Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью

Свиридова, Евгения Александровна

Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Свиридова, Евгения Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью»

Автореферат диссертации на тему "Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью"

На правах рукописи

Свиридова Евгения Александровна

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 ИЮН 2013

005060891

ВОРОНЕЖ 2013

005060891

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Глушко Андрей Владимирович Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Корниенко Василий Васильевич Елецкий государственный университет имени И. А. Бунина, заведующий кафедрой вычислительной математики и информатики

доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич Воронежский государственный университет, заведующий кафедрой математического моделирования.

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет им.Г.Р. Державина.

Защита состоится 18 июня на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « ? » мая 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физ.-мат. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

Актуальность работы. Изучение математических моделей, описывающих малые колебания жидкостей, началось в пятидесятые годы прошлого века с известных работ ак. С.Л. Соболева. Позже появилась серия работ В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, A.A. Дезина, Т.И. Зеленяка, И.М. Петунина, в которых рассмотрены качественные свойства решений начальных и начально-краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающих малые колебания идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей. Особое внимание в этих работах уделено асимптотическим свойствам решений изучаемых задач при Отметим, что все результаты, полученные в

упомянутых работах, относятся к системам с постоянными коэффициентами. Работы математиков С.А. Габова, А.Г. Свешникова, Г.О. Малышевой посвящены изучению качественных, в том числе асимптотических, свойств решений начальных и начально-краевых задач, описывающих движение стратифицированных жидкостей. Основным методом исследования, применяемым в этих работах, является построенная авторами теория гидродинамических потенциалов.

В работах A.B. Глушко с соавторами изучались модели малых колебаний жидкостей с учетом вязкости, вращения, стратификации среды. Основным отличием этих задач, по сравнению с существовавшими ранее работами, является неоднородность символа дифференциального оператора, обусловленная наличием кориолисовых членов, или стратификацией среды. Отличается также и основной метод исследования, основанный на так называемом принципе локализации. Этот принцип позволяет изучать главные члены асимптотик при t °° решений на основании рассмотрения некоторых многомерных интегралов, зависящих от большого внешнего параметра лишь в произвольно малых окрестностях некоторых критических точек.

«задаче в образах». Последняя задача представляет собой краевую задачу с параметрами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью априорных оценок в пространствах C.JI. Соболева с весом удается изучить геометрию области в комплексной / — плоскости (уе С параметр, двойственный времени t при преобразовании Лапласа), что приводит к доказательству теорем о локализации, позволяющих в дальнейшем построить асимптотические представления компонент решения при большом времени.

В статьях A.B. Глушко и A.C. Рябенко подход, основанный на априорных оценках решения «задачи в образах» с последующим использованием полученных результатов для исследования асимптотического поведения решения исходной задачи при i—»был применен уже к задачам для уравнений с переменными коэффициентами. Вначале этот подход был отработан на начально-краевой задаче в полупространстве для уравнения теплопроводности, а затем использован для исследования оценки асимптотического поведения при большом времени решения задачи о малых одномерных (вертикальных) колебаниях в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости.

В настоящей работе данный подход был применен для изучения поведения при большом времени решения начально-краевой задачи прилипания описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости. Основным отличием от работ A.B. Глушко и A.C. Рябенко является то, что априорная оценка в последних работах проводится для скалярного уравнения, даже в случае изучения системы уравнений. Если не удается свести начально-краевую задачу для системы уравнений к задаче для скалярного уравнения, то прямое применение методов, разработанных в работах A.B. Глушко и A.C. Рябенко невозможно. Поэтому априорная оценка для «задачи в образах» второй из рассмотренных в диссертации задач проводится сразу для системы уравнений.

Таким образом, рассмотренные в работе задачи являются естественным и актуальным продолжением целой серии исследований многих математиков.

Цель работы. Главной целью исследования задач, рассмотренных в работе, является получение асимптотических оценок решений при t —> «.

Фурье (в трёхмерном случае) или Лапласа (в одномерном случае) были доказательство разрешимости задачи, построение области аналитичности и получение априорных оценок решения. Полученные при изучении задач в образах результаты позволяют доказать утверждений относительно разрешимости исходных задач, получить асимптотические оценки компонент

решения при Г -» оо.

Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральные преобразования, а именно интегральные преобразования Лапласа и Фурье, строятся априорные оценки решения задачи в образах Лапласа-Фурье, применяются методы функционального анализа в пространствах С.Л. Соболева, методы оценки асимптотического поведения интегралов, в частности метод стационарной фазы.

Научная новизна. Изучение задач гидродинамики и основные результаты, полученные ранее, связаны с рассмотрением систем и уравнений с постоянными коэффициентами. В данной работе проводится исследование задачи, описывающей движение жидкости переменной стационарной плотности. В работе проводится построение сложной области аналитичности решения задачи в образах (Лапласа в одномерном случае, Лапласа-Фурье - в трёхмерном). Исследование проводится с помощью априорных оценок решений «задач в образах», причем впервые проводится априорная оценка для системы уравнений с переменными коэффициентами без сведения к скалярному уравнению.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при / решений задач динамики

жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при рассмотрении задач в частных случаях вида функции стационарной плотности.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: XXV Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХХП» «СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (3-9 мая 2011 года, Воронеж); ГУ Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики,

теории управления и математического моделирования (ПТУММ-2011)» (12-17 сентября2011 года, Воронеж); XXVI Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХХШ» «СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (2012 год, Воронеж); V Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПТУММ-2012)» (2012 год, Воронеж); Летней математической школе SCUOLA MATEMATICA INTERUNIVERSITARIA (21 августа-3 сентября 2011, Италия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Работы[1], [7], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 134 страницы.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже теорем совпадает с их нумерацией в тексте диссертации. Основные результаты сформулированы во введении и их формулировки далее не повторяются.

