Линейный и нелинейный анализ некоторых задач теории аэроупругости при малом коэффициенте демпфирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□03452406

На правах рукописи

Толбей Анна Олеговна

ЛИНЕЙНЫЙ И НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ АЭРОУПРУГОСТИ ПРИ МАЛОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2008

003452406

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Ярославского государственного университета имени П.Г. Демидова

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент

Куликов Анатолий Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Зейфман Александр Израилевич,

доктор физико-математических наук, профессор Кубышкин Евгений Павлович

Ведущая организация - Рязанский государственный университет

им. С.А. Есенина

Защита состоится «</#» ИРЯЪ^Я^ 2008 г. в ¿Г часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, Д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Подушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан PitH-U^jS 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Среди неконсервативных задач теории аэроупругости особое важное место занимает задача об устойчивости и колебаниях тел в потоке газа и жидкости. Аэроупругие явления (дивергенция крыла, флаттер крыла и хвостового оперения) явились побудительным мотивом к созданию многих разделов современной математики и, в частности, теории дифференциальных уравнений. Здесь достаточно вспомнить работы академиков М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева по созданию теории флаттера крыла. Работы М.В. Келдыша послужили прологом по созданию им и его последователями современной теории несамосопряженных дифференциальных операторов.

Данная работа посвящена изучению явления панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа. Эта задача возникла в конце 40-х г.г. прошлого столетия, в связи с изучением воздействия потока газа на обшивку летательных аппаратов, скорость которых превосходила скорость звука.

При исследовании задачи панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа можно отметить два круга вопросов. Во-первых, задача исследовалась в линейной постановке, при этом определялась так называемая критическая скорость флаттера, превышение которой влечет потерю устойчивости состояния равновесия. Многие специалисты (В.В. Болотин, П.Дж. Холмс, A.C. Вольмир и другие) неоднократно отмечали, что линейный подход недостаточен при исследовании этого явления, так как линейная теория не позволяет оценить амплитуды колебаний. Начиная с работ академика РАН В.В. Болотина, стало актуально исследование этой задачи в нелинейной постановке.

Выделим две различные ситуации при исследовании задачи панельного флаттера в сверхзвуковом потоке. Первый случай характеризуется тем, что коэффициент демпфирования является величиной порядка единицы. Тогда в линейной постановке задача сводится к определению критической скорости флаттера и введению широко известного понятия «параболы устойчивости». Обширные исследования по этому вопросу были проведены в работах В.В. Болотина и его учеников, а также A.A. Мовчана. Здесь следует отметить и ряд работ, проделанных в этом направлении в ЯрГУ им. П.Г. Демидова A.B. Душиным и Б.Д. Либерманом.

В нелинейной постановке задача сводится к распространению бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа на соответствующий

класс уравнений гиперболического типа. В данной области отметим работы А.Н. Куликова, Ю.С. Колесова, П. Холмса, Дж. Марсдена.

Иная задача возникает, когда коэффициент демпфирования мал. В линейной постановке эта задача была впервые рассмотрена A.A. Мовчаном, который ввел понятие нижней критической скорости флаттера и получил первые результаты в этом направлении. Отметим, что свои результаты A.A. Мовчан не довел до конца, и в его работах нет конкретного способа определения нижней критической скорости флаттера.

Надо заметить, что случай, когда коэффициент демпфирования мал, является не менее актуальным, чем «классический», так как такая ситуация может реализовываться не только, когда мало трение и конструктивное демпфирование, но и когда велика цилиндрическая жесткость. Отметим, что при исследовании данной задачи в безразмерных величинах цилиндрическая жесткость входит в знаменатель перенормированной величины демпфирования. Напомним, что достаточно часто величина цилиндрической жесткости имеет порядок 109, поэтому рассматриваемая в диссертационной работе задача является актуальной как с прикладной точки зрения, так и с математической.

Математические трудности состоят в том, что при исследовании нелинейных задач возникают бифуркационные задачи более высоких коразмерностей, чем один. В главе 2 исследование нелинейного флаттера в итоге сводится к бифуркационной задаче в случае наличия резонансной пары комплексных собственных значений у спектра устойчивости (резонанс 1:1).

Аналогичные резонансные задачи рассмотрены в следующих главах диссертации. Решение их потребовало применения современных методов нелинейной динамики.

В диссертационной работе показано, что при скоростях меньших скорости флаттера при малом коэффициенте демпфирования могут возникать неустойчивые колебания, причем в достаточно малой окрестности состояния равновесия. Последнее означает, что происходит «реальная» потеря устойчивости с последующим разрушением конструкции.

Цель работы

В диссертации рассмотрено два круга вопросов. В линейной постановке исследован вопрос о нахождении нижней критической скорости флаттера в сверхзвуковом потоке газа, если коэффициент демпфирования достаточно мал, а также нахождении тех значений скорости на-

бегающего потока, когда реализуются младшие резонансы для собственных частот.

В нелинейной постановке цель работы состояла в рассмотрении соответствующих бифуркационных задач, а именно, случаев резонансов собственных частот 1:1, 1:2, 1:3.

Нелинейный анализ был предпринят с целью объяснения феномена жесткого возбуждения колебаний пластинки. Последнее отмечалось в ряде экспериментов.

Методы исследования

В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, а именно, теория бифуркации, метод нормальных форм. При исследовании линейной задачи применялись некоторые методы теории дифференциальных операторов. Исполнение ряда алгоритмов предполагало приложение численных методов с последующей их компьютерной реализацией. Так же в работе использовался и метод Галеркина.

Научная новизна работы

Впервые задача о нахождении нижней критической скорости флаттера была решена практически точно, то есть без использования метода Галеркина.

Исследование бифуркационных задач с использованием нормальных форм позволило показать, что в данных задачах характерно жесткое возбуждение колебаний при скорости меньшей скорости флаттера.

Положения, выносимые на защиту

1. Определена нижняя критическая скорость флаттера. Поставленная задача сведена к задаче на условный экстремум.

2. Найдены значения скорости набегающего потока, при которых реализуются младшие резонансы собственных частот.

3. Для соответствующих этим резонансам бифуркационных задач построены нормальные формы, исследование которых позволило обнаружить режимы жесткого возбуждения колебаний.

4. Приведены различные сравнения, предложенных методик с вариантами исследования соответствующих задач на основе стандартного применения метода Галеркина. Продемонстрированы достоинства использованных в диссертации подходов.

Теоретическая и практическая значимость работы

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании и других задач теории аэрогидроупру-гости, а также иных задач прикладной механики. Результаты диссертации позволили с новых позиций посмотреть на классические задачи теории упругой устойчивости. При изучении задачи в линейной постановке удалось избежать применения метода Га-леркина, что, несомненно, выгодно для практического применения данных методик. Тем более что задача, как правило, сводится к рассмотрению нелинейных уравнений, исследование которых с помощью компьютера не представляет больших затруднений.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (руководители профессор С.А. Кащенко и доцент С.Д. Глызин), на конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы» (Н. - Новгород, 1 - 7 марта, 2006 г.), на конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 28-30 ноября 2006 г.).

