Максимальные аккретивные расширения секториальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Арлинский, Юрий Моисеевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
ч АРЛІНСЬКИЙ Юрій Мойсійович
' ■ , УДК 513.88
МАКСИМАЛЬНІ АКРЕТИВНІ РОЗШИРЕННЯ СЕКТОРІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ
01.01.01 - математичний аналіз
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук
Київ - 2000
и
Дисертацією е рукопис
Робота виконана в Східноукраїнському державному університеті Міністер ства освіти і науки України (м.Луганськ)
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук; професор АДАМЯН Вадим Мовсесович,
Одеський державний університет ім. І.І.Мечнікова, завідувач кафедри;
доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник КОЧУБЕЙ Анатолій Наумович,
Інститут математики НАН України;
доктор фізико-математичних наук, професор СТОРОЖ Олег Георгійович,
Львівський національний університет ім. Івана Франка.
Провідна установа:
Фізико-тєхнічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України (м. Харків).
Захист відбудеться ”¿3-”— 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН Україні за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий_______
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
40 ли.с2гопс.£п £ о о & р.
Ромашок А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Важливу роль у сучасній теорії лінійних операторів відіграє теорія самоспряжених розширень симетричних операторів у гільбер-говому просторі, основи якої закладені в класичних роботах Дж.фон Неймана, М.Стоуна і К.Фрідріхса. Подальший розвиток ця теорія отримала в роботах М.Г.Крейна. Визначене ним поняття (^-функції симетричного оператора, встановлена ним формула резольвент, а також його фундаментальні результати з напівобмежешіх самоспряжених розширень, що доповнені М.І.Вішиком та М.Ш.Вірманом, знайшли суттєве застосування до спектральної теорії, до крайових задач, до теорії функцій та квантової механіки.
За останні ЗО років у теорії власних розширень ермітових, а також неерміто-вих операторів у роботах Ф.С.Рофе-Бекетова, М.Л.Горбачука, а далі А.Н.Кочубея, В.М.Брука, В.А.Михайлеця, Л.І.Вайнермана, В.І.Горбачук, В.Е.Лянце,
О.Г.Сторожа, В.О.Деркача, М.М. Малому да та інших отримав істотний розвиток та застосування метод абстрактних граничних умов. Ключовим елементом цього методу є поняття простору граничних значень або граничної трійки, грунтоване на абстрактних формулах Гріна для ермітового оператора та його спряженого. У рамках методу абстрактних граничних умов отримано опис самоспряжених та максимальних дисипативних граничних задач для диференціальних операторів з операторними коефіцієнтами.
У роботах В.О.Деркача та М.М.Маламуда ф-функція інтерпретована як функція Вейля, відповідна граничній трійці (простору граничних значень) ермітового лінійного відношення. З використанням формули резольвент М.Г.Крейна ця інтерпретація дала можливість розв’язати ряд спектральних задач, а також по-новому висвітлити деякі аспекти теорії розширень ермітових операторів та її застосування.
За допомогою методу абстрактних граничних умов, а також функції Вейля в роботах А.Н.Кочубея, В.А.Михайлеця, О.Г.Сторожа, В.О.Деркача, М.М.Маламуда, Е.Р.Цекаїювського та автора був отриманий опис власних максимальних акретивних та максимальних секторіальних розширень невід’ємного симетричного оператора.
Загальна задача про опис усіх максимальних акретивних розширень щільно заданого акретивного оператора в термінах абстрактних граничних умов поставлена Р.Філліпсом у зв’язку з дослідженням задачі Коші для систем диференціальних рівнянь, ним же запропоновано метод розв’язання цієї задачі, пов’язаний з геометрією просторів з індефінітною метрикою. Свої абстрактні результати Р.Філліпс застосовував в основному до власних розширень мінімального диференціального оператора. Пізніше метод Р.Філліпса був використаний
В.Д.Івансом та Дж.Ноулсом для опису всіх (у тому числі і невласних) максимальних акретивних розширень мінімального додатно означеного оператора,
породженого звичайним диференціальним виразом на відрізку в гільбертово просторі С? з вагою, а після цього О.Я.Мільо та О.Г.Сторожем для абстрактнс додатно означеного симетричного оператора зі скінченним дефектним число;
Важливим підкласом акретивпих операторів є секторіальні оператори з в( шиною в нулі. Такі оператори мають замикальну півторалінійну форму, а мг симальні секторіальні оператори породжують неперервну однопараметрич стискаючу півгрупу, яка має голоморфне стискаюче продовження в сектор ко плексної площини.
Спеціальним випадком секторіальних операторів є невід’ємні ермітові ог раторн, теорія самоспряжених розширень яких створена М.Г.Крейном. Згід з цією теорію, серед усіх невід‘ємних самоспряжених розширень є максимал не (жорстке) та мінімальне (м’яке), причому жорстке розширення збігаєтьс? розширенням по Фрідріхсу, а м’яке для додатно означеного оператора є розш ренням Неймана. У загальному випадку (необов’язково ермітовому) секторіал ного оператора також існує його розширення по Фрідріхсу зі властивостям близькими до ермЗтового випадку.
У зв’язку з цим виявляється актуальним розвиток загальної теорії макс мальних акретивних та, зокрема, максимальних секторіальних розширень сект ріальних операторів та секторіальних лінійних відношень, яка містила б у сс відомі результати для випадку, коли початковий оператор є невід'ємним с метричним, а також її застосування до граничних задач для диференціальні операторів.
Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконаї відповідно до планів наукової роботи кафедри прикладної математики Східн українського державного університету по темах БН-10-91 ’’Дослідження деякі класів лінійних операторів та їхніх застосувань у теорії рівнянь та випадк вих процесів”, ГН-129-95 ’’Деякі проблеми теорії лінійних операторів та тео[ апроксимації функцій”, а також у рамках INTAS (проект 93-0249) ’’Hilbert аг Krein space operators and functional models”. Напрям досліджень, обраний у ди ертації, передбачено планами наукової роботи Східноукраїнського державної університету.
Мета та задачі дослідження:
- дати опис в термінах абстрактних граничних умов усіх максимальних акрі тивних та, зокрема, максимальних секторіальних розширень та асоційованих ними замкнених форм для довільного секторіального оператора або секторіалі ного лінійного відношення;
- визначити аналог поняття Q-функцїї (функції Вейля) та інших оператої функцій, пов’язаних з секторіальними операторами, встановити їхні аналітичі властивості, побудувати функціональну модель секторіального оператора, а тг коле дати опис резольвент максимальних акретивних розширень секторіальног
з
нійного відношення у формі близькій до формули резольвент М.Г.Крейна са-оспряжених розширень ермітового оператора;
- застосувати отримані результати до опису всіх максимальних акретивних а максимальних секторіальних розширень мінімальних диференціальних опе-аторів, породжених диференціальними виразами другого порядку.
Наукова новизна отриманих результатів.
1. Для довільного секторіального лінійного відношення визначене поняття па-екторіального розширення Неймана-Крейна, що збігається з поняттям м’якого озширення М.Г.Крейна у випадку невід’ємного симетричного оператора, вивче-:і властивості такого розширення та його замкненої асоційованої форми, вста-іовлений критерій єдиності т-секторіальпого розширення, отримані уявлення юзширень Фрідріхса та Неймана-Крейна у вигляді сильних резольвентних гра-шць. Дано параметричний опис усіх замкнених форм, асоційованих з т-секто-)іальними розширеннями, з якого у випадку додатно визначеного симетричного яіератора одержується опис М.Г.Крейна - М.Ш.Бірмана всіх замкнених форм, ісоційованих з невід'ємними самоспряженими розширеннями.
2. Уведено поняття граничної трійки для секторіального лінійного відношення, обгрунтоване на абстрактній першій формулі Гріна, яка збігається з поняттям додатного простору граничних значень, уведеного А.Н. Кочубеєм у випадку додатно означеного симетричного оператора. З граничними парами та з граничними трійками у роботі зв’язуються аналітичні оператор- функції, одна з яких - функція двох комплексних змінних у лівій півплощині, названа нами У/р-функцією, визначає просту частину секторіального оператора з точністю до унітарної еквівалентності. Інша оператор-функція одного комплексного змінного - це функція, яка для щільно визначеного секторіального оператора може бути визначена рівністю фр(А) = —(А, —оо) тау випадку невід'ємного симетричного оператора збігається з (^-функцією М.Г.Крейна - І.Є.Овчаренка. Вивчені аналітичні властивості та (^-функцій. По IVр та <3^-функціях побудована в деякому гільбертовому просторі з відтворюючим ядром функціональна модель простого щільно заданого секторіального оператора.
4. За допомогою граничних операторів і граничного простору та з використанням двох параметрів отриманий опис усіх т-акретивних та ш -секторіальних розширень секторіальних лінійних відношень та, зокрема, секторіальних лінійних операторів. Для цього запропонований метод, істотно відмінний від методу Р.Філліпса. Отриманий також опис усіх т-акретивних та т-секторіальних звужень спряженого лінійного відношення. Для дуальної пари щільно заданих секторіальних та коерцитивних операторів із взаємно спряженими Фридріхсови-ми розширеннями дана параметризація всіх її т-акретивних (т-секторіальних) розширень як у термінах абстрактних граничних умов, так і у термінах формул М.І.Вішика - М.Ш.Бірмана. Встановлено формулу, яка описує резольвенти
всіх m-акретивішх розширень секторїального лінійного відношення. Істоти елементом цієї формули є (¡^-функція. Дана характеристика точок спектра акретивного розширення в термінах параметрів та Qf -функції. У випадку від'ємного симетричного оператора та при спеціальному виборі параметрів ф мула резольвент збігається з формулою М.Г.Крейна - І.Є.Овчаренка, що опт канонічні резольвенти невід'ємних самоспряжених розширень.
5. Уведено поняття секторіального оператора, який має дивергентну форі та для такого оператора також дано опис усіх його m -акретивних розширен їхніх спряжених у термінах абстрактних граничних умов.
6. Результати, перелічені в попередніх пунктах, застосовано для опису rj ничних умов, що задають усі m-акретивні та m-секторіальні розширення мі мальних операторів, породжених звичайними диференціальними виразами Д£ гого порядку на півосі та рівномірно еліптичними диференціальними вира: ми другого порядку дивергентного виду в обмеженій області простору R". останньому випадку отримані результати доповнюють результати М.І.Вішиї присвячені опису розв’язуваних граничних задач для таких диференціальп операторів. Крім того, даний опис усіх m-акретивних одновимірних оператор Шредінгера та їхніх резольвент, що відповідають одноточковим взаємодіям ; прямій. Ці результати також доповнюють відомі описи самоспряжених опер торів Шредінгера для такого випадку.
7. Вивчені властивості перетворень Кепі m-секторіальних лінійних відн шень, надані формули для перетворень Келі m-секторіальних розширень Фрі, ріхса та Нсймана-Крейна.
8. Для однопараметричних півгруп Т (і) = exp(-tS), t ^ 0, породжених г акретивними операторами 5, у термінах поведінки півгрупи в околі нуля даі критерій т-сєкторіальності генератора S, а у випадку виконання цієї умови даі опис замкненої асоційованої форми S [и, і)].
Усі результати, викладені у роботі, є новими.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертац носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані при вивченні гр; ничних задач для диференціальних рівнянь.
