Линейные системы уравнений с кратными старшими частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Миронова Любовь Борисовна

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С КРАТНЫМИ СТАРШИМИ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань

— 2005

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина

Научный руководитель- доктор физико-математических наук,

профессор Жегалов Валентин Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент Бурмистров Борис Николаевич

Ведущая организация: Самарский государственный

университет

Защита состоится 24 января 2006 г в 13 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, Казань, ул Университетская, 17, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственною университета им. В И. Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан УУ декабря 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент _ Липачев Е.К

*£#± не 29/я

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исходным моментом для темы предлагаемой диссертации послужили работы ряда авторов по исследованию системы уравнений первого порядка

^ = У~]а1к(х1,...,хп)щ +/г(х1,...,хп), г = 1 ,...,п, (1) дх' ых

интересной, в частности, с точки зрения применения получаемых результатов к исследованию важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа.

Аналогичная система высокого порядка имеет, очевидно, вид

зч. , ( а^-Ч ...

^ =..м>.(2)

5 = 1,...,Т1,

где /г — линейные относительно аргументов VI, ... , ^л'-"" функции.

Путем введения новых искомых функций можно представить (2) как частный случай системы

т п

ЩХ1 =^2<11г(хи...,хп)иг +/¡(хи...,хп), 1 ^тп = ^кг, (3) 1=1 »=1

если 1 ^ / ^ то ] = 1, если к\ + 1 ^ I ^ к\ + то ] = 2, если

+ + 1 < + + то з = 3, ... , если ^"г/^ + ] < I < то ] — п. Именно (3) и является предметом исследования в настоящей работе.

Основным инструментом служит адаптация метода Римана к рассматриваемой системе уравнений. Для гиперболического уравнения

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х,у)и = /(ж, у), (4)

а также системы (в этом случае а, Ь, с — известные матричные функции, / — известная, и — искомая векторные функции) этот метод хорошо известен и применяется при построении решений и исследовании широкого круга задач. В ряде работ В.И. Жегалова и его учеников этот метод был распространен на класс уравнений со старшими частными производными

(О, + ад»=/<»,.....^»«Х"«»"

1> • • • > у

СПе

з ; ее

где

Qkl+-+kn

Dl ^ дх^ ...дхУ a D2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из D\ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Одним из основных моментов в работах этих авторов было определение функции Римана как решения уравнения типа Вольтерра. Другие варианты метода Римана предлагались в работах JI. Бианки, О. Николетти, М.К. Фаге, А.П. Солдатова и М.Х. Шханукова, У. Ранделла, М. Сте-чера, В.Ф. Волкодавова, В.Н. Захарова и других.

Отметим, что некоторые частные случаи уравнения (5) при п — 2 исследовались с разных точек зрения В. А. Водаховой, О.М. Джо-хадзе, P.C. Жамаловым, М.Х. Шхануковым, Д. Колтоном, С. Еасвара-ном, Д. Манжероном, М. Огюсторели, В. Радочовой и другими. Интерес к уравнению (5) объясняется его приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, поглощения влаги корнями растений, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах.

Э. Хольмгрен (Arkiv for matematik, astronomy och fysik. 1910, band 6, № 2) распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Б.Н. Бурмистро-вым результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Ко-ши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости (Труды семинара по краевым задачам. Казанский ун-т, 1971, вып. 8.).

Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в серии работ Т.В. Чекмарева решение задачи Гурса для системы (1) с условиями

"гк,^ - Ъ г = 1,..., тг, (6)

строится методом последовательных приближений. На полученных формулах основывается вывод формул решений задач Коши и Дарбу. Отметим также работу A.B. Бицадзе (Матем. моделирование. 1994, т. 6, № 6), в которой были предложены формулы интегрального представления решений задач Коши и Гурса для (1) при п = 2, позволяющие установить их структурные свойства.

Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.

Значительная часть диссертации посвящена исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными

На примере системы (7) хорошо видно, как результаты, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в Я2 и Я3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.

Основной целью работы является разработка варианта метода Римана для системы (3) и применение полученных результов к исследованию систем с кратным дифференцированием вида (2).

Методы исследования. Центральным моментом является разработка метода Римана для системы (3). Для обоснования предлагаемой схемы рассуждений и при исследовании систем вида (2) применяются методы теории интегральных уравнений, результаты теории дифференциальных уравнений и систем, используется аппарат диффе ренциальных форм.

Научная новизна. Новыми являются предложенный вариант метода Римана для системы (3), а также постановка большинства рассматриваемых в диссертации граничных задач. Методы исследования этих задач также содержат элементы новизны: приемы вывода интег-

[.,(хь..., Хп)-^2- + ]Г а°к1(хи.. -, хп)щ+ дхк ^

+ ¡к(хи... ,хп), к~1,п.

(7)

ральных уравнений для редукции исследуемых задач к уже изученным, выявление условий однозначной разрешимости задач, а также характера зависимости решения от произвольных постоянных. На защиту выносятся следующие результаты.

1. Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Кощи и смешанной задачи для (3)

2. Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для системы (7) в пространствах Я2, Я3 ив пространстве любого конечного числа измерений.

3. Постановка различных характеристических задач для системы (7) в пространствах Я2 и Я3, исследование характера их разрешимости.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории систем дифференциальных уравнений с частными производными. Полученные результаты могут быть использованы при изучении новых вариантов краевых задач для систем того же вида (возможно при менее ограничительных предположениях на коэффициенты, например, если они допускают сингулярности), а также послужить отправными точками для исследования систем со старшими частными производными более высокой кратности.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 9 публикациях автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 140 страниц и состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов и списка литературы из 97 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, и характеризуются результаты автора, изложенные в последующих главах.

