Либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей средних движений в модели обобщенного идеального резонанса тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Построение модели либрационного движения астероидов вблизи соизмеримостей средних движений астероидов и Юпитера.

1.1. Общая характеристика орбит астероидов и методов исследования их движения вблизи соизмеримостей

1.2. Формулировка задачи

1.3. Преобразования гамильтониана задачи

1.4. Решение задачи для промежуточного гамильтониана

1.5. Вывод формулы для вычисления средней долготы астероида

1.6. Решение задачи для орбит с малыми наклонами

1.7. Решение задачи для возмущений порядка 0(т3^2)

ГЛАВА 2. Характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей средних движений

2.1. Периодические орбиты астероидов при т =

2.2. Характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 2/1, 7/3, 5/2 и 3/

2.3. Границы и амплитуды либраций

ГЛАВА 3. Классификация либрационных орбит

3.1. Либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей 1/1 и 3/

3.2. Либрационные орбиты вблизи люков 2/1 и 3/

3.3. Устойчивость положений равновесия

3.4. Либрационные движения астероидов группы Гильды

3.5. Сравнение движений вблизи соизмеримостей 3/2 и 1/1 астероидов группы Гильды и астероидов троянской группы

3.6. Применение результатов исследования либрационных движений астероидов к проблеме формирования неравномерностей в распределениях малых планет по их средним движениям и наклонам орбит

Орбитальное движение большинства известных астероидов, согласно результатам исследований, происходит по слабовозмущенным эллиптическим орбитам с небольшими эксцентриситетами и наклонами. Исключениями из этого правила являются те случаи, когда средние орбитальные движения астероидов и возмущающей планеты соизмеримы, то есть, когда их отношения равны или близки к отношениям двух целых чисел. В этих случаях возмущения в движениях астероидов становятся значительными (эффект соизмеримости).

В движении астероидов эффект соизмеримости был открыт в 1867 году Кирквудом. Рассматривая распределения астероидов по их средним орбитальным движениям, он заметил крайнюю малочисленность астероидов вблизи соизмеримостей 3/1 и 2/1 (люки Кирквуда). Однозначное объяснение причин формирования люков к настоящему времени не найдено. Известны четыре гипотезы о формировании люков [65]: космогоническая, статистическая, гравитационная и гипотеза, согласно которой люки образовались в результате взаимных столкновений астероидов. В статье Швецера [94] и в некоторых других исследованиях [77, 99] показано, что статистическая гипотеза не подтверждается результатами исследований. Гипотеза о столкновениях астероидов проверялась в работах Эппенгеймера [69] и Везерила [98]. Согласно результатам их исследований вероятность взаимных столкновений астероидов в люках мало отличается от вероятности столкновения астероидов, расположенных вне люков. Космогоническую гипотезу, согласно которой люки существовали при формировании планетной системы, трудно подтвердить также как и опровергнуть, ввиду отсутствия как данных наблюдений, так и достаточно точной модели формирования планет. Ввиду перечисленных причин исходной для исследования проблемы формирования люков считается гравитационная гипотеза. Согласно гравитационной гипотезе, в формировании люков и сгущений проявляются особенности гравитационного поля, образуемого Солнцем и большими планетами и прежде всего с Юпитером.

Более поздние открытия астероидов показали, что с соизмеримостью средних движений связано не только появление люков. В соизмеримос-тях 1/1, 4/3 и 3/2 наблюдается обратное явление - скопление астероидов (сгущения). Формирование скоплений астероидов вблизи соизмеримости 1/1 связано с существованием устойчивых точек равновесия. Эти точки равновесия были найдены в 1772 году Лагранжем как частные решения ограниченной задачи трех тел. Гравитационные и центробежные силы в этих точках уравновешиваются. Вследствие этого тело, бесконечно малой массы, попадая в эти точки с нулевой начальной скоростью (во вращающейся системе координат), длительное время будет оставаться в этих точках неподвижным. Если начальная скорость ненулевая (но достаточно малая), то астероид будет совершать колебания (либрации) во вращающейся системе координат вблизи положения равновесия. Существование таких устойчивых точек равновесия вблизи соизмеримости 1/1 подтвердилось в результате открытия астероидов троянской группы. Эти астероиды образуют две подгруппы, в соответствии с двумя устойчивыми положениями равновесия и

Результаты наблюдений и исследований [25 - 28] показывают, что значительные либрационные движения существуют также и у астероидов, расположенных вблизи соизмеримостей 4/3 и 3/2. Однако такое же простое, как в случае соизмеримости 1/1, объяснение происхождения либра-ций в общем случае к настоящему времени не найдено. Существование либрационных движений у астероидов, расположенных вблизи других соизмеримостей, невозможно объяснить существованием точек и L5, так как их орбиты расположены далеко от точек Лагранжа L4 и L5.

