Локализованные моды и корректность постановок линейных задач теории поверхностных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

□030568В1

? правах рукописи

Мотыгин Олег Валерьевич

Локализованные моды и корректность постановок линейных задач теории поверхностных волн

Специальность 01.02.05 —механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003056861

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской академии наук (г. Санкт-Петербург)

Научный консультант: доктор физико-математических наук

с.н.с. Н.Г.Кузнецов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г. В Демиденко

доктор физико-математических наук, профессор С.Ю Доброхотов

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Налимов

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А Стек-лова Российской академии наук

Защита состоится « 8 » мая 2007 г. в 10 час 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 при Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр-т ак. Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Автореферат разослан « » алреАХ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета д-р ф.-м.н., профессор

С. А. Ждан

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, издавна привлекающим внимание механиков и математиков. Интерес к явлению волнообразования на свободной поверхности жидкости, находящейся под действием гравитационных и других сил, объясняется распространенностью этого физического явления и многочисленными практическими приложениями. В частности, это задачи проектирования и эксплуатации судов, освоения богатств Мирово- го океана, обеспечения безопасности мореплавания и строительства гидротехнических сооружений в прибрежной зоне. При этом теория волновых движений жидкости представляет значительный интерес и с математической точки зрения.

Исследования в данной области имеют долгую, почти трехвековую историю. Среди основателей теории назовем имена Л.Эйлера, Ж.Л.Лагранжа, О.Л.Коши, С.Д.Пуассона, Дж.Дж.Стокса и лорда Кельвина. Существенный вклад в теорию в 20-м столетии внесли Г.Лэмб, Т.Х.Хавелок, Н.Е.Кочин, М.А.Лаврентьев, Л.Н.Сретенский, М.Д.Хаскинд, Дж.Дж.Стокер, Ф.Джон и другие Тем не менее, несмотря на огромное количество работ теория еще далека от завершения. В первую очередь среди недостаточно исследованных математически (и важных для практических приложений) укажем на задачи о взаимодействии волн с погруженными в жидкость телами. Большая часть работ в этой области посвящена численным исследованиям и прикладным вопросам, а почти все математически строгие результаты связаны с линейными моделями теории волн. Значительное продвижение в исследовании нелинейных моделей в работах Л.В.Овсянникова, Т.Б.Бенджамина, В.И.Налимова, П.И.Плотникова, К.Дж.Амика, Дж.Ф.То-ланда и др. в основном относится к ситуации, когда в жидкости отсутствуют погруженные тела.

В то же время для линейных задач, описывающих взаимодействие жидкости с телами, многие важные теоретические вопросы остаются открытыми. Это, в частности, касается вопроса о корректности соответствующих краевых задач, в исследова-

нии которого, в том числе при участии автора, в последние годы достигнут существенный прогресс. Исследования проводились в период 1993-2006 гг. в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИПМаш РАН по темам с per. №№ 01.9.20005487, 01.9.70008193, 01.200.201840 и в рамках проектов РФФИ, per. №№ 01-01-00973, 02-01-06051, 05-01-14029

Состояние вопроса. В данной работе рассматриваются два основных класса стационарных задач линейной теории поверхностных волн, описывающих взаимодействие жидкости с телами

1. Задачи об установившихся гармонических по времени колебаниях жидкости при наличии свободной поверхности и твердых границ. Такие задачи, в частности, описывают процессы излучения волн и их рассеяния препятствиями.

2. Задачи об установившихся волнах, вызываемых поступательным движением полностью или частично погруженных тел. Они носят собирательное название задача Неймана-Кельвина

Первые математически обоснованные результаты для этих задач были получены в 30-50-е годы 20-го в., в частности, построены функции Грина, при помощи которых задачи сводились к интегральным уравнениям. В дальнейшем ряд достижений линейной теории поверхностных волн связан с именами Ф.Эрселла, Р. М.Га-рипова, Б.Р. Вайнберга, В.Г.Мазьи, С.Ю Доброхотова, Н.Г Кузнецова, М.Мак-Айвер, Ф.Мак-Айвера и др.

Остановимся подробнее на некоторых результатах, относящихся к исследуемым классам задач. Существующие доказательства теорем единственности основаны на трех основных схемах: метод Джона 14, тождество Мазьи (2] и метод, основанный на граничных интегральных уравнениях и теореме об обратимости оператор-функции, зависящей аналитически от параметра [3]. Обзор результатов может быть найден в книге К]. Еще две общие схемы доказательства единственности и получения оценок параметров задачи,

"'John F. Comm. Pure Appl Math 1950 V 3(1) P 45-101. 12,Мазья В.Г. Тр. семинара С Л.Соболева. 1977 №2 С 57-79 13'Вайнберг Б Р., Мазья В Г. Тр Моек мат общества 1973 Т 28 С 35-56 |41Kuznetsov N.G., Maz'ya V.G., Vainberg В R. Linear Water Waves A Mathematical Approach. Cambridge: Cambridge University Press, 2002

при которых может нарушаться свойство единственности, предложены в работах автора [13,16].

Указанные подходы имеют ограничения на геометрическую конфигурацию препятствий и параметры задачи. Оказывается, что это диктуется существом проблемы. В 1996 г. М.Мак-Айвер в работе [5] построила первый для данного класса задач пример неединственности, доказав существование локализованных (собственных) мод колебаний для изолированных значений частоты, погруженных в непрерывный спектр. Предложенная в работе И для задачи об излучении и рассеянии волн, так называемая «обратная процедура», была развита для построения локализован- ных мод для различных линейных задач (в том числе в работах автора [1,4,6]).

Другой тип неединственности, впервые обнаруженный на математическом уровне строгости в работе I6!, возникает в задаче о движении частично погруженных тел. Плоская задача для всех значений скорости имеет семейство решений, зависящее от параметров, количество которых определяется количеством точек пересечения контуров со свободной поверхностью. Обзор известных дополнительных условий для плоской задачи можно найти в книге И1. Для трехмерной задачи о движении частично погруженных тел не существует математически строгих результатов, касающихся вопроса о дополнительных условиях. В данной работе исследуется постановка плоской задачи, основанная на асимптотиках решения в дальнем поле и формуле для сопротивления.

Задача о колебаниях жидкости значительно лучше изучена в случае, когда жидкость имеет ограниченную свободную поверхность и имеется только точечный спектр. При этом, такие свойства собственных значений как кратность и зависимость от геометрических параметров для рассматриваемого в работе класса задач практически не исследовались. В частности, известно лишь несколько результатов о простоте, полученных в последние годы (см. [12,14]).

|5|McIver M J Fluid Mech 1996 V 315 P 257-266

I6|UrsellF Proc 13th Symp Naval Hydrodynamics (Tokyo, 1980). Shipbuild Res Assoc Japan, 1981. P.245-251

Целью работы является изучение вопроса о корректности постановок линейных задач теории поверхностных волн, описывающих взаимодействие жидкости с телами. Исследование с одной стороны включает в себя описание классов препятствий и параметров задачи, для которых имеет место однозначная разрешимость краевой задачи, с другой — нахождение условий, при которых однородная краевая задача имеет нетривиальные решения, исследование свойств таких решений, построение примеров неединственности в явном виде.

Методика исследований. Для решения поставленных задач используются методы интегральных уравнений, преобразований, тождеств и неравенств, принципы максимума, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, в частности, теории аналитических функций и оператор-функций нескольких аргументов, спектральной теории линейных операторов. Также используются результаты теории эллиптических операторов в областях с особенностями границы.

Достоверность. Обоснованность научных положений, а также достоверность полученных результатов вытекают из того, что проведенные исследования не противоречат выводам работ других авторов, в частности, являясь их продолжением и развитием.

Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:

- Построение локализованных мод для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости — впервые не только выше, но и ниже частоты отсечки и для произвольного количества частично погруженных тел. Ниже частоты отсечки класс контуров, для которых доказано существование локализованных мод, существенно расширен при помощи найденного принципа монотонности собственных значений.

- Новый признак единственности (отсутствия локализованных мод) для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости ниже частоты отсечки. Получение оценок параметров, для которых возможно существование собственных колебаний жидкости в присутствии частично и полностью погруженных тел.

- Новый общий признак единственности для задачи об излучении и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества тел произвольной формы. Получение оценок параметров, для которых возможно существование собственных частот колебаний жидкости для плоских и трехмерных задач.

- Новый общий критерий (необходимое и достаточное условие) единственности для плоской и трехмерной задачи об излучении и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества погруженных тел произвольной формы. Построение эффективного численного алгоритма для проверки свойства единственности.

- Обнаружение новых классов препятствий с особыми точками границы — точками возврата в плоском случае и линиями заострения — в трехмерном, для которых отсутствуют локализованные моды для всех значений частоты колебаний.

- Изучение зависимости дискретного спектра от геометрических параметров на примере задачи о колебаниях полупространства под твердой крышкой с двумя прорезями. Доказательство простоты всех собственных значений, монотонности собственных частот как функций расстояния между прорезями. Новые формулы для производных собственных частот как функций геометрического параметра.

- Новый признак единственности для задачи об установившемся движении полностью погруженных тел. Для плоского случая и жидкости бесконечной глубины получение оценок параметров задачи, для которых возможно нарушение единственности.

- Доказательство разрешимости и единственности решения задачи, описывающей докритический режим движения погруженных тел в слое конечной глубины.

- Новые дополнительные условия, замыкающие плоскую задачу о движении тандема частично погруженных тел в жидкости бесконечной глубины. Доказательство однозначной разрешимости предложенной постановки для почти всех значений скорости. Построение примеров неединственности, впервые демонстрирующих возможность существования таких исключительных значений.

- Новая схема доказательства разрешимости для задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью. Доказательство одно-

значной разрешимости плоской задачи о движении тел для всех значений параметров задачи кроме возможно пустого аналитического множества меньшей размерности. Построение первых примеров неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоев различной плотности.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть полезны в гидродинамической теории качки корабля, геофизической гидродинамике и других прикладных областях. Ввиду известной связи локализованных мод с явлением резонанса (см., например, I7)) изучение условий существования или отсутствия локализованных мод имеет непосредственное отношение, в частности, к обеспечению безопасности эксплуатации морских инженерных сооружений. Кроме того, наличие локализованных мод проявляется при реализации численных алгоритмов, в частности, приводит к бесконечным гидродинамическим нагрузкам и другим особенностям численных схем (см., например, 181).

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены автором на семинарах Института проблем машиноведения РАН, Института проблем механики РАН, Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, кафедры гидроаэродинамики СПбГУ, Математического департамента университета г. Лаф-боро (Великобритания), Математического департамента университета г. Осло (Норвегия), Санкт-Петербургском семинаре по вычислительной и теоретической акустике Научного Совета по акустике РАН, семинаре «Математические вопросы распространения волн» Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова. Результаты исследований докладывались на международных конференциях «Асимптотики в механике» (С -Петербург, Морской технический университет, 1994, 1996), международном симпозиуме по гидродинамике судна, посвященном 85-летию со дня рождения А.М.Васина (С.-Петербург, 1995), 10-13, 17, 20 и 21-м международных семинарах по волнам на воде и плавающим телам (ГОГОМЕВ, 1995-1998, 2002, 2005), международ-

17)McIver M. Proc 12th Intl. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Carry-le-Rouet, France, 1997). P. 177-181. '8'Newman J N J Eng Math. 1999. V 35 P. 135-147

ной конференции «Дни дифракции» (ПОМИ, С.-Петербург, 1997— 2001, 2004, 2006), на ХХУШ-й летней школе «Современные проблемы в механике» (АРМ) (С.-Петербург, 2000), 6-й международной конференции по математическим и численным аспектам распространения волн «Шауе5'2003» (Финляндия, Ювяскюля, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 32 работы, в том числе одна монография, в автореферате приведены 17 наиболее важных. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка ~ литературы, включающего 214 наименований, и трех приложений. Работа изложена на 316 страницах текста (включая 27 страниц списка литературы и приложений), подготовленного в издательской системе 1ДТ£Х, и содержит 45 рисунков.

Во введении приведена постановка задач, рассматриваемых в диссертации, дан обзор близких по теме исследований и кратко изложены полученные результаты.

В первых двух главах рассмотрены задачи, описывающие процессы вынужденных колебаний тел и рассеяния волн на неподвижных телах в неограниченной невязкой несжимаемой жидкости с неограниченной свободной поверхностью.

В главе 1 изучается задача о гармонических по времени колебаниях жидкости бесконечной глубины в присутствии цилиндрических тел. Постановка, в частности, описывает взаимодействие тел с жидкостью, заключенной в канал с вертикальными стенками, или с неограниченной в горизонтальных направлениях жидкостью при произвольном угле между направлением распространения волн и образующи- _F | Г ,

Содержание работы

ми цилиндрическои геометрии.

В последнем случае движение жидкости описывается потенциалом скоростей Ке{и(ж,у)е^'с2-и;^}, где о; —частота гармонических колебаний, & —проекция волно-

Ш

X

Рис. 1.

вого вектора на ось г, параллельную образующим цилиндров. Потенциал и, определенный в плоской области ТУ —сечении области, занятой жидкостью, удовлетворяет условиям

Au - к2 и = 0 в W, dyu-vu = 0 на F, v = u2/g, (1) дпи = / на S, |V«| —» 0 при у —> -со, (2)

/ \д[х\и - Uu\2 dy — о(1) при г оо, (3)

jwc1{|х|=г} 1

где I = y/v2 - к2, F — свободная поверхность (часть линии у = 0), S — поверхность тел (см. рис. 1). Будем требовать и е H\QC(W).

Хотя задача (1)-(3) является частным случаем общей трехмерной задачи, которая изучается в следующей главе, она в некотором смысле сложнее, поскольку, в частности, имеется ненулевая частота отсечки. Ниже этой частоты (^ < к) для решения задачи и его производных имеет место экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности и условие (3) следует опустить (см. ^1). Выше частоты отсечки {и > к) возможно распространение волн на бесконечность, но решение однородной задачи имеет конечную энергию (см., например, И1, § 2.2.1)

f (\Vu\2 + k2\u\2)àxdy + v f |u|2dx<oo. (4)

Jw Jf

Таким образом, единственность решения задачи (1)-(3) эквивалентна отсутствию локализованных («ловушечных») мод колебаний—нетривиальных решений однородной задачи (1), (2), (4). Значения v, соответствующие локализованным модам, составляют точечный спектр задачи — выше частоты отсечки они погружены в непрерывный спектр.

Ранее существование локализованных мод ниже частоты отсечки было доказано только для одного полностью погруженного тела (см. и выше частоты отсечки — только для двух частично погруженных тел и достаточно малых значений к, без возможности определения величины этого диапазона (см. ПЧ). В § 1.1 эти

l91Ursell F. Proc. Camb. Phil. Soc. 1968 V 64. No.3 P. 811-826

[l0)Ursell F. J. Fluid Mech. 1987. V. 183 P. 421-437. ""Kuznetsov N. et al J. Fluid Mech. 1998. V.365 P. 351-368

результаты существенно обобщены, найдены новые классы тел, поддерживающих локализованные моды.

При помощи обратной процедуры доказано, что для любых значений и и к, ь> ф к, существует система частично погруженных тел 5,, г = 1,2,..., ЛГ, (./V ^ 2 для V > к и N ^ 1 для и < к) для которой однородная задача (1), (2), (4) имеет нетривиальное решение. Для диапазона ниже частоты отсечки доказана теорема сравнения, при помощи которой установлено существование локализованных мод для произвольных тел, включающих полученные при помощи обратной процедуры и имеющих ту же свободную поверхность.

Термин «обратная процедура» означает, что для заданного по- тенциала и разыскиваются линии тока — траектории системы дифференциальных уравнений

х = дхи(х(з),у(в)), у = дуи{х{з),у{з)),

на которых выполняется однородное условие Неймана и которые фиксируются в качестве контуров тел, для которых потенциал является нетривиальным решением однородной задачи.

В отличие от работы ПЧ, где потенциал был построен при помощи источников, предложено использовать диполи, расположенные на свободной поверхности. Например, для Ы = 2(и>к)\\Н = 1 (и < к) решения имеют вид

и(х, у) = дхО(х, у, 0,0) - в{и - к) дхС{х, у, -а, 0),

где в — функция Хевисайда, С — функция Грина задачи. Выбор расстояния а = 2ж{у2 — /с2)-1/2 между диполями при и > к гарантирует отсутствие волн в дальнем поле. Выше частоты отсечки можно составить безволновой потенциал из произвольного, большего двух, количества диполей — при этом также необходимо выбирать определенные расстояния между особенностями. Ниже частоты отсечки расположение особенностей на свободной поверхности может быть произвольным.

Оказывается, что для диполей охватывающие особенности линии тока имеются в сколь угодно малой окрестности особой точки. Это позволяет использовать асимптотические методы для доказательства существования локализованных мод — предложен подход, основанный на качественной теории дифференциальных уравне-

Рис

ний и полученных в этом параграфе асимптотиках потенциала и и его первых и вторых производных в окрестности особых точек.

На рис. 2 представлены примеры тел, поддерживающих локализованные моды при значениях параметров к = 1, и — 0.5 (а) и V = 0.95 (б). Часть рисунка (а) вблизи особой точки представлена в другом масштабе.