Глава 1 может рассматриваться как определенное распространение рассуждений из указанных выше работ Э. Хольмгрена и Б.Н. Бурмистрова на случай системы (3). При этом используется идея из работ В.И. Жегалова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций. Но сначала (§1) доказывается существование и единственность решения рассматриваемых в данной главе задач Гурса, Коши и смешанной задачи (существенную роль здесь играет метод последовательных приближений). Основным же в этой главе является § 2, где излагается вариант метода Римана, заключающийся в следующем. Система (3) переписывается в векторно-матричной форме

Здесь Аг — постоянные диагональные матрицы, Аг- = diag(al, а\, ■ ■ ■, причем а] = 1 при 1 < в ^ кг, а? = 1 при ку + 1 < « ^ кг + к2, ... , аг" = 1 при Х^Т/ К + 1 < « < осталь-

ные диагональные элементы матриц А, равны нулю; В = (а/г), щг — коэффициенты системы (3), I — 1 ,т, г = 1 ,т; Р = со1оп(/!, /2,.. ,/,«)■ Вводится матрица Римана К = со1оп(Кь. .,11™), где 11,(11,...,я„)£ь • -. ,£„) = (П1, ■ ■ ■ ,ггт), г = 1,т, являются решениями систем

хр

Т'гД'*'!} - • • ч^п) ~ ~

п

£(И) Е, Ци) = ^ А,иг, - Ви, и = со1оп(иь... ,-ит).

»=1

где 5Ч — символ Кронекера, аЧ] — коэффициенты системы (3). Решения систем (8) при каждом г существуют и единственны в классе непрерывных функций. Дифференцируя (8) получаем, что по первым л аргументам {х\,... ,хп) матрица И удовлетворяет сопряженной к (3) системе

п

Г (V) = О, ¿'(V) = - ^(УА,)*, - УВ.

«=1

Доказывается тождество

п

кди) = ^ЛАД)),., (9)

г=1

интегрированием которого по соответствующим областям получаются формулы решения рассматриваемых задач.

Возьмем в качестве примера одну из задач. Пусть С? = {г® < хг < х}, г — 1,п}. Обозначим через X) грани (9 при х] = х°у

Задача Гурса. Найти регулярное в области (7 решение системы (3), удовлетворяющее условиям

и1\х1 -4>1{хи--->х]-иХ]+1,. 1 = 1,т., (10)

<Р1 6 С(Х^, связь между I и ] дается формулой (3).

Пусть ьб) • - • Лп) € О. Считая в тождестве (9) матрицу и решением системы (3), проинтегрируем (9) по области = {ж® < хг < („ г — 1, п}

J Ш^Х! Л • • • Л йхп = (И-А-и)*,

С1 Л • • • Л йхп.

¿X С1

Пусть в (3) входит производная функции щ по переменной х.,. Применяя общую формулу Стокса и используя свойства матрицы Римана получим решение задачи Гурса в виде

• • • >60

с известной функцией Ф*(£ь ■ ■ ■

Аналогично рассматриваются задача Коши и смешанная задача (в которой часть условий задается на нехарактеристической части границы, как в задаче Коши, а часть — на характеристиках).

В связи с изложенным выше возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т.В. Чекмаревым для системы (1) при п — 2 случаями? Рассмотрению этого вопроса посвящен §3.

В § 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3.

Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными (7). В главе 2 рассмотрен случай п = 2:

Г Uxx = ai(x,y)vx + Ь\(х,у)и + ci(x,y)v + f\(x,y), I vyy = а2(х, у)иу + Ь2(х, у)и + с2(х, y)v + f2(x, у).

При этом в замыкании рассматриваемой области D плоскости (х,у) выполняются включения oi, а2 € С2, Ьи h, ci, с2, fu h € С1- Решение (11) класса и, v Е C1(D), ихт, vyy G C(D) называем регулярным в D.

В § 5 методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решений следующих задач.

Основная характеристическая задача. В области G = {xq < х < xi, уо < у < yi} найти регулярное решение (И), удовлетворяющее условиям

и(х0,у) = <pi{y), (их - агь)(х0,у) = <рг{у), v{x,yQ) фх(х), (vy - а2и)(х,уа) = ф2{х),

Му), Ыу) е ^([yo.yi]), Ф1(х), Мх) € Cx([i0,a:i]).

Эта задача играет существенную роль при исследовании других, рассматриваемых далее, задач.

Задача Коши. Пусть D — треугольная область плоскости (х,у), ограниченная характеристиками х = х\, у = уи xi > 0, 2/1 > О, и отрезком кривой £: у = а(х), сг'(х) < О (Е — кривая класса С2). Для определенности положим у\ = с(0), а(х\) — 0. Требуется найти регулярное в D решение (11), удовлетворяющее условиям

= 0ю(:с),

£

п — внешняя нормаль к Е, щ, w0 € C2([0,a;i]), ию, ищ € С1([0,xi]).

u|E=u0(x), = г>0(аг),

ди дп

Смешанная задача. Пусть £>о — область плоскости (ж, у), ограниченная характеристиками х = ц, у — уъ х\ > 0, у\ > 0, осями координат и отрезком АВ кривой £: у — а(х), сг'(х) < 0, принадлежащей классу С2 При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (жг, 0), В — (0,2/г)- Обозначим X = {(х, у) I х = 0, у2<у< г/1}, У = {(х,у)\х2 <х<хиу = 0}.

Требуется найти регулярное в £>о решение (11), удовлетворяющее на характеристиках х — 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на £ — условиям Коши

и\ъих=Му), Чецу = «о(«), £

- ию(у),

дп

дп

= у10(х), (их-агу)\х = ч>{у), (уу-а2и)\у=ф(х)1

я

п — внешняя нормаль к щ. € 01 ([г/2,2/г]), ф € С1([хг,Ж1]), ^ю € С2{{у2,у\\), € С2([х2,х{\). Кроме того, должны выполняться условия согласования их (Е С(£ и X), ьу £ С(Е и У).

В § б в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач.

При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же § б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно)

Задача 2.1. Найти регулярное в С решение системы (11), удовлетворяющее условиям

и(х0, у) =■ х(у), ь(х, у о) = ц(х), ап(у)их{хо,у) + ап(у)ух(х0,у) = 7711(1/), а21(х)иу(х,у0) + а22{х)у!/(х,у0) = тп2(х).

