы мс-тоды настоялся л::сеерт2!'!*!'!. и пор"ии-слены конкретные задачи по обсуждаемой тематике, осташшеся на данный момент нерешёнными.

Автор выражает глубокус признательность своим Учителям - профессору 6.М. Левитану, профессору А. Г. Костюченко и члену-корр. РАН В. А. Садовничему.

Выражав также благодарность моему другу В.М. Гладыиеву за помощь при оформлении диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ АПТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мирзоев. К. А. Квазирегулярныэ дифференциальные операторы четвертого порядка. ДАН СССР. т.231. N3, стр. 550-533 С1980).

2. Мирзоев. К.Л. Описание самосопряженных расширений квазирегулярных операторов, порожденных двучленными дифференциальными выражениями. Матем. заметки, т.29. N2. стр.224-233 (1981).

3. Мирзоев. К. А. Квазирегулярные дифференциальные операторы. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук. Издательство МГУ, Москва ПЯЯП.

4 Мирзоев. К. А. , Левитан В.М. Штурма-Лиувилля оператор. Математическая энциклопедия, т.5, стр.913. Москва (1983).

5. Мирзоев. К, А. О случаях предельной точки н предельного круга. Матем. заметки, т.37. N3. стр.712-716 (1S8S).

6. Мирзоев. К. Л. 0<5 одном критерии квазирегулярности оператора, порожденного квазияиф{>еренциальным выражением. Успехи матем. наук. т.4С. N1 (241). стр. 207-208 (1983).

7. Мирзоев К А. 0 неквазирегулярности некоторых квазиш {фе-ренииальных операторов. Матем. заметки, т. 41, МЯ, стр. В73-681

С1987).

8. Мирзоев. К. А. Об условиях существования решения уравнения у «яу. не принадлежащего пространству 2р(0,+в). Матем. заметки, т 4?. N4. стр.77-82 (1990).

9. Мирзоев. К. А. Функция Коши и X? свойства решений квазидифференциальных уравнений. Успехи матем. наук. т.43. N4 (280), стр. 161-162 (1991).

10. Мирзоев К. А. 0<3 условиях существования решений квазидиф-Ференииальных уравнений, не принадлежащих пространству *р(0,-н»). Матем. заметки, т.50, N6. стр.105-113 (1991).

11. Мирзоев К.А. Об условиях существования решений обыкновенного симметрического дифференциального уравнения, не принадлежащих пространству £р(0,+«0, Тезисы доклада. Совместное заседание семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского Математического Общества (XIII сессия. 2-3 февраля 1990 г.). Успехи матем. наук. т.43. N4, (274). стр. 132-133 (1990).

12. Мирзоев К.А. Об одном обобщении теоремы Истхема о предельной точке. Успехи матем. наук. т.47. N4 ( 286). стр.203-204 (1992).

13. Мирзоев К.А. Об аналогах теорем о предельной точке. Тезисы доклада. Совместное заседание семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальны.! уравнениям и математическим проблемая физики и Московского Математического Общества. (XVI сессия. 19-21 января 1994 г.). Успехи матем. наук. т.49 N4. (298). стр.89 С1994).

14. Мирзоев К.А. Об аналогах теорем о предельной точке для квэзидифференииальньи уравнений высших порядков. Доклады РАН. т 338. N3, стр.306-309 (1994).