Показано, что полученные решения относятся к интервалам параметров задачи, запрещенным теоремами единственности I11], [12]. Это возможно, поскольку полученные конфигурации тел нарушают геометрическое условие этих утверждений — т. н. условие Джона, которое означает, что из любой точки свободной поверхности можно провести вертикальную линию, которая не пересекается с телами.

В данном параграфе также доказан принцип монотонности собственных значений (теорема сравнения), обобщающий результат работы П°1 для произвольного количества тел, в том числе частично погруженных (в 11 °3 теорема сравнения доказана для одного полностью погруженного тела). А именно, если И^2) <ё И7'1), области (г = 1,2) липшицевы и имеют одинаковую свободную поверхность Р, контуры тел = \ Г ограничены и если

однородная задача (1), (2), (4) в области имеет р собственных значений таких что 0 < ^ ... ^ и^ < к ^ 0, то задача в области ТУ^2) имеет не менее р собственных значений причем иР >Л2) (5=1,2,...,р).

Этот результат позволяет существенно расширить класс контуров, для которых установлено существование локализованных мод ниже частоты отсечки, — это произвольные контуры, охватывающие полученные обратным методом и имеющие ту же свободную поверхность. Такие системы тел могут включать и полностью погруженные тела.

|,2>Мс1уег Р. ЯиаП. I МесИ арр1. МаШ. 1991. V 44(2) Р 193-208

Рис. 3.

Последнее утверждение проиллюстрировано на рис. 3, где 5 — один из контуров рис. 2, который поддерживает локализованную моду при к = 1 и и = 0.95. Для контура 5' существует локализованная мода при некотором значении 0 < и' < и. Получению оценок снизу для собственных частот посвящен следующий параграф.

В § 1.2 продолжено рассмотрение задачи (1)-(3) в диапазоне ниже частоты отсечки. Предложен новый признак единственности, с его помощью получены оценки возможных собственных частот для полностью и частично погруженных тел. Для частично погруженных тел полученные оценки можно рассматривать как обобщение теоремы единственности 1121 для тел, не удовлетворяющих условию Джона. Схема имеет ряд преимуществ по сравнению с подходом, предложенным в работе ПЗ], в частности, пригодна для систем, включающих несколько частично погруженных тел.

Следуя 1141, выведено интегральное соотношение

[ [го2(У(шу-1))2 - и2ги-1(у2и) - к2ии)]йх<1у + J\v » р

+ / и2ю-1 (дуЮ — 1/ю)Ах — / г^ги^дпЫйз = 0, (5)

которое связывает решение однородной задачи и некоторую пробную функцию ю, строго положительную в области V/. Если удается подобрать ги так, чтобы выполнялись условия

У2ги—/с2го

ду1и—иги ^ О

на Р, на 5 (6)

(причем хотя бы в одной точке У/ одно из неравенств — строгое), то из (5) очевидно следует, что и = 0.

Предложено использовать (5) совместно с доказанной в предыдущем параграфе теоремой сравнения. При этом можно ограничиться проверкой условий (6) на некоторых специальных простых

"3151шоп М.Л Ткеоге1 СотрМ РШй Оупатю. 1992 У.4. n0 2 Р. 71-78. '"'а^тэ!^ Я У. Иш'й МесИ. 1974. V 62(4) Р 775-791.

о

5'

У

х

5'

(Ь,-<т)

Рис. 4.

контурах. В качестве пробных функций предложено использовать сингулярные решения уравнения в жидкости, размещая особенность внутри тестового контура. Ряд пробных функций сконструирован на основе модифицированной функции Бесселя Ко и функции Грина задачи. (Вспомогательный, но важный результат данного параграфа — доказательство знакоопределенности функции Грина ниже частоты отсечки.)

В частности, для систем, включающих одно частично погруженное тело, в качестве тестового контура рассмотрен контур Б = Б(а, Ь, й, о), состоящий из отрезков, соединяющих точки (а,0), (&,-<*), (6,-а), (-Ь, -а), (-Ь,-с1), (—а,0) (см. рис. 4). Если для некоторой функции ю и значений г/о, ко параметров V, к из (5) следует отсутствие локализованных мод для 5(а, Ь, й, а), то это справедливо для всех г/ ^ щ и к ^ ко и для произвольного набора тел й", находящегося внутри тестового контура При этом ограничения на гладкость контуров 5' весьма слабые — область, занятая жидкостью, должна быть липшицевой, т.е. допустимы угловые точки и точки возврата, направленные в жидкость.

Для контура 3(а,Ь,(1,сг) можно, на- ^ пример, использовать функцию ш(х, у) = = Ко(ку/х2 + у2) + и(к - и)'1 К0(ка)екУ, удовлетворяющую первым двум условиям (6). Третье условие приводит к выделению множества параметров, для которых гарантировано отсутствие локализованных мод — например, в виде неравенства ¡/(Ь-а)К0(ка)/(к - и) < айК^ЫЬ2 + (12)/^Ь2 + в2. (Заметим, что выражение не включает параметр а.) Для значений параметров под кривой на рис. 5 отсутствуют нетривиальные решения однородной задачи для любого контура Б' (см. рис. 4) при ка = кв, = 0.1.

В параграфе представлены результаты вычислений для различных тестовых контуров и пробных функций. Проведено сопоставление с оценками собственных частот, полученными в работе (131,

показано согласие с известными асимптотиками дисперсионного соотношения П2) и численным исследованием локализованных мод, выполненным в работе [15].

В главе 2, в отличие от предыдущей, основное внимание уделено трехмерной задаче о колебаниях —в условиях (1)-(4) к = О и \¥, Р, 5 —множества в Кз, а х = х = (жъ^г)- Цель главы —нахождение оценок параметров задачи, для которых возможно существование локализованных колебаний жидкости или, иными словами, доказательство теорем единственности. В отличие от § 1.2 изучаются точечные собственные значения, погруженные в непрерывный спектр.

В § 2.1 предложены две новые схемы для доказательства единственности. Первая основана на тождестве Грина и принципах максимума и приводит к новому достаточному условию единственности (признак (I)). Второй подход основан на введении самосопряженного оператора, составленного из оператора граничного интегрального уравнения метода потенциала, и рассмотрении его максимального собственного значения. При помощи этой схемы сформулирован новый критерий (необходимое и достаточное условие) единственности, а также новый признак единственности (признак (II)).

Оба метода применимы для плоских и трехмерных задач (вообще говоря, основные формулировки справедливы для любой размерности), жидкости конечной и бесконечной глубины и для любого количества полностью погруженных тел произвольной формы (для признака (I) допустимы и частично погруженные). Единственным ограничением является требование гладкости границы, которое удовлетворено, если, например, смоченная поверхность принадлежит классу Гельдера С1'", 0 < а < 1. Для признака (I) найдены более слабые ограничения: показано, что он применим для препятствий с поверхностью класса С1. Также возможно рассмотрение контуров с угловыми точками и точками возврата в плоской задаче и гладкими заострениями — в трехмерной.

Признак единственности (I) может быть сформулирован следующим образом: если для контура Б и значения параметра и

'|5'Рог1ег И , Еуапэ О V J Епц МаШ 1998. У.34 Р 417-433

выполнено неравенство

8иР / |^п(я!11#)С(1/;®>У>а!0,Уо)|<18(а.|!/) ^ 1, (7)

{xo,yo)eFJs

то однородная задача (1), (2), (4) имеет только тривиальное решение. Здесь й — функция Грина задачи, удовлетворяющая в жидкости уравнению Д^.уС = - ж0|)5(у - уо).

При помощи признака (I) получены простые оценки параметров, для которых возможно существование собственных частот для полностью погруженных тел произвольной формы в плоском и трехмерном случае. Множество, в котором гарантирована единственность, определяется соотношением

(8)

«/ 5

где, в частности, для трехмерной задачи

д(и,у) = 1,2[(2-V + тг-^о)2 + (тг~1е"у + тГ20О)2]

50 = тт{ч/2(гл/)-2,5(Иу|)-3}.

Оценки вида (8) найдены и для рассмотренной в предыдущей главе задачи, не только ниже (как в § 1.2), но и выше частоты отсечки.

Полученные оценки не зависят от расстояния между телами в горизонтальном направлении. Поэтому в случае, когда тела отделены большим расстоянием по горизонтали, оценки (8) имеют значительное превосходство в сравнении с результатами работы [161, и, в отличие от последних, применимы для трехмерной задачи. ¿/а

На рис. 6 представлен пример вычисле- * ния оценок (8) для системы, состоящей из двух сферических тел радиуса а с центра- 2 ми на глубине <1. Отсутствие локализованных мод колебаний жидкости (независимо от дистанции между телами) гарантировано 0 * в множестве параметров над кривой. Рис■ 6

"615!шоп М Л., игэеН Р. У Яшй МесН 1984 V 148 Р 137-154

Предложено усиление признака (I) — доказано, что условие 811Р 1 / \д„(х,у}С(х,у,х0,уо) + 2с,^,Ф.(®,у)|с18(а.1У) > ^ 1

(®о,Уо)бГ • г )

(9)

также является достаточным для отсутствия нетривиальных решений однородной задачи. Здесь Фг — потенциалы, удовлетворяющих

(1), Сг — произвольные коэффициенты; с* и Фг также могут зависеть от точки (хо,уо)- Предложен набор вспомогательных потенциалов. Представлены результаты расчетов при помощи (9) (см. также рис. 8).

В параграфе также впервые предложен критерий единственности для задачи (1)-(3) (к — 0). Этот критерий позволяет сформулировать признак единственности и на его основе построить эффективный численный алгоритм.

Доказано, что для полностью погруженных тел однородная задача (1), (2), (4) (к — 0) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда существует нетривиальное решение уравнения

-ц + 1ц = 0, % = Т + Т* -Т*Т, (10)

где Т —компактный интегральный оператор в Ь2{в)

{Тц)(х,у) = 2 / ц(хо,уо)дп(з.1у)С(х,у,х0,у0)<1з{хо1Уо). (11)

ч/ 3

Оператор 1 — самосопряженный и (1у,у) ^ (у,у), так что все собственные значения Аг оператора 1 подчинены неравенству Л, ^ 1. Таким образом, имеет место следующий критерий единственности—отсутствие нетривиальных решений однородной задачи (1),

(2), (4) (к = 0) эквивалентно условию

Ах < 1, где Ах = тах{Аг},

а равенство Ах = 1 имеет место в случае, когда существует локализованная мода.

Если Т—самосопряженная аппроксимация оператора 1, то имеет место следующее достаточное условие — признак единственности (II):

Ах + ЦТ -Т; ¿2(,5)|| <1, (12)

где Ах = тах{Лг}, Лг ^ 1— собственные значения оператора Т. При этом, если V ф г/д. (и^ — значения, соответствующие локализованным модам), то всегда можно добиться выполнения неравенства (12), увеличивая точность аппроксимации.

Признак (II) позволяет построить эффективный численный алгоритм для проверки единственности для любых значений у и тел произвольной формы. В работе используется кусочно-постоянная аппроксимация ядра интегрального оператора Т (соответствующий оператор обозначим Т) и оператор Т — Т + Т* - Т*Т. Для применяемой аппроксимации найдены монотонные по шагу разбиения контура оценки ||Т - Т||.

Рис. 7 иллюстрирует важную особенность алгоритма: выполнение (12) при приближении и к и^ требует увеличения точности аппроксимации, этот процесс ограничен возможностями системы вычислений и временем.

На рис. 7 показано поведение \\ в плоской задаче для двух эллипсов с горизонтальной и вертикальной полуосями а и Ь, соответственно, центры фигур расположены на расстоянии I от оси у и на глубине каждый эллипс разбит на 80 частей; Ъ/а = 0.08, (1/а = 0.25, 1/а = 2.35; значение параметра иа, для которого в работе П71 численно установлено существование локализованной моды, отмечено символом •

На рис. 8 приведены результаты численного исследования для двух круговых цилиндров радиуса а, с центрами, расположенными на расстоянии I от оси у и на глубине й. Единственность для й/а = 2, 1/а = 3, иа 6 € (0.5,1.5) установлена при помощи признака единственности (12) при разбиении каждой окружности на 80 частей. Здесь ¿ — оценка ЦТ — Т; ¿2(5')||. В точках, помеченных □ также удается установить единственность при помощи при-

уа

иа

Рис 8

117>Ро1Чег И. Ргос. Йоу Бос Ьопйоп А 2002 V 458 Р 607-624

знака (9), в точках, помеченных ш, — нет. Другие существующие теоремы единственности для данной геометрической конфигурации и значений параметров задачи неприменимы.

В § 2.2 особое внимание уделено ситуации, когда поверхность тел содержит особые точки — точки возврата в плоской задаче и гладкие ребра (линии заострения) в трехмерном случае, в которых поле скоростей может иметь сингулярное поведение. Найдены классы полностью погруженных препятствий, которые не поддерживают локализованные моды при всех значениях частоты. Для этого построено обобщение так называемого интегрального тождества Мазьи [2], в котором в отличие от его классической формы -также содержатся коэффициенты локальных асимптотик решения в особых точках.

Так, например, для решения плоской однородной задачи (1), (2), (4) при к = 0 в предположении о положительности подынтегральных выражений выведено тождество n .

£$>,)^(р1)-т,+ / [У-п\ъи\2 + и2дпн] а5 +

1=1 г

+ / \и2[2и2У2 + 2^Н - идхУ1 -дуН] - |Уи|2У2}сЬ +

+ / + = (13)

Здесь с, — коэффициент в асимптотике (|Уи(ж,у)| ~ 2~1сгр^1^2 при рг —у 0, где рх — расстояние от точки (х, у) до точки возврата Р{), V, Я —произвольное векторное поле и функция, <3 — матрица: Ян = (V • У - 2- (дхуг + ад), 1,3 = 1,2, XI =х,х2 = у, тг-— единичный вектор односторонней касательной к 5 в точке Р*, направленный в IV.

Для контуров без точек возврата первое слагаемое в (13) отсутствует, для этого случая известен ряд препятствий и соответствующих функций Я и векторных полей V, для которых квадратичная форма в последней формуле неотрицательна (наиболее полный обзор дан в книге (41) и, тем самым, гарантирует отсутствие локализованных мод. Необходимое условие V ■ п ^ 0 подразумевает, что векторное поле выходит из препятствия в жидкость. Поэтому, согласно (13), утверждение остается справедливым, если

дополнить препятствие участками, содержащими точки возврата, которые направлены вдоль линий поля в жидкость.

Для трехмерной задачи в случае, когда контуры имеют линии заострения, нетрудно получить тождество, аналогичное (13), в котором, в частности, сумма в первом слагаемом превращается в интеграл. При этом результаты для гладких тел переносятся на случай, когда поверхности дополнены линиями заострения, такими что вектор односторонней касательной к точке возврата в сечении плоскостью ортогональной линии заострения сонаправлен с проекцией векторного поля V на эту плоскость.

В качестве иллюстрации на рис. 9 показаны линии поля У(х,у) = (х(у2 — х2)(х2 + + у2)-1, — 2х2у(х2 +у2)~1), которое при Я = = —1/2 обеспечивает отсутствие локализо- IV ванных мод для представленной конфигурации. Другие примеры геометрических конфигураций, не поддерживающих локализованные моды, — отрезок, присоединенный к горизонтальному дну под произвольным углом, погруженные горизонтальные пластины бесконечной протяженности, каждая из которых имеет одно отверстие с гладким краем, звездным относительно вертикальной оси у и т. д.

Для плоской задачи в случае, когда точки возврата горизонтальны, удается рассмотреть случай к ф 0 в (1). Доказано, что если для любой горизонтальной линии {у = И,}, имеющей непустое пересечение 7^ с областью V/, множество связно и имеет общую точку с некоторой вертикальной линией (одной для всех значений К), то однородная задача (1), (2), (4) для любых значений V ф к имеет только тривиальное решение. Два важных класса подобных препятствий — углубление дна и система несмыкающих-ся полубесконечных горизонтальных барьеров.

В главе 3 изучается задача, которая описывает свободные двумерные колебания жидкости в полупространстве под твердой крышкой с двумя бесконечными параллельными прорезями равной ширины. Существенным отличием этой задачи от рассмотренных в предыдущих главах является ограниченность свободной поверхности, и, таким образом, отсутствие непрерывного спектра.

Задача о колебаниях жидкости в полуплоскости под твердой крышкой с одним отверстием интенсивно изучалась в 70-80-х годах прошлого века (см., например, I18] и П9]). Внимание к случаю несвязных областей (два отверстия) связано с тем, что позволяет на примере этой задачи рассмотреть вопрос о зависимости собственных частот колебаний от геометрических параметров, который мало изучен в настоящий момент.

Для рассмотренной задачи удалось дать полный ответ на многие важные вопросы относительно свойств собственных значений и их зависимости от геометрических параметров. В частности, доказана простота всех собственных значений, монотонность соб--ственных частот как функций расстояния между прорезями, получены новые формулы для производных собственных частот как функций геометрического параметра.