Предполагается, что выполняются условия гладкости <гц, а\2 €

С1([Уо,У1]), а2и а22 £ ^х]), тгц £ СЩуо, Ы). тг € СЧ^о,^]),

причем

а11 + а12 Ф а21 + а22 Ф

Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных

постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В.И. Жегаловым и Н.Х.Х. Зомотом для системы (1) при п — 2, 3 и в общем случае.

В § 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника С = < х < Уо<У < 2/1} с граничными условиями на трех и четырех сторонах С. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры.

Задача 2.2. Найти в <? регулярное решение (11), удовлетворяющее условиям

и(х0, у) = (рх(у), (их - а,г>)(хв, у) = <р2(у), (уу - а2и)(х, у0) = фх{х), у(х, У1) = х(х),

Ч>\(у), ¥>гЫ € Сх{[уц,у1)), ^(х), х(®) € ^([«о.и])-Обозначим сю = сл - а1г, 620 = -

Теорема 2.5. Если аь а2 € С2(С), 6Ь 620, сю, с2, /ь /2 € С1 (С), с2(х,у) ^ 0 а С, то существует единственное решение задачи 2.2

Задача 2.4. Найти в Сг регулярное решение (11), удовлетворяющее условиям

и(х0,у) = <Р1 (у), (их - й1У)[х-[,у) ■= <р2(у), у(х,у0) - ф\{х), {уу - а2и)(х,ух) - ф2{х),

Му), Ыу) € С1{[у^уг\), фг{х), фг(х) хх]).

_ Теорема 2.7. Если аь а2 € С?2(С), Ьь Ь20, с10, с2, /ь /2 & С'1^) и в (3 выполняется одно из условий

аг(х,у) = сю(х,у) = с2(х,у) = 0, Ьг(х,у) ^ О,

Ьг(х, у) = а2(х, у) - Ь20(х, у) = 0, с2(х, у) > О,

то решение задачи 2.4 существует и единственно.

В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство. Здесь изучается система

' иТХ = ау(х, у, г)уг + Ьг(х, у, г)ъих + а(х, у. г)и+

+МХ> у!+ е1(х. г/. + /1(г>

+¿2(1, у, г)у + е2(х, у, г)и> +• /2(х, у, г), = а3(г, у, г)и2 + Ь3(х, у, г)уг + с3(х, у, г)и+ -Мз(х, у, г)у + ег(х,у, г)и> + /3(х, у, г).

Считаем, что в замыкании рассматриваемой области И пространства (х,у,г) выполняются включения а„ Ьг е С2, с{, ¿¿, е,-, /г € С71, г = ТТЗ. Решение (12) класса и, V, ю € С1 (О), ихх, г/ГО) т2г 6 С(^) называем регулярным в 2).

Основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача ставятся и исследуются в § 8 и § 9 главы 3 аналогично случаю системы (11), поэтому соответствующие результаты мы приводить не будем, ограничившись формулировкой основной характеристической задачи. Вместе с тем, рассуждения усложняются и выкладки становятся более громоздкими в связи с увеличением размерности пространства независимых переменных. Поэтому для детального выяснения методики применения метода Римана для исследования систем с кратным дифференцированием результаты данной главы необходимы.

Основная характеристическая задача. Пусть (7 = {хц < х < уо < у < у\, го < г < гх}. Обозначим через X, У, X грани (? при х — 1о> У — Уо> 2 ~ 2о соответственно. Требуется найти регулярное в области С? решение системы (12), удовлетворяющее условиям

и(х0, у, г) = у>1(у, г), у(х, у0, г) = уг(х, г), и>{х,у,г о) = <рз(х,у), (их - агу - Ьхш)(х0, у, г) = (у, г), (13)

(ьу - а2и - Ь2ш)(х,у0,г) - ф2{х,*), (и>2 - а3и - Ь3ь)(х,у,г0) = ф3{х,у),

<Р\, Фг € С\Х), <Р2, тр2 € С1 (У), <р3, ф3 € С1^)-

В § 10 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического параллелепипеда С = {^о < х < хь у0<у < Уъ г0 < г < с граничными условиями на четырех, пяти и шести сторонах С. Указанные задачи, как и в § 7, исследуются путем редукции к основной характеристической задаче (решение которой существует и единственно). Ограничимся тремя примерами.

Обозначим через Х\, У, грани при х — х\, у = т/ь г = соответственно

Задача 3.1. Найти в С регулярное решение (12), удовлетворяющее условиям

и(х0, У, г) = ух{у, г), (щ - а^ - Ь^Хц, у, г) = Х1(У. г),

з/о, -г) = Ы1.*). К ~а-2и- = ф2{х,г), (14)

ги(х,г/,г0) = <р3(х,у), (гиг - а3и - Ьзу)(х,у, ги) = ф3(х,у),

Ч>\(»,*) е CHX), xi(y,z) 6 сн^о, e сЧП

Обозначим dio = di—aix, ею = ei—bix, его = c2—a2y, его = e2—b2y, C30 = C3 - азг, d3o = d3 ~ _

Теорема 3.4. Если аь bi,_a2, Ьг, аз, *>з € G2(G), ci, с2о, с30, dl0, d2, ¿зо, ею, его, ез, /ь /2, /3 € G^G), сг(а:, j/,z) > 0 в G, то существует единственное решение задачи 3.1.

Задача 3.3. Найти в G регулярное решение (12), удовлетворяющее условиям

и(х0, у, 2) = <pi{y, г), (их - arv - Ь^)(хиу, г) = хг{у,z),

v{x, г/о, г) = <р2(х, z), (vy - а2и - b2w)(x,ybz) - X2{x,z), (15)

w(x,y,z0) = щ{х,у), (wz-a3u - b3v)(x,y,z0) = (x,y),

<Pi(y,z) 6 CHX), XI(y,z) e CHX,), <p2(xtz) e Cl(Y), X,(x,z) G CHT,), <Рз{х,у), 4>з(х,у) G Cl{Z).

