Линейные методы с расширенной областью абсолютной устойчивости для жестких осциллирующих систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

!■ Ъ

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЦЕНТР МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АКАДЕМИИ НАУК СССР'

На правах рукописи

ЗОЛОТУХИН Сергей Васильевич

линейные метода

, С РАСШИРЕННОЙ ОБЛАСТЬЮ АБСОЛШСЙ УСТОЙЧЩОСТИ ДЛЯ КЕСТКИХ ОСЦЙМИРУШЩ. систш

Специальность 01.01.07 - "Вычислительная математика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени навдедата физико-тгеыагических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В.Кедднй АН СС< и Киевском институте инженеров гражданской авиации

НаучнкЙ руководитель - кандидат физико-математических кау:

ст. в. е. Б.П. Герасимов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

В.В.Сазонов,

кандидат физико-математических нау: доцент А.В.Кузьмин

Ведутцад организация - Белорусский государственный универ

Защита диссертации состоится " "*_ 199

_часов на заседают специализированного оовета

К 003.91«01 при Всесоюзно* центре математического моделирова АН СССР по адресу: 125047, Москва, Миусская п*., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке йястятут прикладной математики им.М.В.Келдниа,

Автореферат рааослан

Ученый секретарь специализированного совета яавд. физ.-ыат. наук

С.Р.Свирчевский

' СЩАЯ ХАРА1(ТЕРИСГГИКА РАБОТЫ

Ак^§льносг5_темы. 8 последнее время повышенное внимание уделяется ряду дифференциальных систем, описываючи; прогессы ..хтичеацой кинетики, физики плазш и ядра, переполнив процессы "теории злектоических цепей, а также задачи из области микробиологии, медицины, теории управления и автоматического регулирования. Применение классических методов Адамса и Рунге-Кутты для численно устойчивого решения таких систем требует настолько малый шаг интегрирования, что возникают вычислительные трудности, связанные с накоплением ошибок округления и резким увеличением времени счета на ЭВМ. Разработан ряд методов, отвечающих специальным требованиям устойчивости и позволяющих более эффективно решать указанные жесткие задачи.

Результаты исследований в последние голы показывают, что одним из наиболее эффективных универсальных и надежных средств речения жестких задач являются алгоритмы и про ушин, основанные на линейных многошаговых методах /ЛШ/ численного интегрирования систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений. Недостаток этих средств выражается в резком снигеиии их эффективности в случае решения жестких систем специального вида -жестких осциллирующих систем. Отсюда следует актуальность проблемы создания методов, позволяющих демпфировать высокочастотные затухающие колебания, т.е. разработки линейных методов с расширенной областью устойчивости для указанных задач.

• Цель работы. I. Развитие методики построения ЛЩ с оптимальными характеристиками 4(оС)-устойчивости. 2. Построение и исследование свойств устойчивости конкретных ЛШ, ориентированных на класс .кестких осциллирующих задач. 3. Практическая реализация полученных методов и анализ их эффективности в сравнении с другими методами для ряда тестовых задач и конкретной практической задачи.

• Исследования базируются на методах: I) геометрического места точек границ облрети абсолютной устойчивости; 2) направленного поиска экстремума ("градиента); 3) конформного отображения; 4) эквивалентных матричных преобразований (Нордсика - Гира и Нордсика - Осборна]; 4) критерии Рауса - Гурвица исследования устойчивости.

Научная новизна. На основании предлагаемой методики численной оптимизации характеристик A(<¿) -устойчивости ЛШ о первой и второй производной построены новые конкретные ЛШ с заданным порядком точности и оптимальной величиной угла oí . Доказано, что для методов с первой производной произвольного порядка точности характеристики A (oí) -устойчивости мсано сколь угодно близко приблизить к характеристикам А -устойчивости.

Для полученных ЛШ разработан алгоритм переменного порядка и шага на основе формы Нордсика представления информации о решении. Исследован сравнительно мало изучатый класс JMM со второй производной. Для указанного класса Jí'jW найдены адекватные способы решения системы нелинейных уравнений корректора и оценки величины локальной погрешности дискретизации метода.

Практическая значимость результатов. Результаты исследований реализованы в виде двух программных комплексов: ÓLARZ и &ENRZ . Программа ÚLARZ представляет собой модификацию существующей версии GíAfí , в которую включены новые формулы, рассчитанные на жесткие осциллирующие системы. Это позволяет расширить возможности б-ÍAR при интегрировании указанного класса задач.

