Лоренц-ковариантная петлевая квантовая гравитация тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение .з

1 Обзор петлевой гравитации.

1.1 Канонический формализм — гравитация Аштекара-Барберо.

1.2 Гильбертово пространство.

1.3 Физические результаты.

1.4 "Spin foam" модели

2 Лоренц-ковариантная каноническая формулировка гравитации

2.1 Обобщённое действие Гильберта-Палатини.

2.2 Канонический анализ ковариантной формулировки.

3 Квантование методом функциональных интегралов.

3.1 BRST квантование ковариантной формулировки

3.2 Функциональный интеграл и параметр Иммирци.

4 Ковариантная петлевая гравитация и оператор площади.

4.1 Оператор площади в квантовой гравитации.

4.2 Лоренцева связность в ковариантном формализме.

4.3 Спектр оператора площади.

4.4 Трансформационные свойства при временных диффеоморфизмах.

4.5 Воспроизведение результатов SU(2) подхода.

5 Структура гильбетова пространства

5.1 Спроецированные Вильсоновские линии.

5.2 "Spin networks".

5.3 Гильбертово пространство.

5.3.1 Пространство состояний.

5.3.2 Скалярное произведение

5.3.3 Калибровочно инвариантное подпространство.

5.3.4 Связь с SU(2) пространством состояний.

5.4 Обсуждение построенной модели.

Актуальность темы исследования.

Одной из основных проблем, стоящих перед современной теоретической физикой, является задача построения теории квантовой гравитации. Помимо чисто теоретического интереса решение этой проблемы может быть связано со множеством актуальных вопросов, на которые наука пока не способна дать ответ. Так понимание физики на планковских масштабах, где квантовые эффекты гравитации играют ведущую роль, обещает пролить свет на природу ультрафиолетовых расходимостей квантовой теории поля. Великое объединение взаимодействий может быть возможно только при учёте гравитации, а в теории суперструн она появляется с необходимостью, и потому с необходимостью должна квантоваться. Наконец возможно, что наша Вселенная была рождена из эпохи квантовой гравитации, и поэтому для понимания явлений, происходивших в то время, и дальнейших процессов, приведших мир к современному состоянию, необходима её последовательная теория.

Существует несколько подходов к квантованию гравитации. Особое место здесь занимают теория суперструн и различные суперсимметричные теории. В них обеспечивается возможность объединения гравитации с полями материи, но рассмотрение сопровождается рядом принципиальных проблем, главная из которых — зависимость теории от фоновой'метрики. Фоновая независимость — ключевое свойство, которое требуется от всякой фундаментальной теории, включающей гравитацию. В качестве альтернативы теории суперструн (или скорее как её дополнение) выступают методы, основанные на каноническом квантовании. Именно здесь проявляются такие характерные черты гравитации как диф-феоморфная инвариантность, проблема выбора времени, нелинейность и т.д.

Наиболее значительные успехи в этом направлении были достигнуты в рамках, так называемой, петлевой квантовой гравитации [6, 7, 8]. Используя этот подход, удалось построить гильбертово пространство теории, т.е. развить её на кинематическом уровне, а также получить некоторые физические результаты. Наиболее существенные из них касаются описания геометрических операторов и чёрных дыр. Более конкретно, были рассчитаны спектры операторов площади и объёма [9]-[16], которые оказались дискретными! А также была воспроизведена формула Бекенштейна-Хокинга для энтропии чёрной дыры [17, 18].

Основным математическим ингредиентом петлевого подхода является формулировка гравитации в терминах новых переменных — триады и 5м(2)-связности Аштекара-Барберо [19]-[22]. Последняя является вещественным аналогом хорошо известной самодуальной связности, введение которой Аштекаром вызвало целый бум исследований в области канонического квантования гравитации, так как в терминах этой связности связи теории приобретают очень простой вид, становясь полиномиальными [23, 24]. На самом деле есть целое семейство связностей Аштекара-Барберо, параметризуемое параметром /3, который называется параметром Иммирци [25]. Все эти связности на классическом уровне связаны между собой каноническими преобразованиями, поэтому физические результаты, полученные в рамках этого формализма, не должны зависеть от этого параметра. Но оказывается, что упоминавшиеся выше спектры геометрических операторов, также как и энтропия чёрной дыры прямо пропорционально зависят от параметра (3 [25]. В результате встаёт вопрос о происхождении этой зависимости, о правомочности полученных результатов и о справедливости всего подхода. Эта проблема носит название проблемы параметра Иммирци. Было предложено несколько возможных объяснений возникающей зависимости [26], главное из которых состоит в том, что параметр /3 описывает физически неэквивалентные квантования и является новой фундаментальной физической постоянной. Однако реального понимания ситуации до сих пор не было.