При выполнении одного из условий

ai(x,y,z)=dio(x,y,z)=d2(x,y,z) = 0, ci > 0, (16)

c\{x,y,z) - a2(x,y,z) с20(х,2/,г) = 0, d2 > 0, (17)

задача 3.3 редуцируется к основной характеристической задаче. Поэтому справедлива

Теорема 3.6. Если аь 6Ь а^, Ь2, а3, Ь3 € G2(G), сь с20, с30, ¿ю, ¿2, ¿зо, ею, е20, ез, /ъ /2, /з £ С1 (С), и выполняется одно из условий (16), (17), то существует единственное решение задачи 3.3.

Задача 3.6. Найти в G регулярное решение (12), удовлетворяющее условиям

u(x0,y,z) =<Pi{y,z), (ux - Olv -biw)(xuy,z) =Xi{y,z), v(x, yQ, z) = <рг(х, z), (vy - a2u - b2w)(x, yu z) = хг(®, w(x,y,z0) = (p3{x,y), (wz-a3u - hv){x,y,zx) = хг{х,у),

n{y,z) G G C1^), Ы*.*) G G'iF), X2(x,z) G G^Yi),

П (x,y)€C1(Z),Xi(x,y)eC1(Zi).

Задача 3.6 редуцируется к основной характеристической задаче при выполнении любой из следующих групп условий:

ax(x,y,z) = dw(x,y,z) = d2(x,y,z) = Ьг(х,у,г) = ~ ею(x,y,z) = e3(x,y,z) = b2(x,y,z) =e2{!(x,y,z) = 0, (18) ci >0;

У, -г) = у, 2) = ¿2{х, у, г) = ЬДх, у, г) = = ею(а;, у, г) = е3(х, у, г) = Ь3(х, у, г) = ¿30(2;, у, г) = О, С1 ^ 0;

с^х, у, г) - а2(х, у, г) = с20(х, у, г) = 6г(х, у, г) =

= е20(х, у, г) = е3(х, у, г) = ^(ж, у, г) = е10(х, у, г) = 0, ¿2 >0;

сх(х, у, г) = а2(х, у, г) - с20(х, у, г) = Ь2(х, у, г) = = е2о(х, у, г) = е3(х, у, г) = а3(х, у, г) = с30(х, у, г) = 0,

С1(х,у,г) ~ а3(х,у,г) = с30(х,у,2) = ¿2(х,у,г) = = Ь3(х,у,г) = ¿30(х,у,.г) = ах(х,у,2) = ¿10(х,у,г) = 0, е3 >0;

С1(х, у, г) = а3(х, у, г) = с30(х, у, г) = «¿2(х, у, г) = = 63(х, у, г) = ¿30(х, у, г) = а2(х, у, г) = с20(х, у, г) = 0, е3 >0.

Теорема 3.9. Ясли оь <12, Ь2, а3, Ь3 £ С2{С), а, с20, с30, «¿ю, ¿2» ¿зо, ею, е2о, е3, /ь /2, /3 6 С1 ((7), и выполняется одно из условий (18) - (23), то существует единственное решение задачи 3.6.

В оставшихся двух параграфах главы 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача для системы (7) в пространстве любого конечного числа измерений.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Жегалову Валентину Ивановичу за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе.

(20) (21) (22) (23)

Публикации автора по теме диссертации

1. Миронова Л.Б. Постановка задачи Коши для линейной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвуз. конф. Ч 3. — Самара, 2003. — С 131-133.

i 2. Миронова Л.Б. Метод Римана для одной системы уравнений с дву-

кратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2004. — С. 158-161.

3. Миронова Л.Б. О методе Римана для одной системы в трехмерном пространстве // Труды междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2004 — С. 264266.

4. Миронова Л.Б. К задаче Коши для одной системы с кратными характеристиками // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы междунар. научн. конф. Казань, 2004. — С. 186-187

5. Миронова Л.Б. Метод Римана для системы с двукратными старшими частными производными в n-мерном пространстве // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI междунар. научн. конф. — Смоленск, 2005. — С. 136-137.

6. Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы уравнений с частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды II всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2005. — С. 178-180.

t 7. Миронова Л.Б. Об одной задаче для системы с двукратными

старшими частными производными // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 30. Теория функций, ее приложения и смеж-^ ные вопросы: Материалы VII междунар. научн. школы-конф. — Ка-

зань, 2005. — С. 109-110.

8. Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с кратными характеристиками в трехмерном пространстве / Ела-бужский гос. пед. ун-т. — Елабуга, 2005. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1059-В2005.

Я25953

9. Миронова Л.Б. О методе Римана в Яп для одной системы с кратными

характеристиками // Изв. вузов. Математика. (В печати.) /

Г

РНБ Русский фонд

2006-4 '

29703

Формат 60 х 84 1/16 Уел печ. л 1,0. Тираж 100 Заказ 444

Издательство Елабужского государственного педагогического университета 423600, г. Елабуга, ул Казанская, 89 Отпечатано ва полиграфическом участке издательства Лицензия № 0317 от 20.10.2000

Введение

Глава 1. Общая схема метода Римана в Rn и некоторые подготовительные результаты

§ 1. Существование и единственность решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи

§ 2. Построение решений задач в терминах матрицы Римана

§ 3. Об одном частном случае системы с некратным дифференцированием

§ 4. Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных уравнений

Глава 2. Система с двукратными старшими частными производными в R

§ 5. Теоремы существования и единственности решения трех задач

§ 6. Применение метода Римана к тем же задачам.

6.1. Матрица Римана, ее основные свойства и матричное тождество

6.2. Решение основной характеристической задачи

6.3. Другой вариант участия нормальных производных в граничных условиях

6.4. Построение решения задачи Коши

6.5. Формулы решения смешанной задачи

§ 7. Задачи с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника

7.1. Задачи с условиями на трех характеристиках.

7.2. Задачи с условиями на всех сторонах характеристического прямоугольника

Глава 3. Задачи в пространстве Я

§ 8. Постановка основных задач. Теоремы существования и единственности

§ 9. Метод Римана.