В первой главе работы проводится изучение задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в одномерном случае. Эта система имеет вид

Э? Э* (0.1) а2дР^0+ p>(x)U(t,x) + Ро(х)™Ш = о,

dt ох

где х > 0, t > 0. Система дополнена начальными условиями

. V(t,x%^=P{t,x)\^=0 (0.2)

и граничными условиями

U{.t,x)\^=0,U{t,x)\x_=0. (0.3)

Как и ранее U(t,x),P(t,x) - соответственно скорость и отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент t > 0 в точке х > 0; у - динамический коэффициент вязкости среды; а2 ^ 0 -коэффициент сжимаемости жидкости; р0(х) - стационарная плотность. Сформулируем ряд условий, которые определят в дальнейшем классы принадлежности функций p0(x),f(t,х).

Условие 1. Существуют р^,рюах > о такие, что при *е [0,°°) выполнено неравенство рЫй <р0(х)<рта, р0{х)е С2[0,_ Существует такая константа с,

что \р'й{х)\<с,\ра(х)\<с при л:б[0,°°).

Условие 2. Будем говорить, что функция /(Г,*) удовлетворяет условию

2, если она непрерывна по совокупности переменных хе [0,°°), Г > О и при ¿>0: /(/,*)«*

Условие 3. Будем говорить, что функция ¡(г,х) удовлетворяет условию

3, если: для функции Э где к=°>1 выполнено условие 2; =0;

Э7(*.*>

Э/*

(l + x)e*dte ¿2([0,°°)) где /с =0,1.

Условие 4. Будем говорить, что функция /(1,х) удовлетворяет условию 4, если: для функции Э*{(//*), где £ = 0,1,2 выполнено условие 2;

/М,=о=0'

» Э /(/,*)

-0:j

Э t

dkf(t,x)

dtk

(l + x)es'dte LjifO,«»)), где к =0,1,2.

Определение 1. Пусть ¿3>0, через обозначим следующий контур /„и/и/,, где 1 = -?а + %3 при 10=-Зга-«3+£)Р при

10=-#2а + КЯ + £)/3 при #б[0,оо), где

2/?0(0) сЛ ОТ ОГ2К

В одномерном случае для анализа разрешимости и свойств решения задачи (0.1)-(0.3) к системе (0.1) применяется интегральное преобразование Лапласа. В работе будем придерживаться следующих обозначений у(Г,х) = Ц^[и(!,х)1 р(у,х) = Ц^г[Р0,х)},т,х) = . То есть

у(у,х),р(у,х)- образы соответствующих функций при преобразовании Лапласа. В образах Лапласа система (0.1) примет вид

.Э2у(У,х) , Э р(г,х) дх

P0(x)yv{f,x)-V-

Э;-2

--f(r.x),

д v(v х)

а2ур(у,х) + pô(x)v(y,x) + р0(х) = 0.

(0.4)

1_y{7.x) = -f{y,x). (0.5)

Данная система может быть сведена к одному уравнению следующим

образом (производя замену вида v(y,х) = (У + у,х))

а у

d7v(y,x) a2p0(x)f дх2 pa{x) + a2vy Причём граничные условия будут иметь вид

v(r,*)L=0,v(r.*)L.=0'- (0.6)

Изучим разрешимость задачи (0.5)-(0.6) при jj-j > е > 0. Производя замену

. . ,a2yv+pJx)s . ....

вида v, (у,х) = (—---—)v(y,x), можно систему (0.4) переписать в виде

д\(у,х) oc1pJx)y1 ,

—ГТ"^--Л А Vi(7,x) = -yf(r.x), (0.7)

ах p0(x) + orvy

Граничные условия будут иметь вид

v.^-x)L=0-vi(?,^)L=0. (0.8)

Разрешимость задачи (0.7)-(0.8) изучается при малых значениях у. Первый параграф работы содержит основные результаты, сформулированные и доказанные относительно задач в образах Лапласа (0.5)-(0.6) и (0.7)-(0.8).

Эv(y х) d2v(y х)

Теорема 1.1. Пусть функции f(y,x),v(y,x),--L—i-,- '

Эд: Эх

принадлежат пространству ^([О.оо)) по переменной х при каждом фиксированном уе D, где D это некоторая область в комплексной плоскости, функция v(y,x) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р0(х)

выполнено условие 1, тогда для любого £ >0 существует такое, что при

уе (D п (\у\ >£)п (|arg < у/)) будет справедлива следующая оценка

»2

||2

3v(^)i +\?f\\v(r,x)f<c\\f(y,x)f, где С>0.