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Три из них выполнены совместно с научным руководителем А.Н. Куликовым, которому принадлежит постановка рассмотренных задач, а также методика их исследования.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 65 наименований, и приложения. Диссертация содержит 15 рисунков.

Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проблемы, определяются цели и задачи настоящего исследования, научная новизна и практическая значимость работы, описываются методы исследования, излагаются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы вводится в рассмотре-

ние уравнение, описывающее колебания удлиненной пластинки в сверхзвуковом потоке газа. Первоначально основное внимание уделяется уравнению, получаемому в случае цилиндрического изгиба пластинки при отсутствии сжимающих или растягивающих усилий, в линейном приближении оно имеет вид

d2w dw d4w dw n —r + &— + —r + c— = 0. (1)

dt dt дх* dx

Здесь с - нормированная скорость потока газа, a g - нормированный коэффициент демпфирования. Уравнение (1) рассматривается совместно с наиболее популярными краевыми условиями шарнирного опирания

w(t, 0) = w{t, l) = 0, wn(t,О) = (t,l) = 0 (2)

или жесткого закрепления

w(i,0)= w{t,\)=0, wx{t,0)= wx(i,l) = 0.

Исследование устойчивости состояния равновесия приводит к необходимости исследования двух задач на собственные значения

L(c)v = v{rv)+cv' = Xv, (3)

где функция v(x) подчинена одному из видов краевых условий

v(o) = v(l) = v"(o) = v"(l) = 0, (4)

шарнирного опирания или жесткого закрепления v(0) = v(l)=v'(0)=v'(l) = 0.

При g ~ 1 определение критической скорости флаттера с0 сводится к нахождению того значения с, при котором дифференциальный оператор Ь(с) имеет собственные значения на параболе устойчивости, то есть Л = сг2 ± iga (рисунок 1).

Если g «1, то парабола очень узка и имеет смысл находить ту скорость с = с,, при превышении которой впервые появляются комплексные собственные значения.

В конце первого параграфа, кроме постановки задачи, были доказаны ряд утверждений, характеризующих общие свойства спектра дифференциального оператора ¿(с). В частности показано, что для действительных собственных значений оператора ¿(с) справедливо неравенство А. > л4.

еХ

а

Рис. 1.

Второй параграф главы 1 посвящен нахождению искомой величины с = с, для случая как шарнирного опирания, так и жесткого закрепления.

В случае шарнирного опирания приходим к системе уравнений

P{a,ß) = 0, (5)

F{cc, ß) = 0. (6)

Здесь Р{а, ß)=[3a4 + ß2 cr2)ún ß ■ shcr + 2a2ßa[cl{2a) - cos/? • cha],

ар ag a? 8Q

да dß dß да' Отметим, что вывод уравнения (5) воспроизводит некоторые конструкции A.A. Мовчана. В работе Б.Д. Либермана было выведено аналогичное уравнение. Уравнение (5) получено для вспомогательных параметров a,ß, которые связаны с основными параметрами следующими соотношениями

Л = (а2+,ß2Jß2 -За2), (7)

c = 4a(ß2-a2). (8)

Так как мы ищем минимальное значение с, при котором у уравнения (5) есть действительные решения, то нашу задачу можно трактовать как задачу условного экстремума для функции (8). Необходимые условия экстремума приводят к формированию системы (5), (б) для определения а, ß.

Fía, ß)

Для решения системы (5), (6) используется метод Зейделя, адаптированный к данной задаче. При этом строятся графики кривых Р(а, ß) = 0, F{a, ß) = 0. (рисунок 2) и приводится алгоритм нахождения точек пересечения.

Рис. 2. Графики уравнений Р(а, ¡5) = 0 (тонкий) и К(а, Р) = 0 (толстый)

Предыдущие построения позволили доказать следующее утверждение

Теорема 1.1. Существует с = сх, что оператор имеет

двукратное собственное значение, которому соответствует собственная е0 (х) = ^ А) ехр{^х.х) и присоединенная функции

/=1

4 4

Ло(*) = ехР^у*)4"*^^/ схр(иух). /=1 у=1

Также в этом параграфе рассмотрена краевая задача

IV I 1

и -\-си= Ли, к(0)=и(1) = м'(0)=и'(1) = 0 с краевыми условиями жесткого закрепления пластинки. И для этого варианта найдена нижняя критическая скорость флаттера.

В третьем параграфе главы 1 предложено сравнение полученных выше результатов с результатами метода Галеркина, часто применяемого в теории аэроупругости для решения подобного рода задач. Рассмотрен вариант двучленных, трехчленных и четырехчленных Га-леркинских приближений.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию нелинейной краевой задачи

д2\9 дм 34м> дю (ЗиЛ3 Vс?иЛ2 , „

—г + Я— + —г + с— + £, — -е,—- — ах = О, (9) де * д( дхА дх \дх) дх Ддл:)

н<л0)=н<л1) = 0, и'в(л0)=1^(/,1)=0, (10)

представляющей один из вариантов задачи о колебаниях пластинки в сверхзвуковом потоке газа, здесь коэффициент ^ пропорционален коэффициенту демпфирования и g«\. Последнее слагаемое отвечает за учет геометрической нелинейности. При больших сверхзвуковых скоростях учет только геометрической нелинейности не достаточен, поскольку аэродинамическая нелинейность становится весьма существенной. Предпоследний член уравнения (9) отвечает за аэродинамическую нелинейность. Отсутствие квадратичных слагаемых обуславливает обтекание пластинки потоком газа с одинаковыми скоростями с обеих сторон.

В первом параграфе главы 2 доказаны утверждения

Лемма 2.1. Пусть с = с0+е, где ее(0; е0), е0 - достаточно малая положительная постоянная. Тогда оператор Ь{с0 4- е) умеет уже пару сопряженных собственных значений вида

Л0 (?)=Л0

где ~ 56,276, а остальные собственные значения этого оператора действительные и простые.

Использование данной леммы позволяет доказать следующую теорему Теорема 2.1. Краевая задача (9), (10) при е = €, и 8 е (0; <50),

где величина Зй (е,) достаточно мала, имеет единственный устойчивый предельный цикл, который может быть задан уравнением Цг;л:;б) = бУ2[71е{х;б)ехр{}[а + &;]{)+ к.с]+

Здесь 7/ = ■ 1 ,

^2^(9,898^ + 125,821$,)

2->/ё(9,898^1 +125,821^2)

При решении нелинейной краевой задачи (9), (10) используются результаты, полученные при рассмотрении линейной задачи в предыдущей главе диссертационной работы. Применяется метод нормальных форм. Найдено автомодельное периодическое решение с амплитудой пропорциональной

, таким образом, в данной постановке имеет место мягкое возбуждение автоколебаний. Результаты первого параграфа второй главы предполагают, что бифуркационный параметр 8 зависит от параметра е , который был введен для решения линейной задачи.