9.1. Определение матрицы Римана

9.2. Решение основной характеристической задачи

9.3. Построение решения задачи Коши

9.4. Формулы решения смешанной задачи

§ 10. Задачи с граничными условиями на четырех, пяти и шести сторонах характеристического параллелепипеда.

10.1. Задачи с условиями на четырех характеристиках.

10.2. Задачи с условиями на пяти характеристиках

10.3. Задача с условиями на всех сторонах характеристического параллелепипеда.

Глава 4. Некоторые обобщения на случай пространства произвольного числа измерений

§ 11. Теоремы существования и единственности.

§ 12. Метод Римана

Исходным моментом для темы предлагаемой диссертации послужили работы ряда авторов по исследованию системы уравнений первого порядка ди п

- = ^T,aik{xi,. ,хп)щ + /г(жь . ,хп): г = 1, — ,гг, (1) °Xi к=1 интересной, в частности, с точки зрения применения получаемых результатов к изучению важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа (например [3], [6], [7], [36], [39], [47], [48], [49], [58], [65]).

Аналогичная система высокого порядка имеет, очевидно, вид dk'vs , ( dkl lvi dkn~lvTl\ s = 1,., п, где fs — линейные относительно аргументов г/i, . , функции.

Путем введения новых искомых функций можно представить (2) как частный случай системы т п uixj =Ч^2ац(хи.1хп)щ-{- fi(xi:.,xn), (3) г=1 г=1 если 1 ^ I ^ hi, то j = 1, если + 1 ^ I ^ ki + то j = 2, если &1 + &2 + I ^ I ^ + + то j = 3, . , если то j = п. Именно (3) и является предметом исследования в настоящей работе.

Основным инструментом служит адаптация метода Римана к рассматриваемой системе уравнений. Для гиперболического уравнения иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = /(ж, у), (4) а также системы (в этом случае а, 6, с — известные матричные функции, / — известная, и — искомая векторные функции) этот метод хорошо известен и применяется при построении решений и исследовании широкого круга задач [1], [4], [8], [9], [40], [50]. В ряде работ В.И. Жега-лова и его учеников этот метод был распространен на класс уравнений со старшими частными производными

Di + D2)u = f(xu.,xn), (5) где

Qki+••■+&„

D1 = дх^ .дх a Z?2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования [18], [19], [20], [21], [22], [24], [25], [26], [27], [28], [41], [42], [43], [44], [45], [54], [55], [56], [59], [60]. Одним из основных моментов в работах этих авторов было определение функции Римана как решения уравнения типа Вольтерра. Другие варианты метода Римана предлагались в работах многих российских и зарубежных математиков [12], [13], [57], [61], [70], [71], [73], [79], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88].

Отметим, что некоторые частные случаи уравнения (5) при п = 2 исследовались с разных точек зрения многими авторами [10], [11], [15], [16], [17], [67], [68], [69], [72], [74], [75], [77], [78], [80], [81]. Интерес к уравнению (5) объясняется его приложениями в теориях фильтрации жидкости в трещиноватых средах, поглощения влаги корнями растений, колебаний стержней с учетом эффектов поперечной инерции, распространения волн в диспергирующих средах.

Э. Хольмгрен [76] распространил метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В работе Б.Н. Бурмистрова [7] результаты Хольмгрена развивались с целью решения задачи Коши, возникшей в связи с исследованием граничной задачи для системы уравнений смешанного типа на плоскости. А.А. Андреев [2] с помощью метода Римана изучил системы уравнений вида (4) при наличии у матриц-коэффициентов особенностей.

Вместе с тем многие авторы исследовали системы дифференциальных уравнений с частными производными, не прибегая к схеме, предложенной Э. Хольмгреном. Так, в работах Т.В. Чекмарева [62], [63], [64], [65] решение задачи Гурса для (1) с условиями 'Pifali • ■ ■ j 1) ■ • • ? *En)j 2 — 1, . . . , (6) строится методом последовательных приближений. На полученных формулах основывается вывод формул решений задач Коши и Дарбу. Отметим также работу [5], в которой были предложены формулы интегрального представления решений задач Коши и Гурса для (1) при п = 2, позволяющие установить их структурные свойства.

Таким образом, система (3) может рассматриваться как обобщение некоторых уравнений, изучавшихся в различных аспектах целым рядом авторов.

Главу 1 настоящей диссертации можно рассматривать как определенное распространение рассуждений из [76], [7] на случай системы (3). При этом используется указанная выше идея из работ В.И. Жега-лова и его учеников: элементы матрицы Римана вводятся как решения некоторых систем интегральных уравнений типа Вольтерра, решение каждой из этих систем существует и единственно в классе непрерывных функций (заметим, что в работе [7] матрица Римана также определялась как решение системы интегральных уравнений, но система там имела другой вид). Далее доказывается матричное дифференциальное тождество, интегрированием которого получены решения задач Гурса и Коши (при выводе формул решения задачи Коши существенно используется аппарат дифференциальных форм).

Очевидно, что вышеизложенные рассуждения проходят и в более простом случае, когда дифференцирование искомых функций системы (2) однократное. В связи с этим возникает вопрос: как соотносятся полученные результаты с ранее изученными Т.В. Чекмаревым в [62], [63], [64], [65] случаями? В § 3 с этой точки зрения рассматривается гиперболическая система щх = an(x,y)ui + a12{x,y)u2 +fi{x,y),

7)

U2У = a2i(x> у)и 1 + а22(ж, у)и2 + /г(аг, у).

В § 4 рассмотрен вопрос об однозначной разрешимости некоторой системы интегральных уравнений, на которую указаний в литературе автору обнаружить не удалось. Эти результаты требуются при доказательстве утверждений в главе 3.

Следующие главы посвящены исследованию различных граничных задач для системы с двукратными старшими производными п ди п • •' + 12 • • •' хп)щ+ г=1 dXk г=1 (8) fk{x 1> • • • > к — 1, 71.

