Лучевой метод в задачах динамического контактного взаимодействия упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕШ1ЛЯ ПОЛГГЕЯШЧЕСКАЯ АКАДЕКИ

По правах руясгаеи УДК 539.3

ЕИТИКОВА Марина Вячеславовна

ЛУ^ЕВОЯ МЕТОЛ В ЗЛЛЛЧЛХ ДПНАШПЕСКОГО КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГЯХ ТЕЛ

01.02.04 - мехагакп де^ормфуекого твердого.тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на ссисяшгие ученой степени доктора Ф'лзшто-ыатематотескнх наук

"Шпик - 1001

РГ6 од :5 :• 199'»

Работа выполнена в Воронежской государственной ар итак урио-строительной академии.

Научный консультант:

Официальные оппонента:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Росашш

доктор физико-математических наук, профессор Ю.К. Энгельбрехт;

доктор физико-математических наук, ■ профессор к.С. Кравчук;

доктор физико-математиче чоа наук, профессор М.Д. Мартшгешш;'

Киевский госу, зрственный университет

Зашитз состоится

„¿У*

1994 года в часов

на заседании специализированного Совета Д.Оаб.02.05 при' Белорусской государственной политехнической академии по адресу: 22С027, Шшск, Республика Беларусь, пр. <5. Скорюы, 65, ко'рп.1

С диссертацией можно ознакомиться в библл отеке БГПА.

Автореферат разослан " & ». _ 1994 года, .

Учений секретарь .

специализированного Совета, /Су' кандидат £изико-матемэти- *

ческих наук, доцент Н.И. Чепелев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи динамического контактного взаимодействия твердых тел относятся к числу наиболее трудно решаемых задач математической теории упругости. Трудности решения таких задач обусловлены не только сложностью уравнений, описывающих динамическое поведение сплошной среда, но такка разнообразием и слойзгостыо граничных услоьий, которые возникаю? на контактирующих поверхностях твердых тел.

'К задачам динамического контактного азадаодействия относятся исследования по динамике удара, проникзним тел друг в друга, колебаниям балок и пластин, лахащих на основании, дапашсэ взаимодействия горных выработок с крепью, колебаниям а волнам з висячих комбинированных системах и т.д. Интерес к подобйнм исслэдозазгиям продиктован нужда?® военной и космической техники, самолетостроения» производств, связанных с технологиями ударного взаимодействия, электроники, радио и вычислительной техники, о также потребностям промышленного и гражданского строительства. При этом но многих из перечисленных областей техники приходится сталкиваться с необходимостью расчета динамических полей напряжений и деформаций, возникавших в сплошных деформируемых телах различной'конфигурации при различного рода контактных взаимодействиях..

Математические штоды, применяемые при расчетах, динамических полей напряжений и деформаций в контактных задачах весьма разнообразны. К ним относятся: метод шв&риактно-фушециональных. решений, предложенный В.Н.Смнрнсвнм к С.Л.Соболевым, метод Винорэ-Хопфа, метод янтегралышх пр&сбразсзатй, сообщенные нотодц Есль-терра иАдамара, метод характеристик, различные чяъкешшв метолу, а также лучевой метод. ПрэгаусостЕо последнего. перед другая! перечисленными методами, состоит а его наглядности, ссЕмоет&юа с интуитивными представлениями о распространении воля гзообиу» к световых волн в частности, в простоте интерпретации полученных результатов, з также в универсальности, 'так как лучевым ряда, составляющие основу лучевого метода, могут с успехом использоваться как при решеют задач, связанных с возникновением гармонических колебаний и волн, так и при решении задач, связанных с возникновением нестационарных колебаний'и волн.

Целью работы является: ретаениа вопроса о расширении области применимости лучевого метода с помощью преодоления асаюттотичос-кого характера получаемых решений (локальное расширение), а тякзй

ЕкетоЕ^з каиа аздач □ с£ару пржвнимоста лучевого мго.ца (глобально;? расюрожэ).

Хохавъноа расгврзхиа правде всого разуется ирп ккйвд учета шсаях члзпов лучевых рздоз» а таааз при помоги сгащиздыю разргбошшого метода "прг^ронтосоа регулярлзацки", которпа ко-акшот улучать отрззки лучевих радов, шзрозкяадзрувда ротою в дакяоЗ шяюиоа области, без ирагашченая дополнительных «капов язчета. разлохэний. Глобальное расвцропш иллюстрируется одого-чпсшппсш задачака динамического контактного взаимодействия, состсадящвми основу даннсй дассергаиопиой работы; удар упругого сгорят кет упругого вара по Салке Ткмошенхо и явзсташе Уфюэда-!£щдлкна,.удар кзеткого вара по упругому слов, ударное взамкодзй-стенэ ?8р«оупругого ааа вяэкоупругого старкая с «веткой преградой, востацпоиарпав колвоания балок в пластал, декадах на изот-ропшх упругих полупространствах, устойчивость, балок и пластин яо отношению к шетационарнам воздействиям, -тепловой. удар по пластине, лаяшщеЯ на тармоуаругои полупространство, распространение гармонических слабонеодаородинх поверхностных волн, в двухслойшх средах, когда упругие модули материала одного из слоев (конечного или покйуббсконбчного) слабо отличаются от упругих кодухей материала другого слоя, свободные гармонические колебать висячих ком-оинировапнпх систем и т.д.

Научная новизна подученных результатов заключается в следующем:

1 „ Развит новый равномерно пригодный лучевой ыотод (метод "прифронтовой рэгулярмзации"), основанный на аналитическом продолжении равномерно пригодной прифронтовой асимптотики,-. которая строится' на база рекуррентных уравнений классического, лучевого метода при помовл мотода многих масштабов, на всю область существования волнового решения;

2. Показано, что метод многих временных масштабов по сущест-• ву -совладает с раЕЯоыэрио пригодном лучевым методом, если врекон-ние переменные каевтабирования в многомасштабинх разложениях отождествлять с соотвествуицими пространствошю-времоншми переметшим масштабирования в лучевих разложениях;

■3. Метод равномерно пригодных лучевых разложений с успехом румяним :< исследованию- динамических ггроцессоЕ, обладающих значительной протяженностью во времени: процессов удариого взаимодействия термоупругого й вяэкоупругого стержней о жесткую преграду (решение строится до момента отскока стержня от прегради), а так-

-в процессов нелшййшх свободных и затухающа колебательных двя-а:энчй зисячкх мостов сольшоЗ прояягзнпостк;

4. Построена волюван теория удара, опкеквагдая динзмичоскиз коптвхяшв взаимодействия упругих тел конэчнше размеров с тонкос-теннюян протяэдшпмЕ или ограпичвшшми толами

б. При шмопк яродолшях волн ¿фоиозэдеи учет растякэдкя срединных плоскостей балок и пласгип в процессе удара, что позволяв? учитывать зфОэкт утоиьшшя (утсивдэяия) ялзсязн во вреия ударе;

6, Рассмотрение первого этапа внедрения хмспсого аара з упругий слой конечной •ктпш с учетов падающих я отражениях вол; позволяло выявить принципиальную возможность образования трездаш в матариало слоя с последуя»»! отколом некоторой части атого слоя;

•7. Получэш швно слнбояоояюродте яеввряяоаяш воли., распроотрэиякшося по гршвцв раздела двухслойных и трехоюйга». ерзд, з которых материалы конечиих у. яолубвекоквчиж слоев характеризуются упругими модулями* «ало отличзвейикся яруг от друга;

3. Прово депо подробнее исслодовачне ивстшижэрккх коляоатаС божок и пластан, лежащих на изотропно« упругом полупространство, о учетом меткого или скользящего контакта между ятей, при это« рассматривалась кок классические пластинки к банки, ток л иептас--сячоскис;

9. Решена задача об устойчивости штотаики, которая лежит па упругом полупространства * к в срединной плоскости которой доЯст-вуют постояянив сгагмагада и слспгадало уешия, причем устойчивость ттроЕеряотся но отшиени» к, нестащюнарш.'М воздействиям;

Ю. Яа основа шогочлбюшх лучевых разложений ьпердое ксело-дованз задача о шетоцгюнаршх колебаниях териоупругсп ялпаташ, лежащей на териоупругом полупространство, иод действием теплового ударз я с учетом жшдеального теплового контакта мэяду толами;

11. Изучен« калав иялинойнне свободше и затухающи колебания висячих тонкостетшх базок г, условиях внутреннего резонанса даз-к-одному и одаш-к-одаому яри помпт ряидаор^п лу-

чевых разложений по временно« переменней; в зависимости от отпо-ситольного уроага начальных пмпвлфд лалу?<?ш и 'подробно иослодо-. ванн три типа кояебатвлыих рожйшл: стац^онаршй, прз котором но происходит перекачка оперши из сдаоа подсистош в другую От иптабно-крутадымх в вертикальные и наоборот), адеркоданоедий, которой сопровождается необратимой перекачкой зноргга из одией

б

кодагстеш з другу», и перводачвсапй, при которой энергетические уровни в двух подсистемах периодически изменяются;

12. Для наглядной интерпретации различных колебательных ре-аш>з„ a tskso для регэния вопроса об устойчивости того ила иного колобатального рэкяма по откогегаа к малому изменении иачапышх условий,, предлогвна гидродинамическая аналогия, которая позволяет C23CTS рвЕбнке задачи о кзлэбаняих зясято: систем к исследованию докяйкея в канала некоторой несвимаедая Фсзоеой жидкости.

Достоваркость получения результатов основала на: использования классических подходов механики сплошных сред; строгости иате^этк«зских еыклпдок и пркешв; сопоставлении полученных результатов с известными в литература точными и приближенными решениями; внутренней непротиворечивости и сравнительной оценке полувеках в работа приближенных решения.

Г5римэненке и практическая ценность работы. Подхода и метода, таззкваенае в диссертационной работе, могут с успехом применяться еэ практике tips решении следующих задач: по характеристикам волн (ет скоростям к китвнсивностям), пришедших от некоторого источнике и фккснруомнх датчиками, пуюю определить такнь параметры ис-тошгака, как его интенсивность, размори, местонахождение, время действия, его природу и т.д. Например, при ударе твердым телом по корпусу летательного аппарата необходимо- оперативно определить координаты места удара, размеры ударника, его массу, начальную скорость удара, и уне потом, на основе этих данных судить о еоз-могноста локального разрушения в месте удара. В п.2.9 показано, что для сбора перечисленной информации необходимы показания пяти сейсмодатчиков С5С или других аналогичных приборов, замеряющих скорости перемещений и установленных в разных точках пластины или оболочки, чтобы переработав на ЭВМ с помощью лучевых разложений полученную информации, сделать правилыше вывода. Другим примером может слукить разработанная в л.4.5 методика исследования устойчивости скатах пластин, лежащих на упругом полупространстве, по отношению к нестационарным воздействиям, которая позволяет по зштенсизностям волновых Фронтов в подложке судить о потере устойчивости, сжатой пластины.