Основной результат главы 2 содержится во втором параграфе, где рассмотрена соответствующая краевая задача в случае близости к критическому пары кратных точек спектра устойчивости.

Второй параграф посвящен нахождению периодических решений краевой задачи (9), (10). Приведены условия их устойчивости. Показано, что в данном случае характерен жесткий режим возбуждения колебаний.

В краевой задаче (9), (10) полагаем

8 = {§о >0\е = д2а0 {а0 е Д),

где 8 - малый положительный параметр. Выбор коэффициентов позволяет рассмотреть задачу о бифуркации таких периодических по I решений краевой задачи (9), (10), которые при 8 -» 0 сами стремятся к нулю. Использование метода нормальных форм сводит рассматриваемую задачу к рассмотрению следующего дифференциального уравнения второго порядка для комплекснозначной функции г(з)

2"(5) + 2£¿(3) + аг(5) + Ъг(5) \ г(з) |2 = 0 . (11)

Лемма 2.2. При аЪ< 0 обыкновенное дифференциальное уравнение (11) имеет семейство состояний равновесия

Н*) = ехр{Иг),

каждое из которых устойчиво, если а < 0, и неустойчиво, если выполняется противоположное неравенство.

Теорема 2.3. Существует д0 > 0, что при |<5| < д0 краевая задача (9), (10) при аЪ< 0 имеет периодическое решение

+ 82(- 2/о£0т]-а/Ь ехр(1<л)+к.с.)ио(х) + о(Зг).

Это решение устойчиво по Ляпунову, если а < 0, и неустойчиво, если а > О.

Поскольку в прикладных задачах чаще реализуется неравенство а > О, анализ формулы показывает, что найденное периодическое решение неустойчиво. В свою очередь, это означает, что в данном случае характерно жесткое возбуждение колебаний.

В третьей главе диссертационной работы проведено исследование колебаний пластинки в случае резонанса собственных частот 1:2. Произведен линейный и нелинейный анализ. Рассмотрены методы определения значения критической скорости флаттера с2, при котором для собственных частот реализуется резонанс 1:2.

Линейный анализ краевой задачи (1), (2) при ¿ = 0 свелся к исследованию спектра дифференциального оператора (3), (4), у которого, при минимально возможном с2, есть два собственных значения Л и 4 А. Линейный анализ проведен с использованием метода Галеркина для двух, трех и четырех базисных функций, а также с использованием метода интегрирования соответствующего дифференциального уравнения, который был подробно представлен в первой главе данной работы для резонанса собственных частот 1:1.

Во §2 третьей главы продолжено исследование краевой задачи, моделирующей обтекание тонкой пластины сверхзвуковым потоком газа или жидкости

Такой вариант учета аэродинамических сил соответствует квазистационарному подходу. Показано, что у краевой задачи (12), (2) есть неустойчивое периодическое решение. Для этого использован метод нормальных форм (квазинормальных форм), применение которого позволило доказать теорему

(12)

Теорема 3.1. Существует такое достаточно малое с0 > 0, что при е е (0; е0) краевая задана (12), (2) имеет неустойчивое периодическое решение вида

w(t,x,e) = е(dx exp{ia1 )p¡ exp(ias)E1 (t,x)+

+ d2 exp(ia2 )p2 exp{irj)exp{li<J s)E1 (t, x) + к.с.) + o(s). Параметры построенного решення определяются из анализа нормальной формы, которая в нашем случае имеет вид

(*) = -feo + АО". С'5) + Щ fcK (*)>

"Us) = "feo(4

В §3 рассмотрена краевая задача, описывающая колебания пластинки в случае цилиндрического изгиба. При этом нелинейный анализ проведен в случае двустороннего воздействия потока газа, то есть пластинка обтекается с двух сторон потоком газа со скоростями

ut~u2

at

d2w dw Э4н> ,,dw г-,, —+ g— + —7-+С1Л/—+ыеМ "2 Bt &4 !

Bx \2

, dw dw , f dw

d,--+d7\ —

8t дх \dx

J

-2

(13)

(ЗиЛ dw w dwf ЗиЛ . 3 (ЗиЛ d w if ЗиЛ . .

Для исследования краевой задачи (13), (2) была построена нормальная форма следующего вида

При изучении системы (14) было разобрано два случая. В первом случае, когда Ь1~Ь4= 0, систему (14) можно заменить системой вида

Pi =-Л ~pxp2cosy/, Рг =~Рг ~ Picos у,

<15)

у> = (2/с, -kA) + \— + 2p2 siny/ + (k6 -2 к2)р* +(к5 - 2къ)р\. \Рг )

Состояния равновесия системы (15) определяются следующим обра-1

зом /7] = р2 =--, а ц/ находится из уравнения

cosy/

+За,£ + У, + (/?2 -2Д) = 0, где % = tg\f/, ^ Величина Г2 выражается через константы

исходной краевой задачи.

Основньши утверждениями §3 главы 3 являются следующие теоремы Теорема 3.4. При выполнении неравенства

г 9 + 4У2(2Д -Р2) 8° 4 Г22

система уравнений (14) имеет два периодических решения, и это ре-

2 9 + 4Г2(2Д-Д) шение единственно, если е„ =---.

4Г2

Теорема 3.5. В случае двух решений системы (14) в условиях теоремы 3.4, меньшему по амплитуде решению будет соответствовать устойчивое, а большему — неустойчивое решение системы дифференциальных уравнений (14) при Ьх ~ЬЛ = 0.

Также в данном пункте краевая задача (13), (2) решалась с использованием метода Галеркина для сопоставления результатов с тем случаем, когда линейный и дальнейший анализ был предпринят на основе более точного метода из первой части пункта. В результате были представлены качественно различные значения параметров, при которых у исходной задачи разнится количество периодических решений.

В общем случае (6, ^ 0, 64 ^ 0) у системы дифференциальных уравнений (14) найдены неустойчивые периодические решения.

Аналогичная задача была рассмотрена в работе С.Д. Глызина, А.Ю. Колесова и Н.Х. Розова. Точная ссылка приведена в диссертационной работе.

Четвертая глава продолжает изучение краевой задачи, представленной в предыдущих параграфах работы. Здесь рассматривается резонанс собственных частот колебаний 1:3 и определяется критическая скорость флаттера с3, описанными выше способами.