Особистий вклад здобувача. Викладені в дисертації результати отрнмаї автором самостійно. Результати праць в співавторстві з К.Р.Цекановським [2-5] для невід’ємного ермітового оператора є частковими випадками загальнії результатів дисертації.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації до повідалися на 2-й (1991 p.), 4-й (1993 p.), 8-й (1997 р.) Кримських осінніх мате матичних школах з спектральних та еволюційних задач, на міжнародній кон ференції ’’Aspects of Spectral Theory” (Відень, Австрія, 1996 p.). на семінарі 1 теорії операторів у Технічному університеті Берліну (1996 p., керівник - проф
Йонас), на міжнародній конференції з теорії операторів та її застосувань, іисвяченій М. Г. Крейну (Одеса, 1997 p.), на міжнародній конференції з теорії рактеристичних функцій (Ульяновськ, 1997 p.), на міжнародному семінарі iternational Workshop on Operator Theory and its Applications” (Гронинген, шландія, 1998 p.), на семінарі в Інституті математики НАН України (1998 p., :рівники - академік НАН України Ю.М.Березанський, чл.-кор. НАН України .Л. Горбачук).
Публікації. Основні положення дисертації опубліковані в статтях [1-24] та ;зах доповідей [25-29].
Структура роботи. Дисертація складається з вступу, шести розділів, вис-звків та списку використаних джерел, що містить 162 найменування. Повний 5сяг дисертації складає 283 сторінки.
ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, стисло викладені сновні її результати. Використовуються такі позначки: 2>(Т), 1Z(T), КегТ, р(Т) область визначення, область значень, ядро та резольвентна множина лінійного ітератора Т, Тц — (Т + Т’)/2, , Ті = (Т —Т,)/2і - реальна та уявна частини бмеженого оператора у гільбертовому просторі, Dy = (/ — Т*Т)1/' - дефектний іпєратор для стиску Т, 0(a) := {z Є С : |arg z| < а} - сектор комплексної [лощини з вершиною у нулі та півкутом а € [О, |).
Ми дотримуємось термінології монографії Т.Като. Лінійний оператор S у ■ільбертовому просторі Н називається акретивним, якщо Re [Sy, tp) > 0 для гсіх <р Є T>(S), та максимальним акретивним (m-акретивним), якщо S - акре-гивний та не має акретивних розширень у Н. Властивості ш-акретивішк операторів встановлені у роботах Р.Філліпса, Т.Като, В.Е.Лянце, A.B.Штрауса та шлих. Акретивний оператор S назвемо а-секторіальним (з вершиною у нулі га півкутом а Є [О, |)), якщо числова область S міститься у секторі 0(a), та ті — а-секторіальним, якщо S а -секторіальний та m-акретивний. Лінійне відношення (л. в.) S будемо називати акретивним (а-секторіальним), якщо його числова область W(S) = {(S(<p),<p), ||у>|| = 1} міститься у правій півплощині (у секторі 9(a)), ш-акретивним (ш-а-секторіальним), якщо S - акретивне (а-секторіальне) л. в. та не має акретивних розширень у Н ® Н. Якщо S - сєк-торіальне л.в., то замкнену асоційовану півторалінійну форму будемо позначати S [гг,и], а її область визначення - V [S], Згідно з першою та другою теоремами про зображення, для m-секторіального л. в. S мають місце рівності
S [u, v] = ((I + iG)S](2u,Sll2v)1u,v g£>[S] =V(S1J2), S = S)(2{I+ iG)S](2,
де S - операторна частина S (ш-секторіальннй оператор у підпросторі V(S)),
Sr - ’’реальна частина” S, тобто невід’ємний самоспряжений оператор, асоціі ований з реальпою частиною форми S [и,і>], та G - обмежений самоспряжени оператор у підпросторі 7Z(Sr). Нехай 72. [S] означає лінеал 72. (S']/2) © S (0), і S (0) - сингулярна частина л.в. S.
Розділ 1 містить огляд літератури з питань теорії розширень лінійних опі раторів у гільбертовому просторі, близьких до тематики роботи. Зокрема, іи ведені 1) основні результати М.Г.Крейна, М.І.Вішика, М.Ш.Бірмана до теор невід’ємних самоспряжених розширень ‘невід’ємних симетричних операторі
2) огляд, присвячений методу абстрактних граничних умов в теорії власни розширень ермітових операторів, 3) основні елементи методу Р.Філліпса, її стосуються теорії максимальних акретивних розширень акретивних операторі]
4) основні теореми про максимальні векторіальні оператори та замкнені сеі торіальні форми.
Підрозділи 2.1, 2.2 та 2.4 містять основні відомості про акретивні та сеі торіальні лінійні оператори, лінійні відношення та секторіальні форми. У пїї розділах 2.3 та 2.4 доведені нові теореми про зображення замкнених форм, асоці ованих з т-секторіальними лінійними відношеннями та їхніми зворотними, саме, для будь-якого m-a-секторіального л.в. S встановлені рівності:
V [S]
"І"
„ |(u, S (г))|2 ]
Є Я: sup А ,а / { N <оо, iGX>(S) (S (#) і *^) ■ ;
= < и Є Я : lim
V [S_1] = < / Є Я : sup
< со
e%s)Re(S(x),x)
< oo > =
/ЄЯ:]іш
2-+0
< oo
2-1
[.f,9] =lim
z->0
V/,5 Є T> [S_I],
S [u, v] = — lim
((S — zl)~l f,gj , 2 Є С \ © (7)
(S - ziy1 u, vj , z e С \ 0 (7) Vu, v є V [S], 7 e (a, ^j
У підрозділі 2.5 вивчаються властивості дробово-лінійних перетворень Кеі ш-секторіальних лінійних відношень.
Означення 1. Якщо лінійний оператор А в Н, визначений на підпростор
V (Л) С Н, задовольняє умову
ЦЛбіітл ± ¿сова/Ц ^ 1, то у випадку V (А) = Н будемо говорити, що А належить класу С (а), а ;
іипадку Т>(Л) ф Н оператор А назвемо С(а)-субоператором.
Оператори класу С (а) (С (а)-субоператори) є стисками, природно вважати рмітові стиски С (О)-субоператорами, а клас С (0) множиною самоспряжеїшх тасків. Зазначимо, що А є С (а)-субоператором (належить класу С (а)) тоді тільки тоді, коли л. в. S = (/ — А) (І + Л)_1 є а-секторіальним (т — а- сек-горіальним) та при цьому А = (І — S) (І + S)-1.
Нехай С — U {С (а), а Є [0, |) }. Для будь-якого оператора Т класу С має ліспе рівність Т — Г* = 2гРгФДг, де Ф - обмежений самоспряжений оператор і підпросторі Sj = TZ (Dt)- Основні властивості операторів класу С містяться ! такій теоремі.
Георема 1. 1) Якщо Т Є С, то при будь-якому натуральному п справедливі оівності H(Dt*) = 7£(Дг"0 = 7?.(Djr). Крім того, То = T\Dt - цілком не-упітарний стиск класу Соа, тобто lim Tj? = lim Tq" = 0, a T\KeiDj-
• n-+oo n -» oo
самоспряжений унітарний оператор.
2) Якщо Т £ G (а), то оператори виду тПіТ*П:,ТП:>... також належать класу С (а) при будь-якому скінченному наборі невід’ємних цілих чисел щ,П2,пз,.... Крім того, якщо Ті,Т2 Є С(а), то (Т1Т2 + Т2Т1) /2 Є С (а).
3) Нехай Qr(z) = Т + zDt• (І — zT')~l 2?rj jDt - характеристична функція
стиску Т по Б.Секефальві-Надю, Ч.Фояшу таТ Є С. Тоді 0г (z) має недо-тичпі унітарні граничні значення 0г (±1), причому має місце рівність
. 2іФ = (0Г (-1)-0г(1))-1(0т (-1) + 0г(1)).
Оператор Т є самоспряженим стиском тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов:
і) 0г(і) = -0г(-і); а) 0г(і) = /; ш) 0г(-і) = -/■
У підрозділі 2.6 вивчаються однопараметричні півгрупи стисків Т (i) = exp (—tS), i > 0, породжені m-секторіальними операторами S. Як відомо, для того, щоб сильно неперервна півгрупа Т (і) допускала голоморфне стискаюче продовження у сектор 0 (| — а), необхідно та достатньо, щоб її генератор S був m-а -секторіальним оператором. Основні результати підрозділу 2.6 містяться у наступному твердженні.
Теорема 2. 1) Нехай а Є [0, |). Для того, щоб сильно неперервна півгрупа стисків Т (і) у гільбертовому просторі допускала голоморфне стискаюче продовження у сектор 0 (| — а), необхідно, щоб для усіх t 0 та достатньо, щоб при будь-якому t Є [0,5], де 5 > 0, оператори T(t) належали класу С{а).
2) Нехай S - т-секторіальний оператор та Т (t) = ехр(—iS), t ^ 0. Тоді наступні умови еквівалентні:
а) и ЄТ>[S]; b)sup{t_I ¡((7 — T(t))u,u)\,t > 0} < oo;
c) існує похідна (T (t) v.,и) |t=o; d) існує похідна ^ (||T(t) u||) |t=0-
Якщо u,v ЄТ> [S], mo справедливі рівності:
і {T (t) и, v) I«, = -S [u, v], і (T (t) t»,T (t) v) I(=0 = -2SR [«,«].
S) Нехай T (А) - Сц-півгрупа стисків, яка голоморфна у секторі 6 (| — a) v S-гг генератор. Тоді лінеали
П (Dm) , П {DT.wj, К ((/ - TR (A))1/2)
не залежать від А Є Int0 (| — а) та збігаються з лінеалом Ті а on
ратори S (А) = (74- Т (А)) (7 — Т (А))-1 утворюють в Int 0 (| — а) голоморфг сімейство типу (В).
Розділ 3-й присвячений вивченню m-секторіальних розширень секторіальні го л.в. та асоційованих із ними замкнених півторалінішшх форм. Нехай S - шілі но заданий секторіальний оператор у гільбертовому просторі Н і нехай S [tp, <
- асоційована з ним замкнена півторалінійна форма. За визначенням Т.Каті максимальний секторіальний оператор Sp, асоційований з формою S [9, ф] : першою теоремою про зображення, називається розширенням по Фрідріхсу оп< ратора S. З визначення випливає, що S \<р, ф\ = Sp [<р, ф\, T>{S\=T> [Sf] та
inf І ||у> — г|(2 -Ь ReS [ір — х\, х Є Т> (5)^ = 0 Є Т> [S].
Якщо S - а-секторіальний оператор, то Sp - тп—а-секторіальний оператор, крі: того, якщо оператор S є коерцитивним, тобто для всіх х Є Т> (S) виконуєтьс нерівність Re (Sx,x) ^ тп ||д:||2, m > 0, то і його розширення по Фрідріхсу Sp коерцитивним m-секторіальним оператором та
Re (Spu, и) > m ||u||2 , и SV (Sp).
Згідно з Ф.С.Рофе-Бекетовим, Фрідріхсовим розширенням секторіального л.і S називається m-секторіальне л.в. Sp, асоційоване з формою S [<р, ф]. Характери стичні властивості Фрідріхсового розширення щільно заданого секторіальног оператора наведені в монографії Т. Като, а для секторіального л.в. встановлен Ф.С.Рофе-Бекетовим. Зокрема, з усіх m-секторіальішх розширень S лінійноп відношення S Фрідріхсове розширення Sf має найменшу область визначенії: форми, тобто область визначення асоційованої з Sf форми міститься в облает визначення форми, асоційованої з будь-яким m-секторіальним розширенням S.
Нехай S* - спряжене л.в. та ЧЦ = Л (S — А/)1' = Кег (S* — А7) - дефекти підпростори л.в. S. Для Фрідріхсового розширення мають місце співвідношення ад={/ Є Я : sup [\(f,x)\2/Re(S(X)>x)1xeV(S)] < 00 j, 2?[S]niHz = {0}, zep(S}),
X>[S] D2?[S], TZ[S]C1Z[SfI
_ %, г] = {<р, S*(«)), <Р,Ф Є Ü[S], V Є 2>[S] n D(S*),
;e S - довільне ш-секторіальне розширення S. У підрозділі 3.2 дане визначення іозширення Неймана-Крейна секторіального л.в. та вивчені його властивості.