Результаты п.3.2, 3.3, связанные с распространением поверхностных слабонеоднородннх волн ъ двухслойной и трехслойной средах, когдз упругие модали материалов слоев мало отличаются друг от друга, могут с успехом применяться при конструировании линий задорааш звукового сигнала, причем материалы тонкого слоя и толе-

той подлонот можно подобрать таким образом, чтобы потери энергии звукового сигнала в подложе были минимальными.

Что кэ касается исследований по висят* комбинированным системам, приведенных в гл.5, то они имеют непосредственное отношение к проектированию висячих и вантовых мостов, поскольку устанавливают причину возникновения каждого колебательного рзтамэ и возможность или невозможность его реализации в каздой наперед заданной висячей комбинированной системе.

Апробация. Отдельные результаты реферируемой работы докладывались и обсуждались:

на межреспубликанской научно-технической конференции по .численным методам решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности (г.Волгоград, 1990 г.);

на всесоюзной конференции по математическому и машинному моделирования (г.Воронея, 1991 г.); -

на 22-й международной срзднезападнсй конференции по проблемам механики (США, г.Миссури-Ролла, .1991 г.);

в школе "Современные методы качественной теории краевых задач" (г.Воронеж, 1992 г.);

на международном симпозиуме по проблемам удара (Япония, ' г.Сендай, 1992 г.);

на 8-Я мевдународной конференции по разрушению (Украина, г.Киев, 1993 г.).;

на 13-м мездгнародном симпозиуме по не линейкой акустике (Норвегия, Р.Берген, 1933 г.);

на 306-м европейском коллоквиуме по механике удара (Чехия, г.Прага, 19*33 г.); -

на 1-ой международной конференции "Колебазтя к пола: в экологии, технологических процессах и диагностике" (Беларусь, г.Иинск, 1993 г.);

на 2-ой международное конференции "Катераао; дгя строптельс-тва"'1СКВ'93 (Украина, г.Днепропетровск, 1993 г.);

на международном симпозиуме по нелинейной теории и ее приложениям (США, г.Гонолулу, 1993 г.);

на 16-й конференции по тесрии пластин и оболочек (г.Й.Новго-род, 1993 г.);

на научно-технических конференциях Воронежского инженерно -строительного института (1903-1994).

Работа е целом была доложзиа на семкнзрах: в Воронежском государственном университете;

е

в Белорусской государственной политехнической академии;

в Воронежской государственной архитектурно-строительной академии;

в Киевском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 30 работ.

Структуре диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Объем работы: 334 страницы, из них 245 страниц основного текста, 58 рисунков, 3 таблицы, список литературы из 290 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В основа диссертационной работы лекит единый подход к изучению процессов динамического контактного взаимодействия твердых тел. Этот подход базируется на лучевых разложениях, которые в зависимости ст характера и особенностей рассматриваемой задачи, могут быть одночленными, двучленными и многочленными. Одночленные дучевыз раалэжения используются на начальном этапе решения задачи об ударе жесткого шара по упругому слою конечной толщины. Двучленные лучевые разложения применяются при изучении слабонеодно-родпых поверхностных волн, распространяющиеся в двухслойшх и трехслойных средах, в которых упругие модули материалов слоев мало отличаются друг от друга. В этих задачах третий член лучевых разложений носит оценочный характер. Многочленные лучевые разложения испольоуются во всех оригинальных главах дшшой работа для решения задач ударного взафюдействия, исследования нестационарных колебаний пластик, лежащих на упругом основании, рассмотрения гармоничаоэдх колебаний висячих бало:с и т.д. Это связано с тем, что многочленные лучевые разложения позволяют значительно распирать область пригодности лучевых аппроксимаций. Однако при решето: задач, связанных с процессами, достаточно продолжительными но времени, как, например, процесса соударения термоупругого или адзкоуцругого стерзия с «веткой преградой, многочленные лучевые разложения тврявт свои преимущества, так как с увеличенном времени процесса нарушается их равномерная пригодность. Для улучшения многочленных лучевых разложений применяется метод "прифронтовой регуляризации", который позволяет преобразовать отрезок лучевого' ряда -в многемкештабнэе разложение с пространственно-временной яврв«?инаЯ»- равномерно пригодное ко всей области волноеых двила-

кий. Эта позволяет решать динамические контактам задачи, связанные с многократным отражением волновых поверхностей.

Сравнение многомасштабных равномерно пригодных лучевых разложений с многомасштабннми разложениями метода многих временных масштабов наводит на мысль о совпадении лучевого метода с катодом многих временных масштабов, если только пространственно-временные я временные переменные масштабирования отождествлять между собой. Подобное сопоставление дявт возможность но другому взглянуть на исследования, связанные с нзлишйшаи гармоническими колебаниями Висячих балок, где использование метода мкогиг времзкпых масштабов, или, что то же самое, катода равномерно пригодных лучзвнх разложений с временными пвремвншыя, позволяет полностью рвпи-м, »оставленную задачу.

В первой главе дан обзор работ, посвященных применению лучевых рядов при ревении различных задач волновой динамики. Все задачи разделены на две группа по типу используемых лучевых рядов.

К первому типу лучевых рядов относятся разложения по функциям /.вида

* со

а ~ - х), /ус)=/,_,(С), (1)

где *И) - эйконал, У - искомая функция, t - текущее время, £ -радиус-вектор. . .

Если в разложении (I) положить

(2)

где параметр к = ю/с - волновое число, и - круговая частоте, с -скорость распространения волны, £(1) - некоторая функция, го приходим к разложению

<» ■ ■ £ ({¡гГ-* ехр^Ш], (3)

/-о

ига э альтернативной форма

05

где е - малый параметр.

Первый тип лучевых рядов применяется в основном в краогих задачах для аппроксимации физических ползй рог/лтргах Фу-позМ.

Второй тяп лучевых рядов связан с язуче::;«* распространение поверхностей сильного или слабого разрывов и игедот гид

2(8,í> WUr J '>(3))4r - *<->]•

гда Ш « Ú - ж Z~ - значения величины z перед фронтом я

за фронтом воавн Е, Z,(¡>) - (Pz/0th, а - дина душ, отсчитываемая вдоль нормальное траектория к волновому фронту от некоторой начально* волновое поверхности, г - в$емя, НЦ) - единичная функ-

цвя Хевисайда, х(8) J С(а) - нормальная скорость волно-

С(а)

вой поверхности.

Коэффициента лучевого ряда (5) определятся при помощи условия совместности

CÍZ4fWl. -Ií.ffcMílv4 ♦ ei»ÍW]/« vt + C^(2(k>]>Afß. (6)

где лативскке индексы после запятой, принимающие значения 1, 2, 3, означает - частные производные по соответствупцим декартовым пространственным координатам xf а греческие индексы после

запятой, принимающие значения 1, 2, означают копариантное ди$фэ-ренцирование по соответствупцим криволинейным поверхностным координатам у', у2; Ö/Gt - производная по Томасу, vt - компоненты вэктора нормали к.волновой поверхности, ^дх^Оу^, - конт-равариантные компоненты метрического тензора волновой поверхности.

Лучевой метод на основе рядов первого типа в России развивала ленинградская школа ученых: В.М. Бабич, A.C. Алексеев, Б.Г. Мшсайленко, B.C. Булдырев, И.А. Молотков, Б.Я. Гельчинский и др. во глава-С Г.И. Петраяенем, а лучевой метод на базе рядов второго типа - воронежская школа механиков: Ю.А. Россшин, Н.Д. Вервайко, А.Д. Черныщов, A.A. Буренин, A.B. Чигарвв, В.А. Баскаков, Г.Ф. Филатов и-др. во главе с Г.И. Быковцевам.Лучевые разложения при решении задач волновой динамики использовали также J.D. Achenbach , D.P. Reddy, T.C.T. Ting, О.T. Sun, Р. Debày, G.A. Narlboll, U.C. Patria, D.H. Подкльчук, Ю.К.Рубцов и другие ученые.

В обзоре рассматриваются задачи, связанные с эволюцией нестационарных волн и с мгновенным приложением напряжения, скоростей перемещений или температуры к грзницв полупространства, к границам сферических или цилиндрических полостей, расположенных е безграничной среде, некоторые динамические контактов задачи, а также задачи ударного взаимодействия. При этом рассматриваются линейно-упругие изотропные и анизотропные тела, вязкоупругие.

тармоупругие среда, а тагам тела, обладающие физической или геометрической нелинейноетьш.

Показано, что в зависимости от сложности решаемой задачи и от точности нахождения искомых Ееличии используются как одночлен-нне, так и двучленные или многочленные лучевые разложения, В некоторых вахашх для практики случаях, например, при учете Фкзичес-кой или геометрической нелинейности рассматриваем« тол, а такие при решении сложных задач динамического контактного взаимодействия приходится ограничиваться нулевыми членами лучевых рядов для искомых величин, так как вычисление последующих членов лучевых рядов связано с большими вычислительными-трудностями. Одним из аспектов использования двучленных лучевых разложений является вычисление "примесных" компонент перемещений для смешанных волн, которые ne определяется из нулевого приближения, но там не менее могут играть.заметную роль в некоторых задачах, связанных с отражением , преломлением и дифракцией волн. Другим аспектом использования двучленных лучевых разложений. является невозмогаюсть в некоторых краевых задачах опредзлить зависимость нулевого скачка от времени без учета скачков первого порядка. Многочленные лучевые разложения необходимо использовать к краевых задачах, когда требуется построить pesome во всой облает волновых дашишй, т.е. от волнового фронта вплоть до граничной поверхности в фиксированный момент времени, когда необходимо найти зависимости искома величин от времени в фв;сированиоЯ точке поля, задаваясь конечным промежутком времена.

В закличенда первой глаш отмечается, что метод лучэгах рядов,' как и лвбыо другие метода, ишет своп ограничения. Первый шд ограниченна связан с определенным классом даявкячэсгак задач, для которых нельзя построить решения во всей области существования волновых дбия8ний ,ила в 'отдельных оо частях при поыоши лучевых разложений. Второй вид ограничений связан о тем, что лучевой метод является одним из катодов возм^дэний, а именно, методом прифронтовой асимптотики. Поэтому лучевому методу присущ ее.* достоинства и недостатки, которыми обладают методы возмуде1гай. Ограничения пэрзого вида, как правило, не устранимы, а ограничения второго рода можно частично снять за счет модернизации луче. вах рядов.

Вторая глава носвшаена изложения волновой теории удара. В этой главе с единых позиций, а именно с позиций лучевого метода, рассматриваются следующие задачи: удар упругого стержня и упруго-

го вара по баякэ Ткшззако н пластинке Уфлянда-Шндгаше с учетом ■ и Саз учета ра«шкэн2й срэданной поверхности, улар касткого ¡пара со упругоиу изотропному сяоэ коиэчшй mepsa, удар тер^оупругого и вязкоупругого сторакэй о гэсткув преграду. В этих задачах ударное ЕзаимодзГствкэ сопроЕОздаатся распростргетшэц eüeéoesx поверхностей сильного шш слабого разрывов, га которц:™ решение строится в гадэ дучавшс рядов вшить до гранацд области контакта. Неизвестные функции, входящзге в коэффициенты лучзвах рядов, опре-^ деляются из условия контактного взаззаодействая твердых тел.