дх

д V (у х) Э2 V (г х)

Теорема 1.2. Пусть функции /(у,х),у,(у, х),—,-' '

дх дх

принадлежат пространству ¿2([0,°°)) по переменной х при каждом фиксированном уе И, где О это некоторая область в комплексной плоскости, функция у,(у,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х)

выполнено условие 1. Тогда для любого £>0 существует 0<цг<— такое, что при уе (йп (\у\ <е)п (|аг£ у\ < уг)) будет справедлива следующая оценка

ЧИ^ +1ЛМГ . где с, >0.

Эу (У х) дгV (у х) Теорема 1.3. Пусть функции /(у,х)^.(у,х),——' у

дх дх

принадлежат пространству /^([О,«»)) по переменной х при каждом фиксированном уе й, где £) это некоторая область в комплексной плоскости, функция У,(у,х) является решением задачи (0.7)-( 0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между кривой

и у/) = - Р™* ш1 +1 ш ( 1^6 [-«У.О^и^О,-«?]) и мнимой осью (включая (X V а V

точки, лежащие на 1 и мнимой оси), будет выполнена оценка

Ц^э^Г+^Ц^эТ^Ц2+^^ |(У'(Г'х)|2 - с1|/(7'х)|2 •

дх ' дх2

принадлежат пространству ^([О,^)) по переменной х при каждом фиксированном уе £>, где Б это некоторая область в комплексной плоскости, функция у{(у,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых уей, таких, что <р=^уе [-я72;-я76]и[>г/6;я"/2] верна оценка

|| ||2

Г^Н +со5<рЩ%(у,х)\?<с№\\ПГ,Ф\?-

Теорема 1.5. Пусть функции /(у,х)(1 +х)^(у,х), ^х)

дх дх

принадлежат пространству ^([О,«)) по переменной х при каждом фиксированном уе £>, где Б это некоторая область в комплексной плоскости, функция является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х)

выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между

Теорема 1.4. Пусть функции /{у,х)(\ +х)^{у,х),- ^ , ^ 2

контуром I и мнимой осью (включая точки, лежащие на контуре I и мнимой оси) будет верна оценка

дгу,(у,х)

Эу,( у,х)

+ \)]2\\vl(r,x)t<c\\(l + x)f(r,x)f.

дх

Первая глава работы также содержит теорему существования и аналитичности решения задачи (0.5)-(0.6).

Теорема 1.6. Пусть функция f(y,x) принадлежит пространству ¿2([0,°°)) по переменной х при Re^>— £, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда при каждом фиксированном у (\у\ > £ ), лежащем правее некоторого контура у задачи (0.5)-(0.6) существует единственное решение из Я2([0,°°)).

Теорема 1.7. Пусть функции f(Y,x),v(y,x), ^ V(Y>X)

ах ах

принадлежат пространству /^([О,^]) по переменной х при каждом фиксированном у (|у|>£), лежащем правее контура , функция f(y,x) анапитична по / при каждом фиксированном х, функция v(y,x) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р0(х) выполнено условие 1 и функция f(y,x) аналитична по / при каждом фиксированном хе [0,°о), тогда

при у (М>£), лежащем правее контура функции

^ дх

д v(y,x) ^уду^. анапитичны по у для любого хе [0,°°). Эл

Основными результатами первой главы работы можно считать доказанные во втором параграфе утверждения относительно решения задачи (0.1)-(0.3). Следующая теорема описывает класс принадлежности решения задачи.

Теорема 2.2. Пусть функция f(t,x) удовлетворяет условию 4, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда функции U(t,x),P(t,x) являются классическим решением задачи (0.1)-(0.3).

Определение. Классическим решением задачи (0.1)-(0.3) будем называть вектор-функцию (U(t,x),P(t,x)), которая 1. удовлетворяет уравнению (0.1)

2. для которой выполняются начальные условия (0.2) в следующем смысле WmU{t,x) = lim P(t,x) =0 при любом фиксированном х

r-v+O f->+0

3. для которой выполняются краевые условия (0.3) в следующем смысле lim U{t,x) — lim U(t,x) = О при любом t

х-х-> х—>0

4. U(t,x) - функция дважды непрерывно дифференцируемая по х и единожды непрерывно дифференцируемая по т ;

5. P(t,x) - функция непрерывно дифференцируемая по хк t.

Завершает изложение первой главы теорема, описывающая

асимптотические оценки решения задачи (0.1)-(0.3) при / —>+°о.

Теорема 2.3. Пусть функция f{t,x) удовлетворяет условию 3, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для функций U(t,x),P(t,x) при t—>+оо равномерно по хе[0,со) справедливы следующие оценки компонент решения \и (t, х)\ < cfw,\P(t, х)\ < с2Гт.

Вторая и третья глава работы посвящена изучению разрешимости и получению асимптотических оценок компонент решения первой смешанной задачи для линеаризованных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в трёхмерном полупространстве. Эта система имеет вид

P0^)dUk}t,X) ~VAUk(t,x) + ^îl = fk{UT>, k= 1;2;3; (0.9)

ot dxk

« ^ +Л)(*з)

дu,{t,x) du2(t,:с) Эu3(t,x)

H--r--t~

Эх, Э x2 dx3

= g(t,x);

\ " " "2 " "3 y

Л 32 "v2

д д д'

где (>0,х = (х1,х2,х3),х' = (х1,х2)еК2,х3е[0,°°), А=—т + —- + —2 -

дх{ дх2 дхг

оператор Лапласа. Система дополнена начальными

£/,= Р(/Д)|1=0 =0, / =1,2,3 (0.10)

и граничными условиями

V, = 0, V, =0,/ = 1,2,3. (0.11)

В данном случае 0(1,х),Р(1,х) - соответственно вектор скорости и отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент г > 0 в точке х =(х,,х2,х}); У - динамический коэффициент вязкости среды; а2 Ф 0 - коэффициент сжимаемости жидкости; рй (х,) - стационарная плотность. Сформулируем ряд условий, которые

определят классы принадлежности функций

h(t,x),f3(

Р0 (*,),/ (f.jt) = (/, (Л X), /2 (/, X), /з {t,x)Y ,g(t,X).