В §2 проведен нелинейный анализ краевой задачи (16), (2) д2н> Эи> дАм> , .,дмг з (дю'Х' д2™ VЭиЛ2 . „

дг & дх4 " дх для которой строится нормальная форма вида

дх) дх2 Да*

От системы (17) удобно перейти к системе трех дифференциальных уравнений

Р\ = ~Р\ -р^ргсюу,

Рг =~Р2 ~Р|

У = (2А:, +

А 2 ¿>2

«л у/ + (¿6 - 2к2 )р1 + (А5 - 2&3)/?.

Далее находятся состояния равновесия системы (18). Имеем

Р\ =ГР2, Рг=-

ЛГ,■

а у/ определяется из уравнения где <д = .

(18)

(19)

Основной результат второй части главы сформулирован в следующем утверждении

Теорема 4.1. Система дифференциальных уравнений (11) имеет столько периодических решений, сколько действительных корней имеет уравнение (19). Эти решения неустойчивы.

В заключении кратко приводятся основные результаты работы и формулируются выводы из проведенных исследований.

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Толбей, А.О. Резонансные частоты собственных колебаний пластинки в сверхзвуковом потоке газа / А.О. Толбей // Вестник Поморского Университета. Серия «Естественные и точные науки». - 2006. - № 3. - С. 161- 164.

2. Толбей, А.О. Резонанс 1:2 как причина возникновения колебаний пластинки при двустороннем воздействии потока газа / А.О. Толбей // Моделирование и анализ информационных систем / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - Т.12. - № 2. - С. 40-45.

Другие публикации:

3. Бекбулатова*, А.О. Нелинейный флаттер. Резонанс 1:2 как источник жесткого возбуждения колебаний / А.О. Бекбулатова, А.Н. Куликов // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2002. - Вып. 5. - С. 22-27.

4. Бекбулатова , А.О. Анализ одной феноменологической модели, встречающейся в теории аэроупругости / А.О. Бекбулатова // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2004.-Вып. 6.-С. 25-30.

5. Толбей, А.О. Определение нижней критической скорости флаттера / А.Н. Куликов, А.О. Толбей // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2005. - Вып. 7. - С. 157163.

6. Толбей, А.О. Применение бифуркационной теоремы Андроно-ва-Хопфа к исследованию колебаний пластинки в сверхзвуковом потоке газа при малом коэффициенте демпфирования /

работа Толбей А.О. опубликована под фамилией Бекбулатова А.О.

А.О. Толбей // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов / Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. - Ярославль: ЯрГУ, 2006. - Вып. 8. - С. 109-114.

7. Толбей, А.О. Анализ модели В.В. Болотина нелинейного флаттера при малом коэффициенте демпфирования / А.Н. Куликов, А.О. Толбей И Тезисы докладов конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», секция «Математика» - Тула, 2006. - С. 66.

8. Толбей, А.О. О возможности жесткого возбуждения колебаний в одной из задач нелинейной теории аэроупругости / А.О. Толбей // Тезисы докладов конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». - Н. - Новгород, 2006. - С. 153.

Оригинал - макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ

Отпечатано на ризографе

Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ФЛАТТЕРА.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Определение нижней критической скорости флаттера.

1.2.1. Случай шарнирного опирания.

1.2.2. Случай жесткого закрепления пластинки.

1.3. Сравнение с методом Галеркина.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ В СЛУЧАЕ, КОГДА КРИТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ БЛИЗКА К НИЖНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ.

2.1. О применении бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа.

2.1.1. Случай шарнирного опирания.

2.1.2. Случай жесткого закрепления пластинки.

2.2. Исследование случая близкого к критическому резонанса 1:1.

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 1:2.

3.1. Линейный анализ.

3.2. Нелинейный анализ.

3.3. Нелинейный анализ в случае двустороннего воздействия потока газа

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНКИ В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ 1:3.

4.1. Линейный анализ.

4.2. Нелинейный анализ.

Среди неконсервативных задач теории аэроупругости особо важное место занимает задача об устойчивости и колебаниях тел в потоке газа и жидкости. Аэроупругие явления (дивергенция крыла, флаттер крыла и хвостового оперения) явились побудительным мотивом к созданию многих разделов современной математики и, в частности, теории дифференциальных уравнений. Здесь достаточно вспомнить работы академиков М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева по созданию теории флаттера крыла [14], [15]. Работы М.В. Келдыша послужили прологом по созданию современной теории несамосопряженных дифференциальных операторов (см., например, [16]).

Потеря устойчивости аэроупругих и гидроупругих систем представляет одно из самых опасных явлений, поскольку часто ведет к быстрому разрушению конструкций. Различают два вида потери устойчивости - статическую (дивергенцию) и динамическую (флаттер). Дивергенция представляет собой статическую деформацию (выпучивание) конструкции, возникающую при преодолении потоком некоторой критической скорости. Флаттером называются автоколебания системы поток - упругое тело. Причиной дивергенции и флаттера является передача энергии потока в упругую среду. Скорости потока, при которых деформации, вызванные дивергенцией, приводят к разрушению, обычно выше скоростей, при которых наступает флаттер. Поэтому именно флаттер представляет наибольшую опасность.

Начиная с пятидесятых годов прошлого века, стали привлекать внимание задачи, связанные с вибрацией обивки современных летательных аппаратов, возбуждаемых набегающим потоком воздуха. Причиной этому послужило создание самолётов и ракет, движущихся со сверхзвуковой скоростью.

Пусть поток воздуха обтекает одну сторону пластинки, а на другой стороне воздух остается неподвижным (см. рисунок ниже, где стрелкой отмечено направление потока газа).

7777777Ш

УШШ/Л

Впервые панельный флаттер был отмечен во время Второй мировой войны на немецких ракетах, в результате многие из них были подвержены разрушениям [58]. Проблемы такого сорта возникали и позднее. Так, на американском истребителе F-117A в 1980-х гг. после испытательных полётов было обнаружено разрушение примерно половины композитных панелей обшивки, которые затем были перепроектированы [64], [65].

Панельный флаттер возникает при сверхзвуковых скоростях обтекания. При этом разрушения могут происходить за достаточно большой промежуток времени и носить усталостный характер. А иногда, напротив, разрушения происходят за очень короткий промежуток времени и носят взрывной характер, то есть колебания возникают жестко. На опытных образцах самолетов в таких случаях было видно, что машина разваливалась за несколько секунд. С земли казалось, что аппараты взрывались.

При исследовании этого явления выявились проблемы как и в области механики, так и в области математики.