Ещё одним слабым местом петлевой гравитации является использование частичной фиксации калибровки до квантования. Тогда как исходная калибровочная группа гравитации, действующая в касательном пространстве, в используемом формализме первого порядка — группа Лоренца, в стандартном петлевом подходе она редуцируется до SU(2). Это позволяет использовать компактность оставшейся группы и существенным образом упрощает каноническую структуру теории. Однако правомочность этой процедуры далеко не очевидна.

Содержание работы.

В настоящей работе предлагается новый подход к этим двум проблемам. Он основывается на идее, что проблема параметра Иммирци возникает из-за квантовой аномалии, которая является следствием потери лоренц-инвариантности. Таким образом, можно попытаться разрешить одновременно обе проблемы, если построить обобщение стандартного петлевого формализма, сохраняющее полную калибровочную симметрию классической теории. Как показано в данной диссертационной работе, такое обобщение действительно существует и полученные в нём результаты не зависят от параметра Иммирци. В результате этот параметр остаётся такой же нефизической константой, какой он был в классической теории, а его появление в спектрах физических операторов — не более чем артефакт некорректного квантования.

Работа начинается с обзора петлевой гравитации, который даётся в главе 1. Туда также включены элементарные сведения о так называемых моделях spin foam, которые с одной стороны возникают как пространственно-временная картина результатов петлевого квантования, а с другой — как независимый подход к квантованию гравитации.

В следующей главе построен формализм, который с одной стороны близок к формализму Аштекара-Барберо, а с другой обладает полной лоренц-инвариантностыо. В качестве исходного пункта было взято так называемое обобщенное действие Гильберта-Палатини. Как было показано раньше [27], после частичной фиксации калибровки оно в точности воспроизводит гравитацию Аштекара-Барберо. В настоящей работе был проведён гамильтонов анализ этого действия без фиксации какой-либо калибровки. При этом оказалось возможным представить соответствующую формулировку гравитации в очень компактной и элегантной форме [2]. Так в качестве канонических переменных в этой формулировке выступают зо(3,1)-связность Af и поле P(/3)xi построенное из тетрады и преобразующееся по присоединенному представлению калибровочной группы. Аналогично, все ингредиенты теории являются величинами, преобразующимися ковариантным образом.

В разделе 2.2 проведён анализ системы связей. Кроме связей первого рода формализм содержит связи второго рода. Из них построена соответствующая скобка Дирака. Для неё получены некоторые общие соотношения, а также она вычислена для набора канонических переменных. Главный результат состоит в том, что коммутатор {Af, P(/3)3y}d недиагонален по пространственным индексам г, j, а связность оказывается некоммутативной.

В третьей главе исследуется функциональный интеграл, для построенной ковариантной формулировки. В разделе 3.1 он выводится из формализма BRST квантования. А в разделе 3.2, основываясь на результатах работы [1], демонстрируется, что в определённом классе калибровок этот функциональный интеграл не зависит от параметра Иммирци 0 [2].

В четвёртой главе построенный классический формализм используется для петлевого квантования гравитации. Главный объект исследования — оператор площади пространственно подобной поверхности. В разделе 4.1 показано, что такой оператор недиагонален на состояниях, порождённых канонической связностью Af, в виду недиагональности её коммутатора с Р(р)у [3]. В разделе 4.2 исследован произвол в петлевом квантовании, связанный с выбором связности, которая используется в определении Вильсоновской линии. Воспроизведён результат работы [4], где было найдено, что существует двухпараметрическое семейство Лоренцевых связностей, диагонализующих оператор площади. В следующем разделе соответствующий спектр площади выражен через операторы Казимира SO(3,l) и SO(3) [4]. Важная особенность полученного спектра состоит в том, что в него входят Казимиры как полной группы симметрии, так и её подгруппы, что отличается от всех предыдущих результатов и имеет очень важные следствия для дальнейшего квантования. Также приведены явные формулы для унитарных представлений, показывающие, что спектр площади всегда вещественен.