Условие 5. Существуют рЫа,рт1Х >0 такие, что при хе [0,оо) выполнено неравенство /?Ып < /?0(лг3) </>тах, р0(х3)е С2[0,°°) Существует такая константа с, что |/>о(*3)| ^ с при хъ е [0,°°).

Условие 6. Функция /(3с,0 удовлетворяет условию 6, если для нее выполнены следующие условия: f(x,t) непрерывна по совокупности переменных при = 2)eR2, хъ >0, />0; при ¿>0 f(x,t)eSl е £,(/&.)• R*+ = <= R,<2 e R,Xj > 0,f > 0}.

Условие 7. Функция f(x,t) удовлетворяет условию 7, если выполнены следующие условия:

Эf(x t)

1. для функций вида ^ . , где 0<г"< 1,0</<2; 0<к<2

дх^дх^д t

выполнено условие 6; 2. /CM)L=0;

■d'+J+kf(x,t)

3. функции вида Jj

es'dtdx'eL^(R+), где 0<i<l,0<j'<2,

j дх^дх/д tl 0 < к < 1, а норма берется по переменной хг. Условие 8. Функция f(x,t) удовлетворяет условию 8, если выполнены следующие условия:

Э,+;+* fix t)

1. для функций вида . ' , где 0<z'<2,0</<4,0<£<4

Эдqdx{dt

выполнено условие 6;

2. /(*,о|

J v ' lf=0 Л.

= 0;

1=0

3. функции вида j j

Э t

di+J+k f(x,t)

Л!0

Э^Эх/Эг''

dtdx'eLtCRJ, где 0<i<2, 0< у<4,

0 < А: < 4, а норма берется по переменной х3.

Анализ, проводимый в отношении задачи (0.9)-(0.11) основан на применении интегральных преобразований Лапласа и Фурье соответственно по переменным Г и х\,хг. Далее в работе будем придерживаться следующих обозначений = р{у,з\хъ) = А-.^Д/'а,*',*,)].

То есть У(у,/,х3) = ^у,5',х2),у2(у^',х}),у}(у,/,х3))т ,р(у^',х3) - образы Лапласа-Фурье соответственно вектора скорости и отклонения от стационарного давления. В образах Лапласа-Фурье система (0.9) примет вид

' л (0Л2)

С7У (У Я X )

а2ур(у,х3НАиз)(-".у1 (Г,х3) - х,Н 3 ^ ' 3 )=#(у,х3).

Краевые условия примут вид

МГУ,*,]*« =0. чСгУ,*)!^ =0, ,- = 1,2.3. (0.13)

Изучим разрешимость задачи (0.12), (0.13) в зависимости от значений параметров уе С, /є К2. Для дальнейшего анализа введём несколько определений.

Определение 2. Пусть 5 = [ьр^єаҐ1 )"2 (урт!п )~"4. Через /(£) обозначим

ОС^лУО

следующий контур /0 и /, и /2, где ¿¡ =---——<Ц2+І(Ц при [-¿>, £],

/„ = -£ + при [¿>,+°°) ,12=-є + при (-00,-5].

Определение 3. й0(-£,50)сС - такая область комплексной плоскости, что: при Яе^>0, \у\>д0,а при -є < 0:|іт/|> д0, где є- достаточно малое, 30 - произвольное положительное число.

Третий параграф работы посвящён получению априорных оценок задачи (0.12)-(0.13). Основным результатом проведённого исследования стало доказательство справедливости следующего утверждения.

Теорема 3.1. Пусть функция р{){хъ) удовлетворяет условию 5. Если

/.(7,/,^)єЬг([0,оо)), 8(у,х',х3),р(у,ї,хг)е Н'+, у1.(у,/,*3)є НІ, г = 1,2,3 по

переменной х3 равномерно по у и /, а {V (у^'^), р(у,х',х3)} является

решением задачи (0.12),(0.13), то для любых УЄ С, \1&у>—^Ц2-

4 ссу

справа от контура /(£) справедлива оценка

Ґ I 1* Л Ґ І іг Л 1 II - ' - II2 Ґ I

1 + М

І І'Г+тЬ- КГ+тЪ X

1+|7|

дх3

I М2

1 + Мг "I Эдсз2

М4 | и4

1/!2 + 1

<с

И2+1

Кроме того, для любых |у] > 3, справедлива оценка

¿(1+И2

/=1 ,=1 || ох3

. , ЦЭр(^х,)II

+ (0.14)

дх^

|2Л

3 Ь2

дх32

<Г

;=1 ох.

< (0.15)

|2\

Четвёртый параграф работы посвящен доказательству разрешимости задачи (0.12)-(0.13) и аналитичности её решения при определённых значениях параметров у и 5'.