Программа CLMRZ , включающая линейные методы со второй производной с улучшенными характеристиками Afat) -устойчивости, качественно отличается от существующих программных средств. Сна успешно конкурирует со многими известными программами для широкого круга задач.

Тестирование GLARZ и 6LNRZ проводилось в Киевском институте инженеров гражданской авиации, в Институте прикладных проблем механики и математики АН УССР (г. Львов) и в Рижском отделении Государственного научно-исследовательского Института гражданской авиации '-ТА (сектор математического моделирования динамики полета). Предлагаемые программы используются также в уче5но-мешд|!4. ~кой ра1оте на кафедре Ч!№ КГУ (г. Киев). Разработанные вычислительные алгоритмы и программы реализованы на ЭВМ серии и ЕС и применены для решения прикладной задачи из области численного моделирования динамики полета самолета.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались

на Всесоюзном семинаре "Вопросы оптимизации вычислений" /Киев, ИК АН УССР, 1907/,

па Республиканской конференции молодых ученых и специали-2ЮЗ "Применение информатики и вычислительной техники при ре-пении народнохозяйственных задач" /Минск, ПТУ, 1989/,

на Всесоюзной конференции по проблемам безопасности полетов в гражданской авиации /Ки-эв, КНИГА, 1988/,

на семинарах, руководимых B.J1. Макаровым /Киев, КГ'У, 1988/, Г.Е. Пуховым /Киев, И1ШЗ АН УССР, 1988/, В.Я. Скоробогатько /Львов, ИППШ АН УССР, 1965/.

Публикации. Результаты работы представлены в 12 публикациях [I - 12].

Объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения ^122 страницы), списка литературы из НО наименований, Приложения ("26 страниц). Работа содержит 12 таблиц, 20 рисунков, распечатки 7 подпрограмм (комплекс 6LNRZ) и 6 результатов ре-пения Контрольных задач, всего - 160 страниц машинописного текста.-

СОДЕРЖАНИЕ РАБОМ

Во введении обоснована актуальность избранной темы, указана научная новизна полученных результатов, сформулирована цель работы и кратко изложено ее содержание.

Основные результаты работы содержатся во второй и третьей главе.

В первой главе дается обоснование проводимых исследований, а также приводится иллюстрация предлагаемой методики на примере различных методов интегрирования. Новизна заключается .э автоматизации. процесса численного исследования устойчивости методов различного' класса и построении на этой основе ЛШ с оптимальными вараятеристиками АО*.) -устойчивости для жестки* оециллирущих систем, Выявленные закономерности теоретически обобщаются во второй главе работы.

В § I.I представлены основные известные положения и понятия,' приводятся определения различных видов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числа и жестких осциллисухщих систем.

§ 1.2 является ключевым для определения цели исследований, D нем раскрываются причины возникновения трудностей при численном решении существующими методами жестких осциллирующих систем. Показывается, что наиболее распространенные современные программы - ¿TIFF и G-EAR - терярт свою эффективность в этом случае, ^дн краткий анализ проблемы на примере задачи динамики полета самолета в некоторых режимах пилотирования, для этого введены характерные попятил длиннопериодического и корот-коперилдическопо движений,

§ 1.3 иллюстрирует предлагаемую методику автоматизации процесса численного исследования характеристик JIMM с помощью ЭВМ. Методика основана на способе геометрического места точек границ области абсолютной устойчивости метода для JIMM прогноза

- коррекции. С помощьи модельной задачи у' = Ау и

соответствующих многочленов устойчивости Pff), пре-

диктора и корректора показывается, что анализ устойчивости линейных методов в режиме простой итерации с фиксированным число* итераций t сводится к многократному чиоленному нахождению корней некоторого алгебраического полинома У степени С*1 о комплексными коэффициентами, построенного по методу геометрического места точек границ, К аналогичным результатам приводят обсуждения вопросов устойчивости н методов Хэмминга -Милна, В качестве примера автоматизированного расчета с помощью ЭВМ оптимальных по заданному критерию характеристик абсолютной устойчивости представлены явные (q-i) и (<f-i) -стадийные методы Рунге-Кутты порядков точности » 2, 3 и 4. Здесь критерий оптимальности - это максимум площади, охватываемой кривой, полученной численно по методу геометрического места точек границ. Результаты по предлагаемой методике оформле(м в виде таблиц и графиков и хорошо согласуются о теоретическими оценками.