Влияние особенностей гравитационной системы Солнце - Юпитер на движение малых планет вблизи соизмеримостей исследуются при помощи методов теории возмущений [12]. В аналитических методах исследования предполагается вывод уравнений либрации. Исходными уравнениями для вывода уравнений либрации являются уравнения ограниченной задачи трех тел. В результате канонических преобразований исходные уравнения приводятся к уравнениям упрощенного вида. Полученные в результате преобразований уравнения, в отличие от исходных уравнений, интегрируются и представляют собой упрощенную модель исходых уравнений, модель резонансного движения.

Исследованиям резонансных движений астероидов аналитическими методами посвящено много работ [9 - 12, 13 - 20, 59 - 63, 65, 66, 69, 70]. Методы преобразования исходных уравнений и полученные в результате преобразований уравнения либраций в этих работах в большинстве случаев существенно различаются и трудно поддаются сравнению. Общий подход к классификации периодических решений ограниченной задачи трех тел основан на принципе Пуанкаре порождающих решений. Наиболее полный обзор результатов, полученных на основе этого метода, содержится в монографии Брюно [9]. Результаты общей классификации дают общее представление о периодических решениях ограниченной задачи трех тел. Однако результаты общей классификации не всегда пригодны для решения конкретных задач. Поэтому разрабатываются также специальные методы исследования резонансных движений. Некоторые из них, наряду с классическими методами теории возмущений, рассматриваются в монографии Джакальи [12].

Основная идея специальных методов заключается в преобразовании гамильтониана исходной задачи к виду гамильтониана другой задачи с известным решением или же задачи, для которой существует аналитическое решение. На основе этой идеи в статьях Гарфинкеля [60 - 64] исследуются либрационные движения астероидов троянской группы (соизмеримость 1/1). Гамильтониан плоской круговой ограниченной задачи трех тел Гарфинкелем был преобразован к виду гамильтониана обобщенной задачи идеального резонанса. Формулировка и решение обобщенной задачи идеального резонанса также были получены Гарфинкелем в одной из его работ [61]. Применение модели обобщенного идеального резонанса к пространственной ограниченной задаче трех тел расматривается в статьях Загретдинова [18 - 20]. Загретдиновым получены либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримости 1/1 с учетом наклона их орбит. В данной работе рассматривается возможность применения модели обобщенного идеального резонанса к случаю соизмеримостей общего вида.

Решение задачи обобщенного идеального резонанса получено Гарфинкелем [61] при помощи метода Цейпеля. Применение этого метода приводит к определенным трудностям, связанным с необходимостью выражения полученного решения в явном виде. Явное решение можно получить при помощи компьютерных программ аналитических вычислений. Решение задачи можно получить и при помощи других методов. Например, методов теории возмущений, основанных на рядах Ли. В этом случае трудности выражения решения в явном виде не появляются.

Решение обобщенной задачи идеального резонанса дает промежуточное решение исходной задачи с учетом возмущений первого порядка. Для учета возмущений высшего порядка используются формулы метода Хори, основанного на рядах Ли [18]. Выбор этого метода объясняется тем, что алгоритм этого метода приспособлен к применению компьютерных вычислений.

Результаты классификации либрационных орбит астероидов вблизи соизмеримости 1/1, полученные Гарфинкелем на основе модели обобщенного идеального резонанса, подтверждаются результатами Рабе [94 - 96] численного интегрирования уравнений движений. Классификацию либрационных орбит для других соизмеримостей можно получить при помощи основных характеристик либрационного движения. Эти характеристики получаются в результате усреднения гамильтониана задачи. Выбор схемы усреднения связан с выбором системы координат, в которой рассматриваются либрации. Однако либрационные орбиты в различных системах координат будут отличаться только тем, что одни из них будут образами других при некотором линейном отображении.