Теорема 4.1. Пусть функции /,е ¿2(0,°°),£е Н\, а функция р0(х3) удовлетворяет условию 5. Тогда для любого л', и у, лежащего справа от контура /(£) (Определение 2) и принадлежащего некоторой области (Определение 3), задача (0.12),(0.13) имеет решение [V,р},V е Я2, ре Н\ по переменной х3, при тех же значениях /е /?2, и у.

Теорема 4.2. Пусть функция р0(х3) удовлетворяет условию 5. Если

¿2([0,-)),¿-1,2,3, у,з\х3)еН1,

р(у,з',х3)е Я|, ¿ = 1,2,3 по переменной х3 равномерно по у и а У(у,/,х,) является решением задачи (0.12),(0.13), то для любых уе С, лежащих справа от контура /(£) и принадлежащих некоторой области О.а(-£,30) а С (<50 -произвольное положительное число), функции

V,-(Г.*.^)>—Ч;--'-. 2 ,1 = 1,2,3, р(у,5 ,*3), будут

аналитичны по у при каждом фиксированном х3 е [0,°°).

Априорные оценки и утверждения, полученные во второй главе, позволяют получить асимптотические оценки компонент решения задачи (0.9)-(0.11) при t —> °°, что было сделано в третьей главе работы.

Теорема 5.1. Пусть функция р0{х3) удовлетворяет условию 5, функции

f.{t,x),i= 1,2,3, удовлетворяет условию 7, тогда для функций

U,(t,x),i = 1,2,3 равномерно по х = (х1,хг,х3) справедливы оценки

|/У^;с)|<СГ1/2,¿ = 1,2,3. Если же f,{t,x),i =1,2,3, удовлетворят

условию 8, то Ut{t,x),i= 1,2,3 являются дважды непрерывно дифференцируемыми по х, и единожды непрерывно дифференцируемыми по t. Теорема 5.2. Пусть функция /?0(х,) удовлетворяет условию 5, функции

/(f,jc),ï=l,2,3, удовлетворяет условию 7, функция g(t,x) удовлетворяет

' дхэ

условию 8, тогда для функции P(t,x) равномерно по х = (х1,х2,х3) справедлива

оценка \P{t,x)\<Ct~m. Если же и также уд0Влетворят условию 8, то

1 ахъ

P(t,x) является непрерывно дифференцируемой ПО X иг.

Дальнейший анализ задач (0.12)-(0.13) и (0.9)-(0.11) позволил получить

улучшение асимптотических оценок решения задачи (0.9)-(0.11). Главным

результатом шестого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 6.2. Пусть функция р0(х}) удовлетворяет условию 5, функции

f.(t,x),i = 1,2,3, удовлетворяет условию 7, тогда для функций

U,(t,x),i = 1,2,3, P(t,x) равномерно по x = (xi,x2,x}) справедливы оценки |f7,.(i,;t)|<Cr5/8,i = 1,2,3, \P(t,x)\<Cr5№.

Публикации автора по теме диссертации

1. Свиридова Е.А. Малые колебания вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью/ Е.Л.Свиридова// Вестник ВГУ. Серия физика математика. - 2011,- № 2,- С. 133-140.

2. Свиридова Е.А. Оценка решения задачи о малых колебаниях сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью/ Е.А.Свиридова// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011). Материалы IV Международной конференции. - 2011.- С.261 -262.

3. Свиридова Е.А. Первая смешанная задача для линеаризованных уравнений движения сжимаемой жидкости с переменной стационарной

плотностью/ Е.А Свиридова// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXII». -2011.-С. 162-164.

4. Свиридова Е.А. Малые колебания сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в трёхмерном случае/ Е.А Свиридова// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения ХХШ». - 2012. - С.162-164.

5. Свиридова Е.А. Априорные оценки решения задачи о малых колебаниях жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье / Е.А.Свиридова// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012). Материалы

V Международной конференции. - 2012,- С.252-253.

6. Свиридова Е.А. Разрешимость задачи о малых колебаниях жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/ Е.А.Свиридова// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012). Материалы

V Международной конференции. - 2012.- С.254-255.

7. Свиридова Е.А. Существование решения задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/ Е.А. Свиридова// Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - Москва-Воронеж: Научная книга, 2012,- № 3.1(49).- С. 169-171.

8. Свиридова Е.А. Априорные оценки решения задачи о малых колебаниях вязкой сжимаемой жидкости с переменной стационарной плотностью в образах Лапласа-Фурье/ Е.А. Свиридова// Системы управления и информационные технологии. Научно-технический журнал. - Москва-Воронеж: Научная книга, 2012,- № 4(50).- С. 95-98.