S пл. 2-4 рассматриваются задача об ударе тонким упругим стержнем к упругим шаром по изотропной упругой балке Тимошенко, дзнамячвскоэ поведение которой описывается следующей системой уравнений:

; öä/Cz - Q = - piß, OQ/öz = pjí, (7)

В = - Él öß/02, ä = K0[m/dz - ß], ' (8)

где И - изгибаюций момент, Q - поперечная сила, W - скорость поперечных перемещений точек на центральной оси балки (скорость прогиба), Р - угловая скорость поперечного сечения как жесткого йэдого вокруг осж х, перпендикулярной плоскости прогиба y-z (оси s к у направлены вдоль оси балки и вертикально вниз соответственно), É - модуль упругости-при изгибе, м - модуль упругости при сдзяга, р - плотность, I - моменты инерции вокруг оси х; F - пло-цадь поперечного сечэккя, I - коэффициент сдвига,., зависящий от фзрмк поперечного сечения (К=2/3 для прямоугольного сечения, 1=3/4 для круглого сечэюш), точка .означает производную rio времени t.

Используя условия совместности для обобщенных скоростей и' силовых факторов .(6), приходам к рекуррентным уравнениям лучевого метода

' К1 - ¿К*»)1 - «^'íO +

+ наг* 8*1р,(*-»Л щит* китГъ,,].

6t2 öt

~ - -ir1 ♦

öt2 . et (9)

Из рзаения системы рекуррентных уравнений (Э) ¡датао

получать величины' [0,„.1 и tFT,„.3 (й = -1,0,1«..) с точностью

(я) (Ю

до произвольных постоянных на двух волнах: квазиповоротной волне и квйзиизгабной волке, распростренявдихся со скоростями G(,)=Wp)1/2 ж (Кц/р)1/2 соответственно. За фронтом каждой

волновой поверхности искомая функция Z(xa,t) представляется рядом (5) по степеням t - {г - l)G'1 О, з котором величины 12, ] вычисляются при г = (2 - г)G~i.

На основе соотношений (Э)9 (5) развивается лучевая теория . удара упругого цилиндрического стержня прямоугольного пгопэрэчного сечения, движущегося вдоль оси у со скоростью навстречу упругой изотропной балке Тимошенко высотой П. При г - 0 происходит нормальный улар стертом по балке.

В процессе удара вдоль балки распространяется два тате нкос-ких волн, а по тонкому упругому стержню бежит продольная волна со скоростью G=(B р'1 )1/г {£ и » - модуль Вягв а плотность мате-

Ь Ь о о b

риала ударника соответственно), представлявшая собой плоскость сильного разрыва. Э силу тогов что скачки хгроководшх скоростей нервь'ащежй частиц стержня [V на этой плоскости вн-

еолшштся дянеотгесков условие совместности

<Г = PbGbiV - Г), (10)

и 00

где <Г- - £ J,'ro.(n)Ht-^)\ г. - £ k=0 k=0 позволяющее связать иаяряжэиие о" и скорость поромэдвкия У" за фронтом волну друг с другом в каадай момент времени. Более fore, в области контакта, т.о. njn у « о, урзкгеп:» (Ю) принимает вид

* WV (<1>

где о' = a~\u„a~ контактное иапрягзппэ, tf => - 'скорость

перемещения частиц стеряш, находящихся в каитсктэ.

' 0 учетом выраяешш (11) уравнение 'двитаняя часта балки, контактирующей со стержнем, можно записать.з виде:

- ¿IFpW + 2Zap. С. (/ - W) + гя = О, (12)

о о О

где о - ширина балки, У - площадь поперечного сочения стержня.

Величины YI и Q, входящие в уравнение (12), определяются при помощи лучевых рядов (5), которые вычисляются на границе.области контакта г - I. К уравнению (12) следует добавить начальное условие И = О, а также соотношение dw/dzi , = О, гда и> - нрогиб |t-о |г-г г

M

балки.

Соотношения (Б) используются такта в задаче о нормальном ударе упругого кара радаусом Я и массой и, движущегося вдоль оси у с постоянной скоростью V навстречу упругой однородной изотропной бзлке типа 'Тимошенко, динамическое поведение которой с учетом растяжения срединной поверхности описывается системой уравнений (Т),(8), к которой следует добавить уравнения: ôV.Ov

— = р IU, N = FF — , (13)

дг ôz

где S - продольная сила, и - продольное перемещение, v -- и.

Удар происходит при т=0. При этом мастные деформации учитываются на основе контактной теории Герца. При t > 0, перемещение шара можно представить в виде:

z = if а, (14)

где а - квазистатическое смятие материала балки в зоне контакта.

Тогда уравнение движения части балки, находящейся в контакте

с шаром, без учета инерции контактного пятна (вследствие малости

зоны контакта) и уравнение движения кара имеют вид

дш ■

гя — га + V(t) = о, ту = - P(t), (15)

дг

где P(t) - контактная сила.

Уравнения (15) решаются при сдедукзкгх начальных условиях:

у = о, у = у !У = О, W = О .. (16)

Соотношения между контактной силой P(t) и a(t) согласно контактной теории Герца имеет вид • • .

? = ¡а3/г, (17)

где й = 4й1^/3х(йц + к0)., Р^ « (1 - о|)/Ещ , Ьб = (1 - а2)/В , индексы ш 'и О относятся к шару к балке соответственно,' о - коэффициент Пуассона.

Величины К и Q, входящие в'уравнение (15), определяются при помощи лучевого разложения (5) при z = l(t), где Ш) - радиус области хонтекта. Так как процесс удара является скоротечпш процессов, то можно ограничиться нулевыми членами лучевых рядов, для которых выполняются даш&мичвские условия совместности

,¥ - -- pFGl1}v, С»-Р FGcz)e . (18)

Ка основа соотноданий (14)-(18) могао далучитъ. джКюренци-альвоз урагнйпю относительно Л - сЦ£>

dA . , 3 + ea U ,, ■

А— + i -, = - - а3/г (19)

da 1:1 (1 ect)" m

о начальны?«!

условиями a|t,0 - O . ájt-)> -

где ь = * - . e = .

2pFCí2> С<2)г o h

Если деформации срединной поверхности не учитываются (е=0),

то решение уравнения (19) примет вид б б А - 7а + S a V ь ai ♦ о«х7> , (20)

где а = - 0, а = - § , о = а » b » b = b. » О, i 2 5 Уря з 4 » г 5

Ь, = - и a«<W„ Ь, = - 1 <Г;/УЛ, Ь, » - U a.aVV,, з о i г о 4 ¿.го б 14 i s о'

ГГ Ь3а/70. а6 - - ({§ а,ь4 * а.,*,)/'/,. (20

Коэффициенты а( и а, определяют два различных процесса, про-текащих при ударном взаимодействии: коэфЕядаент отвечает за динамические процессы, вознихавдив р белке при распространении поверхности сильного рэзрчва, а коэфшциент аг описыьаат квазистатический процесс. Происходящий при местном смятой материала по теории Герца. Если ц( * 0, что соответствует бесконечно большой скорости распространения изгконой волны (валка Баряулли-Эйлера), то рёпенье (20) для малых а переходит в квазиетатическое решение,, полученное С.П. Тимошенко.

Если в уравнении (19) в «■ то мы приходам к хорово известному уравнению, онисивавдому взаимодействие упругих тел по контактной теории Герца.

На основе уравнений (1Э) и (20) проводились расчеты для соударения стального пара и стальной балки, которые сравнивались с аналогичными результатами, полученными В.Гольдсмитон.

Далее развивается лучевая теория удара упругого цилиндрического стержня кругового сечения радиуса , движущегося вдоль оси' х3 со скоростью V , по упругой пластине Уфляндп-Ииндлина.

Во время удара в пластине распространяются два типа цилиндрических волн, за фронтами которых реиепие строится при помогщ лучевых разложения (5). В то ке самоо время в стеряие распространяется продольная волна, на которой выполняется динамическое условие совместности (11).

■ С.учето'1 соотыоиошш (11) уравнение части пласткш, находящейся в контакта со стержнем, могио сшлгсать в ь;да

(22)

- 5СТ?ЛрГ/ + ЖГ?р С (У

о" r b b b

У) + 2ЯГ Q = О. о г

РазаиваешА метод позволяет участь тйкео h отраженные волна, которые при набольшх размерах пластины могут оказать существенное влияние на процесс ударного взаимодействия (п.2.7).

В качестве примера рассмотрен поперочшй удар сталывш цилиндрическим стершем длиной 100 ш ц радиусом б icj с начальной скоростью VQ = 20 и/с по круглой ашсыиндавой пластккко толщиной' 20 км и радиусом 50 та. На рис. 1 приводом зависимость ■ контактной силы Р от вреызнн. Расчеты црсшодились с учетом вастн членов лучевых рядов. Из рис.1 'видно, что в момент удара t = 0 контактная сила скачком меняется до «акяагальиого значения Р - PJGJ/Jzr?,

чах Ь Ь О Ь

а затем через 0,6 jtc падает. АналоГлчнао результаты были получена в работе И. El-Raiieb и P. Wagner прл попарочно.ч удара короткие стальным цилиндрическим ударпихоы по круглой стальной пластшю с начальной скоростью V0=335 ы/с. При этом для опредолзшш давления прл ударе использовался котючяо-р г.з кос т;одгоряты на осиoto аоланойнше уравпвшз дшедашя с учотои унругопластвчосгояс дофор-мадай в зона контакта (в силу благого- зиачыш начальной скорости). Авторша такса наблюдался разжй скачо:: ктагтеого даало-кпя, sa личина которого составляла прпг.;зр::о 703 от кихп^алького воатахтяого давлоная в случеэ чясто упругого с^о^орзого саударз-пня.

О 0,2 0,4 0,6 Г.ДС

'' fez.i. Ss8uts=acYb юхлсзи»2 спи oï'времени

D и.2.6 рззсзается дутасая. теорая удара упругого capa ш упругсЗ сготропкоа пласткшш УСдапда-^лдлина с учетом растягэкия срздаяюП поверхности.

При f>0 парэкэ531Еэ вара опзсывается соотношением (14),а

урсспзппэ- дзпгзкяя коятоктного пятна имеет вид

2sl(í)f/ Pi Zzl(t)Q + P(t) = plvr.l2(t)\í, (23)

' Г w/ г

г."") í? c:L!ri, дэйвтвугглэ в плоскости пластины в направлектш г, Q - псгзрочязя сплэ, at) - радиус области контакта.