Основное внимание в § 1.3 уделяется методике построения оптимальных no А (^-устойчивости ЛММ прогноза - коррекции в режиме итерации по Ныотону до сходимости. Задача оптимизации с некоторым набором ограничений к -шаговых порядка

г к ЛММ, пригодных для реализации в форме Норде и ка, приводит здесь к m -параметрическим формулам прогноза - коррекции следующей структуры:

к * — / ^ + А ' А в 0 *

^■-■о ' » ' - л-я»

где Д*., г 5 / ; 0 < Л - "I « 6 ; л» - ^ -3, ■ ■.

Соответствующая минимаксная задача с некоторым набором ограничений решалась для ЛММ со второй производной порядка точности ^ * * . Оптимизация состояла в нахождении структуры формулы и эн&чеш;.! "свободных" параметров. Результаты оформлены в виде таблиц, где в качества основного выходного параметра представлен угол о(. , определяющий свойства А (<*-) -устойчивости полученных методов и эталонных ЛММ.

В § 1.4 приводятся краткие характеристики наиболее близких к рассматриваемой тематика отечественных и зарубежных работ, показывается принципиальное отличие диссертационной работы.

Основной вывод главы-, используа современные ЭВМ и предлагаемую методику, легко получить оптимальные по А(ос) -устойчивости ЛММ о заданной структурой и порядком точности для эффективного численного решения жестки* осциллирующих систем.

Во второй главе проводится теоретическое исследование неявных ЛММ (\) порядка у -А вида:

^ + л А ыГСг^Г^ш

где О < к-т £ 6 ^'¿,¿,3,,..

Полученные ЛММ (2) построены на основе формул дифференцирования назад / 62>Р / и названы М&ЬР (модификации Показывается, что при соответствующих значениях к , т и £ формулы (2) обладают улучшенными по сравнению о 62>Р характеристиками А(<£) -устойчивости и могут быть ориентированы на жесткие оециллирумцие системы.

Метод исследований § 2.1 основан на способе конформного "отображения с помощью замены у .= /"/ *I)/(для корректора

^; г) -- $(?) = 0, Ч?-АЛ )

и критерии устойчивости по Гурвицу.

Теоретические результаты формулируются следуюирш образом!

Теорема 2. Г. к -шаговые формулы

JL . + к Vmv' = й J * ^ ~

где oij определяются исходя из требований порядка точности

q-k , эквивалентны (к ~т) -шаговым 5DF .

Лемма 2.1, Все корни полинома Жф) для (í,), где

лежат в левой полуплоскости.

Теорема 2.2. Существует семейство жестко устойчивых AÍó2)t (z) произвольного порядка c¡ ~к .

В § 2.2 представлены результаты сравнения и показывается преимущество tf&üF по отношению к формулам дифференцирования назад, Крайера и /деелча. Приводится определение предельного случая жесткости для формул (Z).

В § 2.3 выводятся алгебраические зависимости на основании теоремы В.П.Герасимова и И.А.Кульчицкой между коэффициентами для полученных MBÜF различных порядков точности и коэффициентами Нордсика V эквивалентном методе прогноза - коррекции переменного порядка и шага.

>

В § 2.4 доказывается теорема о сходимости MBJJP,. , Представлены практические оценки и сравнительные характеристики свойств устойчивости 8J0F и методов С2) на основании чио-ленных расчетов тестовой системы. Показывается область применения AÍ3J)F .

7;

В третьей главе исследуются:возможности практического применения жестко устойчивых ЛММ со второй производной, обладающих улучшенным!! по сравнению о 62¡F характеристиками

А (оС) -устойчивости. Представленные в данном разделе результата /за исключением теорем § 3.3) носят конструктивный характер.

В § 3.1 показывается, что методика исследования, основан-«ая на ?огме Нордсика - Гира при эквивалентных матричных преобразованиях для линейных формул с первой производной и реализованная в эталонной программе С LA R , иохв: быть о5общена

б

на случай формул прогноза - коррекции со второй производной. Для последнего случая выводятся расчетные формулы для определения коэффициентов Нордсика Ii и Ji и решения неявных уравнений корректора, Показывается, что предложенный спосрб имеет принципиально отличную от традиционной форму представления:

Pf\, (О) = А Рг\-1 > РП/ f„) * Pn.Srr,.J) V-Gt 7^>)У +

где W -- £ - а* А Л - ti^ti ">

V - A 7n {г С(\(тЧ))3 Г-hJn f} .