Результаты классификации либрационных орбит астероидов вблизи соизмеримости 3/2 частично можно проверить при помощи данных об элементах орбит астероидов группы Гильды. Число устойчивых точек равновесия и их расположения на полярной плоскости можно определить по распределениям их полярных координат. Характеристики либраций пригодны для сравнения соизмеримостей между собой как в качественном, так и в количественном отношении. Поэтому результаты классификации можно использовать для анализа проблемы формирования нерав-номерностей в распределении астероидов по их средним движениям.

Формирование как люков, так и сгущений, согласно гравитационной гипотезе [65], является результатом влияния особенностей гравитационного поля, образуемого системой Солнце - Юпитер. Основная проблема заключается в выяснении механизма формирования особенностей в распределении, в выяснении причин, по которым в одних случаях формируются люки, а в других - сгущения. Большинство наиболее значительных результатов о параметрах люков получено численным интегрированием уравнений движения [30, 86, 87]. Однако по результатам численного интегрирования трудно получить общие отличительные характеристики либрации в люках и сгущениях. В этих случаях используются аналитические методы.

Наиболее сложной проблемой эволюции орбит малых планет является проблема эволюции наклона орбит. Более половины из общего числа астеродов имеют наклоны превышающие 8°. Сферическую подсистему пояса астероидов образуют астероиды, имеющие наклоны орбит более 8°, остальные - принадлежат к плоской подсистеме [22]). Большие планеты расположены (за исключением Плутона) в плоской подсистеме. Существовала ли сферическая подсистема изначально или же сформировалась в результате эволюции наклонов орбит малых планет к настоящему времени неизвестно. Результаты численного интегрирования показывают, что вариации с современыми начальными значениями элементов орбит не могут быть большими. Возможно, что что определенное влияние на эволюцию наклонов орбит астероидов оказали резонансные механизмы (орбитальные и вековые резонансы) при критических амплитудах либра-ций и хаотизации движения астероидов.

Основной задачей исследования резонансного движения астероидов является выяснение наиболее значимых механизмов, влияющих на эволюцию орбит астероидов. Исследование движения астероидов в этом аспекте составляет содержание данной работы. Содержание работы тематически делится на три части: построение модели либрационного движения астероидов, классификация либрационных орбит и применение результатов исследования либрационных движений астероидов при анализе проблем формирования неравномерностей в распределении астероидов по их средним движениям и наклонам орбит.

Вывод новых уравнений либрационного движения связан с применением нового метода исследования, а именно, с использованием модели обобщенного идеального резонанса. Полученные в данной работе уравнения либраций представляют собой обобщение уравнений Гарфинкеля для соизмеримостей общего вида (р + q) /р, где р) q- целые числа. В качестве приложения результатов исследования либрационного движения астероидов анализируется проблема формирования неравномерностей.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Библиографический список содержит 107 наименований. Общий объем работы 106 страниц машинописного текста, 7 таблиц, 9 рисунков и 2 приложения.

Результаты исследования устойчивости либраций показывают, что точки минимумов функций /о устойчивы по Ляпунову, а точки максимумов - неустойчивы.

Результаты определения характеристик резонансных зон показывают, что наименьшая ширина области резонанса для сгущений более чем в четыре раза превосходит наибольшей ширины люков. Этим количественным различием объясняется причина, по которой устойчивые либрации в люках не приводят к формированию сгущений. При малой ширине области резонанса либрации могут способствовать только выходу астероида из данного резонанса.

Выход астероида из резонанса, согласно модели идеального резонанса, возможен в результате достижения критических значений амплитуд либрации. Вычисления показывают, что эксцентриситеты критических орбит могут быть меньше, чем у орбит пересечения с орбитами больших планет. То есть, часть астероидов из соизмеримостей с узкой областью резонанса в результате эволюции либрационных орбит могла перейти в соседнюю, нерезонансную область или в область резонанса более высокого порядка.

Результаты численного интегрирования уравнений движения на интервале времени 5 • 105 показывают, что вариации наклонов орбит астероидов не превосходят 10° и, поэтому, происхождение орбит астероидов с большими наклонами остается невыясным. Вычисления, выполненные в рамках модели идеального резонанса показывают, что большие вариации наклона возможны при критических амплитудах либрации. То есть, астероиды с большими наклонами в прошлом могли принадлежать резонан-сам, расположенным в непосредственной близости от той соизмеримости, к которой принадлежит астероид.