Sjjsrrón» (23) рэпаэтся с учетом начальных условий (16). Гэгггла ti , 17 и f)r> входящие п уравнение (23), определятся при псгжп лучашх рлдоз (5) па границе области контакта при r=Z(t). Огрипчгззпсь рг.сс'0тр0:":ем нулевых членов лучевых рядов» так как процесс удара пзлгзтся «»рэточшм, приходил к дифференциальному

урггпрпгэ сггосптз.'п-гго гзл-rnnrj А - &{t)

&> ft'

л — + -, А = - - I3' 2, ■ (24)

йз. (СИ +3)'- п

ГЛэ o^'JfüzJl). s.cr«h;

gf-' с»

Гс:;-гггэ ур:гг;:"*л (24) при а = О имеет вид

о

Л » V - о.л + a,«5''2 t Ja ,а(3п+3)/г,- (25)

U 7 t*^ ít+"

гдз а - О/я. а, я - § ± , о " = пИН""«- '

Ha pite.2 приведены численные результата врекеш* контакта в зависимости от начальной скорости удара стального capa радиусом 19,05 мм по аломиииввой пластинке толппгаой 38,1 Расчотп про-водались как с учетом, так и без учета растяжения срединной поверхности, Для сравнения на этом та расугоет показайа экспяр;с.:ен-. тальгага данные, полученные Дя.Зукассм п др. для начальных скоростей в интервале от 1 до 4 н/с, а тзюсэ. екачаниа, подсчитанные по теории Герца. Из рис.2 видно, что учет.рзотягкпя срединной поверхности пластины увеличивает вромя контента я позволяет получить лучаее соответствие тоорэигеееггк, рззугьтатоа с сяспоракея-тальныки значениями, которяз яесат кздду аитзтетоутг^я значениями, опрвдэлопгааа по вояговоЗ ieopn'a тооргп Горца.

В я.2.9 пепзззко, что. гучэпой езтод tsosr» пргт-зпять для ре-: вэния сСрзтпна rarzrt. '

Тек, сага дегаоэ тага даяазфячвскоЯ форт. a. ивювх времени Г ударяет по шзстгпм с некоторой. начальной скоростью, чричем рарзус удорпкг.а, ого- плотность, иомэнт удара я кзето. соудареиил, а такт» пачадкка скорость 'улара является кепзвестпкмм величина-

tm, то используя показания пяти сойскодатчиков С5С (нлк других аналогичных приборов, замеряющих скорости перемещений), установленных в разных точках пластины, можно определить все вышеперечисленные неизвестные гэличины в, кроме того, на основе анализа величины начальной скорости удара установить возможность разрушения материала пластинки в месте удара.

без учета растяжения, с учетом растяжения срединной поверхности, экспериментальные данные Д. Зукзса

_I_|__

О б 10 V0,m/c

Рис.2. Время контакта в зависимости от начальной скорости удара

11а рис.3 схематачно изображены мэсто удара к положения датчиков, из которого шдао, что при известном взаимном расположении датчиков едшетеенаой неизвестной величиной, характеризуххцей положение удар4шш отаосителыю датчиков» является расстояние от ударника до бдгакайвего датчика (на схеме пятый датчик является ближайшим). Обозначая это расстояние за г^, имэем

г. а г. « * г (U1,2.3,4), (26)

• t 15 ' S

где r±f разность ¡йзжду радиусами двух окружностей с" центром в середине ударника, проходящих через 1-й и 5-й датчики.

Рис.3. Схема расположения места удара и датчиков, ■ измеряющих скорости перемещений

1 Из осгссэ гучзглх рядов для скоростей иеремойен-'й потно загасать ггрггзягя скоростей перенесений г? точок шь.сткш, где игодетсл лзгтгя,

3 Ь^Г^'Ь^Ю...,)] ' (1=1.2.....5). (27)

:*.з спстеки пятя грэЕненкй (27) гдозю определять пять искомых ехт.7"л: 1*, У , р , Сравнивая полученное значение V с • прздэ/.ыгсЛ б-ыггсткчоаюй скоростьп V , гош отвотить на вопрос: г.'зопз? п ото соудзрзшга повреждение пластинки или нет.

3 гл.Я.10, 2.11 рассматривается начальный этап контактного сосс:о1г.2Г.о,т::я пр:: удзрэ ¡¡меткого кара радиусом Л и поссол л с гга':эды:сЯ сссростьо I' по упругому слсп толщиной росполотшо->"] л 'плоскости г "дар происходит при (»0, и зар касается . пластпгл п начало координат (г ). Грега» (люду пзрогл и сзр-

гпзЗ гратпщой слсп отсутствует, йочаялый зтгя начинается з мо-."?глгрз (? = о) ч .7р';ен';т'вготсл в г'сионт (г =» ?г) отри-'п с:-— е:~':1згг;гк:сЛ продольно'? поли сильного разрыва от с&зргпеско:; лу 1ПП1, которая является границей области контакта -'ара и ела«. Слс'! прзптолагеется достаточно' тонким, таи что на начально?! отапс удсгного взекмодэйствня когут появиться воякн, отрззяшшо от ней границы слоя, либо свободной от иапрягзкий либо леяидай на г.естксм основании без транш.

В процесса ударного взаимодействия осеааметртпшо продольная и поверочная волан сильного разрыва, еыходп на сьоСодну» поверхность, пересекаются друг с-другом ¡то округиости радаусом г г*, которая :фопится к краям сферической лунют и распространяйте.'!' со сЕерксей&спаской скоростьп и > а в(г), где а(1)- ^(д + - скорость продольной поли, С(г> - ¡уг/р]- скорость волны сдвига. Отрггв произойдет 'в тот момент, когда скорость распространения сфэрячоскоП луп?ш сдоль свободной поверхности совпадет со скоростьп продольной поли. При этом угол \(1) --■

под которая продольная воли сигодат па свобод-» пуп поверхность, стзггэт раишм «/2.

Задача сгодятся к рэгепкп сзстаг» ся^эроицвалы.-а: урагзапгй

о » ои , <} - и(и * и ') + К и О , (20)

при слодягпх. граккчгагх у слотах:

»¿С.П - ГЦ), ■ 140) - у (г < г" л ~ 0)„ *(?9)

* '

я'/ = о33(.г,г)г от (х3 = о). - (зо)

сзг(г'г) = 0 <хз '0)' ' • (31)

" а33(г,4) = О (г > г* и х = 0), (32х

при х} = Л: для слоя, лег,'едаго-на жестком основании 0

У3 = 0 ' °31 = °32 = С" (33)

а для свободно опертого слоя

-• азэ = 0 и = = <34)

где 1>1 и а1 - компонента вектора скорости к тензора напряжений соответственно, г.ф.х^ - координаты цилиндрической системы координат с началом отсчета, расположенным. в центре координат' .г ), гв9* - скорость перемещения центра шара, 6* -

величина угло 0, соответствующая границе сферической лунки, р,9 и !р - сферическая система координат с началом отсчета, расположенном в центре шара.

Для этой задачи построе?1ы падающие и отраженные лучи, а также фронты падавдих и отраженных воля. Рдодь.этих лучей построены одночленные лучевые разложения для следующих величин: о . о„ ,

■о3 Зг

и,, у .

3 г

Так, например, в области контакта вара и граничной плоскости вдоль падаяцях- лучей, быходяе^х кз -'очки с координатой г^, имеем

Г ( 0П)2г2л С'

Г - ^з""^""^ + _ 2Д - 2 '] +

й(г)г2

(35)

На границе области контакта величш.з о33 совпадает с формулой; полученной А.Г.Горзсокш и Д.В. Т;рлаковск®' на основе интегрального представления для контактных напряжений ка начальном этапе контакта гладкого пара и упругого полупространства.

Характеристики поля определяются вдоль центральных лучей (т'0 - О) имеют вид: для'падаащего луча

у Ь +■ [ о(А>= О, (36)

а о у д | зз з г зг

и для отраженного луча -

-1/г ■ G(,}2 -1

5 V 1 + 1 +--г

0 V- v0R -1

-t/г

п( 1 ■ - ort' >vn) v(1) - of,; = 0 (37)

° 33(1) 1X7 v3(i)' "hd a3r(t)

Из урявне.лй (36) и (37) видно, что алгебраическая сукад напряжения азз за ф-онтсля падакцей и отраженной Р-волн в случае свободно опертого слоя м^жет окапаться пологзттелыюй в силу различия законов vx затухрчия (величины на падающей волне- затухают быстрее, чем на отраженной волне), так что в материале мишени могут возникать растягиващие напряжения. Там, где они превысят динамический предел текучести материала при растяжзнта, могут образоваться тр^С{ЕНЫ (плоскости откола). Часть количества движения системы, состоящей из падамцей и отраженной волн, сообщайтся материалу мишени, отделенному трещиной. В результате эта часть мишени приобретаэт некоторую скорость i>3 = v3naj я на-

правлении удара и с-тремится оторваться от основной часта мивенй. Полученные результаты качественно совпадают с результата?,« окспе-римзиталькых исследований,

В п. 2.U репазтся задача об ударе термоупругого стержня о нагрэтую преграду с учс гом конечности скорости распространения тепла и связанности поло! деформаций и температуры. В этой задаче стержень длиной L с теплоизолированной и свободной от напрякекзЯ боковой поверхность» набегает на жесткую преграду со скорость» V . Теотература стенки pauia ?f. Удар происходит при г= 0; начало координат выбирается в месте контакта. В процессе удара на одном конце стертая {>т=С) происходит теплообмен мезду стеряяе.ч и стенкой, а с другой конец {x-L) теплоизолирован и свободен от внешних сил.

Задача вводится к решению следунцой система уравнений: q,x + сЕ0 f Tarüv = 0, q = - - tq.

о, = рй, ö = Яй, - Г0, (38)

где q - колич*. ггво тепле, проходящее через поперо'пюе сечение стержня з единицу времени, с£ - удельная теплоегжость при постоянной деформаци*-, в=Т-7 - относительная температура тела, а0 - хооффициеь" линейного теплового расширения, 70 - температура тела в естественном состоянии, X - коэффициент теплопроводности, х - время релаксации теплового потока, о - напряжение, и - пере-кещенае.

К система уравнений (38) необходимо добавить начальный и граничные условия

и = о, и = - и0, в = о, ё = о. и, = .о),

и = О, д = - ПО - в() (х = О), д = 0, 0 = 0 (х = Ь). (39) -

Удар сопровождается-распространением вдоль стерхня поверхностей сильного разрыва (термоупругих волн). Решение за фронтами пэдавдих и отраженных волн строится в виде лучевых разложений (5) до тех пор, пока стержень не отскочит от кесткой стенки, т.е. когда контактное напряжение обратится в нуль.

НГа рис.4 показана зависимость безразмерного времени контакта от безразмерного времени релаксации теплового потока т в полулогарифмических координатах, где пунктирной линией показана аизло- • гичнэя кривая, полученная Ю.А. Росспхишм без учета связанности полей деформаций и температуры.-

Рис,4, Зависимость безразмерного времени контакта от времена релаксации

Поскольку данная задача связана' с многократным . отражением волн от юнцов стер:2ш, то отрезки лучевых рядов, построенные за фронтами волн, становятся кзпригоднши, так как для лучевого разложения о'Шссет:з Еосладуказго члена к предыдущему неограниченно возрастает с течением врег.:екц. Показано, что лучевой ряд для напряжения в окресйюста ьоляоеого фронта удовлетворяет уравнению,. записанному в безразмерных вэлнчипах,

Оа/т + ал/х = е<0 - а *■ 1/2)C2o/бíг - е-|Зб3о/бг3 +

4

+ )"т;п^е5"п[ао/т; + 2{р + сОбо/М + г(20 + -

к=0

- еб_пЗз(б;?о/бгг - г6эа/б{3] 4- с7'п^53ат3 + 1б4о/5£4]}, (40)

гдэ е-я 1 - г/0 - малая величина, й, р - поеО£зсге>нтн. Решение уравнения (40) будб» искать о виде

о = оо(Т0,ТгТ2) + * с2аг(Г0,ТгГг) +..., • (41)

где I* = E.лt (п = 0,1,2,...) - поте независимые переиетше.