На примере системы (8) хорошо видно, как результаты главы 1, относящиеся к системе (3), могут быть применены к системе (2) (алгоритм сведения (2) к (3) одинаков при любом порядке производных в левых частях уравнений системы (2)). В то же время для детального исследования требуется ограничиться каким-то более определенным классом систем (2). В качестве такого класса, на примере которого демонстрируются возможности метода Римана, в настоящей диссертации взяты системы с двукратными старшими производными. Представляется, что они являются моделями, на основе которых можно строить определенные предположения об изучении систем с производными любой конечной кратности. Наиболее подробно в диссертации рассмотрены системы с двукратным дифференцированием в R2 и R3. Это, в частности, связано с тем, что получаемые результаты легко интерпретировать геометрически.

В главе 2 рассмотрен случай п = 2: ихх = ai(x, y)vx + &i(>, у)и + ci(x, y)v + fi(x, у), vyy — a2(x, y)uy + b2(x, y)u + с2(ж, y)v + /2(ж, y).

При этом в замыкании рассматриваемой области D плоскости (х,у) выполняются включения ai, а2 6

С2, bubo, ci, с2, /i, /2 € С1. Решение (9) класса и, v £ C1(D), ихх, £ C'(D) называем регулярным в D.

В § 5 методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решений следующих задач.

Основная характеристическая задача. В области G = {ссо < х < xi, уо < у < у{\ найти регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям у) = <pi(y), (их - aiv)(xQ, у) = <р2(у), v(x,yo) = Tpi(x), (vy - а2и)(х,уо) = ф2(х),

Р\М, Ч>1 (у) G CHbo^i]), W®)» Ых) ^ C^N,^])

Эта задача играет существенную роль при исследовании других, рассматриваемых далее, задач.

Задача Коши. Пусть D — треугольная область плоскости (х,т/), ограниченная характеристиками х = xi, у = yi, х\ > 0, у\ > О, и отрезком кривой Т,: у = &(х), сг'(ж) < О (S — кривая класса С2). Для определенности положим у\ = сг(0), cr(xi) = 0. Требуется найти регулярное в D решение (9), удовлетворяющее условиям dv

ЧЕ = Ыж), Че = vo(®)» «!.(*), дп ^ю(аг), Е п — внешняя нормаль к Е, u0, vo Е С2([0, cci]), uxo, г/щ € C1([0,a;i]).

Смешанная задача. Пусть Dq — область плоскости (х,у), ограниченная характеристиками х = у = т/i, х\ > 0, у\ >0, осями координат и отрезком АВ кривой Е: у = сг(ж), о'{х) < 0, принадлежащей классу С2. При этом кривая отсекает от характеристического прямоугольника угол с вершиной (0,0), А = (#2,0), В = (0,2/2)- Обозначим Y = {х2 < х < жх, У = 0}, X = {х = 0, у2 < у < Ух}

Требуется найти регулярное в Dq решение (9), удовлетворяющее на характеристиках х = 0, у — 0 условиям рассмотренной выше характеристической задачи, а на Е — условиям Коши що{у), Е Ую(х), (ux-a1v)\T= (р(у), (vy-a2u)|F = ^(rc), дп dv дп Е п — внешняя нормаль к Е, щ, (р Е СХ([2/2,2/i])> Ф G С1([ж2, a^i]), Що Е С2([у2,2/i])j vw Е С2([х2,^х]). Кроме того, должны выполняться условия согласования их Е С(Е U X), vy Е С(Е U F).

В § 6 в терминах матрицы Римана строятся формулы решений сформулированных выше задач.

При рассмотрении граничных условий основной характеристической задачи нетрудно заметить, что эти условия отличаются определенной несимметричностью. В том же § б исследуются условия разрешимости задачи 2.1 с более «симметричными» условиями (производные искомых функций входят в граничные условия равноправно).

Задача 2.1. Найти регулярное в G решение системы (9), удовлетворяющее условиям и(х0,у) = х(у), v(x, у0) = Кх)> ап(у)их{х о, у) + au(y)vx (ж0, у) = mi(y), a2i(x)uy(x,yo) + a22{x)vy(x,y0) = т2(х).

Предполагается, что выполняются условия гладкости ац> а\2 €

С1{[Уъ,У\]), а21, «22 G C^^o^i]), mi € Cl([yQ,yi\), т2 в Cl([x0,£i]), причем а?2 ^ 0, aJi + <4 ^ 0.

Исследуется задача 2.1 путем сведения к основной характеристической задаче. Оказывается, что эта задача может быть разрешима как однозначно, так и с точностью до одной или двух произвольных постоянных. Задачи со сходными линейными комбинациями в граничных условиях исследовались В.И. Жегаловым и Н.Х.Х. Зомотом для системы (1) при п = 2, 3 и в общем случае [23], [27], [30], [32], [33].

В § 7 выделяются достаточные условия однозначной разрешимости задач для характеристического прямоугольника G = {яо < х < я и Уо < У < 2/1} с граничными условиями на трех и четырех сторонах G. При этом указанные задачи редуцируются к основной характеристической задаче. Приведем некоторые примеры.

Задача 2.2. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и(х0:у) = (pi{y), (их - a:v)(x0,у) = <р2(у), (vy - а2и)(х, т/о) = Ф1 (ж), v(x, г/1) = х(ж),

Р2(у) е Cl([yu,yi}), х(ж) G (^([zczi]).

Обозначим сю = с\ — aix, &20 = Ь2 — а2у.

Теорема 2.5. Если аь а2 Е C2(G), Ьь Ь20, сю, с2, /ь /2 £ Cl{G), с2(х,у) ) 0 б G, то существует единственное решение задачи 2.2.

Задача 2.4. Найти в G регулярное решение (9), удовлетворяющее условиям и(х0,у) = <pi(y), (их - aiv)(xuy) = ср2{у), v{x,yQ) = ф\(х), (vy - a2u)(x,yi) = ф2(х),

PiЫ> Ч>2.Ы) £ C\[yQ,yi]), ф\{х), ф2(х) в ^([аго,

Теорема 2.7. Если аь а2 е C2(G), 6Ь Ь2о, сю, с2; /ь /2 G CX(G) и в G выполняется одно из условий у) = сю(ж, у) = с2(ж, у) = 0, 6i(®, у) ^ О, а2(х,у) = Ь20(х,у) = 0, с2(х,у) ^ О, то решение задачи 2.4 существует и единственно.