Постановка задачи приведена -Ь-1 -Ь \ Ь 6+1 в § 3.1. Вследствие симметрии ; х

области достаточно рассмотреть ^

квадрант = {х ^ 0, у ^ 0}. Краевые задачи для симметрич- Рис- Ю-

ных (четных по х) мод и^ и антисимметричных (нечетных) мод можно записать в виде:

в <5, / |Уи(±)|2ахау < оо, (14)

с^+^О, при х = 0, у < 0, (15)

а„и(±) = 0 при у = 0, 0 < х < Ь, х > Ь + 1, (16) при у = 0, Ь < х < Ь + 1. (17)

Изучены свойства решений данной краевой задачи. В частности, построены локальные асимптотики решения вблизи кромок—функция и^ непрерывна всюду в а градиент Уи^ имеет в этих точках логарифмические особенности. Доказано важное утверждение, на котором базируются многие результаты главы, — если удовлетворяет спектральной задаче (14)—(17) при

|18|Davis А М J. J. Inst. Maths Applics 1970. V.6 Р 141-156

|l91Fox D W, Kuttler J.R Z angew Math Phys. 1983 V.34 P.668-696

> 0 и G Я1^), то = 0 в Q. Эти результаты справедливы и для задачи с одной прорезью и не были ранее известны.

Задачи ( 14)—( 17) для антисимметричных и симметричных мод сведены к эквивалентным спектральным задачам для самосопряженных, компактных интегральных операторов в L2(b, b+ 1)

rb+1

Jb

где GH(X>0 = G<+>(ir,0 = gi+)(x,Ç)-g(x)-g(Q + C0,

=7r-1(Tlog(x + 0-log|x-Ç|), g{x) = ¡ЬШ д{0+\х, О dÇ,

Используя результаты предыдущего параграфа, в § 3.2 дано практически исчерпывающее описание спектра задачи. Доказано, что все собственные значения Vm\b), m = 1,2,..., задачи (14)-(17) являются простыми для любых значений b ^ 0. Подчеркнем, что для задач о колебании жидкости с ограниченной свободной поверхностью известно лишь несколько результатов о простоте первого собственного числа (см. [14] и [2°1).

Функции

№

(Ь) задают аналитические кривые, при этом значения fm\b) и Vm+i(b) принадлежат одному интервалу (ттт,(т + + 1)7г), m — 1,2,..., и имеют общий предел 2Ат при b —> оо, где

{Ai} —спектр задачи с одним отверстием длины 2 (A2fc-i = 0), к = 4+)(0)> ^ = 1)2,...). Для фундаментального собственного значения i/[~\b) и соответствующей собственной моды получены асимптотические представления при b —» оо, в частности, тг/^-) = log(26) + 1 + 0 (l/log6).

Установлено, что функции i^m\b) монотонно зависят от параметра. Это следует из найденных новых формул для производных собственных значений. А именно, для всех значений b ^ 0 и m = = 1,2,..., выполняются равенства

Hi/W Г° / rb+1

= Ja^O,y;6)|2dy j Jb |UW(x,0;6)|2dx-,

1201Kozlov V., Kuznetsov N C. R. Mecamque, 2003 V 331 P. 489-494

04 06

где д+ = ду, д_ = дх. Показано, что подход, предложенный для вывода этих соотношений, применим в более сложных задачах, в частности, получено обобщение формулы для задачи о колебаниях жидкости в канале с вертикальными стенками и твердой крышкой с двумя одинаковыми отверстиями. и

Полученное описание спектра за- « дачи проиллюстрировано численными исследованиями. На рис. 11 представлены результаты вычислений: зависимость ..., (штриховые

линии) и !/[,..., V5 (сплошные ли-~нии) от параметра Ь. Рис'

В главе 4 рассматриваются плоские линейные задачи теории поверхностных волн, описывающие установившееся движение полностью или частично погруженных тел в безграничной жидкости со свободной поверхностью. Для соответствующей краевой задачи в литературе часто используется название «задача Неймана-Кельвина». В отличие от предыдущих глав здесь также уделено внимание модели стратифицированной (двухслойной) жидкости.

По сравнению с задачей, рассмотренной в первых двух главах, задача о движении имеет важные особенности. К их числу отнесем наличие при конечной глубине жидкости т.н. закритиче-ского режима движения, в котором отсутствует распространение волн на бесконечности за телом. Данная глава посвящена более сложному для исследования докритическому режиму движения, в котором возможно распространение волн. При этом, в отличие от задачи об излучении и рассеянии волн, не существует доказательства конечности энергии решения однородной задачи. Более того, в данной главе впервые построен контрпример — решение однородной задачи с бесконечной энергией. Кроме того, известно, что для частично погруженных тел задача о движении имеет семейство решений, зависящее от нескольких параметров, и требует постановки дополнительных условий.

В § 4.1 изучается случай, когда тела движутся с постоянной скоростью и в слое однородной жидкости конечной или бесконечной глубины, не пересекая свободную поверхность.

Рис. 12.

Обозначения введены на рис. 12. Координатная система неподвижна --

относительно тел, ось х направле- цг /" ß~\ „_ц

на в сторону невозмущенного по- _

тока. Область, занятая жидкостью, обозначена W, 5 —поверхность тел, F — невозмущенная свободная поверхность {у = 0}. Задача для потенциала скоростей и:

Аи = 0 в W, дпи = / на S, (18)

diu + vdyu = 0 на F, v = gU~2, (19)

sup{|Vu|} < оо, lim |V«| = 0. (20)

ЦТ x—»+00

В жидкости конечной глубины также потребуем (без потери общности можно предполагать, что глубина равна единице)

дуи = 0 при у = —1,

Также как и в предыдущих главах речь идет о классических решениях задачи. Предполагается, что / € С(S), S € C1,Q, 0 < а < 1.

'.¡Показано, что подход, предложенный в § 2.1 (признак единственности (I)), применим и для задачи о движении (в том числе и трехмерной). Для жидкости бесконечной глубины получена оценка —область в пространстве параметров, в которой гарантирована единственность решения задачи (18)—(20), определена неравенством

п т, 1 -1 . Г 2 (2у/2 + 1) 2е у + —г-г + тг 1 min1 v 7

ds(XtV)^l. (21)

иЬ]!" ' Ну!......"ЧИУГ М2

Отсюда, в частности, следует, что единственность для любой системы тел и любого значения и гарантирована для достаточно большой глубины погружения, которая легко вычислима. Результат такого рода является новым для данного класса задач.

Следует отметить, что известные результаты о единственности либо используют предположение о конечности энергии, которое, вообще говоря, не выполняется, либо доказывают единственность для почти всех значений и (подобные результаты также получе-

ны в этой главе). Кроме оценки (21) известна лишь одна теорема единственности Ф.Эрселла (см., например, И), § 7.1.6), не использующая предположения о конечности энергии и гарантирующая единственность в некотором фиксированном множестве значений параметров задачи (для одного полностью погруженного цилиндра единственность имеет место для всех значений скорости.)

Вычисления при помощи (21) для задачи о движении двух цилиндров радиуса а с центрами на глубине с1 представлены на рис. 13. Область, в которой имеет место единственность, расположена над кривой.

В данном параграфе также развивается подход, предложенный в работах 13] и [24, основанный на сведении к граничному интегральному уравнению теории потенциала

-/х(г) + (Т/х)(г) = 2/ на

(// — неизвестная плотность в потенциале простого слоя, Т определен формулой (11)), теореме об обратимости оператор-функции, аналитически зависящей от параметра и использовании тождества Грина для решения основной задачи и задачи с обратным направлением потока. Эта схема также включает исследование интегрального уравнения предельной задачи (и = оо в данном случае) и оценку близости операторов интегральных уравнений основной и предельной задач при значениях и близких к предельному.

С помощью модификации указанной схемы доказана однозначная разрешимость задачи о докритическом (у > 1) движении тел (когда возможно распространение волн на бесконечности за телом) в жидкости конечной глубины для всех значений скорости V, исключая некоторое (возможно пустое) множество изолированных значений с возможной точкой сгущения и — 1. В отличие от закритического режима {и < 1), для которого в работах 131 и 1221 дан исчерпывающий ответ на вопрос об однозначной разрешимости задачи, для докритического режима этот вопрос долгое время

,211Кузнецов Н Г., Мазья В.Г. Мат сборник. 1988. Т. 135. №4 С 440-462 ,22,Ьа11аПе О. ЛарроМ с/е Яесйегс/ге. № 187. Рапэ: Е^ТА, 1984.

20 <1/а

I'а

Рис. 13. 5 (22)

У

Р1 Р2 Р Рз Ра

оставался открытым ввиду существенных аналитических трудностей, которые преодолены в данном исследовании

В § 4.2 изучается плоская задача о движении тел, частично погруженных в жидкость бесконечной глубины. Обозначения для тандема тел введены на рис. 14. Предполагается, что смоченная поверхность каждого тела — дуга класса С2, включая конечные точки Рг, и 0к Ф О!7*"- Потенциал скоростей и удовлетворяет краевой задаче (18)—(20), где / б С°'а, 0 < а < 1, и вир в (20) берется по области IV с исключенными окрестностями точек Р*. Кроме того, потенциал удовлетворяет условию локальной конечности энергии /1Уп£;|Уи|2с1жс1у < оо, где Е — произвольный компакт в К2.

Эта краевая задача имеет семейство решений, зависящее от параметров, количество которых совпадает с количеством точек пересечения контуров со свободной поверхностью, и требует задания дополнительных условий. Впервые это было доказано в работе 16], там же предложена так называемая «наименее сингулярная постановка», обобщенная в работе [21]. При Д ^ тт/2 поле скоростей может иметь сингулярное поведение в точках Рг, задание коэффициентов в локальных асимптотиках выступает в [21] в качестве дополнительных условий. Различными авторами предложены другие варианты постановок задачи (см., например, обзор в И), § 2.8)

В данном параграфе для тандема тел предложены условия:

Эхи{Р{) - дхи(Р2) = сь дхи(Р3) - дхи(Р4) = С2, А = Ъ = й2.

Здесь С1, с2, «¿1, с?2 — некоторые заданные значения, которые также могут зависеть от г/, а А, Ъ — коэффициенты в асимптотике и при \г\ —у оо (г = х + \у)

и{х, у) ~ С + <51оё(г/|г[) + 6(-х)еиу (Л эш их + Ъ соз их),

где С — произвольная постоянная, в — функция Хевисайда и ф, А, Ъ являются функционалами решения и, в частности, тт= = Е±[дхи(Р2± 1) ~ дхи{Р3±1)} + и;здпи6з, где Рг = (а_,0), Р2 = = (-а,0), Р3 = КО), Р4 - (а+,0).

Дополнительные условия предписывают вид асимптотики решения на бесконечности и волновую часть полного сопротивления. Кроме того, потенциал, удовлетворяющий условию Неймана на контуре с правой частью / = исоз(п,х) и однородным дополнительным условиям, описывает движение тандема без сопротивления. Важным отличием от других постановок является то, что решение однородной задачи имеет конечную энергию.

При помощи подхода 12Ч доказана однозначная разрешимость постановки для всех значений и > О кроме некоторого дискретного множества значений (пустого, конечного или счетного с точкой сгущения на бесконечности) для произвольных контуров, симметричных относительно вертикальной оси. Предположение о существовании исключительных значений в подходе (31, (211 ранее считалось недостатком применяемого математического метода. Впервые показано, что это предположение связано с существом проблемы. При помощи дипольной модификации обратной процедуры доказано существование примеров неединственности для предложенной постановки.

Также доказано существование при- уу меров неединственности (вообще говоря, с бесконечной энергией) для любого количества частично погруженных тел для постановки 12П с заданными сингулярно-стями поля скоростей. Показано, что для двух и более тел могут быть построены примеры неединственности с конечной энергией. На рис. 15 приведены примеры контуров, для которых существует нетривиальное решение однородной задачи с конечной энергией (картина линий тока симметрична относительно оси у, отмеченная точка на свободной поверхности соответствует позиции правой особенности).

В § 4.3 рассматривается задача ^

о движении тел в жидкости, состоящей из двух слоев — верхний слой имеет глубину к и плотность нижний слой 1У(2) —бесконечную глубину и плотность (р(2) > р^1)). Решение представляется потенциала-

Рис. 15.

к ,у

и

Ро

и

Рис. 16.

ми скоростей «(*) (г = 1,2), заданными в ТУ^) и удовлетворяющими (18)—(20), а также условиям на границе раздела сред ^ — {у = 0}

дучЫ = дуиЫ, р^[д2хи^ + ^„(1)] = + ^(2)] .

Удобно ввести параметр, характеризующий стратификацию а = = р(2^р(1) • Область задания параметров задачи г/ > 0, ст > 0 состоит из двух областей: = {сг > 0, 0 < г//г < 1 + сг} соответствует закритическому режиму движения — в асимптотике при х —> —оо присутствуют только поверхностные волны с волновым числом V и £>2 = {<т > 0,> 1 + сг} соответствует докритическому режиму движения — также присутствуют внутренние волны с волновым числом ¿е. Здесь щ — отличный от V положительный корень дисперсионного соотношения (к — г/) [(1 + а)к — (и — ак) И^/г/г)] = 0.

Корректность данной задачи ранее практически не изучалась. Для доказательства однозначной разрешимости задачи используется тот же подход, основанный на интегральных уравнениях теории потенциала, который использовался в предыдущих параграфах. В качестве предельного удобно рассматривать случай невесомой верхней жидкости — при а — 0 задачи в слоях разделяются, а разрешимость соответствующих интегральных уравнений установлена для почти всех значений и, в частности, в § 4.1. Новой особенностью по сравнению со случаем однородной жидкости является то, что оператор граничного интегрального уравнения (22) Т = Т(„)(7) зависит от двух параметров, кроме того выражения для функции Грина значительно сложнее, в связи с чем многократно возрастает объем выкладок при нахождении оценок Цт^)— Т^о) ||.

Оказывается, что получения оценок можно избежать. Для этого, исходя из полу- 1 ченных представлений функции Грина, по- а казано, что оператор Т зависит аналитически от параметров (и, а) не только в обла- 0 стях и £>2, но и в некотором расширении этих областей И* з> Д, г = 1,2, (см. рис. 17) в нефизическую область задания -1,

параметров, в которой плотность верхнего слоя имеет малые, но отрицательные значения.

При таком расширении области аналитической зависимости точка (^,0), для которой существует ограниченный обратный оператор (I — 7(„,о))-1> оказывается внутренней точкой области задания параметров и результаты работы (23) гарантируют, что это свойство имеет место для всех точек £),, исключая некоторое (возможно пустое) нигде не плотное в Д аналитическое множество. Подход непосредственно сводит вопрос об разрешимости к исследованию корней дисперсионного соотношения — области выделяются в полуплоскости и > 0 условиями появления неотрицательных корней второго порядка (изменение кратности).

Показано, что предложенная схема приводит к доказательству - однозначной разрешимости задачи о колебаниях тел в двухслойной жидкости (как плоской, так и трехмерной). Сделанное наблюдение о том, что область аналитической зависимости оператора интегрального уравнения шире области физически обоснованных значений параметров задачи и этим можно воспользоваться для доказательства разрешимости,— достаточно универсально. Подход, по всей видимости, окажется эффективным для задачи о движении тел в многослойной жидкости и других задач этого класса.

В параграфе также рассмотрена задача о движении тел, пересекающих поверхность раздела сред различной плотности. Представлены асимптотики решения в точках пересечения контуров с поверхностью раздела, которые позволяют сформулировать дополнительные условия аналогичные условиям в постановке с заданными сингулярностями поля скоростей для однородной жидкости.

Впервые построены примеры неединственности для задачи о движении в двухслойной жидкости. Доказано, что примеры неединственности для постановки с заданными особенностями существуют для произвольного количества тел. Используется обратная процедура в дипольной модификации — потенциалы основаны на решениях вида д^^^Цг, +¡0) - дхС^'2\г, -¡0), (здесь г = х + \у, — функция Грина с источником в слое j и точкой наблюдения в слое г), что, в частности, гарантирует, что линии тока одного уровня, определенные в разных средах, составляют единый контур без разрыва на поверхности раздела сред.

,23|Крейн С. Г , Трофимов В П Функц анализ и его прил. 1969 Т. 3(4). С 85-86

Для двух (четырех) тел в закрити-ческом (докритическом) режиме можно также построить примеры неединственности с конечной энергией. Линии тока, для безволнового потенциала при иН = = 1, а = 20 (закритический режим), показаны на рис. 18 (по построению картина линий тока симметрична относительно оси у).

В заключении приведены основные результаты работы, на степень их новизны.

указа-

Публикации по теме диссертации

1. Мотыгин О. В. Примеры неединственности для линейной задачи потенциального обтекания полупогруженных тел // Прикл. матем. и механика. 1997. Т. 61(6). С. 983-990

2. Motygin О., Kuznetsov N. The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid // J. Eng. Math. 1997. V. 32. P. 53-72.

3. Kuznetsov N., Motygin O. On the waveless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing body // IMA J. Appl. Math. 1997. V. 59. P. 25-42.

4. Мотыгин О. В. Локализованные моды колебаний жидкости при косом набегании волн на частично погруженные тела // Прикл. матем. и механика. 1999. Т. 63(2). С. 267-275.

5. Motygin O.V. Uniqueness and solvability in the linearized two-dimensional problem of a body in a finite depth subcritical stream // Euro. J. Appl. Math. 1999. V. 10(2). P. 141-156.