Работы[1], [7], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых

научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 29.04.13. Формат 60*84 '/¡6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 411.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Свиридова, Евгения Александровна, Воронеж

воронежским государственный университет

04 2 01 3 5 7 85 9 На правах рукописи

Свиридова Евгения Александровна

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОМ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Глушко

ВОРОНЕЖ 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

ГЛАВА 1. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ. ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ. .............................................................................................................................18

§ 1. Разрешимость и свойства решения задачи в образах Лапласа.......................18

Априорные оценки...........................................................................................18

Существования решения задачи (0.5)-(0.6)........................................................31

Аналитичность решения задач в образах Лапласа..............................................34

§2. Разрешимость и асимптотики решения задачи (0.1)-(0.3).............................37

Вспомогательные утверждения.........................................................................37

Выполнение начальных и граничных условий..................................................44

Класс принадлежности решения задачи............................................................44

Асимптотики решения......................................................................................46

ГЛАВА 2. РАЗРЕШИМОСТЬ И СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В ОБРАЗАХ ЛАПЛАСА-ФУРЬЕ. ТРЁХМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ...................................................51

§3. Априорные оценки решение задачи (0.12)-(0.13)..........................................51

§4. Существование и аналитичность решения задачи (0.12),(0.13). Выполнение краевых условий (0.11)......................................................................................89

Существование решения задачи (0.12),(0.13).....................................................89

Аналитичность решения задачи (0.12),(0.13).....................................................93

Вспомогательные утверждения.........................................................................97

Выполнение краевых условий.........................................................................104

Выполнение начальных условий.....................................................................104

Дифференцируемость решения задачи (0.9)-(0.11)..........................................105

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ КОМПОНЕНТ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (0.9)-(0.11)........................................................................................108

§5. Асимптотические представления решения задачи (0.9)-(0.11) при t->оо .......................................................................................................................108

§6. Улучшение асимптотических оценок решения задачи (0.9)-(0.11).....114

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................127

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Изучение математических моделей, описывающих малые колебания жидкостей, началось в пятидесятые годы прошлого века с известных работ ак. C.JI. Соболева [1], [2]. Позже появилось много работ В.Н. Масленниковой [3], [6], [7], [9], [10], В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского [4] -[6], В.Н. Масленниковой, A.A. Дезина [11], Т.Н. Зеленяка [12], Т.Н. Зеленяка и В.П. Михайлова [13], В.П. Маслова [14], И.М. Петунина [15], [16], в которых рассмотрены качественные свойства решений начальных и начально-краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающих малые колебания идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей. Особое внимание в этих работах уделено асимптотическим свойствам решений изучаемых задач при t —> оо. Отметим, что все результаты, полученные в упомянутых работах, относились к системам с постоянными коэффициентами. Подробное описание результатов, полученных к 1970 году содержится в обзоре [11], а состояние на 1998 год описано в обширной монографии Демиденко Г.В., Успенского C.B. [17], в которой содержится описание как результатов, принадлежащих авторам, так и подробный обзор материалов исследований других математиков.

Работы математиков С.А. Габова, А.Г. Свешникова, Г.О. Малышевой [18] -[21] посвящены изучению качественных, в том числе асимптотических свойств решений начальных и начально-краевых задач, описывающих движение стратифицированных жидкостей. Основным методом исследования, применяемым в этих работах, является построенная авторами теория гидродинамических потенциалов.

В работах A.B. Глушко с соавторами [22] - [42] изучались модели малых колебаний жидкостей с учетом вязкости, вращения, стратификации среды. Основным отличием этих задач, по сравнению с работами [1]-[21], является неоднородность символа дифференциального оператора, обусловленная наличием кориолисовых членов, или стратификацией среды. Отличается также и основной метод исследования, основанный на так называемом принципе локализации. Этот принцип позволяет изучать главные члены асимптотик при i—>оо решений на основании рассмотрения некоторых многомерных интегралов, зависящих от большого внешнего параметра лишь в произвольно малых окрестностях некоторых критических точек. Задача построения асимптотик решений не может считаться завершенной без доказательства теорем существования и единственности решений соответствующих систем уравнений. Поэтому значительная часть указанных работ

посвящена изучению разрешимости поставленных начальных и начально-краевых задач, а также оценке норм их решений. Список литературы и краткий обзор состояния изученности данных проблем к 2003 году содержится в монографии A.B. Глушко [43].

Особый интерес для нас представляет задача прилипания для системы уравнений, описывающих малые колебания вязкой сжимаемой жидкости во вращающейся системе координат, описанная в работах А.В, Глушко и С.О. Рыбакова [27] - [29], а также в [43]. Несмотря на то, что изучается задача в полупространстве для системы уравнений с постоянными коэффициентами, отсутствие внутренних симметрий в краевой задаче и сложный вид уравнений не позволил выписать явное представление решения. С помощью преобразования Лапласа по временной переменной и преобразования Фурье по касательным к границе пространственным переменным исходная начально-краевая задача сводится к «задаче в образах». Последняя задача представляет собой краевую задачу с параметрами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью априорных оценок в пространствах C.JI. Соболева с весом удается изучить геометрию области в комплексной плоскости (у gC — параметр, двойственный времени t при преобразовании Лапласа), что приводит к доказательству теорем о локализации, позволяющих в дальнейшем построить асимптотические представления компонент решения при большом времени.

В работах А.Г. Свешникова, М.О. Корпусова, Л.В. Перовой, Ю.Д. Плетнер [44] - [49], а также в работах E.H. Свиридовой и A.B. Глушко [50] - [56] изучаются начально-краевые задачи, описывающие малые колебания жидкостей с помощью систем уравнений с частными производными и с переменными коэффициентами. Однако, в рассмотренных задачах удается перейти к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи специальных замен искомых функций.