Специфические трудности в области механики состояли в том, что было трудно выразить аэродинамические силы через возмущения обтекаемой поверхности. Эта проблема с достаточной точностью была решена В. Хейсом [59] и A.A. Ильюшиным [13], разработавшими методы для приближенного учета аэродинамических сил, которые вошли в теорию под названием «закона плоских сечений» или поршневой теории. Согласно этой теории связь давления, действующего на колеблющуюся пластину и прогиба, выражалась в простейшем варианте (см., например, с. 280 — 287 из монографии [4])

2к р(х,д=р1 а в линейном приближении р{х,() =- + ' с У д( дх со где сл,рл,и- невозмущенные скорость звука, давление и скорость течения газа, р,м> - возмущения давления и прогиба, а к - показатель политропы. Это выражение сводит многие задачи панельного флаттера к исследованию собственных значений некоторых дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Даная работа посвящена математическим вопросам исследования ряда задач теории аэроупругости — флаттеру пластинки в сверхзвуковом потоке газа. В целом эту задачу можно отнести к классическим задачам. Ее постановка и многочисленные исследования включены во многие монографии по механике и теории нелинейных колебаний [4], [6], [9], [38], [44], [46]. Сразу отметим, что отличают два основных варианта постановок. Первый из них предусматривает, что коэффициент демпфирования достаточно велик, имеет порядок 1. В этом случае с математической точки зрения задача сводится к распространению бифуркационной теоремы Андронова-Хопфа [17], [23]-[25], [60], [61] на соответствующие краевые задачи (гиперболического типа). Предварительный линейный анализ предполагает определение критической скорости потока и = икр, превышение которой приводит к потере устойчивости состояния равновесия. Обычно спектру устойчивости при и = икр принадлежит пара чисто мнимых значений [4], [34], [36], [43], [46], [61], [62].

Иная задача возникает, если коэффициент демпфирования достаточно мал. Впрочем его малость важна уже в перенормированном виде, и его следует считать малым, когда велики иные параметры, например, цилиндрическая жесткость. Это замечание и анализ конкретных физических параметров

1 + х~— 1 дм к-}

2 с

00 и— дх)

Л»' позволяют считать, что данный вариант встречается не менее редко, чем первый.

При анализе варианта постановки задачи в свою очередь различают два уровня: линейный, а затем и нелинейный анализ.

При линейном анализе находят не икр, а несколько меньшую скорость

U0, которую принято называть согласно терминологии A.A. Мовчана [34], [35] нижней критической скоростью флаттера. Это такая скорость, при превышении которой впервые появляются комплексные значения у спектра устойчивости.

Второй важный аспект при рассмотрении этой задачи состоит в том, что при ее исследовании чаще всего применялся метод Галеркина. Особенно характерно это для исследования линейной задачи, где определяется критическая скорость флаттера (или «нижняя» критическая скорость флаттера). При этом, как правило, использовались двучленные или трёхчленные Гал-леркинские приближения и уже совсем редко брались 4 базовые функции. Точность таких исследований всегда оставалась под сомнением, но, тем не менее, эти исследования продолжались, так как не имелось иного доступного варианта для нахождения точек спектра у несамосопряженных операторов.

В представленной работе используется иной вариант исследования спектральной задачи. Это позволяет на основе метода нормальных форм изучить и нелинейные краевые задачи, возникающие в данном случае при моделировании флаттера.

Суть предложенного метода анализа линейной задачи состоит в трех этапах. На первом этапе в явном виде интегрируется дифференциальное уравнение, затем используются краевые условия для составления характеристического уравнения. Таким образом, задача определения U0 сводится к анализу достаточно сложного вспомогательного характеристического уравнения (см., также [31], [34], [35]). В отличие от предыдущих работ далее применяется более содержательный метод исследования, использующий простые, но эффективные вариационные методы. Последний этап предусматривает численное решение системы трансцендентных уравнений. Оказывается, что при и = и0 спектру устойчивости принадлежит двукратная пара чисто мнимых собственных значений.

Во многом аналогичная задача возникает, когда определяется скорость набегающего потока, при которой собственные частоты находятся в резонансе 1:2 или 1:3.

Нелинейные задачи, соответствующие этим резонансам, то есть 1:1, 1:2, 1:3, были с той или иной подробностью изучены в диссертационной работе на основе метода нормальных форм. Оказалось, что во всех указанных случаях для соответствующих краевых задач при скоростях меньших скорости флаттера при малом коэффициенте демпфирования могут возникать неустойчивые колебания, причем в достаточно малой окрестности состояния равновесия. Последнее означает, что происходит «реальная» потеря устойчивости с последующим разрушением конструкции.

Следует отметить, что разрешимость задачи Коши для представленных в диссертации задач вытекает из работ С.Я. Якубова [51], где на самом деле рассмотрен более широкий класс такого рода задач.

Далее приведем краткий обзор содержания различных частей работы.

В первой главе диссертационной работы вводится в рассмотрение уравнение колебаний пластинки в сверхзвуковом потоке газа в случае цилиндрического изгиба и при отсутствии сжимающих или растягивающих усилий. В линейном приближении это уравнение приобретает вид [4], [60]

32м> дА\м д\\> г + 8— + —г + с— = 0> (I) которое здесь приведено в перенормированном виде. Последнее означает, в частности что с- нормированная скорость потока газа, а g- нормированный коэффициент демпфирования. Уравнение (I) обычно рассматривается вместе с краевыми условиями шарнирного опирания или жесткого закрепления. Исследование устойчивости состояния равновесия приводит к необходимости исследования двух задач на собственные значения

L{c)v = vl¡y)+cv' = Zv, где функция v(x) подчинена одному из видов краевых условий v(0) = v(l) = v"(0) = v'(l) = О шарнирного опирания или жесткого закрепления v(0) = v(l) = v'(0) = v'(l) = 0.

При g~ 1 определение критической скорости флаттера с0 сводится к нахождению того значения с, при котором дифференциальный оператор L(c) имеет собственные значения на параболе устойчивости, то есть Я = аг ±iga.

2)

3)

Рис. 1.

Если g «1, то парабола очень узка и имеет смысл находить ту скорость с = с,, при превышении которой впервые появляются комплексные собственные значения.

Второй параграф главы 1 посвящен нахождению искомой величины с - с, для случая как шарнирного опирания, так и жесткого закрепления.

В случае шарнирного опирания приходим к системе уравнений

P(<x,ß)=0, (4)

F{a,ß)= 0. (5)

Здесь Р{а, ß)= (За4 +ß2v2 )sm ß sha+ 2а2ßa[ch{2a)-cosß cha],

V да Öß Bß да

Отметим, что вывод уравнения (4) воспроизводит некоторые конструкции A.A. Мовчана. В работе Б.Д. Либермана было выведено такое же уравнение. Отличительной особенностью данной работы является рассмотрение наряду с уравнением (4) уравнения (5), которое вводится впервые. Включение уравнения (5) вполне логично и следует из постановки самой задачи, поскольку мы ищем максимально возможное с, при котором все собственные значения ÄeR. Таким образом, совокупный анализ отличен от методов, предложенных в упомянутых выше работах.