Означення 2. Нехай S - векторіальне л.в. Тоді його розширенням Неймана-Крейна будемо називати л.в. S,y = ((S-1)^.) .
З означення виходить, що для розширення Неймана-Крейна має місце рів-іість
inf |||S^r (tt) — S (x)||2 + Re (Sjv (u — x) ,u — x), x Є V(S)| =0 Vu Є V (S/v).
Означення 2 аналогічне означенню розширення Неймана, даному Т.Андо і 'С.Нішіо для випадку невід'ємного ермітового оператора та Е.Коддінгтоном і ■С.де Сноо для невід’ємного ермітового л.в. Якщо S а-секторіальне л.в., то S/v е п—а— секторіальним розширенням S. У підрозділі 3.2 доведено, що розширення Іеймана-Крейна володіє такими властивостями:
Георема 3. Нехай S - секторіальне л.в.. Тоді
1. справедлива рівність
X>[S^] = І u Є Я : sup jj(u,S(x))|2/Re (S(æ), д:) , х Є ©(S)! < ooj ;
2. для будь-якого т-секторіальпого розширення S мас місце включення 2?[S] С X»[SatÏ;
3. для будь-якого А Є p(Sp) справедливі рівності:
©[Sjv] = P[S] + («Пд П V[SN}), fc[Sf] = n[SN) + («Пд П n[SF})-
4. якщо л.в. S коерцитивне, то Здг[и,г;] = S{Vfu,Vfv] Vu,и є D[Sat], де Vf - проектор на Т> [S], відповідний розкладу Т> [S,v] = V [S] 4-Ker S';
5. для того, щоб л.в. S мало єдине т-секторіальне розширення, необхідно, щоб при усіх А Є p{Sp) та достатньо, щоб хоча б для одного такого А виконувалася рівність
SUP { Kv’A,^) |2/Re (S(æ),a:), x Є 2>(S)j = oo У<рл Є 9їл\{0}.
Означення 3. Максимальне секторіальне розширення S секторіального л.в. S назвемо екстремальним, якщо для будь-якого и Є T>(S) виконується рівність
inf |ïle (и — x), и — x^j , х Є Т> (S) |=0.
Екстремальними є Фрідріхсове розширення Sp та розширення Неймана-Креї Sjv. Характеристична властивість розширення Неймана-Крейна міститься у кому твердженні: якщо S є ш-секторіальним екстремальним розширенням j
S, то форма S [и, г>] є замкненим звуженням форми S^ [u, и], таким чином, розі рення Неймана-Крейна є єдиним серед усіх m-секторіальних розширень з м симальною областю визначення асоційованої замкненої форми, що володік властивістю екстремальності. *
Для а-секторіального л.в. визначимо при кожному г Є С \ 0 (а) л.в.
s2 = (s-zi) + (ms,0).
Якщо Re z < 0, то є розширенням Неймана-Крейна секторіального та ко< цитивного л.в. S — zl. Лінійний многовид Ь —Т>{S] не залежить від вибо А Є С \ 0 (а). Нехай 7Гр (А) та 7г (А) - проектори у L на Т> [S] та *Лл відповіді Визначимо на L півторалінійну форму
S* = S (тгf (z)u, 7гр (¿)г)] — z (ttf (z) u,itp (¿) v) ■
При Re z < 0 це замкнена форма, асоційована з Sz.
Теорема 4. Справедливі рівності:
V [S/v] = Є L : lim pS* [u]|, г є С \ © (a)j < oo|,
Sat [u,u] = limjs^it.u], z ЄС\0(7)|, u,v €D[SW], 7 Є (а,зг/2).
Як і у випадку невід’ємного ермітового оператора, розглянутого Т.Андо ' К.Нішіо, замкнений секторіальний оператор припуска« m-секторіальне розш: рення, що є оператором в тому та тільки в тому випадку, коли виконуєтьі умова: для будь-якої послідовності векторів {а;п} такої, що lim (Sxn,xn) = 0, lim Sxn = g, випливає, що g = 0. Для нещільно заданої
П-+00 n-> 00
обмеженого секторіального оператора мають місце також аналоги результат;
А.В.Штрауса для нещільно заданого обмеженого невід’ємного оператора:
Теорема 5. Нехай S - обмежений секторіальний оператор, визначений н підпросторі T>(S). Тоді розширення Неймана-Крейна с оператором у том та тільки в тому випадку, якщо виконується умова
sup ^ЦбгЦ2 /Re (Sa:,x) ,х Є D(S)j < 00.
При виконанні цієї умови при будь-якому 7 € (а, тг/2) мас місце рівність
Spr — s — lim {Sz, z Є C\0 (7)} .
У підрозділі 3.3 вивчаються перетворення Келі розширень Фрідріхса та Ней--іапа-Креігаа. Нехай А - С (а) -субопєратор, задапші на підпросторі V (Л) , її— V (Л)1 ,Ра, Р<л - ортопроектори на D (Л) та 4t, відповідно. Оператори І ±
4 є обмеженими а-секторіальними та припускають обмежені т-секторіальні юзширення. Розглянемо оператори Aß = (І + А)^ — І, Ам ~ І - (/ - A)n. Доведено, що оператори Лм та Ам належать класу С (а) та що ці оператори гадаються у вигляді границь деяких сімейств операторів. Крім того, ми дамо зирази для Ар та Ам, що використовують сильні недотичні значення ЗЄо(±1) сарактеристичної функції Б.Секефальві-Надя та Ч.Фояша стиску Ло = АР а, а заме, мають місце рівності
Ац = АРа + Da'%о (~1) Лпі Av/ = APa +- Da-^-ü (1) Р~л-
Оператори Ац та Ам відіграють ту ж роль, що й крайні самоспряжені стискаючі розширення нещільно заданого ермітового стиску у теорії М.Г.Крейна, а саме, якщо S - секторіальне л.в. та Л = (/ — S) (/ + S)-1 - його дробово-лінійне перетворення Келі, то справедливі рівності
SF= (І- А„) (І + Aß)~l , S „ = (І- Аи) (І + Ам)~1.
Використовуючи це твердження, у підрозділі 3.4 доводяться зображення розширень Фрідріхса та Неймана-Крєйна а-секторіального л.в. S у вигляді сильних резольвентних границь. Окрім сімейства S2 розглянемо також сімейство m-акретивнкх розширень
S, = S-І- {{фг, ~zlPz) 1 fz Є- 91г} ,Re2 ^ 0.
Встановлені рівності:
Sn = s — R — lim {Sz + zl, z Є C\Q (7)} = s — R — lim S*,
z-*0 z-»0
Sf — s — R — lim {Sz + zl, 2 Є C\0 (7)} — 5 — R — lim Sz,
Z—*00 Z-> oc
де границі в правій частині - недотичні до уявної осі. Зазначимо, що для S наступні умови є еквівалентними:
1) л.в. S2 є сскторіальніш для деякого z;
2)©(S*)CX>[Sjr]; ^
3) для усіх х Є Т> (S) та деякого г Є р (S'F) справедлива нерівність '
Re (S(z, х) ^ к (z) ||Ргх||2,
де к (г) > 0 та Рг - ортопроектор в Я на дефектний підпростір
У підрозділі 3.5 визначається клас 6, (S) як множина усіх т-акретивних розширень S секторіального л.в. S, що задовольняють умови
Ü(S) С V [SN], Re (S(u),rt) ^ ReSiv [u], u є X>(S).
У цьому класі містяться усі екстремальні т-секторіальні розширення. Ми п водимо, що якщо Б - невід'ємне л.в., то клас ©, (Б) збігається з множиною ус власних т-акретивних розширень Б. У загальному випадку за умови трансве сальності Бр + Б]^ = Б* визначене ненульове секторіальне л.в. Б, = Б£. П Б що володіє такими властивостями: 1) (Б,)р = Б£-, (Б,)^ = Б^; 2) множиі усіх т-секторіальних розширень класу 6, (Б) збігається з множиною усіх г секторіальних розширень Б таких, що $ С Б*. Трансверсальность має міси наприклад, якщо Б - коерцитивне л.в..
Підрозділ 3.6 присвячений параметричному опису усіх замкнених форм, асої ованих з т-секторіальними розширеннями довільного секторіального л.в. Б, якого Бр ф Б;у. Для цієї мети визначається поняття граничної пари.
Означення 4. Сукупність {'Н,Г} назвемо граничною парою секторіомиаг л.в. Б, якщо Ті - гільбертів простір, Г Є С {Т> [Б#], ТС) та
КегГ = Р[Б], К(Г) = Н.
Очевидно, що граничні пари існують та якщо {"?£,Г} та {Яі,Гі} - дві рі: номанітні граничні пари для Б, то існує ізоморфізм V Є £ (Ті, Тії) такий, її Гі = УТ. Має місце така теорема.
Теорема 6. Нехай {Ті, Г} - гранична пара для секторіального л. в. Б. Тої формули
§ [и, V] = Блг К ь] + ю [Ги, Ги] + 2 (хГи, , Х>[Б] = Г“1!? [ги]
встановлюють бієктивну відповідність між усіма зсшкнекгиш формами, асої ованими з т-секторіальними розширеннями Б л.е. Б та усіма парами (ш, X)
де іи [е, /і] - замкнена секторіальна форма в Ті, X : Т) [ги] —» ТІ - лінійки
оператор такий, що для деякого 5 € [0,1) виконується нерівність
\\Xef < 62Ксіи [е], е Є V [ш].
Пари (ъи, 0} та тільки вони визначають розширення класу 6» (Б).
Нехай {Н,Т} - гранична пара для коерцитивного секторіального л. п. Б
Визначимо оператор Zo *== (Г ІКегБ*)“1. Оператор £0 відображає Ті на Кег Б* а вектор и = Е§е при кожному е Є Ті є розв’язком граничної задачі:
0 Є Б’ (и), Ги = е.
Крім того, оператор Z0Г є проектором на V [Б] відносно розкладу
V [Б/у] = V [Б] 4Кег Б*. Визначимо на 25 [Б] квадратичний функціонал:
р.\ір) = 8ир{іІеБ[2<?-/,/], / Є 2? [Б]}.
равішьна також рівність
8ир||(у>,3(х))|2/Ие (3(х) ,х), х Є 2?(3)| = /ф], <р Є х>[Э]. ля коерцитивного Б супремум досягається на векторі /о Є V [Б] такому, що 4л/о = и + ВД5$¥> та Му]=||4л/°||2-
'еорема 7. Нехай Б - векторіальне та коерцитивне л. в. та {Ті, Г} - гра-ична пара для Э. Тоді рівності
§ [и, V] = Э [и - гаТи + 2УТи, V - Я0Гу] + ю [Ги, Гу] , Х>[§] = Г_12?И
стаповлюють бієктивну відповідність між усіма замкненими формами, асоцій-ваними з т-векторіальними розширеннями Э л. в. Б та всіма парами {ш,У), е и> - замкнена векторіальна форма в Ті, У : Т> [іі>] —» Т> [Б] - такий лінійний ператор, що при деякому 5 Є [0,1) задовольняє умову
ц[Уе] ^ 52Ие V} [е], е Є Х> [ги].
Тля того, щоб т-векторіальне розширення Б було коерцитивним, необхідно іа довтатньо, щоб форма т була коерцитивною у Ті.