В разделе 4.4 на упомянутое выше семейство связностей наложено дополнительное условие: формула преобразования при временных диффеоморфизмах. После того, как был найден генератор этих преобразований в каноническом формализме, показано, что только одна связность удовлетворяет данному условию [4]. Поэтому корректное квантование должно быть основано на этой связности. Замечательным образом её коммутатор с триадой, а следовательно и спектр площади, не зависят от параметра Иммирци. Тем самым решается одна из важных проблем петлевого квантования [3, 4]. Более того, в разделе 4.5 доказывается, что стандартный петлевой подход, использующий калибровочную группу SU(2), неправилен. Это заключение можно сделать, так как он оказывается включённым в описанный формализм: найденное двухпараметрическое семейство содержит Лоренцеву связность, являющуюся обобщением связности Аштекара-Варберо. Она же воспроизводит стандартный спектр для оператора площади. Однако, так как она неправильным образом преобразуется при временных диффеоморфизмах, основанное на ней квантование нарушает эту инвариантность. Проблема параметра Иммирци есть следствие этого нарушения.

В пятой главе представлены результаты работы [5], где была предложена модель гильбертова пространства квантовой гравитации. Она выведена из результатов относительно спектра оператора площади и из предположения, что можно одновременно диагонализовать все такие операторы. В разделе 5.1 построены так называемые спроецированные Вильсо-новские линии, являющиеся их общими собственными состояниями. Исследованы свойства этих объектов и показано, что при определённых ограничениях и с точностью до преобразований Лоренца на концах они совпадают с SO(3) голономиями со связностью аналогичной связности Аштекара-Варберо. В разделе 5.2 построено обобщение spin network состояний, реализующих базис в гильбертовом пространстве. В следующем разделе 5.3 представлена функциональная модель пространства состояний. Оно реализовано функциями на некотором однородном пространстве. Используя теорию гармонического анализа, в нём выделен базис. Базисные векторы ортонормированны по отношению к скалярному произведению, определенному как интеграл по однородному пространству. Важный результат — ограничение простыми представлениями вида (0,ip) для спроецированных Вильсоновских линий. Благодаря этому ограничению решается проблема некоммутативности связности, так как спроецированные Вильсоновские линии в простых представлениях коммутируют друг с другом. В конце раздела описан калибровочно инвариантный сектор и показана некорректность SU(2) подхода на уровне гильбертова пространства. В разделе 5.4 приведено обсуждение различных проблем построенной модели и её связи с моделями spin foam.

В заключении сформулированы основные полученные результаты и отмечены дальнейшие перспективы. В Приложении А приведены различные соотношения между матрицами и мультиплетами, появляющимися в построенном во второй главе ковариантном формализме. В Приложении Б описана алгебра связей ковариантного формализма. В Приложении В вычислены её структурные функции, необходимые для BRST квантования. В Приложении Г приведён коммутатор двух пространственно-временных связностей, диагонализующих оператор площади. В Приложении Д описаны матричные элементы генераторов группы Лоренца в неприводимых представлениях.

Теоретическая и практическая ценность.

Построена новая каноническая формулировка общей теории относительности, которая может быть использована для её квантования. Такое квантование начато в рамках петлевого подхода к квантовой гравитации. Показано, что аналогичное квантование, основанное на калибровочной группе SU(2), некорректно, так как нарушает диффеоморфную инвариантность. Тем самым решена проблема параметра Иммирци, так как результаты, полученные в новом ковариантном формализме, не зависят от этого параметра. Вычисленный в рамках ковариантного подхода спектр оператора площади, может быть применён для исследования энтропии чёрных дыр и других приложений теории. Построенная модель гильбертова пространства является первым шагом на пути построения полной теории квантовой гравитации в петлевом формализме и позволяет осуществить следующие этапы квантования.

Апробация диссертации.