Диссертация выполнялась в соответствии с планом подготовки аспирантов на кафедре астрономии Казанского государственного университета.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую признательность профессору Хабибуллину Ш.Т. и доценту кафедры астрономии КГУ Загретдинову Р.В. за научное руководство и критические замечания, за помощь, оказанную при численном интегрировании, профессору Холшевникову К.В. и доценту кафедры небесной механики Соколову JI.JI. за оказанное ими внимание к работе и за критические замечания, заведующему метеорным отделом АОЭ Андрееву В.В. и к.ф.-м.н. Гусеву за совместную работу, а также всем сотрудникам АОЭ и кафедры астрономии КГУ за доброжелательные отношения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей средних движений аналитическими методами проводятся с целью выявления основных гравитационных механизмов, существенно влияющих на эволюцию орбит малых планет. Конечной целью исследований движения астероидов аналитическими методами является построение высокоточной аналитической теорий движения малых планет. До семидесятых годов построение аналитических теорий было основным способом подготовки данных для эфемеридного обеспечения наблюдений. Аналитические теории, построенные в этот период, проверялись результатами сравнения с наблюдениями. Их точность была достаточна для наблюдений ярких планет. Но эти данные наблюдений относятся к сравнительно короткому (по сравнению с периодом либраций: 150 - 300 лет) промежутку времени. Для построения высокоточной теории необходимо, чтобы в ней учитывались возмущения, связанные с орбитальными и вековыми ре-зонансами (долгопериодические возмущения). Влияние короткопериоди-ческих возмущений, согласно результатам численного интегрирования, намного меньше влияния долгопериодических возмущений и в большинстве случаев ими можно пренебречь. В данной работе рассматриваются только те возмущения, которые связаны орбитальным резонансом. В результатах наблюдений выделить и исключить влияние вековых резонан-сов практически невозможно. Поэтому аналитические результаты, полученные в данной работе, не сравнивались с наблюдениями.

Начиная с семидесятых годов либрационные движения астероидов активно исследуются численными методами. В результате применения ЭВМ была достигнута необходимая точность для эфемеридного обеспечения наблюдений малых планет. Численные методы стали основным инструментом исследования многих практических и теоретических задач. В результате создания высокоточных интеграторов стало возможнаым интегрирование на больших интервалах времени. Но для некоторых проблем эволюции орбит малых планет не найдено решение и численными методами. Одной из таких проблем является проблема эволюции наклона орбит астероидов. Не существует полной ясности и в решении проблемы формирования люков Кирквуда. Результаты исследований аналитическими и численными методами показывают, что при больших значениях амплитуд либраций происходит хаотизация движения астероидов. Движение астероидов в области хаотизации трудно исследуются численными методами. Результаты, полученные численными методами, в этом случае, могут оказаться случайными. С другой стороны, результаты аналитических методов могут оказаться слишком идеализированными. Поэтому в таких случаях для исследований важно использовать и аналитические и численные методы. Аналитические результаты, полученные для реальных астероидов, можно проверить численными методами. Затем, при помощи этого же аналитического решения, исследовать либрации с большими амплитудами. Такая схема исследования либраций исснользована в данной работе. Для сравнения аналитического решения и с результатами численного интегрирования вычислены границы и амплитуды либраций для 43 астероидов группы Гильды и получены значения амплитуд численным интегрированием. Амплитуды либраций, полученные двумя способами, отличаются на десятые доли градуса. Для более точного сравнения необходимо выполнить усреднение данных интегратора по периоду вековых резонансов.

Полученные в данной работе основные результаты таковы:

1) Уравнения плоской круговой ограниченной задачи трех тел каноническими преобразованиями преобразованы к виду задачи обобщенного идеального резонанса. Решение задачи получено при помощи общего решения задачи идеального резонанса.

Получено решение задачи с учетом малых наклонов орбит астероидов. Для учета наклона возмущающая функция разложена в ряд по степеням синуса наклона орбит.

Для учета возмущений высшего порядка применяется метод Хори. Применение метода Хори связано с тем, что этот метод имеет определенные преимущества перед другими методами теории возмущений [12, 18]. При учете возмущений проядка 0(т3//2) возникают вторичные резо-нансы. Их существование было замечено в одной из статей Гарфинкеля [62]. Влияние вторичных резонансов на эволюцию либрационных орбит мало изучено.