6. Kuznetsov N., Motygin O. On the resistanceless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem Ц IMA J. Appl. Math. 1999. V.62. P. 81-99

7. Motygin O.V. On frequency bounds for modes trapped near a channel-spanning cylinder // Proc. Roy. Soc. London A. 2000 V. 456(2004). P. 2911-2930.

8. Kuznetsov N., Motygin O. Sloshing problem in a half-plane covered by a dock with two gaps- inonotonicity and asymptotics of eigenvalues // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II. 2001. V. 329(11). P. 791796.

9. Мотыгин О В., Стурова И. В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего границу раздела // Механика жидкости и газа. 2002. Т 4. С. 105-119.

10. Motygin O.V. On the non-existence of surface waves trapped by submerged obstructions having exterior cusp points // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2002. V.55(l). P. 127-140.

11. Мотыгин О. В. Разрешимость граничных интегральных уравнений для задачи о движении тела в двухслойной жидкости // Журнал вычисл. математики и математ. физики. 2003. Т. 43(2). С. 279-286.

12. Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В. Задача Стеклова в полуплоскости зависимость собственных значений от кусочно-постоянного коэффициента // Записки семинаров ПОМИ: Вопросы распространения волн. 2003. Т. 297. С. 162-190.

13. Motygin О. V., Mclver P. A uniqueness criterion for linear problems of wave-body interaction // IMA J. Appl. Math. 2003. V.68(3). P. 229-250.

14. Kozlov V., Kuznetsov N., Motygin O. On the two-dimensional sloshing problem 11 Proc. Roy. Soc. London A. 2004. V. 460. No. 2049. P. 2587-2603.

15. Мотыгин О. В. Об оценках частот локализованных мод колебаний жидкости в присутствии погруженных тел // Прикл. ма-тем. и механика. 2005. Т. 69(5). С. 818-828.

16. Motygin O.V. A new approach to uniqueness for linear problems of wave-body interaction // Proc. 21th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Loughborough, UK, 2006. P. 129-132.

17. Индейцев Д. А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О. В., Мочало-ва Ю.А. Локализация линейных волн. Изд-во СПбГУ. 2007.

Подписано в печать 22.03.2007. Формат бумаги 60x90/16. Бумаге множ. Объем 2 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ 108. Отпечатано в ОНТИ ИПМаш РАН. 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр-т, 61

Введение.

В.1. Общие уравнения и граничные условия теории поверхностных волн.

В.2. Линеаризация задач о волнах малой амплитуды.

В.З. Стационарные задачи о взаимодействии жидкости с телами.

В.4. Современное состояние линейной теории волн.

В.5. Структура и содержание работы.

Глава 1. Колебания жидкости периодические вдоль цилиндрических тел.

§1.1. Локализация волн частично погруженными телами.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Потенциал локализованной моды.

1.1.3. Локальные асимптотики потенциала и его производных.

1.1.4. Существование охватывающих особенности линий тока.

1.1.5. Локализованные моды выше частоты отсечки, сопоставление с теоремами единственности.

1.1.6. Существование локализованных мод ниже частоты отсечки.

§ 1.2. Оценки частот локализованных мод колебаний жидкости.

1.2.1. Интегральное тождество.

1.2.2. Сингулярные пробные функции, оценки собственных частот

1.2.3. Функция Грина и её свойства.

1.2.4. Функция Грина в качестве пробной, оценки собственных частот

1.2.5. Сравнение с известными оценками и примерами локализованных мод.

Глава 2. Трёхмерная задача о колебаниях жидкости в присутствии погруженных тел.

§ 2.1. Единственность и оценки частот локализованных мод колебаний жидкости.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Признак единственности (I).

2.1.3. Оценки области единственности в пространстве параметров задачи

2.1.4. Усиление признака единственности при помощи вспомогательных потенциалов.

2.1.5. Применение признака (I) для задачи о колебаниях жидкости, периодических вдоль цилиндрических тел.

2.1.6. Критерий единственности и признак единственности (II).

2.1.7. Численные результаты.

2.1.8. Оценки производных функции Грина.

§ 2.2. Об отсутствии локализованных мод для препятствий, имеющих особые точки.

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Базовое интегральное тождество.

2.2.3. Об отсутствии локализованных мод.

Глава 3. Колебания жидкости при наличии ограниченной свободной поверхности.

§3.1. Колебания жидкости под твёрдой крышкой с двумя прорезями: постановка и метод решения.

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Вспомогательные утверждения.

3.1.3. Спектральные задачи для интегральных операторов.

§ 3.2. Свойства собственных чисел: простота и зависимость от геометрического параметра.

3.2.1. О простоте собственных значений, I.

3.2.2. Монотонная зависимость собственных значений от расстояния между прорезями.

3.2.3. Пределы собственных значений.

3.2.4. Простота собственных значений, II.

3.2.5. Схема численных исследований.

3.2.6. Другие краевые задачи.

Глава 4. Поступательное движение тел в безграничной жидкости со свободной поверхностью.

§ 4.1. Движение полностью погруженных тел.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Единственность решения задачи о движении тел в жидкости бесконечной глубины.

4.1.3. Корректность постановки задачи о докритическом движении тел в слое конечной глубины.

§ 4.2. Движение частично погруженных тел.

4.2.1. Корректность постановки плоской задачи, описывающей движение тандема частично погруженных тел.

4.2.2. Неединственность для постановки с заданным волновым сопротивлением и дополнительным расходом.

4.2.3. Примеры неединственности для постановки с заданными особенностями поля скоростей в угловых точках.

§ 4.3. Движение тел в двухслойной жидкости.

4.3.1. Корректность задачи о движении тел в двухслойной жидкости

4.3.2. Примеры неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела.

Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, издавна привлекающим внимание механиков и математиков. В качестве основателей этой теории следует назвать имена Л.Эйлера, Ж. Л. Ла-гранжа, О.Л.Коши, С.Д.Пуассона, Дж.Дж.Стокса и лорда Кельвина. Существенный вклад в теорию в 20-м столетии внесли Г.Лэмб, Т.Х.Хавелок, Н.Е.Кочин, М.А.Лаврентьев, Л.Н.Сретенский, М.Д.Хаскинд, Дж.Дж.Стокер, Ф.Джон и другие. Классическая теория волн на воде представлена в книгах [ 19,32,34,56,57,60,209,211].

Интерес к теории понятен, так как волны на свободной поверхности жидкости, находящейся под действием гравитационных и других сил, представляют собой широко распространённое физическое явление, имеющее также важное практическое значение (например, математические модели могут использоваться в задачах проектирования и эксплуатации судов). При этом теория волновых движений жидкости представляет интерес и с точки зрения развития математических методов, поскольку «ни об одной математической теореме нельзя с уверенностью сказать, что она не имеет отношения к механике жидкости» и «при этом довольно редко удаётся воспользоваться известными математическими методами и результатами в их буквальной первоначальной форме» [64].

Настоящая работа посвящена исследованию взаимодействия твёрдых препятствий и неограниченной жидкости со свободной поверхностью в рамках линейного приближения теории поверхностных волн. Эти задачи связаны с рассмотрением так называемых волн бесконечно малой амплитуды. Различные аспекты этой теории изучались в работах Т.Хавелока и Ф.Эрселла представлены в сборниках статей [98,203]), прикладным аспектам линейной теории посвящены книги [62,148,169]. Вышедшие из печати в 2002 и 2003 гг. книги [129] и [113] представляют полученные в последние годы результаты, при этом в [129] в основном описываются математические методы с точки зрения их применимости при решении инженерных задач, а книга [113] посвящена математической теории волн на воде. (В [113] вошёл также и ряд результатов, полученных автором в [117,118,162,164]*)

Следует отметить, что несмотря на свою долгую историю, теория волн на воде даже в линейном приближении далека от завершения. Так, в частности, вопрос о единственности решения (ввиду своей важности помещённый под первым номером в списке нерешённых вопросов в [202]) остаётся открытым — теорема единственности в общей формулировке отсутствует даже для самых простых случаев (например, для одного полностью погруженного тела произвольной формы), а первые примеры неединственности были построены только в 1996 г. [133].

Именно вопрос о корректности постановок, единственности и разрешимости задач изучается в настоящей работе. Исследование включает, с одной стороны, нахождение критериев и признаков единственности решения и доказательство разрешимости, с другой —построение примеров неединственности (т. н. локализованных или «ловушечных» мод колебаний), доказательство их существования, исследование свойств этих решений.

В.1. Общие уравнения и граничные условия теории поверхностных волн

Приведём основные уравнения и граничные условия теории поверхностных волн (более подробное обсуждение может быть найдено, например, в [32,94, 113]). При исследовании поверхностных волн принято использовать следующие предположения. Жидкость — идеальная и несжимаемая (имеет постоян Здесь и далее ссылки на работы автора отмечены курсивом. ную плотность р); её движение —потенциальное и происходит в однородном поле силы тяжести, которое характеризуется постоянным по величине ускорением свободного падения g. Свободная поверхность жидкости в невозмущённом состоянии совпадает с плоскостью у = 0. Как правило для описания движения используется метод Эйлера. Этот метод предполагает определение вектора скорости в каждый момент времени t ^ 0 (движение жидкости рассматривается с некоторого момента, принимаемого за нулевой) в каждой точке {x,z,y) заполненной жидкостью области Wt. Область Щ в общем случае может меняться со временем, причём её граница полностью или частично неизвестна и также должна быть найдена.

В силу указанных выше предположений вектор скорости является градиентом (УФ = (дхФ,дгФ,дуФ)) функции Ф(x,z,y,t), которую принято называть потенциалом скоростей. (Здесь и далее да обозначает частное дифференцирование по переменной а.) Потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа в жидкости которое вытекает из уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы (объёма).

Другим следствием непрерывности движения жидкости служит граничное условие

Здесь vn — скорость границы dWt в направлении нормали п к ней. При этом на свободной поверхности жидкости Ft с дЩ условие (В.2) неявно содержит неизвестную функцию, характеризующую движение этой поверхности. А именно, пусть свободная поверхность Ft представляется уравнением у = т}{х, г, t). Тогда условие (В.2) можно записать в форме

У2Ф = 0 в Щ

В.1) дпФ = ип на дЩ при t^O.

В.2)

1]1-дуФ + дхФдх'п+дгФдгг] = 0 на Ft.

В.З)

Ещё одно соотношение на Ft имеет динамическую природу и вытекает из закона сохранения импульса. Это так называемый интеграл Коши-Лагранжа: + 21|УФ|2 = 0. (В.4) Также должны выполняться начальные условия при t = 0

7](х, 2,0) = Т)0(х, г), Ф = Фо, (В.5) где Фо — гармоническая в области Wo функция.

В.2. Линеаризация задач о волнах малой амплитуды

Главной особенностью задачи (В.1)-(В.5) о поверхностных волнах является её нелинейность (см. условия (В.З) и (В.4) на свободной поверхности жидкости). Поэтому разработка теории поверхностных волн на основе указанной постановки наталкивается на серьёзные математические трудности. На данном этапе их удалось преодолеть лишь при исследовании ряда частных задач. Так, несмотря на существенный прогресс в исследовании некоторых нелинейных моделей (см., например, книги [2,50,56,57,79,94] и работы [91,102,172,177,190]), в рамках «точной» постановки пока практически не рассматривалось взаимодействие поверхностных волн с плавающим телом. Исключением являются работы Е.В.Пяткиной (см. [53]), которая построила и обосновала нелинейное дипольное приближение в трёхмерной задаче о генерации нестационарных волн погруженной сферой. Также следует упомянуть работы Ч.Д. Пагани и Д.Пьеротти (см., например, [173,174]), в которых исследуется нелинейная плоская постановка задачи о движении тонкого тела по поверхности жидкости.

Трудности, возникающие в нелинейной теории поверхностных волн, были осознаны ещё О.Л.Коши и С.Д.Пуассоном, которые (исходя из эвристических соображений) выделили класс волн малой амплитуды, для которого условия (В.З) и (В.4) могут быть линеаризованы.

Существует (см., например, [57,92]) формальная процедура вывода линейных соотношений для волн малой амплитуды. При этом потенциал и возвышение свободной поверхности представляются в виде формальных рядов по степеням малого параметра, после подстановки этих разложений в (В.1)-(В.5) отбрасываются все слагаемые, содержащие малый параметр в степени выше первой. Это приводит, во-первых, к фиксации области W, заполненной жидкостью — вместо неизвестной свободной поверхности и поверхности препятствий краевые условия должны выполняться на соответствующих поверхностях в положении равновесия. Во-вторых, соотношения (В.З) и (В.4) приобретают вид: dtr] - дуФ = 0, gr\ + <9,Ф = 0 при у = 0. Исключая отсюда функцию гприходим к условию $<& + gdy<b = 0 при у = 0, t> 0. (В.6)

Обсуждение условий, при которых возможно применение линейного приближения, и обоснование линеаризации при помощи эвристических соображений можно найти, например, в книге [35]. В этой книге также приведена схема, приблизительно указывающая границы применимости линейной и других приближённых волновых теорий. Дальнейшие результаты, касающиеся применимости линейной теории могут быть найдены в работе [71].

Имеются подтверждения того, что линейная теория поверхностных волн является обоснованной приближённой моделью «точной» теории. (Под обоснованием модели в книге [50, с. 97] понимается доказательство двух утверждений: а) точное решение исходной задачи существует при любом значении малого параметра, участвующего в моделировании; б) точные решения сходятся к решению предельной задачи при стремлении параметра к нулю.) Именно в этом смысле в работах [48], [50, гл.З] обоснована линейная модель Коши-Пуассона в плоском случае.

Ряд работ посвящён проверке соответствия предсказаний линейной теории и данных экспериментальных исследований. В частности, упомянем работы Ф.Эрселла и его соавторов [69,204,214]. В опубликованной недавно работе [182] показано хорошее согласие между полученными в рамках линейной теории значениями частот локализованных («ловушечных») мод и экспериментальными данными.

Линейная теория поверхностных волн применяется для описания взаимодействия препятствий с жидкостью. Перечислим три важных (в том числе и с практической точки зрения) класса таких взаимодействий, которые рассматриваются в настоящей работе:

1. Вынужденные колебания тела около положения равновесия и рассеяние волн на неподвижном теле. Классической областью, в которой рассматриваются задачи такого рода (радиационная и дифракционная, соответственно), является гидродинамическая теория качки корабля [2,62].

2. Колебания жидкости в сосуде с ограниченной свободной поверхностью. Задачи этого класса описывают, в частности, колебания жидкости в резервуарах, возникающие при перевозке или под влиянием землетрясений, и колебания жидкости под ледяным покровом при наличии отверстий.

3. Волнообразование при поступательном движении тел в жидкости. Задачи, описывающие этот класс взаимодействий, непосредственно связаны с вычислением волнового сопротивления судов [2,19,20,56].

В.З. Стационарные задачи о взаимодействии жидкости с телами

В данной работе мы будем изучать стационарные задачи линейной теории поверхностных волн, описывающие взаимодействие жидкости и твёрдых препятствий. Введём обозначения. Пусть жидкость заполняет область W С ограниченную сверху свободной поверхностью F, которая представляет собой двумерную область на плоскости у = 0. Кроме F граница 8W может содержать следующие области: смоченную поверхность 5 погруженных в жидкость тел и дно В. В данной работе в основном рассматривается жидкость бесконечной или конечной постоянной глубины (или, по крайней мере, совпадающей со слоем постоянной глубины вне некоторого ограниченного подмножества области, занятой жидкостью).

Некоторые из тел могут быть погружены в жидкость полностью, так что соответствующие компоненты 5 являются замкнутыми поверхностями, тогда как другие тела погружены частично и их поверхность пересекает свободную поверхность жидкости. Ниже также часто будет встречаться ситуация, когда погруженные тела цилиндрические с произвольным поперечным сечением. Будем предполагать, что ось 2 параллельна образующим цилиндров. При рассмотрении плоскопараллельных волновых движений жидкости, описываемых потенциалом Ф(x,y,t), размерности всех перечисленных многообразий уменьшаются на единицу.

Рассмотрим описанные в предыдущем параграфе (п. 1,2) задачи об излучении или рассеянии волн и предположим, что колебания жидкости — установившиеся гармонические по времени. Потенциал скоростей можно записать в виде

Здесь и) — частота колебаний жидкости, а и — подлежащая определению функция (её также будем называть потенциалом скоростей). При этом естественно следует предположить, что f(x,y,z,t) = Re{[o(x,y, 2)ехр(—\u)t)} в граничном условии дпФ - / на S.

Используя анзац (В.7), получаем, что функция и должна удовлетворять уравнению Лапласа

Ф(х,г/,2, t) = Re{u(x,y,z)exp(-iu;t)}.

В .7)

V2w = 0 в W

В.8) и краевым условиям дуи -ии = 0 на F, и = tj2/g, дпи = /о на S, дпи = 0 на В,

В.9) (В.Ш) (В.И) где вид функции /о зависит от типа задачи (об излучении или рассеянии волн).

