Линейные колебания систем со случайными возмущениями параметров тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академія наук України Ордену Трудового Червоного Прапору Інститут математики

На правах рукопису

СКОРОХОД Ірина Валеріївна

«НІШІ КОЛИВАННЯ СИСТЕМ ІЗ ВИПАДКОВИМИ ЗБУРЕННЯМИ ПАРАМЕТРІВ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1992

Роботу виконано в Ордену Трудового Червоного Прапору Інституті математики АН України

Науковий керівник - .академік

Митропольський Ю.О.

Офіційні опоненти: доктор фі зико-математичних наук,

професор Портенко М.І.

кандидат фізико-математичних наук Єфіменко С.В. .

Головна організація - Інститут кібернетики АН України

ім. В.М.Глушкова

Захист відбудеться " 2 " 199о?-р. у годин на

засіданні спеціалізованої ради Д 016.50.01 при Інституті математики АН України за адресою: 252601, Київ ГСП, вул. Рєпіна, З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці інституту. Автореферат розіслано ” 3 ” 195?£^р.

Вчений секретар спеціалізованої ради

ГУСАК Д.В.

РОССИЙСКАЯ

^ІЧЛЛ/1 -г—-------[

ГОСУД^Г '■ ^

БК^Г^Оіи.чА

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

' Актуальність проблеми. Теорія диференційних рівнянь з випадковими збуреннями є одним з важливих розділів теорії ймовірностей, що бурхливо розвивається в останні роки. Особливу роль в ньому відіграють асимптотичні задачі, дослідження яких почалося з робіт М.М.Боголюбова, М.М.Крилова, И.І.Гіхмана. Відзначимо також роботи Ю.О.Мигропольського, Р.З.Хасьмінського, А.Д.Вентцеля, М.І.Фрейдліна, В.С.Королюка, А.Ф.Турбіна, А.В.Скорохода, В.В.Сарафяна, В.Г.Коломійця та ін. Важливий клас задзч у цьому напрямку зв’язаний з вивченням систем диференційних рівнянь з коефіцієнтами, що швидко змінюються. На такі системи при певних умовах переноситься метод усереднення М.М.Боголюбова. Значний інтерес в цій ситуації викликає дослідження відхилення при великих часах розв'язку даного рівняння від детермінованого руху, який відповідає усередненій за ергодичним розподілом системі.

Метою роботи є розв’язок цього питання для лінійної системи диференційних рівнянь з швидкими переключеннями у випадку, коли граничний процес є чисто коливальним.

Методика дослідження. Використовуються методи теорії зипадаових процесів, звичайних диференційних рівнянь.

Наукова новизна і практична цінність. В дисертації установле-їі граничні теореми для динамічних систем при наявності швидких збурень. Ці результати застосовано для дослідження систем диферен-іійних рівнянь з коефіцієнтами, які зазнають випадкових Ешуктуацій, що задаються однорідним марковським процесом із жінченим числом станів, який залежить від швидко змінюваного часу ;/£. Для систем другого порядку у випадку, коли усереднене зівняння є рівнянням гармонічних коливань, показано, що кутова соордината на відрізках часу і/є відрізняється від граничної «личини на дифузійний процес із сталими коефіцієнтами, аналогічний результат доведено і для логарифма радіуса, ^становлено асимптотику відхилення від граничного руху і для (агальних лінійних асимптотично коливальних систем, тобто систем,

' яких усереднена матриця є кососиметричною. Для систем четвертого гарядку ці результати деталізовано. Всі результати роботи

являються новими. Вони можуть знайти застосування в подальших досдідаеннях асимптотичної поведінки систем із випадковим впливом, а також у прикладних питаннях теорії керування, автоматичного регулювання в теорії передач інформації, • а також у задачах механіки і математичної фізики.

Апробація роботи. Результати роботи доповідалися на V Міжнародній конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1989),' на Школі-колоквіумі з теорії ймовірностей та випадкових цроцесів (Бакуріані, _ 1988), „ на

семінарах відділу випадкових процесів та відділу математичної фізики і теорії нелінійних коливань Інституту математики АН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-5].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, двох розділів та списку літератури. Список літератури містить 28 назв..

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить огляд рюбіт, що пов’язані з темою дисертації, обгрунтування актуальності теми, формулювання мети досліджень, а також стислу анотацію отриманих результатів.

' В пвршому розділі приведено необхідні відомості з теорії марківських процесів. Основну увагу відведено граничним теоремам» для динамічних систем при наявності швидких збурень. Точніше, у §1.2 розглянено сім’ю однорідних марківських процесів (х£(ї), УЄ(Ш в фазовому просторі Ххї де Х=ка, (Ї,С) - вимірний простір з твірними операторами ’

(Ас ї){х,7) = (^<х,у),а(х,у)) + -і-/[і(х,у )-Г(х,у)1Пх(у,йу').

Тут а: ХхУ-Х, задовольняє умові Ліпшиця по х: .

іа(х.у) - а(х' ,у)і £ Ь(у)іх-х-1.

[рипускається, що Пх на залежить від х. В цьому випадку процес (ї) = ує<£ї) не залежить від є і

йх

=а (хє(г),у(ї/є)) (1)

еорема 1.1. Нехай процес уШ ергодичний, причому його

імовірність переходу Р(ї,у,йу') абсолютно неперервна відносно іргодичного розподілу я(<3у' ). Припустимо, що

|ь2(у)я(йу) <® І VX |іа(х,у)і2я(сЗу) < со.