В главе 3 основные результаты главы 2 переносятся на трехмерное пространство.

В главе 4 рассмотрены основная характеристическая задача, задача Коши и смешанная задача в пространстве любого конечного числа измерений.

Отметим, что как в главе 1, так и в последующих главах, рассматриваются сходные задачи (задача Коши, смешанная задача). Однако в постановке этих задач имеются значительные различия, связанные с различным порядком уравнений, входящих в системы (3) и (8). Например, в случае задачи Коши в граничных условиях для (8) присутствуют значения производных искомых функций, в то время как для (3) нужно задавать лишь граничные значения самих искомых функций. Это приводит к различиям в деталях доказательств и в формулировках теорем существования и единственности, а также в записи формул, дающих решение задач. Поэтому целесообразно получить формулы решения, например, задачи Коши для (8) в явном виде, а не ссылаться на соответствующий результат для (3).

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Разработка нового варианта метода Римана для системы (3). Получение в терминах матрицы Римана решений задач Гурса, Коши и смешанной задачи для (3).

2. Получение в терминах матрицы Римана решений основной характеристической задачи, задачи Коши и смешанной задачи для (8) в пространствах й2, й3 и в пространстве любого конечного числа измерений.

3. Постановка различных характеристических задач для (8) в пространствах R2 и i?3, исследование вопросов их разрешимости.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [89] - [97].

По мере получения они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанскго государственного университета. Были сделаны доклады на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию Казанского государственного университета и 70-летию НИИ математики и механики имени Н.Г. Чеботарева (Казань, 2004 г.), на VII международной научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2005 г.).

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978. — 352 с.

2. Андреев А.А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Автореф. . дисс. канд. физ.-мат. наук. — Душанбе, 1981. — 13 с.

3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982. — 336 с.

5. Бицадзе А.В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных // Матем. моделирование. — 1994. — Т. 6, № 6. — С. 22-31.

6. Бурмистров Б.Н. О некоторых краевых задачах типа задачи Франкля для систем уравнений первого порядка смешанного типа. Автореф. . дисс. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1970. — 10 с.

7. Бурмистров Б.Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе //Труды семинара по краевым задачам. — Казанск. ун-т, 1971. — Вып. 8. — С. 41-54.

8. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. — М. Л.: Гостехиздат, 1948. — 296 с.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.

10. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Наху-шева для одного псевдопараболического уравнения // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 2. — С. 280-285.

11. Водахова В.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием A.M. Нахушева // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. — С. 163-166.

12. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова O.K., Захаров В.Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. — Самара, 1995. — 76 с.

13. Волкодавов В.Ф., Захаров В.Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения. — Самара, 1996. — 52 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

15. Джохадзе О.М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 4. — С. 523-535.

16. Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 58-68.

17. Жамалов Р.С. Смешанная задача для одного эволюционного уравнения // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. — Новосибирск, 1988. — С. 126-130.

18. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. — Новосибирск, 1990. — С. 94-98.

19. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429-1430.

20. Жегалов В.И., Севастьянов В.А. Задача Гурса в n-мерном пространстве // Сибирский матем. журнал, Новосибирск, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97. — 4 с.

21. Жегалов В.И. О трехмерной функции Римана // Сибирский матем. журнал. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1074-1079.

22. Жегалов В.И., Котухов М.П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов. Математика. — 1998. — № 1. — С. 26-30.

23. Жегалов В.И., Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 394-В98 — 20 с.

24. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 10. — С. 73-76.

25. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11. — С. 77-81.

26. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. — С. 93-97.

27. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. — Казанское математическое общество, 2001. — 226 с.

28. Жегалов В.И., Миронов А.Н. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 23-30.

29. Забрейко П.П., Кошелев А.И. и др. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

30. Зомот Н.Х.Х. Условия разрешимости одной характеристической задачи // Казанский ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 04.04.97, № 1089-В97. — 17 с.

31. Зомот Н.Х.Х. Случаи явного решения одной трехмерной задачи Гурса // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, № 393-В98 — 9 с.

32. Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача в четырехмерном евклидовом пространстве // Казанский ун-т, 1998. — Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, № 900-В98. — 43 с.

33. Зомот Н.Х.Х. Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1998. — 113 с.

34. Зорич В.А. Математический анализ. 4.1. — М.: Наука. — 1981. — 544 с.

35. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 2. — М.: Наука. — 1984. — 640 с.

36. Карамышев Ф.И. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений смешанного типа // Сибирский матем. журнал. — 1961. — Т. 2, № 4. — С. 537-546.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

38. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

39. Красильников М.Г. Задача Трикоми с обобщенными граничными условиями для модельной системы уравнений смешанного типа. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Н. Новгород, 1993. — 15 с.

40. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 830 с.

41. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. — 1999. — № 7. — С. 78-80.

42. Миронов А.Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 12. — С. 1698-1701.

43. Миронов А.Н. О методе Римана для одного уравнения четвертого порядка со старшей частной производной // Вестник СамГТУ, серия матем. — 2003. — Вып. 22. — С. 190-194.

44. Миронов А.Н. К задаче Коши в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 6. — С. 844-847.

45. Миронов А.Н. О методе Римана решения задачи Коши // Изв. вузов. Математика. — 2005. — № 2. — С. 34-44.

46. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. — JI М.: ГТТИ, 1934. — 330 с.

47. Плещинская И.Е. Граничные задачи для систем уравнений смешанного типа, приводимые к задаче Гильберта. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Куйбышев, 1979. — 15 с.

48. Плещинская И.Е. Задача со смещениями для одной системы уравнений смешанного типа с частными производными // Тр. семинара по краевым задачам. — Казань: КГУ, 1983. — Вып. 19. — С. 145-155.

49. Плещинская И.Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и уравнений второго порядка с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23, № 9. — С. 1634-1637.