Материалы диссертации докладывались на научных семинарах НИИФ СПбГУ, Service de Physique Theorique, CEA - Saclay и Centre de Physique Theorique, Luminy во Франции, а также на международных конференциях International Workshop "Quantum Gravity and Superstrings" (JINR, Dubna, September 2000), Journee J tunes Chercheurs (Saumur, France,

December 2000), Workshop on Canonical and Quantum Gravity III (Banach Center, Warsaw, Poland, June 2001) и International V.A.Fock School for Advances of Physics (St.Petersburg, November 2003).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. S.Yu. Alexandrov and D.V. Vassilevich, Path integral for the Hilbert-Palatini and Ashtekar gravity. — Phys. Rev. D 58, 124029 (1998) [gr-qc/9806001].

2. S. Alexandrov, SO(4,C)-covariant Ashtekar-Barbero gravity and the Immirzi parameter. — Class. Quantum Grav. 17, 4255 (2000) [gr-qc/0005085].

3. S. Alexandrov and D. Vassilevich, Area spectrum in Lorentz covariant loop gravity. — Phys. Rev. D 64, 044023 (2001) [gr-qc/0103105].

4. S. Alexandrov, On choice of connection in loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 65, 024011 (2002) [gr-qc/0107071].

5. S. Alexandrov, Hilbert space structure of covariant loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 66, 024028 (2002) [gr-qc/0201087].

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и 5 Приложений. Общий объём диссертации — 79 страниц, включая библиографию из 77 наименований.

Полученные результаты.1. Построена новая гамильтонова формулировка общей теории относительности (31), основанная на обобщённом действии Гильберта-Палатини с калибровочной группой

80(3,1). Канонический формализм развит без какой-либо фиксации калибровки и явно ковариантен относительно калибровочных преобразований. Канонические переменные образуют мультиплеты в присоединённом представлении алгебры so(3,l).2. Развитый формализм применён для исследования зависимости квантовой гравитации от параметра Иммирци /3, явно входящего в исходное действие (21). Показано, что функциональный интеграл (64) не зависит от этого параметра, т.е. формулировки с разными значениями /? должны быть эквивалентными.3. Ковариантный формализм использован как основа для петлевого подхода к квантова нию гравитации. В рамках этого подхода исследован спектр оператора площади произ вольной пространственно подобной поверхности. Показано, что Вильсоновские петли, построенные из канонической связности, (70) не диагонализуют оператор площади.Однако в петлевом квантовании существует произвол, заключающийся в выборе связ ности в определении Вильсоновских линий. Этот произвол использован для вычисле ния спектра. Найдены все Лоренцевы связности, диагонализующие оператор площади.Они образуют двухпараметрическое семейство (83). Для всех членов этого семейства вычислен соответствующий спектр (99). Для унитарных представлений, в отличие от спектра, возникающего в моделях spin foam [57, 58, 60], он всегда вещественен (103),

4. Показано, что только одна связность из двухпараметрического семейства преобра зуется правильным образом при временных диффеоморфизмах и потому является пространственно-временной связностью (115). Поэтому именно она должна использо ваться для квантования. Это разрешает произвол в петлевом квантовании, связанный с выбор связности в определении петлевых операторов. Соответствующий спектр опе ратора площади (117) не зависит от параметра Иммирци и даёт ненулевое значение площади даже для тривиального представления.5. Из полученных результатов следует, что стандартный петлевой подход, основанный на калибровочной группе SU(2), не может быть правильным квантованием гравита 64 ции. Это заключение может быть сделано благодаря тому, что найденное двухпара метрическое семейство связностей содержит so(3,l) расширение связности Аштекара Барберо (128), а соответствующий спектр площади (127) совпадает со стандартным.Но, так как эта связность не является пространственно-временной, основанное на ней квантование неизбежно нарушает диффеоморфную инвариантность теории. В част ности, появление зависимости физических результатов от параметра Иммирци есть отражение этого нарушения.6. В предположении, что все операторы площади одновременно диагонализуются, иссле довано гильбертово пространство петлевой квантовой гравитации в ковариантном фор мализме. Получены следующие результаты: (a) Существует базис, реализованный лоренц-ковариантными spin network состояни ями, которые являются собственными состояниями операторов площади любой пространственно подобной поверхности. Они строятся из Лоренцевых Вильсонов ских линий, спроецированных на неприводимые представления S0(3) подгруппы (138). Эта проекция решает проблему бесконечномерности унитарных представ лений, связанную с некомпактностью группы Лоренца.(b) Только простые представления группы Лоренца вида (О, ip) ассоциируются с Виль соновскими линиями.(c) При определённых ограничениях элементы гильбертова пространства можно отож дествить с функциями на [S0{3) х R]" х [S0{3,1)/30{3)у. Соответствие со spin network состояниями (148) даётся соотношением (170). Калибровочно инвариант ный сектор описывается функциями, независящими от последнего аргумента.(d) Скалярное произведение, индуцирующее структуру гильбертова пространства, определяется как интеграл по однородному пространству (167).(e) Проблема некоммутативности решается ограничением на простые представления.Дальнейшие перспективы.Главным следующим шагом в развитии теории является строгое доказательство, что построенное гильбертово пространство действительно является кинематическим простран ством состояний квантовой гравитации, или же найти его недостающие компоненты. Для этого прежде всего нужно решить очень нетривиальную проблему, как наложить связи второго рода непосредственно на уровне гильбертова пространства, т.е. как некие алгебра ические связи на петлевые операторы.Среди дальнейших перспектив можно также выделить вычисление энтропии чёрной ды ры. Для этого необходимо обобщить вывод формулы Бекенштейна-Хокинга, сделанный для SU(2) случая [17,18]. Серьёзным препятствием на этом пути является непрерывность спект ра площади. Каким образом она должна преодолеваться остаётся до сих пор непонятным.Но в любом случае, как и для оператора площади, ответ не будет зависеть от параметра Иммирци.Несколько следующих естественных шагов — вычисление спектра оператора объёма и, может быть наиболее важный, определение квантового оператора гамильтоновой связи. В отличие от SU(2) случая в ковариантном формализме эта связь полиномиальна по кано ническим переменным и поэтому здесь не должно возникнуть проблем, появляющихся в стандартном подходе.