8 f 3,2 представлены различные способы оценки локальной погрешности дискретизации предлагаемого метода на шаге: I) способ, основанный па конечно-разностной аппроксимации при нахождении производных зависимой переменной у ; 2) способ, применяемый в настоящее время в программах HJfSu6' % &EAR и

STIFF , 3j классический способ Милна. Показывается, что способ Милна, предложенный длл методов с пер ¡ой производной, может быть обобщен на методы со второй производной. Все три способа были исследованы практически на ЭВМ в предлагаемой программа &LMRZ.

Численные результаты и »ыводы представлены в § 3.3. Исследовались различные группы формул прогноза - коррекции со второй производной при трех вариантах оценки локальной погрешности метода на примере тестовых дифференциальных систем Н.Н.Калитнина (ШМ АН СССР). На основании расчетов на ЭВМ отмечена закономерность, связывающая структуру используемых формул прогноза - коррекции со второй производной с их харантеои-отиками абсолютной устойчивости и скоростью сходимости итерационного процесса при решении системы неявных уравнений корректора.

Основной чквод третьей главы формулируется следующем образом: наибольший вычислительный эффект, выраженный в повышенной скорости и точности решения различных классов жестких задач на ЭВМ, получается в случае применения способа Милна"оценки локальней погрешности метода на шаге и формы Нордсика представления

информации (4) для формул прогноза - коррекции порядка точности

В конце третьей главы приводятся теоремы об А-устойчивости неявных формул со второй.производной ¿5) порядка точности три и четыре, а также доказательства этих теорем.

На основании исследований, проведенных в главе 3, создана Качественно новая программа HAZ , успешно конкурирующая во многими известными программными комплексами, в том числе и о GE АР, , при численном решении различных классов дифференциальных систем.

В четвертой главе приведены результаты практической реали-вации исследуемых методов, ориентированных на жесткие осциллирующие задачи. Предлагается две универсальные программы для численного решения задачи Коши! &EAAZ и ff-EA/fíZ.

В § 4.1 приводится описание программ útARZ и (ÍEtfRZ , представленных на алгоритмическом языке Ф0РТРАН-1У и апробированных на ЭВМ серии ЕС н СМ. Даны их краткие характеристики,

В § 4.2 представлены результаты расчетов на ЭВМ о помощь» программ GEARZ и <г£л'ÑZ , построенных На основе исследуемых методов (2) и (b), для ряда тестовых задач. Приводится обоснование выбора тестовых задач, определяется набор входных и выходных параметров, характеризующих результаты тестирования. Вое вычисления оформлены в виде табдиц и содержат результаты 'также для эталонной программы (tEa'Á , В результате численных вкспериментов показано преимущество разработанные методов для класса жестких осциллирующих задач над соответствующими классическими методами для жестких систем. При сравнении результатов характерным является превосходство программы GENftZ {"формулы (4) и (Ь)) над другими программами для большинства тестовых вад&ч, а не только для жестких осциллирующих систем.

В § 4.3 представлена реальная задача, решаемая о помощью предлагаемых программ GtAkZ и C[//fiZ. Рассматриваемая задача относится к области моделирования динами кг движения меха-

чических объектов и является составной частью комплекса по обеспечению безопасности полетов самолетов, решаемого в Гос НИИ ГА ('гражданской авиации). Ввиду специфики проблемы и необходимости многократного решения исходной системы с различными входными параметрами актуальным являлся вопрос повышения быстродействия применяемых методов численного интегрирования.

В § 4,4 обсуждаются результаты решения реальной задачи, представленной в 5 4.3. Расчеты производились для следующих методов*. I) метод переменного шага, основанный на явных формулах Рунге-Кутты - Фельберга пятого порядка; 2) метод прогноза -коррекции переменного порядка и шага, основанный на формулах Адамса; 3) метод прогноза - коррекции переменного порядка и шага, основанный на формулах дифференцирования назад ; 4) метод прогноза - коррекции переменного порядка и шага, основанный на модификациях ЁЯР ('программа 4£ААХ) ; 5) метод прогноза - коррекции, основанный на линейных формулахсо второй производной /'программа (?£///{2).

Результаты, оформленные в виде таблицы, свидетельствуют, Что при численном интегрировании системы с помощью программ

<?£А#г и G■E^/RZ достигается существенный вычислительный эффект, выраженный 8 значительном сокращении времени счета при заданной точности решения. Приводятся графики, иллюстрирующие характер получаемого решения, а также некоторые зависимо- ; ети, связывающие типы применяемых методов, требуемую локальную точность н время решения задачи на ЭВМ.

В приложении приведены примеры тестовых расчетов, а также распечатки программных модулей комплекса 6 с я А г , снабженные подробными комментариями.