Зазначимо, що якщо Э - а-секторіальне л. в. та т - 0-секторіальна форма у
і, то для півкута у форми Б [и, г>] в теоремах 6-7 має місце оцінка
а < 7 ^ агсід |(1 — ¿)_1 (тах {tgQ, tg/3} + ¿) |.
г підрозділі 3.7 міг розглядаємо секторіальні оператори, що мають дивергентну зорму. Припустимо, що
(a) Ь\, замкнені, щільно задані лінійні оператори, визначені на лінійних іноговидах V (Ь{), V (Ь2) у гільбертовому просторі Н, що приймають свої начення в гільбертовому просторі 5) та такі, що Ь\ с 1>г;
(b) 6 С (55) - коерцитивний оператор.
Очевидно, що оператор <5, зважаючи на його обмеженість та коерцитивність,
• також ш-секторіальним, а півторалінійні форми
<5* [и, и] = [С}Ьки, Ьки)^ , и,у Є Т> (Ьк), к- 1,2,
¡наслідок умов (а) та (Ь) є секторіальними та замкненими та із ними асоційо-5ані т-секторіальні оператори 5* = Ь^Ьк, к = 1,2. Припустимо, що
(c) - лінійний многовид Т>(Ь\) П V (52) усюди щільний у Т> (¿і) за нормою ■рафіка.
У роботі доведено: якщо виконані умови (а) - (с), то
1. оператор 5 *== ЦЯЬхє щільно визначеним, замкненим та секторіальніш опе ратором в Н, оператори £і та 5г є ш-секторіальними розширеннями Й причому - Фрідріхсове розширення 5,
2. Т> [5лг] Э Т> (Ь2) та для усіх и, V Є V (¿2)1 справедлива рівність
[и, г>] = ((¿'РЬ2и, Ь2у)^, де V - проектор у 5) на Л (Ьг) відносно прямогс розкладу
ір = 7г(і1)+(?*-1(Кег^); ‘
3. оператор 5* збігається з оператором Ь^С}* Ь2 або є його замиканням;
4. якщо оператор Ь\ має обмежений зворотний, то V (Ьг)ПКег5* = Кет Ь\0*Ь-, та цей лінеал збігається з підпростором Кег 5* або всюди щільний у ньому.
Якщо виконана умова
((і) сііт (Р(Ь2)/£>(£!)) < «>, то виконується й умова (с), а також справедливі рівності
5’ = ЦЯ'І*, = ЦОРЬ, V [ЗД = V (І2).
Ми називаємо оператор 5 = Ьу^іц, визначений при виконанні умов (а) - (с), секторіальним оператором з дивергентним зображенням.
Нехай оператори Ь\ та Ь2 задовольняють умову (а). Згідно з означенням у монографії В.Е.Лянце та О.Г.Сторожа, пара {?/,Г} називається крайовою парою для Ь\ С ¿2, якщо Ті - гільбертів простір, Г € С (V (Ь2) ,Ті) та
КегГ = £>(£х), ?г(Г) =«.
Нехай {%,Г} - крайова пара для Ь\ С Ь2. Розглянемо два випадки.
1) Нехай виконується умова (сі), тоді ця ж пара є граничною парою для 5 = Ьу^Ь\. Ясно, що (Ііт Ті — сііт (V (Ь2) /Т>(Ьі)). З теореми 7 одержуємо такий результат:
формули '
¡3 [и, V] = [ОРЬці, 12у)ъ + V) [Ги, Ту] + 2 (хГи, , £>[5] = Г"1© [ш]
встановлюють бієктявну відповідність між усіма замкненими формами, асоційованими з т-секторїальними розширеннями 5 оператора £> = Ь2(^Ь\ та парами (ги, X), де ш [е, /і] - замкнена секторіальна форма в Ті, X : V [и>] -4- (¿¡) -
такий лінійний оператор, що при деякому 5 Є [0,1) виконується умова
||Хе||2 ^ <52Иеиі [е], е Є V [ги].
2) Припустимо, що сіііп (V (Ь2) /І> (Ьі)) = оо, оператор Ьг має обмежений зворотний, виконана умова (с). Визначимо в Ті скалярний добуток (Ги,Ги)_ = (и, у) , и, V Є V (¿г)ПКег5* та позначимо Ті_ та Г поповнення Ті та продовження
ю неперервності оператора Г з Т> (Li) П Ker S' на Кег S" відносно норми ||-||_. Годі {7-£_, Г}■ - гранична пара для S. Нехай Zq — (Г|Кег S*) \ Застосовуючи теорему 7, одержуємо такий опис усіх замкнених секторіальних форм, асоційо-заних з m-секторіальними розширеннями S — L^QLy :
S{u, v\ = (QLi (и - ZoT + 2YYu) , Lx (v - Z0fv))e + w [Fw, fv],
ne D[S] = Т~1Т>[хи\, Y : 2>[ш] —> T>(L\), ß\Ye\ ^ i2ReTO[e], Ve Є V [ш] та І Є [0,1).
Розділ 4 присвячений визначенню та дослідженню оператор-функцій, зв'язаних з секторіальними операторами та їхніми розширеннями. Якщо S - а-секторі-альне л.в. та {7£,Г} - гранична пара для S, то оператор-функція
7 (А) "== (Г |9їд П V [5,у] )_1 називається 7-полем. Оператор 7 (А) при кожному А Єр (S F) відображає Ті на ¡Яд П V [5д'] та має місце рівність
7 (А) = 7 (z) +(А — z) (SJr — А/)-1, А, z Є p(S».
Тому 7 (А) є голоморфною оператор-функцією в області p(SF) Э С\0 (а) зі значеннями у С (Tt,V [5дг]) П С (Ті, Н). Оператор-функцію двох комплексних змінних, визначену рівністю •
(WF (А, z) е, h)H tf S*N [7 (А) е, 7 (z) h), е, h Є U, А, z Є р (SJ.),
ми називаємо Wp - фупкцією секторіального л.в. S, відповідною граничній парі {Н,Г}. 1Ур(А, z) голоморфна по А та антиголоморфна по z в області р(SF). Крім того, бо Sк - m — а-секторіальне л. в., то Wp (А, z) є а-секторіальшш ядром у наступному сенсі:
|іш £ № (Aj, Аj) fu Ь)И І < tg c*Re ¿2 Pj=i (Wp (Ai, Aj) fb fj)„
при будь-якому виборі точок Ai,..., Ап Є p (SF) та векторів /і,..., fn є Ті.
З властивостей розширень Фрідріхса та Неймана-Крейна випливає, що прн будь-якнх Ai, zi, z2 Є p(S*F) справедлива рівність
*7* Ы 7 (А) — Wp (А, zj) = А7* (z2) 7 (А) - WF (А, z2).
Тому, оператор-функція
>
Qf(X) = X1*(z)1(X)-Wf(\, z)
є голомофною у області р (S*F). Функцію Qp (А) назвемо ¿^-функцією секторіального л.в. S, відповідною граничній парі {Ті, Г}. Якщо {Тії, Гг} - інша гранична пара для S, то, як уже зазначалося, існує ізоморфізм V Є С (Ті, Ті\) такий, що WF та Q/’-функції, відповідні граничним парам {TL, Г} та {TL\, Гі}, зв’язані співвідношеннями
VWlF (А, z) V = WF (А, z), V*QiF (А) V = QF (А).
Як показало у підрозділі 4.1, у випадку щільно заданого а-секторіального one ратора справедлива така рівність:
Qr(А) = -S- lim {W>(A, z), z Є С\Є(7)}, у Є (а,^) •
Z—ЮО \ ¿J
Функція Wp визнач ає простий секторіальний оператор з точністю до унітарно еквівалентності, а саме: для того, щоб прості щільно задані секторіальні оператори Si та S2 з диз’юнктними розширеннями Фрідріхса та Неймана-Крейш були унітарно еквівалентніши, необидно та достатньо, щоб їхні WF-функци були зв’язані співвідношенням Wif (A, z) = V'W^p (X, z) V для усіх А та z у лівій півплощині, де V - деякий лінійний ізоморфізм. Крім того, має місце такий результат (підрозділ 4.3)
Теорема 8. Нехай Н - гільбертів простір та нехай W (A, z) - оператор-функ-цІ8 зі значеннями у С (%), голоморфна по А та антиголоморфна по z всередині лівої півплощини комплексної площини та що володіє наступними властивостями:
1. W (A, z) - ос-векторіальне ядро;
2. для будь-якого А існує сильна границя Q (А) = —s — lim W (А, а:);
z—>оо
3. s — lim Q (А) = 0;
А—>0
4- s — lim A~lQ (А) = 0;
А-юо
.1
5. Q-1 (А) Є С (Н), ReA < 0, s - lim Q (А) = 0;
А—их
6. оператор’фупкція К (A, z) = Х~г {Q (Л) -f W (Л, 2)) є додатно визначеним ядром та К~1 (Ао, Ао) Є С (Ті) для деякого Xq.
Тоді існує гільбертів простір Н та замкнений, щільно заданий, простий а-секторіальний оператор S в Н такай, що Z? (S*) С V [-Sjv] та одна з його Wp-функцій збігається з W (A, z) у лівій півплощині.
При доведенні цієї теореми будується спеціальна функціональна модель сек-торіального оператора у гільбертовому просторі з відтворюючим ядром К (A, z). Зазначимо, що у випадку невід’ємного симетричного оператора (^-функція є неванліннівською функцією класу 5_1 і збігається з <5(І-функцієіо, визначеною та дослідженою М.Г.Крейном та І.Є.Овчаренком.
Qf-Функція, відповідна граничній парі, може бути також визначена як аналог функції Вейля, відповідної простору граничних значень (граничній трійці) у сепсі робіт В.А.Деркача та М.М.Маламуда. Наведемо означення граничної трійки для випадку щільно заданого секторіального оператора.
Означення 5. Нехай Б - щільно заданий замкнений векторіальний оператор. Трійка {Ті, Є, Г} називається граничною трійкою оператора 5*, якщо {ТІ, Г} - гранична пара для 5 та Є : Т> [5^] П Т> (Б') —> Ті такий лінійний оператор, що виконується рівність
V] = (54 у) - (Єи, Гь)п Чи є Р[5лг]ПІ>(5*), VI; є
Граничні трійки існують, граничний оператор Є визначається однозначно по граничній парі {Ті, Г} та Кєг &' = V (5д,). Крім того, для ф^-функції справедлива рівність <3г (А) = Фу (Л).
Поняття граничної трійки для секторіального л. в. є аналогом поняття позитивного простору граничних значень, введеного А.Н.Кочубеем для випадку податного означеного симетричного оператора.
У підрозділі 4.4 вивчаються інші оператор-функції, необхідні для опису резольвент т-акретивних розширень секторіального л.в. Наведемо визначення для випадку щільно заданого секторіального оператора. Нехай {Ті, Г} - гранична пара та {Ті, Є, Г} - гранична трійка оператора 5", відповідна {Ті, Г}. Розглянемо такі оператор-функції, голоморфні у області р (Зр):
Р М = ф - А/)"1) *, С (А) ^ (5^7 (А)) *, 9 (А) =' (с -А/)“1)'. Очевидно, що при А, /і Є р (5'^) виконуються рівності
Р (А) - Р (ц) = (А - а*) № - А7Г1 ^ (/і) = (А - /і) (¿> - ці)'1 ^ (А),
С (А) - С (/і) = (А — А 7* (П) F (А), д (А) = д (ц) + (А - у.) (БР - А/)“1 д („). Крім того, доведено, що ТІ (Р (А)) С Т> [5] та
5^ [д (А) е, ір\ = А (д (А) е, ір) Є Т> [5], Гд (А) е = е Уе Є Ті, УА Є р (5^). Цля коерцитивного 5 нехай V (А) = (І — ХБр1) \ тоді вірні рівності
д(Х) = и (А) 7 (0), .Г (А) = 17 (А) Р* (0), б?*- (А) = А7* (0) V (А) 7 (0).