Для решения системы (4), (5) используется метод Зейделя, адаптированный к данной задаче. При этом строятся графики кривых Р(а, ß) = 0, F(a, ß) = 0 и приводится алгоритм нахождения точек пересечения.

Ч 1 2 3 4 5 е 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 2. Графики уравнений Р(а, /?) = О (тонкий) и ^(а, р) = О (толстый)

Теорема 1.1. Существует с = с,, что оператор ¿(с, имеет двукратное собственное значение, которому соответствует собственная и присоединенная функции е0(х) = £А^хр(|^х), Ь0(х) = 2В^хр(^х)+х^С^ехр(|д]х). j=l н >1

Также в этом параграфе рассмотрена краевая задача ulv + си' = Ли, м(0) = и(1) = и\0) = и'( 1) = 0 с краевыми условиями жесткого закрепления пластинки. И для этого варианта найдена нижняя критическая скорость флаттера.

В третьем параграфе главы 1 предложено сравнение полученных выше результатов с результатами метода Галеркина, часто применяемого в теории аэроупругости для решения подобного рода задач. Напомним, что метод Галеркина предполагает поиск приближенного решения в виде линейной комбинации некоторых заданных функций с постоянными коэффициентами. Как правило, из-за трудностей вычислительного характера, число базисных функций берется равным двум или трем. В нашей работе предложен вариант использования и четырех базисных функций.

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию нелинейной краевой задачи d2w dw 34w chv (dwV d2\v \f диЛ2 . л //гч

Лв0' (6) w(/,0) = w(t,l) = 0, wxx(t,0) = w„(/,l) = 0, % (7) представляющей один из вариантов задачи о колебаниях пластинки в сверхзвуковом потоке газа, здесь коэффициент g пропорционален коэффициенту демпфирования и g «1. Последнее слагаемое отвечает за учет геометрической нелинейности. Предпоследний член уравнения (6) отвечает за аэродинамическую нелинейность. Ранее задачи «панельного флаттера» рассматривались с учетом только геометрической нелинейности, однако, при больших сверхзвуковых скоростях аэродинамическая нелинейность становится весьма существенной. Отсутствие квадратичных слагаемых обуславливает обтекание пластинки потоком газа с одинаковыми скоростями с обеих сторон.

Теорема 2.1. Краевая задача (6), (7) при s = s, и д е (0; £0), где величина ¿0(г:.) достаточно мала, имеет единственный устойчивый предельный цикл, который может быть задан уравнением и х; 8) = 8^ (т) е(х; г)ехр(/[сг + 8д\) + к.с) + 1

Здесь г} = гЩтг е(;с; е) - е0 (х) + (дг) + 0(е).

При решении нелинейной краевой задачи (6), (7) используются результаты, полученные при рассмотрении линейной задачи в предыдущей главе диссертационной работы. Применяется метод нормальных форм. Найдено автомодельное периодическое решение с амплитудой пропорциональной ч]~5 , таким образом, в данной постановке имеет место мягкое возбуждение автоколебаний. Результаты первого параграфа главы 2 предполагают, что бифуркационный параметр 8 зависит от параметра е, который был введен для решения линейной задачи, то есть 8 <8Х (г)«1.

Основной результат главы 2 содержится во втором параграфе, где рассмотрена соответствующая краевая задача в случае близости к критическому пары кратных точек спектра устойчивости.

Второй параграф посвящен нахождению периодических решений краевой задачи (6), (7). Приведены условия их устойчивости. Показано, что в данном случае характерен жесткий режим возбуждения колебаний. В краевой задаче (6), (7) полагаем где 8 - малый положительный параметр. Выбор коэффициентов позволяет рассмотреть задачу о бифуркации таких периодических по / решений краевой задачи (6), (7), которые при 8-^0 сами стремятся к нулю. Использование метода нормальных форм сводит рассматриваемую задачу к рассмотрению следующего дифференциального уравнения второго порядка для комплекс-нозначной функции 2(л) = > О), е = 82а0 (я0еД),

У'Су) + + аг(з) + Ъг(з) | ф) |2 = 0.

8)

Лемма 2.2. При ab < О обыкновенное дифференциальное уравнение (8) имеет семейство состояний равновесия

Ф) = ф] exp (ih), каждое из которых устойчиво, если а < 0, и неустойчиво, если выполняется противоположное неравенство.

Теорема 2.3. Существует S0 > 0, что при < S0 краевая задача (6), (7) при аЪ < О имеет периодическое решение w(t,х) = s(-J-a/b exp(/сг t) + к.с.)з0 (х) + S2 (- 2iog0 sj-a/b exp(/cr t) + к.с^И0 (х) + о(д2).

Это решение устойчиво по Ляпунову, если а < 0, и неустойчиво, если а > 0. Поскольку в прикладных задачах чаще реализуется неравенство а > 0, анализ формулы показывает, что найденное периодическое решение неустойчиво. В свою очередь, это означает, что в данном случае характерно жесткое возбуждение колебаний.

В третьей главе диссертационной работы проведено исследование краевой задачи, описывающей колебания пластинки в случае резонанса собственных частот 1:2. Произведен линейный и нелинейный анализ. Представлены методы определения значения критической скорости флаттера с2, при котором для собственных частот впервые реализуется резонанс 1:2.

Линейный анализ краевой задачи (1), (2) при g = 0 свелся к исследованию спектра дифференциального оператора (3), (4), у которого, при минимально возможном с2, есть два собственных значения Л и 4Л. При линейном анализе используется метод Галеркина для двух, трех и четырех базисных функций, а также метод непосредственного интегрирования, который был подробно представлен в первой главе данной работы для резонанса собственных частот 1:1.

В §2 главы 3 продолжено исследование краевой задачи, моделирующей обтекание тонкой пластины сверхзвуковым потоком газа или жидкости d2w dw d4w dw ( chvs —T~+g— + —т + с—+ m\ — dt2 dt дх dx I cbe, 0.

9)

Такой вариант учета аэродинамических сил соответствует квазистационарному подходу. Показано, что у краевой задачи (9), (2) есть неустойчивое периодическое решение. Для этого использован метод нормальных форм (квазинормальных форм).

В §3 рассмотрена краевая задача, описывающая колебания пластинки в случае цилиндрического изгиба. При этом нелинейный анализ проведен в случае двустороннего воздействия потока газа, то есть пластинка обтекается с двух сторон потоком газа со скоростями их^и2. d2w dw d4w , ,rdw i—,, —r- + g— + —г + d0M— + л]еМ dt2 dt дх4 дх 4 dw dw dt dx

At d)\> dx + sMg: dw "dt

ЭиЛ V dx j M*g з з (dwV d2w Vdw\2

10) l dx dx2 Д dx dx = 0.