Ікщо х£(0) = х0 не залежить від є, то хєШ збігається локально

)івномірно по 1 за ймовірністю до розв’язку хШ рівняння

= а(хШ), х(0) = Х0,

а(х) = /<а(х,у)я(сЗу>.

Теорема 1.1 узагальнює відомі результати Р.З.Хасьмінського, ші встановлено в припущенні обмеженості Ь(у) і а(х,у).

В §1.3 розглянено продаси, які мають вигляд х£(,иє) та зстановлено умови збіжності таких процесів до дифузійного. Для дього приведено мзртингальну характеризацію дифузійного процесу, а також загальну теорему про збіжність сім’ї випадкових процесів до цифузійного. Остання застосовується для дослідження процесу х£(1;), який є розв’язком рівняння (1) з початковою умовою, що не залежить від. є. У припущенні, що уШ є ергодичним марківським процесом із скінченим числом станів і усереднена матриця а(х) нульова, доведено (теорема 1.5), що х£(і;/є) слабко збігається до однорідного дифузійного процесу, дифузійні коефіцієнти якого виражаються через функцію а(.,.) та перехідні ймовірності процесу УШ. Схема доведення цього результату використовується далі у розділі II при розгдяді лінійних систем з ненульовою усередненою матрицею.

Другий розділ містить основні результати роботи і присвячений дослідаенню асимптотичної поведінки розв’язку системи лінійних диференційних рівнянь з швидкими переключеннями вигляду

Тут уШ однорідний ергодичний процес із скінченою множиною станів Y, хє(і;) - процес із значеннями в Аії-Цк11), де І(ка) -

простір дійсних матриць сіх сі. Процес х£.(г) при є->0 збігається до розв’язку хш невипадкового рівняння

де А = ^ А(у)я<у), ті - ергодичні ймовірності процесу у(г).

Вивчається ситуація, коли усереднена матриця А кососиметрична, тобто детермінований граничний процес є чисто коливальним. Ми показуємо, що для "великих” часів порядку Х/в процес х£(1;) відрізняється від граничного коливального руху на процес, що слабко збігається за розподілами до деякого дифузійного процесу. Перейдемо до більш детального викладення результатів, що одержані у розділі II.

У §2.1 вивчається просте гармонічне коливання у випадку, коли частота зазнає флуктуації, викликані швидко змінюванним марківським процесом. Точніше, розглянено двомірну систему вигляду (2) з усередненою матрицею

■д^— = А(у(г/е))х£(Ъ), хє(0> = х0

(2)

у

Перейдемо до полярних координат.;Покладемо:

г£(ї) = іхі£.(1:) + СУігє{\)\.

л

Теорема 2.1. Процес 0£(1;): = (Фє(ї/є)-и£) слабко збігається цо дифузійного процесу (на колі одиничного радіусу) із сталими коефіцієнтами. Ці коефіцієнти явно обчислюються через елементи матриці А та перехідні ймовірності процесу у(ї).

Аналогічне твердаення встановлено і для процесу &пхє(1/є) (теорема 2.2).

§2.2 присвячений дослідженню систем вигляду (2) четвертого порядку. Не обмежуючи загальності, вважаємо, що усереднена матриця лає вигляд

0 0 0

л 1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

(V л IV

Георема 2.4 . Нехай х£(ї) = ехр{-Аг)х£(ї). Тоді. х£(ї) = х£Ц/є)

їлабко збігається за розподілами до дифузійного процесу хШ в к4, жий є розв’язком стохастичного диференційного рівняння

сзхт = схтаг + сиктш, х(0) = х0.

:ут С - явно обчислювана стала матриця, а №(1) явно визначений

іатричний гаусівський процэс з незалежними прирістами.

Аналогічний результат (теорема 2.5) встановлений і для іагальних асимптотичних коливань системи порядку сі (сі - парне) з :ососиметричною усередненою матрицею А.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Скороход И.В. Гармонические колебания при наличии быстрых флуктуаций // Докл. АН СССР. - 1888. - 302, N1.- С.28-30.

2. Скороход И.В. О предельном поведении колебательной системы при наличии случайных возмущений параметров этой системы. I // Укр. мат. журн.- 1889.- 41, N10.- С.1357-1364.

3. Скороход И.В. О предельном поведении колебательной системы при наличии случайных возмущений параметров этой системы. II // Укр мат. журн..- 1990.- 42, N6.- С.817-820.

4. Скороход И.В. Гармонические колебания при наличии быстрых случайных возмущений // 1езисы докладов V Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс.- 1989.- т.IV. С.119-120.

5. Скороход И.В. Общие линейные асимптотически колебательные

системы//Тези міжнародної конференції, присвяченої пам'яті академіка М.П.Кравчука. Київ-Луцьк, 1992.- Київ: Інститут

математики АН України, 1992.- С.197.

Поди, в иСормэг 60x84/16. Буы.ойс. Печ. офс. Уел., печ. 'л.' . Усл.кр.-огт. 1>7- .

Уч.-из д. л. С. Тира л foo 3K3. двивз/JJP'

Институт проблем материаловедения им. И.Н.Фрпнцевичз AH УССР.

252680 Киев 680, ГСП, ул.Кр.аыэновского,3.

Участок оперативной иолнграаии Институте проблем материаловедения .

им. И.Й.Францевича АН УССР.

252680 Киев 680, ГСП, ул.Кргс1г:аяовского,3.