Притеняя процедуру кэтодз шогих масштабов, основанную на ссвобовдении от вековых членов, получим равномерно пригодное раз- « доквние для величины у. в окрестности волнового фронта в виде

о = (а0 +.еа}) ехр£- (а + о^е + ос^е2)?/^. (42)

где а0, а1, а(, аг ~ постоягашз. •

Чтобы распространить разяетшта (42) на всю область определения волновых решений, нуото в (42) заменить I на КГ1, а а - на * - . В результате получку

о(х,Г) = |а0 + (Г - х/Оа^ ехр|-[а + (1 - х/0) +

+ осг» - х/С)2)д:/Ст]|. (43)

На основе равномерно пригодных лучевых разломит вида (43) подсчитано время контакта стержня и стенки в зависимости от времени релаксации и показано на рис.4 светлыми точками.

Аналогичный подход применялся в'задаче об-ударе вязкоупруггог стеркяем о аэсткую преграду, которая сводилась к решению системы уравнений

о, = ри , • и, = «7 ст + Р «ГП>Ц - з)о(х,а)<1з, (44) . * х О \ 0

удовлетворяющей следующим начальным и граничным условиям:

и| =0, у] =-У , ' и[ =0, 01 = 0 , (45)

\г=о . ь=0 |а;-0 1сс=г

где о - напряжение, п - перемещение, и - и - скорость, р - плотность, t - время, J(i) - функция ползучести, {з) = (Г'^/бэ", ^ = ,7(0), <ГГп>(0'). ■

Удар сопровождается возшшювонием в стерто поверхности сильного разрыва, которая распространяется'со скорость» .Ревеяие за фронтами падающих и отрет>нных еолн строится ъ пяле равномерно пригодных лучевых рядов типа (43).

Полученные результаты применялись к вязкоупругону стержню, материал которого описывается модель» линейного -стандартного тела:

«ДП = - (1-Е) егр(-1/Ч0)} . (46)

'где к «70 - нерелзксирова1шая и релаксированная подат-

ливости, -т - время релаксации.

Показано, что при £ = 1/6 прилипания стерта к стенке не происходит, при £=1/9 прилипание происходит только при одном значении времени релаксации (температуры стержня), при I = 0,02 и I = 0 уже существует целая область (конечная или бесконечная) значений времени релаксации (температуры), в каходой точке которой происходит прилипание вязкоупругого стержня.

В третьей главе изучается распространение гармонических волн вдоль границы двух или трех контактирующих тел, причем упругие модули контактирующих тел мало отличаются друг от друга. Лучевые разложения типа (д) позволят строить решения в виде слабонеодно-родяых поверхностных волн в задачах касткого контакта слоя к полупространства, а, также в виде слабонеоднородных волн Стоунли в задачах кз спад го контакта слоя с двумя полупространствами. Анализируются два типа слоя: "замедляющий" (скорость. волны сдвига в слое меньше скорости волны сдвига в полупространства) и "нейтральный" (скорости волн сдвига в слое и полупространстве одинаковы).

В п.3.2 рассматривается жесткий контакт упругого слоя с упругим полупространством. Система уравнений, описывающая динамическое -поведение слабоанизотропного полупространства и ичотропно-го нейтрального слоя, имеет вид:

рй - (А, + и)и, + ш - т и , (47)

{ 1»Ыг 1,11

где р - одотнорть, и( - компоненты -вектора перемещения, латинские индексы принимают значения. 1, ?., 3, точки над величинами обозна- ' чают производив по времени I, ■ а индекс после запятой - производную по соответствующей декартовой координате х1, х3, для слоя я - 0, для. полупространства т ? О, в последнем слагаемом по ' индексу £ суммирование не производится.

К уравнениям (4?) следует добавить граничные условия при = -Н (эта плоскость свободна от нагрузок) и условия непрерывности компонентов вектора перемещения и тензора напряжений при х1 - О '(условия жесткой склейки).

Решения уравнений (47) ишется в виде следующей совокупности плоских гола, еинфазко распространяющихся вдоль грвнины х( - 0 :

в слое \п = 0) и{ =-л (х ) ехрСК^ - (48)

в полупространстве (и / 0) u(= 4 (х ) expt((fcy - ut)- ал?. 1, (40)

где h - волновое число, w - частота, a - коэффициент затухания, y = +■ xji^, я, = ces ф, n3 = sin ф, ,ф - угол меяду направлением распространения волна и осью х2-

О учетом трех приближений величины я и й можно записать в

виде

|г ' - ф, ♦ «bsrçfcljS • jSjJ? * **.•"}]■ «> _ ¡РГ «Зг**^ S« • У1 ■■

где k(°> = w/Gio;>, Ш = та[0)2пяЛп1 - тР), N -- -2тк\0)гп2пг.

С t £ J ir t J

Аналогично строится приближенное решение вида (43), (49) в случае жесткой склейки полупространства с "замедлящим" слоем.

Из формул (49) видно, что величины й и з связаны соотношением

+ art-' «J^2 + 0(ег), <51)

где 0(е2) - функция, зависящая от частота oi и угла ф.

Параграф 3.3 посвящен ксслэдрваяия дшкаического поведения грзхслзйной срэдя, состоящей из одного в того гэ елабопжгзотрон-:;ого з гкзогропного материалов. Эти исследования базируются на кетодже, подробно изложенной в п.3.2 пржэнатольяо я поверхностным волнам в двухслойных средах.

В отлично от п.3.2, где в результате искажения кристаллической реаетки объемная SH волна тр в н сфоргяфов а л а сь в слабонеодно- • родную поверхностную волгу, здесь объемная GH волна; распространяющаяся в упругом изотропном пространство, трансформируется в волну Стоуаки горизонтальной- поляризация 'вследствие слабого искажения кристаллической реиетки матерела в некоторой области этого пространство: лабо в слое, оставляя афдеавдйв его полупространства -пзотротшма, либо, наоборот, в полупространствах, оставляя цзотропннп слой мезду ню®. Такие комбинации иогут возштнуть в некоторых практически вакных случаях, например, при обработке поверхности изделия.

Решение уравнений (47) ищется в вида следующей совокупности плоских воля, сиифззяо распространящихся вдоль границ г( - - h я х = h :

п слое = At (xf ) expitifcy ~uî)l, (Ъ2)

и в верхнем и пишем полупространствах соответственно ut = \átI(x().exp[t(íy - uí) + а^],

u{ = AlII{x1) expc4(Uy - ut) - 8ZJxfl, (53) где аги агт - коэффициенты затухания, A, (х ), Л1Г(х,) п А1ТТ{х_)

i лi ti ti * (ZI f

- амплитуда.

Подставляя решения (52) , (53) в уравношш ддаЕэтш 'п используя разложения по малому параметру всех входящих туда валичш, иошо определить вез искома вохяоша характеристики к, в частности, получить:

для первого типа трехслойной среду, в которой упругий слабоанизотропный слой кубическое сшштраи тодщни ¿h заклаяен тгз* п лоскостяш лг) = - h и sf = h, о упругие изотропные полупространства, окружающие» его, зашашот -области х 4'-h.i: х » h, персионное соотношение вида

к2 - З2 ~ к[0)г, (54)

что характерно для слабонеоднородшх поверхностных попорзчпо поляризованных волн;

для второго типа трзхслойноЗ сроди, лродставляхцо^ собс:" изотропный слоя, толщины 2/1, заключенный мезду двумя слабошяот-ролыыми полупространства,',ai, дисперсионное cootiíoeoioío вида .

к2 + s/Г' = к!°,г + 0(е2), ^ (65)

где 0(е2) - функция, зависящая от частота и к угла О-

Заметны, что аналогичное дисперсионное соотновешю (65) получено В.А.,Росс1шашм при'распрострй::з1п;и твгрхкосткой сДаОопоод-нородаой волны в двухслойной средз, состояла из изотропного слоя, и слабоанизотропного полупространства. .

В заключенно глава дткечаатся, что при покэкз такдаа срединного слоя il, а уакаэ параметра й, ' харалтерл-зущэго ' анизотропии, коша регулировать .иэлзчпцу ослаблзшл воля CtoyjiCî в направлены! норлалн к повзршостт раздала, трох сред. Если по. добрать соответствуй^ образов пэра:,зтри h в п, то i.'oisra разработать такую трохслойауи ¿шиз задзр^ш, состоящую из слабоакгхзо-тропного (изотропного) своя, ааклетешого меаду двумя оданоконла взотропнша (слабоангзотрошкш) слоятся, у которих щи прохода ; нш волнового сигнала виезнзд поЕэржоста останутся кевоачукекш- • ки, что сведет к tmmsyvj потеря .ашртия пра трансляции. Гедара-/тщя вздорного сигнала до .состава» труда, тек как для этого доста-

точно на-входе получить ЗН волну, которая затем на выхода сама трансформируется в нуяную волну Сгоунли.

• • В четвертой главе рассматривается нестационарные колебания классических и неклассическнх балок и пластин, лежащих на упругих шш термоупругпх основаниях. Колебания возбуждаются мгновенным приложением скоростей перемещений или температуры к верхней граничная плоскости пластины. Данина начальные условия приводят к возникновению в полупространстве, контактирующем с пластиной, плоских волновых поверхностей сильного или слабого разрыва, рас-пространяггцихся вглубь полупространства. .За фронтами этих волн решение строится в виде суперпозиции лучевых рядов, построении: за фронтом каядой нз возбужденных волн, вплоть до нижней граничной плоскости пластина. Неизвестные функции, входящие з коэффициенты лучевых рядов, определяются из условий контактв пластаны с полупространством, который мояет быть двух видов: жесткий шт скользязлй. Прн поиска описанного метода исследованы завгсгаюста прогиба пластины от времени без учета -и с учетом сиимэулщх к сдвягапдих сил, дейатвугоих в плоскости пластины. Учет стимзжгх сил, действующих з плоскости пластаны, позволяет исследовать задачу о ее устойчивости по отноаешпэ к нестационарным воздействиям, которые могут приводить в зависгмостя от величины сякмапих сил к уменьшения или увеличена» прогиба пластина в течение выбранного промежутка времени.

В п.4.2. изучаются нестационарные колебания балки Тталозенко на упругом изотропном основании. При этом предполагается, что реализуется плоское .деформируемое ссстоягггэ. Динамическое поведение балки -моделируется урзвяэтгаг," учвякмкзга тарв^-^твгтя а дэфэрмащго поперечного сдаига. Еслз наряду о поперечной ггозорх-ностной нагрузкой р(хД) балка подвергается воздействии касатель-нцх нзпрягьний т(гд), то уравнения бала могут быть записаны в виде:

4иЬ д^и 0ги гдгШ дК\ д2П

v бх2

ra-ff ок\ а'г?