Центральним розділом роботи є розділ 5. Тут даний опис у термінах гранич-піх умов усіх т-акретивних та т-секторіальнпх розширень секторіального л.в. га їхніх спряжених, а також виведена формула резольвент таких розширень. Розглядаються секторіальні л.в. Б, які задовольняють умову
V(S')CV[SN}.
Дя умова виконується для л.в. з трансверсальнимн розширеннями Фрідріхса та Іеймана-Крейна та, зокрема, для коерцитивного л. в. При цій умові, як доведено
і роботі, для усякого т-акретивного розширення Э виконуються включення: 3(8) С ©[Эдг], П(Б) С тгрг]-
У підрозділі 5.1 доведена теорема про загальний вигляд усіх т-акретивних розширень та їхніх резольвент для випадку л.в., а у підрозділі 5.2 розглядається випадок оператора та, зокрема, дано опис усіх т-акретивних розширень обмеженого оператора, у якого розширення Неймана-Крейна є оператором. Тут ми сформулюємо результати для щільно заданого замкненого секторіального оператора 5. Визначимо оператор Ь:
V (Ь) = V {Бр) + V (ЗД ,Ц/г + М = Бр/ґ + 5л/дг. •
Цими рівностями оператор Ь, внаслідок диз’юнктності операторів Бр та Бм, визначений коректно та у випадку трансверсальності розширень Бр та Бх оператор Ь збігається з оператором 5* = (5* \Т> (5£) П Т> (5д-))*. Якщо {Ті, І’} -гранична пара для 5, то має місце рівність
1и = £><и-9(А)Ги)-ьА5(Л)1Х и ЄХ>(£),УА Єр(Бр).
По граничній парі для оператора 5 однозначно визначається такий оператор
С,: V (Ь) -» Н, що викопується рівність
5^ [и, г;] = (Ьи, у) — (С*и, Ги)и Уи€.Т>(Ь), Уь є V [5^].
Трійку {7І,Є„ Г} ми називаємо граничною трійкою для Ь.
Теорема 9. Нехай Б - щільно заданий векторіальний оператор, для якого виконана умова ТУ (Б*) С Т>[Бх], {?{,Г} - гранична пара для Б та {'%,С,Г'},
{Ті, Є,, Г} - граничні трійки для Б* та для Ь, відповідні {Ті, Г}. Тоді існує бієктивна відповідність між усіма т-акретивними розширеннями Б оператора Б та усіма парами (уї, Х^, де \У - т-акретивне лінійне відношення у Ті
та X : V -► ТІ такий лінійний оператор, що
|Хе|2<Ке (^(е),е) Уеє£>(^).
Ця відповідність при будь-якому А Є р{Бр) висловлюється рівностями
VI Б) = Є 2> [ЛЛ • !)и ^ (А) Г« + (А) ХГиЄ V {Бр), 1
\ 1 1 ’ 2)0,(и + 2Р(Х)ХГи) Є (\У + 2С(А)ЛГ)(Ги) / ’
Би = І (и + 2Г (А) ХГи) + 2F (А) ХГп.
Розширення Б є т-секторіальним тоді і тільки тоді, коли \У - т-векторіальне л.в. та при деякому 5 Є [0,1) виконується нерівність
І-ХеЦ2 < 52В.е (УЇ (е) ,е) Уе Є V(W)
та при цьому замкнена форма 5[u,t;], асоційована з S та гг область визначення описуються таким чином:
S К t»] = SN [u, v] + W [Ги, Гу] + (хГи, Sfäv) , X>[S] = Г"1!)^],
де X-неперервне продовження X з £>(W) на 7?[W]. Розширення класу в,(5) та тільки вони визначаються парами ^W, 0^ та є т-акретивними звуженнями лінійного оператора L, Крім того,
1) число А Єр (Sjг) є регулярною точкою оператора S у тому та тільки у тому випадку, якщо
(W - Q*f (Л) + 2G (А) ¿¡У' Є £ (Н)
та при цьому для резольвенти мас місце рівність
(S - А/)-1 = (SF - А/)-1+(? (А) - 2F (А) X) (w - Q} (X) + 2G (А) х) 7* (Л);
2) число А Є p(Sf) с власним значенням оператора S у тому та тільки у тому випадку, якщо
' Ker — Q*f (Ä) + 2G (А) X^ Ф {0}
та при цьому
Ker (s - А/] = (q (А) - 2F (A) x) Ker (w - Q*F Q) + 2G (A) x) .
Для коерцитивного оператора це твердження можна модифікувати.
Теорема 10. Нехай S - щільно заданий секторіальний та коерцитивний оператор, {7і, Г} - гранична пара для S та Г} - гранична трійка для 5*.
Тоді формули
_ *.
„ Г l)u-2’0ru + 2yriieP(Sf), ]
ад«|«ЄО[ЗД: 2JG,(u + 2yru)ew(rU) }
Su = Sf (и — ZqVu -+• 2УГгі^
встановлюють бієктивну відповідність між усіма т-атсретивними розширеннями S та усіма парами ^W, Y^, де W - т-акретивне л.в. в Ті та Y : X>(W) D[S] - лінійний оператор такий, що
ц [Ye] ^ Re (W(e), е)и Ve Є V[W).
Розширення S с т-векторіальним тоді і тільки тоді, коли W - т-секторіаль: л.в. та для деякого 8 Є [0,1) виконується
ц[Уе] ^ б2Re (W(e), е)п Ve eV(W).
У цьому випадку
S [u, и] = SN [u - ZQTu + 2УІХ v - ZüTv\ + W [Ги, Г-и], и, v є V[S] = T'^fW]
Розширення класу <S,(S) та тільки вони визначаються парами ^W,0^ та гп-акретивтиіи звуженнями лінійного оператора SI. Крім того,
1) точка А Є p(Sp) є регулярною точкою оператора S тоді та тільки тоді коли
(w- AZ0*(7(A) (Zo - 2?))_1 Є С(К) та у гіьому випадку резольвента S має вигляд
(S - А І)'1 = (SF ~ Al)-1+[/(A)(Z0 - 2 У) (w - XZ^U (А) (Z0 - 2 У))"1 Z0*C/(A)
точка Л 6 р(5р) є власнгиі значенням оператора S тоді та тільки тоді, коли
Ker (w - \Z$U(А) (zü - 2У)) Ф {0}
та у цьому випадку
Ker (S — А/) = U (А) (Z0 - 2У) Ker (w - AZ0*i7 (А) (z0 - 2?)) .
Нагадаємо, що пара операторів {А, В], що задовольняє умову (А/, д) = (/, Вд для усіх / Є D (А) , 5 Є 2? (В), називається дуальною парою, а оператор Q називається розширенням дуальної пари {А, В), якщо Q D A,Q‘ D В. У підрозділі 5.2 розглядається також задача про т-акретивні розширення дуальної пари секторіальних операторів. Тут встановлений такий результат.
Теорема 11. Нехай щільно задані, векторіальні та коерцитивні оператори {S,T} утворять дуальну пару, {Hs, Г5} та {%г, Гг} - граничні пари для S та Т та [Hs, , Ts} - гранична трійка для S*. Припустимо, що має місце рівність Sp —Тр та нехай
Z$ = (Г5 [KerS*)1, Zl = (Гг|КегГ*)-1,
Ео = rs (D [S*] П VІЗД) ,y0e = l {z$ - ZlrTZ0s) e, fi0 [e] = p [У0е], e 6 E0. Тоді формули
V{S) = {u Є 2>(Т*)П1)[ЭД : G? (и — ZfГТи) є W (Г5«)}, Su = T'u
встановлюють бієктивну відповідність між усіма тп-акретивними розширеннями Б дуальної пари {£, Т} та усіма т-акретивними л.в. \У у И5 такими, що
V (ТО) С Ео, їіе (W (е), е)н8 ^ й) [є] Уе € V (\У).
Розширення Б є т-секторгальним тоді та тільки тоді, коли \¥ - т-секторі-альне л.в. та при деякому <5 Є [0,1) виконується умова
52Пе (Л¥(е),е)н5 ^ мо [е] Уе є V (W).
Теореми 10 та 11 при спеціальному виборі граничних трійок припускають переформулюваяня в термінах формул М.І.Вішика - М.Ш.Бірмана.
Теорема 12. 1) Нехай Б - щільно заданий еєкторіальний та коерцитивний оператор. Тоді рівності
V(S) = -О (5) + + (І- 2У) М) £> (М) +Ш,
Б(х + Б}1 И + {1 - 2У) МЛ + е) = + Л, х Є V (Б), Л Є V (М),е Є ОТ
встановлюють бієктивну відповідність між усіма т-акретивними розширеннями оператора Б та усіма трійками (ЭЛ, М, У), де ЮТ підпростір у Кег 5", М - т-акретивний оператор у підпросторі Кєг5* 09Л з областю визначення Т>(М) та У : 72 (М) —> 2>[5] - лінійний оператор, що задовольнить умову
/і [УМЛ] < Ие (МЛ, /г), /г Є (М).
Розширення Б є т-секторіальним тоді та тільки тоді, коли М - т-секторіаль-пий оператор в Кег 5* © 5Ш та для деякого 6 Є [0,1) виконується нерівність
ц[УМЛ] ^ <52Г1е (МЛ, Л), Л є 1>(М)
та при цьому для асоційованої замкненої форми Б [и, и] справедливі рівності
Ъ[Б}=Ъ[Б}+ЩМ] 4-ЭЛ,
Б \ф 4- / + е, ф + д + Л] = 5 [<р + 2У/,ф\^г М 1 [/,д\
4<р,ф Є У[Б\,Ч/,д Є 7г[М], Уе,Л є Ш, деМ~1 = (м[я(м))~ , У - неперервне продовження У на 71 [М] з збереженням умови підпорядкування. Оператор Б має обмежений зворотний тоді та тільки тоді, коли Т> (М) = Кег 5* та у цьому випадку Б~1 = Бр1 + (І — 2У) МРо, де Рд - ортопроектор на Кег 5*.
2) Нехай Т - також щільно заданий еєкторіальний та коерцитивний оператор та Тр — Бр. Нехай £ОТо = Кег 5* Г) КегТ* та Р$, Р$ - проектори у
Х> [■Э'лг] таТ>[Тк] на Кег і?" та КегТ* відносно розкладів
V [5*] = V [5] 4-Кег 5*, V [Тя] = V [5] 4-Кег Т*.
Тоді формули
V(S) = V{S)+ (вр1 + Р%М)Ъ (М) +Мо, 5 = Т* |р (5)
встановлюють біективну відповідність між усіма т-акретивни-чи розиіиреї нями дуальної пари {Б,Т} тпа усіма парами ^М, Ш?о^, де ЗЛо - підпростпір ГОїі
М - тп-акретивпий оператор у підпросторі Кег 5* © Мо з областю визначена Т>(М), причому "
71 (М) С Р$ (V [5дг] П V [Тл-]), Ие (МЛ, її) ^ \PjMh] \/Н Є V (М).
Розширення 5 є т-секторіальним тоді та тільки тоді, коли М - т-сектор альний оператор та при деякому 8 Є [0,1) виконується нерівність <52ІІе (А//і, Л) ^ і/г \pjMh] \fheV (М).