1. S.Yu. Alexandrov and D.V. Vassilevich, Path integral for the Hilbert-Palatini and Ashtekar gravity. — Phys. Rev. D 58, 124029 (1998) gr-qc/9806001].

2. S. Alexandrov, SO(4,C)-covariant Ashtekar-Barbero gravity and the Immirzi parameter. — Class. Quantum Grav. 17, 4255 (2000) gr-qc/0005085].

3. S. Alexandrov and D. Vassilevich, Area spectrum in Lorentz covariant loop gravity. — Phys. Rev. D 64, 044023 (2001) gr-qc/0103105].

4. S. Alexandrov, On choice of connection in loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 65, 024011 (2002) gr-qc/0107071].

5. S. Alexandrov, Hilbert space structure of covariant loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 66, 024028 (2002) gr-qc/0201087],

6. C. Rovelli and L. Smolin, Knot theory and quantum gravity. — Phys. Rev. Lett. 61, 1155 (1988).

7. C. Rovelli and L. Smolin, Loop representation of quantum general relativity. — Nucl. Phys. В 331, 80 (1990).

8. С. Rovelli, Loop Quantum Gravity. — Living Rev. Rel. 1, 1 (1998).

9. C. Rovelli and L. Smolin, Discreteness of area and volume in quantum gravity. — Nucl. Phys. В 442, 593 (1995).

10. A. Ashtekar and J. Lewandowski, Quantum theory of gravity I: Area operators. •— Class. Quantum Grav. 14, A55 (1997).

11. J. Lewandowski, The operators of quantum gravity. Lecture given at the Workshop on Canonical Quantum Gravity, Warsaw, (1995).

12. R. Loll, The volume operator in discretized quantum gravity. — Phys. Rev. Lett. 75, 3048 (1995).

13. R. Loll, Nonperturbative solutions for lattice quantum gravity. — Nucl. Phys. В 444, 619 (1995).

14. R. Loll, Spectrum, of the volume operator in quantum gravity. — Nucl. Phys. В 460, 143 (1996).

15. R. DePietri and C. Rovelli, Geometry eigenvalues and scalar product from recoupling theory in loop quantum gravity. — Phys. Rev. D 54, 2664 (1996).

16. J. Lewandowski, Volume and quantization. — Class. Quantum Grav. 14, 71 (1997).

17. C. Rovelli, Black hole entropy from loop quantum gravity. — Phys. Rev. Lett. 77, 3288 (1996).

18. A. Ashtekar, J. Baez, A. Corichi, and K. Krasnov, Quantum geometry and black hole entropy. — Phys. Rev. Lett. 80, 904 (1998).