- 2p.fl — = - X. 2141 .Л —--- 2р л — = - р.

1 dt2- Icta2 дх] ' Ot2

4 ah3 дг\ Г317 "». 2 ' дгК

_ _J--- + ?J?u М- - X - - P.h3 = ~ А* , (56)

3 t - vj ' (dr J 3 ' dt^

где U(x,t) и ffU, f >- горизонтальные л вертикальные перемещения срединной плоскости (л = О) соответственно, - угол п^во-

рота поперечного сечения балки» & - коэффициент сдвига, Zh - тол

пиша пластины.' ßf, vf n'p( - модуль сдвига, коэф&щнонт Пуассона и плотность материала балки соответственно.

Балка п полупространство контактируют при z.= h. Рассматриваются два типа контакта: кэсткип и скользящий. Граничные условия при кэстксм контакта кэеду балкой и полупространство:* к.'.зст вид:

<¡33(x,h,t) « p(x,t), aí3(.x,ti,t) = <c(x,t),

uy(x,h,f> - t/(x,t) -mx,t), u3(x,h,t) = üf(x,t): (57) при скользящем коа^акто; •

o33<x,h,t) » р(х,Г), . o13(x,h,t) = 0,

t(x.t) « 0, u3(x,h,.t) = ti(x,t), (53) .

где' otj и u{- тяааэоти тензора напряжений к Езхггсра сзрс;;зцз-ИИЙ.

Нестационарные кодеогнкя пластики возбуадаатся путей сооб^э-Ш1 точкам пластши в начальный ко^знт времота скоростей

di. er/,

* о(х), — » Ь(х), — « е(х), (59) . „ öi I „ dt , 0

где a(x), Ь(х) и с ix) - заданные функция.

В результате мпюяанюго дэЛствкя на бакку скоростей (£9) в полупространстве появляется дез повэрхкосг»! сильного разрыва .(объемные волш ссакяя и сдкпга), за фронтам! которых, раавнкэ для некоторой исковой функций строится в шдз лучевых рядов (5), в которых скачки производных fe-го порядка от функции 2 по врекзнп г на волновой поверхности вычисляется при í = (Z-h)G~1. Произвольные функции, входящие в когффщяэнтц лучевых рядов, опродэл.'татса из начальных условий (59) и условий контакта (57) №1 (53).

Используя описанную методику и предполагая для оирэдэлэкцос-ти, что в соотношениях (59) а(х) = ffgalrdx/h, 'Ь(х) ■= ^slnlx/íi, с(х) - Y¡0coslx/h. где VQ, XQ, я I иэкоторие константы, получены выражения для безразмерного прогиба в случсзсосткого контента полупространства с балкой Тимощенко

ft*- I^ffLf. „. 1\г + V) + -

I 49 1129J 61 у

Лгв^гР 2ж»*Ш (60)

г Le Лдо • (70JJ6 J

в случае скользящего контакта полупространства с балкой Тимошенко

: аэ

¡Т* = (г* - ~ — + [}!_) - йь + ]соэ1х" (61)

I ге 2 Цг^ • о1 1у]б )

где >г= - . X*« г « г— , © « т;1, г = , я *- .

■17 П П р м 2(1^)

На основе получошшх формул прозедекн часлекнне расчета для относительно легкой и подртливой балки (0 = 0.75 я Г = 0.1) и для относительно тягелой и газеткой балка (6 - 1.44 и V = 8). Показано, что в случае относительно гмсткой и тяжелой балки колебания происходят быстрее п с меньшей амплитудой, чем в случао относительно легкой и податливей балел. Кроме того, способ контакта оказывает более существенное влияние на нестационарно' колебания легких и податливых балок, чем на колебашш тяжелых и гестких балок. '

В п.4.3, 4.4 рассматриваются нестационарные кодобания классических пластин и пластан Уфшяида-Миндгаша, лекажи па упругих изотропия, основаниях с использованием метода, изложенного в и. 4.2. П л.4.5 при анализе холзбзгпы пластинки Уклада-Мшуукша прогпгстдоп ¡тот сжад уси-пй, пралоаоюш в плоскости пласги-ги, которай псосоляет рассмотреть вопрос об устойчивости пластины по 0ТЯ0201ЕЮ :: шетоанонаршм гоздепствяям. Устойчаизость пластики определяется по характеру зреэдшюй зависимости прогиба пластина о.

На рис.5 приведена зависимость безразмерного нрогнба от безразмерного времени для относительно жесткой пластины, из которого видно, что часть кривых проходит через максимум, а часть кривых, начиная с г > - 1.2 имеет точку перегиба, которая определяет выпуклую часть ггротой от вогнутой. Иначе говоря, начиная с г> -1.2, налицо явгше признаки неустойчивости.

Рис.б. Зависимость безраждаргого прогпба от бэзрагггзряого времени

В. заключение этой главы в п.4.6 решена задача о тепловой ударе по верхней границе пластины, находящейся в наид8альном тепловом и жестком или скользящем механическом контакте с термоупругим полупространством, в которой тепло распространяется с конечной скоростью. При этом предполагалось, что температура по толщине пластины меняется по линейному закону так, что на расстоянии z от срединной плоскости температура равна

Т (x,t) = ro(x.t) + Гf(x,t)z. (62)

С учетом (62), уравнения движения пластины на основе гипотезы Кирхгофа-Лява имеют вид:

¿Hh дги дги 4ыП(1 + v ) ОТЛ

•—-— —^ - 2р h - -а — . - т , (63)

1- v Ох2 1 Ot2 1- v. 'От

j ?

04v> 92w (К 02Г,

С __ + 2р h -—> Л — = р - JN1 + v, )at—-L , (64) дх^ ot Ох 1

где D = 4ujn3/3(1-v))- цилиндрическая касткость, U{x,t) и w(x,t) - перемещения срединной плоскости пластины z = О, 2Л - толщина пластины, v( и - модуль сдвига, коэффициент .Пуассона я плотность материала пластинки соответственно, of коэффициент теплового расширения, p(x,i) и Kx.t) - соответственно поверхностные поперечные и тангенциальные нагрузки.

Предполагалось, что до момента времени t = О пластина и полупространство находились в покое и температура трех сред оыла одинаковой п равной 80 = con3t, в0 - температура полупространства в естественном состоянии.

Функции ?0 (х) и Р (г) удовлетворяют уравнениям теплопроводности, которые учитывают теплообмен между пластиной и окружающей средой через граничные плоскости пластины г = * h :

а2г„ в i от огт. зн 1 от,

--- Vй---У- - —<т, - в, j"--L- <65>

dx2 Xfh 0 а a flf ¿»х2 а 01

где е0 = f/2(6( * 9г), ef = (ef - ег)/2h, 8}(x,t) - температура полупространства при z - h, e?(.r,t) - температура окрукаодей сре да при г = -Pi, В - коэффициент теплопередачи, - коэффициент теплопроводаостк, а - коэффициент температуропроводности.

Система уравнений, оннсызащая динамическое поведение изотропного термоупругого полупространства, в декартовых координатах xf= х, у, х3- z имеет вид

(30. , au, öuv (du, du,,

-lJ - P — . Ö, = h 5, , + H -JL + _1 - Г83.

дт, öt iJ dx„ <3x,J *>'

J ■ A J t

3q, 69 flu, .00 ea,

—i + c. — + Гв„ —i. = 0, q, = - к--tn —!L , (66)

öx, e öt 0 dx, ' öx öt ,

j j t

где - компоненты тензора напряжений, u{ и t>{ - компоненты вектороз перемещений и скоростей, соответственно, 9 - относительная температура полупространства, gt компоненты вектора теплового потока, р - плотность материала полупространства, X к и -параметры Ламе, С - символ Кронекера, Г = (ЗА + 2д)а, а коэффициент теплового расширения, се - удельная теплоемкость щзи постоянной деформации, И - коэффициент теплопроводности, 10 - время релаксация теплового потока, латинские индексы принимают значения 1 и 3.

Пластика и полупространство контактируют друг о другом при z = h двумя'способst®: жесткий механический контакт я неидоальннЯ тепловой контакт

u (x.ft.t) = U(x,t) - h öv(x,fi,t)/ex, un(x,h,t) = w(x,h,t),

3J3(x,h,t)*p(x,t), o13{xth.t) = x(x,t),

- q3tx,h,t) = me^z.h.t) - T0(x,t) - ?i7f(x.f)>; (67) .¿кользящий механический контакт и неадоалышй толковой контакт

u 3ix,h,t) ='a)(x,h,t>, o33(x.h,i) = p(a.t). oi3lx,h,t) = 0, %(x,t) « 0,

- q3(x,h.t) = #ief(x,ft.i> - lyx.i) - ft?f fcr.t)).- (68)

При t = 0 температура оррукаодвй среда или пластины мгновенно изменяется на значение б4(г) и.далее остается постоянной. Кроме того точки лластинн, распалагавдиеся на плоскости z = - h, приобретают в начальный момент времени скорости перемещений. Тогда начальные условия можно записать в виде:

дш ' .

—! = t/ö. — = t^, = о, - о, о2 а*(х>, "1t-o fli t=o «t-o W (69)

ИЛИ , ■

l'^J = Э (х), -ТА' -0, е2 = О. (70)

где UQ, ш0; и 6*(х) - заданные функция.

В результате теплового удара и полупространстве Появляются

три типа поверхностей сильного'разрыва, за фронтами которых ре-вониэ для искомых функций строится в виде лучевых рядов (б). Нэ-известные функции, входящие в коэффициенты лучевых разложений, определяются из граничных и начальных условий. '

• Ь качестве примеров рассматривались задачи о внезапном изменении температуры окружающей среды (70), полагая при этой е"(2) = ж соа!х/Л, ио = и>0 = .0, где к » сопаг, I - натуральное число, и о внезапном изменении температуры пластинки, полагая при этом в"(х) - к соз1х/Л к ио * ш0 и о. На рис.6 показаны безразмерные зависимости прогибов от безразмерного времени . ■ • "

Рис.6. Зависимость безразмерного прогиба от безразмерного времени в)в случае внезапного изменения температуры окружавшей сродц, о) в случае внезапного изменения температуры пластины!.

Из рис.б.а видно, что пластинка совараает колебательное дш-, гвяие, причем после нагрева над пластинкой окружающей среди пластинка выпучивается вверх. Это объясняется тем, что после пэгрева окружаидей среды верхние слои пластины испытывают растязс&ние, в 'пишгё - сжатие. Из рис.6,б видно, что пластинка совершает колебательное движение, причем после внезапного нагрева пластинки происходит быстрый нагрев полупространства, а температура окрука-идей среда над пластинкой остается неизменной, так что шташе слои пластинки испытывают растяжение, а верхние - сжатие, в результата чэго пластинка начинает выпучиваться вниз. Итак, первый пример соответствует слабому воздействия на двухслойную среду, •т.к. разложение прогиба начинается с С3, а разложение температура - с г„ а второй пример соответствует сильному воздействию на двухслойную среду, т.к. разложение прогиба начинается с а температуры - с константы.