В работах A.C. Рябенко [44], [45] и в статьях A.B. Глушко и A.C. Рябенко [46], [47] подход, основанный на априорных оценках решения «задачи в образах» с последующим использованием полученных результатов для исследования асимптотического поведения решения исходной задачи при t -» оо, был применен уже к задачам для уравнений с переменными коэффициентами, переход от которых к системам с постоянными коэффициентами невозможен. Вначале этот подход был отработан на начально-краевой задаче в полупространстве для уравнения теплопроводности, а затем применен для исследования оценки асимптотического

поведения при большом времени решения задачи о малых одномерных (вертикальных) колебаниях в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости.

В настоящей работе данный метод был применен для изучения поведения при большом времени решения начально-краевой задачи прилипания описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости. Основным отличием от работ A.C. Рябенко [57] - [58] и работ A.B. Глушко, A.C. Рябенко [59] - [60] является то, что априорная оценка в последних работах проводится для скалярного уравнения, даже если исходно рассматривается система уравнений. Если не удается свести начально-краевую задачу для системы уравнений к задаче для скалярного уравнения, то прямое применение методов, разработанных в [57] - [60] невозможно. Поэтому априорная оценка для «задачи в образах» для второй из рассмотренных в диссертации задач проводится сразу для системы уравнений, что существенно затрудняет ее получение.

Цель работы. Главной целью исследования задач, рассмотренных в работе, является получение асимптотических оценок решений при t —> оо.

Работа посвящена изучению начально-краевой задачи, описывающей малые колебания сжимаемой вязкой жидкости с переменной стационарной плотностью. В первой главе работы рассматривается одномерный случай задачи. Вторая и третья главы посвящены исследованию задачи в трёхмерном полупространстве. Основными целями при изучении задач в образах Лапласа-Фурье (в трёхмерном случае) или Лапласа (в одномерном случае) были доказательство разрешимости задачи, построение области аналитичности и получение априорных оценок решения. Полученные при изучении задач в образах результаты позволяют доказать утверждений относительно разрешимости исходных задач, получить асимптотические оценки компонент решения при t —> оо.

Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральные преобразования (а именно интегральные преобразования Лапласа и Фурье), строятся априорные оценки решения задачи в образах Лапласа-Фурье, применяются методы функционального анализа в пространствах С.Л. Соболева, методы оценки асимптотического поведения интегралов (в частности метод стационарной фазы).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [65]-[72]. Работы[65], [71], [72] опубликованы в журналах из перечня

рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Краткое содержание работы

Все основные результаты сформулированы во введении и их формулировки далее не повторяются.

(0 1)

¿я дх

а2

где х >0, ¡>0. Система дополнена начальными условиями

(0.2)

и граничными условиями

Щ,х)\х=0=0,и«,х)\х=х=0. (0.3)

Как и ранее и- соответственно скорость и отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент ?>0 в точке х > 0; V - динамический коэффициент вязкости среды; а2 Ф 0 - коэффициент сжимаемости жидкости; р0(х) - стационарная плотность. Сформулируем ряд условий, которые определят в дальнейшем классы принадлежности функций Ро (*)>/('>*) •

Условие 1. Существуют ртт,ртах > 0 такие, что при х е[0,со) выполнено неравенство ртт < р0(х) <ртах, р0(х) е С2 [0, сю) Существует такая константа с,

что |/?о(х)|<с,|/?;'(х)|<с прихе[0,оо).

Условие 2. Будем говорить, что функция /удовлетворяет условию 2, если она непрерывна по совокупности переменных х е [0,<х>), £ > 0 и при

<5>0: ДмУ

Условие 3. Будем говорить, что функция /(¿,х) удовлетворяет условию 3, дкЯих)

если: для функции

дгк

■, где к = 0,1 выполнено условие 2; /(г,х)|^о = 0;

дкКих)

де

(1 + х) е6' сИ е 12([0, оо)) где к = 0,1.

Условие 4. Будем говорить, что функция /(7,х) удовлетворяет условию 4,

дк/{1,х)

если: для функции

а/

д?

со -о- Г дкЖ,х)

1=0 0 д1к

-, где к = 0,1,2 выполнено условие 2;

(1 + х)е5'Л е£2([0, оо) , где к = 0,1,2.

Определение 1. Пусть <?3 >0, через обозначим следующий контур /0и/и/19 где 1 = + при [-£,£], /0--81а-Цд + при

<?е[0,оо),

/0 =-82а + Ц8 + !;)Р

при

£е[0,оо), где

2р0(0) «V

а а у

В одномерном случае для анализа разрешимости и свойств решения задачи (0.1)-(0.3) к системе (0.1) применяется интегральное преобразование Лапласа. Во втором параграфе работы будем придерживаться следующих обозначений у(у,х) = [Щ,х)],р{у,х) = [Р^х)],/{у,х) = Ц^ [/(*,*)]. То есть

у(у,х),р(у,х) - образы соответствующих функций при преобразовании Лапласа. В образах Лапласа система (0.1) примет вид д2\>(у,х) др(у,х)

Ро(Х)УЧУ,Х)-У-

дх2

дх

= /(Г,х),

а2ур(у, х) + р0' (х)$(у, х) + р0 (х) = 0.