Задача про розв’язувані розширення дуальної пари щільно заданих опсрг торів, що мають обмежені зворотні оператори, вирішена М.І.Вішиком. Резулі тати М.І. Вішика використав М.Ш.Бірман для опису напівобмежених самос пряжених розширень додатно визначеного симетричного оператора та їхніх за мкнених форм. Задача про ш-акретивні розширення акретивного оператора та зокрема, задача про ш-акретивні розширення дуальної пари акретивних опера торів розглядалася Р.Філліпсом, який використав при розв’язуванні геометрії' просторів Крейна. Теореми 9-12 цієї роботи доведені іншим способом, що за снований на поданні півторалінійної форми у вигляді
(^Зи, = Б// [и, и] + ^и,Гг)^ -Ь 2 , и є Т> ^5^ , у єТ> [5^] і
де 2^: 23 ^5^ —» Я ~ деякий лінійний оператор такий, що л. в.
{(ГиДі*), иЄ2>(з)}
є т-акретивиим у Ті. Для випадку невід’ємного симетричного оператора з те орем 9 - 12 випливають усі відомі результати про його т-акретивні розши рення, отримані раніше у роботах А.Н.Кочубея, В.А.Михайлеця, О.Г.Сторожа
О.Я.Мильо, Е.Р.Цекановського, В.А.Деркача, М.М.Маламуда.
У підрозділі 5.3 параметризован! усі т-акретивні та т-еєкторіальні розширення секторіального оператора, що має дивергентну форму, тобто оператора вигляду і? = Ьу^Ь\, де для операторів Ь\,Ь2,Ц виконані умови (а) - (с). Для цього виявилося зручним використати такі крайові пари {Н, Г} , {Ті, Ф} операторів Ь\ С Ь2 та £4 С І/І, для яких справедлива формула Гріна
(її/, м)в - (/, = (Ф/, Ги)я V/ € V (Ц), 'їй ЄЯ (Ь2).
Ці крайові пари введені та використовувались В.Е.Лянце та О.Г.Сторожом. Ми називаємо трійку {Н, Ф, Г} граничною трійкою для Ь\ С Ь2- Має місце такий результат.
Теорема 13. Нехай викопані умови (а), (Ь), (сі), {Ті, Ф, Г} - гранична трійка для Ь\ С Ь2 та V - проектор у Ні) на Ті (Ь{) відносно прямого розкладу І5 = (КегЬ\). Тоді формули
_ ґ , ч дті2и + 2оЧ2хти є я{ц) І 4$) - 1« є V{L2) : ф + 2Г*0)(2ХГи) Є \У(Ги) } ’
Би = Ь\ (^ГЬ2и + 2д](2ХГи)
встановлюють взаємно-однозначну відповідність між усіма т-акретивними розширеннями оператора 5 = Ь\ЦЬ\ та усіма парами ^\У,Х^, де V/ - т-
акретивне л.в. у Ті, X : 7? —> 0^71 (Ьі) - лінійний оператор такім,
що ||Хе||2 ^ Ие ^\У (е), Vе Є Т> . Оператор 5 є т-секторіальним
тоді та тільки тоді, коли \У - т-векторіальне л.в. та при деякому 6 Є [0,1)
виконується умова підпорядкування ||Хе||2 ^ <52Яе ^ЛУ (е) ,е^ Уе Є Т> .
Для спряженого оператора мають місце рівності
V{S*) = Є V{L\Q’L2) : (фТ'Я* - 2Х^ї/гг) Ь2у Є (Гі»)} ,
5* = ь;д*і2и.
Якщо оператор Ь\ має обмежений зворотний та виконані умови (а), (Ь), (сі), то граничною трійкой для оператора 5* можна вибрати трійку {Н, Ф(?іі (І — Z0Г), Г} та застосувати теорему 10, а якщо покласти Т = Ь'2С^Ьи то й теорему 11.
При побудові граничних трійок у випадку сіітї? (£2) /сІітО (£[) = со зручним є вибір оснащеного гільбертового простору в якості граничного простору. Нехай даний оснащений гільбертів простір Н+ С Ті С Ті" та нехай {Ті+, Г}
- крайова пара для Ь\ С Ь2. Тоді оператор Ф діє з Т)(Ь\) в Ті~ та трійка {7І+ С Н С Ті~, Ф, Г} є граничною для Ь\ С Ь2. Якщо виконана умова
(с) та оператор Ь\ має обмежений зворотний, то, як зазначалося вище, ліне-ал Т> (Ь2) П Кег 5* всюди щільний у Кег 5*. Нехай Ті- - поповнення Ті+ по нормі ]|Ги||_ — ||гі||, и Є V (Ь2) П Кег 5' а Г - продовження Г на Т> [5^г] по неперервності відносно норми ||-[|_. Нехай, як і раніше 2о — (Г|Кег5') . Ясно, що у
такому випадку ми маємо рівність
= ЦЯЬі (І - г0Г) и,\/иєТ> (£,*) = V (ЗД + V (З*)
та {Ті-, Г} - гранична пара для 5 = Ь\<ЗЬ\. Можна показати, що при виконанні умови
(е) гільбертів простір Н неперервно вкладений у Н~
граничною трійкою для оператора 5* є трійка
{Н+ С П С 7І-, ФС?Ьі (І - £0Г) , Г} ,
де Ті+ СП С Ті- - відповідний оснащений гільбертів простір та оператор ФQLl(I — ZoГ) сюр’єктивно відображає 2? (5*) на %+. Таким чином, застосовуючи теорему 10, можна дати параметризацію усіх ш-акретивних та ш-секторіальних розширень оператора £> = Ь\ОЬ\ у розглядуваному випадку, а якщо виконуються умови (с) та (є) при заміні на <3*, то можна застосувати теорему 11 для опису усіх т-акретивних та т-секторіальних розширень дуальної пари \L\QL\,
У підрозділі 5.4, виходячи з результатів підрозділів 5.1 - 5.3, отримані абстрактні граничні умови для усіх т-акретивних та т-секторіальних звужені спряженого л.в. в*. Наведемо основний результат для оператора.
Теорема 14. Нехай Б - щільно заданий замкнений векторіальний оператор, що задовольняє умову Т> (Б*) С V [5//]. Нехай {Ті, Г} - гранична пара для Б та {Ті, Є, Г} відповідна гранична трійка для Б*. Тоді співвідношення
Т>{Т) = 1« ЄХ>(5*) : (і + В)Су-{і.-В)Ту = 2Уу}, Т С 5*
встановлюють бієктивну відповідність між усіма т-акретивними звуженнями Б* та усіма парами (В, Ф), де В - стиск у Ті та Ф : Т> (Б') —> Ті - такий лінійний оператор, що для усіх (5*) викопується умова
С ЩОв-), ||ДіїФт»||Ч КйЯдгМ,« є Б (Б*).
Оператор Т є тп-секторіальиші тоді та тільки тоді, коли В Є С та для деякого 6 Є [0,1) виконується умова
||£#Фи||2 5$ <52ЇІе М, V Є сЛ (5*).
У підрозділі 5.5 дисертації для загального випадку секторіального л.в. розвиваються методи робіт Р.Філліпса, В.Іванса - Дж.Ноуелса та О.Я. Мільо -
О.Г.Сторожа, пов’язані з параметризацією т-акретивних розширень у термінах максимальних невід’ємних (недодатних) лінеалів деякого спеціального граничного простору з індефінітною метрикою. У рамках такого підходу також дані інші доведення теорем 10 та 14.
Розділ 6 присвячений застосуванню основних результатів розділів 3 - 5 до опису т-акретивних граничних задач для диференціальних операторів. Розглядаються оператори, що мають дивергентне зображення. У підрозділі 6.1 дано опис усіх т-акретивних розширень, їхніх спряжених та резольвент невід’ємного симетричного оператора диференціювання другого порядку на півосі
К+ = (0,оо) у гільбертовому просторі С? (К+) :
а
Би = -и", и Є V (5) = Я2 (Е+),
0 о
де у подальшому Я1 (К+), Я1 (К+), Я2 (К+), Я2 (К+) - простори Соболева. Виявляється, що формули
[ тті/ш, \ иЧз) + 2^1Іійи(0)<р(а:) є Н1(Ш+)
V ) ~ € ^ 1 (и'(2;) + 2л/КІйи(0)¥>(а;)) | _о=иж(0)
Би = — (х) + 2%/Кеи и (0) <р (х) ^
встановлюють бієктпвну відповідність між усіма т-акретивними розширеннями 5 Бр оператора Б та усіма парами (ш, <р (х)), де
/ оо \ 1/2
Лей; ^ 0, ер (х) Є £2 (К+), || <р (г)||£2(н+) = і J \ір (x)\dx) ^ 1.
Область визначення спряженого оператора задається рівністю .
V = |и Є Я2 (М+) : п' (0) = ши (0) + 2\/Яеш ^ и (х) <р{х)йх |.
Розширення 5 є т-секторіальним тоді та тільки тоді, коли
В.еы > 0, ||ір(а:)|І£2(к+) < 1.
При цьому замкнена асоційована форма має вигляд
СО
5 [и, гі] = У (и1 (х) + 2УКешы (0) <р (хV (х)йх + ши (0) V (0), ©[<?] = Я1 (Е+). о
Фрідріхсовому розширенню формально відповідають параметри (оо,0), а розширенню Неймана - Крейна - (0,0).
У підрозділі 6.2 розглянутий оператор, породжений у £2(К+) диференціальним виразом
1 (и) — — (р (х) и! + г (х) и)’ + в (х) 4- д (х) и
з коефіцієнтами з £°° (К+), що підкоряються умові
Ие (9(2:)|^1|2 + 5(а;)^^2 + г(а:)$1С2 + р(а:)|6|) ^ с (|£і|2 + |£2|2)
для майже усіх х Є 5Ц, для усіх векторів (£1,^2) Є С2 та для деякого с > 0. Нехай
( о 0 1
Т>(Б) = < и ЄЯ1 (К+): р(х)и' + г(х)и ЄЯ1 (Е+) >, 5и = 1(и), и Є Т>(Б).
Оператор S є замкненим щільно заданим секторіальннм та коерцитивним от ратором. Ми дамо опис усіх його m-акретивних та m-секторіальних розширені а також їхніх спряжених. Наведемо результати для випадку оператора
о
Su = ~и" + q (е) и, V (S) = И2 (К+).
при умові на потенціал: q (і) Є £°° (R.+)., Re q (x) — дц (ж) > m > 0. Фрідріхсс вим розширенням S є оператор
о о
SFu = -и" (x) 4- q (х) и (x), іі Є Т> (SF) = Я2 (R+) П Я1 (К+), V [S] = Я1 (R+), а його ’’реальною частиною” - оператор
о
Sfru ~ -и" (з) + Чи (ж) и (х), иЄТ> {SFr) - Я2 (R+) П Я1 (R+).
Нехай К (x, s) - ядро оператора та qi (х) — 1m q (х). Тоді квадратичний
о
функціонал р. [у] прп у (я) є Я1 (R+) має вигляд
ОО 00 00
Р М = J 0е) Ь (æ)|2 + І2/'|2] dx + J J К (x, s) qi (s) qi (x)y (s) y (x)dsdx. o oo
Нехай zq (x) та £ (x) є розв’язками граничних задач
-z'ô (x) 4- q (x)zq (x) = 0, zo (x) Є Я2 (K+) , za (0) = 1,
(x) + q (x) e0 (x) = 0, Ç0 (x) Є Я2 (R+), Со (0) = 1,
та нехай у0 (x) — (zq (і) — £0 (ж)) /2. Тоді співвідношення
Г ! , и'(ж)+2у'(г)«(0) Є Я1 (R+) І
D(SJ - j« Є Я (R+) : K(a;) + 2y'(a;)li(0)]|i=o=(u; + z'(0))u(0) ]>
Su= — (и1 (x) 4- 2j/' (г) и (0) У 4- q [х) (и (x) + 2у (х) и (0)) — 2iqj (х) г0 (x) и (0), V[S*) = jî; Є Я2 (R+) : (w 4- 4 (0)) t; (0) - і/ (0) =
oo
= 2 J jV (x) {yо (г) - y' (x)) 4- g (х)г; (x) (ÿ0 (x) - y (x) j j dz 1, о '
S*v = —v" (x) 4- q (x)v (x)
задають бієктивну відповідність між усіма m-акретивнимм розширеннями S г~ SF оператора S та їхніми спряженими та усіма парами (cj, у (х)), де
О
Ііеш 0, у (х) Є Я1 (К+) та ц [у] < Иеы.