В данном параграфе показано, что лучевой метод позволяет исследовать динамические' явления термоупругого контактного взаимодействия как при слабых, так и при сильных нестационарных воз- .

^зйеггяях еэ дзухсло21уз срэду, иэход/куося как в условиях таст-:;ого, тез п скользкого контактного взагаодзйствия. Однако ресэ-яля, получегсша езтодо?«,1 дучзе всего атарока&жрувт кратко-врзкэшшэ процессы. Чтоба продвинуть изучение процесса во времени, необходимо учитывать большое число членов лучевого ряда, что» в свов очзрздь0 пркводат к значительному увеличешто объема вычислений.

Пятая глава посвящена гар.зсппчес!с21 колебаниям висячих ток-костевншс балок. Эти задачи тагае от:юсятся к задачам дшшлчве-ш>го контактного взшиодейстсяя» так как балка посредством подвд-сок взаимодействует С кабэлтаг и пилоиаш. В п.3.2 на основе едз-яаших допущений при помола вариационного принципа Гаиильтонз-Оотроградского получена определяющая система уравнений, описывавшая свободные нелинейные пространственные колебания висячей комбинированной системы, балка кесгкости которой обладает одной ось» екккэтрик (рис.7).

"С

4

Рмо.7 Схема висячей комбинированной системы

В п.5.3 путем разловения угла поворота сечения вокруг центра нз^ба, вертикального и горизонтального перемещений центра изгиба балки по собственным формам линейных колебаний

о о

п*1

■Лг

(71)

1

где хл (*), - обобщенные перемещения, V (2), 0 (2)в и (г)

1П «ян * л я те

- соответственно линейные вертикальные в крутильные и горизонталь-

ныа собственные формы колебаний висячей системы^ обладающие свойством ортогональности

- ФЦ9^ + 5 ^ + I + "Л) =

где величина р1 монет равняться собственным частотам изгкбко-крутильных колебаний , О, задачу удается свести к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат .

г2» + * а™х„Гг* + + ' <72>

где а(у Ь{1 и с{{ - коэффициенты, зависящие от взаимодействующих собственных форм колебаний с частотами ш ий„ .

г Оп Огг

Реиение этих уравнений для случаев внутреннего резонанс« один-к-одному

• - 2 + £0 (73)

или два-к-одному

<о„ = о, + е2о (74)

Оп Он.

где о - частотная расстройка, е - малый параметр, имеющий порядок амплитуд, ищется в вида разложений по временным масштабам,

+ е3х13(Т0,Т>,Тг,...) *

♦ + <75)

где Гп = ега1 (г. = 0,1,2,...) - новые независимые переменные, которые являются равномерно пригодными временными лучевыми разложениями. Путем процедуры освобождения от -вековых членов решение данной задачи сводится к неполвому эллиптическому интегралу первого рода, который связывает относительные амплитуда колебаний, первоначальную ввергая системы и время.

Решение (75) представляет собой разложение обобщенных перемещений ш малому параметру £ и зависит от быстро меняющейся переменной Т0 ~ t , характеризующей движения с собственными частотами ь>0 и П0, и медленно меняющихся переменных Тп = еп* (п = 1,2,...), характеризущих модуляции амплитуд и фаз.

Сргетсгзя форуяа (75) с формулой (41), вида«, что по виду эта формула совпадает. Разлачиэ состоит в том, что в формуле (41) временные масатаба связаны с продвижением волнового фронта в пространстве (в заданной среде), а в данной задаче временные масштабы связаны с раздергиванием колебательного процессе во времени вокруг положения рашсвесия. Если ряд (4Т) является равномерно пригодаым лучвет* разложением вблизи толкового фронта, т.е. прифронтовой асимптотикой, тр ряда (75) являются равномерно пригодными лучевыми разложениями вблизи начала отсчета времени, т.е. временной асимптотикой.

В п.Б.4 яяализарзротся полученные решения для внутренних ре-эонаяоов один-я-сдагачг и два-к-одному. Анализ базируется н» четырех теоремах, которые дают необходимые или достаточные условия существования; различных колебательных режимов, а именно: стационарных колебание, при: которых перекачки анергия между вертикальными и 'крутильными колебаниями " не происходит, апериодического режима, который сопровождается необратимой перекачкой энергии йз одной подсистеив в другую, и периодического режима, при котором происходит двухсторонняя перекачка энергии. Эти же теоремы дают ответ на вопрос об устойчивости перечисленных колебательных режи-•язв.

Э п.5.5 предложена гидродинамическая аналогия, которая позволяет колебания висячих систем интерпретировать как движения точек нэсгямаемой фазовой кидкости на фазовой плоскости <Г-£, где V - сдвиг фаз между вертикальными й изгибно-круткльными колебаниями, £ - относительная амплитуда колебаний. Данная гидродинамическая модель применялась в п.5.7 к висячему мосту "Золотые Ворота" в Сан-Фрашдаско, для которого построены многочисленные фазовые портреты'для различных пар взаимодействующих код. В п.5.8 для некоторых апериодических режимов получены солитоноподобяыв ре пения в аналитическом виде, погорим на фазовой плоскости соответствуют кривые-сепаратриси.

В заключение данной главы развиваемые метода применяются к анализу затухающа свободных прострзптвенных колебаний висячих ■ комбинированных систем.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1.0 единых позиций проанализированы многочисленные и разнообразные задачи динамического контактного «взаимодействия твердых тел: начиная с задач удара и кончая задачами о нестационарных и гармонических колебаниях балок и пластин, лежащих на упругих основаниях или висящих на упругих нитях. Их объединяет общий метод решения, состоят^ в разложении искомых функций в лучевые ряда с последующим определением коэффициентов этих рядов (лучезой метод). .

2. Предложена новая разновидность лучевого метода - метод прифронтовой регуляризации, который делает отрезок лучевого ряда равномерно пригодным во всей области существования волновых движений, что позволяет расширить область применения лучевых рядов.

3. Показано, что равномерно пригодные лучевые разложения представляют собой «ногомасатабше разложения по пространственно-временным переменным, что сближает метод прифронтовой регуляризации с методом многих масштабов.

4. Проведена классификация лучевых рядов, основанная на характеристике аппроксимируемых ими полей физических величия; пред-: лохена классификация задач, основанная на число удерживаемых членов лучевого ряда; определены границы применимости лучевого метода. Проанализированы возможности лучевых разложений при решении -различных задач воляовой динамики.

5.Построена волновая теория удара,' которая в отлйчиэ от теорий Герца и Тимошенко, используемых для малых скоростей соударения твердых тел порядка.1 - 5 м/с, может с успехом применяться для скоростей соударения порядка 10-60 м/с.

' 6. Получено решение задач об ударе тонкого упругого стержня и об удэре упругого шара по балке Тимошенко с учетом растяжения срединной поверхности балки.

7. Проанализированы задачи об ударном взаимодействии тонкого упругого стержня и упругого »¿>ра с пластинкой • Уфлянда-Миндлина; во второй задаче учтено растяжение срединной поверхности пластинки.

8. Поставлена и решена обратная задача теории удара для тонкостенных тел.

9. Рассмотрен первый этап задачи-об ударе жесткого шара по упругому изотропному слою конечной толщины, при этом учтены, как падавдие, так и отраженные волны.

, 10. Показана возможность прогнозирования локального разрушения материала упругого слоя в процессе удара, при этом определяются не только время и место образования трещины, но также и ско- ■ рость, которую приобретет отколовшаяся часть слоя.

11'. Задача об ударе термоущ лото стертая о жесткую нагретую преграду решена с учетом связанности полей деформаций и температуры, а также с учетом конечной скорости распространения тепла.

12. В термоупругом стержне, находящемся в неидеальном тепловом и.механическом контакте с нагретой стенкой до момента отскока , построены шля напряжения, скорости перемещения, температуры и теплового потока; кроме того, изучены временные зависимости контактного напряжения и контактной температуры, а таксе зависимости времени контакта от начальной скорости удара, температуры нагреве стенки, коэффициента теплоотдачи от стенки стержню, времени-релаксации теплового штока. Кривая зависимости Бремени контакта от времени релаксации теплового потока имеет минимум, который можно объяснить.преобладанием рвлаксацио;шых процессов над волновыми.

13. В результате многократного отражения квазитепловой к квазиупругой волн в задаче об ударе термоупругого стержня о .преграду лучевые разложения, построенные за фронтами этих волн, по- . рестают быть пригодными во всей области существования волновых движений; поэтому все полученные результаты уточняюсь с. помсщыо равномерно пригодных отрезков лучевых радов, полученных методом прифронтовой регуляризации.

14. При помощи равномерно пригодных лучевых разложений исследована задача об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду, получены зависимости врекени контакта от времени релаксации для различных значений величины, характеризующей отношение релак-сированного и нерв лакированного упругих модулей.

15. При помощи лучевых разложений найдены новые типы решений в двухслойных и трехслойных средах, которые представляют собой квазипопоречные елабонеоднороднке поверхностные волны.

16. Рассмотрена задача о распространении волн в двухслойной' среде, состоящей из слоя и полупространства, находящихся в жестком контакте, причем упругие модули материала и-юя и полупространства мало отличаются, друг от друга; решение в .виде квазипопе-ре чиой слабонеоднородной поверхностной волны построено в двух случаях: для "нейтрального" и "замедляющего" слоев, т.е. когда скорость волны сдвига в слое и полупространство одинакова, и ког-

за

да скорость волны сдвига в слое меньше, чем в полупространстве.

17. Проанализирована задача о распространении волн в трехслойной среде, состоящей из слоя в ^окружении двух полупространств, . находящихся в жестком контакте друг с другом, «ричем упругие модули материала слоя и материала полупространств (у них материал одинаковый) мало отличаются друг от друге; решение в виде квазипоперечной слабонеоднородной волны Стоунлн построено в четырех случаях: когда слой изотропен, а полупространства слабо-аюгаогропны, и, наоборот, когда слой слабоанизотропеи, а полупространства изотропны, при этом слой.может быть как нейтральным, так и' замедляющим.

18. Во всех перечисленных задачах построены дисперсионные зависимости волновых чисел и коэффициентов затухания амплитуд волн с глубиной и дана оценка проникания поверхностных волн в материал подложек. Теоретические результаты могут быть использованы при конструировании двухслойных и трехслойных линий задержки, звукового сигнала.

19. Найден новый подход к решению задач о нестационарных колебаниях балок и пластин, лежащих на упругом основании, который позволяет рассмотреть различные условия контакта, а также решить вопрос об устойчивости поведения балок и пластин по отношению к импульсным воздействиям.'

20. Решена задача о нестационарных колебаниях балки Тимошенко, лежащей на упругой изотропной полуплоскости при жестком и скользящем контакте, при этом учтены как горизонтальные, так у. вертикальные перемещения средней линии башш; нестационарные колебания возбуждались мгновенным приложением к верхней границе балки скоростей перемещений. .