Для исследования краевой задачи (10), (2) была построена нормальная форма следующего вида г\ (5) = -(<*,+ г Д )гх (5) + (а1 + /6, (¿)г2 (я)+/62 г2 (5) + (у)г2 (у)г2 (5),

22 М = ~(а2 + 'А К («О+ (а2 + К (у) +5№2 М + 1Ьй21 №1 (*)г2 (У) При изучении системы (11) было проанализировано два случая. В первом случае, когда 6, =64 = 0, систему (11) логично заменить системой вида

П)

А =-А ~ Р\Р2 cos^> Рг -~Рг -Рх cosy/, y> = (2fc, -кА)+\^- + 1р2 sin у/ + (kQ - 2к2 )pf +(к5 -2 к3)р2г. КР2

Состояния равновесия системы (12) определяются следующим образом 1

12)

Pi ~ Рг~ — cosy/ а у/ находится из уравнения где £ = tgц/, Ух = . Величина У2 выражается через константы исходной краевой задачи.

Основными утверждениями §3 главы 3 являются следующие теоремы система уравнений (11) имеет два периодических решения, и это решение

Теорема 3.5. В случае двух решений системы (11) в условиях теоремы 3.4, меньшему по амплитуде решению будет соответствовать устойчивое, а большему - неустойчивое решение системы дифференциальных уравнений (11) при Ъх =Ь4 = 0.

Также в данном пункте краевая задача (10), (2) решалась с использованием метода Галеркина. Данный вариант анализа производился с целью сопоставления результатов с тем случаем, когда линейный и дальнейший анализ был предпринят на основе более точного метода. В результате были представлены качественно различные значения параметров, при которых у исходной задачи разнится количество периодических решений.

В общем случае * 0, * 0 у системы дифференциальных уравнений (11) найдены неустойчивые периодические решения.

Аналогичная задача была рассмотрена в работе С.Д. Глызина, А.Ю. Колесова и Н.Х. Розова [8].

Четвертая глава продолжает изучение краевой задачи, представленной в предыдущих параграфах работы. Здесь рассматривается резонанс собственных частот колебаний 1:3 и определяется критическая скорость флаттера съ, описанными выше способами.

В §2 проведен нелинейный анализ краевой задачи (13), (2)

Теорема 3.4. При выполнении неравенства gl <

9 + 4Г2(2 /?,-&) единственно, если =

9 + 4Г2(2/7,-/У 47,2 дt дх для которой строится нормальная форма вида

M = -(£o + jz, (4^11 КГ +Nn КГ )+ / 2 , ' (14)

4 0) = -feo + N20i)z2 (5)+ jz2 (¿)(#21 К |2 + N22 \z2 Г J+ N23z¡ (s)]i. От системы (14) удобно перейти к системе трех дифференциальных уравнений

А =-£оЛ ~Nupfpi

Рг = S0P2 + N2sP¡ sin (15) = 3Nl0 -N20 + (N2l -3Nu)p? + (N22 -3Nl2)p2 -3Nupxp2 eos4/ + N2J —eosу/.

Рг

Далее находятся состояния равновесия системы (15). Имеем

А = УРг » Рг = JtГ"^—> г = J-^Г , V Nu Гsin Ц/ ]¡ N23 а у/ определяется из уравнения

Bf-B22)g2-2B0B2g + Bf-B20 = 0, (16) где д = Ctgy/.

Основной результат второй части главы сформулирован в следующем утверждении

Теорема 4.1. Система дифференциальных уравнений (14) имеет столько периодических решений, сколько действительных корней имеет уравнение (16). Эти решения неустойчивы.

В заключении кратко перечислены основные результаты работы и сформулированы выводы из проведенных исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены задачи теории аэроупругости, посвященные флаттеру пластинки в сверхзвуковом потоке газа при малом коэффициенте демпфирования. Предложена схема исследования спектральной задачи, которая позволила в дальнейшем на основе метода нормальных форм изучить нелинейные краевые задачи, возникающие при моделировании флаттера.

Из результатов, полученных в диссертационной работе, следует, что существуют такие скорости с = с,, с = с2, с = съ, при которых реализуются резо-нансы 1:1, 1:2, 1:3 в спектре устойчивости. Таким образом, у соответствующих нелинейных задач при с « с) (/ = 1,2,3) в случаях общего положения реализуется жесткий режим возбуждения колебаний. Последнее означает, что при с <с0 (с0- скорость флаттера) уже может произойти разрушение рассматриваемой конструкции.

Последний вывод можно сделать, опираясь только на нелинейный анализ задачи. Это в значительной мере подтверждает тезис о принципиально нелинейном характере задачи о флаттере, когда коэффициент демпфирования мал.

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

2. Болотин, В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости/В.В. Болотин.-М.: Ф.М., 1961.-339 с.

3. Вольмир, A.C. Гибкие пластинки и оболочки / A.C. Вольмир. М.: Гостехиздат, 1956. — 419 с.

4. Вольмир, A.C. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задача гидроупругости / A.C. Вольмир. М.: Наука, 1979. - 319 с.

5. Глызин, С.Д. Методы компьютерной графики в качественной теории динамических систем на плоскости: Учеб. пособие / С.Д. Глызин. — Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1992. 68 с.

6. Глызин, С.Д. Механизм жесткого возбуждения автоколебаний, связанный с резонансом 1:2 / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. -ЖВМ и МФ, 2005. Т. 45. - № 11. - С. 2000-2016.

7. Гукенхеймер, Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости: Учеб. пособие.- 2-е изд. / Б.П. Демидович. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.-480 с.

9. Енохович, A.C. Физика. Техника. Производство / A.C. Енохович // Справочник по физике и технике. М.: Изд-во Просвещение, 1962. — 575 с.

10. Ильюшин, A.A. Закон плоских сечений при больших сверхзвуковых скоростях. / A.A. Ильюшин // Прикладная математика и механика 20 1956.-№6.

11. Келдыш, М.В. К теории колеблющегося крыла / М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев // Технические заметки ЦАГИ, 1935. — № 45.

12. Келдыш, М.В. Избранные труды / М.В. Келдыш. М.: Наука, 1985. -Т.1.-443 с.

13. Келдыги, М.В. Избранные труды / М.В. Келдыш. М.: Наука, 1985. -Т.2.-567 с.

14. Колесов, B.C. Об одной математической задаче теории упругой устойчивости / B.C. Колесов, Ю.С. Колесов, А.Н. Куликов, И.И. Федик . • // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42. — № 3. С. 458 -465.

15. Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. М.: Физматлит, 2004. - 408 с.

16. Колесов, А.Ю. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. М.: Изд-во Наука, 1998. - 191 с. -(Тр. МИАН; Т. 222)

17. Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений: Учеб. пособие / А.Ю. Колесов, А.Н. Куликов // Яросл. гос. унт. Ярославль, 2003. 108 с.