2) Получены основные характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 2/1, 7/3, 5/2, 3/1. Согласно основным характеристикам либрационных движений астероидов, существование либрационных движений вблизи соизмеримостей средних движений связано с существованием определенных особенностей гравитационной системы Солнце - Юпитер. В уравнениях движения эти особенности представляют собой минимумы характеристической функции /о.

Согласно общему виду функции /о либрации характерны для всех соизмеримостей средних движений. Особенности либраций для каждой конкретной соизмеримости определяются особенностями усредненной функции /0.

3) Проведена классификация либрационных орбит вблизи соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 2/1, 7/3, 5/2, 3/1. Согласно результатам классификации, вблизи соизмеримости 3/2, также как и вблизи соизмеримости 1/1, существуют либрационные орбиты двух видов: либрационные орбиты в окрестности одной из двух устойчивых положений равновесия и либрационные орбиты, охватывающие две устойчивые точки равновесия.

В люках 2/1 и 3/1 существуют либрационные орбиты, по которым астероиды могут длительное время совершать устойчивые либрации. Существование таких орбит подтверждается существованием астероидов в люках 2/1, 7/3, 3/1.

Согласно результатам классификации либрационных орбит астероиды, при определенных (критических) значениях резонансного параметра, могут выходить из данного резонанса. Выход резонанса может произойти также и в результате хаотизации движения астероида вблизи неустойчивых положений равновесия.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике.М., 1971, "Наука", 584с.

2. Абдульмянов Т.Р. Интегралы уравнений движения для промежуточной орбиты. //Астрономический циркуляр, 1992, Т1553, с. 33 34.

3. Абдульмянов Т.Р. Определение синодической долготы астероидов троянской группы в аналитической теории движения. // Казань, 1992, 7с.-Рукопись представлена Казанск. ун-том, деп. в ВИНИТИ 10 марта 1992, Т821-892.

4. Абдульмянов Т.Р., Загретдинов Р.В. Новый алгоритм решешения обобщенной задачи идеального резонанса. Тезисы докладов Всероссийского совещания (с международным участием) "Компьютерные методы небесной механики". Санкт-Петербург, 1992, с. 93 94.

5. Абдульмянов Т.Р. Семейство периодических орбит с ненулевыми наклонами в окрестности треугольных точек Лагранжа. // Казань, 1992,-8с.,-Рукопись представлена Казанск. ун-том, деп. в ВИНИТИ 25 июня 1992г., Т2074-В92.

6. Абдульмянов Т.Р., Загретдинов Р.В. Либрационное движение астероидов вблизи соизмеримостей средних движений. Промежуточные орбиты. //Кинематика и физика небесных тел. 1994. Т.Н. Т4, с.34 43.

7. Абдульмянов Т.Р. Применение модели обобщенного идеального резонанса в исследовании резонансных движений астероидов. В кн.: Геометризация физики IV. 1999. Казань, КГУ. с. 3 8.

8. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Изд. ф.-м. л. 1958. 408 с.

9. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. 1990, М., Наука, 295с.

10. Герасимов И.А. Эволюция орбит астероидов в случае соизмеримостей средних движений. Основные уравнения. // Астрон. журн. 1986, Т.63, вып. 3, с. 567 573.

11. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов ипроизведений. М., Наука, 1962. 1100 с.

12. Джакалья Г.Е.О. Методы возмущений для нелинейных систем. М., 1979, 319 с.

13. Загретдинов Р.В. К теории движения троянских астероидов. //Кинем. и физика небесных тел. 1986, Т.2. ТЗ, с. 68 74.

14. Загретдинов Р.В. Либрационное движение троянских астероидов с учетом наклона их орбит. //Кинем, и физика небесных тел. 1986, Т.2. Т4, с. 77 80.

15. Загретдинов Р.В. Обращение гиперэллиптического интеграла в аналитической теории движения троянских астероидов. // Труды Казанской городской астрон. обсерв. 1990, вып. 52.

16. Ипатов С.И. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце Юпитер - астероид. // Препринт Инст. прикл. математики им. Келдыша. АН СССР. 1989, N30.