21. В такой же постановке решена задача о нестационарных колебаниях классической пластины, а таю» пластины Уфяяндв-Ииндляна, лежащих, на упругом изотропном полупространстве; та же задача рассмотрена с учетом сжимающих и сдвигащих сил, действующа в плоскости пластины.

22. Последняя задача позволяет провести исследования по устойчивости пластин Уфаявда-Минхлиаа, лежащх на упругом основании, та сгноивши) к импульсным воздействиям. Задача ю тепловом ударе по поверхности пластины, лежащей на термоупругом полупространстве, решена с учетом связанности ролей деформаций я температур« и конечности скорости распространения тепла ¡в полупространстве , а также с учетом горизонтальных и вертикальных перемете- .

средгзгяоЯ плоскости пластали: пр;: втогд рзссятреня дав ввда ::оя?пата: гэстккй- (•зхсническкЯ контакт и шидеялький тепловоз яжг&х? я скользящ механический контакт и веидеалышб тепловой ■ контакт.

23. На основе некоторых предположений, сделанных относительно висячей комбинированной систем при помощи вариационного принципа Га?«ильтояа-Остроградского получена система нелинейных уравнений, списывающая свободные колебания висячей тонкостенной балда кесткости. При помощи метода разделения перс-манных получена скотома двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени от обобщении перемещений, которая решена з предположении малости колебательнш движений прч взааюдеСствта двух форм колобатШ в случаях внутреннего розона:-?са дээ-к-однод;? и один-к-одаому.

24. При помовд лучевых разложений проведено подробное "лсо."2-дование свободных нелинейных гармонических колебаний висячих то:-1.- _ костеншк балок в зависимости от абсолютного и относительного уровня начальных амплитуд в случаях внутреннего резонанса два-к-одному и один-к-одному.

25. Для двух взаимодействующих форм колебаний получены три колебательных режима: стационарный, при котором отсутствует перекачка энергии из одной подсистемы в другую, апериодический, при котором перекачка энергии необратима, и периодический, при котором подсистемы обмениваются энергией через определегеше промежутки времени. Опираясь на ряд сформулированных и доказанных -теорем удается проанализировать условия возникновения каждого из перечисленных колебательных режимов и исследовать его устойчивость в зависимости от характера возмущений начальных условий.

25. Предложена интерпретация колебательных движений при различных начальных условиях как движение точек фазовой жидкости в некоторой фазовой плоскости (гидродинамическая аналогия). Получе-т аналитические решения дня стационарных и апериодических колебательных режимов (солитоноподобные решения). Численные исследования проведены для висячих мостов "Золотые ворога" я Сан- 1 Франциско и "Винсент-Томас" в Лос-Анжелосе; получены многочислен- , ныв фазовые портреты для этих мостов з зависимости от двух взаимодействующих мод вертикальных и изгибно-крутильных колвСгний. Прослежено влияние вязкости на характер колебательны? процессов, . протекающих в висячих мостах в случаях внутреннего рчзоненсд два-к-одному к один-к-одному.'

ПУБЛИКАЩИ ПО т'ЕРИАДАМ ДИССЕРГАЩИ

1. Шитикоза М.В. Дифференциальные уравнения свободных прост рэнстяенкых колебаний висячих мостов с учетом сдвигов и инерцки . вращения// Висячие покрытия и мосты.- Вороне»; Иэд-во ВГУ, 1986.-C.75-ST..

2. Шитикова М.В. К расчету свободных пространственных колебаний висячих мостов с учетом деформаций сдвиге и инерции вращения балки жесткости// Прикладные задачи теории соорукений.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987.- С.12-23.

3. Шитикова М.В. Алгоритм расчета пространственных колебаний висячих комбинированных систем с учетом деформаций сдвига и инерции врацэния// Прикладные задачи статики и динамики мостов. -' Воронеж: Изд-во ВГУ, 1988.- С.35-46.

4. Баранов В.А., Ефршик С.В., Шитикова М.В. Натур!ше испытания Еисячего моста через реку Сура// Исследование висячих конструкций-- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989.- 0.34-42.

5. Бирюка Л.В., Россюшп Ю.А., Шитикова М.В. Численная реализация лучевого метода ¿три исследовании неустановившихся волновых процессов в анизотропных пластинках типа Тимоиэнко/ Тез. докл. межресл. научно-техн. конф. "Численные метода ранения задач строительной механики, теории упругости и пластичности.- Волгоград, 19Э0,- С. 14-»п.

6. Рессихин Ю.Л., Шитикова М.В. Нелинейные свободные прост-paiiCTBStiHHs колебания енсячйх комбинированных систем// Ярикл. натем. и козчнпка,- 1930.-- 1.54, Кб,- С. 1003-1011.,

7. Россихия ТО.к., Шитикова М.В. К построению лучевых разложений для решения динамических задач линейной вязкоупругопги// Прикл. механика,- 1991.- Т.27, К1С.33-85.

8..Россихин Ю.А., ¡Цитикова М.В. Нелинейные свободные колебания висячих мостоз//Тез. докл. 46 науч. конф., посвкщ. 60-летим ВИСИ.- Ворояех. 1991.- С.7-8.

9. Россихин П.А., Шятикозэ М.В. Злияние начальных условий на характер протекания колебательных процессов в висячей комбинированной системе// ИЗВ. АН СССР. Механика твердого тела,- 1&Э1.-КЗ.- С. 143-154.

'10. Россихин В.А., Шишкова М.В. Лучевой метод исследования неустановившихся волновых процессов в тонком упругом анизотропном слое// Прикл. матам. и мвхшгика.- 1ЭЭ1.- Т.55, Я5.~ С.84Э-656.

. 11. RoeslkMn Yu.A., Shitlkora M.V. Nonlinear Ires vibrations

ni -.тзггпзЗсп ^rlc'seo/ZDeyelcpTento In Mechanics,- V.i6/Proe„ 2£d :.1i{fec3tcm "acfcanica Conf.- Holla, USA, 1991.- P^460-461.

•3„ Pocciixins О.Л., Gnmtom М.Б. Иодаллровмш различных ко- • -ебательпих рязасжв вясячих тостов/ Тез. докл. Всесоюз. кон?, по чатемат. и магпшному «здолнрованию.- Вороне«: ВТИ, 1991.- С.216.

13. Росиотгн ьл.ц йтэсова М.В. Равномерная пригодность лучевых разложений в краевых задачах волновой динамики/ Тез. докл. жолы "Современные метода .в теории краввик задач". - Боронен: Кэд-Ю ВГУ„ 1592=- С.Э4.

14. Rcssikhln Уи.д.„ Shltlkova M.V. About shock Interaction of elastic bodies vtth pseudoisotrontc Oflyand-Mlndlln platra// Free. Int. Symp. on Impact Engineering.- Sendal,Japan 1992.- V.2-P,623-628.

¡5. Шктикова М.В. Моделирование свободных нелинейных колоба-тельннх процессов в висячих мостах при помоют даухмассовоЯ системы// Совремешше метода статического а динамичекого расчета соо-рукеямй и конструкций,- Воронеж: ВИСИ,- 1992.- Вып.1.- S.147-153.'

1в. Россихин Ю.А., Шитикова М.В. К задаче об ударном взаимодействии упругого стеруня с пластинкой Уфклянда-Мшцувша// Прикл. иехвннка.- 1993.- Т.29, Н2.- 0.33-46.

17. Россихин ».Л.,. Шитикова М.В. -Влияние вязкости на свободно пространственные колебания висячей комбгашрованпой си сто мы// Изв» вузов. Строительство,- 1993,- Я4.- С.26-29.

18. Hosalkhln Yu.A., Shltlkova M.V. The wave method for analysis oi structures members Injury under lmpact//Fracture Mechanics; Succeaaea and Prohlemu/Aba. 8th Int. Conf. on Fracture, .'(lev 8-14 June, 1993.- Lvlv, 1993.- Part II.- P.609-610.

19. Rosslkhin Yu.A., Shltlkova'If.V. About the structure of finite amplitude waves In a nonlinear elastic medium with viscosity in the vicinity of th& vmvefrent//Advancea in Nonlinear Aco-uatiC3/Proc. 13t!i Int. Symp. on Nonlinear Acoustics.- Bergen, "ior.Yay, 1993.- P.140-145.

20. HosalKhln Vu.A., Shltlkova li.V. A ray theory of impact// Mechanics of Contact Impact/ Proc. Buroroech 306 Col.- Prague, 1 1993.

21. Baskakov V.A., Hosslkhln Ku.A., Shltlkova M.V. Ray method lor the shock wave Investigation in.nonlinear elastic medla//Vlb-ratlona and Waves in Ecology, Technological Processes and Blag-nostlcs/Proc. 1st Int. Conf'.- Minsk, 1993.- P.28.

23. Россихин Ю.А., Шитикова М.В. Нелинейные свободные эатуха-

глда пространственные колебания висячих комбинированных систем/ Тез. докл. II Мевдунар. конф. 'Материалы для строительства".-Днепропетровск, 1993.- С.209-?10„ • . •

24. Gori3ovskli V.I., Rosslkhin Yu.A., Shitlkova Н.У. The impact of a thermoelastlc rod against a heated barrier with account ■of finite зреей of heat propagation//J. Thermal Stresses.- 1993.7.16, N 4.- V.437-454. .

25. Rosalkhin Yu.A., Shitlkova M.V. On the structure of «saves In & nonlinear elastic rsedim//Facta Univ. Ser. Mechanics, Auto-T.&tlcs and Robotics.- 1993,- V.I, N 3.26. Roasikhin Yu.A. v Shitlkova M/Y. Soliton-like solutions to

the equations of free nonlinear vibrations of suspension bridges. /?roc. 1993 Int. Symp. on Nonlinear Theory and its Application.-Hawaii, December 5-10,1993.- V.2.- P.705-708,

27. Burenin A.A., Rossikhin Yu.A., Shitlkova li.V. A ray method for solving boundary value problem connected v/ith the propagation of finite amplitude shock vsaves/Proc. 1993 Int. Syrep. or. Konlinear Theory and Its Applications.- Hawaii, December 5-1C,

1993.- Y.3.- P.1085-1038.

28. Rosaikhln Yu.A., Shitlkova ii.V. A 3lightly inhojrogeneous surface wave in a tso-layered medium Involving an isotropic layer end waakiy anisotropic half-space/AT. Acoust. Soc. Aner.- 1993.-l'.94, N 6.- P.3295-3301„

29. Иитикова M.B. Нестационарные колебания пластины, лежащей на упругом изотропном полупространстве// Современные метода статического и динамичекого расчета сооружений и конструкций.- Воронеж: ЕГАСА, 19S3.- Бып.2.-; C.92-S8.

;30. Roasikhin Yu.A., Shitlkova M.V. Ray method'of solving problems connected with a shock interactlon//Acta Mechanics.-

1994.- V.102.- P.103-121.

'Автор виракает большую благодарность своему научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Ю.д. Россихину за ценные замечания и постоянное внимание во время работа над диссертацией.

Работа была выполнена при поддержке Российского фонда Фундаментальных исследований (грант 94-01-00254-а) и международного научного фонда (грант МЕ-59-0812).