19. J.F. Barbero, Real-polynomial formulation of general relativity in terms of connections. — Phys. Rev. D 49, 6935 (1994).

20. J.F. Barbero, Real Ashtekar variables for Lorentzian signature space-times. — Phys. Rev. D 51, 5507 (1995).

21. J.F. Barbero, Reality conditions and Ashtekar variables: a different perspective. — Phys. Rev. D 51, 5498 (1995).

22. J.F. Barbero, From Euclidean to Lorentzian general relativity. — Phys. Rev. D D4, 1492 (1996).

23. A. Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity. — Phys. Rev. Lett. 57, 22441986).

24. A. Ashtekar, New Hamiltonian formulation of general relativity. — Phys. Rev. D 36, 15871987).

25. G. Immirzi, Quantum gravity and Regge calculus. — Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 65 (1997).

26. C. Rovelli and T. Thiemann, The Immirzi parameter in quantum general relativity. — Phys. Rev. D 57, 1009 (1998).

27. S. Hoist, Barbero's Hamiltonian derived from a generalized Hilbert-Palatini action. — Phys. Rev. D 53, 5966 (1996).

28. M. Gaul and С. Rovelli, Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance. — Lectures given at the 35th Karpacz Winter School on Theoretical Physics: From Cosmology to Quantum Gravity (1999) gr-qc/9910079].

29. M. Henneaux, Poisson brackets of the constraints in the Hamiltonian formulation of the tetrad gravity. — Phys. Rev. D 27, 986 (1983).

30. J.E. Nelson and C. Teitelboim, Hamiltonian formulation of the theory of interacting gravitational and electron fields. — Ann. Phys. 116, 86 (1978).

31. A. Ashtekar, A.P. Balachandran, and S.G. Jo, The CP problem in quantum gravity. — Int. J. Mod. Phys. A 4, 1493 (1989).

32. A. Ashtekar, Lectures on non-perturbative canonical gravity. Notes prepared in collaboration with R. Tate (World Scientific, Singapore, 1991).

33. P. Peldan, Actions for gravity with generalizations: A review. — Class. Quantum Grav. 11, 1087 (1994).

34. T. Thiemann, Reality conditions inducing transforms for quantum gauge field theory and quantum gravity. — Class. Quantum Grav 13, 1383 (1996).

35. A. Ashtekar, A generalized Wick transform for gravity. — Phys. RevD 53, 2865 (1996).

36. A. Ashtekar, J.D. Romano, and R.S. Tate, New variables for gravity: Inclusion of matter. — Phys. Rev. D 40, 2572 (1989).

37. G. Immirzi, The reality conditions for the new canonical variables of general relativity. — Class. Quantum Grav. 10, 2347 (1993).

38. G. Yoneda and H. Shinkai, Constraints and reality conditions in the Ashtekar formulation of general relativity. — Class. Quantum Grav. 13, 783 (1996).

39. A. Ashtekar and J. Lewandowski, Representation theory of analytic holonomy С* algebras in Knots and quantum gravity ed. J. Baez (Oxford University Press, Oxford, 1994).

40. A. Ashtekar and J. Lewandowski, Projective techniques and functional integration. — J. Math. Phys. 36, 2170 (1995).

41. A. Ashtekar and J. Lewandowski, Differential geometry on the space of connections via graphs and projective limits. — J. Geom. Phys. 17, 191 (1995).

42. С. Rovelli and L. Smolin, Spin networks and quantum gravity. — Phys. Rev. D 52, 5743 (1995).

43. J. Baez, Spin networks in nonperturbative quantum gravity, in The interface of knots and physics ed. by Kauffman (American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1996).