17. Караганчу В.Х. Построение аналитической теории движения малых планет семейства Гестии. Автореф. канд. диссер. М., 1970, 5с.

18. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. 1978, М., Наука. 312с.

19. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. 1987, М., Наука. 304с.

20. Рябов Ю.А. О некоторых способах построения промежуточной орбиты для малых планет троянской группы. 1. // Астрон. журнал. 1957, Т.34. вып.2, с. 276 297.

21. Рябов Ю.А. О некоторых способах построения промежуточной орбиты для малых планет троянской группы. 11. // Астрон. журнал. 1957, Т.34. вып. 4, с. 588 602.

22. Самойлова Яхонтова Н.С.(ред.). Малые планеты. М., 1973, 359 с.

23. Себехей В. Теория орбит. М., 1982. 659 с.

24. Симоненко А.Н. Астероиды. М.:Наука. 1985, 204с.

25. Чеботарев Г.А. Аналитическая теория движения Гильды. //Бюлл. ИТА. 1953, Т.5. Т5(68), с. 249 270.

26. Чеботарев Г.А. Эволюция орбит внешнего края кольца астероидов. // Бюлл. ИТА. 1953, Т.5. Т7(70), с.393 411.

27. Чеботарев Г.А., Божкова А.И. Эволюция орбит малых планет группы Гильды. // Бюлл. ИТА. 1954, Т.5. Т9(72), с. 571-593.

28. Чеботарев Г.А., Беляев Н.А., Еременко Р.П. Эволюция малых планет группы Гильды и малой планеты Туле. // Бюлл. ИТА. 1970, Т.12. Т1(134), с. 82 103.

29. Чеботарев Г.А., Шмакова М.Я. Структура системы ярких астероидов. // Бюлл. ИТА. 1973, Т.13. Т6(149), с. 344 350.

30. Чеботарев Г.А., Беляев Н.А., Шмакова М.Я. Движение астероидов в близи соизмеримостей 5/2, 3/1. // Бюлл. ИТА. 1974, Т.13. Т8(151), с. 477- 481.

31. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о происхождении Земли. М., 1950.

32. Шмидт О.Ю. О происхождении астероидов. // ДАН СССР. Т.96. ТЗ.

33. Abdulmjanov T.R., Andreev V.V. Integrals of intermediate orbits and small bodies. //Abstracts. International Astronomical Symposium "Meteoroids and their parent bodies. Smolenice 6-12 July, 1992, p.56.

34. Alfven H. On the origin of the asteroids. // Icarus. 1964, Vol.3. N1.

35. Aifven H. On the origin of the solar system. //Quart. J.Roy. Astron. Soc., 1967, Vol.8. N3.

36. Alfven H. Asteroidal jet streams. // Astrophys. Space. Sci. 1969, Vol.4. N1.

37. Bien R. Long-period effects in the motion of Trojan asteroids and fictitious objects an the 1/1 resonance. //Astron. and Astroph. 1978, Vol.68, p. 295 -301.

38. Bien R. Long-period effects in the motion of eighteen Trojan asteroids and investigation of special problems of 1/1 resonance. // Astron. and Astroph. 1978, Vol.80, p. 255 259.

39. Bien R., Schubart J. Trojan orbit in secular resonances. // Celestial mechanics. 1984, N34, p. 425 434.

40. Bien R., Schubart J. Three characteristics orbital parameters for the Trojan group of asteroids. // Astron. and Astroph. 1987, Vol.175, p. 292- 298.

41. Bien R., Schubart J. Trojan asteroids: relations between dynamical parameter // Astron and Astroph. 1987, Vol.175, p. 299 302.

42. Brown E.W. Theory of the Trojan group of asteroids. //Trans, of the astron. observ. of Yale University. 1926, Vol.3, part 1, p. 1 47.

43. Brown E.W. Theory of the Trojan group of asteroids. //Trans, of the astron. observ. of Yale University. 1926, Vol.3, part 3, p. 81 133.

44. Brown E.W. Shooc C. Planetary Theory. // Cambr. Univ. Press, 1933.

45. Brouwer D. Theory and tables of the motion of (588) Achilles. // Trans, of the Astron. observ. of Yale Univ., 1937, Vol.6, part 7, p. 173 188.