Розширенню Неймана-Крейна відповідає пара и = 0,у(х) = 0 п.в., а Фрідріх-совому розширенню формально відповідає пара и> = оо, у (х) = 0. Розширення
5 є т-секторіальшш тоді та тільки тоді, коли /і [т/] < Ивол
Вважаючи у наведених формулах у (х) — уа(х) п.в., отримаємо опис усіх пі-акретивиих (ш-секторіальшіх) операторів та їхніх спряжених, що містяться між мінімальним та максимальним операторами, породжених диференціальним виразом 1 («) = —и" + ? [х) и в £2 (К+). При цьому число /і [т/0] можна обчислити за формулою
00 00
Р Ы = У J К іх> «) Яі (5) Ці (х)г0 (а) г0 (ж)сЫ:г. о о
У монографії Альбеверио С., Гестези Ф., Хоег-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир, 1991. — 566 с. у рамках теорії самос-пряжених розширень з використанням формули резольвент М.Г.Крейна розглядаються гамільтоніани, відповідні точковим взаємодіям. У підрозділі 6.3 нинішньої роботи параметризован! одповимірні ш-акретивні оператори Шредінгера з одноточковою взаємодією.
Нехай у Є Е,- Я2 (К), Я1 (В), Я1 (—оо, у), Я1 (у, оо) - простори Соболева
та
о
Я1 (-оо, у) = {ті (і) Є Я1 ( оо, у): и(у-)= 0} ,
Я1 (у, оо) = {и (і) Є Я1 (у, оо) : и (у+-) = 0} ,
Щ (М) = Я1 (-оо, у) ® Я1 (у, оо) = {и {х) Є Я1 (К) : и (у) = 0} ,
Н1 (к\ {у}) = Н1 © Н1 ■
У гільбертовому просторі С2 (М) розглянемо два оператори Ь\ та Ь2'.
о
Ьки = и', к = 1,2, V (Ьі) = Щ (»), V (І2) = Я1 (К).
Оператор іЬі є симетричним з дефектними числами (1,1),
Ь\и = -и\ Ъ(Ц) = Н1 (К\ {у}) та іЬі - самоспряжене розширення оператора іЬ\. Очевидні співвідношення
¿1 С ¿2 с -Ь\.
Нехай р(х) - функція з £°° (К), майже всюди виконується умова
ріі (ж) = Кер(х) ^ т > 0 та <5 - оператор множення у £2(К): <?к = р(х)к(х),
який є обмеженим та коерцитивним. Розглянемо щільно заданий секторіальни оператор
в6и — ЦЯЬіи = - (р (х) и' (а;))',
V (5г) = Є Н\ (Е) : р (х) и' (х) Є Я1 (Е)|.
Його ш-акретивні розширення відповідають ’’¿-взаємодіям”. Якщо в якості по чаткової пари операторів вибрати пару Ьі С —отримаємо також щільш заданий секторіальний оператор
Бі-и = —Ь^Ьіи = — (р (е) и' (х))7,
25(5Р) = і и е Я1 (Е) : р(*)и'(*) Є (1
m-акретивні розширення якого відповідають ”6'-взаємодіям”. Нарешті, якщо вибрати початковою пару Li С —L\, то отримаємо оператор
Saut — —LiQL\u = — (р (е) и' (х)/,
2?(ЗД = |и Є Ну (R) : р(х)и'{х) Є НЦЖ)
з ш-акретивними розширеннями, які відповідають ”6 — 5-взаємодіям”. Даний опис гп-ахретивних (ш-секторіальшіх) розширень та їхніх спряжених операторів S},Sj> та Sss', а для випадку р(х) = 1 даний опис резольвент та точкового спектра m-акретивних розширень операторів Sj та S's.
У розділі 6.4 розглядається мінімальний оператор S — Ітіп, породжений диференціальним виразом другого порядку
1 («) = - Е £: (Ё а>к {х) wk + {х) м)+ §ак {х) ё+а (х) и
в обмеженій області Q з нескінченно гладкою межею дії у просторі Rn. Припускається також, що коефіцієнти належать класу С°° (Й) та виконана умова рівномірної еліптичності
(Е qik w І ^ сЕ і&і2
\}Л=0 ) к—0
иія усіх х Є = (Со,..., £п)Т Є Сп+1 та деякого с > 0, де = а; (х) ,qak — гк(х), 9оо = ö (х) > 9>(Ь = <Чк(х) ,j,k = 1,..., п. Оператор 5 також має дивергентне
зображення при наступному виборі просторів та операторів:
Sj = [L2 (П)]п+1, Lku = (и, Vu)T, V{L{) = Я1 (П), 2? (L2) = Я1 (П),
Qf = Q (х) (/о (а;) , /і (г) ,(х))Т , /= (/о (ж), /і (ж) (z))T Є Я,
де Q{x) — ||?і*(х)||- Для області визначення оператора S має місце рівність о
Т> (£) = Я2 (П), а Фрідріхсовим розширенням Sf оператора 5 є оператор, відповідний граничним умовам Діріхле:
о о
V (SF) = Я1 (П) П Я2 (П), V [S] = Я1 (П).
Граничною трійкою для L\ С Ь2 є
{я1''2 (Ш) с ь2 (дп) с я-1'2 {дП). Ф. г},
де Ги = и jöfl, и Є Я1 (fi) - оператор сліду, а Ф - продовження оператора
ТІ
Ф'/= Y,л (*) cos (п (а:),а*) |öfi, / Є £2 (П) © [Я1 (П)]я
Jt=l
на 2? (Lj), п (х) - неперервне поле одиничних нормальних векторів до поверхні дО., направлених всередину П. Оператор Г має пеперсрвне продовження Г на о
V [Sw] = Я1 (О) 4-Ker S* зі значеннями у гільбертовому просторі Я_ = Я'1/2(90), що містить С? (dQ). Нехай 2Г0е - єдиний розв’язок граничної задачі
S*U = /щах« = 0, Ги = е, е Є Я-,
де 1+ (и) - спряжений диференціальний вираз, та нехай граничний оператор о
G, : 2? (S’) = Я1 (П) П Я2 (fi) -i-Ker S* —> Я+ = Я^2(ЗП) задається рівністю
G.u = Ф<2іі (и - 20Ги) = ~ ^-Ц-~ |<9Я ,
де
дім ^ ^ \
+ aj(x)vJ cos(n(r),x,)|ön.
Тоді трійка {Я+ С L2 (ЗГі) С Я_, G», Г} є граничною трійкою для S*. Тепер, на основі теореми 10 можна дати опис усіх т-акретивних (т-секторіальних) розширень оператора Zm|n з тим уточненням, що параметр W є т-акретивним
(т-секторіапьним) л.в. у Я_ зі значеннями Я+, а лінійний оператор Y діє з
о „
^ (W) у Я1 (П). Зазначимо, що т-акретивне розширення S має область визначення 2?(5), що міститься у Я2 (П) тоді та тільки тоді, коли відповідне йому
зо
m-акретивне л.в. W має область визначення V (W), що міститься у Н3?2 (дС. о
та 1Z (Y) С Я1 (П)ПЯ2 (П). Ми даємо також опис усіх m-акретивних операторії що містяться між Іщіп та ¿гаах.
У цьому ж підрозділі розглядається мінімальний оператор, породжений ві: разом
І (и) — —Au + q (х) и
з потенціалом q (х) Є L°° (Q), значення якого при майже усіх х Є О. лежат
у секторі © (а) з вершиною у нулі. У цьому випадку граничним простором
також Н1/2 (dfl) С L2 (<ЭГ2) С Н~1^2 (8Q), а квадратичний функціонал /і [у] н; о '
Н1(П) вираховується по формулі
/Ф1 = О^І2 + 4л(я)|уООП^ + Kr(x1s)qI(s)qi(x)y(s)y(x)dsdxi JU 4 ' Jn*n
де qr (х) = Re g (х), а К"г (s, s) - функція Гріна оператора
о
StF = -Ли + q (х) и, V (SrF) = Я1 (П) П Я2 (П).
К
ВИСНОВКИ
У роботі отримані такі нові результати.
1. Для довільного секторіального лінійного відношення визначене та досліджене ш -секторіальне розширення Неймана-Крейна, встановлений критерій єдино-сті га-секторіального розширення, отримані зображення Фрідріхсового та Неймана- Крейна розширень у вигляді сильних резольвентних границь.
2. Дана параметризація всіх замкнених форм, асоційованих з ш-секторіаль-ними розширеннями.
3. Визначені та досліджені аналітичні властивості оператор-функцій, пов’язаних з граничними парами та з граничними трійками секторіального лінійного відношення. Побудована функціональна модель простого щільно заданого секторіального оператора.
4. Для секторіальних лінійних відношень та, зокрема, секторіальних лінійних операторів з допомогою граничних операторів та граничного простору та з використанням двох параметрів отриманий опис усіх m-акретнвних та т-секторіальних розширень та їхніх спряжепих. При цьому запропонований метод істотно відмінний від методу Р.Філліпса та заснований на зображенні пів-торалінійної форми оператора. Дано також опис, як у термінах абстрактних граничних умов, так і у термінах формул М.І.Вішика - М.Ш.Бірмана, усіх m-акретивних (m-секторіальних) розширень дуальної пари щільно заданих коерцитивних секторіальних операторів, для яких Фрідріхсові розширення взаєм-
но спряжепі. Дана характеристика в термінах параметрів точок спектра та регулярних точок т - акретивних розширень та встановлена формула, яка описує їхні резольвенти. Розглянуті секторіальні оператори, що мають дивергентну форму, і для них також даний опис усіх їхніх т-акретивних розширень у термінах абстрактних граничних умов.
5. Абстрактні результати застосовані для опису граничних умов, що задають усі ш-акретивні та т-секторіальні розширення мінімальних операторів, породжених звичайними диференціальними виразами другого порядку на півосі та рівномірно еліптичними диференціальними виразами другого порядку дивергентного вигляду у обмеженій області простору М".
6. Встановлені нові властивості перетворень Келі т-секторіальних лінійних відношень та однопараметричшіх півгруп, породжених т-секторіальними операторами.
СПИСОК РОБІТ, ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Арлинский Ю.М. Об аккретивных (*)-расширениях положительного симметрического оператора//Докл. АН Украины. Сер. А. - 1980. - N.11. - С. 3-5.
2. Арлинский 10.М., Цекановский Э.Р. Несамосопряженные сжимающие расширения эрмитова сжатия и теоремы М. Г. Крейна//Успехи мат. наук. -1982. - 37, N.1. - С. 131 - 132.
3. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. Обобщенные резольвенты квазисамо-сопряженных сжимающих расширений эрмитова сжатия//Укр. мат. журн.
- 1983. - 35, N.5. - С. 601 - 603.
4. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. О секториальных расширениях по-
ложительных эрмитовых операторов и их резольвентах//Докл. АН Арм. ССР.- 1984. - 79, N.5. - С. 199 - 203. •
5. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. О резольвентах т - аккретивных расширений симметрического дифференциального оператора//Мат. физика и нелинейн. механика. - 1984. - N.1 (35). - С. 11 - 16.