50. Риман Б. Сочинения. О распространении волн конечной амплитуды. — М. Д.: ГТТИ, 1948. — С. 376-395.

51. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. — М.: ИЛ, 1953. — 346 с.

52. Севастьянов В.А. О методе И.Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтерра // Казан, ун-т, 1997. —Деп. в ВИНИТИ 24.04.97, № 1373-В97. — 9 с.

53. Севастьянов В.А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения // Казан, ун-т, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 05.06.97, № 1848-В97. — 6 с.

54. Севастьянов В.А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 69-73.

55. Севастьянов В.А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1997. — 127 с.

56. Севастьянов В.А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 12. — С. 1706-1707.

57. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547-552.

58. Теут О.М. Некоторые краевые задачи для систем уравнений в частных производных смешанного типа. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1964. — 8 с.

59. Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка // Дифференц. уравнения. — Минск, 1999. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.99, № 2059-В99. — 13 с.

60. Уткина Е.А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — Казанск. ун-т, 1999. — 140 с.

61. Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. — 1958. — Т. 45, № 3. — С. 281-322.

62. Чекмарев Т.В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. — 1959. — № 6. — С. 220228.

63. Чекмарев Т.В. Решение в квадратурах задач Коши и Гурса для линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Уч. записки Горьковского ун-та. — 1967. — Вып. 80. — С. 63-69.

64. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 9. — С. 1614-1622.

65. Чекмарев Т.В. Системы уравнений смешанного типа. — Нижегородский гос. техн. ун-т, 1995. — 199 с.

66. Чуриков Ф.С., Мащенко И.П. Построение функции Римана для уравнения иху + (p(x)ip(y)u = 0 // Научн. труды Краснодарского политехи, ин-та. — 1970. — Вып. 30. — С. 19-25.

67. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18, № 4. — С. 689-699.

68. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 265, № 6. — С. 1327-1330.

69. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальных свойствах их решений // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. — С. 567-570.

70. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — V. IV, 1 sem. — P. 89-99, 133-142.

71. Burgatti P. Sull'estensione del metodo d'integrazione di Riemann all'equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti // Rend. Reale Accad. Lincei. — 1906. — Ser. 5a, 15, № 2. — P. 602-609.

72. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different, equations. — 1972. — V. 12, № 3. — P. 559-565.

73. Delassus E. Sur une extension aux equations d'ordre quelqonque d'une methode de Riemann relative aux equations du second ordre // Comptes Rendus de l'acad. des sci. Paris. — 1893. — P. 510-513.

74. Easwaran S. On the positive definitenes of polivibrating operators of Mangeron // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 7. — P. 563-569.

75. Easwaran S. Mangeron's polyvibrating operators and their eigenvalues // Bull. cl. sci. Acad. Roy. Belg. — 1973. — V. 59, № 10. — P. 1011-1015.

76. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier ordre // Arkiv for matematik, astronomy och fysik. — 1910. — Band 6, № 2. — P. 1-10.

77. Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1968. — V. 14, № 1-2. — P. 433-436.

78. Mangeron D., Oguztoreli M.N. Darboux problem for a polyvibrating equation: solutions as F-function // Proc. Nat. Acad. USA. — 1970. — V. 67, № 3. — P. 1488-1492.

79. Niccoletti O. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. cl. sc. fis., mat. e natur. — 1895. — 1 sem. — P. 330-337.

80. Oguztoreli M.N. Boundary value problem for Mangerons equation. I. // Bui. Inst, politehn. Jasi. Sectia 1. — 1973. — V. 19, № 3. — P. 81-85.

81. Radochova V. Die Losing der partiellen Differentialgleihung uxxtt = A(t,x)uxx + £?(£, x)utt mit gewissen Nebenbedinungen // Cas. pestov. mat. — 1973. — V. 98, № 4. — S. 389-399.

82. Rellich F. Verallgemeinerung der Riemanschen Integrationsmethode auf Differentialgleihungen n-ter ordnung in zwei Veranderlichen // Math. Annalen, 103, 1930. — S. 249-278.

83. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. — 1977. — V. 63, № 1. — P. 77-81.

84. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains // J. Different. Equations. — 1978. — V. 27, № 3. — P. 394-404.

85. Rundell W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation // Indiana Univ. Math. J. — 1978. — V. 27, № 5. — P. 739-750.

86. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc. — 1979. — V. 76, № 2. — P. 253-257.

87. Tedone O. Sull'integrazione dell'equazione — Y^Li §^2 = 0 // Ann. di mat. — 1889. Ser. 3, № 1. — P. 1.

88. Volterra V. Sur les vibrations des corps elastiques isotropes // Acta Math., 18, 1894. — P. 161-232.

89. Миронова JI.Б. Постановка задачи Коши для линейной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды XIII межвуз. конф. Ч. 3. — Самара, 2003. — С. 131-133.

90. Миронова Л.Б. Метод Римана для одной системы уравнений с двукратными частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2004. — С. 158-161.

91. Миронова Л.Б. О методе Римана для одной системы в трехмерном пространстве // Труды XIV между нар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. — Ростов-на-Дону, 2004. — С. 264-266.

92. Миронова Л.Б. К задаче Коши для одной системы с кратными характеристиками // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 25. Актуальные проблемы математики и механики: Материалы между нар. научн. конф. — Казань, 2004. — С. 186-187.

93. Миронова Л.Б. Метод Римана для системы с двукратными старшими частными производными в n-мерном пространстве // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы VI междунар. научн. конф. — Смоленск, 2005. — С. 136-137.

94. Миронова JI.Б. О характеристических задачах для одной системы уравнений с частными производными // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды II всеросс. конф. Ч. 3. — Самара, 2005. — С. 178-180.

95. Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с кратными характеристиками в трехмерном пространстве / Ела-бужский гос. пед. ун-т. — Елабуга, 2005. — 21 с. — Деп. в ВИНИТИ 20.07.05, № 1059-В2005.

96. Миронова Л.Б. О методе Римана в Rn для одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Математика. (В печати.)