ОСНОЕНШ5 РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложен, новый подход к построению ЛММ с заданными характеристиками н оптимальными свойствами А{оС) -устойчивости. Теоретические результата сформулированы в виде теорем о различных свойствах устойчивости М&йР - новой разновидности формул на основе .

2. Разработан новый способ реализации ЛММ со второй производной в алгоритме переменного порядка и шага. Для разработанного метода найден адекватный способ оценки локальной по-греиности дискретизации. Теоретические результаты представлены

теоремами об А-устойчивости предлагаемых методов.

3. Полученные методы реализованы в программах CfAAZ и

GdЛ/AZ. Проведено тестирование этих программ и их сравнение о существующими разработками. Выделен круг задач, для которых применяемые программы наиболее эффективны. Предложенные методы, алгоритмы и программы использованы для решения реальной задачи иэ области оптимального управления самолета Ту-154Б при заходе на второй круг в штурвальном режиме. Был достигнут вычислительный аффект по сравнению с другими методами, выраженный в значительном сокращении времени решения на ЭВМ EC-I060. Проведенные расчеты позволили выработать рекомендации, направленные на повышение эффективности эксплуатации втого типа самолета. Результаты внедрены в научно-производственную деятельность РО ГосНИЙ ГА в качестве элемента подсистемы "Модель" комплекса имитационного моделирования полета.

По содержанию диссертации опубликованы следующие работы!

1. Золотухин C.B. Анализ устойчивости методов типа прогноз

- коррекция. - В кн,1 Материалы второй научно-технической конф. молодых ученых. КНИГА, ИГА, Киев, 1979. - Сборник докладов депонирован в УкрШНТИ 26 сентября 1979 г., Р 1695,

с. 122-130.

2. Золотухин C.B. Методы Рунге-Кутта с расширенной областью абсолютной устойчивости, - В кн.: Методы анализа и синтеза, нелинейных цепей.: Сборник научных трудов ИПМЭ АН УССР. -Киев: Наукова думка, 1982, о. 65-§9.

3. Золотухин С,В. Способ повышения эффективности метода Гира для жестких систем. - Киев, 1982. - 10 с, - Рукопись депонирована в ВИНИТИ II января 1983 г., № 151-83Деп.

4. Золотухин C.B. О некоторых зарубежных.пакетах программ интегрирования жестких обыкновенных дифференциальных уравнений.

- Киев, 1982. - 14 с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ II января 1983. г. , Г 152-оЗДеп. ^

5. Золотухин C.B. Жестко устойчивые линейные многошаговые формулы высокого порядка точности. - Киев, I9S2. - 14 с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ II января 1963 г., F 153-83Деп.

6; Золотухин C.B. Выбор формулы-предиктора для^жестко устойчивого метода прогноза - коррекции Гира. - Киев, 1982. 10 с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ II января 1983 г., Г 154-БЗДеп.

7. Золотухин C.B. Линейные формулы со второй производной в многопарамэтрическом методе прогноза - коррекции для жестких систем. - Киев, 1985. - 21 с. - Рукопись депонирована в ВИНИТИ б декабря 1985 г., F 8388-ВЕ5.

8. Золотухин C.B. Процедура SGEAHZ численного решения систем жестких обыкновенных уравнений. - Киев, 1985. - 16 с.

- Рукопись депонирована в ВИНИТИ 6 декабря 1%5 г., Р 8389-ВВ5.

9. Золотухин C.B. Линейные методы с расширенной областью абсолютной устойчивости для численного решения жестких осцил-лируюпртх систем. - В кн.: Всесоюзный семинар "Вопросы оптимизации вычислений". Геэ. докл. всес. семинара. - Киев: ИК АН УССР, 1967. - с. 87.

10. Ткалич А.П., Золотухин C.B., Кондратьев A.A. Исследование оборудования на основе моделирования. - В кн.: Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов. Тез. докл. всес. конф. - Киви: КНИГА МГА, Ш АН УССР, ИЭ АН УССР, 1988. - с. II0-III.

11. Золотухин C.B. Исследование устойчивости линейных многошаговых методов для жестких осциллирующих систем. - В кн.: "Вопросы эксплуатации программного обеспечения мини я микро ЭВМ". - Киев: КНИГА, 1989, с. 49-57.

12. Золотухин C.B. Линейные методы в форме Нордсика для специального класса кестких систем. - В кн.: "Применение информатики и вычислительно! техники при решении народнохозяйственных задач". Тея. докл. Реопубл. конф. молодых ученнх я специалистов. - Минск, 1989. с. 121.