46. Comendantoff N. Sur l'orbite de Ceres (1). // Bull. ITA, 1924, T.l. N1, 10.

47. Deprit A., Delie A. Trojan orbits. I d'Alambert series at L. // Icarus. 1965. N4.

48. Dermott S., Murray C. Nature of the Kirkwood gaps in the asteroid belt. // NATURE, 1983, Vol.301, p.201 205.

49. Ferraz-Mello S. Expansion of the disturbing fors-function for the study of high-eccentricity libration. // Astron. and Astroph. 1987, Vol. 183, N2, p. 397 402.

50. Ferraz-Mello S. Averaging the elliptic asteroidal problem near a first-oder resonance. // Astron. J. 1987, Vol.94, N1, p. 208 212.

51. Ferraz-Mello S. The high-eccentricity libration of the Hildas. // Asttron. J. 1988, Vol.96, N1, p. 400 408.

52. Ferraz-Mello S. On the origin of gaps in the distributionof minor planet. // The Tenth European regional astronomymeeting of the IAU. Dynamics of the Solar system.

53. Praga. Czechoslovakia. 1987, Aug. 24 29, Vol. 3, p. 105 - 112.

54. Ferraz-Mello S. Dynamics of the asteroidal 2/1 resonance. // Astron.J. 1994. Vol.108, N6. p. 2330 2337. 54. Franklin F.A., Marsden B.G., Williams J.G., Bar dwell C.M. 1975. SAO Preprint Series N305.

55. Froeschle C. Scholl H. On the dynamical topology of the Kirkwood gaps. // Astron. and Astroph. 1976, Vol.48, p. 389 393.

56. Froeschle C. Scholl H. The stochasticity of pecular orbits in the 2/1 Kirkwood gap. // Astron. and Astroph. 1981, Vol.93, p. 62 66.

57. Froeschle C. Scholl H. A qualitative comparison between the circular and elliptic Sun Jupiter - Asteroids problem at ccommensurabilities. // Astron.and astroph. 1977, Vol.57, p. 33 39.

58. Froeschle C. Chaotic behaviour of resonant motion in the Solar system. // The Tenth European meeting of the IAU. 1987. Vol. 3, p. 113 120.

59. Froeschle C., Greenberg R. Mean motion resonances. // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the Uppsala Universsity. 1989. P.827 844.

60. Garfinkel В., Jupp A., Williams. A Recursive von Zeipel algorithm for the Ideal Resonance Problem. // Astron. J. 1971. Vol.76, N2.

61. Garfinkel B. Theory of libration. // Celest. mech. 1976, Vol. 13, N2.

62. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 1. // Astron. J. 1977, Vol.82, N5, p. 368 379.

63. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 2. // Celest. mech. 1980, Vol.22, p. 267.

64. Garfinkel B. Theory of the Trojan asteroids. Part 3. // Celest. mech. 1984.

65. Greenberg R., Schol H. Resonances in the asteroid belt. // Asteroids, comets, meteors III. Astronomical Observatory of the Uppsala Universsity. 1989. P.310-333.

66. Hadjidemetriou J.D. Resonances in the Solar systemand Planetary system. // The Tenth European meeting of the IAU. 1987, Vol.3, p. 27 32.

67. Henrard J., Lemaitre A. Hamiltonian Chaos in Perturbet Resonance Problems. // The Tenth European meeting of the IAU. 1987, Vol.3, p. 23 26.

68. Henrard J., Lemaitre A. A perturbation method for Problem with two critical arguments. // Celest. mech. 1986, Vol.39, N3, p. 213 238.

69. Heppenheimer T.A. On the alleged collisional origin of the Kirkwood gaps. // 1975. Icarus. Vol.26, p.367 376.

70. Jupp A.H. On the ideal resonance problem. // Astron. J. 1969, Vol.74, N1, p. 35 43.

71. Jupp A.H. On the ideal resonance problem. 11. // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1970, Vol.148, p. 197 210.

72. Jupp A.H. A second order solution of the ideal resonance problem by Lie series. // Celest. mech. 1972, Vol.5, N1, p. 8 26.