В нестационарной задаче уравнение и краевые условия дополнялись начальными условиями для выделения единственного решения. Если свободная поверхность жидкости неограничена, эту роль в задаче об установившихся колебаниях играют так называемые условия излучения, которые ставятся при R = (х,2 + z2)1/2 —> оо, и предписывают вид волновых движений на бесконечности. Например, если глубина жидкости бесконечна, можно потребовать (см. [113, с. 13-14]), чтобы

Далее для введённой задачи мы часто будем употреблять в качестве синонимов термины «задача об излучении и рассеянии волн» и «задача о колебаниях жидкости в присутствии тел».

Важный частный случай задачи возникает в ситуации, когда в присутствии цилиндрических тел распространение волнового фронта происходит под некоторым углом к оси z, параллельной образующим цилиндров. Естественно предположить, что движение жидкости описывается потенциалом скоростей Re{u(x,y)ei(kz~ut)}, где k = vcos9 — проекция волнового вектора на ось z. При этом вместо уравнения Лапласа потенциал и удовлетворяет т. н. модифицированному уравнению Гельмольца

Эта задача также может использоваться для описания колебаний жидкости в канале с вертикальными стенками в присутствии цилиндрических тел, в случае, когда образующие цилиндров ортогональны стенкам. Для этой задачи возможно v < k, при этом отсутствует распространение волн на бесконечность. Далее мы будем пользоваться термином «частота отсечки» для и = yfkg {v = k) и говорить о значениях и, расположенных «ниже частоты отсечки» (и < k), и «выше частоты отсечки» {и > k). при г

00.

V2u-k2u = 0 в W.

В.12)

Известно, что выше частоты отсечки нетривиальные решения однородной задачи об излучении и рассеянии волн также имеют конечную энергию и представляют собой т.н. локализованные («ловушечные», «захваченные») моды колебаний (см., например, [113, §2.2.1]). Отсутствие таких мод на непрерывном спектре эквивалентно единственности для соответствующей задачи с неоднородным условием на смоченной поверхности. Тот факт, что собственные значения погружены в непрерывный спектр, объясняет сложности при исследовании вопроса о единственности решения задачи.

Другая задача об установившихся волнах — задача, описывающая поступательное движение тел в жидкости. Предполагается, что скорость тела относительно жидкости и её глубина постоянны (можно говорить также об установившемся обтекании тела потоком постоянной глубины). За этой задачей закрепилось название «задача Неймана-Кельвина» (см. [189,200]).

Установившиеся волны, вызываемые движущимся телом, удобно описывать потенциалом скоростей u(x,y,z) в системе координат, связанной с телом и выбранной так, что свободная поверхность жидкости находится в плоскости у = 0, а направление движения тела совпадает с положительным направлением оси абсцисс. При этом можно говорить, что увеличение (уменьшение) х соответствует движению «вверх (вниз) по потоку» в область, находящуюся «перед телом» («позади тела»). В такой системе координат заполненная жидкостью область W неизменна и равна L\D, где L — слой постоянной глубины h, a D — область в R3, занимаемая телом.

Потенциал скоростей Ф(x',y',z',t) в «неподвижной» (связанной с жидкостью) системе координат (x',y',z') выражается через потенциал u(x,y,z) следующим образом

В. 13)

Ф {x',y',z',t) = и(х + Ut,y,z).

Отсюда и из соотношений (B.l), (В.6) вытекает, что

V2u = О в W, д2и + vdyii = 0 на F, дпи = / на S, дпи = 0 на В.

В.14) (В Л 5) (В. 16)

Здесь р — волновое число, v = g/U2, U — постоянная скорость поступательного движения тела; условие (В.16) выражает непроницаемость смоченной поверхности S тела D при / = Ucos(п,х).

Уравнение (В.14) и краевые условия (В.15)-(В.16) следует дополнить условиями на бесконечности вверх и вниз по потоку:

Первое условие выражает ограниченность волн позади тела, а второе — отсутствие волн далеко впереди него.

Задача о движении имеет важные особенности. К их числу отнесем наличие при конечной глубине жидкости т. н. закритического режима движения, в котором отсутствует распространение волн на бесконечности за телом. В данной работе рассматривается более сложный для исследования докрити-ческий режим движения, в котором возможно распространение волн. При этом, в отличие от задачи об излучении и рассеянии волн, не существует доказательства конечности энергии решения однородной задачи. В данной работе построено такое решение с бесконечной энергией.

Далее также будет рассматриваться задача о движении в двухслойной жидкости, состоящей из слоёв различной плотности pi и р2. В этом случае иЬ) — потенциалы, заданные в разных слоях, и имеются условия на поверхности раздела сред различной плотности р\ = р2[д2и^+идуи^]

В случае когда тела частично погружены или пересекают поверхность раздела, задача о движении должна быть дополнена некоторыми условиями. Этот вопрос будет обсуждаться ниже в соответствующих разделах.

1*1 lim |Vw| < оо, lim |V«|=0.

В. 17)

И дуи<» = дуиР-\

В заключение этого параграфа заметим, что для некоторых задач рассматриваемого класса удаётся обосновать принцип предельной амплитуды, согласно которому решение нестационарной задачи с гармонически зависящими от времени правыми частями в краевых условиях стремится к решению стационарной задачи. Упомянем, в частности, работы [12] и [205].

В.4. Современное состояние линейной теории волн

Установившиеся волны на воде —одна из классических проблем в прикладной математике. Существует обширная литература в этой области, при этом большая часть работ посвящена численным исследованиям и чисто прикладным вопросам. В этом обзоре ограничимся освещением результатов, относящихся к сформулированным в предыдущем параграфе задачам, при этом нас будут интересовать вопросы математического обоснования моделей и исследования их свойств. Упоминаемые в этом разделе работы относятся в основном к трём последним десятилетиям. Достаточно полный список работ, относящихся к более раннему периоду, может может быть найден в монографиях [19,56,57,62] и обзорных статьях [16,40,169,207-209].

Корректность постановок: разрешимость и единственность. Среди основных методов исследования вопроса о корректности постановок первым должен быть упомянут метод интегральных уравнений — как наиболее универсальный. Разрешимость граничных интегральных уравнений метода потенциала тесно связана со свойством единственности решения краевой задачи и часто из теоремы единственности вытекает разрешимость интегрального уравнения, и как следствие —задачи. С другой стороны, иногда разрешимость интегрального уравнения может быть использована для доказательства единственности [27]. Различные вопросы, относящиеся к методу интегральных уравнений применительно к задачам теории поверхностных волн рассмотрены в статьях [5,37,66,93,131,199,212] (см. также [129, гл. 4], [113, §§ 2.1,3.1] и цитированную там литературу) — в частности, важным является построение интегральных уравнений без т.н. иррегулярных частот и вопрос о равносильности интегрального уравнения краевой задаче.

При помощи метода интегральных уравнений, в частности, удаётся доказать, что и задача о колебаниях, и задача о движении для полностью погруженных тел произвольной формы в жидкости бесконечной глубины однозначно разрешимы для всех значений v в (В.9), (В. 15) за исключением конечного (возможно пустого) набора значений (см. [113, гл. 2,7]). Последний факт вытекает из результатов Н.Е.Кочина [20,21], показавшего, что задачи разрешимы для больших и малых значений v (случай v —> 0 для трёхмерной задачи о движении рассмотрен в [132]), и теоремы об обратимости операторной функции, аналитически зависящей от параметра [59] (ср. с замечанием 2.4 в [4]). Для случая, когда тела частично погружены или глубина жидкости конечна, указанный метод приводит к появлению возможной бесконечной последовательности исключительных значений, см. [27,107], а также [117,118,154] (здесь §§ 4.1, 4.2). Значения v, для которых нарушается свойство однозначной разрешимости, в рамках метода не определяются, таким образом, недостатком подхода является невозможность гарантировать отсутствие таких исключительных значений в заданном интервале значений.

В [118] также построены примеры неединственности (здесь п. 4.2.2, 4.2.3), которые показывают, что допущение о существовании исключительных значений в формулировках связано с существом проблемы — к этому вопросу мы вернёмся ниже. В работе [44] (здесь п. 4.3.2) предложена схема, которая позволяет эффективно применять обсуждаемый метод доказательства однозначной разрешимости для случая стратифицированной жидкости. Заканчивая обсуждать метод интегральных уравнений, отметим, что этот метод позволяет численно находить решения для одного или более тел произвольной формы.

Наряду с методом интегральных уравнений имеются другие универсальные подходы. Ряд задач успешно исследован функционально-аналитическими методами (см., например, [70]). Отметим особо случай плавно меняющейся глубины жидкости, при этом удобны асимптотические методы: лучевой (см. [185]) и метод канонического оператора Маслова (см. [9,10,103]).

Для задач, рассматриваемых в данной работе, существующие методы доказательства единственности в основном опираются на два основных подхода—схему Джона и тождество Мазьи. Первый подход, основанный на интегральных неравенствах для функционалов энергии, был предложен Ф.Джоном в 1950 г. [93] и обобщён в работе [184], где, в частности, доказана единственность решения плоской задачи об излучении и рассеянии волн для любой системы погруженных тел, заключённой между линиями, пересекающими свободную поверхность в одной точке под углом 45° к горизонтали. Кроме того, подход [184] позволяет показать, что единственность имеет место для достаточно больших и достаточно малых значений частоты колебаний. Метод был развит в [141,183] и [121] для задачи о колебаниях жидкости в присутствии тел при k ф 0 в уравнении (В. 12) —для частот ниже и выше частоты отсечки, соответственно. Результаты [108,111,115,121,122,128] и [113, § 4.2] обобщают подход [184] на случай, когда имеется ограниченная область свободной поверхности (отрезок между телами в плоском случае или внутренняя область, ограниченная осесимметрическим тороидом). Применение подхода для задачи о движении может быть найдено в книге [113]. Недостатки схемы Джона проявляются в существенных геометрических ограничениях, возникающих при использовании этого метода.

В [37] (в более слабой формулировке — в [4]) было предложено так называемое тождество Мазьи (см. также [101]). Данное интегральное тождество позволяет доказать единственность, если поверхность погруженного тела удовлетворяет некоторому условию (специальное векторное поле в любой точке смоченной поверхности направлено в область, занятую жидкостью). Существенным недостатком подхода является отсутствие алгоритма, позволяющего подобрать векторное поле для заданной геометрической конфигурации. Схема является в некотором смысле обратной — отыскав векторное поле с требуемыми характеристиками, можно предъявить некоторые конфигурации тел, для которых имеет место единственность. Развитие данного подхода можно найти в работах [25,84,101,206]; наиболее полный обзор тождества Мазьи приведён в книге [113]; из работ самого последнего времени следует упомянуть [114], где тождество Мазьи применяется для задачи о колебаниях двухслойной жидкости в присутствии тел. Результаты [157] (здесь § 2.2) для задачи об излучении и рассеянии волн позволяют использовать все апробированные для гладких тел векторные поля для конфигураций с точками возврата и гладкими рёбрами.

В работах автора [159,168] (здесь § 2.1) предложены две новые общие схемы доказательства единственности и получения оценок частот, при которых может нарушаться свойство единственности. Эти подходы применимы для любой формы тел, любого их количества и размерности задачи. Показано, что для широких классов тел новые схемы имеют существенные преимущества по сравнению с подходами, описанными выше. Кроме того, в [156] предложен новый признак единственности для задачи о периодических вдоль цилиндрических тел колебаниях жидкости ниже частоты отсечки (здесь § 1.2).

Перечислим работы, не попадающие в указанную классификацию. В [135] для плоской задачи о колебаниях жидкости в присутствии симметричной структуры, подчинённой некоторому геометрическому условию, доказано отсутствие чётных по горизонтальной переменной нетривиальных решений однородной задачи. В работе [24] совместное применение конформных отображений и интегральных неравенств позволило доказать единственность плоской задачи об излучении и рассеянии волн двумя частично погруженными телами для достаточно малых значений частоты. В [110] подобное сочетание позволило доказать единственность для некоторых специальных конфигураций частично погруженных тел для всех значений частоты; важно, что для этих контуров угол между свободной поверхностью и односторонней касательной к контуру в точке пересечения со свободной поверхностью может быть сколь угодно малым. В работах [109,136] предложены подходы, основанные на рассмотрении узловых линий — линий, на которых потенциал обращается в нуль.

Отметим, что все существующие теоремы об однозначной разрешимости имеют те или иные ограничения на геометрическую конфигурацию препятствий, параметр в граничном условии на свободной поверхности, симметрию решений. Оказывается, что это диктуется существом проблемы —в последние годы был построен ряд примеров неединственности, что показывает невозможность доказательства общих теорем единственности без ограничений на параметры задачи.

Примеры неединственности (локализованные моды). Вопрос о том, существуют ли нетривиальные решения однородных задач для значений параметра в граничном условии, находящихся на непрерывном спектре, оставался открытым в течение долгого времени. Существенное продвижение в этой области исследований началось в 1996 г., когда М.Мак-Айвер в работе [133] построила первый пример неединственности для плоской задачи о колебаниях жидкости в присутствии частично погруженных тел. Для этого в [133] была предложена новая, так называемая «обратная схема». При этом подходе для заданного потенциала (в [133] использовались два источника, расположенных на свободной поверхности) разыскиваются линии поля скоростей, которые могут быть выбраны в качестве контуров тел (в [133] это линии тока начинающиеся и заканчивающиеся на свободной поверхности и заключающие одну из особенностей внутри себя).

Данный подход оказался эффективным и с его помощью был построен ряд примеров неединственности для различных линейных задач. В работах [42,153] были построены первые примеры неединственности для плоской задачи о движении частично погруженных тел (здесь п. 4.2.3). Подобное исследование для плоской задачи о колебаниях жидкости представлено в [113, §4.1]. В дальнейшем в работе автора и Н.Г.Кузнецова [162] была предложена модификация схемы, основанная на дипольных решениях, которая получила развитие для задачи о движении в [118,160] (здесь § 4.2) и для задачи о колебаниях —в [43,158,164] (здесь § 1.1). Аналогичные приведённым в п. 4.3.2 [160] результатам для двухслойной жидкости (но применительно к задаче о колебаниях жидкости в присутствии тел) получены в [114], где также доказана теорема о единственности и проведено сопоставление.

В [121] получены примеры неединственности для задачи о колебаниях жидкости при косом набегании волн на цилиндрические тела (см. выше с. 13). При этом в [121] доказательство существования конфигураций дано только для двух цилиндров и достаточно малых значений угла между фронтом волны и образующими цилиндров (почти-нормальное падение волны). Это ограничение снято в [43,158] (здесь § 1.1), где представлено доказательство для произвольного, большего двух, количества тел и всех значений угла, исключая только случай распространения волны вдоль цилиндров.

Обратная схема оказалась применимой для построения примеров неединственности с полностью погруженными телами (см. [137]). В работах [140] и [178] развита численная техника, позволяющая находить «ловушечные» моды для заданной конфигурации тел. В указанных работах получены результаты для погруженных эллиптических тороидов и (в плоской задаче) симметричных пар погруженных тел.

В [115,144] построены примеры неединственности для осесимметриче-ской задачи о колебаниях жидкости в присутствии частично погруженных тел. В [170] численно исследованы нагрузки, возникающие на тороидальной структуре, полученной в [144], и показано их сингулярное поведение. Математический анализ нагрузок для конфигураций тел, возникающих в примерах неединственности для плоской задачи, представлен в [138]. В [147] подход [115,144] развит для построения неосесимметричных структур.

При помощи обратной схемы удалось получить новые интересные результаты для задачи о колебаниях в ограниченном объёме жидкости (см. [105]). В [83] обратная схема применяется для задачи о колебаниях жидкости над наклонным дном —построены примеры локализованных мод колебаний в присутствии тел. Вопрос об устойчивости структур, полученных при помощи обратной схемы, исследовался в работе [142]. Вопрос о связи локализованных мод в стационарных задачах с существованием резонансных режимов в более общих нестационарных задачах изучался в [134,146]. Возможность существования локализованных мод в задачах со свободно плавающими телами показана в [145].

Заметим, что случай, когда частоты собственных колебаний находятся вне непрерывного спектра задачи, изучен гораздо лучше. Данные исследования ведут отсчёт от 1846 года (береговые волны Дж.Стокса [187]) и результатов Ф.Эрселла [195,196] и Д.С.Джоунса [95] в 1951-1953. С тех пор появилось множество работ, посвящённых построению локализованных мод и/или доказательству их существования или отсутствия — подробный обзор результатов можно найти в [84] и [113]. Отметим, что в [158] (здесь § 1.1) впервые получены локализованные моды под частотой отсечки для частично погруженных тел.

К классу задач с дискретным спектром относится задача о собственных колебаниях жидкости в бассейне, имеющем ограниченную свободную поверхность. Классический этап исследования этой задачи отражён в книге [32]. Обзоры [151,152] дают представление о результатах, которые были получены ко второй половине шестидесятых годов. С более поздними работами можно познакомиться по книге [36] и работе [86]. Функционально-аналитические аспекты задачи о свободных колебаниях рассматриваются в книге [18]. Тематика излагаемых в данной работе результатов перекликается с работами [58,106].