18. Колесов, Ю.С. Новый метод исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами / Ю.С. Колесов, В.В. Майоров //

19. Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 10. - С. 1778— 1788.

20. Кори, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. Изд-во Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - Москва, 1973. — 832 с.

21. Куликов, А.Н. О новом подходе к исследованию задач нелинейного панельного флаттера / А.Н. Куликов, Б.Д. Либерман // Вестник Яр-ГУ, 1975.-Вып. 13.-С. 118-139.

22. Куликов, А.Н. Исследование некоторых классов уравнений гиперболического типа, встречающихся в теории упругой устойчивости и радиофизике. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону, 1977. 153 с.

23. Куликов, А.Н. Нелинейный панельный флаттер: опасность жесткого возбуждения колебаний / А.Н. Куликов// Диф. уравнения. 1992. — Т. 28.-№6.-С. 1080-1083.

24. Куликов, А.Н. Об одном аналоге бифуркационной теории Хопфа в задаче о математическом исследовании нелинейного панельного флаттера при малом коэффициенте затухания / А.Н. Куликов // Диф. уравнения. 1993. Т. 29. - № 5. - С. 780-785.

25. Куликов, А.Н. Определение нижней критической скорости флаттера / А.Н. Куликов, А.О. Толбей // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. — Ярославль: ЯрГУ, 2005. — Вып. 7. С. 157-163.

26. Куликов, А.Н. Применение метода инвариантных многообразий в локальных задачах устойчивости и теории колебаний / А.Н. Куликов. — Ярославль, 1982. — 76 с.

27. Курош, А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней / А.Г. Курош // Популярные лекции по математике. Изд-во Наука.

28. Главная редакция физико-математической литературы. Москва, 1975. 520с.

29. Либерман, Б.Д. Об одном способе приближенного определения критической скорости флаттера и частоты колебаний / Б.Д. Либерман // Вестник Ярославского Университета. 1975. - Вып. 13. - С. 140-145.

30. Либерман, Б.Д. Теоретический анализ нелинейного флаттера прямоугольной панели. Сравнение с результатами эксперимента / Б.Д. Либерман // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Тематический межвузовский сборник. Ярославль, 1976. С. 154 - 173.

31. Мищенко, Е.Ф. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах / Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Коле-сов, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. М.: Физматлит, 1995. - 336 с.

32. Мовчан, A.A. О колебаниях пластинки, движущейся в газе / A.A. Мовчан // Прикладная математика и механика 20, 1956. № 2.

33. Мовчан, A.A. Об устойчивости панели, движущейся в газе / A.A. Мовчан // Прикладная математика и механика 21, 1957. № 2.

34. Мовчан, A.A. Устойчивость лопатки, движущейся в газе / A.A. Мовчан // Прикладная математика и механика 21, 1957. № 5. ,.

35. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Най-марк. -М.: Наука, 1969. 569 с.

36. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Па-новко, И.И. Губанова. М.: Наука, 1979. - 384 с.

37. Толбей, А.О. Резонанс 1:2 как причина возникновения колебаний пластинки при двустороннем воздействии потока газа / А.О. Толбей // Моделирование и анализ информационных систем. 2005. - Т. 12. — №2.-С. 40^45.

38. Толбей, А.О. Резонансные частоты собственных колебаний пластинки в сверхзвуковом потоке газа /А.О. Толбей // Вестник Поморского Университета. Серия «Естественные и точные науки». 2006. — № 3. -С. 161-164.

39. Толбей, А.О. О возможности жесткого возбуждения колебаний в одной из задач нелинейной теории аэроупругости / А.О. Толбей // Тезисы докладов конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». — Н. Новгород, 2006. - С. 153.

40. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике / Дж.М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1985. - 254 с.

41. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике / Дж.М.Т. Томпсон. М.: Мир, 1986. - 255 с.

42. Ферри, А. Аэродинамика сверхзвуковых течений / А. Ферри. М.: Гостехиздат, 1952.-468 с.

43. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. М.: Машиностроение, 1970. - 734 с.

44. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. -М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

45. Фын, Я.Ц. Введение в теорию аэроупругости / Я.Ц. Фын // Пер. с английского Смирнова А.И. М.: Физматгиз, 1959. - 523 с.

46. Черный, Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью/ Г.Г. Черный. М.: Физматгиз, 1959. — 220 с.

47. Шен, О. Приближенное исследование нелинейных флаттерных задач / О. Шен // Сб. Механика, 1958. № 4. - ИЛ. - С. 79-97.

48. Якубов, С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения / С.Я. Якубов // Труды Московского математического общества, 1970.-Т. 23.-С. 37-60.

49. Ashley, H. Piston theory a new aerodynamic tool for the aeroelastician / H. Ashley, C. Zartarian // Journ. Aeronaut. Sei. 23. - 1956. - № 6.

50. Cunningham, H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three-dimensional supersonic potential flow / HJ. Cunningham // AJAA Journal, 1. 1963. - № 8. - P. 1795-1801.

51. Dowell, E.H. Nonlinear oscillation of fluttering plate / E.H. Dowell // AJAA Journal, 4. 1966. -№ 17. - P. 1267-1275.

52. Dowell, E.H. Nonlinear oscillation of fluttering plate / E.H. Dowell // AJAA Journal, 5.-1967.-№ 10.-P. 1856-1862.

53. Edmond, F.E. Zeijdel. Large defection of fluttering plate / F.E. Edmond Zeijdel //JAS Paper. 1962. -№ 91.

54. Fung, Y.C. On two-dimensional flutter / Y.C. Fung // Journ. Aeronaut. Sci., 25. 1958. — № 3: P. 145-160.

55. Garric, I.E. Historical development of aircraft flutter / I.E. Game, W.H. Reed // Journal of Aircraft. 1981. - V. 18. - № 11. - P. 897-912.

56. Hayes, W.D. On the hypersonic similitude / W.D. Hayes // Quart. Appl. Math. 5. 1947. -№ 1.

57. Holmes, P J. Bifurcations of divergence and flatter in flow induced oscillations: a finite — dimensional analysis / P.J. Holmes // J. Sound Vib. -1977. - V. 53. - № 4. - P. 471-503.

58. Holmes, P.J. Bifurcations of divergence and flatter in flow induced oscillations / P.J. Holmes, J.E. Marsden // Automatica, 1978. - V. 14. - № 4. -P. 367-384.

59. Lighthill, M.J. Oscillating airfoil at high Mach number / M.J. Lighthill // Journ. Aeronaut. Sci. 20. 1953. -№ 6.

60. Samuel, Melntosh. Effect on hypersonic nonlinear aerodynamic loading on panel flatter/ Melntosh Samuel // AIAA journ., 11. 1973. - № 1.