73. Kuiper G.P. The origin of the asteroids. // Astron. J. 1950, Vol.55, N6.

74. Kuiper G.P. On the origin of the Solar system. // Proc. Acad. Sci. 1951, Vol.37, N1.

75. Lemaitre A. Formation of the Kirkwood gaps in the asteroidal belt. // Celest. mech. 1984, Vol.34, N1-4.

76. Lemaitre A. High-order resonance in the restricted three-body problem. // Celest. mech. 1984. Vol.32. N2, p.101 126.

77. Multon F.R. Periodic obits. Washington, Carnegie Inst. 1920.

78. Murray C.D., Fox K. Structure of the 3/1 Jovian resonance: A comparison of numerical methods. // Icarus, 1984, Vol.59, p. 221 233.

79. Murray C.D. Structure of the 2 : 1 and 3 : 2 Jovian resonance // Icarus.1986, Vol.65, p. 70 82.

80. Morbidelli A., Giorgilli A. On the Dynamics in the asteroids belt. Part1.: General theory. // Celestial mech. 1989/90, Vol.47, N2, p. 145 172.

81. Morbidelli A., Giorgilli A. On the Dynamics in the asteroids belt. Part1.. Detailed study of main resonances. // Celest. mech. 1989/90, Vol.47, N2, p.173 204.

82. Olsson-Steel D. Meteoroid streams associated with Appolo asteroids: evidence from the Adelaide radar orbit surveys. //The Tenth European meeting1987, Vol.2, p. 125 129.

83. Paolicchi P., Zappala V. Collisional evolution of asteroids and asteroids families. // The Tenth European meeting. 1987, V01.2, p. 101 106.

84. Rabe E. Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies. // Astron. J.1961, Vol.66, N9, p. 500 513.

85. Rabe E. Additional periodic Trojan orbits and further studies of their stability features. // Astron. J. 1962, Vol.67, N6, p. 382 390.

86. Rabe E. Third order stability of the long-period Trojan libration. // Astron. J. 1967, Vol. 72, p. 10 17.

87. Scholl H., Froeschle C. Asteroidal motion at the 3/1 commensurability.

88. Astron. and Astroph. 1974. Vol. 33, p.455 468.

89. Scholl H., Froeschle C. Asteroidal motion at the 5/2, 7/3 and 2/1 resonances. // Astron. and Astroph. 1975. Vol. 33, p.455 468.

90. Scholl H. Secular and mean motion resonances in the asteroidal belt. // The Tenth European meeting. 1987, Vol.3, p. 105 112.

91. Schubart J. Long-period effects in the motion of Hilda-type planets. // Astron. J. 1968, Vol.73, N2. p. 99 103.

92. Schubart J. Asteroidal motion at commensurabilities treated in three demensions. // Dynamical of the Solar System. 1979, p. 207 215.

93. Schubart J., Bien R. Trojan asteroids: Relations between dynamical parametrs. // Astron. and Astroph. 1987. Vol.175, p. 299 302.

94. Schweizer F. Resonant asteroids in the Kirkwood gaps and statistical explanation of the gaps. // Astron. J. Vol.74, p.779 788.

95. Sessien W., Ferraz-Mello S. Motion of two planets with periods commensurabfe in the ratio 2 : 1. Solution of the Hori auxiliary problem. // Celest. mech. 1984, Vol.32, p. 307 332.

96. Shoemaker E.M. Shoemaker C.S., Wolfe R.F. Trojan asteroids Populations, Dynamical, structure and Origin of L and L Swarms. // Asteroids 11. Tucson: Univ. of Arissona Press, p. 487 523.

97. Sidlichovsky M. Application of the method of Wisdom to resonances, 5/2 resonance of asteroids. // Figure and Dyn. Earth, Moon, Planets. Meet. Praga. Ssp. 15 20, 1986, Pt.2, p. 571 - 580.

98. Wetherill G.W. Collisions in the asteroid belt. // Geophys. Res. 1967. Vol.72, p. 2429 2444.

99. Wiesel W.E. A statistical theory of resonance motion in the Sun Jupiter system.// Celest. Mech. 1976, Vol.13, p.3 - 37.

100. Williams C.A., Flandern Т., Wricht E.A. First order planetary perturbations with elliptic functions. // Celest. mech. 1987, Vol.40, N3-4, p. 361 391.

101. Wisdom J. The origin of the Kirkwood gaps: A mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability. // Astron. J. 1982, Vol.87, p.577 -593.

102. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gap. // Icarus. 1983, Vol.56, p. 51 74. 103. Wisdom J. A perturbative treatment of