В ряде работ (см. [78,86,99,149,192,193]) рассматривалась задача о колебаниях жидкости в полуплоскости под твёрдой крышкой с отверстием. Интерес к задаче обусловлен тем фактом, что собственные значения доставляют универсальные оценки сверху для частот собственных колебаний в плоских областях, имеющих тот же отрезок в качестве свободной поверхности. В [30,119,120,165,166] (здесь §§ 3.1, 3.2) рассмотрена задача о колебаниях жидкости под крышкой с двумя отверстиями и изучена зависимость собственных значений задачи от расстояния между отверстиями, в частности, доказано, что все собственные значения зависят монотонно от расстояния, получены новые формулы для производных собственных значений как функций геометрического параметра в терминах энергетических функционалов. Также показано, что все собственные значения простые (заметим, что для задач о колебании жидкости с ограниченной свободной поверхностью известно лишь несколько результатов о простоте первого собственного числа — см. [104] и [105]).

Задача о движении. Остановимся подробнее на результатах, специфических для задачи о движении тел в безграничной жидкости. Особенностью в сравнении с задачей об излучении и рассеянии волн является то, что для задачи о движении не известно доказательство конечности энергии решения однородной задачи. Более того, это, вообще говоря, неверно, как показывает пример, построенный в [118] (здесь п. 4.2.2). Поэтому, теоремы единственности, доказанные в предположении о конечности энергии (см., например, [4,112]) имеют условный характер. Фактически известна одна теорема единственности Ф.Эрселла (см. [113, § 7.1.6]), не использующая предположение о конечности энергии и гарантирующая единственность для одного полностью погруженного кругового цилиндра для всех значений скорости. В п. 4.1.2 представлена вторая теорема подобной природы —для полностью погруженных тел произвольной формы получены оценки параметров, при которых возможно существование нетривиальных решений однородной задачи.

Другая сложность возникает при использовании задачи (В. 14)—(В. 17) для частично погруженных тел. При этом решение задачи оказывается неединственным для любого значения скорости и, таким образом, задача должна быть дополнена некоторыми условиями. Впервые данный тип неединственности был обнаружен численно (обзор работ, относящихся к этому этапу исследований, может быть найден в [189]). К.Эггерс в [82] предложил обоснование существования нетривиального решения однородной задачи, а первое математически строгое доказательство этого факта для плоской задачи, описывающей движение полупогруженного кругового цилиндра, было дано Ф.Эрселлом в работе [200]. В этой же работе был предложен вариант дополнительных условий — постановка, доставляющая т. н. «наименее сингулярное» решение с вектором скорости, ограниченным во всей области, занятой жидкостью. В [27] эта постановка обобщена для тел произвольной формы и состоит в задании коэффициентов в асимптотиках потенциала в точках пересечения контуров тел со свободной поверхностью. (В п. 4.2.3 построены примеры неединственности для такой постановки.)

Известно ещё несколько версий дополнительных условий — обзор может быть найден в [ИЗ, с. 416-418]. Упомянем работы [27,107,112,181], в которых дополнительные условия формулируются в терминах величин возвышений свободной поверхности в носовой и кормовой точках и циркуляции вектора скорости вдоль смоченной поверхности тела. Модели [74,125] также используют условие типа Кутта-Жуковского, означающее, что кормовая точка является точкой схода. Постановки [26] и [41,117,118] основаны на рассмотрении формулы для полного сопротивления тандема. Результаты [118] представлены в § 4.2.

Отметим, что хотя трёхмерная задача о движении хорошо изучена для полностью погруженных тел в жидкости бесконечной глубины (см. [113]), для частично погруженных тел не существует математически строгих результатов, касающихся вопроса о дополнительных условиях.

Двухслойная жидкость. В заключение этого раздела коснёмся подробнее линейных задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью. Множество работ посвящено построению и исследованию сингулярных решений задач и численному анализу гидродинамических сил (см., например, [76] и [46]). При этом вопрос о корректности постановок задач исследован явно недостаточно. Отметим упомянутую выше (в связи с применением тождества Мазьи и построением примеров неединственности) работу [114], в которой при помощи обратной схемы построены локализованные моды, а также доказаны некоторые утверждения о единственности для плоской и трёхмерной задачи о колебаниях двухслойной жидкости в присутствии тел. Для плоской задачи о движении тел в двухслойной жидкости, которая рассматривается в данной работе в § 4.3, ряд важных результатов получен в [41,163] — построена функция Грина, найдены асимптотики функции Грина и решения на бесконечности, вид решения в пустых слоях, тождество Грина, выражения для волнового сопротивления. Эти результаты используются в [160], где построены первые примеры неединственности, и в [41,44], где впервые доказана однозначная разрешимость задачи для тел произвольной формы, не пересекающих поверхность раздела сред, для всех значений параметров (скорости и отношения плотностей) кроме некоторого (возможно пустого) аналитического множества. Предложенная в [44] техника сводит вопрос о разрешимости к исследованию поведения корней дисперсионного соотношения и к хорошо изученному вопросу о разрешимости задач в однородной жидкости.

В.5. Структура и содержание работы

Работа состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Нумерация формул и утверждений —сплошная внутри каждой главы, таким образом Лемма 3.1 — первое утверждение в главе 3, а (4.2) — вторая нумерованная формула в главе 4. Ссылки на библиографические единицы представлены номерами в квадратных скобках (например, [1-3,5]), список упорядочен по возрастанию номеров, ссылки на работы автора отмечены курсивом (например, [42]). В списке литературы для каждой библиографической единицы указаны номера страниц, на которых она упоминается.

В главах 1 и 2 изучается задача о колебаниях жидкости с неограниченной свободной поверхностью в присутствии тел. При этом в гл. 1 рассматриваются цилиндрические тела и движение жидкости предполагается периодическим вдоль образующих цилиндров, а в гл. 2 мы обращаемся к общей трёхмерной задаче. Хотя задача гл. 1 возникает как частный случай задачи гл. 2, она в некотором смысле сложнее — движение жидкости описывается уравнением (В.12), а не уравнением Лапласа, и имеется ненулевая частота отсечки.

В § 1.1 доказано существование локализованных мод для частично погруженных тел для частот, расположенных как выше, так и ниже частоты отсечки. Для этого применяется дипольная модификация обратной схемы и предложен асимптотический подход, основанный на качественной теории дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от [121], существование примеров неединственности доказано для любого значения k и любого количества тел. Отметим, что локализованные моды для частично погруженных тел ниже частоты отсечки ранее не были известны.

В § 1.1 также доказан принцип монотонности собственных значений для вложенных областей с одинаковой свободной поверхностью (теорема сравнения). Этот результат позволяет существенно расширить класс контуров, для которых установлено существование локализованных мод ниже частоты отсечки. А именно, локализованные моды существуют для произвольных контуров, охватывающих полученные обратным методом и имеющих ту же свободную поверхность, —такие системы тел могут включать и произвольные полностью погруженные тела.

В § 1.2 для получения оценок возможных собственных частот под частотой отсечки предложен новый признак единственности, основанный на интегральном тождестве [90], принципах максимума и использовании сингулярных решений модифицированного уравнения Гельмгольца. Существенным также является использование теоремы сравнения, которая позволяет свести рассмотрение к простой области и применить оценки ко всем телам, находящимся внутри. Для частично погруженных тел полученные оценки можно рассматривать как обобщение теоремы единственности [141] для тел, не удовлетворяющих условию Джона.

В главе 2 рассматривается трёхмерная задача. В § 2.1 предложены две новые схемы для нахождения условий отсутствия локализованных мод колебаний и получения оценок точечных собственных значений, как погруженных в непрерывный спектр, так и отделённых от него. Оба метода пригодны для любой размерности задачи (развиты для размерностей 2 и 3), любой формы тел, жидкости конечной и бесконечной глубины. Первый подход приводит к признаку (достаточному условию) единственности, на основе которого получены простые оценки параметров, для которых возможно существование локализованных мод, для полностью погруженных тел произвольной формы (в том числе с особыми точками) .в неограниченной жидкости в плоском и трёхмерном случае. Кроме того, получены оценки для рассмотренной в предыдущей главе задачи не только ниже (как в § 1.2), но и выше частоты отсечки. Метод также эффективен для других задач с эллиптическими операторами (в п. 4.1.2 метод применяется для задачи о движении). Вторая схема позволяет получить первый для данного класса задач критерий (необходимое и достаточное условие) единственности. На основе этого критерия получен признак единственности и построен эффективный алгоритм для численной проверки свойства единственности.

В § 2.2 основное внимание уделено случаю, когда поверхность полностью погруженных препятствий имеет особые точки, в которых вектор скорости может иметь сингулярности. Найдены классы таких препятствий, которые не поддерживают локализованные моды. Доказательство основано на обобщении интегрального тождества Мазьи, которое в случае тел с особыми точками также содержит коэффициенты локальных асимптотик решения вблизи особых точек границы. Результаты позволяют использовать для конфигураций с точками возврата (плоская задача) и гладкими рёбрами (трёхмерный случай) все апробированные для препятствий без особых точек векторные поля (см. [113, §1.2]).

В отличие от предшествующих глав в главе 3 рассматривается случай, когда жидкость имеет ограниченную свободную поверхность. Изучается задача, которая описывает свободные двумерные колебания жидкости, заполняющей нижнее полупространство и накрытой твёрдой крышкой с двумя бесконечными параллельными прорезями одинаковой ширины. Для этой задачи удаётся дать полный ответ на многие важные вопросы относительно свойств собственных значений и их зависимости от геометрических параметров.

В § 3.1 получены асимптотики решений вблизи кромок, доказано отсутствие симметричных решений, стремящихся к нулю на бесконечности. Эти важные результаты справедливы и для задачи с одной прорезью (которая интенсивно изучалась) и ранее не .были известны. Задача сведена к спектральным задачам для интегральных операторов. Это, в частности, позволяет установить аналитическую зависимость собственных значений от расстояния между прорезями.

В § 3.2 доказано, что все собственные значения простые и зависят монотонно от расстояния между отверстиями. Выведены формулы, выражающие первую производную собственных чисел как функций расстояния между отверстиями, в терминах энергетических функционалов. Получены оценки собственных значений, пределы при стремлении расстояния между отверстиями к нулю и бесконечности. Некоторые важные утверждения (монотонность собственных частот как функций расстояния между прорезями) и формулы для производных собственных частот также удаётся обобщить для более сложных задач.

В главе 4 рассматриваются задачи, описывающие установившееся движение тел в безграничной жидкости со свободной поверхностью. Речь идёт о плоских задачах, описывающих движение цилиндрических тел в предположении, что образующие цилиндров ортогональны направлению потока. Изучается вопрос о корректности постановок — установлена однозначная разрешимость для ряда задач, описаны множества возможных исключительных значений, построен ряд примеров неединственности.

В § 4.1 изучается случай, когда тела движутся в слое однородной жидкости, не пересекая свободную поверхность. Показано, что схема, предложенная в § 2.1, позволяет получить оценки параметров задачи, для которых возможно нарушение единственности. При помощи схемы [4], [27] исследована задача о движении полностью погруженных тел в слое конечной глубины в т.н. докритическом режиме движения. Предложена схема вычислений, которая позволяет преодолеть существенные аналитические трудности, связанные с оценкой нормы разности интегральных операторов основной и предельной задач. Доказана однозначная разрешимость задачи для всех значений скорости, исключая некоторое, возможно пустое, множество изолированных значений, которое может сгущаться вблизи критического значения скорости.

В § 4.2 рассмотрена задача о движении тел, частично погруженных в жидкость бесконечной глубины. Для тандема, состоящего из двух тел произвольной формы, доказано существование решения постановки с предписанными амплитудами волн на бесконечности и разностями возвышений свободной поверхности в носовой и кормовой точках каждого из тел (когда эти условия однородны, постановка описывает движение тандема без сопротивления). Доказана единственность решения задачи для геометрических конфигураций симметричных относительно вертикальной оси —для них однозначная разрешимость имеет место для всех значений скорости, кроме некоторой (возможно пустой) последовательности с точкой сгущения в нуле. Установлено существование таких исключительных значений для данной постановки, а также для постановки с заданными особенностями поля скоростей в точках пересечения контуров со свободной поверхностью — для последней существование примеров неединственности доказано для любого количества тел.

В § 4.3 рассмотрена задача о движении тел в жидкости, состоящей из двух слоёв различной плотности. Корректность постановки ранее практически не исследовалась. Доказана однозначная разрешимость задачи в случае, когда тела не пересекают поверхность раздела сред. Для этого предложен эффективный способ доказательства разрешимости и единственности, основанный на продолжении оператора интегрального уравнения в нефизическую область (в которой плотность верхней жидкости отрицательна), который непосредственно сводит вопрос о разрешимости к хорошо изученному вопросу о разрешимости предельных задач в однородной жидкости. Доказано, что интегральное уравнение доставляет единственное решение краевой задачи для всех значений параметров задачи, кроме некоторого нигде не плотного множества исключительных значений, которое является аналитическим. Для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоёв различной плотности, построены примеры неединственности.

Заключение

Приведём основные результаты работы:

- Построены примеры локализованных мод для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости — впервые не только выше, но и ниже частоты отсечки, для любого, не обязательно малого, значения параметра k в модифицированном уравнении Гельмгольца и для произвольного количества частично погруженных тел. Для этого предложена новая модификация обратной схемы. Ниже частоты отсечки класс контуров, для которых доказано существование локализованных мод, существенно расширен при помощи найденного принципа монотонности собственных значений.

- Предложен новый признак единственности (отсутствия локализованных мод) для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости ниже частоты отсечки. Получены оценки параметров, для которых возможно существование собственных колебаний жидкости в присутствии частично и полностью погруженных тел со слабыми предположениями о регулярности смоченной поверхности тел.

- Предложен новый общий признак единственности для задачи об излучении и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества тел произвольной формы и любой размерности задачи. Получены оценки параметров, для которых возможно существование собственных частот колебаний жидкости для плоских и трехмерных задач об излучении и рассеянии волн, для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях.

- Впервые предложен критерий (необходимое и достаточное условие) единственности для плоской и трёхмерной задачи о колебаниях жидкости в присутствии погруженных тел. На основе этого критерия найден новый общий признак единственности и построен эффективный численный алгоритм для проверки свойства единственности.

- Найдены классы погруженных препятствий с особыми точками границы (точками возврата в плоском случае и гладкими рёбрами —в трёхмерном), не поддерживающих локализованные моды на любых частотах колебаний. Для этого получено обобщение тождества Мазьи.

- Изучена зависимость дискретного спектра от геометрических параметров на примере задачи о колебаниях жидкости в полупространстве под твёрдой крышкой с двумя прорезями. Получено исчерпывающее описание спектра, в частности, доказана простота всех собственных значений, монотонность собственных частот как функций расстояния между прорезями. Получены новые формулы для производных собственных частот как функций геометрического параметра в терминах энергетических функционалов, показано, что эти формулы применимы для более общих задач.

- Предложен новый признак единственности для задачи об установившемся движении полностью погруженных тел произвольной формы. (Ранее была известна только одна теорема единственности Ф.Эрселла о единственности для кругового цилиндра.) Для плоского случая и жидкости бесконечной глубины получены оценки параметров задачи, для которых возможно нарушение свойства единственности.

- Доказана однозначная разрешимость плоской задачи, описывающей до-критический режим движения погруженных тел в слое конечной глубины, для почти всех значений скорости. Для этого развита схема, основанная на интегральных уравнениях теории потенциала и теореме об обратимости оператор-функции, аналитически зависящей от параметра.

- Предложены дополнительные условия, замыкающие плоскую задачу о движении тандема частично погруженных тел в жидкости бесконечной глубины. Доказана однозначная разрешимость предложенной постановки для почти всех значений скорости. Построены примеры неединственности, демонстрирующие возможность существования таких исключительных значений. Кроме того, доказано существование примеров неединственности для предложенной в [27,200] постановки с заданными сингулярностями поля скоростей.

- Предложена новая схема доказательства разрешимости для задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью, основанная на аналитическом продолжении оператора интегрального уравнения в нефизическую область задания параметров. Доказана однозначная разрешимость плоской задачи о движении тел для всех значений параметров задачи кроме возможно пустого аналитического множества меньшей размерности. Построены примеры неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоёв различной плотности.

1. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. Абрамовица М., Стигаи И. М.: Наука, 1979. 830 с. {0.42,57.73,74,76,78,92,112,252}*

2. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжёлой жидкости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981. 196 с. {е.9.ш

3. Бирман М.Ш., Соломин М.З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд. ЛГУ, 1980.с. J 77,178,184}

4. Вайнберг Б. Р., Мазьи В. Г. К плоской задаче о движении погруженного в жидкость тела // Труды Моск. мат. общества. 1973. Т. 28.

5. С. 35—56. (с. 17,18,23,29,94,133,136,139,140,142,199,200,202,203,205,208,225,226,274,280,316}

6. Вайнберг Б. Р., Мазьи В. Г. К задаче об установившихся колебаниях жидкости переменной глубины // Труды Моск. мат. общества. 1973. Т. 28. С. 57-74. ic^i

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 436 с. {с. 163,190}

8. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука 1989.463 с. {с. 103-105,114,205}

9. Градштейи И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.с. 53,73,77,79,82,84,88,92,102,112,114,126-128,162,169,192-194.213,220,246,252,255,256,311,314}

10. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлии С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.448 с. {с. 162.179}

11. Исакова Е.К. Принцип предельной амплитуды для задачи Коши-Пуассона в полосе // Дифференц. уравн. 1970. Т. 6(1,4,7). С. 56-71, 721-731, 1289-1297.

12. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с. {с. 232}

13. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. M.-JI.: Физматгиз, 1962. 708 с. {«.ш»

14. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.740 с. {с. 120,175,177,186}

15. Келдыш М.В., Седов Л. И. Приложения теории функций комплексного переменного в гидродинамике и аэродинамике // Прилож. теории функц. в мех. сплошной среды / Тр. Междунар. симп. в Тбилиси. 1963. М.: Наука, 1965. С. 13-36. {c.i6>

16. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 312 с. (с. 239}

17. Копачевский Н.Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Каи. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, 1989. 416 с. {с. 22,60}

18. Костюков А. А. Теория корабельных волн и волнового сопротивления. Л.: Судпромгиз, 1959. 312 с. ^мш

19. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъёмной силе погруженных в жидкость тел // Собр. соч. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 2.

20. С. 105-182. {с. 11,17,202,230,315)

21. Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под свободной поверхностью тяжёлой несжимаемой жидкости // Собр. соч. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 2. С. 277-304. {с. щ

22. Крейн С. Г., Трофимов В. П. О голоморфных оператор-функциях нескольких комплексных переменных // Функц. анализ и его приложения. 1969. Т.З. №4. С. 85-86. {с. 265,273}

23. Крейн С. Г., Трофимов В. П. О нётеровых операторах, голоморфно зависящих от параметров // Труды Мат. факультета ВГУ, Труды семинара по функц. анализу. Сб. статей по функц. пространствам и операторным уравнениям. Воронеж, 1970. С. 63-85. {с.2б5,2?з?

24. Кузнецов Н.Г. Плоская задача об установившихся колебаниях жидкости в присутствии двух полупогруженных цилиндров // Мат. заметки. 1988. Т. 44. №3. С. 369-377. {ы9»

25. Кузнецов Н.Г. О единственности решения линейной задачи об установившихся колебаниях жидкости // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. №2. С. 264-272. <с.9,ш>

26. Кузнецов Н.Г. Волнообразование при движении цилиндра, частично погруженного в жидкость бесконечной глубины // Моделирование в механике. 1992. Т. 6(4). С. 70-84. {с.24>

27. Кузнецов Н.Г., Мазья В. Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина // Мат. сборник. 1988. Т. 135. №4. С. 440462. {с. 16,17,24,29,199,200,202,203,222,225,226,228,231,239,240,246,250,264,278,282,289}

28. Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В. О волновом сопротивлении тандема полупогруженных тел // Труды мероприятия «Вычислительные тех-нологии-94». Институт вычисл. технологий СО РАН. Новосибирск, 1995. Т. 4. № 11. 154-163. {с. 227,230}

29. Кузнецов Н.Г., Мотыгин О. В. Задача Стеклова в полуплоскости: зависимость собственных значений от кусочно-постоянного коэффициента // Записки семинаров ПОМИ: Вопросы распространения волн. 2003. Т. 297. С. 162-190. {с. 23,151}

30. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.-JI.: Гостехиздат, 1933. 525 с. {с. 64}

31. Ламб Г. Гидродинамика. M.-JI.: ОГИЗ, Гослитиздат, 1947. 928 с.с. 6,7,22,62}

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с. к.зи

33. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 1981, 600 с. {с. 6}

34. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. «71.: Гидрометеоиздат, 1974. 368 с.

35. Луковский И. А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближённые методы решения задач динамики ограниченного объёма жидкости. Киев: Наукова думка, 1984. 228 с. к.22\

36. Мазья В. Г. К стационарной задаче о малых колебаниях жидкости в присутствии погруженного тела // Тр. семинара С.Л.Соболева. 1977. №2. С. 57-79. к 16,18,94,133}

37. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 27. С. 132-228.с. 38,100,212,220,221,233,272,280}

38. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с. {0.155}

39. Моисеев Н.Н. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн // Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. С. 55-78. {С.Ш

40. Мотыгии О. В. Волнообразование и волновое сопротивление при движении плоских тел в однородной и двуслойной жидкости. Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05, СПбГУ, СПб, 1996. 114 с.с. 24,25,225,227,267,269,271,274,283}

41. Мотыгин О. В. Примеры неединственности для линейной задачи потенциального обтекания полупогруженных тел // Прикл. матем. и механика. 1997. Т. 61(6). С.983-990. 10,20,227}

42. Мотыгии О. В. Локализованные моды колебаний жидкости при косом набегании волн на частично погруженные тела // Прикл. матем. и механика. 1999. Т.63(2). С.267-275. {0.21,371

43. Мотыгии О. В. Разрешимость граничных интегральных уравнений для задачи о движении тела в двухслойной жидкости // Журнал вычисл. математики и математ. физики. 2003. Т.43(2). С. 279-286. {0.17,25,257}

44. Мотыгии О. В. Об оценках частот локализованных мод колебаний жидкости в присутствии погруженных тел // Прикл. матем. и механика 2005. Т. 69(5). С. 818-828. {,99}

45. Мотыгии О. В., Стурова И. В. Волновые движения в двухслойной жидкости, вызванные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего границу раздела // Механика жидкости и газа. 2002. Т. 4. С. 105-119.с. 25,111,267,312}

46. Надирашвили Н.С. К вопросу единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка // Мат. сб. 1983. Т. 122. №3. С.341-358. fei«i

47. Налимов В. И. Задача Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды. 1974. Вып. 18. С. 104-210.

48. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с. <с.бо;

49. Овсянников Л. В., Макаренко Н.И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 320 с. (е.?)

50. Полна Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Государственное изд. физ.-мат. литературы. 1962. 336 с. {с. 150}

51. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с. {С.ш\

52. Пяткина Е.В. Пространственная задача о неустановившихся поверхностных волнах при наличии погруженной сферы. Дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05, ИГиЛ СО РАН, 2003. 131 с. («.«

53. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир. Т. 1, 1977, 357 е.; Т.2, 1978, 395 е.; Т.З, 1982, 443 е.; Т.4, 1982,428 с. {с. не}

54. Розенблюм Г. В., Шубин М.А., Соломяк М.З. Спектральная теория дифференциальных операторов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1989. Т. 64. С. 1-248. <с.ш>

55. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с. (с. 6,9,11,16}

56. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностр. литературы. 1959. 620 с. {с. 6.9,10,16}

57. Тараканов В. И. Оценки снизу собственных частот колебаний жидкости со свободной поверхностью в каналах произвольного сечения // Прикл. машем, и мех. 1990. Т. 54(1). С. 165-170. к221

58. Трофимов В. П. О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра // Машем, исслед. 1968. Т.3(9). С. 117125. {с. 17,221,231,2381

59. Унзем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с. <с.б>

60. Хаскинд М.Д. О волновых движениях тяжёлой жидкости // Прикл. мат. и мех. 1954. Т. 18(1). С. 15-26. (с.гоз.зы

61. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М.: Наука, 1973. 327 с. {с. 7,и,1б}

62. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, 1985. 272 с. к.42,273}

63. Юдович В. И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. №1. С. 61-102. <с.б}

64. Anastassiou, G.A. Multivariate Ostrowski type inequalities 11 Acta Math. Hungar. 1997. V.76. P. 267-278. (,.2.>

65. Angell T.S., Hsiao G.C., Kleinmann R.E. An integral equation for the floating-body problem 11 J. Fluid Mech. 1986. V. 166. P. 161-171. (,.6>

66. Ashbaugh M.S. Open problems on eigenvalues of the Laplacian 11 Analytic and Geometric Inequalities and Their Applications / Eds. T.M. Rasias & H.M. Srivastava. Kluwer, 1999. V.4787. ы*»

67. Baadle C. Isoperimetric Inequalities and Applications. Monographs and Studies in Mathematics, 7. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston et al, 1980. x+228 pp. {c. 150,153}

68. Barber N.F., Ursell F. The generation and propagation of ocean waves and swell. I, Wave periods and velocities // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. A. 1948. V.240. P.527-560.

69. Beale J. T. Eigenfunction expansions for objects floating in an open sea // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V.30. P. 283-313. <,ш

70. Beale J. Т., Нои Т. У., Lowengrub J.S. Growth rates for the linearized motion of fluid interfaces away from equilibrium 11 Comm. Pure Appl. Math. 1993. V.46. P. 1269-1301. (,>o}

71. Bessbo M. Some notes on the theory of the wave-resistance in two-dimension // Memoirs of the Defence Academy, Japan. 1967. V. VI. No. 4. P. 443-456. {c. 111,312}

72. Bessho M. On the theory of wave-free ship forms // Memoirs of the Defence Academy, Japan. 1967. V. VII. No. 1. P. 263-277. ы.иш

73. Bessho M. On a consistent linearized theory of the wave-making resistance of ships // /. Ship Res. 1994. V.38. P. 83-96. ^

74. Bochner S. Lectures on Fourier Integrals. Princeton Univ. Press, 1959. 333 pp. {c. 51}

75. Cadby J.R., Linton C.M. Three-dimensional water-wave scattering in two-layer fluids // J. Fluid Mech. 2000. V.423. P. 155-173. {,2ь.т

76. Carleman T. Uber das Neumann-Poincartsche Problem ftir ein Gebietоmit Ecken. Uppsala: Almqvist & Wiksell, 1916. 195 S. fc. 233,237}

77. Davis A.M.J. Waves in the presence of an infinite dock with gap // /. Inst. Maths Applies 1970. V.6. P. 141-156. {c. 23,149,152,165,166,184,185, 191,193}

78. Debnath L. Nonlinear Water Waves. London: Acad. Press, 1994. 544 pp.c. 9}

79. Ding Z. A proof of the trace theorem of Sobolev spaces on Lipschitz domains // Proc. of the American Math. Soc. 1996. V. 124(2). P. 591-600.c. 60}

80. Eatock Taylor R., Ни C.S. Multipole expansions for wave diffraction and radiation in deep water // Ocean Engineering. 1991. V. 18(3). P. 191224. (c. 111,312}

81. Eggers K. Discussion to Bessho (1976) // Int. Seminar on Wave Resistance. Tokyo, 1976. P. 401-404. ^

82. Ehrenmark U. T. Wave trapping above a plane beach by partially or totally submerged obstacles // /. Fluid Mech. 2003. V. 486. P. 261-285. {,22}

83. Evans D. V., Kuznetsov N. Trapped modes // Gravity Waves in Water of Finite Depth. Southampton: Сотр. Mech. Publ., 1997. V.10. P. 127-168.c. 19,22, 133,136}

84. Evans D. V., Shipway B.J. A note on the uniqueness of certain water-wave problems involving two vertical cylindrical shells 11 Quart. J. Mech. Appl. Math. 2003. V.56(3). P. 347-359. <с.ш}

85. Fox D.W., Kuttler J.R. Sloshing frequencies // Z. angew. Math. Phys. 1983. V. 34. P. 668-696. {c. 22,23,149}

86. Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.24. P. 352362. {c. 140,143}

87. Giraud G. Generalisation des problemes sur les operations du type ellip-tique Ц Bull Sc. Math. 1932. V.56. P.248-272, 281-312, 316-352. {c.io4t

88. Giraud G. Problemes de valeurs a la frontiere relatifs a certaines donnees discontinues // Bull. Sc. Math, de France 1933. V.61. P. 1-54. {C. 104}

89. Grimshaw R. Edge waves: a long-wave theory for oceans of finite depth // J. Fluid Mech. 1974. V. 62(4). P. 775-791. {,27,33,66}

90. Groves M.D. Steady Water Waves // J. Nonlinear Math. Physics. 2004. V. 11(4). P. 435-460. {,9}

91. John F. On the motion of floating bodies, I // Comm. Pure Appl. Math. 1949. V.2(l). P. 13-57. ыо)

92. John F. On the motion of floating bodies, II11 Comm. Pure Appl. Math. 1950. V.3(l). P.45-101. {c. 16,18,94}

93. Johnson R.S. A modern introduction to the mathematical theory of water waves. Cambridge University Press, 1997. 445 pp. ic.7,9}

94. Jones D.S. The eigenvalues of V2u+Au = 0 when the boundary conditions are given on semi-infinite domains // Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V.49.

95. No.4. P. 668-684. {c. 22,35,66}

96. Hardy G.H Notes on some points in the integral calculus. XXXV: On an integral equation // Messenger of Math. 1913. V.42. P. 89-93. {с.ш}

97. Hardy G.H Collected Papers. V.7. Oxford: Clarendon Press, 1979.c. 162}

98. Havelock Т.Н. The collected papers of Sir Thomas Havelock on hydrodynamics. Office of Naval Research, Dept. of the Navy, ONR/ACR-ЮЗ. Washington, D.C.: U.S. Govern. Print. Office. 1963. 627 pp. <0.7}

99. Henrici P., Troesch B.A., Wuytack L. Sloshing frequencies for a half-space with circular or strip-like aperture // Z. angew. Math. Phys. 1970. V. 21. P. 285-318. k .23,149,152}

100. Hille E. Lectures on ordinary differential equations. Reading: Addison-Wesley, 1969. 723 pp. {с.«>

101. Hulme A. Some applications of Maz'ja's uniqueness theorem to a class of linear water wave problems // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1984. V. 95. P. 51 1-519. <c. 18,19,133}

102. Kirchgassner K. Nonlinearly resonant surface waves and homoclinic bifurcation // Adv. Appl. Mech. 1988. V.26. P. 135-181. ы»

103. Komech A.I., Merzon A.E., Zhevandrov P.N. On the completeness of Ursell's trapping modes 11 Russian J. Math. Phys. 1997. V.4. P. 457-486.c. 18}

104. Kozlov V., Kuznetsov N. On two-dimensional water waves in a canal // C. R. Mecanique, 2003. V.331. P. 489-494. <,23,.50}

105. Kozlov V., Kuznetsov N., Motygin O. On the two-dimensional sloshing problem // Proc. Roy. Soc. London A. 2004. V.460. No. 2049. P. 25872603. tc. 22,23,150}

106. Kuttler J.R., Sigillito V.G. Lower bounds for sloshing frequencies // Quaterly J. Appl. Math. 1969. V.27(3). P. 405-408. {c.22}

107. Kuznetsov N. On uniqueness and solvability in the linearized two-dimensional problem of a supercritical stream about a surface-piercing body // Proc. Roy. Soc. London A. 1995. V.450. P. 233-253. (0.17,24,2.,3.6}

108. Kuznetsov N.G. Uniqueness in the water-wave problem for a vertical shell // Proc. 5th Int. Conf. on Math, and Num. Aspects of Wave Propagation. Santiago de Compostela, Spain. 2000. P. 504-508. {c. 18,133}

109. Kuznetsov N.G. Uniqueness in the problem of an obstacle in oblique waves // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II. 2003. V.331. P. 183-188. 1,20»

110. Kuznetsov N.G. Uniqueness in the water-wave problem for bodies intersecting the free surface at arbitrary angles 11 C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II. 2004. V. 332. P. 73-78. (, m

111. Kuznetsov N. G., Maz'ya V. G. Water-wave problem for a vertical shell 11 Math. Bohemica. 2001. V. 126. P. 411 -420. <c. 18,96,133}

112. Kuznetsov N.G., Maz'ya V.G. On a well-posed formulation of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing body 11 Prob-lemi Attuali dell'Analisi e delta Fisica Matematica. Roma: Aracne. 2000. P. 77-109. {0. 23,24,225}

113. Kuznetsov N.G., Maz'ya V.G., Vainberg B.R. Linear Water Waves: A Mathematical Approach. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.513pp. {c. 7,13,14,16-19,21-24,28,33,38,49,50,94,96,101,103,113,1.8,121,134,136,145,147,148,197,202,205,209,233,277}

114. Kuznetsov N., Mclver M., Mclver P. Wave interaction with two-dimensional bodies floating in a two-layer fluid: uniqueness and trapped modes // J. Fluid Mech. 2003. V.490. P. 321-331. {c. 19,21,25,133}

115. Kuznetsov N., Mclver P. On uniqueness and trapped modes in the water-wave problem for a surface-piercing axisymmetric structure // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1997. V.50, Pt4. P. 565-580. i,.^

116. Kuznetsov N.G., Motygin O.V. The 2d Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem // Proc. 10th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Oxford, England, 1995. P. 181-186. <0.22?}

117. Kuznetsov N., Motygin O. On the waveless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing body // IMA

118. J. Appl. Math. 1997. V.59. P. 25-42. ic. 7,17,24,35,225,227,2311

119. Kuznetsov N., Motygin O. On the resistanceless statement of the two-dimensional Neumann-Kelvin problem for a surface-piercing tandem // IMA J. Appl. Math. 1999. V.62. P.81-99. {c. 7,17,21,23,24,199,225,227,278}

120. Kuznetsov N., Motygin O. The antisymmetric sloshing modes in the presence of a dock with two gaps // Proc. XXVIIIth Summer School "Actual Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2000. V. 2. P. 160-171. <c23,154

121. Kuznetsov N., Motygin O. Sloshing problem in a half-plane covered by a dock with two gaps: monotonicity and asymptotics of eigenvalues // C. R. Acad. Sci. Paris, 5ёг. II. 2001. V.329(11). P. 791-796. 23.13»

122. Kuznetsov N., Porter R., Evans D.V., Simon M.J. Uniqueness and trapped modes for surface-piercing cylinders in oblique waves // J. Fluid Mech. 1998. V.365. P. 351-368. {с. 18,21,26,32,34,35,39,41,49,50,57}

123. Kuznetsov N.G., Simon M.J. A note on uniqueness in the linearized water-wave problem // J. Fluid Mech. 1999. V.386. P. 5-14. u. 18,107,123}

124. Kyozuka Y„ Yoshida K. On wave-free floating-body forms in heaving oscillation. Appl. Ocean Research. 1981. V.3. P. 183-194. кпиш

125. Lahalle D. Calcul des efforts sur un profil portant d'hydroptere par cou-plage elements finis — representation integrale // Rapport de Recherche. №187. Paris: ENSTA, 1984. {c. 200,203,276}

126. Lenoir М. Methodes de couplage en hydrodynamique navale et application a la resistance de vagues bidimensionnelle // Rapport de Recherche. №164. Paris: ENSTA, 1982. (c.24>

127. Lewin L. Polylogarithms and Associated Functions. North Holland, Amsterdam, 1981. 359 pp. {c. 164»

128. Linton C.M., Evans D.V. Trapped modes above a submerged horizontal plate // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1991. V.44(3). P. 487-506. (с.ш.мз!