6. Арлинский Ю.М., Цекановский Э.Р. Квазисамосопряженные сжимающие расширения эрмитова сжатия//Теория функций, функцион. анализ и прил.
- 1988. - N.50. - С. 9 - 16.
7. Арлинский Ю.М. Сжимающие расширения дуальной пары сжатий и их резольвенты //Укр. мат. журн - 1985.- 37, N.2. - С. 247 - 250.
8. Арлинский Ю.М. О коммутирующих и нормальних расширениях эрмитовых операторов//Изв. вузов. Математика. - 1986. - N.12. - С. 3 - 10.
9. Арлинский Ю.М. Об одном классе сжатий в гильбертовом пространстве //Укр. мат. журн. - 1987. - 39, N.6. - С. 691 - 696.
10. Арлинский Ю.М. Позитивные пространства граничных значений и сек-ториальные расширения неотрицательного симметрического оператора // Укр. мат. журн. - 1988. - 40, N.1. - С. 8 - 15.
11. Арлинский Ю.М. К теории операторных средних//Укр. мат. журн. - 1990.
- 42, N.6. - С. 723 - 730.
12. Арлинский Ю.М. Характеристические функции операторов класса С (а) //Изв. вузов. Математика. - 1991. - N.2. - С. 13 - 21.
13. Арлинский Ю.М. Об одном классе расширений С (а) субоператора //Доп. АН Украины. - 1992. - N.8. - С. 12 - 16.
14. Арлинский Ю.М. Максимальные секториальные расширения секториаль-пых операторов //Доп. АН Украины. - 1993. - N.6. - С. 22 - 27.
15. Arlinskii Yu.M. On proper accretive extensions of positive linear relations //Укр. мат. журн. - 1995. - 47, N.6. - С. 723 - 730.
16. Арлинский Ю.М. Максимальные секториальные расширения и ассоциированные с ними замкнутые формы//Укр. мат. журн. - 1996. - 48, N.6. - С. 723 - 738.
17. Арлинский Ю.М. Замкнутые секториальные формы и однопараметрические полугруппы сжатий//Мат. заметки. - 1997. - 61, N.5. - С. 643 - 654.
18. Arlinskii Y.M. Extremal extensions of sectorial linear relations // Mat. Studii.
- 1997. - 7, N.I. - P. 81 - 96.
19. Arlinskii Y.M. On m-accretive extensions and restrictions. //Methods of Funct. Anal, and Topol. - 1998. - 4, N.3. - P. 1 - 26.
20. Arlinskii Y.M. On functions connected with sectorial operators and their exten-sions//Int. Equat. Oper. Theory.- 1999. - 33, N.2. - P. 125 - 152.
21. Arlinskii Y.M. On class of nondensely defined contractions and their extensions // Journ. of Mathematical Sciences. - 1999. - 97, N.5. - P. 4391 - 4419.
22. Arlinskii Y.M. Abstract boundary conditions for maximal sectorial extensions of sectorial operators//Math. Nachr. - 2000. - 209. - P. 5 - 36.
23. Arlinskii Y.M. M-accretive extensions of sectorial operators and Krein spaces// Operator Theory: Advan.and Appl. - 2000. - 118. - P. 67 - 82.
24. Arlinskii Y.M. On limit representation of extremal extensions of sectorial linear relations// Вісник Східноукраїнського державного університету. - 1999. -N.3 (18), - С. 10 - 17.
25. Arlinskii Y.M. Maximal sectorial extensions of sectorial linear relations //Proceedings of the Fourth Crimea Autumn Mathematical School Symposium.
- 1995. - 4. - P. 29 - 31.
26. Arlinskii Y. Closed sectorial sesquilinear forms and one-parameter contractive semigroups // 2-nd Europ.Congr.of Math, in Budapest. Satellite Conf. Aspects of Spectral Theory. - Vienna (Austria). - 1996.
27. Arlinskii Y.M. Maximal sectorial extensions and associated closed forms // Mark Krein Intern. Conf. Oper. Theory and Appl. - Odessa (Ukraine). - 1997. -P.3.
28. Arlinskii Y.M. Fractional-linear transformations of the unit operator ball and contractive extensions in Hilbert spaces // Междунар. конф. по теории характеристических'функций линейных операторов. - Ульяновск (Россия). -1997. - С. 4 - 6.
29. Arlinskii Y. On Q-fiCction and resolvent formula for sectorial opprator // Intern.Workshop on Oper.Theory and Appl. - Groningen (Holland). - 1998.
Арлінський Ю.М. Максимальні акретивні розширеннях сектпоріальних операторів- Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фпико-математичнстх наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2000.
Дисертація присвячена розвитку методу абстрактних граничних умов у теорії розширень лінійних операторів у гільбертовому просторі. Для секторіального лінійного оператора або секторіального лінійного відношення дано параметричний опис усіх максимальних акретивних і максимальних секторіальних розширень, їх резольвент та спряжених операторів у термінах абстрактних граничних умов. Абстрактні результати застосовані для опису відповідних граничних задач диференціальних операторів другого порядку. Побудована функціональна модель простого щільно заданого секторіального оператора. Отримані нові зображення замкнених секторіальних форм у термінах резольвент асоційованого оператора та породженої ним однопарамеричної півгрупи.
Ключові слова: акретивний оператор, секторіальний оператор, замкнена сек торіальна форма, Фрідріхсове розширення, розширення Неймаяа-Крейна, гра нична пара, гранична трійка, дуальна пара операторів.
Арлинский Ю.М. Максимальные аккретивные расширения секториальнъс операторов. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических на ук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математикі НАН Украины, Киев, 2000.
Диссертация посвящена развитию метода абстрактных граничных условий і теории расширений линейных операторов в гильбертовом пространстве. Как известно, линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве называется аккретивным, если его числовая область лежит в замкнутой правой полуплоскости комплексной плоскости и максимальным акретивным (ш-аккретив-ным), если он аккретивен и не имеет аккретивных расширений в исходном гильбертовом пространстве. Задача об описании всех максимальных аккретивных расширений заданного аккретивного оператора в терминах абстрактных граничных условий поставлена Р.Филлипсом, им же предложен метод решения этой задачи, связанный с геометрией пространств с индефинитной метрикой. Позднее метод Р.Филлипса был использован В.Д.Ивансом и Дж.Ноуэлсом для описания всех т-аккретивных расширений минимального положительно определенного симметрического оператора, порожденного обыкновенным дифференциальным выражением четного порядка на отрезке, а затем О.Я.Мильо и О.Г.Сторожем для абстрактного положительно определенного симметическо-го оператора с конечным дефектным числом. Важным подклассом аккретивных операторов являются секториальные операторы с вершиной в нуле. Так называются линейные операторы, числовая область которых расположена в замкнутом секторе с вершиной в нуле, содержащем положительную полуось, и острым по-лууглом. Среди максимальных секториальных (т-секториальных) расширений плотно определенного секториального оператора имеется Фридрихсово расширение, обладающее рядом эктремальных свойств. Специальным случаем секториальных операторов являются неотрицательные эрмитовы операторы, теория самосопряженных расширений которых создана И.Г.Крейном. С помощью метода абстрактных граничных условий в работах А.Н.Кочубея, В.А.Михайлеца,
О.Г.Сторожа, В.АДеркача, М.М.Маламуда, Э.Р.Цекановского и автора было получено описание т-аккретивных расширений неотрицательного симметрического оператора, являющихся одновременно сужениями сопряженного оператора (собственных раширений). В настоящей работе решена задача об описании в терминах абстрактных граничных условий всех ш-аккретивных и в том числе т-секториальных расширений секториального линейного отношения. Для этого предложен метод, отличный от метода Р. Филлипса. Получены следующие
основные результаты.
1. Для произвольного векториального линейного отношения определено понятие ш-секториального расширения Неймана-Крейна, совпадающее с понятием мягкого расширения М.Г.Крейна в случае неотрицательного симметрического оператора, изучены свойства такого расширения и его замкнутой ассоциированной формы, получены представления расширений Фридрихса и Неймана-Крейна в виде сильных резольвентных пределов.
2. Дано параметрическое описание всех замкнутых форм, ассоциированных с ш-секториальными расширениями, из которого в случае положительно определе-ного симметрического оператора получается описание М.Г.Крейна - М.III.Бирмана всех замкнутых форм, ассоциированных с неотрицательными самосопряженными расширениями.
3. Введено понятие граничной тройки для секториального линейного отношения, основанное на абстрактной первой формуле Грина и совпадающее с понятием позитивного пространства граничных значений, введенного А.Н.Кочубеем для положительно определенного симметрического оператора. С граничными парами и с граничными тройками в работе связываются аналитические оператор-функции, одна из которых (И^-функция) определяет простую часть сектори-ального оператора с точностью до унитарной эквивалентности, другая ((?;•-функция) в случае неотрицательного симметрического оператора совпадает с
-функцией М.Г.Крейна- И.Е.Овчаренко. По и фр-функциям построена
функциональная модель простого плотно заданого секториального оператора.
4. С помощью граничных троек и двух параметров получено описание всех ш-аккретивных и т-секториальных расширений секториальных линейных отношений и их сопряженных. Для дуальной пары плотно заданных секториальных и коэрцитивных операторов с взаимно сопряженными Фридрихсовыми расширениями дана параметризация всех ее т-аккретивных (т-секториальных) расширений как в терминал абстрактных граничных условий, так и в терминах формул М.И.Вишика - М.Ш.Бирмана. Установлена формула, описывающая резольвенты всех т-аккретивных расширений секториального линейного отношения, существенным элементом которой является фр-функция, дана характеристика точек спектра т-аккретивных расширений в терминах параметров и фр-функции. Введено понятие секториального оператора, имеющего дивергентную форму и для такого оператора также дано описание всех его т-аккретивных расширений и их сопряженных в терминах абстрактных граничных условий.
5. Абстрактные результаты применены для описания граничных условий, задающих все т-аккретивные и т-секториалъные расширения минимальных операторов, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями второго порядка на полуоси и равномерно эллиптическими дифференциальными выражениями второго порядка дивергентного вида в ограниченной области про-
странства Еп. Дано также описание всех m-аккретивных одномерных опера' ров Шредингера и их резольвент, отвечающих одноточечным взаимодействи на прямой.
6. Изучены свойства преобразований Кэли т-секториальыых линейных отноц ний, даны формулы для преобразований Кэли m-секториальных расширен Фридрихса и Неймана-Крейна. Установлены новые свойства однопараметрх^ ских полугрупп, порожденных ш-секториальными операторами.
Ключевые слова: аккретивный оператор, секториальный оператор, закнут секториальная форма, Фридрихсово расширение, расширение Неймана-Крейн граничная пара, граничная тройка, дуальная пара операторов.
Arlinskii Y.M. Maximal accretive extensions of sectorial operators. - Marmscrip Thesis for doctor’s degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institui of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.
The thesis is devoted to the development of the method of abstract boundai conditions in the extensions theory of linear operators in a Hilbert space. For given sectorial linear operator or a sectorial linear relation in a Hilbert space th parametrizations of all its maximal accretive and maximal sectorial extensions, thei resolvents and adjoints linear relations in terms of abstract boundary condition are obtained. Applications to boundary value problems for second order differentia operators are given. The functional model of a simple densely defined sectoria operator is constructed. New representations of closed sectorial forms in terms о resolvents of associated operators and corresponding one-parameter semigroups an established.
Key words: accretive operator, sectorial operator, closed sectorial form, the Friedrich; extension, the von Neumann-Krein extension, boundary pair, boundary triplet, dual pair of operators.