44. M. Bojowald, Loop Quantum Cosmology I: Kinematics. — Class. Quant. Grav. 17, 1489 (2000).

45. M. Bojowald, Loop Quantum Cosmology II: Volume operators. — Class. Quant. Grav. 17, 1509 (2000).

46. M. Bojowald, Loop Quantum Cosmology III: Wheeler-DeWitt operators. — Class. Quant. Grav. 18, 1055 (2001).

47. M. Bojowald, Loop Quantum Cosmology IV: Discrete time evolution. — Class. Quant. Grav. 18, 1071 (2001).

48. T. Thiemann, Quantum Spin Dynamics (QSD). — Class. Qauntum Grav. 15, 839 (1998).

49. T. Thiemann, Quantum Spin Dynamics (QSD) II. — Class. Qauntum Grav. 15, 875 (1998).

50. M. Reisenberger and C. Rovelli, "Sum over Surfaces" form of Loop Quantum Gravity. — Phys. Rev. D 56, 3490 (1997).

51. J. Baez, Spin Foam Models. — Class. Quantum Grav. 15, 1827 (1998).

52. J. Baez, An Introduction to Spin Foam Models of Quantum Gravity and BF Theory. — Lect. Notes Phys. 543, 25 (2000).

53. D. Oriti, Spacetime geometry from algebra: spin foam models for non-perturbative quantum gravity. — Rept. Prog. Phys. 64, 1489 (2001).

54. J.F. Plebanski, On the separation of einsteinian substructures. — J. Math. Phys. 18, 2511 (1977).

55. J.W. Barrett and L. Crane, Relativistic spin networks and quantum gravity. — J. Math. Phys. 39, 3296 (1998).

56. J.W. Barrett and L. Crane, A Loerntzian signature model for quantum general relativity. — Class. Quantum Grav. 17, 3101 (2000).

57. A. Perez and С. Rovelli, Spin foam model for Lorentzian General Relativity. — Phys. Rev. D 63, 041501 (2001).

58. A. Perez and C. Rovelli, 3 + 1 spinfoam model of quantum gravity with spacelike and timelike components. — Phys. Rev. D 64, 064002 (2001).

59. R. Capovilla, M. Montesinos, V.A. Prieto, and E. Rojas, BF gravity and the Immirzi parameter. — Class. Quantum Grav. 18, 49 (2001).

60. R.E. Livine and D. Oriti, Barrett-Crane spin foam model from generalized BF type action for gravity. — Phys. Rev. D 65, 044025 (2002).

61. T. Jacobson and L. Smolin, Covariant action for Ashtekar's form of canonical gravity. — Class. Quantum Grav. 5, 583 (1988).

62. P.A.M. Dirac, Lectures on quantum mechanics (Yeshiva University, NY, 1964).

63. E.S. Fradkin and G.A. Vilkovisky, Quantization of relativistic systems with constraints. — Phys. Lett. В 55, 244 (1975).

64. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Relativistic S matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints. — Phys. Lett. В 69, 309 (1977).

65. E.S. Fradkin and Т.Е. Fradkina, Quantization of relativistic systems with boson and fermion first and second class constraints. — Phys. Lett. В 72, 343 (1978).

66. M. Henneaux, Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom. — Phys. Rep. 126, 1 (1985).

67. A. Ashtekar, P. Mazur, and C.G. Torre, BRST structure of general relativity in terms of new variables. — Phys. Rev. D 36, 2955 (1987).

68. S. Alexandrov, I. Grigentch and D. Vassilevich, SU(2)-invariant reduction of (3 + dimensional Ashtekar gravity. — Class. Quantum Grav. 15, 573 (1998).

69. L.D. Faddeev, Feynman integral for singular Lagrangians. — Teor. Mat. Fiz. 1, 3 (1969).

70. W. Ruhl, The Lorentz Group and Harmonic Analysis (WA Benjamin Inc, New York, 1970).

71. M. Reisenberger, New constraints for canonical general relativity. — Nucl. Phys. В 457, 643 (1995).

72. J. Samuel, Is Barbero's Hamiltonian formulation a gauge theory of Lorentzian gravity?. — Class. Quantum Grav. 17, 141 (2000).

73. J. Samuel, Comment on Hoist's Lagrangian formulation. — Phys. Rev. D 63, 068501 (2001).

74. A.O. Barut and R. Raczka, Theory of Group Representations and Applications (Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1977).

75. R.L. Anderson, R. Raczka, M.A. Rashid, and P. Winternitz, Recursion and symmetry relations for the Clebsch-Gordan coefficients of the homogeneous Lorentz group. — J. Math. Phys. 11, 1059 (1970).

76. M.A. Naimark, Decomposition of a tensor product of irreducible representations of the proper Lorentz group into irreducible representations. — Amer. Math. Soc. Translations ser. 2, 36, 101 (1964).

77. И.М. Гельфанд, P.А. Минлос, и З.Я. Шапиро, Представления группы вращений и группы Лоренца (Физматгиз, Москва, 1958).