129. Linton C.M., Kuznetsov N.G. Non-uniqueness in two-dimensional water wave problems: numerical evidence and geometrical restrictions 11 Proc. Roy. Soc. Lond. A 1997. V.453. P. 2437-2460. (ым»

130. Linton С. M., Mclver P. Handbook of mathematical techniques for wave/structure interactions. London, New York: Chapman & Hall/CRC. 2001. 304 pp. {c. 7,16,136)

131. Marschall J. The trace of Sobolev-Slobodeckij spaces on Lipschitz domains // Manuscripta Math. 1987. V.58. P.47-65. {c.6o>

132. Martin P. A. Integral-equation methods for multiple-scattering problems. II. Water waves // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1985. V.38. P. 119133. {c. 16}

133. Maz'ya, V.G., Vainberg, B. R. On ship waves 11 Wave Motion. 1993. V. 18. P. 31-50. {,.7}

134. Mclver M. An example of non-uniqueness in the two-dimensional linear water wave problem //J. Fluid Mech. 1996. V.315. P. 257-266.c. 7,20,34,35,50-52,253}

135. Mclver M. Resonance in the unbounded water wave problem 11 Proc. 12th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Carry-le-Rouet, France, 1997. P. 177-181. {,22}

136. Mclver M. Uniqueness and trapped modes for a symmetric structure 11 Proc. 14th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Michigan, USA, 1999. P.95-98. (c.i9}

137. Mclver М. Uniqueness below cut-off frequency for the two-dimensional linear water-wave problem // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1999. V.455. P. 1435-1441. {c. 2o!

138. Mclver M. Trapped modes supported by submerged obstacles // Proc. Roy. Soc. London A. 2000. V.456. P. 1851-1860. {t21,95!

139. Mclver M. The influence of a trapped mode on a radiation potential // Proc. 18th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Le Croisic, France, 2003. 4 pp. {C.2i!

140. Mclver M., Linton C.M. On the non-existence of trapped modes in acoustic waveguides 11 Quart. J. Mech. Appl. Math. 1995. V. 48(4). P. 543555. (c. 69}

141. Mclver M., Porter R. Trapping of waves by a submerged elliptical torus // J. Fluid Mech. 2002. V. 456. P. 277-293. ic.21.951

142. Mclver P. Trapping of surface water waves by fixed bodies in a channel // Quart. J. Mech. appl. Math. 1991. V.44(2). P. 193-208. {c. 18,27,32,33,36,64,66,90,92!

143. Mclver P. How special are trapping structures? // Proc. 18th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Le Croisic, France, 2003. 4 pp.c. 22)

144. Mclver P., Evans D. V. The trapping of surface waves above a submerged, horizontal cylinder // /. Fluid Mech. 1985. V.151. P. 243-255.c. 67,89,91,93)

145. Mclver P., Mclver M. Trapped modes in an axisymmetric water-wave problem // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1997. V.50. P. 165-178. <,2,)

146. Mcher P., Mclver M. Are there trapped modes in the water-wave problem for a freely-floating structure? // Proc. 20th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Longyearbyen, Spitsbergen, Norway, 2005. 4 pp. {c. 22!

147. Mcher P., Mclver M., Zhang J. Excitation of trapped water waves by the forced motion of structures 11 J. Fluid Mech. 2003. V.494. P. 141162. {c. 22}

148. Mclver P., Newman J.N. Non-axisymmetric trapping structures in the three-dimensional water-wave problem // Proc. 16th Int. Workshop Water Waves and Floating Bodies. Univ. of Hiroshima, 2001. P. 113-116. {,21}

149. Mei C.C. The Applied Dynamics of Ocean Surface Waves. New York: Wiley, 1983. 760 pp. {e.7j

150. Miles J. W. On the eigenvalue problem for fluid sloshing in a half-space 11 Z. angew. Math. Phys. 1972. V.23. P. 861-868. {, 23,149,161,169 171.193}

151. Mitrinovic, D.S., Pecaric, J.E., Fink, A.M. Inequalities for Functions and Their Integrals and Derivatives. Dordrecht: Kluwer Academic, 1991.c. 121}

152. Moiseev N.N. Introduction to the theory of oscillations of liquid-containing bodies // Adv. Appl. Mech. 1964. V.8. P. 233-289. ic.221

153. Moiseev N.N., Petrov A. A. The calculation of free oscillations of a liquid in a motionless container // Adv. Appl. Mech. 1968. V. 9. P. 91-154. {c.22}

154. Motygin O.V. Trapped modes in the linearized problem of a potential flow about semisubmerged bodies // Proc. Conf. "Day on Diffraction'97". POMI, St. Petersburg, 1997. P. 149-156. {,20,227}

155. Motygin O.V. Uniqueness and solvability in the linearized two-dimensional problem of a body in a finite depth subcritical stream // Euro. J. Appl. Math. 1999. V. 10(2). P. 141-156. <, 17,199,203,276,278}

156. Motygin О. V. Frequency bounds for modes trapped near a channel-spanning cylinder // Proc. 5th Int. Conf. on Math, and Num. Aspects of Wave Propagation. Santiago de Compostela, Spain, 2000. P. 428-432. {,68}

157. Motygin O.V. On frequency bounds for modes trapped near a channel-spanning cylinder 11 Proc. Roy. Soc. London A. 2000. V. 456(2004). P. 2911-2930. {,.9,68}

158. Motygin O.V. On the non-existence of surface waves trapped by submerged obstructions having exterior cusp points 11 Quart. J. Mech. Appl. Math. 2002. V.55(l). P. 127-140. Ы9,ш>

159. Motygin O.V. Trapped modes for surface-piercing cylinders below and above the cut-off frequency // Proc. 20th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Longyearbyen, Spitsbergen, Norway, 2005. 4 pp. {,21,22,37}

160. Motygin O.V. A new approach to uniqueness for linear problems of wave-body interaction // Proc. 21th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Loughborough, UK, 2006, pp. 129-132. <,19,99}

161. Motygin O.V., Klimenko A.V. On the non-uniqueness in the 2d linear problem of a two-layer flow about interface-piercing bodies // Proc. Conf. "Day on Diffraction'99". POMI: St. Petersburg, 1999. P. 137-145.c. 21,25,227,267,281}

162. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. On the wave resistance of a 2d body in a two-layer fluid // Proc. 11th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Hamburg, Germany, 1996. 4 pp. {,267}

163. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. On the non-uniqueness in the 2d Neumann-Kelvin problem for a tandem of surface-piercing bodies // Proc. 12th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Marseille, France, 1997. P. 189-193. {, 7,21,227}

164. Motygin O., Kuznetsov N. The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid // J. Eng. Math. 1997. V.32.

165. P. 53-72. {c. 25,267-269,271,283}

166. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. Non-uniqueness in the water-wave problem: an example violating the inside John condition 11 Proc. 13th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Alphen aan den Rijn, The Netherlands, 1998. P. 107-110. {,7,21.37}

167. Motygin О. V., Kuznetsov N.G. Sloshing problem in a half-plane covered by a dock with two equal gaps 11 Proc. 17th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Cambridge, UK, 2002. P. 135-138. {с.2з,ш)

168. Motygin O.V., Kuznetsov N.G. Eigenvalues of the Steklov problem in an infinite cylinder // Proc. 6th Int. Conf. on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, Waves'2003. University of Jyvaskyla, Finland, 2003. P. 463-469 ьюи

169. Motygin O.V., Mclver P. A uniqueness criterion for linear problems of wave-body interaction // Proc. Conf. "Day on Diffraction'2000". POMI, St. Petersburg, 2000. P. 108-117. (c.99>

170. Motygin O.V., Mclver P. A uniqueness criterion for linear problems of wave-body interaction 11 IMA J. Appl. Math. 2003. V.68(3). P. 229-250.c. 19,99,122}

171. Newman J.N. The theory of ship motions 11 Adv. Appl. Mech. 1978. V. 18. P. 221-283. {c. 7,16}

172. Newman J.N. Radiation and diffraction analysis of the Mclver toroid // J. Eng. Math. 1999. V.35. P. 135-147. <«.20

173. Oddson J.K. On the boundary point principle for elliptic equations in the plane // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. V. 74. P. 666-670. ьш

174. Olver P.J. Conversation laws of free boundary problems and the classification of conservation laws for water waves // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. P. 353-380. <c.9>

175. Pagani C.D., Pierotti D. On solvability of the non-linear wave resistance problem for a surface-piercing symmetric cylinder // SIAM J. Math. Anal. 2000. V.32. P. 214-233. <c.9!

176. Pagani C.D., Pierotti D. The forward motion of an unsymmetric surface-piercing cylinder: the solvability of a nonlinear problem in the supercritical case // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2001. V.54(l). P.85-106. <c.9!

177. Parsons N.F., Martin P. A. Trapping of water waves by submerged plates using hypersingular integral equations // /. Fluid Mech. 1995. V.284. P. 359-375. {с. из}

178. Payne L.E. Isoperimetric inequalities and their applications // SIAM Review. 1967. V. 9. P. 453-488. 150J

179. Plotnikov P.I., Toland J.F. Nash-Moser theory for standing water waves // Arch. Rational Mech. Anal. 2001. V. 159. P. 1-83. {,9)

180. Porter R. Trapping of water waves by pairs of submerged cylinders // Proc. Roy. Soc. London A. 2002. V.458. P. 607-624. ыт^мя

181. Porter R., Evans D.V. The trapping of surface waves by multiple submerged horizontal cylinders ///. Eng. Math. 1998. V.34. P. 417-433.c. 90,93,115}

182. Protter M.H., Weinberger H.F. Maximum principles in differential equations. Second edition, New York: Springer, 1984. 261 pp. k.sn

183. Quenez J.-M. Etude des resonances pour le problemes de tenue a la mer et de resistance de vagues // Rapport de Recherche. №285. Paris: ENSTA, 1995. {c. 24}

184. Retzler C.H. Trapped modes: an experimental investigation // Appl. Ocean Res. 2001. V. 23. P. 249-250. {, ш

185. Simon M.J. On a bound for the frequency of surface waves trapped near a cylinder spanning a channel // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1992.

186. V. 4. No. 2. P. 71-78. ic. 18,32,33,66,67,89,90,99,117}

187. S/raon M.J., Ursell F. Uniqueness in linearized two-dimensional water-wave problems // /. Fluid Mech. 1984. V. 148. P. 137-154. w. is,67,98,107,109}

188. Shen M.C. Ray method for surface waves in fluid of variable depth // SIAM Rev. 1975. V.17. P. 38-55. {,.8}

189. Stekloff W. Sur les problemes fondamentaux de la physique mathema-tique // Ann. Sci. Ecole Normale Sup. 1902. T. 19. P. 455-490. {с.ш}

190. Stokes G.G. Report on recent researches in hydrodynamics // Report to 16th Meeting Brit. Assoc. Adv. Science, Southampton. London: Murrey, 1846. P. 1-20. {,22}

191. Sturova /.V., Motygin O.V. Radiation problem for an interface-piercing cylinder in a two-layer fluid // Proc. 17th Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Cambridge, UK, 2002. P. 167-170. {c.267}

192. Suzuki K. Numerical studies of the Neumann-Kelvin problem for a two-dimensional semisubmerged body // Proc. 3d Int. Conf. on Num. Ship Hydrodynamics. Paris: Bassin d'Essais des Carenes, 1982. P. 83-95.c. 14,24}

193. Toland J.F. On a pseudo-differential equation for Stokes waves 11 Arch. Rational. Mech. Anal. 2002. V. 162. P. 179-189. {,9}

194. Tricomi F.G. Integral Equations. New York: Interscience Publishers. Pure and Appl. Math. V.5, 1957. 238 pp. <ы«}

195. Troesch B.A. Proof of a conjecture on sloshing frequencies // Z. angew. Math. Phys. 1974. V.25. P. 655-657. {c. ямым

196. Troesch B.A., Troesch H.R. A remark on the sloshing frequencies for a half-space // Z. angew. Math. Phys. 1972. V.23. P. 703-711. k.iiw.misiwi

197. Ursell F. Surface waves on deep water in the presence of a submerged circular cylinder, I, II 11 Proc. Camb. Phil. Soc. 1950. V.46. P. 141-152, 153-158. {,ш}

198. Ursell F. Trapping modes in the theory of surface waves 11 Proc. Camb. Phil. Soc. 1951. V.47. No.2. P.347-358. {c. 22,35,66,81,90,92,114}

199. Ursell F. Edge waves on a sloping beach // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1952. V.214. P.79-97. {,22}

200. Ursell F. The expansion of water-wave potentials at great distances 11 Proc. Camb. Phil. Soc. 1968. V.64. No.3. P. 811-826. <c.38,40,42,59,70,130}

201. Ursell F. On head seas travelling along a horizontal cylinder // J. of Inst, for Mathematics and its Applications. 1968. V. 4. No. 4. P. 414-427. {c.37}

202. Ursell F. Irregular frequencies and the motion of floating bodies 11 J. Fluid Mech. 1981. V. 105. P. 143-156.

203. Ursell F. Mathematical note on the two-dimensional Kelvin-Neumann problem // Proc. 13th Symp. Naval Hydrodynamics (Tokyo, 1980). Ship-build. Res. Assoc. Japan, 1981. P. 245-251. {c.u,24,226,246,264,282.289,315!

204. Ursell F. Mathematical aspects of trapping modes in the theory of surfacewaves ///. Fluid Mech. 1987. V.183. P. 421-437. {c. 32,33,35,58,59,62-64,67)

205. Ursell F. Some unsolved and unfinished problems in the theory of waves // Wave Asymptotics / Eds. P.A.Martin, G.R.Wickham. Cambridge University Press, 1992. P. 220-244. {e.7>

206. Ursell F. Ship Hydrodynamics, Water Waves and Asymptotics: Collected Papers of F. Ursell, 1946-1992 (Advanced Series on Fluid Mechanics). 2 volumes. Singapore: World Scientific, 1994. 976 pp.

207. Ursell F., Dean R.G., Yue Y.S. Forced small-amplitude water waves: a comparison of theory and experiment 11 J. Fluid Mech. 1959. Vol.7. No. 1. P. 33-52. {c. in

208. Vullierme-Ledard M. The limiting amplitude principle applied to the motion of floating bodies // Math. Model. Numer. Anal. 1987. V.21. P. 125170. {c. 16}

209. Week N. On a boundary value problem in the theory of linear water-waves // Math. Meth. Appl. Sci. 1990. V. 12. P. 393-404. {,19,133}

210. Wehausen J. V. The motion of floating bodies 11 Annual Rev. Fluid Mech. 1971. V.3. P. 237-268. {,.6}

211. Wehausen J.V. The wave resistance of ships 11 Adv. Appl. Mech. 1973. V.13. P. 93-245. tc. i6>

212. Wehausen J. V., Laitone E. V. Surface waves // Handbuch der Physik. V.9. Pt.3. Berlin: Springer, 1960. P.446-778. (.6,16,102,1.2,315}

213. Werner P. A Green's function approach to the potential flow around obstacles in a two-dimensional channel // Methoden und Verfahren der math, physik. 1991. Bd.37, Frankfurt am Main et al.: P.Lang. tc.210}

214. Whitham G.B. Lectures on Wave Propagation. New York: Springer-Ver-lag, 1979. 148 pp. {,6}

215. Wienert L. An existence proof for a boundary-value problem with non-smooth boundary from the theory of water waves // IMA J. Appl. Math. 1988. 40. P. 95-112. ыа»

216. Wigley N.M. Mixed boundary value problems in plane domains with corners // Mathematische Zeitschrift. 1970. V. 115(1). P. 33-52.c. 65,69,105,106,135,137,141,144,155,1581

217. Yue Y.S., Ursell F. Surface waves generated by an oscillating circular cylinder on water of finite depth: theory and experiment // J. Fluid Mech. 1961. V. 11(4). P.529-551. <,m