ох

(0-4)

Данная система может быть сведена к одному уравнению следующим

образом (производя замену вида у(г,х) = (у + \ )х>(у,х)

а у

дх р0(х) + а уу Причём граничные условия будут иметь вид

(0.5)

Изучим разрешимость задачи (0.5)-(0.6) при \у\ > е > 0. Производя замену _/а2уу + р0(х)

вида у1(/,х) = ( д\(у,х) а1р0(х)у

2 л /„\„,2

)у(у,х), можно систему (0.4) переписать в виде

-Ч(Г>х) =-У/(?>*)>•

(0.7)

дх2 р0(х) + а2уу Граничные условия будут иметь вид

(0.8)

ду(у,х) д2у(у,х)

Теорема

1.1. Пусть функции /(у,х),у(у,х),

дх ' дх2

принадлежат пространству £2([0,со)) по переменной х при каждом фиксированном уеИ, где И это некоторая область в комплексной плоскости, функция у(у,х) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р{) (х) вьтолнено условие 1, тогда для любого £>0 существует ц/ж 12 такое, что при у <е (Игл(\у\ > £-)п(|а^;к| будет справедлива следующая оценка

д2г(у,х)

+М

дх2

Теорема

ду(у,х)

дх

+ \у\21 у(у, х)||2 < с ¡/(у, Х)||2, где с > 0 .

д2У1{у,х)

1.2. Пусть функции /(у,х)^(у,х),

дх ' дх2

принадлежат пространству /,2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном уеИ, где О это некоторая область в комплексной плоскости, функция у{(у,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) вьшолнено условие 1. Тогда для любого е > 0 существует 0 < у/ < я / 2 такое, что при у е е-)гл(|аг§ у\< <//)) будет справедлива следующая оценка

д2ух(у,х)

дх2

дх

\у\2\\у](у,х)( <с\\Ду,х)(,где с>0.

Теорема 1.3. Пусть функции f(y,x),v}(y,x),

dvi(r>*) ö2 vj(y,x)

дх дх2

принадлежат пространству £2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном / е £), где I) это некоторая область в комплексной плоскости, функция является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х)

выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между кривой

Ку) = + г "^тах у/ ( ц/ е[-<5,0)и (0,-^1) и мнимой осью (включая

аV а V

точки, лежащие на / и мнимой оси), будет выполнена оценка

d2vl(y,x)

дх2

+ \у\ sin у/

dvi (Г,*)

дх

+ \y\\m¥2\{vx{y,x)f<c\f{y,x)f.

dv (у лЛ д2 v (у х)

Теорема 1.4. Пусть функции /(у, х)(1 + х), v, (у, х), —1 ,-1 '

дх дх

принадлежат пространству Z,2([0,oo)) по переменной jc при каждом фиксированном у &D, где D это некоторая область в комплексной плоскости, функция v,(/,jc) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у £ D, таких, что

<p = argy е[-/7 / 2;-7г / / 6; л- / 2] верна оценка

dvAy,x)

cos (р

дх

cos (р\у\ 11^(^,^)1 <cJ\y\\\f(y,x)x\\

Теорема 1.5. Пусть функции f(y,x)(\. + x),vx(y,x),

dvi(r,x) d2v,(у,х)

дх ' дх2

принадлежат пространству £2([0,оо)) по переменной х при каждом фиксированном уеО, где О это некоторая область в комплексной плоскости, функция у,(/,х) является решением задачи (0.7)-(0.8), для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда для достаточно малых у, лежащих между контуром / и мнимой осью (включая точки, лежащие на контуре I и мнимой оси) будет верна

оценка

d2vx{y,x)

дх2

dv,(y,x)

дх

Ч(г^<с\\(\ + х)Яг,х)(.

Первая глава работы также содержит теорему существования и аналитичности решения задачи (0.5)-(0.6).

Теорема 1.6. Пусть функция f{y,x) принадлежит пространству Z2([0,oo)) по переменной х при Re у>-е, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда при каждом фиксированном у (\у\ > s), лежащем правее некоторого контура , у задачи (0.4)-(0.5) существует единственное решение из Н2 ([0, оо)).

dv(y х) д2 v(y х)

Теорема 1.7. Пусть функции f(y,x),v(y,x),— ,- 2'

^ X Ö X

принадлежат пространству Z,2([0,oo)) по переменной х при каждом фиксированном у (\у\>s), лежащем правее контура , функция f(y,x) аналитична по у при каждом фиксированном х, функция v(y,x) является решением задачи (0.5)-(0.6), для функции р0(х) выполнено условие 1 и функция

f(y,x) аналитична по у при каждом фиксированном хе[0,оо), тогда при у

( \

лежащем правее контура 1"ъ'р\ для которого Ы > s функции v(y,x),———,

3 дх

д v(y>x) ^удур аналитичны по у при каждом фиксированном х е [0,оо).

3 X

Теорема 2.2. Пусть функция f{t,x) удовлетворяет условию 4, для функции р0(х) выполнено условие 1, тогда функции U(t,x),P(t,x) являются классическим решением задачи (0.1)-(0.3).

Определение. Классическим решением задачи (0.1)-(0.3) будем называть вектор-функцию (U(7, х), P(t, х)), которая

1. удовлетворяет уравнению (0.1)

2. для которой выполняются начальные условия (0.2) в следующем смысле

lim U{t,x) — lim/^^x) = 0 при любом фиксированном х

f-»+0 /->+0

3. для которой выполняются краевые условия (0.3) в следующем смысле lim U(t,x) - lim U(t,x) - 0 при любом t

X—wo х—>0

4. U(t,x) - функция два